Movimiento de Fluidos Viscosos e Incompresibles de Tuberias y Conductos

TERMOFLUIDOS UVI 6. MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS E INCOMPRESIBLES DE TUBERÍAS Y CONDUCTOS. Para calcular la cantidad de energía perdida debido a la fricción en un sistema de fluidos, es necesario caracterizar la naturaleza del flujo. Un flujo lento y uniforme se conoce como flujo laminar, mientras que un flujo rápido y caótico se conoce como flujo turbulento. Los métodos que se utilizan para calcular la pérdida de energía son diferentes para cada tipo de flujo. El tipo de flujo puede predecirse mediante el cálculo de un número sin dimensiones, el número de Reynolds, que relaciona las variables más importantes que describen un flujo: velocidad, longitud de la trayectoria del flujo, densidad y viscosidad del fluido. 6.1. Numero de Reynolds. El comportamiento de un fluido, particularmente con respecto a las pérdidas de energía, dependen bastante de si el flujo es laminar o turbulento. Por esta razón deseamos tener medios para predecir el tipo de flujo sin tener la necesidad de observarlo. Ya que la observación directa no siempre es posible físicamente. Se puede mostrar experimentalmente y verificar analíticamente que el carácter del flujo en un conducto redondo, depende de cuatro variables: la densidad y viscosidad del fluido, el diámetro del conducto y la velocidad promedio de flujo. Osborne Reynolds fue el primero en demostrar que un flujo laminar o turbulento puede ser predicho si se conoce la magnitud de un numero adimensional, conocido ahora como numero de Reynolds (NR) 𝑁𝑅 =

𝑣𝐷𝜌 𝑣𝐷 = 𝜇 𝜐

Donde: NR= Numero de Reynolds v = velocidad promedio del flujo m/s o ft/s D = Diámetro del conducto m o ft ρ = Densidad del fluido en kg/m3 o Slugs/ft3 µ = Viscosidad Dinámica en Kg/m-s ó lb-s/ft2 ν = Viscosidad Cinemática en m2/s ó ft2/s Los flujos que tienen un número de Reynolds grande, típicamente debido a una alta velocidad o baja viscosidad, o ambas, tienden a ser Turbulentos. Aquellos fluidos que poseen una alta viscosidad y/o que se mueven a bajas velocidades, tendrán un numero de Reynolds pequeño y tenderán a ser Laminares.

Para aplicaciones prácticas en flujos de conductos, tenemos que:

Ing. Christian Reyes Córdova

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TERMOFLUIDOS UVI En el intervalo de números de Reynolds comprendidos entre 2000 y 4000, es imposible predecir qué tipo de flujo existe; por consiguiente, este intervalo se conoce como región critica. Si se encuentra que el flujo de un sistema está en la región critica, la práctica normal consiste en cambiar la rapidez de flujo o el diámetro del conducto para hacer que el flujo sea claramente laminar o turbulento. Entonces se hace posible un análisis más preciso. Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Debido a que el número de Reynolds es mayor que 4000 el flujo es turbulento


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TERMOFLUIDOS UVI Ejemplo 3

6.2. Perdidas de fricción. (Ecuación de Darcy). A medida que un fluido fluye por un conducto, tubo o algún otro dispositivo, ocurren perdidas de energía debido a la fricción interna en el fluido. Como se indica en la ecuación general de la energía, tales perdidas de energía traen como resultado una disminución de la presión entre dos puntos del sistema de flujo. La ecuación general de la energía: 𝑃1 𝑣12 𝑃2 𝑣22 + 𝑧1 + + 𝑕𝐴 − 𝑕𝑅 − 𝑕𝑓 = + 𝑧2 + 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔


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TERMOFLUIDOS UVI Donde: hA = Energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico como puede ser una bomba. hR = energía removida o retirada del fluido mediante un dispositivo mecánico como podría ser un motor de fluido. hf = Perdidas de energía por parte del sistema, debidas a fricción en los conductos, o perdidas menores debidas a la presencia de válvulas y conectores. El termino hf se define como la energía perdida por el sistema. Una componente de la perdida de energía se debe a la fricción en el fluido en movimiento. La fricción es proporcional a la cabeza de velocidad del flujo y al cociente de la longitud entre el diámetro de la corriente de flujo, para el caso de flujo en conductos y tubos. Lo anterior se expresa de manera matemática en la ecuación de Darcy. 𝐿 𝑣2 𝑕𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥 𝐷 2𝑔 Donde: hf = Perdidas de energía debidas a la fricción (adim) (N-m/N-m ó lb-pie/lb-pie) L = Longitud de la corriente del flujo (m ó ft) D = Diámetro del conducto (m ó ft) v = velocidad del flujo promedio (m/s ó ft/s) f = Factor de fricción (sin dimensiones) 6.3. Factor de Fricción. 6.3.1.Régimen Laminar. Cuando se tiene un flujo laminar, el fluido parece desplazarse en forma de varias capas, una sobre la otra. Debido a la viscosidad del fluido, se crea una tensión de corte entre las capas del fluido. Puesto que el flujo laminar es tan regular y ordenado, podemos derivar una relación entre la pérdida de energía y los parámetros medibles del sistema de flujo. Esta relación se conoce como ecuación de Hagen-Poiseuille. 32µ𝐿𝑣 𝑕𝑓 = 𝛾𝐷 2 3 Donde: el γ=peso especifico en N/m . Y si se igualan las dos relaciones para hL se puede despejar el valor del factor de fricción.

Y como ρ=γ/g y el número de Reynolds es iguala a vDρ/µ entonces nos queda:


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TERMOFLUIDOS UVI En resumen, la pérdida de energía debida a la fricción en un flujo laminar, se puede calcular a partir de la ecuación de Hagen-Poiseuille: 32µ𝐿𝑣 𝑕𝑓 = 𝛾𝐷 2 Ó a partir de la ecuación de Darcy 𝐿 𝑣2 𝑕𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥 𝐷 2𝑔 64

En la que 𝑓 = 𝑁

𝑅

Ejemplo 4 Determine la pérdida de energía si tenemos glicerina a 25 ºC fluyendo 30 m a través de un conducto de 150 mm de diámetro, con una velocidad promedio de 4 m/s.


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TERMOFLUIDOS UVI 6.3.2.Régimen Turbulento. Para el flujo turbulento de fluidos en conductos circulares resulta más conveniente usar la ecuación de Darcy para calcular las pérdidas de energía debido a la fricción. En el caso de flujos turbulentos, no se puede calcular el factor de fricción mediante un simple cálculo como se hizo para el flujo laminar, ya que el flujo turbulento no se conforma de movimientos predecibles. Por esta razón debemos confiar en los datos experimentales para determinar el valor de f.

Las pruebas han demostrado que el numero adimimensional f depende de otros dos números, también a dimensionales, el numero de Reynolds y la rugosidad relativa del conducto. Esta última es el cociente del diámetro D, entre la rugosidad promedio ε (épsilon) de la pared del conducto. Para conductos y tuberías disponibles comercialmente, el valor de diseño de la rugosidad ha sido determinado de la siguiente manera.

Material Vidrio, Plástico Cobre, Latón, Plomo (Tubería) Hierro fundido sin revestir Hierro fundido Revestido asfalto Acero comercial o soldado std Hierro forjado Acero remachado Concreto

Rugosidad ε (m) Conductos Lisos 1.5x10-6 2.4 x10-4 1.2 x10-4 4.6 x10-4 4.6 x10-4 1.8 x10-3 1.2 x10-3

Rugosidad ε (ft) Conductos Lisos 5 x10-6 8 x10-4 4 x10-4 1.5 x10-4 1.5 x10-4 6 x10-3 4 x10-3

Uno de los métodos más extensamente empleados para evaluar el factor de fricción, es hacer uso del diagrama de Moody, que muestra el factor de fricción graficado contra el número de Reynolds con una serie de curvas paramétricas relacionadas con la rugosidad relativa D/ε.


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TERMOFLUIDOS UVI 6.4. Diagrama de Moody. El diagrama de Moody se utiliza como una ayuda para determinar el valor del factor de fricción, para un flujo turbulento. Para esto deben conocerse los valores del número de Reynolds y de la rugosidad relativa. Por consiguiente, los datos básicos requeridos son: el diámetro interior y el material del conducto, la velocidad del flujo, el tipo de fluido y su temperatura, con los cuales se pueden encontrar la viscosidad. Ejemplo 5. Determine las perdidas por fricción, en conducto de hierro forjado no recubierto cuyo diámetro interior es de 1 pl. y tiene una longitud de 12 m a través de él, esta fluyendo agua a 160 ºF y 30 ft/s. Primero se determina qué tipo de flujo es con el número de Reynolds 1 𝑓𝑡 30 𝑓𝑡/𝑠 1 𝑝𝑙𝑔 𝑣𝐷 12 𝑝𝑙𝑔 𝑁𝑅 = = = 5.7𝑥105 𝜐 4.38𝑥10−6 𝑓𝑡 2 /𝑠 Sabiendo que el flujo es turbulento se calcula la rugosidad relativa 𝜀 8𝑥10−4 𝑓𝑡 = = 0.0096 𝐷 0.0833 𝑓𝑡 Ahora localiza sobre la abscisa del diagrama de Moody el número de Reynolds 𝜀

