UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y METALURGIA
ECONOMIA MINERA Y VALUACION DE MINAS UD2 INGº ARNALDO RUIZ CASTRO AGOSTO DEL 2013
MATEMATICA FINANCIERA Es una rama de la matemática aplicada que estudia el valor cronológico del dinero, es decir el valor que toma el dinero con respecto al tiempo, al combinar elementos fundamentales que lo condicionan como son: capital, tasa de interés y el tiempo, para conseguir un rendimiento o interés económico, al brindarle herramientas y métodos que permitan tomar la decisión más correcta al momento de realizar una inversión.
TASA DE INTERES La tasa de interés es la valoración del costo que implica la posesión de dinero producto de un crédito. Rédito que causa una operación, en cierto plazo, y que se expresa porcentualmente respecto al capital que lo produce. Es el precio en porcentaje que se paga por el uso de fondos prestables”. Semántica el término interés queda establecido como: “El vocablo “interés” proviene del latín “inter esse” que significa “estar entre”. Tratamos de explicar la idea: si tenemos un capital inicial de 100 unidades monetarias (um) y al cabo de un tiempo dado tenemos 120 um, lo que esta en medio entre ambas cifras, es la diferencia (20 um) y corresponde precisamente a los intereses”.
INTERES Desde un punto de vista técnico, el interés es el costo del dinero y su cálculo, se fundamenta en: • El capital inicial prestado o ahorrado, que financieramente se denomina valor presente (P). • El periodo o fracción de tiempo (t). • La tasa de interés, que es un porcentaje (i) El costo del dinero puede establecerse por día, por semana, por mes, etc., siendo lo más usual que el dinero se preste a una tasa de interés anual.
REGIMENES DE INTERES Bajo las consideraciones de efectivización entre los entes naturales o jurídicos que lo aplican, los intereses se establecen bajo dos regímenes: interés simple e interés compuesto. Interés Simple. En la modalidad de interés simple, el interés de cada periodo es calculado siempre en función del capital o monto inicial: De acuerdo a lo establecido el interés simple se puede formular del modo siguiente: Interés Simple (I) = Capital Inicial (P) x Tasa de Interés (i) x Tiempo (t)
REGIMENES DE INTERES El monto final, o financieramente denominado valor futuro (F), se calcula mediante la siguiente fórmula: F = P + I = P (1 +it)
Ejemplo: Se pide un préstamo bancario de US $ 1,000.00, con una tasa de interés de 60 % nominal anual, esto es 15 % trimestral. Calcular el interés simple que debe generarse durante un año y los montos finales que se generarían trimestralmente. El interés generado durante un año es de: I = P x i x t = 1,000.00 x 0.60 x 1 = US $ 600.00 El monto final o valor futuro será de: F = P (1 + it) = 1,000.00 (1 + 0.60 x 1) = US $ 1,600.00
REGIMENES DE INTERES Montos trimestrales con Interés simple
TRIMESTRE MONTO INICIAL 1 1,000.00 2 1,150.00 3 1,300.00 4 1,450.00
INTERES 150.00 150.00 150.00 150.00
MONTO FINAL 1,150.00 1,300.00 1,450.00 1,600.00
Como podemos apreciar en el cuadro expuesto, los intereses generados trimestralmente son siempre los mismos.
REGIMENES DE INTERES Interés Compuesto. En la actualidad, el uso del interés simple se ha restringido a algunas operaciones comerciales, siendo el interés compuesto el de mayor utilización para actividades económicas y financieras. El proceso de capitalización denominado interés compuesto, establece el criterio del pago sobre el capital inicial y sobre el interés establecido. Por lo general se calcula el interés compuesto sobre una tasa anual, la cual puede ser capitalizada en forma continua, diaria, mensual, bimestral, trimestral o semestral. Por lo establecido, el monto final o futuro de una capital invertido, ahorrado o prestado, se calcula utilizando la siguiente fórmula matemática: F = P (1 + i)n
REGIMENES DE INTERES Donde: F = Monto Final o Valor Futuro P = Monto inicial o Valor Presente i = Tasa de interes. n = Número de períodos. Ejemplo: Se pide un préstamo bancario de US $ 1,000.00, con una tasa de interés compuesto anual de 60 % nominal, esto es 15 % trimestral. Calcular el monto final que debe generarse durante un año y los montos finales que se generarían trimestralmente. Aplicando la fórmula general tendremos el siguiente resultado: F = P (1 + i)n = 1,000.00 (1 + 0.60)1 F = US $ 1,600.00
REGIMENES DE INTERES Bajo las consideraciones de la aplicación de un interés compuesto de 60/4 = 15 % trimestral, los resultados que se obtienen se muestran el la Tabla. TRIMESTRE 1 2 3 4
MONTO INICIAL 1,000.00 1,150.00 1,322.50 1,520.88
INTERES 150.00 172.50 198.38 228.13
MONTO FINAL 1,150.00 1,322.50 1,520.88 1,749.01
En el siguiente Gráfico, observamos la diferencia que se predispone entre un monto final generado por la aplicación de un interés simple y un interés compuesto, bajo las consideraciones de un mismo monto inicial y una misma tasa de aplicación, lo cual estaría produciendo que para periodos de tiempo mayores existiría un incremento del interés compuesto que se obtiene.
REGIMENES DE INTERES INTERES SIMPLE VS INTERES COMPUESTO 1,800.00 1,700.00
MONTO (US $)
1,600.00 1,500.00 1,400.00 1,300.00 1,200.00 1,100.00 1,000.00 1
2
3
4
PERIODO DE TIEMPO Serie1
INTERES SIMPLE
INTERES COMPUESTO
TIPO DE TASA DE INTERES En el mercado financiero existe una gran variedad de tipo de intereses, que además dependen de los efectos de su aplicación. En el presente tratado, nos referimos a los tipos de tasa de interés de acuerdo a su aplicación en el mercado financiero en concordancia con las entidades que solicitan los préstamos (prestatarios).
