ECONOMIA MINERA-LIBRO FINAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y METALURGIA

ECONOMIA MINERA

ARNALDO ALEJANDRO RUIZ CASTRO

AGRADECIMIENTO En primer lugar vaya mi profundo agradecimiento a Dios por ser el artífice de mi existencia. Agradecer a las autoridades de la UNASAM, en la persona del Sr. Rector Dr. Fernando Castillo Picón, Sr. Vicerrector Académico Mag. Roosevelt Villalobos Diaz, Sr. Vicerrector Académico Cesar Narro Cachay y al Sr. Decano de la Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Metalurgia Mag. Porfirio Baldomero Poma Rique, por permitirme realizar la siguiente publicación. Así mismo, vaya mi agradecimiento al Ing. Luís Torres Yupanqui, por su continua contribución para la ejecución de la presente publicación. Un cariñoso agradecimiento a mi esposa Rosa Enith, y a mis hijos, Rosa Milagros, Martín Gregorio, Yessenia, Carla Virginia, Rainer; quienes en forma silenciosa mostrando su comprensión, permitían el desarrollo del presente tratado técnico -económico.

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PRESENTACION Uno de los retos cotidianos que afrontamos todos los profesionales es la adecuada toma de decisiones en los diferentes campos en los cuales nos desarrollamos, para afrontar los mismos se hace necesario contar con las herramientas adecuadas que propicien los logros técnico-económicos óptimos de la solución de problemas. En el presente tratado denominado simplemente Economía Minera, se realiza el enfoque de algunas de las tantas herramientas económicas, que nos permitirán tomar las decisiones convenientes sobre aspectos técnicos, utilizando algunas de las herramientas con las cuales se cuenta, como es el caso por ejemplo de la selección de equipos de limpieza, que dada la gran cantidad y variedad de equipos, será necesario aplicar la matemática financiera para lograr la mejor elección final, que permita una mayor rentabilidad de esta operación unitaria minera. Dada mi experiencia como profesional en el campo netamente de la actividad minera a lo largo de diez años, en proyectos mineros como son el caso de Mina Aguila, Proyecto de Expansión Cobriza, Proyecto Aurífero Arirahua y proyectos de la pequeña minería y minería artesanal, así como más de veinte años en la actividad docente, han permitido que desarrolle un apropiado enfoque sobre las herramientas económicas que posibilitarán tomar decisiones apropiadas y a su debido tiempo, en el campo de la minería; como es el caso de la matemática financiera; el análisis marginal para una determinación estática-periódica de la capacidad operativa de la mina; la ley mínima explotable, como un indicador dinámico-periódico del minado. Finalmente se predisponen la variedad de consideraciones para la realización de la valuación o valorización de las propiedades mineras en sus diferentes etapas; es decir, ya sea como un proyecto inicial, o dentro de la etapa de operación. Es bien cierto, que en este primer enfoque, se están visualizando los principales algoritmos para tomar decisiones, muchos de los cuales se encuentran sistematizados en programas computarizados, que permiten una rápida determinación de los mismos, pero también es necesario que se continúen con los análisis de los mismos, para una adecuación inmediata y a su debido tiempo. Por lo cual, tengo la esperanza que se de continuidad a la presente publicación, con otros tratados similares. Arnaldo Ruiz Castro

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PROLOGO En los momentos actuales en que la cantidad de textos en la materia de Economía en forma general casi llega a ser exuberante, sin embargo la publicación de esta obra en “Economía Minera” acreditada por varias razones, como la influencia en la ciencia y tecnología de esta materia en el mundo económico, y aparece en un momento en que la economía minera adquiere una notable relevancia sin precedentes, específicamente cuando la minería en el mundo y particularmente en nuestra región atraviesa sus apogeos más importante. Además acrecienta el mérito del autor, el formidable esfuerzo realizado para escribirla, como fruto de su experiencia académica y profesional desarrollada en la Facultad de Ingeniería de Minas Geología y Metalurgia de la UNASAM, que desde años viene compartiendo la docencia de la asignatura de “Economía Minera” , y la necesidad imprescindible de una constante actualización en los temas involucrados, aportando de esa manera un texto que sea de mucha utilidad tanto para estudiantes, profesionales dedicados a la industria minera. En la FIMGM- UNASAM, este es el primer libro que se publica en “Economía Minera”, personalmente para mí es un honor que el Ing. Arnaldo Ruiz Castro autor del presente tratado, me haya solicitado que prologue esta obra. Además, quiero hacer recomendar y hacer extensiva la necesidad ser leída en forma obligatoria por nuestros alumnos de ingeniería, de manera que puedan afianzar y especializarse en este fascinante mundo de la economía minera, adquiriendo y introduciendo en ella los conocimientos y herramientas necesarias para entenderlas, comprenderlas y hacer mucho más fácil su aplicación. El autor ha explicado en forma sencilla, sucinta, claramente estructurados, y desarrolla con detalles los conceptos necesarios, y resuelve las interrogantes más frecuentes, desde las definiciones básicas, las matemáticas financieras, el complejo trabajo de clasificarlas, finalmente complementan con amplios ejemplos prácticos que consolidan el saber de la Economía Minera, presentarlo en forma didáctica los diferentes métodos de análisis y con el mérito singular, de recoger conceptos que talvez todavía no se haya incluido en otros tratados similares. Finalmente quiero subrayar, que nuestro país y en el mundo entero, se vive actualmente el auge de la minería, particularmente debido al alza de los precios de los metales, y muy excepcionalmente en nuestro medio, la Regiòn Ancash, donde se ubican las operaciones de dos grandes empresas, lideres en la minería mundial, la Cìa Minera Antamina SA y la Cìa Barrica Misquichica SA, por lo que nos obligan acentuar los conocimientos cada vez más crecientes en la economía minera. Por una de estas razones es que justamente llega a nuestras manos una obra con lo que acertadamente ha afianzado y consolidado el Ing. Arnaldo Ruiz Castro.. M. Sc. Ing. Porfirio B. Poma Rique Decano de la FIMGM- UNASAM

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INDICE AGRADECIMIENTO PRESENTACION PROLOGO INDICE

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CAPITULO I CONCEPTOS BASICOS 1.1. Definición de Economía 1.1.1. Análisis Macroeconómico 1.1.2. Análisis Macroeconómico 1.2. La Industria Minera y su clasificación. 1.3. Análisis Económico de la Actividad Minera. 1.4. La aplicación de la economía a la actividad minera. 1.5. Toma de Decisiones: 1.6. “Ingeniería Económica” y “Evaluación Económica”. 1.7. Análisis general de inversiones: 1.8. Uso Industrial de los minerales:

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CAPITULO II MATEMATICA FINANCIERA 2.1. Definición. 2.2. Relaciones de las Matemáticas Financieras con otras Disciplinas: 2.2.1. Contabilidad: 2.2.2. Derecho 2.2.3. Economía 2.2.4. Ciencia Política 2.2.5. Ingeniería 2.2.6. Informática 2.2.7. Finanzas 2.2.8. Sociología 2.3. Interés económico y financiero. 18 2.3.1. Regímenes de Intereses. 2.3.2. Tipos de Tasa de Interés. 2.3.3. Determinación de la Tasa de Interés Nominal. 2.4. Formulas de Interés Compuesto en Toma de Decisiones. 2.4.1. Factor de Pago Simple – Cantidad compuesta. 2.4.2. Factor de Pago Simple – Cantidad Presente. 2.4.3. Factor de Series Uniformes - Cantidad Compuesta. 2.4.4. Factor de Depósito de Fondo de Amortización. 2.4.5. Factor de Series Uniformes – Valor Presente 2.4.6. Factor de Recuperación del Capital. 2.5. Aplicación General de la Matemática Financiera en Toma de Decisiones. 2.5.1. Primera Etapa.- Identificación de Variables: 2.5.2. Segunda Etapa.- Elaboración del Diagrama o Flujo Económico: 2.6. Series de Gradientes. 2.6.1. Series de gradientes aritméticas. v

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2.6.2. Series geométricas. 2.7. Efectos económicos de proyectos frente al radio de retorno (ROR). 40 2.8. Aplicación de la Matemática Financiera a la Minería. 42 2.8.1. En proyectos de inversión minero metalúrgicos. 2.8.2. En la toma de decisiones de proyectos mutuamente excluyentes: 2.8.3. En la selección económica de equipos y maquinarias de mina y planta. 2.8.4. En la toma de decisiones que consideran diferentes horizontes de vida útil.

3.2.1.

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CAPITULO III VARIABLES ECONOMICAS ESTÁTICAS Y DINAMICAS EN LA MINERIA 3.1. Concepto y clasificación de costos en la actividad minera. 50 3.2. Método del análisis marginal. 53 Fundamentos.53 3.2.2. Interrelación de las Variables Fundamentales.53 3.2.3. Análisis de la Producción Económica.54 3.2.4. Análisis del Factor Marginal.55 3.2.5. Rentabilidad Máxima. 56 3.3. Ley mínima explotable. 57 3.3.1. Fundamentos.57 Determinación de la ley mínima explotable. 58 3.4. Aplicaciones a la minería 60 CAPITULO IV DEPRECIACION, AGOTAMIENTO, AMORTIZACIÓN Y FLUJO DE CAJA 4.1. Flujo Corporativo en la actividad minera. 73 4.2. Definición y métodos de depreciación. 75 4.2.1. Métodos de depreciación.75 4.3. Definición y métodos de agotamiento. 77 Métodos de agotamiento.78 4.4. Definición y métodos de amortización. 80 4.4.1. Métodos de amortización 81 4.5. Flujo de caja. 87 4.5.1. Clasificación de flujo de caja. 87 4.6. Aplicaciones a la minería 90 CAPITULO V VALUACION DE PROPIEDADES MINERAS 5.1. Conceptos básicos para la valorización de propiedades mineras. 5.2. Metodologías genéricas aplicadas a la valorización de empresas.

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5.2.1. Métodos basados en el balance 5.2.2. Métodos basados en el descuento de flujo de fondos 5.3. Valorización de propiedades mineras en proyecto. 5.4. Valorización de propiedades mineras en operación. 5.5. Aplicaciones a la minería. BIBLIOGRAFIA.

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CAPITULO I CONCEPTOS BASICOS 1.1.

Definición de Economía.-

Resulta complicado obtener una definición exacta de la economía, por cuanto presenta una serie de efectos sobre el que hacer del ser humano, para considerar su presencia indiscutible sobre la actividad humana, presentamos algunos enfoques de la economía. Según la Real Academia Española, la economía deriva del latín oeconomía y este a su vez del griego οἰκονομία, y presenta las siguientes definiciones: a) Administración eficaz y razonable de los bienes. b) Conjunto de bienes y actividades que integran la riqueza de una colectividad o un individuo. c) Ciencia que estudia los métodos más eficaces para satisfacer las necesidades humanas materiales, mediante el empleo de bienes escasos. d) Contención o adecuada distribución de recursos materiales o expresivos. e) Ahorro de trabajo, tiempo o de otros bienes o servicios. f) Ahorros mantenidos en reserva. g) Reducción de gastos anunciados o previstos. La mayoría de autores bajo consideraciones generales, establecen una definición que concuerda con lo establecido por Francisco Mochón Morcillo, que lo define como: “Aspectos de toda actividad humana que en el intento de satisfacer las necesidades materiales, implica la necesidad de elegir”. El análisis económico se establece bajo dos enfoques: el microeconómico y el macroeconómico. 1.1.1. Análisis Macroeconómico.a. Definición.- La macroeconomía es la rama de la economía que estudia el funcionamiento de ésta en su conjunto. Es decir, estudia la economía global de un país, si bien para proceder a dicho estudio lo que hace es fijarse en el funcionamiento individual de una serie de mercados y en las interrelaciones que se producen entre ellos. b. Tipos de Mercado.- Dentro del contexto internacional, se presentan los siguientes tipos de mercados: Mercado de bienes y servicios: donde se compran y venden todo tipo de bienes (alimentos, electrodomésticos, ordenadores, ladrillos, etc.) y de servicios (servicios profesionales de abogados, médicos, espectáculos, competiciones deportivas, peluquería, etc.). Mercado de dinero: donde confluye la demanda de dinero (interés de familias, empresas, organismos públicos, etc. de disponer de dinero) y la oferta de dinero (cantidad de dinero que el Banco Central del país mantiene en circulación). Mercado de trabajo: donde confluye la oferta de trabajo (deseo de los habitantes del país de trabajar) y la demanda de trabajo (interés de las empresas de contratar trabajadores).

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c. Indicadores Macroeconómicos.- Entre los indicadores de mayor relevancia tenemos:  El PBI (Producto Bruto Interno): El PBI se puede medir desde dos enfoques diferentes, obteniendo en ambos casos el mismo resultado: Como flujo de gastos (o de productos finales): es decir, cuál ha sido el destino de los distintos bienes y servicios producidos durante el ejercicio, y Como flujo de rentas: cómo se distribuyen las rentas que se han generado durante la producción de esos bienes y servicios.  El PNB (Producto Nacional Bruto): mide lo producido por los nacionales de un país, ya residan en el mismo, ya residan en el extranjero.  El PIN (Producto Interior Neto): es igual que el PBI, pero deduciendo la pérdida de valor (el desgaste) que haya experimentado el equipo productivo (infraestructuras, maquinaria, instalaciones, etc.) durante el ejercicio. 1.1.2. Análisis Microeconómico.a. Definición.- La Microeconomía estudia la conducta de las unidades (empresas, hogares o consumidores, y otros agentes económicos) que integran la economía. Según el Dr. Antonio García Sánchez, “la microeconomía es el conjunto de teorías cuyo objetivo consiste en explicar el proceso mediante el cual los recursos escasos se asignan a usos alternativos”. b. Teorías Microeconómicos.- La microeconomía, establece sus criterios fundamentados en las siguientes teorías:  Teoría de la Conducta del Consumidor y de la Demanda: Esta teoría, según Ferguson, establece que “El esfuerzo más o menos consciente, para alcanzar la satisfacción máxima con un ingreso limitado, determina la demanda individual de bienes y servicios”.  Teoría de la Producción y el Costo: Toda acción que se realiza con la finalidad de generar bienes y servicios, se establece mediante procesos productivos, que de hecho hacen necesario la participación de recursos humanos y recursos físicos (maquinarías y/o equipos, y materiales e insumos). Tanto los recursos humanos y recursos físicos a través destiempo condicionan su transformación económica a costos.  Teoría de la Empresa y la Organización del Mercado: Los bienes y servicios generados por acciones empresariales, son procesados en los mercados reales y/o virtuales, donde dadas las consideraciones de una competencia perfecta a través de las ofertas y demandas, se determinan los precios de los bienes y servicios; así mismo, bajo consideraciones de competencias restringidas (monopolio y/o oligopolio), también se condicionan los precios de los bienes y servicios. Un caso, específico de mercados monopólicos y oligopólicos lo establece la actividad minera, donde el precio de los metales se genera a través de la bolsa de valores donde tienen ingerencia sólo algunas empresas.  Teoría de la Distribución: Dadas las consideraciones de la oferta y la demanda de un mercado bajo consideraciones de competencia perfecta o imperfecta, se determina la cantidad de los bienes y servicios que serán distribuidos a los mercados, para su respectivo proceso de comercialización.  La Teoría del Equilibrio General y el Bienestar Económico: Los consideraciones establecidas en los procesos operativos de una empresa de bienes o 9

prestación de servicios, condicionan efectos de producción y productividad, estableciendo la productividad como la medida de la producción frente a los recursos utilizados, esto conlleva a establecer la optimización de resultados que permitan obtener un equilibrio adecuado del uso de recursos, es decir una minimización de costos permitiendo una maximización de utilidades generadas por la empresa. 1.2. La Industria Minera y su clasificación. El Perú ostenta un gran potencial minero, los mismos que se encuentran ubicados en la costa, sierra y selva, por lo cual su clasificación, se diversifica del modo siguiente:  Por el Tipo de Minerales que se Explotan:  Yacimientos metálicos.  Yacimientos no metálicos.  Yacimientos carboníferos  Yacimientos de hidrocarburos.  Por el Grado de Tecnificación:  Minería artesanal.  Minería tecnificación continúa.  Minería altamente tecnificada.  Por el Tipo de Procesamiento:  Industria minera con productos iniciales.  Industria minera con productos intermedios.  Industria minera con productos terminados.  Por el Sistema de Explotación:  Minado subterráneo.  Minado Superficial.  Por la Cuantificación del Proceso Minero:  Minería artesanal.  Pequeña minería  Mediana minería.  Gran minería En lo referente a la quinta clasificación, los detalles de cuantificación técnica y económica, se detallan en el Cuadro Nº 1 - 001. CUADRO Nº 1 – 001 CLASIFICACION DE LA MINERIA EN EL PERU

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EST RAT O

T AM AÑO DE

M in e ría A rte sa n a l P e q u eñ a M ine ría M e d ia n a M in e ría 1.3. Análisis Económico de la Actividad Minera. G ra n M in e ría Dentro del desarrollo de la actividad minera, así como dentro de otras actividades empresariales, se predisponen dos aspectos de fundamentación económicos, por un lado tenemos los ingresos económicos generados por la comercialización de los productos accesibles a los mercados de compra y venta de los minerales, y por otro lado, los gastos generados por el proceso minero – metalúrgico, que se pueden diversificar en 3 costos operativos y costos productivos.

H as H as M ás M ás

C a so : M a te ria le s de c o nstru c ció n, a ren a s g ra v

M in e ría a rte sa n a l: H a sta 2/d0 0ía m 3 puesto al mercado para El análisis de ingresos, es propio de cada producto que es e q u eñ a enMeline ríacaso: H a sta 3 ,00 ía 0m suPcomercialización, presente lo sustentaremos a /d la comercialización de

productos minero metálicos, para lo cual se recurren a dos aspectos fundamentales: el aspecto técnico que consiste en elaborar adecuada y cuidadosamente el Balance Metalúrgico del mineral procesado, obtenido este del beneficiado de los minerales, por cualquiera de los métodos utilizados (separación gravimetrica, flotación, hidrometalurgia, etc.), además de la consideración de la presencia cualitativa y cuantitativa de los elementos metálicos penalizables, y el aspecto de valorización económica de los productos obtenidos, sustentados bajo estándares establecidos y corroborados por los contratos bipartitos contraídos entre el productor y el comprador.