Proyecte una línea vertical hasta encontrar la curva correspondiente a 𝐷 Proyecte horizontalmente una línea hacia la izquierda y lea el valor f=0.038 𝐿 𝑣2 39.37 𝑓𝑡 30 𝑓𝑡/𝑠 2 𝑕𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥 = 0.038 𝑥 𝑥 = 250.99 𝑓𝑡 ó 76.5 𝑚 𝐷 2𝑔 0.0833𝑓𝑡 2 (32.2 𝑓𝑡/𝑠 2 )

Ejemplo 6. Determine las perdidas por fricción, si esta fluyendo alcohol etílico a 5.3 m/s en un conducto de acero std., con una longitud de 49.2126 ft y un diámetro de 1 ½ pl.

𝑁𝑅 =

𝑣𝐷𝜌 5.3 𝑚/𝑠 0.0381 𝑚 787 𝐾𝑔/𝑚3 = = 1.59𝑥105 𝜇 1.0𝑥10−3 𝑃𝑎 − 𝑠

Sabiendo que el flujo es turbulento se calcula la rugosidad relativa 𝜀 4.6𝑥10−5 𝑚 = = 0.00055 𝐷 0.0831 𝑚 Con el diagrama encontramos f=0.021 y después calculamos las perdidas.

𝑕𝑓 = 𝑓𝑥

𝐿 𝑣2 15 𝑚 5.3 𝑚/𝑠 2 𝑥 = 0.021 𝑥 𝑥 = 11.83𝑚 ó 38.8 𝑓𝑡 𝐷 2𝑔 0.0381 𝑚 2 (9.81 𝑚/𝑠 2 )


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TERMOFLUIDOS UVI Ejemplo 7. En una planta de procesamiento químico, debe trasmitirse benceno a 50 ºC desde el punto A hasta el punto B este último con una presión de 550 KPa. El punto A esta situado 30 cm después de la bomba y el punto B esta a 21 m por encima del punto A, los puntos están conectados por 240 m de tubería de plástico cuyo diámetro es de 50 mm. Si la rapidez de flujo de volumen es de 110 lts/min. Calcule la presión requerida en la salida de la bomba. 𝑃1 𝑣12 𝑃2 𝑣22 + 𝑧1 + + 𝑕𝐴 − 𝑕𝑅 − 𝑕𝑓 = + 𝑧2 + 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔 2 2 𝑣2 − 𝑣1 𝑃1 = 𝑃2 + 𝛾 𝑧2 − 𝑧1 + + 𝑕𝑓 2𝑔 Tomando en cuenta que Z2-Z1 = 21 y las velocidades son iguales puesto que van por el mismo tramo de tubería y no hay cambio de diámetro. Y para calcular el valor de hL la pérdida de energía debido a la fricción, entre los puntos A y B, es necesario determinar qué tipo de flujo es mediante el número de Reynolds. 𝑣𝐷𝜌 𝑁𝑅 = 𝜇 Datos: D = 50 mm = 0.05 m L = 240 m PB = 550 KPa Z2-Z1 = 21 m 3 ρ = (sg) (ρH2O) = (0.89) (1000 kg/m )= 860 kg/m3 µ = 4.2x10-4 Pa-s Q = 110 lts/min = 0.00183 m3/s 𝑄 0.00183 𝑚3 /𝑠 𝑣= = = 0.9337 𝑚/𝑠 𝜋(0.05𝑚)2 𝐴 4 𝑁𝑅 =