TASA DE INTERES NOMINAL (in) Es la tasa de interés básica que se nombra o declara en una operación financiera. Por lo general el valor correspondiente a esta tasa lo determina el Banco Centra de cada país, para transacciones bancarias y comerciales; pero también, se puede establecer por contrata de los prestamistas y prestatarios. Esta tasa de interés por lo general se establece para un periodo anual y es propio de cada unidad monetaria. Por ejemplo en el país el Banco de la Nacional establece un promedio de 6 % anual para una cuenta de ahorros, mientras que esta misma entidad establece un 18 % anual para préstamos.
TASA DE INTERES PERIODICO (ip) Esta tasa se determina para diferentes fracciones de tiempo, generalmente periodos menores a un año, el cual es directamente proporcional al tiempo establecido. Por ejemplo, si la tasa de interés nominal anual es de 60 % su tasa de Interés periódica mensual, será de: 60/12 = 5 %. Por lo tanto podemos establecer que:
in i p x 100 m
TASA DE INTERES PERIODICO (ip) Donde: ip = Tasa de interés periódica, correspondiente al periodo del año. in = Tasa de interés nominal anual dividida entre 100. m = Número de periodos al año.
TASA DE INTERES EFECTIVA (ief) Es la tasa que utilizan las entidades bancarias y financieras, para la concretización de pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier tipo de gastos que la operación implique. Esta tasa de interés es la variación que sufre el interés periódico por la aplicación de un interés compuesto a los periodos de tiempo que se establecen durante un año, de aquí que su fórmula matemática, sea la siguiente: in m ief [(1 ) 1] x 100 m
TASA DE INTERES EFECTIVA (ief)
Donde: ief = Tasa de interés efectiva anual in = Tasa de interés nominal anual dividida entre 100. m = Número de veces al año que se acumulan intereses al capital (capitalización).
TASA DE INTERES EFECTIVA (ief)
Ejemplo: Determinar la tasa de Interés efectiva anual, de una tasa de interés nominal del 60 %, capitalizable mensualmente. ief = [(1 + in/m)m – 1) x 100] = [(1 + 0.60/12)12 – 1) x 100] ief = 79.59 %
TASA DE INTERES CONTINUA (ic) Este tipo de tasa de interés se genera cuando, el número de periodos, m, por año, es bastante grande. Por lo establecido deducimos que el radio de interés periódico, in/m, será muy pequeño. La formula para su cálculo es la siguiente. ic = limite [(1 + in/m)m – 1] m ic = limite [{(1 + in/m)m/in}in – 1] m ic = limite [em/inln(1+in/m)]in – 1 m ic = ein - 1
EJEMPLO DE TASA DE INTERES Ejemplo 2 – 004: ¿Qué tasa de interés efectiva es equivalente a las siguientes consideraciones? Una tasa de interés nominal de 8 % compuesto trimestralmente. ief = [(1 + 0.08/4)4 –1] x 100 = 8.243 % Una tasa de interés nominal de 8 % compuesto diariamente. ief = [(1 + 0.08/365)365 –1] x 100 = 8.328 % Una tasa de Interés nominal de 8 % compuesto continuo. ic = (e0.08 – 1) x 100 = 8.329 %
TASA DE INTERES REAL (ir) Una de las variables que influye sobre el poder adquisitivo del dinero con respecto al tiempo, es la inflación, la Tasa de Interés Real establece esta variable (inflación) para corregir los efectos causados sobre una tasa de interés efectiva, ya que esta última es la que más se aplica en las transacciones financieras; la influencia de la inflación queda determinada en la siguiente fórmula que determina la tasa de interés real: Ir = [(ief - )/(1 + )] x 100
TASA DE INTERES REAL (ir) Donde: Ir = Tasa de Interés Real anual. ief = Tasa de Interés efectiva anual dividida entre 100. = Tasa de Inflación anual dividida entre 100. La inflación puede condicionarse de dos maneras: Ex – post.- Es decir después de haberse producido el efecto inflacionario, el cual es utilizado para encontrar el costo real de una operación financiera, una vez efectuada la misma. Ex – ante.- Antes de que suceda el efecto inflacionario, como efecto para tomar decisiones, por lo cual la inflación será una variable estimada, con la consiguiente incertidumbre de su cumplimiento.
TASA DE INTERES REAL (ir) Ejemplo:
Calcular la tasa de interés real, producida una inflación de 2.35 % en el año 2006, bajo las consideraciones de una moneda nacional, considerando una tasa efectiva anual de 79.59 %: Ir = [(ief - )/(1 + )] x 100 = [(0.7959 – 0.0235)/(1 + 0.0235)] x 100
Ir = 75.47 %
DETERMINACION DE LA TASA DE INTERES NOMINAL Como se manifestó anteriormente la tasa de interés nominal queda fijada anualmente por el Banco de Crédito de cada país, al cual denominaremos tasa de interés bancario, el cual sirve como base para determinar las tasas que podrían aplicarse a cada tiempo de empresa económica o financiera, lográndose así establecer la denominada tasa mínima atractiva de retorno y la tasa interna de retorno, esta última bajo consideraciones económicas es la máxima tasa de interés que podría lograrse por efectos económicos financieros. De un modo gráfico sencillo esto podría apreciarse del modo siguiente:
GRAFICO DE TASAS DE INTERES
DETERMINACION DE LA TASA DE INTERES NOMINAL Del grafico inferimos que una TIB, produciría el mínimo interés que estará generándose por la inversión de un capital determinado, tomándose como inversión en este caso un ahorro establecido, si asumimos que en moneda extranjera (dólar), ahorramos US $ 100.00 y la tasa de interés bancario es de 2 % anual, el interés generado anual sería de US $ 2.00, que representaría la ganancia de una persona natural o jurídica.
DETERMINACION DE LA TASA DE INTERES NOMINAL Pero, bajo las circunstancias que esta misma persona natural o jurídica, desease invertir en una actividad empresarial se debe establecer una TMAR, que por las consideraciones de inversión están sujetas a riesgos de inversión, que inclusive podrían llegar a la pérdida del capital invertido. Los riesgos de una actividad empresarial tienen características de internas y externas; en el caso de consideraciones internas están los riesgos técnicos y económicos; en cuanto a los externos se encuentran los efectos de políticas económicas y sociales. Por ejemplo en el caso de la minería un riesgo técnico será la determinación de las reservas de mineral y en el caso de política económica encontramos la variación del precio de los metales en el mercado internacional, y como política social, encontramos por ejemplo el cambio de un mandato presidencial.