F u en te: M IN E M

En lo referente a los egresos económicos, se predisponen los costos de operación, que bajo los lineamientos establecidos en la presente publicación corresponden a los generados por las operaciones de minado, ya sean operaciones unitarias y operaciones auxiliares; las operaciones metalúrgicas extractivas y/o las de fundición y refinación, y las actividades de transporte. Por otro lado se consigan los costos productivos, que son aquellos que involucran todos los rubros para un desarrollo empresarial sostenido, incluyendo los costos operacionales. En el Gráfico Nº 1 - 002, se observa los flujos físicos y monetarios establecidos por el proceso general del desarrollo de la actividad minera. En este gráfico, establecemos que el punto de partida de la actividad minera, son las reservas de mineral generadas a través de los trabajos de exploración realizados, posteriormente iniciada la actividad de explotación, mediante el minado superficial o subterráneo del yacimiento, establecemos el proceso de producción minero metalúrgico, hasta obtener un mineral intermedio (concentrado) o terminado (metal), que sea accesible al mercado consumidor, produciéndose el proceso de comercialización del producto obtenido, en este punto lo que se comercializa tiene características de un flujo físico, obteniéndose después de la comercialización un flujo monetario por las ventas 11

del producto. En el proceso de distribución del ingreso, se canalizan cuatro rubros de distribución: los costos operativos, el capital financiero, esto es el monto que retorna a la actividad minera para su continuidad, que también podría establecerse como capital de trabajo, los pagos de impuestos y las utilidades establecidas por las empresas. El proceso financiero, nos permite tener un monto económico que mantenga la operatividad del proceso minero metalúrgico, teniendo además cuidado de tener una cierta reserva de dinero por las posibles eventualidades que pueden estar presente durante la operación de la mina; bajo las circunstancias de una falta de liquidez, se recurrirá a un financiamiento externo, que posteriormente debe ser cubierto con los ingresos generados por la empresa. El capital de operación e inversiones nos permite acceder al mercado abastecedor donde se realizan las acciones de compra de maquinarías, equipos, materiales e insumos necesarios para las operaciones minero metalúrgicas. Este circuito cerrado se mantiene durante la vida útil del yacimiento. GRAFICO Nº 1 – 002 FLUJO FISICO – ECONOMICO DE LA ACTIVIDAD MINERA

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INGRESO ECONOMICO POR VENTAS

PROCESO DE MERCADO 1.4. La aplicación de la economía a la actividad minera. DISTRIBUCION TRIBUTARIO Como se puede deducir de los párrafos antes descritos, la microeconomía es la parte de DEL INGRESO la economía que nos permitirá adecuar parámetros, para realizar adecuadas tomas de

C OPE

decisiones dentro del desarrollo de la actividad minera en sus diferentes clasificaciones, de este modo estaremos maximizando la rentabilidad de la empresa, mediante la 13

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minimización de costos y por ente la optimización de los recursos humanos y físicos utilizados en los procesos minero metalúrgicos. Las consideraciones de la microeconomía, se hacen aplicativos en las diferentes etapas de los proyectos mineros; esto es que, en el anteproyecto minero, se debe enfocar un uso racional de la inversión que permita el descubrimiento del yacimiento mediante exploraciones sistemáticas sucesivas, hasta obtener las reservas de mineral que rentabilicen el proyecto en sí. Durante el proyecto minero, considerando la etapa de la infraestructura e implementación, es decir la etapa pre – operativa, será necesario utilizar adecuadamente las inversiones que permitan la puesta en marcha del proceso minero y/o metalúrgico. Finalmente el la etapa operativa del proyecto se debe sustentar la optimización técnico – económica del proceso. 1.5. Toma de Decisiones: Peter Drucker, en sus textos de administración gerencial, ha establecido que la toma de decisiones tiene cinco fases que son las siguientes:     

Definir el problema. Analizar el problema. Desarrollo de soluciones alternas. Decidir sobre la mejor solución. Convertir la decisión en una acción eficaz.

Estas fases de la toma de decisión se aplican a la toma de decisiones de evaluación económica, así como a la toma de decisiones empresariales en general. Definir problemas de evaluación económicos claramente, es tan importante en el análisis económico como cualquier otra situación que requiera una decisión. En cualquier situación que requiere toma de decisiones es necesario hacer las preguntas convenientes antes de que uno pueda esperar conseguir las respuestas que son necesarias. El análisis del problema o de las preguntas es el paso siguiente en el procedimiento de toma de decisiones, para el análisis económico así como decisiones empresariales en general. Esto conduce a la tercera fase de la toma de decisiones, respecto a si las aproximaciones alternativas o las inversiones no pudieran ser mejores. El análisis de estas inversiones alternativas entonces nos deja en una posición para decidir sobre la mejor opción económica y para tomar la decisión de poner la mejor opción en ejecución. Estas consideraciones de toma de decisiones, se puede efectivizar haciendo uso de la “Ingeniería Económica” y la “Evaluación Económica”, las consideraciones al respecto lo analizamos en el siguiente párrafo.

1.6.

“Ingeniería Económica” y “Evaluación Económica”.

La ingeniería y la tecnológica científica, de un modo u otro proporcionan la base para las mejores oportunidades de inversión en mundo actual. Incluso la posibilidad económica de inversiones en terrenos se relaciona a menudo con la tecnología de la 14

ingeniería que puede hacer la tierra más valiosos varios años después, con departamentos, un parque o la utilización de una planta industrial. En una sociedad capitalista es imprescindible que las propuestas de ingeniería tanto como otros tipos de propuestas de inversión sean evaluadas en términos de valor monetario y costos antes que ellos sean emprendidos. Incluso en actividades públicas, los beneficios deben ser mayores que los costos antes que los gastos sean normalmente aprobados. Así, el término “ingeniería económico” que se utiliza ampliamente en la literatura y los textos se aplican en general a la “evaluación económico” de todos los tipos de situaciones de inversión. Los términos “evaluación económica” e “ingeniería economía” son considerados para tener el mismo significado en este tratado. Una persona no necesita ser un ingeniero para ser proficiente en la aplicación de los principios de la ingeniería económica (o evaluación económica) para evaluar alternativas de inversión. El prerrequisito de las empresas exitosas de ingeniería es la factibilidad económica. Este prerrequisito aplicado a las situaciones de inversión de ingeniería y de no-ingeniería, tanto como los términos “evaluación económica” o “ingeniería económica” tienen el significado e importancia válidos, no sólo para los ingenieros, sino también para los banqueros, los contadores, los administradores de negocios y otro personal en una amplia variedad de descripciones de trabajo donde ellos están involucrados en la evaluación económica de las alternativas de la inversión. 1.7. Análisis general de inversiones: La actividad minera en sus diferentes etapas de proyecto, establece tres criterios generales de inversión, los cuales deben ser adecuadamente analizados y sustentados, para realizar una adecuada toma de decisiones. Para toda consideración empresarial, deben considerarse los siguientes análisis de inversión:   

Análisis Económico. Análisis Financiero. Análisis Intangible.

El análisis económico implica la evaluación de los méritos relativos de situaciones de inversión desde un punto de vista de la utilidad y del costo (o económicos). El análisis financiero establece de donde se obtendrán los fondos de inversión para las inversiones propuestas. Algunas métodos alternativos de financiar inversiones incluyen el uso de fondos personales o corporativos, solicitando prestamos bancarios, teniendo un ofrecimiento de deuda financiado corporativo de enlaces o de obligaciones, o ir al público con un nuevo ofrecimiento de la acción ordinaria. El análisis intangible implica la consideración de factores que afectan las inversiones pero que no puede ser cuantificado fácilmente en términos económicos. Los factores intangibles típicos son consideraciones legales, opinión o voluntad pública, factores ecológicos y ambientales, condiciones inciertas de la ley reguladora o de impuesto, y muchas otras. Muchas veces una alternativa que parece ser económicamente la mejor puede ser rechazada por razones financieras o intangibles. Por ejemplo, los proyectos atractivos pueden ser rechazados por razones financieras, si los fondos internos no están disponibles para financiarlos y los financiamientos externos no pueden ser obtenidos con radios de interés atractivos. Los factores intangibles que pueden causar el rechazo 15

de proyectos económicamente atractivos son innumerables, pero los más altos en la lista de importancia son la opinión pública potencial y los problemas legales de la posible contaminación del aire, de la tierra o del agua. La importancia del análisis de los factores financieros e intangibles en relación con los factores económicos nunca debe ser subestimando en la toma de decisión de la gerencia de inversiones. Ellos a menudo son tan importantes o más importantes que las consideraciones económicas. Hay una tendencia en la literatura y la práctica de intercambiar el uso de los términos “análisis económico” y “análisis financiero”. Esto conduce a menudo a la confusión y al uso incorrecto de los métodos de la decisión de la inversión. Es importante reconocer eso, según lo utilizado en este tratado, el “análisis económico” se relaciona con lo beneficioso de un proyecto propuesto y el “análisis financiero” se relaciona con cómo el proyecto será financiado. En esta publicación nos referiremos sobre todo, al desarrollo y la ilustración de las técnicas económicas del análisis. 1.8. Uso Industrial de los minerales: En el Cuadro Nº 1 - 003, se presenta en forma muy sintetizada la utilización de los minerales en forma genérica, los mismos que están en relación con las demandas efectivizadas por los sectores que los utilizan. CUADRO Nº 1 – 003 USO INDUSTRIAL DE LOS MINERALES PRODUCTOS MINEROS SECTOR DE USO Productos industriales.  Fierro y metales ferrosos (manganeso, molibdeno, vanadio, wolframio, telurio, etc.)  Bienes de inversión, maquinarias, equipos, y en la construcción.  Aluminio, cobre, zinc.  Bienes de consumo durables.  Plomo, antimonio, cadmio, tungsteno, indio. Industrias en general o sectores no  Estaño productores de bienes y servicios.  Plata  Bismuto  Selenio  Roca fosfórica.

Sector agrario.

 Arsénico.  Oro

Sector Financiero

 Plata Los fines de uso de los minerales permiten realizar la siguiente clasificación: a)

Metálicos: 

De utilidad general: fierro, cobre, plomo, níquel y mercurio. 16

b)

 Metales ligeros, imprescindibles en la era espacial: aluminio, magnesio, titanio., etc.  Metales preciosos: oro, plata, platino, etc.  Metales ferrosos de uso industrial: cromo, manganeso, molibdeno, tungsteno, vanadio, berilio, etc. No metálicos:      

c)

Azufre y pirita: fuentes de ácido sulfúrico. Nitratos, fosfatos y potasa: para fertilizantes y otros usos. Fluospar, dolomita, magnesita, criolita: en procesos metalúrgicos. Cal, tiza: diversos usos. Caolín, arcilla: diversos usos Asbesto, mica, grafito y otros: usos especiales.

Combustibles:  Carbón de piedra: dependiendo de la calidad tiene diversidad de usos.  Petróleo.  Gas natural.

CAPITULO II 17

MATEMATICA FINANCIERA 2.1. Definición. Es una rama de la matemática aplicada que estudia el valor cronológico del dinero, es decir el valor que toma el dinero con respecto al tiempo, al combinar elementos fundamentales que lo condicionan como son: capital, tasa de interés y el tiempo, para conseguir un rendimiento o interés económico, al brindarle herramientas y métodos que permitan tomar la decisión más correcta al momento de realizar una inversión. 2.2. Relaciones de las Matemáticas Financieras con otras Disciplinas: Según Tovar Jiménez, José y Carlos Ortiz, Mairena, establecen que es fundamental una adecuada toma de decisiones en muchas disciplinas del que hacer humano, para este fin se recurre a las matemáticas aplicadas, que permitirá lograr resultados adecuados y coherentes para el logro de los fines que se persiguen. A continuación detallamos algunas de las disciplinas fundamentales donde interviene la matemática financiera. 2.2.1. Contabilidad: Es el proceso mediante el cual se identifica, mide, registra y comunica la información económica de una organización o empresa, con el fin de que las personas interesadas puedan evaluar la situación de la entidad. Relación: Suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente privado o publico, que permitirá tomar la decisión mas acertada al momento de realizar inversiones. 2.2.2. Derecho: Es el conjunto de leyes, preceptos y reglas, a los que están sometidos los hombres que viven en toda sociedad civil. El derecho posee diferentes ramas por lo que se relaciona de diversas maneras con las matemáticas financieras.  Derecho Mercantil: es el conjunto de leyes relativas al comercio y a las transacciones realizadas en los negocios. Relación: En sus leyes se encuentran artículos que regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías; que representan instrumentos esenciales en las finanzas.

 Derecho Civil: es el conjunto de normas e instituciones destinadas a la protección y defensa de la persona y de los fines que son propios de ésta. Relación: Regula la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, los contratos de compra y venta, disposiciones sobre hipotecas, prestamos a interés; que representa el campo de estudio de las matemáticas financieras, es decir, todas las transacciones económicas que estudia esta disciplinas.

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2.2.3. Economía: Es una ciencia social que estudia los procesos de producción, distribución, comercialización y consumo de bienes y servicios; es decir, estudia la riqueza para satisfacer necesidades humanas. Relación: esta disciplina brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podría obtener mayores beneficios económicos. 2.2.4. Ciencia Política: es una disciplina que predispone el estudio sistemático del gobierno en su sentido más amplio. Abarca el origen de los regímenes políticos, sus estructuras, funciones e instituciones, las formas en que los gobiernos identifican y resuelven problemas socioeconómicos y las interacciones entre grupos e individuos importantes en el establecimiento, mantenimiento y cambio de los gobiernos. Relación: Las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que tengan que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manos de los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la población. 2.2.5. Ingeniería: Es él termino que se aplica a la profesión en la que el conocimiento de las matemáticas y la física; alcanzado con estudio, experiencia y practica, se aplica a la utilización eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza. Relación: Esta disciplina controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción. 2.2.6. Informática: Es el campo de la ingeniería y de la física aplicada, relativo al diseño y aplicación de dispositivos, por lo general circuitos electrónicos, cuyo funcionamiento depende del flujo de electrones para la generación, transmisión, recepción y almacenamiento de información. Relación: Esta disciplina ayuda a ahorrar tiempo y a optimizar procedimientos manuales que estén relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones. 2.2.7. Finanzas: Es el termino aplicado a la compra-venta de instrumentos legales cuyos propietarios tienen ciertos derechos para percibir, en el futuro, una determinada cantidad monetaria. Relación: Esta disciplina trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y prestamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras. 2.2.8. Sociología: Es la ciencia que estudia el desarrollo, la estructura y la función de la sociedad. Esta analiza las formas en que las estructuras sociales, las instituciones y los problemas de índole social influyen en la sociedad.

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Relación: La sociedad posee empresas que necesitan el buen manejo o una buena administración de los recursos tanto humano como material. La matemática financiera trabaja con inversiones y le proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que esas empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad. 2.3. Interés económico y financiero. Según el glosario de términos de definición.org, se define la tasa de interés o sólo interés como: “Es la valoración del costo que implica la posesión de dinero producto de un crédito. Rédito que causa una operación, en cierto plazo, y que se expresa porcentualmente respecto al capital que lo produce. Es el precio en porcentaje que se paga por el uso de fondos prestables”. Desde una interpretación semántica el término interés queda establecido según R. Nicolau Casellas, como: “El vocablo “interés” proviene del latín “inter esse” que significa “estar entre”. Tratamos de explicar la idea: si tenemos un capital inicial de 100 unidades monetarias (um) y al cabo de un tiempo dado tenemos 120 um, lo que esta en medio entre ambas cifras, es la diferencia (20 um) y corresponde precisamente a los intereses”. Desde un punto de vista técnico, el interés es el costo del dinero y su cálculo, se fundamenta en: a) El capital inicial prestado o ahorrado, que financieramente se denomina valor presente (P). b) El periodo o fracción de tiempo (t). c) La tasa de interés, que es un porcentaje (i) El costo del dinero puede establecerse por día, por semana, por mes, etc., siendo lo más usual que el dinero se preste a una tasa de interés anual. 2.3.1. Regímenes de Intereses. Bajo las consideraciones de efectivización entre los entes naturales o jurídicos que lo aplican, los intereses se establecen bajo dos regímenes: interés simple e interés compuesto. a)

Interés Simple.

En la modalidad de interés simple, el interés de cada periodo es calculado siempre en función del capital o monto inicial: De acuerdo a lo establecido el interés simple se puede formular del modo siguiente:

Interés Simple (I) = Capital Inicial (P) x Tasa de Interés (i) x Tiempo (t)

20

El monto final, o financieramente denominado valor futuro (F), se calcula mediante la siguiente fórmula: F = P + I = P (1 +it)

Ejemplo Nº 2 – 001: Se pide un préstamo bancario de US $ 1,000.00, con una tasa de interés de 60 % nominal anual, esto es 15 % trimestral. Calcular el interés simple que debe generarse durante un año y los montos finales que se generarían trimestralmente. El interés generado durante un año es de: I = P x i x t = 1,000.00 x 0.60 x 1 = US $ 600.00 El monto final o valor futuro será de: F = P (1 + it) = 1,000.00 (1 + 0.60 x 1) = US $ 1,600.00 Los montos trimestrales generados son: TABLA Nº 2 – 004 MONTOS TRIMESTRALES CON INTERES SIMPLE

TRIMESTRE 1 2 3 4

MONTO INICIA 1,000.00 1,150.00 1,300.00 1,450.00

Como podemos apreciar en el cuadro expuesto, los intereses generados trimestralmente son siempre los mismos. b)

Interés Compuesto.

En la actualidad, el uso del interés simple se ha restringido a algunas operaciones comerciales, siendo el interés compuesto el de mayor utilización para actividades económicas y financieras. El proceso de capitalización denominado interés compuesto, establece el criterio del pago sobre el capital inicial y sobre el interés establecido. Por lo general se calcula el interés compuesto sobre una tasa anual, la cual puede ser capitalizada en forma continua, diaria, mensual, bimestral, trimestral o semestral. Por lo establecido, el monto final o futuro de una capital invertido, ahorrado o prestado, se calcula utilizando la siguiente fórmula matemática: F = P (1 + i)n

21

Donde: F = Monto Final o Valor Futuro P = Monto inicial o Valor Presente i = Tasa de interes. n = Número de períodos. Ejemplo Nº 2 – 002: Se pide un préstamo bancario de US $ 1,000.00, con una tasa de interés compuesto anual de 60 % nominal, esto es 15 % trimestral. Calcular el monto final que debe generarse durante un año y los montos finales que se generarían trimestralmente. Aplicando la fórmula general tendremos el siguiente resultado: F = P (1 + i)n = 1,000.00 (1 + 0.60)1 F = US $ 1,600.00 Bajo las consideraciones de la aplicación de un interés compuesto de 60/4 = 15 % trimestral, los resultados que se obtienen se muestran el la Tabla N° 2 – 005: TABLA Nº 2 – 005 MONTOS TRIMESTRALES CON INTERES COMPUESTO

TRIMESTRE 1 2 3 4

MONTO INICI 1,000.00 1,150.00 1,322.50 1,520.88

En el Gráfico N° 2 – 006, observamos la diferencia que se predispone entre un monto final generado por la aplicación de un interés simple y un interés compuesto, bajo las consideraciones de un mismo monto inicial y una misma tasa de aplicación, lo cual estaría produciendo que para periodos de tiempo mayores existiría un incremento del interés compuesto que se obtiene.

22

GRAFICO Nº 2 – 006 COMPARACION DE MONTOS FINALES GENERADO POR UN INTERÉS SIMPLE Y UN INTERES COMPUESTO

1,800.00

2.3.2. Tipos de Tasa de Interés.

En el mercado financiero existe una gran variedad de tipo de intereses, que además dependen de los efectos de su aplicación. En el presente tratado, nos referimos a los tipos de tasa de interés de acuerdo a su aplicación en el mercado financiero en concordancia con las entidades que solicitan los préstamos (prestatarios). a)

Tasa de Interés Nominal (in).

Es la tasa de interés básica que se nombra o declara en una operación financiera. Por lo general el valor correspondiente a esta tasa lo determina el Banco Centra de cada país, para transacciones bancarias y comerciales; pero también, se puede establecer por contrata de los prestamistas y prestatarios. Esta tasa de interés por lo general se establece para un periodo anual y es propio de cada unidad monetaria. Por ejemplo en el país el Banco de la Nacional establece un promedio de 6 % anual para una cuenta de ahorros, mientras que esta misma entidad establece un 18 % anual para préstamos.

1,700.00

b)

Tasa de Interés Periódica (ip).

1,600.00

Esta tasa se determina para diferentes fracciones de tiempo, generalmente periodos menores a un año, el cual es directamente proporcional al tiempo establecido. Por

)

23

ejemplo, si la tasa de interés nominal anual es de 60 % su tasa de Interés periódica mensual, será de: 60/12 = 5 %. Por lo tanto podemos establecer que: ip =

in x 100 m

Donde: ip = Tasa de interés periódica, correspondiente al periodo del año. in = Tasa de interés nominal anual dividida entre 100. m = Número de periodos al año. c)

Tasa de Interés Efectiva (ief).

Es la tasa que utilizan las entidades bancarias y financieras, para la concretización de pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier tipo de gastos que la operación implique. Esta tasa de interés es la variación que sufre el interés periódico por la aplicación de un interés compuesto a los periodos de tiempo que se establecen durante un año, de aquí que su fórmula matemática, sea la siguiente: ief = [(1 +

in m ) −1] x 100 m

Donde: Ief = Tasa de interés efectiva anual in = Tasa de interés nominal anual dividida entre 100. m = Número de veces al año que se acumulan intereses al capital (capitalización). Ejemplo 2 – 003: Determinar la tasa de Interés efectiva anual, de una tasa de interés nominal del 60 %, capitalizable mensualmente. Ief = [(1 + in/m)m – 1) x 100] = [(1 + 0.60/12)12 – 1) x 100] Ief = 79.59 % d)

Tasa de Interés Continua (ic).

