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FLUIDOS COMPRESIBLES E INCOMPRESIBLES En mecánica de fluidos se considera típicamente que los fluidos encajan dentro de dos categorías que en general requieren un tratamiento diferente: los fluidos compresibles y los fluidos incompresibles. Que un tipo de fluido pueda ser considerado compresible o incompresible no depende sólo de su naturaleza o estructura interna sino también de las condiciones mecánicas sobre el mismo. Así a temperaturas y presiones ordinarias los líquidos pueden pueden ser consi consider derado ados s sin proble problemas mas como como fluido fluidos s incom incompre presib sibles les aunque bajo condiciones e!tremas de presión muestran una compresibilidad estric estrictam tament ente e difere diferente nte de cero. cero. En cambio cambio los gases gases debido debido a su baja baja densidad densidad a"n a presiones presiones moderadas moderadas pueden pueden comporta comportarse rse como como fluidos fluidos compre compresib sibles les aunque aunque en cierta ciertas s aplica aplicacio ciones nes pueden pueden ser tratad tratados os con suficientes apro!imación como fluidos incompresibles. #or estas razones técnicamente más que $ablar de fluidos compresibles e incompresibles se prefiere $ablar de los modelos de flujo f lujo adecuados para describir un fluido en unas determinadas condiciones de trabajo y por eso más propiamente se $abla de flujo compresible y flujo incompresible.

Flujo compresible %odos los fluidos son compresibles incluyendo los líquidos. &uando estos cambios de 'olumen son demasiado grandes se opta por considerar el flujo como compresible (que muestran una 'ariación significati'a de la densidad como como result resultado ado de fluir) fluir) esto esto sucede sucede cuando cuando la 'e 'eloc locida idad d del flujo flujo es cerc ercano ano a la 'eloc locidad idad del sonido nido.. Esto Estos s cambi ambios os sue uellen suced uceder er principalmente en los gases ya que para alcanzar estas 'elocidades de flujo el líquidos se precisa de presiones del orden de *+++ atmósferas en cambio un gas gas sólo sólo prec precis isa a un una a rela relaci ción ón de pres presio ione nes s de ,:* ,:* para para alca alcanz nzar ar 'elocidad 'elocidades es sónicas. sónicas. -a compresi compresibilid bilidad ad de un flujo es básicament básicamente e una medi me dida da en el camb cambio io de la de dens nsid idad ad.. -os -os gase gases s son son en ge gene nera rall mu muy y compr ompres esib ible les s en cam cambio bio la mayo ayoría ría de los los líqui íquido dos s tien ienen una compresibilidad muy baja. #or ejemplo una presión de ++ /#a pro'oca un cambio cambio de densid densidad ad en el agua agua a temper temperatu atura ra ambien ambiente te de solame solamente nte +.+,01 en cambio esta misma presión aplicada al aire pro'oca un cambio de de dens nsid idad ad de , ,+1 +1.. #or #or esto esto norm normal alme ment nte e al estu estudi dio o de los los flujo flujos s compresibles se le conoce como dinámica de gases siendo esta una nue'a rama de la mecánica de fluidos f luidos la cual describe estos flujos. En un flujo usualmente $ay cambios en la presión asociados con cambios en la 'elocidad. En general estos cambios de presión inducirán a cambios de de dens nsid idad ad los los cual cuales es infl influy uyen en en el fluj flujo o si esto estos s camb cambio ios s son son import important antes es los cambio cambios s de temper temperatu atura ra pre prese senta ntados dos son apreci apreciabl ables. es. Aunque los cambios de densidad en un flujo pueden ser muy importantes $ay una gran cantidad de situaciones de importancia práctica en los que estos cambios son despreciables. El fluj flujo o de un flui fluido do compr ompres esib ible le se rige ige por por la prim rimera era ley de la term termod odin inám ámic ica a en los los bala balanc nces es de en ener ergí gía a y con con la segu segund nda a ley ley de la termodinámica que relaciona la transferencia de calor y la irre'ersibilidad

con la entropía. El flujo es afectado por efectos cinéticos y dinámicos descritos por las leyes de 2e3ton en un marco de referencia inercial 4aquel donde las leyes de 2e3ton son aplicables5. Además el flujo cumple con los requerimientos de conser'ación de masa. Es sabido que muc$as propiedades tales como la 'elocidad del fluido en un tubo no son uniformes a lo largo de la corriente. Clasificación -os flujos compresibles pueden ser clasificados de 'arias maneras la más com"n usa el n"mero de 6ac$ (6a) como parámetro para clasificarlo.

