EBM

van Everdingen-Hurst

Figura 20: Influjo de agua a un yacimiento cil´ındrico Tema 1

slide 117

van Everdingen-Hurst van Everdingen-Hurst propusieron una soluci´ on a la ecuaci´ on adimensional de difusividad que utiliza la condici´ on de presión constante y las siguientes condiciones condiciones iniciales y de borde: I

Condici´ on inicial: p = pi , ∀t

I

Condici´ on de borde interno: p = pi − ∆ p,r = ro , ∀t

I

Condici´ on de borde exterior: N

Acu´ıfero infinito: p = pi , r → ∞

N

Acu´ıfero finito:

∂p ∂r

= 0, r = ra

Adicinalmente, van Everdingen-Hurst asumieron que el acu´ıfero estaba caracterizado por: I

Espersor uniforme

I

Permeabilidad constante

I

Posoridad constante

I

Compresibilidad de roca y agua constante

Tema 1

slide 118

48

van Everdingen-Hurst La soluci´ on a la Ec. 35 para un sistema yacimiento-acu´ıfero, considerando las condiciones de b orde descritas, permite calcular el influjo de agua en forma de un parámetro adimensional denominado influjo de agua adimensional W eD , el cual es funci´ on del tiempo adimensional tD y el radio adimensional rD : (36)

W eD = f (tD , rD ) W eD se encuentra en forma tabular para diversas geometr´ıas de sistema yacimiento-acu´ıfero

El influjo acumulado de agua se calcula de la siguiente expresi´ on: (37)

W e = B∆ pW eD

donde: W e : influjo de agua acumulado [bbl] B : constante de influjo de agua (depende del modelo geom´ etrico) [bbl/psi] ∆ p = pi − p W eD : influjo de agua adimensional Tema 1

slide 119

van Everdingen-Hurst El valor de tD y B se muestran a continuaci´ on: Modelo geom´ etrico Radial Lineal Fondo

Tiempo adimensional tD = 2.309 φµ ktc r2 w t o tD = 2.309 φµwktct L2 tD = 2.309 φµ ktc L2 w t a

donde: k: permeabilidad del acu´ıfero [md] t: tiempo [a˜ nos] h: espesor del yacimiento [ft] φ: porosidad del acu´ıfero µw : viscosidad del agua en el acu´ıfero [cp] ra : radio del acu´ıfero [ft], ro : radio del yacimiento [ft] cw : compresibilidad del agua [psi 1 ], cr : compresibilidad de la roca [psi ct = cw + cr : compresibilidad total [psi 1 ] L: longitud del acu´ıfero [ft] W : ancho del yacimiento [ft] V a : volumen del acu´ıfero [ft3 ], La = πrV a2 φ −

Constante del acu´ıfero B = 1.119φct ro2 hf B = 0.178WLhct B = 0.178V a ct

1

−

]

−

o

Tema 1

slide 120

49


Tema 1

slide 121

50


Tema 1

slide 122

van Everdingen-Hurst Principio de superposici´ on I

Existe una ca´ıda de presión en el contacto agua-petr´ oleo debido a la producci´ on de fluidos en un yacimiento asociado a un acu´ıfero

I

El agua se expande y la ca´ıda de presi´ on se propaga dentro del acu´ıfero hacia el b orde exterior

I

Debido a que las ca´ıdas de presi´ on ocurren en forma independiente, el agua se expande a consecuencia de sucesivas ca´ıdas de presi´ on

Tema 1

slide 123

51

van Everdingen-Hurst Principio de superposici´ on

Figura 21: Presión en el contacto agua-petróleo Tema 1

slide 124

van Everdingen-Hurst Principio de superposici´ on La presi´ on promedio es: p¯j =

pj

+ pj 2

1

−

La ca´ıda de presi´ on es: ∆ pj =

pj

1

−

− pj +1 2

Para calcular el influjo acumulado de agua a un tiempo arbitrario t, el cual corresponde al paso de tiempo n, se requiere la superposici´ on de las soluciones de la Ec. 37: W e (tn )

= +

−1

   

B∆ pj W D tDn

Sumando obtenemos: n−1

W e (tn ) = B

 

B∆ p0 W D (tDn ) + B∆ p1 W D tDn

 j =0

j

−

∆ pj W D tDn

+ . . . + B∆ pn

+ ...+

1 W D

−

(tD1 )

(38)

(39)

j

−

Tema 1

slide 125

52

van Everdingen-Hurst Principio de superposici´ on

Figura 22: Ilustración del principio de superposición Tema 1

slide 126

van Everdingen-Hurst Balance de materiales La constante del acu´ıfero B puede ser determinado mediante la soluci´ on del m´ etodo gráfico de balance de materiales. Para ello se tiene: F = N E t + W e n−1

F = N E t + B



 

∆ pj W D tDn

j

−

j =0

Por lo que: F = N + B E t



n−1 j =0

 

∆ pj W D tDn

j

−

E t

(40)

La soluci´ on de la ecuaci´ on lineal de balance de materiales mediante el método gr´ afico puede ser utilizada para determinar el valor de un parámetro desconocido del acu´ıfero cuando el resto de los par´ ametros son conocidos. Tema 1

slide 127

53

van Everdingen-Hurst An´ alisis de sensibilidad

F/Et vs. We/Et 800

h=50 pies 700 600 500 t E / F

h=150 pies 400

h=100 pies

300 200 100 0 0

100

200

300

400

500

600

We/Et

Figura 23: Espesor del acu´ıfero Tema 1

slide 128


F/Et vs. We/Et 800

r o=4600’