Este tipo de tasa de interés se genera cuando, el número de periodos, m, por año, es bastante grande. Por lo establecido deducimos que el radio de interés periódico, in/m, será muy pequeño.

24

Aplicando geometría analítica de límites podemos deducir: ic = limite [(1 + in/m)m – 1] m∞ ic = limite [{(1 + in/m)m/in}in – 1] m∞ ic = limite [em/inln(1+in/m)]in – 1 m∞ ic = ein - 1 Ejemplo 2 – 004: ¿Qué tasa de interés efectiva es equivalente a las siguientes consideraciones? 1.

Una tasa de interés nominal de 8 % compuesto trimestralmente.

ief = [(1 + 0.08/4)4 –1] x 100 = 8.243 % 2.

Una tasa de interés nominal de 8 % compuesto diariamente.

ief = [(1 + 0.08/365)365 –1] x 100 = 8.328 % 3.

Una tasa de Interés nominal de 8 % compuesto continuo.

ic = (e0.08 – 1) x 100 = 8.329 % e)

Tasa de Interés Real (ir).

Una de las variables que influye sobre el poder adquisitivo del dinero con respecto al tiempo, es la inflación, la Tasa de Interés Real establece esta variable (inflación) para corregir los efectos causados sobre una tasa de interés efectiva, ya que esta última es la que más se aplica en las transacciones financieras; la influencia de la inflación queda determinada en la siguiente fórmula que determina la tasa de interés real: Ir = [(ief - ϕ )/(1 + ϕ )] x 100 Donde: Ir = Tasa de Interés Real anual. ief = Tasa de Interés efectiva anual dividida entre 100. ϕ = Tasa de Inflación anual dividida entre 100.

25

La inflación puede condicionarse de dos maneras: Ex – post.- Es decir después de haberse producido el efecto inflacionario, el cual es utilizado para encontrar el costo real de una operación financiera, una vez efectuada la misma. Ex – ante.- Antes de que suceda el efecto inflacionario, como efecto para tomar decisiones, por lo cual la inflación será una variable estimada, con la consiguiente incertidumbre de su cumplimiento. Ejemplo Nº 2 – 005: Calcular la tasa de interés real, producida una inflación de 2.35 % en el año 2006, bajo las consideraciones de una moneda nacional, considerando una tasa efectiva anual de 79.59 %: Ir = [(ief - ϕ )/(1 + ϕ )] x 100 = [(0.7959 – 0.0235)/(1 + 0.0235)] x 100 Ir = 75.47 % 2.3.3. Determinación de la Tasa de Interés Nominal. Como se manifestó anteriormente la tasa de interés nominal queda fijada anualmente por el Banco de Crédito de cada país, al cual denominaremos tasa de interés bancario, el cual sirve como base para determinar las tasas que podrían aplicarse a cada tiempo de empresa económica o financiera, lográndose así establecer la denominada tasa mínima atractiva de retorno y la tasa interna de retorno, esta última bajo consideraciones económicas es la máxima tasa de interés que podría lograrse por efectos económicos financieros. De un modo gráfico sencillo esto podría apreciarse del modo siguiente: GRAFICO Nº 2 – 007 TASAS DE INTERES

TASAS DE IN 26

Del grafico inferimos que una TIB, produciría el mínimo interés que estará generándose por la inversión de un capital determinado, tomándose como inversión en este caso un ahorro establecido, si asumimos que en moneda extranjera (dólar), ahorramos US $ 100.00 y la tasa de interés bancario es de 2 % anual, el interés generado anual sería de US $ 2.00, que representaría la ganancia de una persona natural o jurídica. Pero, bajo las circunstancias que esta misma persona natural o jurídica, desease invertir en una actividad empresarial se debe establecer una TMAR, que por las consideraciones de inversión están sujetas a riesgos de inversión, que inclusive podrían llegar a la pérdida del capital invertido. Los riesgos de una actividad empresarial tienen características de internas y externas; en el caso de consideraciones internas están los riesgos técnicos y económicos; en cuanto a los externos se encuentran los efectos de políticas económicas y sociales. Por ejemplo en el caso de la minería un riesgo técnico será la determinación de las reservas de mineral y en el caso de política económica encontramos la variación del precio de los metales en el mercado internacional, y como política social, encontramos por ejemplo el cambio de un mandato presidencial. La cuantificación de los riesgos es típica de la actividad empresarial la cual se establece, por ejemplo en el caso de la minería el valor del riesgo estaría variando entre 50 % a 100 %. Esto estaría generando una TMAR entre 27 % a un 36 % anual. 2.4. Formulas de Interés Compuesto en Toma de Decisiones. La toma de decisiones sobre acciones técnicas, económicas o financieras, conllevan al éxito o fracaso de una actividad empresarial, siendo la elección económica y/o financiera la de mayor preponderancia para determinar la(s) mejor(es) alternativa(s). El flujo económico y/o financiero de una actividad empresarial sobre diferentes periodos de tiempo; considerando el flujo como un efecto monetario de ingresos, egresos o combinación de ambos; para una aplicación específica; esta relacionada a seis (06) fórmulas básicas de interés compuesto, que a su vez se sustentan únicamente a cinco (05) variables, que en el presente tratado se detallarán con la siguiente nomenclaturas: P = Valor Presente, referido a un valor de ingresos o costos monetarios. F = Valor futuro, referido a un valor de ingresos o costos monetarios. A = Valor anual, de una serie de “n” valores anuales iguales, realizados al final de cada periodo de interés, denominado también valor anual equivalente. i = Tasa de interés efectiva por periodo (utilizaremos esta nomenclatura por consideraciones de simplificación, ya que la nomenclatura del interés efectivos es ief). n = Número de periodos de interés. Gráficamente, estas variables pueden ser visualizadas del modo siguiente:

27

GRAFICO Nº 2 – 008 VALOR CRONOLOGICO DEL DINERO

Cada problema de interés esta compuesto de cuatro (04) de estas variables, tres (03) de las cuales son valores dados y el cuarto debe ser determinado. Para facilitar la solución de problemas complejos, se recomienda utilizar la notación denominada estándar, que describe de un modo particular las consideraciones de configuración de las variables que intervienen en un problema específico. Por ejemplo: La notación estándar (F/P,i,n), significa que la variable incógnita (es decir que debe ser hallada) es F (valor futuro); conocidos: P (valor presente), i (tasa de interés efectiva) y n (periodo anual de tiempo). La notación estándar (A/F,i,n); significaría, determinar “A”, dados “F”, “i” y “n”. Los seis (06) factores derivados para la solución de problemas de interés compuesto, son las siguientes:

0

2.4.1. Factor de Pago Simple – Cantidad compuesta. Mediante este factor se calcula el valor futuro simple, teniendo como dato el valor presente simple. Un análisis de la generación del interés y del monto final en los diferentes periodos de tiempo, nos conduce a los siguientes resultados: Primer Periodo: Capital inicial  P Interés

P

VALOR P

 Pi

Capital Final  P (1 + i) Segundo Periodo: Capital Inicial  P (1 + i) Interés

 [P (1 + i)]i

Capital Final  P(1 + i)2.

28

Tercer Periodo: Capital Inicial  P(1 + i)2.  [P(1 + i)2]i

Interés

Capital Final  P(1 + i)3. Por analogía establecemos que en el periodo final (n), tendremos: Capital Inicial  P(1 + i)n-1.  [P(1 + i)n-1]i

Interés

Capital Final  P(1 + i)n. Este último valor así determinado viene a representar al valor futuro, por lo tanto en forma genérica tendremos: F = P (1 + i ) n

El factor (1 + i)n, es el denominado Factor de Pago Simple – Cantidad Compuesta, cuya denominación estándar es: (1 + i)n = (F/P, i, n) Ejemplo Nº 2 – 006: Calcular el monto final, después de 7 años, de una inversión inicial de US $ 1,250.00 al 8 % efectivo compuesto anualmente. F = 1,250.00 (1 + 0.08)7 F = US $ 2,142.28 2.4.2. Factor de Pago Simple – Cantidad Presente. Mediante este factor se realiza la transformación de un valor futuro a un valor presente, utilizando la siguiente fórmula: P =F [

1 ] (1 + i ) n

29

El factor 1/(1 + i)n, es el denominado Factor de Pago Simple – Cantidad Compuesta, el mismo que tiene la siguiente denominación estándar: [1/(1 + i)n] = (P/F, i, n) Ejemplo Nº 2 – 007: Si se necesita un monto final US $ 6,500.00 al final del año 5, que cantidad debe invertirse en la actualidad, con una tasa de interés efectiva de 7.5 % compuesto anual. P = 6,500.00 [1/(1 + 0.075)5] P = US $ 4,527.63. 2.4.3. Factor de Series Uniformes - Cantidad Compuesta. Este factor nos permite calcular el valor futuro, de una series de valores anuales equivalente. Analíticamente podemos establecer lo siguiente: Para: n = 1



F=A

n= 2



F = A (1 + i) + A

n =3



F = A (1 + i) (1 + i) + A (1 + i) + A F = A (1 + i)2 + A (1 +i) + A

De donde podemos establecer que para un periodo de tiempo “n”, tendremos la siguiente relación: F = A (1 + i)n-1 + A (1 + i)n-2 + ………….. + A (1 + i) + A F = A [(1 + i)n-1 + (1 + i)n-2 + ………….. + (1 + i) + 1] Si multiplicamos esta última ecuación por (1 + i), obtendremos: F (1 + i) = A [(1 + i)n + (1 + i)n-1 + ………….. + (1 + i)2 + (1 + i)]

30

Sustrayendo estas dos últimas ecuaciones, tendremos: Fi = A [(1 + i)n – 1] F = A[

(1 +i ) n −1 ] i

La relación [(1 + i)n – 1]/i, se denomina Factor de Series Uniformes - Cantidad Compuesta, y tiene la siguiente notación estándar: [(1 + i)n – 1]/i = (F/A, i, n). Ejemplo Nº 2 – 008. Si se realizaron inversiones anuales de US $ 725.00, durante 12 años consecutivos, con un interés efectivo compuesto anual de 9 %, determinar la cantidad total generada al final de este periodo. F = [725.00 (1 + 0.09)12 – 1]/0.09 F = US $ 14,602.02 2.4.4. Factor de Depósito de Fondo de Amortización. Este factor nos permitirá determinar el valor anual equivalente de un valor futuro establecido; la interrelación entre estas dos variables es la siguiente: A =F [

i ] (1 + i ) n −1

El factor i/[(1 + i)n – 1], es el denominado Factor de Depósito de Fondo de Amortización, cuya notación estándar es: i/[(1 + i)n – 1] = (A/F, i, n) Ejemplo Nº 2 – 009: Si se considera una tasa de interés efectiva anual de 6 %, que cantidad debe depositarse al final de cada año para redituar US $ 2,825.00 al final del año 7. A = 2,825.00 x 0.06/ [(1 + 0.06)7 – 1] A = US $ 336.56. 2.4.5. Factor de Series Uniformes – Valor Presente Mediante este factor se realiza la transformación de valores anuales equivalentes a un valor presente, el mismo que puede ser deducido del modo siguiente:

31

Si:

F = A [(1 + i)n – 1]/i

y

F = P (1 + i)n.

Luego: P (1 + i)n = A [(1 + i)n – 1]/i P =A

(1 + i ) n −1 i x (1 + i ) n

El valor [(1 + i)n – 1]/[i x (1 + i)n], es el denominado Factor de Series Uniformes – Valor Presente, y cuya denominación estándar es la siguiente: [(1 + i)n – 1]/[i x (1 + i)n] = (P/A, i, n) Ejemplo Nº 2 – 010: Una inversión producirá US $ 610.00, al final de cada año durante 15 años. Si la tasa de interés efectiva compuesta anual es de 10 %. ¿Cuál es el valor presente de esta inversión?. P = 610.00 [(1 + 0.10)15 – 1]/[0.10 x (1 + 0.10)15] P = US $ 4,639.71 2.4.6. Factor de Recuperación del Capital. Mediante este factor se calcula el valor de las anualidades equivalentes, de un valor presente, para lo cual se utiliza la siguiente fórmula de matemática financiera: A =P

i x (1 + i ) n (1 + i ) n −1

Donde [i(1 + i)n]/[(1 + i)n – 1], es el denominado Factor de Recuperación del Capital, cuya formulación estándar es el siguiente: [i(1 + i)n]/[(1 + i)n – 1] = (A/P, i, n) Ejemplo Nº 2 – 011: Se ofertan US $ 3,500.00 para una inversión; determinar cuanto se conseguirá al final de cada año en un periodo de 6 años para la justificación de esta inversión a una tasa de interés efectiva anual de 12 %. A = 3,500.00 {[0.12(1 + 0.12)6]/[(1 + 0.12)6 – 1]}

A = US $ 851.29

32

En el Cuadro Nº 2 – 009, presentamos en forma resumida las fórmulas de los factores antes descritos: CUADRO Nº 2 – 009 FORMULAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS

NOM BRE, FORM ULA

1. Factor de Pago Simp n

(1 + i) 2.5. Aplicación General de la Matemática Financiera en Toma de Decisiones. La aplicación de las fórmulas antes descritas, tienen la finalidad de tomar decisiones técnico – financieras, ya que establecido el aspecto técnico de características generales o específicas, se aplica el enfoque económico, permitiendo de este modo realizar la selección de consideraciones análogas o mutuamente excluyentes.

2. Factor de Pago Simp

Para la solución integral de problemas de matemáticas financieras, se debe recurrir a dos etapas, lo cual permitirá el planteamiento y la solución adecuada del problema, las etapas son las siguientes: 2.5.1. Primera Etapa.- Identificación de Variables: Los problemas de matemáticas financieras, como quedó establecido, se base en cinco (05) variables: Valor Presente, Valor Futuro, Valor Anual Equivalente, Tasa de Interés y Periodo de duración. En esta primera etapa, se identifican las variables que condicionan valores dados y se establece la variable que se desea determinar.

n

1/(1 + i)

2.5.2. Segunda Etapa.- Elaboración del Diagrama o Flujo Económico: En problemas generales y específicamente en aquellos de difícil interpretación, es útil visualizar el problema a través de un flujograma económico, a criterio del proyectista,

33

donde se interrelaciona el Efecto Económico frente al Periodo de Tiempo establecido. Tal como se muestra en el Grafico Nº 2 - 010: GRAFICO Nº 2 – 010 INTERRELACION EFECTO ECONOMICO VS. TIEMPO

P

A

A

A

1

2

3

0

A

A

n-1

F

n TIEMPO

Donde: P = Valor Presente. F = Valor Futuro A = Valor Anual Equivalente 0, 1, 2, n-1, n = Período de tiempo En el caso descrito de representación, los valores anuales equivalentes, así como el valor presente y el valor futuro, se establecen como valores económicos positivos, la representación de valores negativos estarían precedido por el signo menos (-). Algunos autores prefieren hacer una representación de valores económicos mediante flechas, los valores positivos tendrán las flechas hacia arriba, mientras que los negativos lo harán con flechas hacia abajo, tal como se aprecia en el Gráfico Nº 2 – 011 GRAFICO Nº 2 – 011 REPRESENTACION SAGITAL DE UN FLUJO ECONOMICO

P

0

F A

A

A

A

1

2

3

n-1

34

n TIEMPO

Para dar solución a problemas de matemáticas financieras, es necesario establecer criterios de solución adecuados, ya que un mismo problema puede resolverse de varias formas, pero al final del proceso deben arribarse a resultado similares. Ejemplo 2 – 012: Una inversión minera establece el siguiente criterio económico, para la oportunidad de canalización de un determinado capital; el monto invertido genera US $ 1,000.00 durante los tres (03) primeros años y US $ 600.00 para los dos (02) años siguientes. Si al final del periodo de inversión no se tienen un valor de rescate y la tasa de interés para este tipo de inversiones es de 12 % efectivo anual. Establecer el monto que debe tenerse para ejecutar dicho proyecto. Solución: Como se puede apreciar, la aplicación directa de una de las fórmulas antes indicadas no estaría solucionando el problema en mención, por lo cual es necesario recurrir a un análisis de solución, en este caso el problema en discusión puede ser resuelto de tres modos diferentes. El planteamiento general del problema utilizando las etapas antes mencionadas, es el siguiente: Primera Etapa: El análisis del problema, nos conduce a determinar que las conocidos son: Valor anual, Tasa de interés anual efectiva y Mientras que el valor que se desea conocer es el valor presente, calculado de los valores anuales, que en este caso tienen datos equivalentes.

variables con valores el periodo de tiempo. el mismo que debe ser numéricos que no son

Segunda Etapa: El flujograma económico se puede simular del modo siguiente: P =?

0

A1

A2

A3

1

2

3

A4

4

Donde: P = Valor presente, incógnita del problema

35

A5

5

Tiempo (años)

A1 = A2 = A3 = US $ 1,000.00. A4 = A5 = US $ 600.00 Primera Alternativa de Solución: En esta alternativa, se establece el criterio de solución, predisponiendo dos arreglos: considerando dos flujos con los valores anuales equivalentes dados, en el segundo flujo se calcula un valor presente hipotético en el periodo tres (03) y se realiza su posterior conversión al momento actual. P

P A1

A1

A1

A2

A2

+ 0

1

2

3

t

0

1

2

3

4

P’ Donde: P = Valor presente, incógnita del problema A1 = US $ 1,000.00 A2 = US $ 600.00 P’ = Valor presente hipotético. Planteamiento estandarizado del problema: P = A1(P/A, i, n) + A2((P/A, i, n) x (P/F, i, n)) P = 1000(P/A, 12, 3) + 600((P/A, 12, 2) x (P/F, 12, 3)). Planteamiento específico del problema: P = 1000((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n) + 600((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n) x (1/(1 + i)n) P = 1000((1.12)3 – 1)/0.12(1.12)3) + 600((1.12)2 – 1)/0.12(1.12)2) x (1/(1.12)3) P = US $ 3,123.61

36

5 t

Segunda Alternativa de Solución: Para la solución del problema, establecemos dos flujos, que tengan valores anuales equivalente, tal que se puedan aplicar las fórmulas de un modo directos, como detallamos a continuación: P

P A1

A1

A1

A1

A1

A2

A2

A2

+ 0

1

2

3

4

5 t

0

1

2

3

t

Donde: P = Valor presente, incógnita del problema A1 = US $ 600.00 A2 = US $ 400.00 Planteamiento estandarizado del problema: P = A1(P/A, i, n) + A2(P/A, i, n) P = 600(P/A, 12, 5) + 400(P/A, 12, 3) Planteamiento especifico del problema: P = A1((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n) + A2((1 + i)n – 1)/i(1 + i)n) P = 600((1.12)5 – 1)/0.12(1.12)5) + 400((1.12)3 – 1)/0.12(1.12)3) P = US $ 3,123.60 Tercera Alternativa de Solución: En esta alternativa, se consideran los valores de las anualidades en forma independiente, establecidos como valores futuros para poder aplicar la fórmula del valor futuro para cada uno de ellos. La simulación gráfica será del modo siguiente:

37

P A1

0

1

A2

A3

2

A4

3

A5

4

5

t

Donde: P = Valor presente, incógnita del problema A1 = A2 = A3 = US $ 1,000.00 A4 = A5 = US $ 600.00 Planteamiento estandarizado del problema: P = A1(P/F, i, n) + A2(P/F, i, n) + A3(P/F, i, n) + A4(P/F, i, n) + A5(P/F, i, n) P = 1,000(P/F, 12, 1) + 1,000(P/F, 1000, 2) + …. + 600(P/F, 12, 4) + 600(P/F, 12, 5) Planteamiento específico del problema: P = A1/(1 + i)n + A2/(1 + i)n + A3/(1 + i)n + A4/(1 + i)n + A5/(1 + i)n P = A1/(1.12)1 + A2/(1.12)2 + A3/(1.12)3 + A4/(1.12)4 + A5/(1.12)5 P = 1,000/(1.12)1 + 1,000/(1.12)2 + 1,000/(1.12)3 + 600/(1.12)4 + 600/(1.12)5 P = US $ 3,123.00 2.6. Series de Gradientes. Los flujos económicos no permanecen constantes a lo largo de un periodo de tiempo, dependiendo del tipo de empresa, se producen incrementos que pueden tener consideraciones aritméticas o geométricas. Si bien es cierto que las soluciones pueden tener características convencionales, existen algoritmos matemáticos para solucionar estos problemas, sin la aplicación de muchas iteraciones. 2.6.1. Series de gradientes aritméticas. El incremento o decremento de una cantidad fija periódica sucesiva, produce una serie de gradiente aritmética, “G”. Bajo estas circunstancias el flujo económico anual tendrá dos componentes: a) Una cantidad constante, al cual denominaremos “A1”, similar al flujo económico del primer periodo. b) Una cantidad variable que se determina según la relación: (n – 1) x G. 38

Para solucionar este tipo de problemas, se transforman los valores variables de “G”, a un valor constante, aplicando la siguiente fórmula: 1  n A2 = G  − ( A / F , i, n)  i i 

El factor de conversión de cantidades variables a una cantidad constante futura: 1 n  − ( A / F , i , n )  , es el denominado “factor de series aritméticas”, su designación  i i 

estándar es (A/G, i, n). El cálculo de la cantidad anual se realiza utilizando la siguiente fórmula: A = A1 + A 2 A = A1 + G(A/G, i, n)

2.6.2. Series geométricas. Una gradiente geométrica establece que el incremento o decremento de un flujo económico, entre periodos sucesivos no es una cantidad constante, sino un porcentaje constante. Si representamos por “j” el porcentaje de cambios entre periodos contiguos, y si se tiene un valor de flujo económico constante como “A” en cada periodo anual; el flujo económico en cualquier periodo siguiente, “k”, es: Ak = A(1 + j)k-1. El valor presente de una serie de gradientes geométricas, se calcula según la fórmula: n

P = ∑A (1 + j ) K =1

P = A(1 + j )

k

k −1

(1 + i ) k

(1 + j ) k ∑ k =1 (1 + i ) n

Bajo estas consideraciones, se pueden diversificar dos fórmulas, dependiendo de los valores relativos que pueden tomar “i” y “j”. Para i = j P=

nA (1 + i )

39

Para i ≠ j 1 − (1 + j ) n (1 + i ) −n  P = A  (i − j )  

Ejemplo 2 – 013: Los beneficios que genera una planta de fundición y refinación de cobre, son en la actualidad US $ 1’400,000.00 anualmente, la tasa de interés efectiva anual que se considera para este tipo de empresas es de 8 %, determinar el valor presente de tales beneficios para los próximos 10 años, si: a) Las ventas se incrementan a razón de US $ 150,000.00 al año. b) Si las ventas se incrementan en 10 % anual. Solución: a) Variables establecidas para la serie de gradientes aritméticas i=8% n = 10 años. G = US $ 150,000.00 A1 = US $ 1’400,000.00 Formulación estándar para la transformación de la serie de gradiente en un valor anual equivalente. A2 = G(A/G, i, n)



A2 = 150,000(A/G, 8 %, 10).