7onde 8 es la 'elocidad del flujo y a es la 'elocidad del sonido en el fluido. •

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Prc!icamen!e incompresible: 6a 9 +. en cualquier parte del flujo. -as 'ariaciones de densidad debidas al cambio de presión pueden ser despreciadas. El gas es compresible pero la densidad puede ser considerada constante. Flujo subsónico: 6a ; +. en alguna parte del flujo pero no e!cede * en ninguna parte. 2o $ay ondas de c$oque en el flujo. Flujo !ransónico: +.< = 6a = *.,. >ay ondas de c$oque que conducen a un rápido incremento de la fricción y éstas separan regiones subsónicas de $ipersónicas dentro del flujo. 7ebido a que normalmente no se pueden distinguir las partes 'iscosas y no 'iscosas este flujo es difícil de analizar. Flujo supersónico: *., 9 6a = . 2ormalmente $ay ondas de c$oque pero ya no $ay regiones subsónicas. El análisis de este flujo es menos complicado. Flujo "ipersónico: 6a ; . -os flujos a 'elocidades muy grandes causan un calentamiento considerablemente grande en las capas cercanas a la frontera del flujo causando disociación de moléculas y otros efectos químicos

Flujo incompresible De #i$ipe%ia& la enciclope%ia libre ?n flujo se clasifica en compresible e incompresible dependiendo del ni'el de 'ariación de la densidad del fluido durante ese flujo. -a incompresibilidad es una apro!imación y se dice que el flujo es incompresible si la densidad permanece apro!imadamente constante a lo largo de todo el flujo. #or lo tanto el 'olumen de todas las porciones del fluido permanece inalterado sobre el curso de su mo'imiento cuando el flujo o el fluido es incompresible. En esencia las densidades de los líquidos son constantes y así el flujo de

ellos es típicamente incompresible. #or lo tanto se suele decir que los líquidos son sustancias incompresibles. Ejemplo: una presión de ,*+ atm $ace que la densidad del agua liquida a * atm cambie en sólo * por ciento. &uando se analizan flujos de gas a 'elocidades altas la 'elocidad del flujo a menudo se e!presa en términos del n"mero adimensional de 6ac$ que se define como

En donde c es la 'elocidad del sonido cuyo 'alor es de 0@ ms en el aire a temperatura ambiente al ni'el del mar. Be dice que un flujo es sónico cuando 6aC* subsónico cuando 6a9* supersónico cuando 6a;* e $ipersónico cuando 6a;;*. -os flujos de líquidos son incompresibles $asta un ni'el alto de e!actitud pero el ni'el de 'ariación de la densidad en los flujos de gases y el ni'el consecuente de apro!imación que se $ace cuando se modelan estos flujos como incompresibles depende del n"mero de 6ac$. &on frecuencia los flujos de gases se pueden apro!imar como incompresibles si los cambios en al densidad se encuentran por debajo de alrededor de *++ ms. Así el flujo de un gas no es necesariamente compresible. La ecuación %e Bernoulli ' un cri!erio para el flujo incompresible ?na de las ecuaciones más utilizadas en mecánica de fluidos es la ecuación de Dernoulli:

(+) Be demostrara que en el limite de n"meros de 6ac$ muy pequeos la ecuación isoenergética e isoentrópica para la presión se 'uel'e idéntica a la ecuación Dernoulli. &reando un criterio para decidir si el flujo de un gas se puede tratar como incompresible. &onsiderando un flujo estacionario sin esfuerzo cortante trabajo en el eje o transferencia de calor. A estas condiciones la presión de estancamiento es constante. Be supondrá que los cambios en ele'ación son despreciables. Bi el fluido es incompresible la presión en cualquier lugar se puede calcular a partir de la ecuación de Dernoulli en la forma de presión (Flujo incompresible):