700 600 500

r o=13800’

t E / 400 F

r o=9200’

300 200 100 0 0

100

200

300

400

500

600

We/Et

Figura 24: Radio del yacimiento Tema 1

slide 129

54


F/Et vs. We/Et 800

Ae=100

°

700 600 500

Ae=200

°

t 400 E / F

Ae=150

°

300 200 100 0 0

100

200

300

400

500

600

We/Et

Figura 25: Angulo θ Tema 1

slide 130


F/Et vs. We/Et 800

K=82 mD

700 600 500

K=246 mD

t E / 400 F

300

K=164 mD

200 100 0 0

100

200

300

400

500

600

We/Et

Figura 26: Permeabilidad del acu´ıfero Tema 1

slide 131

55

Predicci´ on

slide 132

Predicci´ on Introducci´ on Parámetros Mécanismos de Recobro Método de Tracy Método de Tarner Método de Muskat Ejemplo

Esta secci´ on fue desarrollada por el Br. Bernardo Bohorquez y la Br. Johanna Fernández, Escuela de Ingenier´ıa de Petróleo, UCVa . Tema 1

slide 133

a Fern´ andez, J., Bohorquez, B., M´ etodos de pre dicci´ on del comportamiento de producci´ on de yacimientos mediante balance de materiales , Trabajo de Pasant´ıa, Esc uela d e Ing enier´ıa de Petróleo, UCV, Nov 2006

Introducci´ on I

La predicci´ on del comportamiento de un yacimiento en funci´ on del tiempo puede dividirse en 3 fases principales: N

Comportamiento del yacimiento: Esta fase requiere del uso de la EBM de una manera predictiva, cuyo fin ser´ıa estimar la producci´ on acumulada de hidrocarburos y la relaci´ on gas–petr´ oleo instant´ anea (RGP ) en funci´ on del agotamiento de presi´ on del yacimiento.

N

Comportamiento del pozo: Esta fase genera el comportamiento individual de cada pozo en la medida en la cual avanza el agotamiento de la presi´ on.

N

Relaci´ on del comportamiento del yacimiento con el tiempo: Esta fase, los datos del yacimiento y de los pozos son vinculados con el tiempo, considerando cantidades y tasa de producci´ on de cada uno de los mismos.

Tema 1

slide 134

Par´ ametros Para realizar una predicci´ on de la producci´ on de hidrocarburos relacionada con la presi´ on promedio del yacimiento, se necesitan conocer el comportamiento de los siguientes parámetros: anea: La relaci´ RGP instant´ on gas–petr´ oleo instantánea representa la raz´ on entre los pies c´ ubicos estándar de gas producidos y los barriles estándar de petr´ oleo producidos al mismo instante. Se encuentra definida por: Rs qo + qg RGP = = Rs + qo

   krg kro

µo β o µg β g

Esta ecuaci´ on permite describir el comportamiento de la relaci´ on gas–petr´ oleo instantánea en cualquier momento durante el agotamiento de presi´ on del yacimiento. Tema 1

slide 135

56

Par´ ametros

Relaci´ on entre Rs y RGP vs N p a

Tema 1

slide 136

a Tarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.

Par´ ametros El gas acumulado producido puede vincularse a la RGP de la siguiente manera:

Relaci´ on RGP vs N p a

Tema 1

slide 137


57

Par´ ametros Saturaci´ on de petr´ oleo remanente para cada paso de presión: Se tiene un yacimiento volumétrico (W e = 0 ), sin capa inicial de gas, con N barriles est´ andar iniciales y una presi´ on inicial pi , en donde S oi = 1 − Swi . El cálculo de N volum´ etrico viene representado p or la siguiente ecuaci´ on: N =

Aφh(1 − S wi ) β oi

Si expresamos el término Aφh como V p o volumen poroso se puede despejar de la siguiente manera: Volumen poroso =

N β oi 1 − S wi

Si el yacimiento ha producido un volumen N p , la cantidad remanente de petr´ oleo viene dada por: Volumen remanente de petr´ oleo = (N − N p )β o Tema 1

slide 138

Par´ ametros Si se tiene que S o se encuentra definido p or: S o =

Volumen de petr´ oleo Volumen poroso

Utilizando esta definici´ on, y combin´ andola con las anteriores ecuaciones se tiene que:



S o = (1 − S wi ) 1 −

N p N



β o β oi

Es importante destacar que se supone la distribuci´ on uniforme de las saturaciones de los fluidos a lo largo de todo el yacimiento. Por otra parte, de existir otros mecanismos de empuje, es necesario el desarrollo de ecuaciones distintas cuyo fin sea contabilizar migración de fluidos, vol´ umenes de petr´ oleo atrapados en zonas de agua o gas, entre otros aspectos. Tema 1

slide 139

M´ ecanismos de Recobro Yacimientos de petr´ oleo subsaturado Cuando la presi´ on del yacimiento se encuentra por encima de la presi´ on de burbujeo, es decir p > p b , el yacimiento es considerado como subsaturado. Asumiendo que no se tiene capa inicial de gas ( m = 0 ) y que el yacimiento es volumétrico ( W e = 0), la EBM se puede expresar de la siguiente manera: N p β o = N β oi



S oi C o + S wi C w + C f ∆ p 1 − S wi

Despejando N p se tiene la ecuaci´ on: N p = N C e

  β o β oi

S



∆ p C +S

C +C

w f Donde el término C e = oi o 1 wi representa la compresibilidad efectiva. El c´ alculo de la producci´ on futura de Swi hidrocarburos no requiere de un proceso de ensayo cuando el yacimiento es subsaturado, con las suposiciones anteriormente mencionadas. −