Fórmula especifica para la determinación del valor anual equivalente de la serie de gradientes: 1 n A2 = G  − i i 

  i    (1 + i ) n − 1    

 1  10  0.08   A2 = 150 ,000  − 10  0.08  (1 + 0.08 ) − 1  0.08   

A2 = US $ 580,697.09 A = A1 + A2 A = 1’400,000.00 + 580,697.09 A = US $ 1’980,697.09 40

El Valor presente se determina considerando: La formulación estandarizada: P = A (P/A, i, n)



P = 1’980,697.09 (P/A, 8%, 10)

La formulación específica aplicada es: n ( 1 + i ) −1 P=A n i (1 + i )

(1.08 )10 − 1 10 0.08 (1.08 )

P = 1'980 ,697 .09

P = US 13’290,638.70 b) Variables establecidas para la serie de gradientes geométricas: i=8% j = 10 % n = 10 años A1 = 1’400,000.00 Aplicando la fórmula específica, cuando i ≠ j, tendremos: 1 − (1 + j ) (1 + i ) P = A (i − j )  n

−n

  

1 − (1.10 ) (1.08 ) P =1'400 ,000  0.08 − 0.10  10

−10

  

P = US $ 14’098,323.20 2.7. Efectos económicos de proyectos frente al radio de retorno (ROR). El radio de retorno de la inversión, es una tasa de interés que se determina con la finalidad de conocer el porcentaje de utilidad generado al realizar una inversión, este valor debe calcularse frente a los beneficios brutos y los costos de producción establecidos en un proceso productivo o bajo la generación de un servicio. Para la toma de una decisión adecuada los valores obtenidos de un análisis matemático financiero, que calculan este valor, se comparan con tasas de interés estándares propios de cada actividad empresarial, definitivamente valores mayores a las tasas estándares serán los adecuados para iniciar o dar continuidad al proceso.

41

Ejemplo 2 – 014: Se realiza una inversión de US $ 10,000.00 que serán amortizados en 5 años, con pagos mensuales de US $ 2,630.00. Determinar el radio de retorno (ROR) de esta inversión. Solución: Para la solución de este tipo de problemas, se hace una comparación del valor presente invertido, que como se deduce será un valor negativo, así mismo este valor se compara con las amortizaciones anuales que como son pagos también establecen valores negativos, por lo cual se pueden trabajar como si fuesen valores positivos. Aplicamos la fórmula estándar del valor presente frente a las anualidades establecidas. P = A(P/A, i, n) 10,000 = 2,638 (P/A, i, 5). Como se puede apreciar en esta última formulación, el valor desconocido es la tas de interés “i”, aplicando la fórmula específica, tendremos:  (1 + i ) 5 − 1 10 ,000 = 2,638  5   i (1 + i ) 

Para solucionar este tipo de problemas, consignamos el método de pruebas y errores, esto es se asimilan valores que supuestamente podrías estar cercanos a la solución final y por último aplicando una interpolación, se consigue el resultado deseado. a) Asimilación de valor cercanos al resultado de P = US $ 10,000.00, esto es: Para i = 8 %:  (1 + 0.08 ) 5 − 1  10 ,000 = 2,638  5   0.08 (1 + 0.08 ) 

10,000 = 10,523.77 Como se puede apreciar, este valor es ligeramente mayor al resultado deseado, como “P” e “i”, son inversamente proporcionales, realizaremos la tentativa de aproximación con un valor de “i” mayor a 8. Para i = 11%  (1 + 0.11) 5 − 1  10 ,000 = 2,638  5  0.11 (1 + 0.11) 

10,000 = 9,749.78

42

b) Interpolación de resultados: 8%



10,532.76

ROR %



10,000.00

11 %



9,749.78

Realizando una resta entre el último valor y el primer valor y entre el último valor y el segundo valor, tendremos: 3%



- 782.98

(11 – ROR) %



- 250.22

Estableciendo el criterio de igualdad del producto de extremos por extremos, tendremos: (11 – ROR) x (- 782.98) = 3 x (-250.22) Calculando el ROR: ROR = 10.04 % 2.8. Aplicación de la Matemática Financiera a la Minería. 2.8.1. En proyectos de inversión minero metalúrgicos. Bajo estas consideraciones, se determina el valor de la variable que permitirá tomar una decisión adecuada, esto a criterio del proyectista. Aplicación 2 – 015: Una empresa minera ha determinado que su radio de retorno sobre la inversión es de 10 % efectivo anual. Bajo esta consideración ha establecido que su flujo económico de procesamiento para dar inicio a la actividad minera – metalúrgica de su yacimiento es el siguiente: Debe realizar una inversión inicial de US $ 200,000.00, los cuales deben generar ingresos netos anuales de US $ 20,000.00, durante los 10 años de vida útil del yacimiento mineral, al final de este periodo las instalaciones y equipamiento de mina y planta, establecen un valor de rescate de US $ 250,000.00. Solución: Cualquiera de las tres variables que establecen valores económico, esto es: valor presente, valor futuro o valor anual equivalente podrían predisponer la solución al problema dado, pero no serían suficiente para una toma de decisión adecuada. a) Considerando el valor presente para dar solución al problema:

43

Con el planteamiento estandarizado del problema, tendremos: P = -II + IN(P/A, i, n) + F(P/F, i, n). Donde: P = Valor presente II = Inversión inicial IN = Ingresos netos F = Valor futuro P = -200,000.00 + 20,000(P/A, 10, 10) + 250,000(P/F, 10, 10) El planteamiento específico será:  (1 + ROR ) n − 1  250 ,000 20 , 000 P = -200,000 +  n n  +  ROR (1 + ROR )  (1 + ROR )

 (1 + 0.10 ) 10 − 1  250 ,000 P = -200,000 + 20 ,000  10  + (1 + 0.10 )10  0.10 (1 + 0.10 ) 

P = US $ 19,277.16 El resultado del valor presente nos permite deducir, que bajo las consideraciones expuestas en el periodo establecido de 10 años tendríamos una rentabilidad de US $ 19, 277.16, este valor positivo calculado no es un indicador suficiente para realizar una toma adecuada de decisión de inversión. b) Considerando el ROR para solucionar el problema. El planteamiento estandarizado nos detalla: II = IN(P/A, i, n) + F(P/F, i, n) 200,000.00 = 20,000(P/A, ROR, 10) + 250,000(P/F, ROR, 10) El planteamiento específico será:  (1 + ROR ) n − 1  250 ,000 20 , 000 200,000 =  n n  +  ROR (1 + ROR )  (1 + ROR )

 (1 + ROR ) 10 − 1  250 ,000 200,000 = 20,000  +  10 10  ROR (1 + ROR )  (1 + ROR )

44

Aplicando el método de interpolación, tendremos: Para 12 %



193,497.77

Para ROR %



200,000.00

Para 10 %



219,277.16

Realizando una sustracción entre el primer valor y el último valor, y entre el segundo valor y el último valor, obtenemos: 2%



- 25,779.39

(ROR – 10) %



- 19,277.16

Luego: ROR = 11.50 % Como podemos observar este valor de ROR así obtenido, es ligeramente mayor al 10 %, por lo tanto se acepta la inversión para este proyecto, como podemos observar el ROR, nos permite realizar una toma de decisión más adecuada. 2.8.2. En la toma de decisiones de proyectos mutuamente excluyentes: Bajo estas consideraciones, se analizan diferentes proyectos de inversión, que pueden ser canalizados por personas naturales o jurídicas, de modo que se seleccione la mejor alternativa de inversión. Aplicación 2 – 016. Una empresa minera desea realizar inversiones en tres diferentes proyectos minero – metalúrgicos, los cuales tienen 6 años de vida útil y cuyo radio de retorno es de 10 % anual efectivo. Las consideraciones económicas que se consignan son las siguientes:

CUADRO Nº 2 – 012 PROYECTOS ALTERNATIVOS PROYECTO

INVERSION INICIAL (US $)

INGRESOS BRUTOS ANUALES (US $)

45

GASTOS ANUALES (US $)

VALOR DE RESCATE (US $)

1 2 3

100,000.00 150.000.00 200,000.00

60,000.00 90,000.00 110,000.00

20,000.00 35,000.00 50,000.00

40,000.00 50,000.00 70,000.00

Solución: En este caso, se puede utilizar cualquiera de las variables de toma de decisiones, ya que el mayor valor obtenido de entre los proyectos, será el que determine la mejor alternativa. Utilizando el cálculo del valor presente, la formulación estandarizada genérica, es la siguiente: P = - II + IBA(P/A, i, n) – GA(P/A, i, n) + VR(P/F, i, n) ó P = - II ± INA(P/A, i, n) + VR(P/F, i, n).

Donde: P = Valor presente. II = Inversión inicial. IBA = Ingresos brutos anuales. GA = Gastos anuales VR = Valor de rescate Proyecto 1: Considerando la segunda formulación estandarizada tendremos: P = -100,000 + 40,000(P/A, 10, 6) + 40,000(P/F, 10, 6). La formulación específica, es la siguiente:  (1 + 0.10 ) 6 − 1  40 ,000 P = -100,000 + 40 ,000  6 6  +  0.10 (1 + 0.10 )  (1 + 0.10 )

P = US $ 96,789.40 Proyecto 2:  (1 + 0.10 ) 6 − 1  50 ,000 P = -150,000 + 55,000  6  + (1 + 0.10 ) 6  0.10 (1 + 0.10 ) 

46

P = US $ 117,763.00 Proyecto 3:  (1 + 0.10 ) 6 − 1  70 ,000 P = -200,000 + 60 ,000  6 6  +  0.10 (1 + 0.10 )  (1 + 0.10 )

P = US $ 100,828.80 La mejor alternativa es el proyecto 2, el cual debe ser seleccionado. 2.8.3. En la selección económica de equipos y maquinarias de mina y planta. Esto nos permite tomar decisiones sobre la adquisición de dos o más tipos de equipos y maquinas que se utilizarán en las operaciones de mina o de plantas de tratamiento de minerales, también por analogía se usa para el reemplazamiento de equipos minero-metalúrgicos. Aplicación 2 - 017: Una unidad operativa minera, esta considerando dos tipos diferentes de fajas transportadoras, para el manipuleo del mineral desde el interior de la mina hasta la cancha de gruesos. La Faja Nº 1, tiene un costo inicial de de US $ 10,000.00, los costos de operación y mantenimiento anuales es de US $ 3,000.00, mientras que su valor de rescate será de US $ 6,000.00 al final de su vida útil consignada en 6 años. La Faja N° 2, tiene un costo inicial de US $ 15,000.00, y sus costo de operación y mantenimiento son del orden de US $ 2,000.00 al año, considerando un valor de rescate de US $ 10,000.00 al final de 6 años de operación. Si el ROR para este tipo de inversiones es de 15 % efectivo anual, establecer la mejor alternativa económica. Solución: Si aplicamos el algoritmo del valor presente y tratándose de costos tanto inicial, como de operación y mantenimiento anual, que deben ser consignados con valores negativos, lo asimilamos a valores positivos, mientras que el valor de rescate debe tener una valor negativo; la decisión final se establecerá considerando el menor de los valores obtenidos, por ser el menor costo; la formulación estándar para ambos casos, es la siguiente. P = CI + COM(P/A, i , n) – VR(P/F, i, n). Donde: P = Costo presente del flujo económico

47

CI = Costo inicial del bien. COM = Costo de operación y mantenimiento. VR = Valor de rescate. F = Valor futuro. La solución especifica, es como sigue: Faja Nº 1:  (1 + ROR ) n − 1  5,000 P = 10,000 + 3,000   n n  ROR (1 + ROR )  (1 + ROR )

 (1 + 0.15 ) 6 − 1  5,000 P = 10,000 + 3,000  6 6   0.15 (1 + 0.15 )  (1 + 0.15 )

P = US $ 19,191.80 Faja Nº 2:  (1 + ROR ) n − 1  10 ,000 2 , 000 P = 15,000 +  n n   ROR (1 + ROR )  (1 + ROR )

 (1 + 0.15 ) 6 − 1  10 ,000 P = 15,000 + 2,000   6 6  0.15 (1 + 0.15 )  (1 + 0.15 )

P = US $ 18,245.70 Si bien es cierto, que la diferencia entre los valores de las alternativas es de US $ 946.10, pero la selección corresponde a la Faja Nº 2, por ser el de menor costo. 2.8.4. En la toma de decisiones que consideran diferentes horizontes de vida útil. En algunos aspectos del desarrollo minero, es necesario considerar diferentes horizontes de vida para realizar selecciones de proceso, equipos, maquinarías, recursos físicos, etc. La metodología más aplicada para dar solución a este tipo de problemas es el denominado “reemplazamiento de igual categoría”, este método asume tiempos de horizontes de vida iguales que para la alternativa de mayor duración, estableciendo para el tiempo hipotético adicionado, consideraciones de flujos económicos repetitivos a los generados en el horizonte de vida de menor duración. Aplicación 2 – 018:

48

Una empresa minera que explotará un yacimiento metálico por el método a cielo abierto, tiene dos alternativas para la adquisición de cargadores frontales de diferentes capacidades, los mismos que establecen diferentes usos y periodos de operación. Se considera la adquisición de un cargador frontal que tiene un costo inicial de US $ 225,000.00 y su costo de operación y mantenimiento anual es de US $ 30,000.00, con un valor de rescate de US $ 150,000.00 al final de los 6 años de vida útil, este equipo minero ha sido considerado para el desbrozamiento del sobreencape que tendrá una duración de 3 años y 3 años adicionales de minado del tajo abierto. El segundo cargador frontal de menor capacidad que el anterior, que únicamente será utilizado para el desencape del material que sobreyace al yacimiento, tiene un costo inicial de US $ 67,500.00, mientras que sus costos de operación y mantenimiento anual son desorden de US $ 60,000.00 y sus valor de rescate en este periodote tiempo es de US $ 37,500.00. El ROR, para este tipo de inversiones es de 15 % efectivo anual. Determinar la mejor alternativa de inversión. Solución: Estableciendo el flujograma económico de ambas alternativas, donde se visualiza un flujo económico hipotético para la segunda alternativa, se consideran a los costos como valores positivos y a los ingresos con valores negativos. Primera Alternativa: CI

COM

0

1

COM 2

COM

COM

COM

COM -L

3

4

5

6

COM

COM

4

5

t

Segunda Alternativa: CI

COM

0

1

COM 2

COM-L CI 3

3

COM -L 6

t

Flujo económico hipotético Donde: CI = Costo inicial COM = Costo de mantenimiento y operación L = Valor de rescate Solución:

49

Considerando el valor presente como la variable solución y aplicando las fórmulas específicas, tendremos: Primera alternativa:  (1.15 ) 6 − 1  150 ,000 30 , 000 P = 225,000 +  6  (1.15 ) 6  0.15 (1.15 ) 

P = US $ 273,685.30 Segunda Alternativa:  (1.15 ) 6 − 1  [67 ,500 − 37 ,500 ] 37 ,500 P = 67,500 + 60 ,000  +  6 (1.15 ) 6 (1.15 ) 3  0.15 (1.15 ) 

P = US $ 298,082.20 Como podemos observar, se selecciona la primera alternativa, por ser el de menor costo.

CAPITULO III VARIABLES ECONOMICAS ESTÁTICAS Y DINAMICAS EN LA MINERIA

50

3.1.

Concepto y clasificación de costos en la actividad minera.

La actividad minera, como un efecto empresarial, establece gastos en las diferentes etapas en la cual se desarrolla, esto es desde el descubrimiento del mineral en el cateo y/o prospección hasta la etapa en que se comercializan los productos minerales obtenidos (ya sea como concentrados o sea como productos terminados). Al no existir una regla específica que determine la clasificación de costos. Una clasificación general de los costos en minería, sería el siguiente: a)

Inversiones o Costos de Capital.

Los costos de capital o inversiones tienen tres componentes principales: el activo fijo o capital fijo, el activo circulante o capital circulante, y activo intangible. a.1. El activo fijo, son los fondos necesarios para la adquisición del conjunto de bienes que poseerá una empresa, que tiene una vida útil dada, que se destina en forma directa o indirecta a realizar la producción industrial, en el caso de un proyecto inicial minero, los costos mas significativos son:      industrial, etc.)   

Adquisición de terrenos. Desarrollo de preproducción. Estudios ambientales y permisos. Equipos mineros y/o metalúrgicos, instalaciones y servicios. Infraestructura (vías de comunicación, energía eléctrica, agua Diseño e ingeniería. Construcción y montaje. Contingencias o imprevistos.

a.2. El activo circulante o capital circulante, representa el dinero necesario para empezar la operación y asumir las obligaciones subsiguientes durante la puesta en marcha del proyecto. Este monto esta constituido por: Dinero en caja y bancos, cuentas por cobrar, cuentas por pagar e inventario. a.3. El activo intangible, son los que determinan un valor por su adecuación, pero que no pueden ser visualizados físicamente, entre estos tenemos:     

Patentes y marcas registradas de la empresa. Estudios y organizaciones en general. Capacitación al personal. Investigaciones realizadas. Derechos adquiridos por la empresa.