(*) Bi el fluido es compresible y un gas ideal las presiones estática y de estancamiento están relacionadas por medio de (Flujo compresible):

(,)

Bi la consideración se restringe a n"meros de 6ac$ menores que * se puede e!pandir el término del n"mero de 6ac$ es una serie infinita empleando el teorema binomial de 2e3ton:

() 7e la ecuación:

(0) Be tiene:

() Bi el n"mero de 6ac$ es pequeo entonces 6,0 es pequeo comparado con * y se puede escribir que:

(@) En consecuencia la ecuación Dernoulli es una apro!imación a la relación de presión del flujo isoenergetico e isoentropico para n"meros de 6ac$ pequeos. -o preciso de esta apro!imación depende de lo pequeo del n"mero de 6ac$. -a ecuación () muestra que a bajos n"meros de 6ac$ el error es proporcional a 6,0. si se deseara limitar el error al emplear la ecuación Dernoulli para el calculo de la presión a no más del , por ciento entonces:

2o $ay nada especial en el error del , por ciento. #ara estimaciones gruesas un error del  por ciento podría ser aceptable en cuyo caso el n"mero de 6ac$ debe ser menor que +.0. El criterio más ampliamente utilizado para el límite entre el flujo compresible y el incompresible coloca el umbral del n"mero de 6ac$ en +.: En general se puede suponer que un flujo con M  9 +. sea incompresible. La ecuación %e Na(ier)S!o*es para flujo iso!+rmico incompresible #or definición el tensor de esfuerzo es linealmente proporcional al tensor de razón de formación. #ara flujo incompresible (G C constante) también se supone flujo apro!imadamente isotérmico sabiendo que los cambios locales en temperatura son pequeos o ine!istentesH esto elimina la necesidad de una ecuación diferencial de conser'ación de energía. ?na consecuencia de

la "ltima suposición es que las propiedades del fluido como 'iscosidad dinámica I y la 'iscosidad cinemática ' también son constantes. &on dic$as suposiciones se puede demostrar que el tensor de esfuerzo 'iscoso se reduce a: %ensor de esfuerzo 'iscoso para un fluido ne3toniano incompresible con propiedades constantes: (J) T ij  C ,IKij  donde Kij  es el tensor de razón de deformación. -a ecuación (J) muestra que el esfuerzo es linealmente proporcional a la deformación. En coordenadas cartesianas se mencionan las nue'e componentes del tensor de esfuerzo 'iscoso seis de las cuales son independientes debido a su simetría: (<)

En coordenadas cartesianas el tensor de esfuerzo de la ecuación de fluidos en mo'imiento se con'ierte por lo tanto en: (L)

A$ora se sustituye la ecuación (<) en las tres componentes cartesianas de la ecuación de &auc$y. &onsidere primero la componente ! se con'ierte en: (*+)

7ado que la presión consiste sólo de un esfuerzo normal "nicamente aporta un término a la ecuación (*+). Bin embargo ya que el tensor de esfuerzo 'iscoso consiste tanto de esfuerzos normal como de corte aporta tres términos. %ambién en tanto las componentes de 'elocidad sean funciones sua'es de ! y y z el orden de diferenciación es irrele'ante. #ar ejemplo la primera parte del "ltimo término en la ecuación (*+) se puede reescribir como:

7espués de cierto reordenamiento inteligente de los términos 'iscosos en la ecuación (*+):

El término entre paréntesis es cero debido a la ecuación de continuidad para flujo incompresible.