Tema 1

slide 140

58

M´ ecanismos de Recobro Yacimientos de petr´ oleo saturado Para un yacimiento saturado donde el u ńico mecanismo de producci´ on presente es el empuje por gas en soluci´ on, volum´ etrico y que no presenta inyeccion de fluidos, la EBM se puede expresar mediante la siguiente ecuaci´ on: N =

N p β o + (Gp − N p Rs ) β g (β o − β oi ) + (Rsi − Rs ) β g

Si N y los datos PVT son variables conocidas, N p y Gp son variables desconocidas. Para su c´ alculo, es necesario utilizar unos métodos los cuales combinan la EBM con la Relaci´ on Gas–Petr´ oleo, utilizando informaci´ on sobre la saturaci´ on inicial de los fluidos presente, y datos de permeabilidades relativas. Tema 1

slide 141

M´ etodo de Tracy Tracy (1955) sugiri´ o que la EBM puede ser reescrita y expresada en funci´ on de tres (3) par´ ametros PVT. Despejando N de la siguiente manera: N p (β o − Rs β g ) + Gp β g + (W p β w − W e )

N =

(β o − β oi ) + (Rsi − Rs ) β g + mβ oi

  βg βgi

−1

Se pueden definir los par´ ametros φo , φg y φw seg´ un las siguientes ecuaciones: βo −Rs βg

β

φg = g φw = 1 den den den βg −1 den = (β o − β oi ) + (Rsi − Rs ) β g + mβ oi βgi φo =

 

La EBM queda reescrita de la siguiente manera: N = N p φo + Gp φg + (W p β w − W e ) φw

Considerando un yacimiento con empuje por gas en soluci´ on se tiene que: N = N p φo + Gp φg

Tema 1

slide 142

M´ etodo de Tracy Por cada paso de presión se debe considerar el aumento de la producción de gas y de petróleo (∆Gp y ∆N p respectivamente): ∗

N p = N p + ∆N p ∗

Gp = Gp + ∆Gp

Donde el valor con un * representa el correspondiente a la presi´ on superior de cada paso. Sustituyendo se tiene que:

 

∗

   

∗



N = N p + ∆N p φo + Gp + ∆Gp φg

Combinando esta ecuaci´ on con el concepto de la Relaci´ on Gas–Petr´ oleo, se obtiene: ∗

∗



N = N p + ∆N p φo + Gp + ∆N p (RGP )prom φg

Tema 1

slide 143

59

M´ etodo de Tracy Despejando ∆N p : ∆N p =



1 − N p φo + Gp φg ∗

∗



φo + (RGP )prom φg

Esta ecuaci´ on presenta dos variables desconocidas, el incremento de producci´ on de petr´ oleo ∆N p y la Relación Gas–Petróleo (RGP )prom . La metodolog´ıa utilizada para la resolución de esta ecuaci´ on consiste en una técnica iterativa teniendo como objetivo la convergencia a los valores futuros de RGP . A continuaci´ on los pasos para su resoluci´ on: 1.- Seleccionar una presi´ on p por debajo de la presi´ on en donde se tienen los demás valores conocidos p . 2.- Calcular los valores de las funciones PVT, φo y φg , para la presi´ on p . 3.- Estimar un valor de RGP , el cual se denotar´ a por (RGP )est, para la presi´ on estimada en el paso 1 ∗

Tema 1

slide 144

M´ etodo de Tracy 4.- Calcular la RGP instantánea promedio: RGP + (RGP )est = 2 ∗

(RGP )prom

5.-

Calcular el incremento de producci´ on de petr´ oleo acumulado ∆N p : ∆N p =

6.-



1 − N p φo + Gp φg ∗

∗



φo + (RGP )prom φg

Calcular la producci´ on de petr´ oleo N p . ∗

N p = N p + ∆N p

7.-

Calcular la saturaci´ on de petr´ oleo a la presi´ on seleccionada:



S o = (1 − S wi ) 1 −

N p N



β o β oi

Tema 1

slide 145

M´ etodo de Tracy 8.- Obtener la raz´ on de permeabilidades relativas K rg /K ro utilizando la informaci´ on disponible, tal como pruebas de laboratorio, pozos cercanos o correlaciones emp´ıricas. 9.- Utilizando el valor obtenido en el paso anterior, calcular RGP : (RGP )cal

10.-

K rg = Rs + K ro

  µo β o µg β g

Comparar el valor estimado de RGP en el paso 3, con el valor calculado en el paso anterior: 0.999 ≤

(RGP )cal ≤ 1.001 (RGP )est

Si estos valores se encuentran dentro de una tolerancia permitida se procede con el siguiente paso. De no cumplirse esto, se hace (RGP )est del paso 3 igual a (RGP )cal , se repiten desde el paso 4 hasta 10 logrando que se cumpla la tolerancia. Tema 1

slide 146

60

M´ etodo de Tracy 11.-

Calcular la producci´ on acumulada de gas: ∗

Gp = Gp + (RGP )prom ∆N p

12.-

Repetir desde el paso 1 seleccionando un nuevo paso de presi´ on, haciendo: = = = =

p (RGP ) Gp N p ∗ ∗

∗

∗

p (RGP ) Gp N p

Tema 1

slide 147

M´ etodo de Tarner En 1944, Tarner sugiri´ o un m´ etodo iterativo para predecir la producci´ on acumulada de hidrocarburos (N p y Gp ) como funci´ on de la presi´ on. Este método se basa en resolver la EBM y la ecuaci´ on de RGP instantánea simultáneamente para obtener dos valores de la producci´ on acumulada de gas Gp , realizando posteriormente un proceso comparativo de los mismos y determinar si las suposiciones realizadas son correctas. La pasos para esta metodolog´ıa son los siguiente: 1.- Asumir una presi´ on futura p por debajo de la presión inicial y conocida, p . 2.- Estimar la producci´ on acumulada de petr´ oleo N p correspondiente a la presi´ on p. 3.- Resolver la EBM para calcular Gp ∗

Gp1

4.-



 

β oi − β o β o − N p − Rs = N (Rsi − Rs ) − β g β g



Calcular la saturaci´ on de petr´ oleo correspondiente a la presi´ on p.