𝑣𝐷𝜌 0.9337 𝑚/𝑠 0.05 𝑚 860 𝐾𝑔/𝑚3 = = 9.5𝑥104 𝜇 4.2𝑥10−4 𝑃𝑎 − 𝑠

Como el NR>4000 el tipo de flujo es turbulento y entonces el valor de hL se calcula con la ecuación de Darcy y el diagrama de Moody. 𝐿 𝑣2 𝑕𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥 𝐷 2𝑔 Para encontrar el factor de fricción f se necesita el valor de la rugosidad relativa D/ε. Pero como el conducto es liso se toma la curva de conductos lisos. Y se estima el valor del factor de fricción f = 0.018. 𝐿 𝑣2 240 𝑚 0.9337 2 𝑕𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥 = 0.018 𝑥 𝑥 = 3.83 𝑚 𝐷 2𝑔 0.05 𝑚 2 (9.81 𝑚/𝑠 2 ) 𝑣22 − 𝑣12 + 𝑕𝐿 2𝑔 21 𝑚 + 3.83 𝑚 = 759 𝐾𝑃𝑎

𝑃1 = 𝑃2 + 𝛾 𝑧2 − 𝑧1 + 𝑃1 = 550 𝐾𝑃𝑎 + 8.44 𝐾𝑁/𝑚3


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TERMOFLUIDOS UVI 6.5. Potencia requerida por una Bomba, Motor Hidráulico o Turbina. La potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. En la mecánica de fluidos se modifica este enunciado y considerar que la potencia es la rapidez con que la energía es transferida. Las unidades de potencia en el SI es el Watt (W), que es equivalente a 1 N-m/s ó 1 J/s. La potencia se calcula multiplicando la energía transferida por newton de fluido por la rapidez de flujo de peso. Es decir:

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑕𝐴 𝑊 Pero como W=γQ entonces podemos escribir también

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑕𝐴 . 𝛾𝑄 Donde: Pot= potencia añadida al sistema en KW ó HP γ = peso especifico del fluido en N/m3 Q = rapidez de flujo de volumen en m3/s

Factores de Conversión. 1 𝐻𝑃 = 550 𝑙𝑏 𝑓𝑡/𝑠 1 𝑙𝑏 𝑓𝑡/𝑠 1.356 𝑊 1 𝐻𝑃 = 745.7 𝑊

Ejemplo 8 En la figura se muestra una parte de un esquema de protección contra incendios, en el cual una bomba saca agua a 60 ºF de un recipiente y la transporta al punto B con una rapidez de flujo de 1,500 gal/min a. Calcule la altura h, requerida para el nivel del agua en el tanque, con el fin de mantener una presión en el punto A de 5 PSI. b. Suponiendo que la presión en A es de 5 PSI, calcule la potencia trasmitida por la bomba al agua con el fin de mantener la presión en el punto B a 85 PSI. Solución: D1 = 10 plg y D2= 8 plg L1= 45 ft y L2 = 2,600 ft PA = 5 PSI y PB = 85 PSI Z2-Z1 = 25 ft Q = 1,500 gal/min ρ = 1000 kg/m3 ó 1.94 slugs/ft3 γ = 9.81 KN/m3 ó 62.4 Lb/ft3 µ = 1.15x10-3 Pa-s ó 2.35x10-5 lb.s/ft2 ν = 1.15x10-6 m2/s ó 1.21x10-5 ft2/s a. Determinar la altura h para mantener una presión en A de 5 PSI

𝑃 = 𝛾𝑕


∴

𝑃 720 𝑙𝑏/𝑓𝑡 2 𝑕= = = 11.54 𝑓𝑡 𝛾 62.4 𝑙𝑏/𝑓𝑡 3

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TERMOFLUIDOS UVI b. Calcular la potencia agregada por la bomba al fluido. 𝑃1 𝑣12 𝑃2 𝑣22 + 𝑧1 + + 𝑕𝐴 − 𝑕𝑅 − 𝑕𝑓 = + 𝑧2 + 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔

𝑕𝐴 =

𝑃2 − 𝑃1 𝑣22 − 𝑣12 + 𝑧2 − 𝑧1 + + 𝑕𝑓 𝛾 2𝑔

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑕𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑕𝑓𝑇 = 𝑕𝑓𝐴 +𝑕𝑓𝐵 𝐿 𝑣2 𝑥 𝐷 2𝑔 𝑄 3.34 𝑓𝑡 3 /𝑠 𝑣𝐴 = = 𝜋(0.833 𝑓𝑡)2 = 6.12 𝑓𝑡/𝑠 𝐴 𝑕𝑓𝐴 = 𝑓𝑥