DETERMINACION DE LA TASA DE INTERES NOMINAL La cuantificación de los riesgos es típica de la actividad empresarial la cual se establece, por ejemplo en el caso de la minería el valor del riesgo estaría variando entre 50 % a 100 % más, en relación con otras actividades extractivas o industriales. Esto estaría generando una TMAR entre 27 % a un 36 % anual.
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES La toma de decisiones sobre acciones técnicas, económicas o financieras, conllevan al éxito o fracaso de una actividad empresarial, siendo la elección económica y/o financiera la de mayor preponderancia para determinar la(s) mejor(es) alternativa(s). El flujo económico y/o financiero de una actividad empresarial sobre diferentes periodos de tiempo; considerando el flujo como un efecto monetario de ingresos, egresos o combinación de ambos; para una aplicación específica; esta relacionada a seis (06) fórmulas básicas de interés compuesto, que a su vez se sustentan únicamente a cinco (05) variables, que en el presente tratado se detallarán con la siguiente nomenclaturas:
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES P = Valor Presente, referido a un valor de ingresos o costos monetarios. F = Valor futuro, referido a un valor de ingresos o costos monetarios. A = Valor anual, de una serie de “n” valores anuales iguales, realizados al final de cada periodo de interés, denominado también valor anual equivalente. i = Tasa de interés efectiva por periodo (utilizaremos esta nomenclatura por consideraciones de simplificación, ya que la nomenclatura del interés efectivos es ief). n = Número de periodos de interés. Gráficamente, estas variables pueden ser visualizadas del modo siguiente:
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES Cada problema de interés esta compuesto de cuatro (04) de estas variables, tres (03) de las cuales son valores dados y el cuarto debe ser determinado. Para facilitar la solución de problemas complejos, se recomienda utilizar la notación denominada estándar, que describe de un modo particular las consideraciones de configuración de las variables que intervienen en un problema específico. Por ejemplo: La notación estándar (F/P,i,n), significa que la variable incógnita (es decir que debe ser hallada) es F (valor futuro); conocidos: P (valor presente), i (tasa de interés efectiva) y n (periodo anual de tiempo). La notación estándar (A/F,i,n); significaría, determinar “A”, dados “F”, “i” y “n”.
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES Los seis (06) factores derivados para la solución de problemas de interés compuesto, son las siguientes: Factor de Pago Simple – Cantidad compuesta. Mediante este factor se calcula el valor futuro simple, teniendo como dato el valor presente simple. Un análisis de la generación del interés y del monto final en los diferentes periodos de tiempo, nos conduce a los siguientes resultados:
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES
Primer Periodo: Capital inicial P Interés Pi Capital Final P (1 + i) Segundo Periodo: Capital Inicial P (1 + i) Interés [P (1 + i)]i Capital Final P(1 + i)2.
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES
Tercer Periodo: Capital Inicial P(1 + i)2. Interés [P(1 + i)2]i Capital Final P(1 + i)3. Por analogía establecemos que en el periodo final (n), tendremos: Capital Inicial P(1 + i)n-1. Interés [P(1 + i)n-1]i Capital Final P(1 + i)n.
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES
Este último valor así determinado viene a representar al valor futuro, por lo tanto en forma genérica tendremos:
F P (1 i )
n
El factor (1 + i)n, es el denominado Factor de Pago Simple – Cantidad Compuesta, cuya denominación estándar es: (1 + i)n = (F/P, i, n)
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES
Ejemplo: Calcular el monto final, después de 7 años, de una inversión inicial de US $ 1,250.00 al 8 % efectivo compuesto anualmente. F = 1,250.00 (1 + 0.08)7 F = US $ 2,142.28
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES Factor de Pago Simple – Cantidad Presente. Mediante este factor se realiza la transformación de un valor futuro a un valor presente, utilizando la siguiente fórmula: 1 P F[ ] n (1 i )
El factor 1/(1 + i)n, es el denominado Factor de Pago Simple – Cantidad Compuesta, el mismo que tiene la siguiente denominación estándar: [1/(1 + i)n] = (P/F, i, n)
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES
Ejemplo: Si se necesita un monto final US $ 6,500.00 al final del año 5, que cantidad debe invertirse en la actualidad, con una tasa de interés efectiva de 7.5 % compuesto anual. P = 6,500.00 [1/(1 + 0.075)5] P = US $ 4,527.63.
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES Factor de Series Uniformes - Cantidad Compuesta. Este factor nos permite calcular el valor futuro, de una series de valores anuales equivalente. Analíticamente podemos establecer lo siguiente: Para: n = 1 F=A n= 2 F = A (1 + i) + A n =3 F = A (1 + i) (1 + i) + A (1 + i) + A F = A (1 + i)2 + A (1 +i) + A
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES De donde podemos establecer que para un periodo de tiempo “n”, tendremos la siguiente relación: F = A (1 + i)n-1 + A (1 + i)n-2 + ………….. + A (1 + i) + A F = A [(1 + i)n-1 + (1 + i)n-2 + ………….. + (1 + i) + 1] Si multiplicamos esta última ecuación por (1 + i), obtendremos: F (1 + i) = A [(1 + i)n + (1 + i)n-1 + ………….. + (1 + i)2 + (1 + i)] Sustrayendo estas dos últimas ecuaciones, tendremos: Fi = A [(1 + i)n – 1] (1 i ) n 1 F A[ ] i
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES
La relación [(1 + i)n – 1]/i, se denomina Factor de Series Uniformes - Cantidad Compuesta, y tiene la siguiente notación estándar: [(1 + i)n – 1]/i = (F/A, i, n).