S o = (1 − S wi ) 1 −

N p N



β o β oi

Tema 1

slide 148

M´ etodo de Tarner k

5.- Obtener el coeficiente de permeabilidades krg correspondiente a la saturaci´ on de petr´ oleo del paso anterior. Con ro estos datos, obtener la RGP instant´ anea. Los datos PVT empleados corresponden a la presi´ on asumida p. 6.- Calcular nuevamente la producci´ on acumulada de gas Gp a la presión p aplicando la siguiente ecuaci´ on: ∗

Gp2 = Gp + (RGP )prom ∆N p

Donde RGP corresponde a la presi´ on p 7.- Estableciendo un margen de error determinado, comparar los valores de Gp1 y Gp2 . Si el error se encuentra dentro del margen permitido, se ha conseguido el valor de N p correspondiente a la presi´ on p. Lo cual permite seleccionar una nueva presi´ on. De lo contrario, si el error no se encuentra dentro del margen permitido, se debe seleccionar un nuevo valor de N p y repetir los pasos desde el 2 hasta el 6. ∗

∗

Tema 1

slide 149

61

M´ etodo de Muskat Muskat present´ o este m´ etodo en 1945 y expuso que el valor de un n´ umero de variables que afectan la producci´ on de gas y de petr´ oleo y los valores de las tasas de cambio de estas con la presión, se pueden evaluar en cada paso de agotamiento. Para este m´ etodo se utiliza la siguiente ecuación: dS o = dp

So βg dRs βo dp

+

So kg µo dβo βo ko µg dp k o 1 + kgo µ µg

−

(1−So −Sw ) dβg βg

dp

Los diferenciales de S o y p se pueden aproximar utilizando ∆S o = S o − S o y ∆ p = p − p respectivamente. Craft (1990) sugiri´ o que los cálculos pueden ser facilitados si se identifican tres grupos dependientes de la presi´ on, y posteriormente se grafican. ∗

Tema 1

∗

slide 150

M´ etodo de Muskat Estos grupos son los siguientes: β dβ o dβo s X( p) = βgo dR Y ( p) = β1g µ Z ( p) = β1g dpg dp µg dp Combinando estos grupos con la ecuaci´ on propuesta por Muskat se obtiene:

  ∆S o ∆ p

=

rg S o X( p) + S o kkro Y ( p) − (1 − S o − S wi )Z ( p)

1+

kg µo ko µg

Esta ecuaci´ on puede ser utilizada para predecir el comportamiento de la producci´ on y la saturación de fluidos del yacimiento dando como dato un ∆ p utilizando los siguientes pasos: 1.- Graficar los valores de Rs , β o y β g vs p y calcular la derivada de las propiedades PVT a varios valores de presión. 2.- Calcular los grupos dependientes X( p), Y ( p) y Z ( p) para cada presi´ on seleccionada para el paso 1. 3.- Graficar los valores de los grupos dependiente en función de la presión como se ilustra en la figura: Tema 1

slide 151

M´ etodo de Muskat

Grupos dependientes vs presi´ on.a

Tema 1

slide 152


62

M´ etodo de Muskat 4.- Asumir una ca´ıda de presi´ on desde la presi´ on actual p a una presi´ on seleccionada p. Determinar los valores de X( p), Y ( p) y Z ( p). 5.- Resolver la ecuaci´ on de Muskat usando la saturación actual de petróleo al principio de la presion p . ∗

∗

  ∆S o ∆ p

6.-

rg S o X( p ) + S o kkro Y ( p ) − (1 − S o − S wi )Z ( p ) ∗

=

∗

∗

∗

1+

∗

∗

kg µo ko µg

Determinar la saturación de petroleo S o a la presión promedio del yacimiento selecionada p: ∗

∗

S o = S o − ( p − p)

  ∆S o ∆ p

7.- Utilizando la saturación de petr´ oleo calculada en el paso anterior, calcular el valor del cociente de permeabilidades relativas. Tema 1

slide 153

M´ etodo de Muskat Obtener (∆S o /∆ p) utilizando los nuevos valores para la presi´ on p.

  ∆S o ∆ p

8.-

=

1+

kg µo ko µg

Calcular un valor promedio entre los valores obtenidos del paso anterior y el paso número 5.