Para casos específicos de minería, los costos de capital que pueden ser establecidos, serían tomando como base del CES (Cost Estimating System), desarrollado por la Mineral Availability Field Office del US Bureau of Mines, que es el siguiente: A. Evaluación del impacto ambiental. 51

B y C. Minería a cielo abierto y subterráneo         

Exploración. Desarrollo de preproducción. Equipos mineros. Transporte. Instalaciones y servicios mineros. Infraestructura. Restauración durante la construcción. Ingeniería y dirección de la construcción. Capital circulante.

D. Tratamiento de minerales.           

Conminución. Beneficio. Separación sólido líquido. Hidrometalurgía. Aplicaciones especiales. Transporte. Servicios generales. Infraestructura. Restauración. Ingeniería y dirección de construcción. Capital circulante.

E. Infraestructura General.      b)

Accesos. Servicios generales. Instalaciones de carga. Transporte. Tratamiento de aguas residuales. Capital de trabajo.

Es el monto económico necesario para mantener en marcha el proceso productivo hasta su posterior comercialización. Por lo cual es el capital requerido una vez finalizada la etapa de anteproyecto, construcción y puesta en marcha del proyecto. Este capital se destina a:

   c)

Stock de materiales e insumos Gastos de comercialización Disponibilidad mínima en caja y bancos. Costos de Operación.

52

Son los montos económicos necesarios para el desarrollo de las operaciones unitarias y auxiliares en el proceso minero – metalúrgico. Los rubros donde se deben detallar este tipo de costos son:



Costos directos: -

Mano de obra. Maquinarías y equipos Materiales e insumos



Costos indirectos: -

d)

Mano de obra. Maquinarías y equipos Materiales e insumos Costo de Producción:

Entendemos por Costos de producción, a la sumatoria de todos los gastos que ocasiona el proceso productivo, hasta poner el producto comerciable en el puerto de embarque, FOB. Estos costos incluyen la mano de obra, materiales e insumos y los pagos por servicios, etc, no consideran los gastos administrativos, ni los costos financieros, ni los tributos que deben ser pagados. e)

Gastos administrativos:

Montos económicos destinados para el mantenimiento continúo de la producción de la empresa minera, a través del personal, equipos y materiales e insumos, de apoyo directo o indirectos de la actividad minera. Está constituido por:

• • • • • f)

Planilla Pas Sueldos del personal de apoyo: legal y logístico Pagos por asesoramiento. Gastos en equipamiento Gastos de materiales. Tributación en Minería

En la minería como en cualquier actividad empresarial esta sujeta a tributos propios del Estado Peruano, en el caso específico de esta actividad los tributos a que esta sujeto son los siguientes:

• Derecho de tenencia de la concesión.- en este caso se paga un dólar por hectárea por año en concesiones por exploración para el caso de la pequeña minería y tres dólares en el caso de la mediana y gran minería, monto absorbido por el MINEM. 53

• Derecho de vigencia de la propiedad minera.- Monto similar que el anterior, pero

para concesiones por explotación, pagados anualmente durante la vida útil del yacimiento minero, absorbido por el MINEM. • Impuesto a la renta de personas naturales (IRPN) y jurídicas (IRPJ), aplicado al monto de ingresos netos generados por la actividad que desarrolla, en el caso de la minería es del 50 %. • Impuesto General a la Ventas (IGV), establecido por las transacciones comerciales de compra y venta de productos, normativamente es de 19 %, del monto establecido. • Impuesto Selectivo al Consumo (ISC), tiene un impuesto especifico para cada producto 3.2. Método del análisis marginal. 3.2.1. Fundamentos.El análisis del factor marginal nos permitirá establecer las siguientes variables técnico-económicas empresariales: a) Las ganancias o pérdidas de la empresa minera a diferentes niveles de producción. b) La explotación económica del yacimiento para alcanzar el objetivo de rentabilidad establecido por la empresa minera. c) La sensibilidad de la rentabilidad o ganancia, bajo posibles fluctuaciones del precio de los metales en el mercado internacional, los costos productivos de la empresa, y volúmenes de producción y venta de los metales o minerales obtenidos. Los detalles antes mencionados se sustentan en tres variables fundamentales: los ingresos brutos económicos generados, los costos de producción, y los niveles de producción. Los ingresos en el caso de la minería se encuentran establecidos por el tipo de mineral y el precio de los metales predispuestos en el mercado internacional. En el caso de los costos estos se sustentan en los costos variables y costos fijos. 3.2.2. Interrelación de las Variables Fundamentales.Gráficamente las variables fundamentales se pueden visualizar en el gráfico Nº 3 - 013. Estas variables en el gráfico expuesto establecen efectos lineales, que muy pocas veces se cumplen en la realidad, por lo que es necesario realizar ajustes al momento de establecer criterios para un mayor grado de precisión de los parámetros de producción, costos y rentabilidad.

GRAFICO Nº 3 – 013

54

FACTOR ECONOMICO

INGRESOS BRUTOS COSTO TOTAL COSTO VARIABLE

COSTO FIJO

PRODUCCION

La relación de las variables, se establece del modo siguiente: CT = CV + CF CV = CVU x T I

= PU x T

Donde: CT

= Costo Total

CV

= Costo Variable

CF

= Costo Fijo

CVU

= Costo Variable Unitario

T

= Cantidad Producida.

I

= Ingresos Brutos Económicos

PU

= Precio Unitario del mineral.

3.2.3. Análisis de la Producción Económica.Teniendo las variables antes mencionadas, la utilidad económica (UE) generada antes del pago de los gastos financieros y de los impuestos, se establece según la fórmula: UE = PU x T - (CF + CVU x T) La rentabilidad (r) que se genera, se define como la utilidad económica sobre los costos totales, produciéndose la siguiente fórmula matemática: r =

PU x T −(CF +CV U x T ) CF +CV U x T

La producción económica que se debe obtener en forma teórica, se deduce de la fórmula antes establecida, es decir:

55

PU x T - (CF + CVU x T) = r (CF + CVU x T) = r x CF + r x CVU x T PU x T - CVU x T - r x CVU x T = r x CF + CF T[PU - CVU (1 + r)] = CF (1 + r)

T =

CF (1 +r ) PU −CV U (1 +r )

.................................... (1)

3.2.4. Análisis del Factor Marginal.El análisis marginal define a la Explotación Mínima (EM) del yacimientos, donde el nivel de rentabilidad de la empresa minera es nula, r = 0, lo cual predispone que los ingresos brutos generados equilibran exactamente a los costos totales. Bajo este efecto, la fórmula (1), con una rentabilidad igual a cero, considera la producción mínima del yacimiento minero, donde la fórmula matemática es la siguiente: EM =

CF PU −CV U

……………………… (2)

La producción EM, así calculada, representa la cantidad de mineral que debe comercializarse, sin que se generen ni ganancias ni pérdidas, es decir que la utilidad neta será igual a cero (0). El Factor Económico Crítico (FEC), esto es, la cantidad monetaria que tiene la dualidad de ser ingresos brutos y costos totales a la vez, se determinan mediante el siguiente análisis matemático, multiplicamos la ecuación (2) por “PU”, se obtiene: PU x T =

PU x CF PU −CV U

Luego, FEC, se determinará por la fórmula: FEC =

CF CV U 1− PU

…………………….. (3)

Gráficamente, los parámetros antes manifestados se visualizarían del modo siguiente:

GRAFICO Nº 3 – 014

56

FACTOR ECONOMICO

INGRESOS COSTO TOTAL PUNTO DE EQUILIBRIO

COSTO VARIABLE

FEC COSTO FIJO

EM

PRODUCCION

3.2.5. Rentabilidad Máxima. Establecidas las consideraciones económicas y técnicas de un proyecto, es necesario determinar los límites máximos de rentabilidad que puede tener la empresa, bajo consideraciones analíticas, esto reobtendría cunado las cantidades producidas y vendidas sean infinitas, sin producirse cambios en las otras variables. Esto matemáticamente puede establecerse del modo siguiente: En la ecuación (1), se tendría: Cuando T  ∞

[PU – VU(1 + r)]  0

La rentabilidad máxima (r*) se obtiene de la relación PU = VU(1 + r*). Luego: PU = VU + VU r*. r*=

PU −1 VU

…………………… (4)

Gráficamente, la función de rentabilidad de una empresa, se puede representar entre un valor mínimo de “r”, esto es -100 %, es decir la pérdida total de los costos incurridos, y el valor máximo “r*” y r = 0 en el punto de equilibrio.

r

r*

GRAFICO Nº 3 – 015 0

T 57

-1

EM

3.3. Ley mínima explotable. 3.3.1. Fundamentos.La ley mínima explotable, denominado en el idioma inglés “cut off grade”, mal traducido como ley de corte, ya que traducción real debe ser ley mínima de corte, permitirá determinar en el proceso de minado de la unidad productiva minera las siguientes consideraciones: a) La ley del mineral de mina, que propiciará que los ingresos netos que se generen sean igual a cero (0), esto es que los ingresos brutos económicos sean iguales a los costos de producción. b) Determina que mineral, dentro del proceso de explotación, debe ser extraído bajo consideraciones de rentabilidad económica; es decir establece el planeamiento de minado de las labores mineras de explotación. c) Permite determinar la rentabilidad óptima de la empresa, de un modo continuo. d) La determinación correcta de la ley mínima explotable es de vital importancia para definir la cantidad de reserva mineral que sustentará el proyecto minero a ejecutarse en un determinado periodo de tiempo. La ley mínima explotable debe ser calculada como mínimo anualmente y a lo largo del horizonte de vida del proyecto minero, de allí que esta variable tiene un carácter dinámico. Bajo consideraciones de una variación de las variables que lo condicionan, tales como el precio de los metales y los costos de producción, su cálculo puede ser realizado tantas veces como sea necesario durante un año, de modo que se consignen la explotación rentable del yacimiento en operación, especialmente cuando se produce la caída del precio de los metales en el mercado internacional. Determinación de la ley mínima explotable. En toda operación minera, para un cierto valor de ley de mineral (Lm) le corresponde un valor económico (Vm), como se puede indicar: Lm

Vm 58

Si al valor del mineral le deducimos el Costo de Producción (Cp), se tiene el margen de ganancia de la operación (Mg): Lm

Vm – Cp = Mg

En un depósito mineralizado, se tiene la opción de trabajar leyes más altas que la ley mínima explotable, de modo que el valor del mineral será superior al costo de producción, es decir reportará ganancias: Vm > Cp = Ganancia

Lm Vm Por lo contrario, si la ley de mineral disminuye debajo de la ley mínima explotable, habrá pérdidas: Lm

Vm

Vm < CP = Pérdida De esta manera se pasa de una posición de ganancias a otra de pérdidas, lo que significa que en dicho tramo, en algún momento habrá un punto cero, sin ganancias ni pérdidas económicas, es decir: Vm

= Cp

En este momento se predispone la ley mínima explotable (Lme).

Vm > Cp = Ganacia

Lm

Vm

Lme

Vm = Cp

Lm

Vm 59 Vm < CP = Pérdida

Si consideramos la siguiente relación: Lm

Vm

Lme

Cp

Establecemos la fórmula de la ley mínima explotable. Lme = Lm x

Cp Vm

Otro modo de calcular la ley mínima explotable es aplicando la siguiente fórmula: Lme =

Cp PN x R

Donde: Lme = Ley mínima explotable Cp = Costo de producción. PN = Precio neto pagable. R = Recuperación metalúrgica del mineral. Las fórmulas establecidas para el cálculo de la Lme, son aplicables en yacimientos monometálicos. Para calcular la Lme en yacimientos polimetálicos, se aplican las mismas fórmulas, pero con ciertas variaciones, en la Aplicación 3 – 023, se desarrolla un problema para la determinación de la Lme en yacimientos polimetálicos. Por otro lado, en yacimientos polimetálicos también se puede calcular la Lme, considerando las equivalencias respectivas entre los minerales con valor económico, en la Aplicación 3 – 024, se presenta un problema de este tipo. 3.4. Aplicaciones a la minería 60

Aplicación 3 – 019 (análisis marginal) La Mina Pierina, tiene una explotación de 22,000 toneladas métricas secas por día (TMSD), considera una explotación promedio mensual de 25 días, considerando el precio actual del oro en US$ 1,000.00 la onza troy y teniendo que el costo fijo anual es de US$ 125’345,000.00, mientras que su costo variable es de US$ 18.50/TMS, realizar el análisis marginal de este proyecto aurífero, si tiene una recuperación metalúrgica inicial de 80 %, mientras que su recuperación final es de 90 %, la promedio del mineral de mina es de 6 gr/TMS. Solución: 1.

Ley mínima pagable (LMP).

LMP = 6 gr/TMS x 0.80 x 0.90 = 4.32 gr/TMS. 2.

Producción Anual Calculada.(PAC)

PAC = 22,000 x 25 x 12 = 6’600,000 TMSA 3.

Contenido fino del mineral procesado (CFP)

CFP = 6`600,000 TMSA x 4.32 gr/TMS = 28’512,000 gr/año de oro fino 4. (PT) P=

Ingresos económicos brutos generados por la producción anual US $1,000 .00 / onzt x 28 '512 ,000 gr / año =US $ 916'784,56 31 .1 gr / onzt

5. r =

Rentabilidad (r). 916 '784 ,566 −(125 '345 ,000 + 6'600 ,000 x 18 .5) (125 '345 ,000 + 6'600 ,000 x 18 .5)

r = 2.70 = 270 % 6. PU =

Precio unitario del mineral de mina. US $ 916 '784 ,566 6'600 ,000 TMS

PU = US$ 138.91/TMS 7.

Explotación mínima del yacimiento.

125 '345 ,000 EM = 138 .91 −18 .50

EM = 1’040,985 TMSA 61

6.00

EM = 3, 470 TMSD 8.

Factor económico crítico.

FEC =

125 '345 ,000 18 .50 1− 138 .91

FEC = US$ 144’603,221.91/año 9.

Rentabilidad máxima

r*=

r*=

PU −1 VU

138 .91 −1 18 .5

r* = 6.51 = 651 % Aplicación 3 – 020 (análisis marginal) Una unidad minera, establecida como pequeña productora; determina que sus costos totales para producir 1,000 TMSM (toneladas métricas secas por mes) de concentrado de plomo es de US$ 5,000.00, mientras que los costos totales para producir 1,500 TMSM de concentrado de plomo es de US$ 6,000.00. Asumiendo que los costos variables están en relación directa con el rango de producción. Determinar lo siguiente: a) El costo variable unitario. b) El costo fijo. c) El costo fijo unitario para la producción de las 1,000 TMSM de concentrado. d) Si el precio del concentrado es de US$ 10.00/TMS, determinar la explotación mínima (EM) e) Bajo las mismas consideraciones que para el punto anterior, calcular el factor económico crítico (FEC). f) Si reproducen 200 TMSM de concentrado, determinar la pérdida que se genera.

Solución: Recurriendo a una solución gráfica, que nos permitirá consignar soluciones preliminares, tendremos lo siguiente: Metodología:

62

1. En el eje de las absisas de un sistema de coordenadas cartesianas, establecemos la producción de concentrado de plomo a una escala determinada a libre albedrío. 2. En el eje de las ordenadas se establece el factor económico también a una escala a criterio del proyectista. 3. Se consignan puntos de interrelación producción – factor económico, tales como A y B, del Grafico Nº 3 – 016, los cuales se originan trazando líneas perpendiculares a los ejes de las absisas y ordenadas para una determinada producción y factor económico; esto es, que para 1,000 TMS que establece un costo de US$ 5,000.00, tendremos el punto “A”, mientras que para la producción de 1,500 TMS y un costo de US$ 6,000.00, se tendrá el punto “B”. GRAFICO Nº 3 – 016 FE (US$) 10000

INGRESOS BRUTOS

8000

COSTO TOTAL 6000

B AA

4000

2000

COSTO VARIABLE COSTO FIJO

PUNTO DE EQUILIBRIO

T(TMSM) 500

1000

1500

2000

2500

4. Uniendo los puntos A y B, obtendremos la perspectiva del costo total. 5. Si se traza una recta paralela al eje de las absisas; a partir del punto de intersección, de la recta de costo total y el eje de las ordenadas, obtendremos el costo fijo, que en este caso es de US$ 3,000.00, aproximadamente. 6. El costo variable, es una recta paralela al costo total, a partir del eje de las coordenadas. La solución analítica, nos permite obtener los siguientes resultados:

63

a) El costo variable unitario (CVU), se deduce como la pendiente del costo total, que a su vez es la pendiente del costo variable, por lo cual aplicando geometría analítica obtendremos la siguiente relación. CV U =

US $ (6,000 −5,000 ) (1,500 −1,000 ) TMS

CVU = US$ 2.00/TMS b) costo total.

Para calcular el costo fijo, partimos del principio del

CT = CV + CF, que también se puede representar como: CT = CVU (T) + CF, de donde: CF = CT – CVU (T). Si en esta última ecuación reemplazamos el costo total de una determinada producción, obtendremos el costo fijo (CF). CF = US$ 5,000.00 – (US$ 2.00/TMS) (1,000 TMS) CF = US$ 3,000.00. El mismo resultado se obtiene, si consideramos los otros valores, esto es: CF = US$ 6,000.00 - (US$ 2.00/TMS) (1,500 TMS) CF = US$ 3,000.00. c) concentrado será CF U =

El costo fijo unitario (CFU), para las 1,000 TMS de

CF , de aquí: T

CF U =

US $ 3,000 .00 1,000 TMS

CFU = US$ 3.00/TMS d) fórmula establecida. EM =

Para determinar la explotación mínima, aplicamos la

CF PU −CV U

64

EM =

US $ 3,000 .00 US $10 .00 / TMS −US $ 2.00 / TMS

EM = 375 TMSM e) tendremos: FEC =

FEC =

Aplicando la fórmula del factor económico crítico,

CF CV U 1− PU US $ 3,000 .00 US $ 2.00 / TMS 1− US $10 .00 / TMS

FEC = US$ 3,750.00 f) Para establecer la perdida originada por producir 200 TMSM, consideramos la siguiente relación: IN = IB – (CV + CF) Donde: IN = Ingresos netos. IB = Ingresos brutos, IB = PU (T) CV = Costo variable, CV = CVU (T), luego: IN = PU (T) – [CVU (T) + CF] IN = US$ 10.00/TMS (200TMS) – [US$ 2.00/TMS (200TMS) + US$ 3,000] IN = - US$ 1,400.00. Aplicación 3 – 021 (ley mínima explotable). En la aplicación 3 – 019, Tenemos que el precio unitario del mineral oro es de US$ 138.91/TMS, mientras que sus costos unitarios totales ascienden a la suma de US$ 37.50/TM, para una ley del mineral de 6 gr/TMS. Determinar su ley mínima explotable. Solución: Aplicando la fórmula establecida, tendremos:

65

Lme = Lm x

Cp Vm

Lme = 6 gr / TM x

US $ 37 .50 US $138 .91

Lme = 1.62 gr/TMS. Esto considera que el yacimiento minero Pierina tiene como ley mínima explotable 1.62 gr/TMS, bajo esta ley las utilidades económicas netas son iguales a cero (0), es decir, no se establecen pérdidas ni ganancias económicas. Aplicación 3 – 022 (ley mínima explotable). Se desea saber cual es la ley mínima explotable de una empresa minera aurífera cuyos costos de producción ascienden a US$ 65.00 por tonelada de mineral extraído, y su recuperación metalúrgica es de 75 %. Asumamos que el precio del oro es de US$ 926.00/onza y el precio neto pagable es de 80 % de la cotización del oro. Solución: Aplicando la fórmula: Lme =

Lme =

Cp PN x R

US $ 65 .00 / TMS US $ 926 .00 / onz x 0.80 x 0.75

Lme = 0.12 onz/TMS. = 3.64 gr/TMS. Nota: El producto de US$ 926.00/onz por 0.80, nos proporciona el precio neto pagable (PN). Aplicación 3 – 023 (Lme en yacimientos polimetálicos) Una unidad minera de producción procesa concentrados selectivos de plomo – plata y zinc, cuyo balance metalúrgico se observa en el Cuadro Nº 3 – 013, para el cálculo de la Lme durante el año 2008, se consideran los siguientes precios proyectados de los metales valorizables: oro = US$ 918.00/onz, plata = US$ 15.20/onz, plomo = US$ 1.18/lb y Zn = US$ 0.85/lb. Los costos de producción generados son los siguientes: Costo de minado

US$ 17.40/tc

Desarrollo y preparación

14.50

Proceso metalúrgico

13.80

66

Gastos generales

4.50

Imprevistos

5.00

TOTAL

US$ 55.20/tc CUADRO Nº 3 – 017 BALANCE METALURGICO

P R O D U C C IO N TCSD % Pb

IT E M Solución:

C abeza 3 ,0 0 0 .0 0 1. Se realiza la valorización de los concentrados selectivos: C onc. P b - A g 1 5 8 .2 3 1.1. Valorización del concentrado de plomo – plata. Ca)o Valor n c delZ mineral n 3 5 .5 4 R e la v e 2 ,8 0 6 .2 3 Plomo :

12 .45 % x 2,000 .00 lbs / tc x US $1.18 = 100 .00 %

US $

293 .82 / tc .