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES
Ejemplo: Si se realizaron inversiones anuales de US $ 725.00, durante 12 años consecutivos, con un interés efectivo compuesto anual de 9 %, determinar la cantidad total generada al final de este periodo. F = [725.00 (1 + 0.09)12 – 1]/0.09 F = US $ 14,602.02
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES Factor de Depósito de Fondo de Amortización.
Este factor nos permitirá determinar el valor anual equivalente de un valor futuro establecido; la interrelación entre estas dos variables es la siguiente: El factor i/[(1 + i)n – 1], es el denominado Factor de Depósito de Fondo de Amortización, cuya notación estándar es: i/[(1 + i)n – 1] = (A/F, i, n)
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES
Ejemplo: Si se considera una tasa de interés efectiva anual de 6 %, que cantidad debe depositarse al final de cada año para redituar US $ 2,825.00 al final del año 7. A = 2,825.00 x 0.06/ [(1 + 0.06)7 – 1] A = US $ 336.56.
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES Factor de Series Uniformes – Valor Presente
Mediante este factor se realiza la transformación de valores anuales equivalentes a un valor presente, el mismo que puede ser deducido del modo siguiente: Si: F = A [(1 + i)n – 1]/i y F = P (1 + i)n. Luego: P (1 + i)n = A [(1 + i)n – 1]/i (1 i) n 1 PA i x (1 i) n
El valor [(1 + i)n – 1]/[i x (1 + i)n], es el denominado Factor de Series Uniformes – Valor Presente, y cuya denominación estándar es la siguiente: [(1 + i)n – 1]/[i x (1 + i)n] = (P/A, i, n)
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES Ejemplo: Una inversión producirá US $ 610.00, al final de cada año durante 15 años. Si la tasa de interés efectiva compuesta anual es de 10 %. ¿Cuál es el valor presente de esta inversión?. P = 610.00 [(1 + 0.10)15 – 1]/[0.10 x (1 + 0.10)15] P = US $ 4,639.71
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES Factor de Recuperación del Capital Mediante este factor se calcula el valor de las anualidades equivalentes, de un valor presente, para lo cual se utiliza la siguiente fórmula de matemática financiera: i x (1 i) n A P (1 i) n 1
Donde [i(1 + i)n]/[(1 + i)n – 1], es el denominado Factor de Recuperación del Capital, cuya formulación estándar es el siguiente: [i(1 + i)n]/[(1 + i)n – 1] = (A/P, i, n)
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES Ejemplo: Se ofertan US $ 3,500.00 para una inversión; determinar cuanto se conseguirá al final de cada año en un periodo de 6 años para la justificación de esta inversión a una tasa de interés efectiva anual de 12 %. A = 3,500.00 {[0.12(1 + 0.12)6]/[(1 + 0.12)6 – 1]}
A = US $ 851.29
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO EN TOMA DE DECISIONES NOMBRE, FORMULA: ESPECIFICA/ESTANDAR 1. Factor de Pago Simple - Cantidad compuesta
REPRESENTACION GRAFICA P = Dado
F=P(F/P,i,n)
n
(1 + i) = F/P, i, n 0
2. Factor de Pago Simple - Cantidad Presente
n
P=F(P/F,i,n)
F = Dado
n
1/(1 + i) = P/F, i, n 0
3. Factor de Series Uniformes-Cantidad Compuesta
n A = Dado
F=A(F/A,i,n)
n
[(1 + i) - 1]/i = F/A, i, n 0
4. Factor de Depósito de Fondos de Amortización
1
n
A = F(A/F,i,n)
F = Dado
n
i/[(1 + i) - 1] = A/F, i, n 0
5. Factor de Series Uniformes - Valor Presente n
P=A(P/A,i,n)
1
n
A = Dado
A
1
n
A = P(A/P,i,n)
A
1
n
n
[(1 + i) - 1]/i(1 + i) = P/A, i, n 0
6. Factor de Recuperación del Capital n
P=Dado
n
i(1 + i) /[(1 + i) - 1] = A/P, i, n 0
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES La aplicación de las fórmulas antes descritas, tienen la finalidad de tomar decisiones técnico – financieras, ya que establecido el aspecto técnico de características generales o específicas, se aplica el enfoque económico, permitiendo de este modo realizar la selección de consideraciones análogas o mutuamente excluyentes. Para la solución integral de problemas de matemáticas financieras, se debe recurrir a dos etapas, lo cual permitirá el planteamiento y la solución adecuada del problema, las etapas son las siguientes:
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES
Primera Etapa.- Identificación de Variables Los problemas de matemáticas financieras, como quedó establecido, se base en cinco (05) variables: Valor Presente, Valor Futuro, Valor Anual Equivalente, Tasa de Interés y Periodo de duración. En esta primera etapa, se identifican las variables que condicionan valores dados y se establece la variable que se desea determinar.
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES Segunda Etapa.- Elaboración del Diagrama o Flujo Económico. En problemas generales y específicamente en aquellos de difícil interpretación, es útil visualizar el problema a través de un flujograma económico, a criterio del proyectista, donde se interrelaciona el Efecto Económico frente al Periodo de Tiempo establecido. Tal como se muestra en el siguiente grafico:
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES P 0
A
A
A
A
A
A
1
2
3
4
n-1
n
Donde: P = Valor Presente. F = Valor Futuro A = Valor Anual Equivalente 0, 1, 2, n-1, n = Período de tiempo
F
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES En el caso descrito de representación, los valores anuales equivalentes, así como el valor presente y el valor futuro, se establecen como valores económicos positivos, la representación de valores negativos estarían precedido por el signo menos (-). Algunos autores prefieren hacer una representación de valores económicos mediante flechas, los valores positivos tendrán las flechas hacia arriba, mientras que los negativos lo harán con flechas hacia abajo, tal como se aprecia en el Gráfico siguiente:
REPRESENTACION SAGITAL DE UN FLUJO ECONOMICO F
P A
A
A
A
A
TIEMPO 0
1
2
3
n-1
n
Para dar solución a problemas de matemáticas financieras, es necesario establecer criterios de solución adecuados, ya que un mismo problema puede resolverse de varias maneras, pero al final del proceso deben arribarse a resultado similares.