  ∆S o ∆ p

9.-

rg S o X( p) + S o kkro Y ( p) − (1 − S o − S wi )Z ( p)

prom

1 = 2

     ∆S o ∆ p

+

5

∆S o ∆ p

7

Utilizando este promedio, calcular la saturación de petr´ oleo correspondiente a la presi´ on p: ∗

∗

S o = S o − ( p − p)

  ∆S o ∆ p

prom

Tema 1

slide 154

M´ etodo de Muskat 10.-

Utilizando la saturación calculada en el paso anterior, calcular RGP krg RGP = Rs + ro

11.-

  µo β o µg β g

Calcular la producci´ on de petr´ oleo acumulada, utilizando la informción de S o calculada en el paso n´ umero 9



β oi S o N p = N 1 − β o (1 − S wi )

12.-



Utilizando la definición de RGP , calcular el incremento de la producción acumulada de gas: RGP + RGP 2 ∗

(RGP )prom = ∗

Gp = Gp + (RGP )prom ∆N p

Tema 1

slide 155

63

M´ etodo de Muskat Repetir desde el paso 4 hasta el 12 con todos los pasos de presión en estudio haciendo: p (RGP ) Gp N p S o ∗ ∗

∗

∗

∗

= = = = =

p (RGP ) Gp N p S o

Como se observa, este m´ etodo no realiza cálculos iterativos para lograr una convergencia de los valores obtenidos; el m´ etodo de Muskat se puede presentar como una herramienta confiable al momento de realizar predicciones del comportamiento del yacimiento, solo cuando no se disponga de herramientas computacionales que faciliten cualquiera de los otros dos métodos. Tema 1

slide 156

Ejemplo Se dispone de la siguiente informaci´ on: Prueba Liberacin Diferencial p

βo

βg

Rs

[lpc] 4350 4061 3772 3483 3194 2905 2616 2327 2038 1749 1460 1171 882 593 304 14.7

[BY/BN] 1.3935 1.3628 1.3331 1.3041 1.2761 1.2490 1.2229 1.1995 1.1765 1.1560 1.1366 1.1176 1.0997 1.0837 1.0686 1.0446

[BY/PCN] 0.000678 0.000713 0.000753 0.000803 0.000864 0.000941 0.001040 0.001168 0.001338 0.001573 0.001909 0.002421 0.003280 0.004992 0.009986 0.211740

[PCN/BN] 840.00 773.56 708.13 643.72 580.38 518.19 457.26 401.68 346.30 295.93 247.24 198.79 152.10 109.32 67.95 0.00

µo

[cP] 1.6182 1.7311 1.8598 2.0081 2.1802 2.3822 2.6220 2.8888 3.2165 3.5880 4.0399 4.6182 5.3541 6.2606 7.4668 10.7660

µg

[cP] 0.0248 0.0237 0.0226 0.0215 0.0204 0.0193 0.0181 0.0171 0.0161 0.0152 0.0145 0.0138 0.0133 0.0130 0.0127 0.0125

Informaci´ on del Yacimiento N [MMBN] pi [lpc] pf [lpc] RGP i [ PC N/ BN ] Swi pb [lpc]

Tema 1

100 4350 1000 8 40 0.3 4350

slide 157

64

Ejemplo Se desea estimar N p , Gp y RGP para la presin de abandono pf = 1000lpc. Para resolver este problema, se utilizan los m´ etodos de predicci´ on estudiados anteriormente. Tracy

Tarner

p

N p

N p

Muskat N p

[lpc] 4350 4111 3871 3632 3393 3154 2914 2675 2436 2196 1957 1718 1479 1239 1000

[MMBN] 0 0.9763 2.1851 3.6098 5.1448 6.6254 7.9319 9.0446 9.9478 10.6980 11.3260 11.8540 12.3220 12.7620 13.1780

[MMBN] 0 0.9763 2.2005 3.6410 5.1365 6.4783 7.5716 8.4443 9.1171 9.6582 10.1000 10.4630 10.7800 11.0730 11.3450

[MMBN] 0 0.9742 2.2007 3.6404 5.1350 6.4801 7.5898 8.4518 9.1453 9.6863 10.1210 10.4930 10.8130 11.1010 11.3670

Tema 1

slide 158

Ejemplo

Producción de Petróleo 14 Tracy Tarner Muskat 12

10

) 8 N B M M ( p

N

6

4

2

0 4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

Presión [lpc]

Relaci´ on N p vs pa .

Tema 1 a Fern´ andez, J., Bohorquez, B.,

slide 159 M´ etodos de pre dicci´ on del comportamiento de producci´ on de yacimientos mediante balance de materiales , Trabajo de Pasant´ıa, Esc uela d e Ing enier´ıa de Petróleo, UCV, Nov

2006

65

Ejemplo p [lpc] 4350 4111 3871 3632 3393 3154 2914 2675 2436 2196 1957 1718 1479 1239 1000

Tracy Gp [MMPCN] 0 796 1785 3061 4789 7153 10261 14179 18667 23725 29234 34989 41074 47632 54378

Tarner Gp [MMPCN] 0 796 1769 3029 4797 7283 10553 14621 19213 24327 29850 35582 41618 48101 54757

Muskat Gp [MMPCN] 0 795 1769 3029 4795 7287 10613 14638 19386 24519 29969 35862 41980 48378 54904

Tema 1

slide 160

Ejemplo Producción de Gas 60

50

Tracy Tarner Muskat

40 ) N C P M M 30 M ( p

G

20

10

0 4500

4000

3500

3000 2500 Presión [lpc]

2000

1500

1000

Relaci´ on Gp vs pa .



2006

66

Ejemplo p [lpc] 4350 4111 3871 3632 3393 3154 2914 2675 2436 2196 1957 1718 1479 1239 1000

Tracy RGP [PCN/BN] 840 792 796 951 1412 2353 3918 6203 9097 12643 16714 20948 25169 28960 31584

Tarner RGP [PCN/BN] 840 792 796 954 1409 2295 3699 5641 8052 10923 14157 17500 20771 23616 25467

Muskat RGP [PCN/BN] 840 792 796 954 1410 2295 3688 5634 8017 10878 14116 17430 20684 23535 25400

Tema 1

slide 162

Ejemplo Gas−−Oil Ratio 35

30

Tracy Tarner Muskat

25 ) Y B / 20 N C P M ( G15 P R

10

5

0 4500

4000

3500

3000 2500 Presión [lpc]

2000

1500

1000

Relaci´ on RGP vs pa .