%ambién se reconocen los "ltimos tres términos como el -aplaciano de la componente de 'elocidad u en coordenadas cartesianas. #or lo tanto la componente ! de la ecuación de cantidad de mo'imiento se escribe como:

(**) 7e manera similar se escriben las componentes y y z de la ecuación de cantidad de mo'imiento como:

(*,) M

(*) respecti'amente. #or "ltimo se combinan las tres componentes en una ecuación 'ectorialH el resultado es la ecuación de 2a'ier5Bto/es para flujo incompresible con 'iscosidad constante. Ecuación de 2a'ier5Bto/es:

(*0)

Aunque los componentes de la ecuación 2a'ier5sto/es se dedujeron en coordenadas cartesianas la forma 'ectorial de la ecuación es 'álida en cualquier sistema coordenado ortogonal. Esta famosa ecuación recibe su nombre en $onor al ingeniero francés -ouis 6arie >enri 2a'ier (*J<5*<@) y al matemático inglés Bir Neorge Nabriel Bto/es (*<*L5*L+) quienes desarrollaron los términos 'iscosos aunque de manera independiente. -a ecuación de 2a'ier5Bto/es es la base de la mecánica de fluidos. #uede parecer suficientemente inocua pero es una ecuación diferencial parcial de segundo orden no5lineal e inestable. Bi fuera posible resol'er esta ecuación para flujos de cualquier geometría seria más sencillo. #or desgracia las soluciones analíticas no se obtienen e!cepto para campos de flujo muy simples. -a ecuación tiene cuatro incógnitas (tres componentes de 'elocidad y la presión) aunque sólo representa tres ecuaciones (tres componentes puesto que es una ecuación 'ectorial). Ob'io es necesaria otra ecuación para solucionar el problema. -a cuarta ecuación es la ecuación de continuidad para flujo incompresible:

Antes de intentar resol'er ese conjunto de ecuaciones diferenciales es necesario elegir un sistema coordenado y e!pandir las ecuaciones en dic$o sistema coordenado.

Ecuaciones %e con!inui%a% ' %e Na(ier)S!o$es en coor%ena%as car!esianas -a ecuación de continuidad y la ecuación de 2a'ier5Bto/es se e!panden en coordenadas cartesianas (! y z) y (u ' 3): Ecuación de continuidad de flujo incompresible:

&omponente ! de la ecuación de 2a'ier5Bto/es de flujo incompresible:

&omponente y de la ecuación de 2a'ier5Bto/es de flujo incompresible:

&omponente P de la ecuación de 2a'ier5Bto/es de flujo incompresible:

Ecuaciones %e con!inui%a% ' %e Na(ier)S!o$es en coor%ena%as cil,n%ricas -a ecuación de continuidad y la ecuación de 2a'ier5Bto/es se e!panden en coordenadas cilíndricas (r  z) y (ur u uz): Ecuación de continuidad de flujo incompresible:

&omponente r de la ecuación de 2a'ier5Bto/es de flujo incompresible:

&omponente  de la ecuación de 2a'ier5Bto/es de flujo incompresible:

&omponente P de la ecuación de 2a'ier5Bto/es de flujo incompresible:

-os términos adicionales en ambos lados de las componentes r y  de la ecuación de 2a'ier5Bto/es surgen debido a la naturaleza especial de las coordenadas cilíndricas. 7e esta manera conforme se mue'e en la dirección  el 'ector unitario er  también cambia de direcciónH por lo tanto las componentes r y  se acoplan. A continuación citaremos las seis componentes independientes del tensor de esfuerzo 'iscoso en coordenadas cilíndricas:

-a aplicación de las ecuaciones diferenciales de mo'imiento tanto en coordenadas cartesianas como en cilíndricas. E!isten dos tipos de problemas para los que son "tiles las ecuaciones diferenciales (de continuidad y de 2a'ier5Bto/es):

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&álculo de campo de presión para un campo de 'elocidad conocido. &álculo de campos de 'elocidad y presión para un flujo de geometría conocida y condiciones de frontera conocidas.

#or simplicidad sólo se considera flujo incompresible cuando se eliminan el cálculo de G como una 'ariable. Además la forma de la ecuación de 2a'ier5 Bto/es sólo es 'álida para fluidos ne3tonianos con propiedades constantes ('iscosidad conducti'idad térmica entre otras). #ara finalizar se suponen 'ariaciones de temperatura despreciables de modo que % no es una 'ariable. Quedan cuatro 'ariables o incógnitas (presión más tres componentes de 'elocidad) y se tienen cuatro ecuaciones diferenciales.