Plata: 176.27 onz/tc x US$ 15.20/onz

=

2,679.30

Oro:

=

312.12

0.34 onz/tc x US$ 918.00

Valor Bruto del Concentrado de plomo

=

US$

3,285.24/tc

=

US$

785.00/tc

=

US$

2,500.24/tc

0 .9 6 1 2 .4 5 0 .8 7 0 .1 9

b) Deducciones por maquila y castigos por Impurezas Valor Neto del concentrado de plomo

1.2. Determinación del valor unitario neto de cada metal en el concentrado de plomo. a) Se calcula la constante de valorización (K1), dividiendo el valor neto entre el valor bruto:

67

%

1 6

K1 =

US $ 2,500 .24 / tc US $ 3,285 .24 / tc

K1 = 0.76105 b) Se calcula el valor neto de cada elemento, del modo siguiente: Plomo = 0.76105 x 293.82

= US$

223.58/tc

Plata = 0.76105 x 2,679.30

= US$

2,039.05/tc

Oro

= US$

237.61/tc

Valor neto del concentrado = US$

2,500.24/tc

= 0.76105 x 312.12.

c) Utilidad neta por tonelada de mineral de mina UN =

VC N RC

Donde: UN = Utilidad neta del concentrado (US$/t) VCN = Valor neto del concentrado RC = Ratio de concentración. Aplicando la fórmula: UN =

US $ 2,500 .24 / tc x 0.80 18 .96

UN = US$ 105.50/tc 0.80 viene a ser la recuperación del mineral de mina. d) Utilidad neta por cada elemento metálico del mineral de mina. Plomo :

Plata :

Oro :

US $ 223 .58 / tc x 0.80 = US $ 9.43 / tc . 18 .96

US $ 2,039 .05 / tc x 0.80 = US $ 86 .04 / tc . 18 .96

US $ 237 .61 / tc x 0.80 18 .96

TOTAL

= US $ 10 .03 / tc .

= US$ 105.50/tc

68

1.3. Valorización del concentrado de zinc. a) Valor del mineral Zinc :

60 .21 % x 2,000 .00 lbs / tc x US $ 0.85 / lb = 100 .00 %

US $

1,023 .57 / tc

Plata: 23.62 onz/tc x US$ 15.20/onz

=

359.02

Oro:

0.08 onz/tc x US$ 918.00

=

73.44

Valor Bruto del Concentrado de Zinc

=

US$

1,456.03/tc

=

US$

792.00/tc

b) Deducciones por maquila y castigos por Impurezas Valor Neto del concentrado de zinc =

US$

664.03/tc

1.4. Determinación del valor unitario neto de cada metal en el concentrado de zinc. a) Se calcula la constante de valorización (K2), dividiendo el valor neto entre el valor bruto: K2 =

US $ 664 .03 / tc US $ 1,456 .03 / tc

K2 = 0.45605 b) Se calcula el valor neto de cada elemento, del modo siguiente: Zinc = 0.45605 x 1,023.57

= US$

466.80/tc

Plata = 0.45605 x 359.02

= US$

163.73/tc

Oro

= US$

33.50/tc

Valor neto del concentrado = US$

664.03/tc

= 0.45605 x

73.44

c) Utilidad neta por tonelada de mineral de mina UN =

VC N RC

Aplicando la fórmula: UN =

US $ 664 .03 / tc x 0.80 84 .40

69

UN = US$ 6.29/tc 0.80 viene a ser la recuperación del mineral de mina. d) Utilidad neta por cada elemento metálico del mineral de mina. Zinc :

US $ 466 .80 / tc x 0.80 = US $ 4.42 / tc . 84 .40

Plata :

Oro :

US $ 163 .73 / tc x 0.80 = US $ 1.55 / tc . 84 .40

US $ 33 .50 / tc x 0.80 84 .40

TOTAL

= US $ 0.32 / tc.

= US$ 6.29/tc

1.5. Valor neto generado por cada elemento metálico. Plomo:

US$

9.43/tc

Plata:

US$ 87.59/tc

Oro:

US$ 10.35/tc

Zn:

US$

VN

US$ 111.79/tc

4.42/tc

1.6. Cálculo de la ley mínima explotable. Aplicando la fórmula genérica establecida tendremos. Lme = Lm x

Cp Vm

Lme − Pb = 0.96 x

55 .20 = 0.474 % 111 .79

Lme − Ag = 13 .72 x

Lme − Au = 0.03 x

Lme − Zn = 2.16 x

55 .20 = 6.775 onz / tc 111 .79

55 .20 = 0.0148 onz / tc 111 .79

55 .20 = 1.067 % 111 .79

Aplicación Nº 3 – 024 (Lme en yacimientos polimetálicos, utilizando equivalencias).

70

Si tiene un yacimiento minero con contenidos de zinc y plata cuyos costos totales ascienden a US $ 90/TM minada. La recuperación metalúrgica de la plata es de 60 % y del zinc es de 80 %. Se determina que la cotización promedio, para el año en estudio, de la plata es de US$ 15.20/onza y del zinc US$ 0.85/lb. El método de tratamiento es de flotación, obteniéndose un concentrado de zinc. Realizada la valorización del concentrado, las deducciones al contenido pagable son; de 30 % en la plata y de 45 % en el zinc, respectivamente, estas deducciones son por maquila y penalidades al concentrado. Contenido pagable de la plata: Precio neto x recuperación = US$ 15.20/onza x 0.70 x 0.60 = US$ 6.384/onza. Lo que determina que el valor de una onza de plata es de US $ 6.384 De donde deducimos que 1 $ = 0.1566 onzas de plata ….……………………….(a) Contenido pagable del zinc: Precio neto pagable x recuperación = US$ 0.85/lb x 0.55 x 0.80 = US$ 0.374/lb. Lo que determina que 1 libra de zinc vale US $ 0.374. Determinándose que 1 $ = 2.6738 lb de zinc. 1 $ = 2.6738 lb = 0.1213 % de Zn ........................................................................ (b) Nota: Teniendo el factor de conversión de 2,204.60 lb/TM. Igualando (a) y (b), se obtiene la equivalencia de estos dos elementos: 0.1566 onzas de plata = 0.1213 % de zinc. Por lo tanto: 1onza Ag = 0.7746 % de zinc. ................................................................................. (c) 1 % de zinc = 1.2910 onz de plata. ............................................................................ (d) Las equivalencias (c) y (d) permiten obtener “n” alternativas de solución de la ley mínima explotable. Así por ejemplo puede obtenerse una ley mínima explotables equivalente en plata y una ley mínima explotables equivalente en zinc. Aplicando la fórmula genérica: Lme =

Cp PN x R

71

Lme equivalent

e −Ag =

US $ 90 .00 / TM US $15 .20 / onz x 0.70 x 0.60

Lme equivalente – Ag = 14.10 onzas/TM. Lme equivalent

e −Zn =

US $ 90 .00 / TM US $ 0.85 / lb x 0.55 x 0.80 x 2,204 .6 lbs / TM

Lme equivalente – Zn = 10.92 %. Una ley mínima explotable equivalente en plata de 14.10 onzas/TM, significa que si la empresa explota mineral con ley de plata de más de 14.10onzas/TM, cualquier mineral con contenido de zinc resultará económico. De manera similar, si la empresa explota mineral de zinc de 10.92 %, cualquier mineral adicional con contenido de plata que se explota será económico. Sin embargo, en muchos casos la empresa tiene una ley constante de uno de los metales y quiere determinar la ley que debería tener el otro mineral para que la explotación resulte económica. Si por ejemplo, la mina del ejemplo tiene de plata de 7.00 onzas/TM, cual debe ser la ley mínima de zinc que debe explotarse. La solución será la siguiente: Lme adicional de plata = 14.10 onz/TM – 7.00 onz/TM = 7.10 onz/TM Utilizando la ecuación (c): 1 onz Ag 7.10 0nz Ag Luego:

→ →

0.7746 % Zn. X

X = 5.50 % de Zn.

De manera similar, si la empresa fija una ley de zinc de 6 %, cual debe ser la ley de plata mínima. Lme adicional de Zn = 10.92 % - 6 % = 4.92 % de Zn. Utilizando la Ecuación (d): 1 % de Zn

→

4.92 % de Zn → Luego:

1.2910 onz de Ag. X

X = 6.35 onzas de Ag.

En consecuencia, pueden establecer las siguientes soluciones de leyes de corte: CUADRO Nº 3 – 018

72

ALTERNATIVAS DE LEYES MINIMAS EXPLOTABLES SOLUCIONES→ Ag (onz/TM) Zn (%)

1 14.10 0.00

2 0.00 10.92

3 7.00 5.50

4 6.35 6.00

CAPITULO IV DEPRECIACION, AGOTAMIENTO, AMORTIZACIÓN Y FLUJO DE CAJA 4.1.

Flujo Corporativo en la actividad minera.

La evaluación de una propiedad minera, sea este en su etapa de proyecto inicial, o de minas que se encuentran operando, predispone el cálculo del flujo económico y/o financiero, con la finalidad de establecer la influencia económica del proyecto minero, el flujo conceptual se analiza del denominado flujo corporativo o empresarial, el mismo que mediante un flujo diagramático se representa según el Grafico Nº 4 – 019.

73

GRAFICO Nº 4 – 019 FLUJO CORPORATIVO EMPRESARIAL DIVIDENDO DE ACCIONES

INGRESO POR PATENTES

PRESTAMOS

FLUJO CORPORATIVO INVERSIONES

CAPITAL EQUTATIVO

CAPITAL DE TRABAJO INGRESO POR VENTAS

OPERACIONES

CAPITAL DE TRABAJO

COSTOS DE OPERACION

INGRESOS BRUTOS DEDUCCIONES POR DEPRECIACION DEDUCCIONES POR AGOTAMIENTO DEDUCCIONES POR AMORTIZACION DEDUCCIONES FINANCIERAS

IMPUESTOS GENERALES

UTILIDAD NETA : El Grafico antes mostrado nos permite realizar la siguiente interpretación: a) El flujo corporativo, donde el aspecto corporativo viene a ser la constitución de una empresa con la presencia de personas naturales o jurídicas, condiciona los ingresos y egresos económico – financieros, dependiendo del tipo de actividad que realiza; dentro de los ingresos se establecen las patentes o trabajos específicos investigados y alcanzados, aplicables a actividades similares y los ingresos netos generados por la operación o producción de un bien. Los egresos lo constituyen las repartición de las acciones (dividendo de acciones) generadas, entre los accionistas de la empresa; el capital de trabajo y las inversiones fijas. Pero, también existen actividades económico – financieras que establecen criterios de dualidad, es decir

74

que predisponen ingresos y egresos, como son el caso de inversiones, préstamos y capital equitativo. b) Dentro de los egresos específicos y los que están directamente relacionados con la actividad empresarial que se desarrolla (explotación de recursos naturales, prestaciones de servicios, alquileres de equipos y maquinarias, etc.), encontramos el capital de trabajo, que representan los recursos económicos necesarios para la operación continuada de la empresa durante un determinado horizonte de operación o producción. En el caso de un procesamiento minero a cielo abierto este monto representará los gastos que se ocasionarían por tres meses de operaciones ininterrumpidas, mientras que en un minado subterráneo esto representan los gastos generados por seis meses de operaciones sin interrupciones, que se mantendrán en forma continua durante la vida del proyecto minero. c) Como inversiones fijas se consideran a las adquisiciones que realiza la empresa sobre terrenos y construcciones, que se realizan con los capitales de la empresa y que no necesariamente están destinados para un servicio de las actividades de la empresa sino que pueden tener fines colaterales que al final de la vida de la empresa pueda revertir el monto invertido en ellos. d) Como se puede apreciar en el diagrama sagital el capital de trabajo predispone que las operaciones sean físicamente realizadas y que las mismas generaran los costos de operación, que son montos no retornables, al mismo tiempo las operaciones a través de la venta de los minerales genera las ganancias brutas. e) La depreciación y el agotamiento, son parámetros económicos cuya aplicación predispone los efectos de costos por la tenencia de bienes de capital para las operaciones de minado, y por la presencia del mineral que esta siendo explotado, respectivamente y tiene un efecto dual sobre el flujo de caja, ya que permite en una primera instancia absorber su condición de gasto y por otro lado su condición de ingresos bajo montos prorrateados anualmente. f) La amortización, por otro lado representa los pagos que se realizan por los prestamos efectivizados por la empresa y que han sido invertidos ya sea como costo de capital o como capital de trabajo, lo mismo sucederá con el servicio a la deuda que son las deducciones por el financiamiento que realiza la empresa. g) Finalmente realizados los pagos por impuestos generales, se generan las ganancias netas que ingresan al flujo corporativo como un flujo de caja económico – financiero. El flujo de caja (FC) puede tener los siguientes condicionantes: FC = Utilidad Neta + Deducciones de “libro” o “no- monetario” FC = Utilidad Neta + depreciación + agotamiento + amortización + deducciones diferidas. FC = Utilidad por ventas – costo de operación – impuestos generales. 4.2. Definición y métodos de depreciación.

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La depreciación viene a representar la pérdida económica de un bien por el paso del tiempo. También se podría definir como el costo que se consigna por la posesión de un bien en relación con el tiempo de su tenencia. Por lo expuesto la depreciación generará dos valores económicos durante el horizonte de vida del bien adquirido: a) El costo que representa la pérdida de su valor de adquisición, y b) El valor del bien, durante su vida útil, mientras no alcance su depreciación final. Muchos bienes, inclusive culminada su vida útil, tienen un valor remanente denominado valor de rescate. 4.2.1. Métodos de depreciación.Los métodos más utilizados para realizar la depreciación de los bienes de capital son los siguientes: a) Método de la línea recta.- De acuerdo a este método, el costo básico de la propiedad o del bien en discusión, menos su valor de rescate, es deducido en cantidades anuales iguales sobre el periodo de vida del bien adquirido. La depreciación anual, se determina por el producto del costo básico “C” de la propiedad, menos el valor de rescate “L”, multiplicado por la unidad dividida entre el número de años de vida útil del bien. DLR/año = (C – L) x (1/n). Este método se aplica cuando se desea realizar una depreciación a lo largo del periodo de vida de un proyecto, con la finalidad de tener una continuidad constante de deducciones económicas, por lo general cuando la administración se efectiviza en forma directa sobre la operaciones de la empresa. Ejemplo: Un equipo minero es adquirido a un costo inicial de US $ 10,000.00, su vida estimada es de 10 años, con un valor de rescate de US $ 3,000.00 al final de su vida útil. Calcular la depreciación anual del bien. DLR/año = (10,000.00 – 3,000.00) x (1/10) DLR/año = US $ 700.00 Esto determina que al inicio del primer año el costo generado por la tenencia del equipo será de US $ 700.00, mientras que el valor del bien será de US $ 9,300.00. El segundo año su costo por tenencia será de US $ 1,400.00, mientras que su valor será de US $ 8,600.00, y así sucesivamente. b) Método de la taza simple o doble taza sobre saldo decreciente.- Este método aplica una depreciación de “1/n” o “2/n” a una base decreciente anual, en el primer caso es el método de la taza simple sobre saldo decreciente, y en el segundo caso la doble taza sobre sal decreciente.

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Para establecer la nueva base (saldo decreciente) para un determinado año, la depreciación tomada en todos los años siguiente es sustraído del costo básico inicial de modo que la nueva depreciación es aplicada a pequeños balances decrecientes cada año. Ejemplo: Considerando el mismo ejemplo anterior, calculando la depreciación del equipo, utilizando el método de la doble taza sobre saldo decreciente se tendrá: CUADRO Nº 4 – 020 DEPRECIACION POR EL METODO DE DOBLE SALDO DECRECIENTE AÑO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RADIO DE DEPRECIACION 2/10 2/10 2/10 2/10 2/10 2/10 2/10 2/10 2/10 2/10

BASE DE AJUSTE

10,000.00 8,000.00 6,400.00 5,120.00 4,096.00 3,277.00 2,622.00 2,098.00 1,678.00 1,342.00

DDSD 2,000.00 1,600.00 1,280.00 1,024.00 819.00 655.00 524.00 420.00 336.00 268.00

Este método se aplica cuando se desea realizar una depreciación mayor en los primeros años, de modo que el pago de impuestos sea menor en los primeros años. Su aplicación se dirige generalmente cuando se realizan trabajos de corta duración, para los propietarios de equipos de alquiler, o cuando se operan equipos por la modalidad de “servis”. c) Método de la suma de los dígitos de los años.- En este método se aplica un radio de depreciación diferente cada año, para el precio inicial u otra base del bien, reducido por su valor de rescate estimado. Por lo tanto, se aplica un radio variable cada año a una cantidad constante. El denominador de la fracción del radio, permanece constante y es la suma de los dígitos que representan los años de vida útil estimados. La suma de los dígitos de los años que se ubicará en el denominador, se calcula según la relación: n(n + 1)/2, donde “n” representa a la vida útil del bien. Por ejemplo si n = 5 años, las suma de los dígitos será: 1 + 2 + 3+ 4 + 5 = 15, o lo que es lo mismo aplicando la fórmulas: 5 (5 + 1)/2 = 15. El numerador será el mayor de los dígitos de la vida útil del bien, para el primer año, y para cada año siguiente se le irá restando una unidad, es decir si la vida útil es 5 años, el numerador para el primer año será este valor, para el siguiente año será 4, y así sucesivamente. Una fórmula general para el cálculo de esta depreciación para cualquier año, es la siguiente:

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DSD / año =

n − m +1 n

∑m

(C − L )

m =1

Donde: DSDA n m

= = =

Depreciación de la suma de los dígitos de los años Vida útil del bien Los dígitos de los años de depreciación.

n

∑m

=

m =1

C L

= =

Suma de los números de los años desde 1 hasta “m”. Costo u otra base depreciable. Valor de rescate.

Ejemplo: Consignando el ejemplo anterior: CUADRO 4 – 021 METODO DE DEPRECIACION DE LASUMA DE LOS DIGITOS DE LOS AÑOS AÑO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RADIO DE DEPRECIACION 10/55 9/55 8/55 7/55 6/55 5/55 4/55 3/55 2/55 1/55

C–L 7,000.00 7,000.00 7,000.00 7,000.00 7,000.00 7,000.00 7,000.00 7,000.00 7,000.00 7,000.00

DSDA 1,272.73 1,145.45 1,018.18 890.91 763.63 636.36 509.09 381.82 254.55 127.27

Este método de depreciación se aplica cuando se desea realizar depreciaciones mayores en los primeros años, pero, más moderadas que para el caso anterior. 4.3. Definición y métodos de agotamiento. Este parámetro económico, representa la pérdida del valor adquisitivo de una propiedad que explota recursos naturales no renovable. Se consideran recursos no renovables aquellos que después de su explotación no pueden ser regenerados, dentro de los cuales se encuentra la explotación de los minerales e hidrocarburos, y los bosques en pie con más de 5,000 hectáreas. Para el caso específico de la minera de yacimientos metálicos y no metálicos el valor de adquisición se consigna, a través de los siguientes rubros: a) Adquisición de la propiedad minera, ya sea como concesión de denuncio, compra de la propiedad, alquiler de la propiedad u otra modalidad de tenencia.