2006

67

Referencias

slide 164

Referencias [1] L.P. Dake. Fundamentals of Reservoir Engineering . Elsevier Science B.V., Amsterdam, The Netherlands, fiftheenth edition, 1977. [2] B.C Craft and M.F. Hawkins. Applied Petroleum Reservoir Engineering . PTR Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632, second edition, 1991. [3] Tarek Ahmed and Paul D. McKinney. Reservoir Engineering Handbook . Gulf Professional Publishing, Houston, Texas, USA, 2001. [4] Tarek Ahmed and Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering . Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005. [5] Charles Smith, G.W. Tracy, and R. Lance. Applied Reservoir Engineering , volume 2, chapter 12. OGCI Publications. [6] R.J. Schithuis. Active Oil ans Reservoir Energy. In Trans., AIME, 188, 33ff . [7] W. Hurst. Water Influx Into a Reservoir and Its Applications to the Equation of Volumetric Balance. In Trans., AIME, 151, 57ff , 1943. [8] M.J. Fetkovich. A Simplified Approach to Water Influx Calculations - Finite Aquifer Systems. Journal of Petroleum Technology , 1971. R 1995. [9] Ed Turek and Randy Morris. Black-oil properties correlations - AMOCO Corporation,

Tema 1

slide 164

68

Antecedentes de EBM

slide 165

Antecedentes de EBM Antecedentes Coleman, Wilde y Moore Schilthuis Odd Woods y Muskat van Everdingen, Timmerman y Mcmahon Hawkins Tracy Havlena y Odeh Dake Tema 1

slide 166

Antecedentes Existen diversos trabajos publicados acerca de los métodos de estimaci´ on de reservas de hidrocarburos. La mayor´ıa de los trabajos se enfocan en varios aspectos del tema, que incluyen las leyes y principios fundamentales que gobiernan la extracci´ on de fluidos, la derivaci´ on de las ecuaciones con base en la relación entre la cantidad de fluidos producidos y las propiedades del yacimiento, entre otros. Esta secci´ on esta basada en el trabajo realizado por Carlos Garc´ıaa . Tema 1

slide 167

a C. Garc´ıa, Análisis de errores d e presi´ on y PVT sobre las estimaciones de balance de materiales , Tesis de Pregrado, Universidad Central de Venezuela, 2005

Coleman, Wilde y Moore Dentro de los primeros trabajos realizados acerca del tema se encuentra el de Coleman, Wilde y Moore a . Su estudio se bas´ o en la declinación de la presi´ on del yacimiento posterior a la producci´ on de petr´ oleo y gas. Presentaron una ecuaci´ on que relaciona la presi´ on del yacimiento, la cantidad de petr´ oleo y gas producido, la cantidad de gas en el yacimiento y las propiedades de los fluidos del yacimiento. Tema 1

slide 168

a S.P. Coleman, H.D. Wilde and T.V. Moore,

Quantitative effects of GOR on decline of average rock pressure . Trans. AIME (1930). 86. 174. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 6.)

Schilthuis Schilthuisa , present´ o una forma modificada de la ecuaci´ on de Coleman, Wilde y Moore. La ecuaci´ on de Schilthuis se puede describir como un balance volum´ etrico entre las cantidades de p etr´ oleo, gas y agua producida, con la declinaci´ on de presi´ on del yacimiento, la cantidad total de agua que pudo haber entrado al yacimiento y la cantidad total de petr´ oleo y gas del yacimiento. La ecuación de Coleman, Wilde y Moore est´ a basada en las leyes de gases perfectos y soluciones p erfectas, a diferenci a de ésta, la ecuaci´ on de Schilthuis usa la relaci´ on entre la presi´ on y el volumen obtenido en el laboratorio a partir de muestras de petr´ oleo y gas del yacimiento, resultando que la ecuaci´ on sea aplicable al estudio de yacimientos de alta presi´ on. Otra mejora de la ecuaci´ on de Schilthuis sobre la de Coleman, Wilde y Moore es una simplificación del procedimiento de c´ alculo involucrado, la mayor´ıa de l os términos usados en l a ecuaci´ on de Schi lthuis pueden ser le´ıdos directamente de curvas provenientes del laboratorio. Schilthuis, en la derivaci´ on de la ecuaci´ on, supuso que existe un estado de equi librio instantáneo en el yacimiento. Esta suposici´ on de equilibrio es tal que el yacimiento se comporta como si tuviese cantidades m´ as peque˜ nas de petr´ oleo y gas de las que realmente contiene. Tal estado de equilibrio nunca se alcanza. Una consecuencia de esto es que el contenido de hidrocarburos calculado mediante la ecuaci´ on de Schilthuis es siempre menor que el contenido real. Se cree que la cantidad calculada de petr´ oleo es esa porci´ on del petr´ oleo contenida en la parte permeable e interconectada que contribuye activamente al mantenimiento de la presi´ on del yacimiento. Schilthuis llam´ o a este fenómeno “petr´ oleo activo”. La ecuaci´ on de Schilthuis no toma en cuenta la disminuci´ on en el volumen poroso debido al efecto combinado de la expansi´ on del agua connata y la reducci´ on del volumen poroso del yacimiento. Schilthuis tambi´ en propuso un modelo de influjo de agua el cual expresa la tasa de influjo de agua dentro del yacimiento a un tiempo cualquiera, proporcional a la diferencia de presi´ on entre la presi´ on original del yacimiento y la presi´ o n en el yacimiento en un instante dado. Tema 1 a R.J. Schilthuis,

slide 169 Active Oil Reservoir Energy . TRANS AIME(1936). 118. 32. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 6.)