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES
Ejemplo: Una inversión minera establece el siguiente criterio económico, para la oportunidad de inversión de un determinado capital; el monto invertido generará US $ 1,000.00 anuales durante los tres (03) primeros años y US $ 600.00 anuales, para los dos (02) años siguientes. Si al final del periodo de inversión no se tienen un valor de rescate y la tasa de interés para este tipo de inversiones es de 12 % efectivo anual. Establecer el monto actual para ejecutar dicho proyecto.
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES Solución: Como se puede apreciar, la aplicación directa de una de las fórmulas antes indicadas no estaría solucionando el problema en mención, por lo cual es necesario recurrir a un análisis de solución, en este caso el problema en discusión puede ser resuelto de tres modos diferentes. El planteamiento general del problema utilizando las etapas antes mencionadas, es el siguiente:
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES Primera Etapa: El análisis del problema, nos conduce a determinar que las variables con valores conocidos son: Valor anual, Tasa de interés anual efectiva y el periodo de tiempo. Mientras que el valor que se desea conocer es el valor presente, el mismo que debe ser calculado de los valores anuales, que en este caso tienen datos numéricos que no son equivalentes. Segunda Etapa: El flujograma económico se puede simular del modo siguiente:
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES P=?
0
A1
A1
A1
1
2
3
A2
A2
4
5
Donde: P = Valor presente, incógnita del problema A1 = A2 = A3 = US $ 1,000.00. A4 = A5 = US $ 600.00
AÑOS
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES
Primera Alternativa de Solución: En esta alternativa, se establece el criterio de solución, predisponiendo dos arreglos: considerando dos flujos con los valores anuales equivalentes dados, en el segundo flujo se calcula un valor presente hipotético en el periodo tres (03) y se realiza su posterior conversión al momento actual.
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES P
P
A1
A1
A1 A2
A2
4
5
+ 0
1
2
3
0
1
2
3
P’
Donde: P = Valor presente, incógnita del problema A1 = US $ 1,000.00 A2 = US $ 600.00 P’ = Valor presente hipotético.
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES
Planteamiento estandarizado del problema: P = A1(P/A, i, n) + A2((P/A, i, n) x (P/F, i, n)) P = 1000(P/A, 12, 3) + 600((P/A, 12, 2) x (P/F, 12, 3)).
Planteamiento específico del problema: P = 1000((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n) + 600((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n) x (1/(1 + i)n) P = 1000((1.12)3 – 1)/0.12(1.12)3) + 600((1.12)2 – 1)/0.12(1.12)2) x (1/(1.12)3)
P = US $ 3,123.61
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES Segunda Alternativa de Solución: Para la solución del problema, establecemos dos flujos, que tengan valores anuales equivalente, tal que se puedan aplicar las fórmulas de un modo directos, como detallamos a continuación:
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES P
P A1
0
1
A1
2
A1
3
A1
4
A1
5
0
A2
A2
A2
1
2
3
Donde: P = Valor presente, incógnita del problema A1 = US $ 600.00 A2 = US $ 400.00
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES Planteamiento estandarizado del problema: P = A1(P/A, i, n) + A2(P/A, i, n) P = 600(P/A, 12, 5) + 400(P/A, 12, 3)
Planteamiento especifico del problema: P = A1((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n) + A2((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n) P = 600((1.12)5 – 1)/0.12(1.12)5) + 400((1.12)3 – 1)/0.12(1.12)3)
P = US $ 3,123.60
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES Tercera Alternativa de Solución: En esta alternativa, se consideran los valores de las anualidades en forma independiente, establecidos como valores futuros para poder aplicar la fórmula del valor futuro para cada uno de ellos. La simulación gráfica será del modo siguiente:
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES P A1
0
1
A2
2
A3
3
A4
A5
4
5
Donde: P = Valor presente, incógnita del problema A1 = A2 = A3 = US $ 1,000.00 A4 = A5 = US $ 600.00
MATEMATICA FINANCIERA EN TOMA DE DESICIONES Planteamiento estandarizado del problema: P = A1(P/F, i, n) + A2(P/F, i, n) + A3(P/F, i, n) + A4(P/F, i, n) + A5(P/F, i, n) P = 1,000(P/F, 12, 1) + 1,000(P/F, 1000, 2) + …. + 600(P/F, 12, 4) + 600(P/F, 12, 5)
Planteamiento específico del problema: P = A1/(1 + i)n + A2/(1 + i)n + A3/(1 + i)n + A4/(1 + i)n + A5/(1 + i)n P = A1/(1.12)1 + A2/(1.12)2 + A3/(1.12)3 + A4/(1.12)4 + A5/(1.12)5 P = 1,000/(1.12)1 + 1,000/(1.12)2 + 1,000/(1.12)3 + 600/(1.12)4 + 600/(1.12)5
P = US $ 3,123.00
MATEMATICA FINANCIERA
Series de Gradientes. Los flujos económicos no permanecen constantes a lo largo de un periodo de tiempo, dependiendo del tipo de empresa, se producen incrementos que pueden tener consideraciones aritméticas o geométricas. Si bien es cierto que las soluciones pueden tener características convencionales, existen algoritmos matemáticos para solucionar estos problemas, sin la aplicación de muchas iteraciones.
MATEMATICA FINANCIERA
Series de Gradientes Aritméticas. El incremento o decremento de una cantidad fija periódica sucesiva, produce una serie de gradiente aritmética, “G”. Bajo estas circunstancias el flujo económico anual tendrá dos componentes: a) Una cantidad constante, al cual denominaremos “A1”, similar al flujo económico del primer periodo. b) Una cantidad variable que se determina según la relación: (n – 1) x G.