4

𝑁𝑅𝐴 =

𝑣𝐷𝜌 6.12 𝑓𝑡/𝑠 0.833 𝑓𝑡 1.94 𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠/𝑓𝑡 3 = = 4.2𝑥105 𝜇 2.35x10−5 lb s/ft 2 𝜀 1.5𝑥10−4 𝑓𝑡 = = 0.00018 𝐷𝐴 0.833 𝑓𝑡

Con el numero de Reynolds y la rugosidad relativa se obtuvo un valor de f=0.022

𝑕𝑓𝐴 = 𝑓𝑥

𝐿 𝑣2 45 𝑓𝑡 6.12 𝑓𝑡/𝑠 2 𝑥 = 0.022 𝑥 𝑥 𝐷 2𝑔 0.833 𝑓𝑡 2 32.2 𝑓𝑡/𝑠 2

𝑕𝑓𝐵 = 𝑓𝑥

𝑣𝐵 =

= 0.6912 𝑓𝑡

𝐿 𝑣2 𝑥 𝐷 2𝑔

𝑄 3.34 𝑓𝑡 3 /𝑠 = = 9.55 𝑓𝑡/𝑠 𝐴 𝜋(0.667 𝑓𝑡)2 4

𝑁𝑅𝐵 =

𝑣𝐷𝜌 9.55 𝑓𝑡/𝑠 0.667 𝑓𝑡 1.94 𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠/𝑓𝑡 3 = = 5.2𝑥105 𝜇 2.35x10−5 lb s/ft 2 𝜀 1.5𝑥10−4 𝑓𝑡 = = 0.00022 𝐷𝐵 0.667 𝑓𝑡

Con el numero de Reynolds y la rugosidad relativa se obtuvo un valor de f=0.0218

𝑕𝑓𝐵 = 𝑓𝑥

𝐿 𝑣2 2,600 𝑓𝑡 9.55 𝑓𝑡/𝑠 2 𝑥 = 0.0218 𝑥 𝑥 𝐷 2𝑔 0.667 𝑓𝑡 2 32.2 𝑓𝑡/𝑠 2

= 120 𝑓𝑡

𝑕𝑓𝑇 = 𝑕𝑓𝐴 +𝑕𝑓𝐵 = 0.6912 𝑓𝑡 + 120 𝑓𝑡 = 120.7 𝑓𝑡 Ing. Christian Reyes Córdova

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TERMOFLUIDOS UVI 𝑃2 − 𝑃1 𝑣22 − 𝑣12 𝑕𝐴 = + 𝑧2 − 𝑧1 + + 𝑕𝑓 𝛾 2𝑔

𝑕𝐴 =

12,240 − 720 𝑙𝑏/𝑓𝑡 2 + 25 𝑓𝑡 + 62.4 𝑙𝑏/𝑓𝑡 3

9.55 𝑓𝑡/𝑠 2 − 6.12 𝑓𝑡/𝑠 2 (32.2 𝑓𝑡/𝑠 2 )

2

+ 120.7 𝑓𝑡

𝑕𝐴 = 331.15 𝑓𝑡 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑕𝐴 . 𝛾𝑄 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 331.15 𝑓𝑡

62.4 𝑙𝑏/𝑓𝑡 3 3.34 𝑓𝑡 3 /𝑠 = 69,016 𝑙𝑏 𝑓𝑡/𝑠

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 69,016 𝑙𝑏 𝑓𝑡/𝑠

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 93,587 𝑊


1.356 𝑊 = 93.6 𝐾𝑊 𝑓𝑡 1 𝑙𝑏 𝑠

1 𝐻𝑃 = 125.5 𝐻𝑃 ≈ 126 𝐻𝑃 ó 130 𝐻𝑃 745.7 𝑊

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TERMOFLUIDOS UVI Ejemplo 9 Determine, que altura de liquido es la necesaria en la represa, para que un sistema de generación de energía produzca una potencia de 20 HP, cuando el aceite de ricino con una gravedad especifica de 0.96, fluye sobre un motor hidráulico, con una rapidez de flujo de masa igual a 4.3 slugs/s. y la presión a la salida es de 3 PSI. Considere las pérdidas por fricción de todo el sistema.

h=?

D=8 plg

A L= 15 ft

Tubería de hierro forjado

L= 984.25 plg

985

D=6 plg

ft

M


L = 5 ft B

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