69

Odd Olda expuso el uso simultáneo de la EBM y la ecuaci´ on de Hurst, aplicado al cálculo de las reservas de hidrocarburos. Estudi´ o el comportamiento de un yacimiento de petr´ oleo y evalu´ o las fuerzas naturales que actuaban en el yacimiento. Old afirm´ o que un uso imp ortante de éste método de análisis consiste en determinar el comportamiento de presi´ on. Tema 1

slide 170

a R. F. Jr. Old,

Analyzing of reservoir performance . Trans. AIME( 1943). 151. 86. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 8.)

Woods y Muskat Woods y Muskata presentaron un procedimiento de an´ alisis de m´ınimos cuadrados para resolver la ecuaci´ on de balance de materiales y su aplicaci´ on para estimar el petr´ oleo en sitio a partir de observaciones de campo. El estudio concluyó que el balance de materiales por si mismo no puede, con seguridad, proporcionar una determinaci´ on u ńica de las caracter´ısticas f´ısicas básicas del petróleo que se produce de un yacimiento. Sin embargo, el método proporciona una herramienta u ´til para estimar la intrusión de agua o para predecir el comportamiento futuro de un yacimiento, cuando existen datos de control determinados independientemente, tales como valores de petr´ oleo y gas inicial en sitio. Tema 1

slide 171

a R. E. Woods y M. Muskat,

An Analysis of material balance calculations . Trans AIME (1943). 151. 73. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 9.)

van Everdingen, Timmerman y Mcmahon Everdingen, Timmerman y Mcmahona presentaron una forma modificada de la ecuaci´ on de balance de materiales aplicable a yacimientos con empuje parcial de agua. El método combin´ o la ecuaci´ on de balance de materiales con la ecuaci´ on de influjo de agua de Hurst-Van Everdingen, para obtener valores confiables del petróleo activo original en sitio y una evaluación cuantitativa del influjo de agua acumulado. El método de soluci´ on usa el método de m´ınimos cuadrados para obtener dos ecuaciones normales a partir de un cierto n´ umero de ecuaciones de balance de materiales. El método de desviación normales fue utilizado para determinar el valor de petr´ oleo en sitio asociado con el valor más confiable de los intervalos de tiempo reducidos. Tema 1

slide 172

a A.F. Van Everdingen,E.H. Timmerman y J.J. Mcmahon, Application of the material balance equation to a partial water drive reservoirs . Trans. AIME (1953). 198. 51. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 9.)

Hawkins Hawkinsa present´ o una extensi´ on de la ecuaci´ on de balance de materiales aplicable a yacimientos volum´ etricos subsaturados por encima del punto de burbujeo mediante la inclusi´ on de un término que toma en cuenta la presencia de agua intersticial y su compresibilidad. Tema 1

slide 173

a M. F. Jr. Hawkins, Material balance in expansion type reservoir above bubblepoint . Trans. AIME (1953). 204. 267. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 10.)

Tracy Tracya present´ o una forma simplificada de la ecuación de balance de materiales de Schilthuis. En la ecuaci´ on, los términos de petróleo producido acumulado, gas producido acumulado e influjo neto de agua se multiplican por diferentes factores de presi´ on. El m´ etodo estima tasas gas-petr´ oleo instant´ aneas junto con producci´ on incremental de petr´ oleo. Tema 1 a G. W. Tracy,

slide 174 Simplified form of the material balance equation. SPE Reprint Series No 3. 1970. pp 62. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp 11.)

70

Havlena y Odeh Havlena y Odeha presentaron un m´ etodo en el cual la ecuaci´ on de balance de materiales se expresa como la ecuaci´ on de una l´ınea recta. El método consiste en graficar un conjunto de variables versus otro, dependiendo de los mecanismos de empuje del yacimiento del yacimiento. Este método proporciona un tercer y necesario criterio que s´ olo una soluci´ on exitosa de la ecuaci´ on de balance de materieales deber´ıa satisfacer. El método fue aplicado a varios casos de campo. El m´ etodo ha demostrado ser el mejor en términos de la interpretaci´ on de los cálculos de balance de materiales. Tema 1

slide 175

a D. Havlena y A.S. Odeh.

The material balance as an equation of a straight line , SPE Production Research Symposium, Norman, Okla. SPE 559., 1963.

Dake Dakea consider´ o la disminuci´ on en el volumen poroso de hidrocarburos debido al efecto combinado de la expansi´ on del agua connata y la reducci´ on en el volumen poroso, la cual no fue tomada en cuenta por Schilthuis al derivar la forma general de la ecuaci´ on de balance de materiales. Tema 1 a L. Dake,

slide 176 Fundamentals of Reservoir Engineering , Elsevier, The Netherlands, 1978

71

M´ınimos Cuadrados

slide 177

M´ınimos Cuadrados Introducci´ on Derivaci´ on Tema 1

slide 178

Introducci´ on El ajuste de m´ınimos cuadradosa,b es un procedimiento matem´ atico para obtener la curva que mejor ajuste un conjunto dado de puntos mediante la minimizaci´ on de la suma de los cuadrados de los residuales de los puntos de la curva.