MATEMATICA FINANCIERA Para solucionar este tipo de problemas, se transforman los valores variables de “G”, a un valor constante, aplicando la siguiente fórmula: 1 n A2 G ( A / F , i, n) i i
El factor de conversión de cantidades variables a una 1 n cantidad constante futura: i i A / F , i, n es el denominado “factor de series aritméticas”, su designación estándar es (A/G, i, n). El cálculo de la cantidad anual se realiza utilizando la siguiente fórmula: A = A1 + A2 A = A1 + G(A/G, i, n)
MATEMATICA FINANCIERA Series de Gradientes Geométricas Una gradiente geométrica establece que el incremento o decremento de un flujo económico, entre periodos sucesivos no es una cantidad constante, sino un porcentaje constante. Si representamos por “j” el porcentaje de cambios entre periodos contiguos, y si se tiene un valor de flujo económico constante como “A” en cada periodo anual; el flujo económico en cualquier periodo siguiente, “k”, es: Ak = A(1 + j)k-1.
MATEMATICA FINANCIERA El valor presente de una serie de geométricas, se calcula según la fórmula: n
P A 1 j
k 1
1 i
k
K 1
P A1
1 j j k 1 1 i k
n
k
gradientes
MATEMATICA FINANCIERA Bajo estas consideraciones, se pueden diversificar dos fórmulas, dependiendo de los valores relativos que pueden tomar “i” y “j”. Para i = j nA P 1 i
Para i ≠ j 1 1 j n 1 i n P A i j
MATEMATICA FINANCIERA
Ejemplo: Los beneficios que genera una planta de fundición y refinación de cobre, son en la actualidad US $ 1’400,000.00 anualmente, la tasa de interés efectiva anual que se considera para este tipo de empresas es de 8 %, determinar el valor presente de tales beneficios para los próximos 10 años, si: a) Las ventas se incrementan a razón de US $ 150,000.00 al año. b) Si las ventas se incrementan en 10 % anual.
MATEMATICA FINANCIERA Solución: Variables establecidas para la serie de gradientes aritméticas i=8% n = 10 años. G = US $ 150,000.00 A1 = US $ 1’400,000.00 Formulación estándar para la transformación de la serie de gradiente en un valor anual equivalente. A2 = G(A/G, i, n) A2 = 150,000(A/G, 8 %, 10).
MATEMATICA FINANCIERA Fórmula especifica para la determinación del valor anual equivalente de la serie de gradientes: 1 n i A2 G n i i 1 i 1
1 10 0.08 A2 150 ,000 10 0 . 08 0 . 08 1 0 . 08 1
A2 = US $ 580,697.09 A = A1 + A2 A = 1’400,000.00 + 580,697.09 A = US $ 1’980,697.09
MATEMATICA FINANCIERA El Valor presente se determina considerando: La formulación estandarizada: P = A (P/A, i, n) P = 1’980,697.09 (P/A, 8%, 10) La formulación específica aplicada es: n 1 i 1 PA n i1 i
1.08 1 P 1'980,697.09 10 0.081.08 10
P = US $ 13’290,638.70
MATEMATICA FINANCIERA Variables establecidas para la serie de gradientes geométricas: i=8% j = 10 % n = 10 años A1 = 1’400,000.00
MATEMATICA FINANCIERA Aplicando la fórmula específica, cuando i ≠ j, tendremos: 1 1 j n 1 i n P A i j
1 1.1010 1.0810 P 1'400,000 0.08 0.10
P = US $ 14’098,323.20
EFECTOS DEL RADIO DE RETORNO El radio de retorno de la inversión, es una tasa de interés que se determina con la finalidad de conocer el porcentaje de utilidad generado al realizar una inversión, este valor debe calcularse frente a los beneficios brutos y los costos de producción establecidos en un proceso productivo o bajo la generación de un servicio. Para la toma de una decisión adecuada los valores obtenidos de un análisis matemático financiero, que calculan este valor, se comparan con tasas de interés estándares propios de cada actividad empresarial, definitivamente valores mayores a las tasas estándares serán los adecuados para iniciar o dar continuidad al proceso.
EFECTOS DEL RADIO DE RETORNO Ejemplo 4: Se realiza una inversión de US $ 10,000.00 que serán amortizados en 5 años, con pagos mensuales de US $ 2,630.00. Determinar el radio de retorno (ROR) de esta inversión. Solución: Para la solución de este tipo de problemas, se hace una comparación del valor presente invertido, que como se deduce será un valor negativo, así mismo este valor se compara con las amortizaciones anuales que como son pagos también establecen valores negativos, por lo cual se pueden trabajar como si fuesen valores positivos.
EFECTOS DEL RADIO DE RETORNO Aplicamos la fórmula estándar del valor presente frente a las anualidades establecidas. P = A(P/A, i, n) 10,000 = 2,638 (P/A, i, 5). Como se puede apreciar en esta última formulación, el valor desconocido es la tas de interés “i”, aplicando la fórmula específica, tendremos: 1 i 5 1 10,000 2,638 5 i 1 i
EFECTOS DEL RADIO DE RETORNO Para solucionar este tipo de problemas, consignamos el método de pruebas y errores; esto es, se asimilan valores que supuestamente podrías estar cercanos a la solución final y por último aplicando una interpolación, se consigue el resultado deseado. Asimilación de valor cercanos al resultado de P = US $ 10,000.00, esto es: Para i = 8 %: 1 0.085 1 10,000 2,638 5 0.08 1 0.08
10,000 = 10,523.77
EFECTOS DEL RADIO DE RETORNO Como se puede apreciar, este valor es ligeramente mayor al resultado deseado, como “P” e “i”, son inversamente proporcionales, realizaremos la tentativa de aproximación con un valor de “i” mayor a 8. Para i = 11%
1 0.115 1 10,000 2,638 5 0.111 0.11 10,000 = 9,749.78
EFECTOS DEL RADIO DE RETORNO Interpolación de resultados: 8% 10,532.76 ROR % 10,000.00 11 % 9,749.78 Realizando una resta entre el último valor y el primer valor y entre el último valor y el segundo valor, tendremos: 3% - 782.98 (11 – ROR) % - 250.22
EFECTOS DEL RADIO DE RETORNO Estableciendo el criterio de igualdad del producto de extremos por extremos, tendremos: (11 – ROR) x (- 782.98) = 3 x (-250.22) Calculando el ROR: ROR = 10.04 %
APLICACIONES EN PROYECTOS DE INVERSION Bajo estas consideraciones, se determina el valor de la variable que permitirá tomar una decisión adecuada, esto a criterio del proyectista. Aplicación: Una empresa minera ha determinado que su radio de retorno sobre la inversión es de 10 % efectivo anual. Bajo esta consideración ha establecido que su flujo económico de procesamiento para dar inicio a la actividad minera – metalúrgica de su yacimiento es el siguiente: Debe realizar una inversión inicial de US $ 200,000.00, los cuales deben generar ingresos netos anuales de US $ 20,000.00, durante los 10 años de vida útil del yacimiento mineral, al final de este periodo las instalaciones y equipamiento de mina y planta, establecen un valor de rescate de US $ 250,000.00.