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b) Costos de pre – inversión, entre los cuales se encuentran las exploraciones del yacimiento, los gastos por los estudios del proyecto desde el preliminar hasta el de factibilidad, y labores de desarrollo en su etapa inicial. El monto gastado en los rubros manifestados pueden ser deducidos por los métodos de agotamiento, los cuales también generan consideraciones de costos e ingresos, tal como se analizan en los siguientes párrafos. Métodos de agotamiento.Para el cálculo del agotamiento se establecen dos métodos bien diferenciados, los cuales para efectos del cálculo del flujo de caja se predisponen mutuamente excluyentes, por lo tanto su cálculo debe ser realizado anualmente utilizando ambas metodologías, hasta la finalización del proyecto empresarial. El valor del agotamiento que se utiliza es el monto mayor de los calculados, ya se como costo de agotamiento o porcentaje de agotamiento, siempre y cuando estos montos no superen el 50 % de la base imponible. a) Método del costo de agotamiento.- Según esta metodología el agotamiento se calcula según la fórmula: CA / año = Base de Ajuste x

Unidades de min eral exp lotadas y vendidas en el año Unidades de min eral remanente al inicio del año

BASE DE AJUSTE = Costo Base ± Ajustes – Agotamiento acumulado AJUSTE (+) = Cuando se predisponen ingresos por reservas económicas descubiertas. AJUSTE (-) = Cuando se pierden reservas económicas por explotación ó por su valorización negativa. Ejemplo.El monto de adquisición de una propiedad minera es de US $ 150,000.00. Las reservas económicas de dicho mineral son de 1 Millón de toneladas cortas secas. La producción económica calculada es de 50,000 toneladas anuales, cuyo precio de comercialización es de US $ 9.00/tc. Los gastos de operación y gastos generales son de US $ 80,000.00 por año, mientras que la depreciación de los bienes adquiridos es de US $ 20,000.00 por año. Calcular el costo de agotamiento para los dos primeros años. Solución: AÑO 1 : CA = (150,000) ( 50,000 tc/ 1’000,000 tc) CA = US $ 7,500.00 AÑO 2 : CA = (150,000 – 7500) (50,000 tc/ [1’000,000 – 50,000]) CA = US $ 7,500.00

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b) Método de porcentaje de agotamiento.- El porcentaje de agotamiento, es un valor porcentual especificado por el Estado Peruano, aplicable a los ingresos brutos generados por la venta de los minerales explotados durante el año imponible de la propiedad minera, la deducción por agotamiento bajo este método no puede exceder del 50 % del impuesto a las utilidades de la propiedad, después de todas las deducciones, excepto de la deducción por agotamiento. Porcentajes de agotamiento aplicables al año 2008: CUADRO Nº 4 – 022 PORCENTAJE DE AGOTAMIENTO – 2008.  

   

TIPO DE YACIMIENTO Petróleo y gas natural Minerales sulfurados de plomo, estaño, tungsteno, zinc, níquel, molibdeno, mercurio, vanadio, minerales de uranio. Algunos yacimientos no metálicos como: asbesto, mica, bauxita, etc. Minerales de oro y sulfuros de plata, cobre y fierro Carbón, lignito y sodio clorhídrico Arcillas y pizarras Grava, arena y piedra de construcción

% DE AGOTAMIENTO 22 22 15 10 7.5 5

Ejemplo Considerando el ejemplo anterior. Solución: Calculamos el agotamiento para el Primer Año:  Ingresos por venta de mineral: 50,000 tc x US $ 9.00  Costos de operación  Depreciación permisible

= = =

US $ 450,000.00 80,000.00 20,000.00

 Utilidad antes del agotamiento (base imponible)  Limite del 50 % de Base imponible  % de Agotamiento (22 % de Ingresos por ventas)  Costo de Agotamiento Utilidad antes de los impuestos

= = = = =

US $ 350,000.00 175,000.00 99,000.00 7,500.00 US $ 251,000.00

Se visualiza el monto mayor de los cálculos de agotamiento, es decir se elige entre el valor por porcentaje de agotamiento (US $ 99,000.00) y costo de agotamiento (US $ 7,500), considerándose el mayor valor de los calculados. Este valor así elegido (US $ 99,000.00), se compara con el 50 % de la base imponible (US $ 175,000.00), eligiéndose el menor valor de los establecidos, que viene a ser el agotamiento utilizado para los efectos del cálculo del flujo de caja.

80

Ejemplo.La venta de minerales de una propiedad minera establece una utilidad bruta de US$ 1’500,000.00, este mineral polimetálico tiene contenidos de plomo, zinc y plata. US$ 1’000,000.00 de la utilidad es de los minerales sulfurados de plomo y zinc, y US$ 500,000.00 de los minerales sulfurados de plata. Los costos de operación son de US$ 700,000.00/año y la depreciación obtenible es de US $ 100,000.00/año. Determinar el ingreso neto deducible, si las operaciones en la actualidad asumen pérdidas de US$ 400,000.00/año durante los últimos 5 años. Solución:  Utilidad Bruta por ventas anuales  Costo de operación anual  Depreciación

= = =

US $ 1’500,000.00 700,.000.00 100,000.00

= = = =

US $

700,000.00 350,000.00 220,000.00* 75,000.00*

 INGRESOS ANTES DE LAS PERDIDAS  Pérdidas por operación

= =

US $

405,000.00 400,000.00

 Ingresos imponibles

=

US $

5,000.00

   

Ingresos antes del agotamiento Límite del 50 % sobre base imponible % de Agotamiento de Pb y Zn (1 M x 0.22) % de Agotamiento de la Ag (500,000 x 0.15)

•

Se considera la sumatoria de los dos valores señalados con asteriscos (US $ 295,000.00), toda vez que no superan al límite de los 50 % (US $ 350,000.00), se le utiliza como agotamiento. 4.4. Definición y métodos de amortización. La amortización desde un punto de vista financiero es el proceso mediante el cual una deuda u obligación, y los servicios de la deuda (cuota de interés) que genera, se paga progresivamente por medio de servicios parciales. Los montos que se detallaron, pueden realizarse a inicios de cada periodo (flujos anticipados), a fines de cada periodo (flujos vencidos), o después de cierto plazo pactado originalmente (flujos diferidos). De cada pago u cuota, una parte se destina a cubrir los intereses generados por la deuda y el resto a disminuir el monto financiado (cuota de amortización). El cálculo de la amortización de un financiamiento (préstamo) requiere de los siguientes componentes:  El importe de los pagos periódicos de amortización, que pueden ser uniformes o irregulares.  El número de pagos, cuyos plazos pueden ser uniformes o irregulares.  La tasa de interés, que puede ser fija, variable o implícita.  La formulación de las tablas de amortización conocidas también como cuadros de servicio de la deuda.

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Elementos de una tabla de amortización Los formatos de una tabla de amortización, esta sujeta a los criterios del especialista que lo predispone, pero en forma genérica establece los siguientes criterios: CUADRO Nº 4 – 023 CONSIDERACIONES DE AMORTIZACION N° PERIODOS O FECHAS Indica el número de periodos de cuotas, y/o las fechas de vencimiento del proceso de pagos

CUOTA TOTAL Suma de la cuota de interés y la cuota de amortización El servicio puede incluir sólo una de las cuotas, de acuerdo de cómo ha sido pactado el préstamo.

CUOTA DE CUOTA DE INTERES AMORTIZACION Importe Importe devengado calculado de por la acuerdo con aplicación de el sistema de la taza reembolso periódica del pactado. Al préstamo vencimiento sobre la de cada deuda cuota residual. disminuye la deuda residual.

SALDO O DEUDA RESIDUAL Saldo del préstamo original en un momento determinado. En el momento cero, el saldo es igual al monto recibido por el préstamo.

DEUDA EXTINGUIDA Importe acumulado de las cuotas de amortización Al vencimiento, la suma de estas será igual al importe inicial del préstamo.

4.4.1. Métodos de amortización a) Cuota constante vencida.- Para este efecto se utiliza la fórmula de matemática financiera de anualidades con respecto a un valor presente, que permitirá determinar las cuotas anuales constantes del préstamo realizado. La fórmula para la determinación de las cuotas mencionadas es el siguiente: A = Capital

financiado

x

i 1 −(1 +i ) −n

EJEMPLO N° 001.Determinar el flujo de amortización de un préstamo de US $ 10,000.00, desembolsados el 8 de mayo, debiendo ser cancelados en siete cuotas cada fin de trimestre, con una tasa de interés efectiva trimestral de 6 %. Solución: CUADRO Nº 4 – 024 METODO DE AMORTIZACION DE LA CUOTA CONSTANTE VENCIDA

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SOLUCION DEL EJEMPLO N° 001

DETERMINACIÓN DE LA CUOTA CONSTANT FORMULA ESPECIFICA:A= CAPITAL FINANCIA CALCULO DE A: 1,791.35 US $ FECHAS

N° DIAS

PERIODO (n)

(1) C CONS

MAYO 08 0 b) Cuotas constantes en periodos variables Cuando JUNun préstamo 04 debe amortizarse con 90cuotas constantes que vencen 1 en periodos 1,79 variables de tiempo, dichas cuotas no constituyen una anualidad, porque los periodos de pago no son04 uniformes, en estos casos sin SET 90embargo, también es posible2obtener rentas 1,79 constantes en periodos variables. El procedimiento a seguir consiste en. DIC 03Fijar las fechas de vencimiento 90 de cada cuota y establecer 3 los días que 1,79  median entre los vencimientos de cada una de ellas. MAR 03 90de una cuota de US $ 1.00, 4utilizando el factor 1,79  Hallar el valor actualizado simple de actualización con una tasa periódica. JUN 1 La suma de los importes90 1,79  de cada cuota de US $ 1.005traída al presente constituye el factor de actualización con rentas de periodo variable (FA), cuya ÁGO 6 1,79 inversa es30 el factor de capitalización90 para las mismas (FC).  Obtenido el FC, éste se multiplica por el importe del préstamo para hallar NOV 28 90 7 1,79 la cuota constante. Ejemplo Nº 002 TOTAL 630 12,5 (1) -la cuota Se fijaobtine Fórmula (a) Calcule y prepare laaplicando tabla referencial parala préstamos de US $ 10,000.00 desembolsado el 10 de Julio, amortizable en cuatro cuotas uniformes con vencimientos cada trimestre (el 10 del último mes INTERES de cada trimestre), a una tasa de interés efectiva (2) CUOTA DE = SALDO ANTERIOR n trimestral de 6 %. (3) - AMORTIZACION = CUOTA CONSTANTE Solución: (4) - SALDO =CUADRO SALDO ANTERIOR(4) n-1 - AMORTI Nº 4 – 025 METODO DE AMORTIZACION DE CUOTAS CONSTANTES EN PERIODOS VARIABLE

(5) - DEUDA EXTINGUIDA = DEUDA EXTINGU

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SOLUCION DEL EJEMPLO N° 002

a) CALCULO DE LOS PERIODOS DE DETALLE

FECHA

DESEMBOLSO 1 VENCIMIENTO 2 VENCIMIENTO 3 VENCIMIENTO 4 VENCIMIENTO

JUL 10 OCT 10 ENE 10 ABR 10 JUL 10

CUADRO Nº 4 – 026

EFE

FLUJO DE AMORTIZACION

FECHA

DIAS

PERIODO (n

JUL 10 0 b) ACTUALIZACION DE LAS CUOTA OCT 10 92 1 FA FORMULA GENERICA: ENE 10 92 2 = c)

cuotas constantes anticipadas

ABR 10 3 Donde: FA = Factor90de Actualización, JUL 10 91 4 TOTAL PA = Periodo acumulado, FA O= ESPECIFICA: (1) FORMULA - CUOTA CONSTANTE = PRESTAMO (2) - CUOTA DE INTERES = SALDO ANTER Lu (3)CALCULO - AMORTIZACION = CUOTA CONSTANT DEL FC: FC = Ejemplo Nº 003 (4) - SALDO = SALDO ANTERIOR(4) n-1 - AM Lu CALCULO DE LA CUOTA FIJA PAR Las cuotas constantes anticipadas en los sistemas de amortización de préstamos, permiten que la entidad financiera efectué un menor desembolso al efectivamente solicitado por el prestatario. Esto se debe a que el desembolso y el vencimiento de la primera cuota son coincidentes pues ocurren en el momento cero.

Para el cálculo de la cuota constante anticipada se recurren a las fórmulas de matemática financiera de anualidades anticipadas: Aa (1 + i) = F [ i /{(1 + i)n - 1}] ............................ (b) Aa (1 + i) = P [ i / {1 – (1 + i)-n}] ........................... (c)

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Calculara el flujo de desembolso de amortización para un préstamo de US $ 10,000.00 otorgado el 10 de Julio, para amortizarse en cinco cuotas uniformes trimestrales anticipadas, a una tasa de interés efectiva trimestral de 6 %.

Solución CUADRO Nº 4 – 027 METODO DE AMORTIZACION DE CUOTAS CONSTANTES ANTICIPADAS

a) DETERMINACION DE LAS CUOTAS ANTICIPAD FORMULA GENERICA: Aa (1 + i) = P [ i / {1 FORMULA ESPECIFICA: Aa (1 + 0.06) = 10000 Luego Aa(1.06) = Aa = b) FLUJO DE DESEMBOLSOS: d)

Cuotas constantes diferidas

FECHA

DIAS

PERIODO (n)

En este método, el prestatario no paga interés ni capital durante los periodos diferidos, capitalizándose el interés del préstamo al vencimiento de la cuota diferida. Al término de los periodos diferidos, el principal capitalizado servirá como base para calcular la cuota fija, considerando sólo el número de cuotas que restan en el horizonte temporal pactado.

( CO

JUL 10 0 0 JUL10 0 0 La cuota diferida puede ser vencida o anticipada, para su cálculo se utilizan las ecuaciones de las 08 matemáticas financieras siguientes: OCT 90 1 Para anualidades diferidas vencidas simples: ENE 06 90 2 i 90 ABRA06 3 = P (1 +i ) x .............................................. (d) [1 −(1 +i ) ] JUL 05 90 4 Para anualidades diferidas anticipadas simples: TOTAL 1 i A = P (1 +i ) x ......................................... (e) [1 −(1 +i ) ] (1) - CUOTA CONSTANTE = Obtenida usando la F Donde: (2) - CUOTA DE INTERES = SALDO ANTERIOR(4 A = Anualidades diferidas simples. P = Monto financiado o préstamo realizado. (3) - AMORTIZACION i = Tasa de interés periódica. = CUOTA CONSTANTE(1) (4) - SALDO = SALDO ANTERIOR(4)n-1 - AMORT k

−n

( k −1)

−n

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n = Períodos de amortización k = Periodos diferidos. Ejemplo Nº 004. Determinar el flujo de amortizaciones para el financiamiento realizado por una empresa minera, con un capital de US $ 10,000.00, que deben ser pagados en cuatro cuotas constantes cada fin de trimestre. Se considera un periodo diferido y una tasa de interés efectiva trimestral de 6 %. Solución: CUADRO Nº 4 – 028 METODO DE AMORTIZACION DE CUOTAS CONSTANTES DIFERIDAS

a) DETERMINACION DE LAS CUOTAS ANTICIP Aa = P ( FORMULA GENERICA: Aa = 10 FORMULA ESPECIFICA:

b) FLUJO DE DESEMBOLSOS:

(1) CUOTA (2) CU (n) e) PERIODO Amortización constante. CONSTANTE INT En éste método la amortización se calcula dividiendo el capital de financiamiento o préstamo entre el número de periodos en el que se producirá el servicio de la deuda o la cuota de interés, que será 0 decreciente aritméticamente. 1 0 2 3,059.07 63 Ejemplo Nº 005 3 3,059.07 49 Determine el flujo económico de un préstamo de US $ 10,000.00 otorgado el 09 de 3,059.07 33 septiembre, el mismo4que debe ser reembolsado en cinco cuotas trimestrales vencidas con amortizaciones constantes, a una tasa de interés efectiva del 6 % trimestral. 5 3,059.07 17 Solución TOTAL CUADRO Nº 3 – 02912,236.28 1,6 (1) - CUOTA CONSTANTE = Obtenida usando la (2) - CUOTA DE INTERES = SALDO ANTERIOR 86 trimestre sobre un monto igual al valor del p

METODO DE AMORTIZACION CONSTANTE

a) CALCULO DE LA AMORTIZACION CONSTAN FORMULA GENERICA: AMORTIZACION C FORMULA ESPECIFICA: AMORTIZACION C AMORTIZACION C b) FLUJO DE DESEMBOLSOS: f) Interés constante. En este método, los pagos al periodo de vencimiento, incluyen solo la cuota del interés devengado por el saldo, permaneciendo la deuda original sin variaciones hasta el vencimiento de la última cuota, la cual incluye, la cuota del interés generado en el último periodo, y la devolución del préstamo. Este método generalmente lo utilizan que emiten bonos, las cuales únicamente pagan un interés denominado “cupón” durante la vida útil del bono, devolviendo el capital en la fecha de vencimiento de la obligación.

FECHA

DIAS

PERIODO (n)

SET 09 0 DIC 08 90 1 Ejemplo Nº 006. MAR 08 90 2 Detallar la tabulación del reembolso de un préstamo de US $ 10,000.00 otorgados el 9 de septiembre, el mismo que debe ser completamente pagado en cinco trimestres con JUN 3a una taza de interés 06 efectiva de 6 % trimestral,90 pagándose los intereses devengados fines de cada trimestre. SET 04 90 4 DIC 03 90 5 TOTAL 450 (1) - CUOTA DE PAGO = CUOTA DE INTERES( (2) - CUOTA DE INTERES = SALDO ANTERIOR (3) - AMORTIZACION = MONTO FINANCIADO/P Solución. Nº 4 – 030 (4) - SALDO = CUADRO SALDO ANTERIOR(4)n-1 - AMOR METODO DE AMORTIZACION DE INTERES CONSTANTE

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FECHA

DIAS

PERIODO (n)

SEP 09 0 DIC 08 90 1 MAR 08 90 2 4.5. Flujo de caja. JUN 06 90 3 El flujo de SEP caja en un 04 proyecto es un estado de cuenta que resume las entradas y salidas 4 90 económicas, a lo largo de la vida útil del proyecto, por lo que permite determinar la rentabilidad de la inversión. DIC 03 90 5 4.5.1. Clasificación de flujo de caja. TOTAL 450 Bajo una conceptualización operativa el flujo de caja pueden diversificarse en tres tipos, (1) - CUOTA DE PAGO = CUOTA DE INTERES( que gráficamente se pueden predisponer del modo siguiente: (2) - CUOTA DE INTERES = SALDO ANTERIOR GRAFICO Nº 4 – 031 (3) - AMORTIZACION = 0, PARA n = 1, 2, 3, 4 CLASIFICACION DEL FLUJO DE CAJA AMORTIZACION = 10,000.00, PARA n = Evaluación Flujo de Evaluación económica (4) Inversión - SALDO y = SALDO ANTERIOR(4)n-1 - AMO financiera liquidación

FLUJO DE CAJA ECONOMICO Flujo de caja económico operativo

FLUJO DE CAJA FINANCIERO O TOTAL FLUJO DE FINANCIAMIENTO NETO

Evaluación de la fuente de financiamiento

a) Flujo de Caja Económico.- Es aquel que permite hallar la rentabilidad económica del proyecto, donde dejan de ser considerados los efectos financieros, lo cual predispone que el proyecto será financiado enteramente por el capital propio del inversionista.