Figura B.1: Ajuste de m´ınimos cuadrados Tema 1

slide 179

a http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html b http://www.keypress.com

Derivaci´ on La suma de los cuadrados de las desviaciones verticales R2 de un conjuntos de n puntos a la función f es:

 

R2 =

[yi − f (xi , a1 , a2 , . . . , an )]2

(B.1)

La condici´ on para que R2 sea m´ınimo es: ∂ R2 ∂a i

(B.2)

=0

Para i = 1, . . . n Tema 1

slide 180

72

Derivaci´ on on f (a, b) = a + bx, se tiene: Para el ajuste lineal f ( n

    

R2 (a, b) =

[yi − (a + bxi )]2

(B.3)

i=1

n

∂ R2

= −2

∂a

[yi − (a + bxi )] = 0

(B.4)

[yi − (a + bxi )] xi = 0

(B.5)

i=1

∂ R2 = −2 ∂b

n

i=1

Tema 1

slide 181

Derivaci´ on on Finalmente:

  a b

Es decir: a=

b=

Tema 1

=

n i=1

      n i=1

n

yi

n

n i=1

n

n

n i=1

n i=1

xi2 −

n x2 i=1 i n x2 i=1 i

xi yi − 2

n i=1

n i=1

                  1

xi −

−

−

n i=1

xi

2

n n x i=1 i i=1 2 n x i=1 i

n x i=1 i n i=1

n i=1

xi

n

yi

xi2 − n xy − i=1 i i

xi yi

yi

2

n i=1

xi

xi

n i=1

n i=1

xi yi

yi

 (B.6)

(B.7)

slide 182

Derivaci´ on on f (b) = bx, se obtiene: En el caso del ajuste lineal f ( b=

Tema 1

n y i=1 i n x i=1 i



(B.8) slide 183

73

Parámet am etro ross Esta Es tad d´ısti ıs tico coss

slide 184

Parámet am etro ross Esta Es tad d´ısti ıs tico coss Introducci´ on on Coeficiente de correlaci´ on on Error del ajuste (RSME) Intervalo de confianza Tema 1

slide 185

Introducci´ on on Entre los principales par´ ametros ametros estad´ısticos ısticos se encuentran: encuen tran: 1. Coeficiente Coeficiente de correlaci correlaci´ on oń 2. Error Error del del ajus ajuste te (RSM (RSME) E) 3. Interv Intervalo alo de confia confianza nza Tema 1

slide 186

Coeficiente de correlaci´ on on El coeficiente de correlaci´ on on es una medida de la calidad de un ajuste de m´ınimos ınimos cuadrados cuadrados de un conjuntos de datos. datos.

Tema 1

slide 187

Coeficiente de correlaci´ on on El coeficiente de correlaci´ on on r (también en denotado denotad o como R) esta definido por: r=

n i=1

n i=1

n i=1

              n

n

n i=1

xi2 −

xi yi − n i=1

xi

2

n

xi

n i=1

yi

yi2 −

n i=1

Tema 1

yi

(C.1)

2

slide 188

74

Error del ajuste (RSME) El RSME es la raiz cuadrada del promedio del cuadrado de los valores de las diferencias entre los puntos y la curva (offset ) de un ajuste lineal. El RSME esta definido por la siguiente expresión: on: RSME =

   1 n

n

(∆y (∆y )2

(C.2)

i=1

Tema 1

slide 189

Intervalo de confianza El intervalo de confianza es un intervalo en el cual la medida cae de acuerdo a una probabilidad dada. Usualmente, el intervalo de confianza de interés es está sim´ si m´ etricamente etricame nte centrado centrad o alrededor al rededor de la media, m edia, as´ as´ı que q ue un 50% del intervalo interval o de de confianza para una funci´ on on de probabilidad simétrica etrica es el intervalo tal que: 1 = 2

a



(C.3)

P (x) dx

a

−

Tema 1

slide 190

75

MBO

slide 191

MBO Introducci´ on Archivos Ejecuci´ on Tema 1

slide 192

Introducci´ on MBO es un toolbox de MATLAB que implementa los métodos más imp ortantes de resoluci´ on de la ecuaci´ on de balance de materiales para los cálculos de petr´ oleo original en sitio (POES) para yacimientos de petr´ oleo con gas en soluci´ ona . MBO utiliza los datos de producci´ on, datos PVT y par´ ametros de yacimiento y acu´ıfero para resolver la ecuación de balance de materiales y calcular el POES, GOES e ´ındice de mecanismos de empuje utilizando diversos métodos de resoluci´ on. La documentaci´ on de MBO, as´ı como algunos ejemplos tutoriales, se puede obtener a trav´ es del web site : http://www.atgig.com/eam/mbo/mbo-es.html Tema 1

slide 193

a C. Garc´ıa, Análisis de errores d e presi´ on y PVT sobre las estimaciones de balance de materiales , Tesis de Pregrado, Universidad Central de Venezuela, 2005

Archivos MBO requiere cinco archivos de entrada: <file >.rsv: Datos del yacimiento <file >.prd: Datos producci´ on <file >.pvt: Datos PVT <file >.aqu: Modelo de acu´ıfero <file >.rmd: Especificaci´ on de los m´ etodos de balance de materiales

Los archivos de salida son: <file >.oip: POES y GOES calculado por cada m´ etodo de resoluci´ on <file >.hoe: T´ erminos de expansi´ on de fluidos y roca

Tema 1

slide 194

76

Ejecuci´ on MBO se puede ejecutar desde la l´ınea de comando de DOS de la siguiente forma: mbo <file >

Figura D.1: Ventana de ejecución de MBO Tema 1

slide 195

77

Ejecuci´ on MBO se puede ejecutar desde la l´ınea de comando de DOS de la siguiente forma: mbo <file >

Figura D.1: Ventana de ejecución de MBO Tema 1

slide 195

77

EBM

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