APLICACIONES EN PROYECTOS DE INVERSION Solución: Cualquiera de las tres variables que establecen valores económico, esto es: valor presente, valor futuro o valor anual equivalente podrían predisponer la solución al problema dado, pero no serían suficiente para una toma de decisión adecuada. Considerando el valor presente para dar solución al problema: Con el planteamiento estandarizado del problema, tendremos: P = -II + IN(P/A, i, n) + F(P/F, i, n). Donde: P = Valor presente II = Inversión inicial IN = Ingresos netos F = Valor futuro P = -200,000.00 + 20,000(P/A, 10, 10) + 250,000(P/F, 10, 10)
APLICACIONES EN PROYECTOS DE INVERSION El planteamiento específico será: P = -200,000 +
1 RORn 1 20,000 n ROR 1 ROR
P = -200,000 +
1 0.1010 1 20,000 10 0 . 10 1 0 . 10
+
+
250 ,000 1 ROR n
250 ,000 1 0.10 10
P = US $ 19,277.16 El resultado del valor presente nos permite deducir, que bajo las consideraciones expuestas en el periodo establecido de 10 años tendríamos una rentabilidad de US $ 19, 277.16, este valor positivo calculado no es un indicador suficiente para realizar una toma adecuada de decisión de inversión.
APLICACIONES EN PROYECTOS DE INVERSION Considerando el ROR para solucionar problema. El planteamiento estandarizado nos detalla: II = IN(P/A, i, n) + F(P/F, i, n) 200,000.00 = 20,000(P/A, ROR, 10) + 250,000(P/F, ROR, 10)
El planteamiento específico será: 200,000 =
1 RORn 1 + 20,000 n ROR 1 ROR
250 ,000 1 ROR n
el
APLICACIONES EN PROYECTOS DE INVERSION 200,000 =
1 ROR10 1 20,000 10 ROR 1 ROR
+
250 ,000 1 ROR 10
Aplicando el método de interpolación, tendremos: Para 12 % 193,497.77 Para ROR % 200,000.00 Para 10 % 219,277.16
APLICACIONES EN PROYECTOS DE INVERSION Realizando una sustracción entre el primer valor y el último valor, y entre el segundo valor y el último valor, obtenemos: 2% - 25,779.39 (ROR – 10) % - 19,277.16 Luego: ROR = 11.50 % Como podemos observar este valor de ROR así obtenido, es ligeramente mayor al 10 %, por lo tanto se acepta la inversión para este proyecto, el ROR, nos permite realizar una toma de decisión más adecuada, pero se complementa con el valor presente.
APLICACIONES EN PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Bajo estas consideraciones, se analizan diferentes proyectos de inversión, que pueden ser canalizados por personas naturales o jurídicas, de modo que se seleccione la mejor alternativa de inversión. Aplicación 2 – 016. Una empresa minera desea realizar inversiones en tres diferentes proyectos minero – metalúrgicos, los cuales tienen 6 años de vida útil y cuyo radio de retorno es de 10 % anual efectivo. Las consideraciones económicas que se consignan son las siguientes:
APLICACIONES EN PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
PROYECTO
INVERSION INICIAL (US $)
INGRESOS BRUTOS ANUALES (US $)
GASTOS ANUALES (US $)
VALOR DE RESCATE (US $)
1
100,000.00
60,000.00
20,000.00
40,000.00
2
150.000.00
90,000.00
35,000.00
50,000.00
3
200,000.00
110,000.00
50,000.00
70,000.00
APLICACIONES EN PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Solución: En este caso, se puede utilizar cualquiera de las variables de toma de decisiones, ya que el mayor valor obtenido de entre los proyectos, será el que determine la mejor alternativa. Utilizando el cálculo del valor presente, la formulación estandarizada genérica, es la siguiente: P = - II + IBA(P/A, i, n) – GA(P/A, i, n) + VR(P/F, i, n) ó
P = - II ± INA(P/A, i, n) + VR(P/F, i, n).
APLICACIONES EN PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Donde: P = Valor presente. II = Inversión inicial. IBA = Ingresos brutos anuales. GA = Gastos anuales VR = Valor de rescate
APLICACIONES EN PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Proyecto 1: Considerando la segunda formulación estandarizada tendremos: P = -100,000 + 40,000(P/A, 10, 6) + 40,000(P/F, 10, 6). La formulación específica, es la siguiente: P1 = -100,000 +
1 0.106 1 40,000 6 0.10 1 0.10
P1 = US $ 96,789.40
+
40 ,000 1 0.10 6
APLICACIONES EN PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Proyecto 2: P2 = -150,000 +
1 0.106 1 55,000 6 0 . 10 1 0 . 10
+
50 ,000 1 0.10 6
+
70 ,000 1 0.10 6
P2 = US $ 117,763.00 Proyecto 3: P3 = -200,000 +
1 0.106 1 60,000 6 0 . 10 1 0 . 10
P3 = US $ 100,828.80 La mejor alternativa es el proyecto 2, el cual debe ser seleccionado.
SELECCIÓN ECONOMICA DE EQUIPOS Y MAQUINARIAS DE MINA Y PLANTA Esto nos permite tomar decisiones sobre la adquisición de dos o más tipos de equipos y maquinas que se utilizarán en las operaciones de mina o de plantas de tratamiento de minerales, también por analogía se usa para el reemplazamiento de equipos minero-metalúrgicos.