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Este tipo de flujo se establece a través del flujo de inversión y liquidación, y el flujo de caja económico operativo. En el flujo de inversión y liquidación, se consideran todos los costos de inversión necesarios para el funcionamiento de la empresa y sus respectivos valores de liquidación; dentro de este flujo se considera:  Adquisición de activos y sus liquidaciones (valor de rescate).  Gastos pre-operativos.  Capital de trabajo. b) Flujo de Financiamiento Neto.- Que considera los efectos producidos por el financiamiento de la inversión con capitales externos en su totalidad o parcialmente, los cuales son derivados en calidad de préstamos. Este tipo de flujo lo constituyen los siguientes rubros que deben ser adecuadamente canalizados:  El desembolso del capital principal (que se consigna al momento de recibir el crédito).  La amortización de la deuda.  Las cuotas de interés o gastos financieros asociados.  El escudo fiscal o escudo tributario. c) Flujo de Caja Financiero.- Que queda establecido por el flujo económico y por flujo de financiamiento neto, que es el que finalmente debe evaluarse para decidir si la inversión en el proyecto es o no rentable. CUADRO Nº 4 - 032 ESTRUCTURA DEL FLUJO DE CAJA: El flujo de caja económico - financiera, predispone la siguiente estructura: PERIODO

Comprende el tiempo de vida útil en el cual se desarrollará el proyecto de inversión establecido, generalmente establecido en años calendario, para el caso específico de la minería.

RUBRO INGRESOS BRUTO

COSTOS DE OPERACIÓN Y ADMINSITRACION CUOTA DE INTERES O

Son aquellos montos económicos determinados por la venta de los minerales, que son obtenidos por la comercialización de los productos asequibles al mercado (concentrados o metales). Representa el monto que la empresa invierte para obtener un producto determinado, donde se encuentran establecidos los costos de operación, gastos administrativos, gastos por ventas, etc. dejando de lado los costos tributarios. Son los montos considerados por el financiamiento del proyecto sean estos de fuentes internas o externas, en el caso de que la

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SERVICIO A LA DEUDA INGRESOS ANTES DE LA DEPRECIACIÓN

DEPRECIACION INGRESOS ANTES DEL AGOTAM IENTO

empresa realice estas inversiones sin considerar los intereses correspondientes este valor será igual a cero. Es el monto que se genera por deducir del ingreso bruto los costos de operación y administración, y el servicio a la deuda Son los montos económicos que se calculan por medio de cualquiera de los métodos establecidos para este fin, y sobre todos los bienes que condicionan el efecto de depreciación. Se determina por la deducción de los dos rubros anteriores.

AGOTAMIENTO

El monto establecido por este rubro debe ser cuidadosamente establecido, calculándose el costo de agotamiento y el porcentaje de agotamiento, que son mutuamente excluyentes, es decir sólo se tomo en consideración uno de ellos, en todo caso el de mayor valor, per, aún más este valor así calculado no debe sobrepasar del 50 % del monto de ingreso antes del agotamiento, si esto sucede se considera este último valor.

INGRESOS

Se determina por la deducción de los dos rubros anteriores.

TAZABL ES

Son los montos deducibles condicionados por los gobiernos locales, regionales y/o nacionales propios de cada país. IMPUESTOS INGRESOS NETOS DEPRECIACION AGOTAMIENTO FLUJO ECONOMICO AMORTIZACIÓN FLUJO FINANCIERO

Se determina por la deducción de los dos rubros anteriores. Son los montos antes deducidos por este rubro que ingresarán como efectos de tenencia de los bienes adquiridos. Son los montos antes deducidos por este rubro que ingresarán como efectos de tenencia de la propiedad. Determinado por los tres rubros anteriores y que vendría a determinar el valor de la propiedad tanto en efectos monetarios como de activos fijos (bienes y propiedades). Representa el pago de una inversión o préstamo obtenido por el proyecto. Se determina por la deducción de los dos rubros anteriores, y es el monto que permitirá establecer la conveniencia de realizar o no un proyecto.

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4.6. Aplicaciones a la minería. Aplicación Nº 4 - 025 Un yacimiento polimetálico de plomo y zinc, ha sido estudiado completamente, habiéndose realizado una pre-inversión de US $200,000.00, los cuales han sido invertidos en la adquisición de la propiedad minera, en exploraciones sistemáticas y en los estudios minero – metalúrgicos que han posibilitado la determinación de su factibilidad, las reservas de mineral obtenidas son del orden de 50,000 TMH. En la actualidad se requiere una inversión de US $140,000.00, los cuales se distribuyen del modo siguiente:  US $80,000.00, para la infraestructura y equipamiento minero metalúrgico de la mina, sobre el cual se realizarán las depreciaciones utilizando el método del Balance Doble Decreciente, a lo largo de la vida útil del proyecto.  US $ 20,000.00, son para la adquisición de terrenos para la infraestructura de la planta concentradora y de la cancha de relaves los cuales se consideran no depreciables.  US $ 40,000.00, son considerados como capital de trabajo para un proceso continuado del proyecto minero- metalúrgico. La empresa minera cuenta en la actualidad con un capital disponible de inversión de US $20,000.00, el remanente debe ser financiado con un interés compuesto anual de 10 %, los mismos que deben ser cancelados a lo largo de la vida útil del proyecto. Se ha establecido una producción anual uniforme de 10,000 TMH, con un precio proyectado promedio de US $ 20.00/TMH, mientras que los costos de operación, gastos generales y de comercialización anuales son de US $ 110,000.00 y los impuestos generados por la producción son del 50 % sobre los ingresos tasables. SOLUCIÓN: 1. Determinación de la vida útil del proyecto. VU = Reservas o Inventario de Mineral / Producción anual VU = 50,000 / 10,000 VU = 5 años.

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2. Determinación de la Depreciación.AÑO 1 2 3 4 5

RANGO DE BASE DE DEPRECIACION ANUAL 0.4 800 0.4 480 0.4 288 0.4 172 0.4 103

3. La amortización del Prestamo se establ 1

2 PRESTAMO ANUAL (US $) 120,000.00 96,000.00 72,000.00 48,000.00 24,000.00 2 - 4

AÑO 1 2 3 4 5

4. FLUJO DE CAJA 92

AÑOS

1

SERVIC DEUDA 12,0 9,60 7,20 4,80 2,40 36,0

CAPITULO V VALUACION DE PROPIEDADES MINERAS 5.1. Conceptos básicos para la valorización de propiedades mineras. Las propiedades mineras, como se detalló anteriormente, son empresas que se predisponen para la generación de beneficios económicos, estableciendo consideraciones sociales bajo los lineamientos de su predisposición empresarial. Por lo manifestado las empresas mineras sustentarán sus valores de propiedad en las consideraciones de ingresos y egresos económicos. 5.2. Metodologías genéricas aplicadas a la valorización de empresas. En forma genérica, la mayoría de autores establecen que los métodos de valorización de propiedades empresariales se pueden clasificar en seis grupos, los cuales se sintetizan en el siguiente cuadro: CUADRO Nº 5 - 033 PRINCIPALES METODOS DE VALUACION DE EMPRESAS BALANCE

CUENTA DE RESULTADOS

MIXTOX (GOODWILL)

DESCUENTO DE FLUJOS

Clásico Unión de expertos contables europeos

Free cash flow Cash flow acciones

Valor contable Valor contable ajustado Valor de liquidación

Múltiplos

Valor sustancial

P/EBITA

Renta abreviada

Capital Cash flow

Otros múltiplos

Otros

APV

PER Ventas

Dividendos

CREACIO N DE VALOR EVA Beneficio económico Cash value added CFROI

OPCIONES Black y Acholes Opción de invertir Ampliar el proyecto Aplazar la inversión Usos alternativos

Dentro de la actividad minera, los de mayor uso son los métodos de balance y el de descuento reflujos, en el presente tratado presentaremos enfoque generales sobre ambos métodos. 5.2.1. Métodos basados en el balance. Esto esta referido al valor patrimonial de la empresa. Por lo que se proporciona el valor de la propiedad desde un punto de vista estático, por lo que no se tiene en cuenta la posible evolución futura de la empresa, el valor temporal del dinero, ni otros factores como son: la situación del sector, problemas de recursos humanos, de organización, contratos, etc. que no se ven reflejados en los estados contables.

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a) Valor contable. El valor contable, o valor en libros, o patrimonio neto de la empresa, es aquel valor de recursos propios que se sustentan en el balance general de la empresa y que se denominan capital y reservas, o también patrimonio empresarial. En el siguiente cuadro observamos el balance general y cuenta de resultados de una mina hipotética. CUADRO Nº 5 – 034 BALANCE GENERAL Y CUENTA DE RESULTADOS (MILLONES DE DOLARES) ACTIVO Tesorería Deudores Inventario Activos fijos Total Activo

5.00 10.00 45.00 100.0 0 160.0 0

PASIVO Proveedores Deuda bancaria Deuda a L. plazo Capital y reserva Total Pasivo

40.00 10.00 30.00 80.00

Ventas Costo de ventas Gastos Generales Intereses Beneficio antes de los impuestos

160.0 Impuesto (35%) 0 Beneficio Neto

300.00 136.00 120.00 4.00 40.00 14.00 26.00

Como se puede deducir del pasivo contable de la empresa, el valor contable o valor en libro de las acciones (capital más reservas) es de 80 millones de dólares, que también representa la diferencia entre el activo total y el pasivo exigible (proveedores, deuda bancaria y la deuda a largo plazo), es decir: 160 – (40+10+30) = 80 millones de dólares. Por lo que se deduce que el valor de la empresa bajo esta metodología es de 80 millones de dólares. b) Valor contable ajustado El patrimonio neto ajustado o valor contable ajustado, se produce cuando los valores de los activos y pasivos de la empresa se ajustan a su valor demarcado. Para este efecto es necesario analizar algunas partidas del balance general empresarial de un modo individual, de manera que este se ajuste a su valor de mercado. Por ejemplo, podemos considerar:  Dentro de los deudores se incluye 2 millones de dólares, que son deudas incobrables, por lo que esta partida bajo consideraciones reales debe figurar con un valor de 8 millones de dólares..  Los inventarios, después de descontar partidas obsoletas sin valor y de revalorizar los restantes a su valor de mercado, representa un total de 52 millones de dólares.  Los activos fijos, constituidos por terrenos, edificaciones y maquinarias, según una nueva tasación, tiene un valor de 150 millones de dólares.  El valor contable de las deudas a proveedores, bancos y a largo plazo es igual a su valor de mercado, el balance ajustado se muestra en el cuadro siguiente:

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CUADRO Nº 5 – 035 BALANCE GENERAL AJUSTADO (MILLONES DE DOLARES) ACTIVO Tesorería Deudores Inventarios Activos fijos Total Activo

5.00 8.00 52.00 150.00 215.00

PASIVO Proveedores Deuda bancaria Deuda a largo plazo Capital y reservas Total Pasivo

40.00 10.00 30.00 135.00 215.00

El valor contable ajustado es de 135 millones de dólares, que representa al capital y reservas de la empresa, o también se obtiene de la sustracción del activo total (US$ 215 millones) y del pasivo exigible (US$ 80 millones). Bajo estas consideraciones el valor de la empresa es de 135 millones de dólares. c) Valor de liquidación. Es el valor de la empresa en el caso que se proceda a su liquidación, esto es, que se vendan sus activos y se cancelen sus deudas. Este valor se calcula deduciendo del patrimonio neto ajustable los gastos de liquidación de la empresa que están representados por la indemnización a los empleados, gastos fiscales y los otros gastos propios de la liquidación. En caso del ejemplo seguido, si los gastos de liquidación fuesen de 60 millones de dólares, el valor de liquidación de la empresa será de 135 – 60 = 75 millones de dólares. d) Valor substancial. El valor substancial representa la inversión que debería efectuarse para constituir una empresa en idénticas condiciones a la que se esta valorando. También podemos definirlo como el valor de reposición de los activos, bajo el supuesto de continuidad de la empresa por oposición al valor de liquidación. Normalmente no se incluyen en el valor substancial aquellos bienes que no sirven para la explotación, como es el caso de terrenos no utilizados, participación en otras empresas, etc. Se suelen presentar tres clases de valor substancial:  Valor substancial bruto: Es el valor del activo a precio de mercado, en el caso del ejemplo que se sigue, este valor es de 215 millones de dólares (Ver Cuadro Nº 5 – 031).  Valor substancial neto o activo neto corregido: Es el valor substancial bruto menos el pasivo exigible, también conocido como patrimonio neto ajustado, que en el caso del ejemplo que se sigue es de 135 millones de dólares.  Valor substancial bruto reducido: Es el valor substancial bruto, menos el valor de la deuda sin costos de financiamiento. En el ejemplo que se sigue, tendremos: 215 – 40 = 175 millones de dólares. Los 40 millones de dólares corresponden a los proveedores. 95

5.2.2. Métodos basados en el descuento de flujo de fondos. Mediante estos métodos se determina el valor de la empresa o valuación de la propiedad empresarial, a través de la estimación de los flujos de dinero o flujos de caja (cash flow), preestablecidos para un futuro a lo largo de la vida útil de la empresa, para luego trasladarlo al momento actual, utilizando una tasa de descuento propia de cada actividad empresarial. En forma genérica, los diferentes métodos de flujo de fondos o flujo de caja, aplican la siguiente fórmula, similar a la fórmula del valor presente, antes expuesta en el presente tratado. VP =

FF 3 FF n +VR n FF 1 FF 2 FF 4 + + + + + 2 3 4 1 +i (1 +i ) (1 +i ) (1 +i ) (1 +i ) n

Donde: FFn = Flujo de fondos generados en el periodo n. n

= Periodos de tiempo, n = 1, 2, 3, ……. N.

i

= Tasa de descuento propia de cada actividad empresarial.

VRn = Valor residual o valor de rescate de los bienes de la empresa, El valor de mayor dificultad de determinación en los diferentes flujos de fondos o flujos de caja, es la tasa de descuento apropiado para cada flujo, en el Cuadro Nº 5 -32, se establecen las diferentes tasas de descuento para cada flujo establecido. CUADRO Nº 5 – 036 FLUJO DE FONDO FRENTE A LATASA DE DESCUENTO. TIPO DE FLUJO DE FONDOS CFd. Flujo de fondos disponible para la deuda FCF. Flujo de Fondos Libre (Free cash Flow) CFac. Flujo de fondos disponible para los accionistas CCF. Capital Cash Flow

TASA DE DESCUENTO ADECUADA id. Rentabilidad o tasa exigida a la deuda. WACC. Costo ponderado de los recursos (deuda y acciones) ie. Rentabilidad o tasa exigida a los accionistas. WACC. antes de los impuestos.

Para obtener mayor amplitud de determinación de flujos y entender adecuadamente las tasas de descuento, establecemos el siguiente cuadro que nos permite visualizar en forma simplificada la diferencia entre el balance general y el balance financiero.

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CUADRO Nº 5 – 037 BALANCE GENERAL Y BALANCE FINANCIERO DE UNA EMPRESA

BALANCE GENERAL ACTIVO

PASIV

Tesorería

Proveed Deudores

a) Free cash flow.

Deuda Finan corto pl

Traducido como flujo de fondos libres, es aquel flujo operativo, generado por las operaciones que se realizan en la empresa, sin tener en cuenta las consideraciones de endeudamiento, pero después del pago de los impuestos. Es el monto económico que quedaría disponible en la empresa después de haber cubierto las necesidades de reinversión en activos fijos y en necesidades operativas de fondo, bajo las consideraciones de ausencia de deudas y por lo tanto no existen cargas financieras. Predispongamos de una empresa que considera el siguiente flujo económico:

Inventario

NOF

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Deuda Finan largo pl

Recurs

CUADRO Nº 5 – 038 CUENTA DE RESULTADOS DE LAEMPRESA (MILLONES DE DOLARES)

PERIODO

ITEM Ventas Costo de productos vendidos Gastos Generales Amortización Beneficios antes de intereses e imp Pagos de intereses PERIODO ITEM Beneficios antes de impuestos (BA Beneficios antes Impuestos (30 %) de intereses e imp Impuestos sobre(BDT) el BAIT (30 %) Beneficio Neto Beneficios Netos de la Empresa sin Dividendos (+) Amortización Beneficios Retenidos (-) Incremento de activos fijos (-) Incremento de NOF Free Cash Flow

Para la obtención del free cash flow, se consideran los siguientes rubros económicos. CUADRO Nº 5 -039

FLUJO DE FONDOS LIBRES DE LA EMPRESA (MILLONES DE DOLARES)

Para calcular el valor de la empresa mediante este método, se recurre a la actualización de los Free Cash Flor periódicos, para lo cual se utiliza el WACC, es decir la tasa de interés promedio ponderado de los recursos, cuya fórmula general es la siguiente. WACC

=

E x ic + D x id (1 −T ) E´+D

Donde:

WACC = Costo promedio ponderado del capital o recursos (Weighted average costo of capital). E = Valor de mercado de las acciones. D = Valor de mercado de la deuda.

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ic = Rentabilidad exigida a las acciones. id = Rentabilidad exigida a la deuda. T = Tasa impositiva. Para propiedades mineras en WACC es de 18 % en el mercado internacional. Aplicando la fórmula, para el caso en discusión tendremos:: VP =

FF 3 FF n +VR n FF 1 FF 2 FF 4 + + + + + 2 3 4 1 +i (1 +i ) (1 +i ) (1 +i ) (1 +i ) n

VP =

135 145 162 + + 2 1 +0.18 (1 +0.18 ) (1 +0.18 ) 3

VP = 317.14 millones de dólares Lo cual determina que el valor actual de la empresa es de 317.14 millones de dólares. b) Cash Flow disponible para las acciones. El flujo de fondos disponibles para las acciones (CFac.), se calcula restando al flujo de fondos libre, los pagos de principal e intereses (después de impuestos) que se realiza en cada periodo a los poseedores de la deuda y sumando las aportaciones de nueva deuda. En forma resumida sería: CFac = FCF – [intereses pagados x (1 – T)] – pagos principal + nueva deuda. c) Capital Cash Flow. Se denomina así a la suma del cash flow para los acciones más cash flow para losposeedores de deuda. CCF = CFac + CFd 5.3. Valorización de propiedades mineras en proyecto. En proyectos mineros, esto es determinada las reservas de mineral utilizando las metodologías correspondientes, ya sea para operaciones subterráneas o minado superficial, el valor considerativo corresponderá a las reservas probadas de mineral y a las labores mineras de exploración desarrolladas; así como los equipos adquiridos por la empresa para la ejecución de las labores de exploración, sobre las cuales se pueden aplicar cualquiera de las metodologías de valorización o valuación de propiedades mineras. 5.4. Valorización de propiedades mineras en operación.

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En yacimientos mineros en explotación, los inventarios mineros estarán dentro de la capitalización para los cálculos de valorización correspondientes, también se deben considerar los bienes de capital de la empresa, así como la determinación de los costos de producción. Los flujos económicos establecidos permitirá la determinación del valor de la empresa, para lo cual se aplicará cualquiera de los métodos antes citados. 5.5.

Aplicaciones a la minería.

En el caso de la Aplicación 4 – 25, establecemos que el WACC del capital cash flow, es de 15%, si al flujo económico de la empresa le determinamos su valor actual neto, obtenemos el valor de la propiedad minera en operación, el mismo que es de US$ 80,009.72.

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BIBLIOGRAFIA. 1. JOSE TOVAR JIMENEZ, 2006, Manual de Matemáticas Financiera, Centro de Estudios Financieros, España. 2. CESAR, ACHING GUZMAN, 2006, Matemáticas financieras para toma de decisiones empresariales, Lima, Perú, Edición electrónica.: www.eumed.net/libros/2006b/cag3/, 3. PORFIRIO POMA RIQUE, 2003, Ley “Cut Off” en el Planeamiento de Minado, FIMGM – UNASAM, Huaraz, Ancash, Perú. 4. STERMOLE F. J., 1993, Economic Evaluation and Investment Decision Methods, Investment Evaluation Corporation, Golden Drive, Colorado, USA. 5. ROSARIO QUISPE R. 2002, Formulación, Evaluación, Ejecución y Administración de Proyectos de Inversión, Pacifico Auditores, Lima, Perú. 6. BERNARD GUERRIEN, 1998, La Microeconomía, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia. [email protected]. 7. THUSEN – FABRYCKS, 1993, Ingeniería Económica; Prentice Hall, México. 8. TARQUIN – BLANK, 1989, Ingeniería Económica, McGraw – Hill de México, S. A. de C. V. México. 9. GENTRY – O’NEIL, 1984, Mine Investment Analysis, AIME, New Cork, USA.

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