SELECCIÓN ECONOMICA DE EQUIPOS Y MAQUINARIAS DE MINA Y PLANTA Aplicación: Una unidad operativa minera, esta considerando dos tipos diferentes de fajas transportadoras, para el manipuleo del mineral desde el interior de la mina hasta la cancha de gruesos. La Faja Nº 1, tiene un costo inicial de de US $ 10,000.00, los costos de operación y mantenimiento anuales es de US $ 3,000.00, mientras que su valor de rescate será de US $ 6,000.00 al final de su vida útil consignada en 6 años. La Faja N° 2, tiene un costo inicial de US $ 15,000.00, y sus costo de operación y mantenimiento son del orden de US $ 2,000.00 al año, considerando un valor de rescate de US $ 10,000.00 al final de 6 años de operación. Si el ROR para este tipo de inversiones es de 15 % efectivo anual, establecer la mejor alternativa económica.
SELECCIÓN ECONOMICA DE EQUIPOS Y MAQUINARIAS DE MINA Y PLANTA Si aplicamos el algoritmo del valor presente y tratándose de costos tanto inicial, como de operación y mantenimiento anual, que deben ser consignados con valores negativos, lo asimilamos a valores positivos, mientras que el valor de rescate debe tener una valor negativo; la decisión final se establecerá considerando el menor de los valores obtenidos, por ser el menor costo; la formulación estándar para ambos casos, es la siguiente. P = CI + COM(P/A, i , n) – VR(P/F, i, n). Donde: P = Costo presente del flujo económico CI = Costo inicial del bien. COM = Costo de operación y mantenimiento. VR = Valor de rescate. F = Valor futuro.
SELECCIÓN ECONOMICA DE EQUIPOS Y MAQUINARIAS DE MINA Y PLANTA La solución especifica, es como sigue: Faja Nº 1: P = 10,000 +
1 RORn 1 3,000 n ROR 1 ROR
P = 10,000 +
1 0.156 1 3,000 6 0 . 15 1 0 . 15
P = US $ 19,191.80
-
5,000 1 ROR n
5,000 1 0.15 6
SELECCIÓN ECONOMICA DE EQUIPOS Y MAQUINARIAS DE MINA Y PLANTA Faja Nº 2: P = 15,000 +
1 RORn 1 2,000 n ROR 1 ROR
P = 15,000 +
1 0.156 1 2,000 6 0 . 15 1 0 . 15
-
10 ,000 1 ROR n
-
10 ,000 1 0.15 6
P = US $ 18,245.70 Si bien es cierto, que la diferencia entre los valores de las alternativas es de US $ 946.10, pero la selección corresponde a la Faja Nº 2, por ser la de menor costo.
TOMA DE DESICIONES PARA DIFERENTES HORIZONTES DE VIDA UTIL En algunos aspectos del desarrollo minero, es necesario considerar diferentes horizontes de vida para realizar selecciones de proceso, equipos, maquinarías, recursos físicos, etc. La metodología más aplicada para dar solución a este tipo de problemas es el denominado “reemplazamiento de igual categoría”, este método asume tiempos de horizontes de vida iguales que para la alternativa de mayor duración, estableciendo para el tiempo hipotético adicionado, consideraciones de flujos económicos repetitivos a los generados en el horizonte de vida de menor duración.
TOMA DE DESICIONES PARA DIFERENTES HORIZONTES DE VIDA UTIL Aplicación 2 – 018: Una empresa minera que explotará un yacimiento metálico por el método a cielo abierto, tiene dos alternativas para la adquisición de cargadores frontales de diferentes capacidades, los mismos que establecen diferentes usos y periodos de operación. Se considera la adquisición de un cargador frontal que tiene un costo inicial de US $ 225,000.00 y su costo de operación y mantenimiento anual es de US $ 30,000.00, con un valor de rescate de US $ 150,000.00 al final de los 6 años de vida útil, este equipo minero ha sido considerado para el desbrozamiento del sobreencape que tendrá una duración de 3 años y 3 años adicionales de minado del tajo abierto.
TOMA DE DESICIONES PARA DIFERENTES HORIZONTES DE VIDA UTIL El segundo cargador frontal de menor capacidad que el anterior, que únicamente será utilizado para el desencape del material que sobreyace al yacimiento, tiene un costo inicial de US $ 67,500.00, mientras que sus costos de operación y mantenimiento anual son desorden de US $ 60,000.00 y sus valor de rescate en este periodo de tiempo es de US $ 37,500.00. El ROR, para este tipo de inversiones es de 15 % efectivo anual. Determinar la mejor alternativa de inversión.
TOMA DE DESICIONES PARA DIFERENTES HORIZONTES DE VIDA UTIL Solución: Estableciendo el flujograma económico de ambas alternativas, donde se visualiza un flujo económico hipotético para la segunda alternativa, se consideran a los costos como valores positivos y a los ingresos con valores negativos. Primera Alternativa: CI
0
COM
1
COM
2
COM
3
COM
4
COM
5
COM - L
6
t
TOMA DE DESICIONES PARA DIFERENTES HORIZONTES DE VIDA UTIL CI
COM COM COM-L CI
COM COM COM - L
t 0
1
2
3
3
4
5
6
FLUJO ECONOMICO HIPOTETICO
Donde: CI = Costo inicial COM = Costo de mantenimiento y operación L = Valor de rescate
TOMA DE DESICIONES PARA DIFERENTES HORIZONTES DE VIDA UTIL L = Valor de rescate Solución: Considerando el valor presente como la variable solución y aplicando las fórmulas específicas, tendremos: Primera alternativa: P = 225,000 +
1.156 1 30,000 6 0.15 1.15
P = US $ 273,685.30
150 ,000
- 1.15 6
TOMA DE DESICIONES PARA DIFERENTES HORIZONTES DE VIDA UTIL Segunda Alternativa: 37 ,500 67 ,500 37 ,500 60,000 1.15 1 P = 67,500 + + 3 1.15 0 . 15 1 . 15 1.15 6
6
6
P = US $ 298,082.20 Como podemos observar, se selecciona la primera alternativa, por ser el de menor costo.
