M ATEMÁTICAS CCSS: EBAU 2018 JUNIO C ASTILLA Y LEÓN
Opción A Ejercicio A1 Los trabajadores de un taller artesano elaboran collares y pulseras de bisutería. En la elaboración de un collar se tardan 2 horas, mientras que se emplea 1 hora en la elaboración de una pulsera. Los materiales de los que disponen les permiten fabricar como mucho 50 piezas (entre collares y pulseras) y el tiempo dedicado a su elaboración no puede exceder de 80 horas. Sabiendo que obtienen un beneficio de 5 euros por la venta de un collar y de 4 euros por la venta de una pulsera, utiliza técnicas de programación lineal para calcular el número de collares y pulseras que tienen que elaborar para que su beneficio sea máximo. ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo? Incógnitas:
⟶número de collares que se fabrican ⟶número de pulseras que se fabrican
Restricciones:
≤50 ≤50 2≤80 ≤802 ⟶ {≥0, { ≥0 ≥0, ≥0
Región factible y vértices:
Función objetivo que hay que maximizar:
, , =54 Determinamos Determinamos el beneficio máximo:
0,500 = 200, 30,200 = 230 , 40,0 =200 El mayor beneficio es de 230 €, y se obtiene elaborando 30 collares y 20 pulseras. Autor: ENRIQUE CASTAÑOS GARCÍA
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Ejercicio A2
< = ≥
Se considera la función
a) Estudia razonadamente la continuidad de
.
La función está definida mediante expresiones polinómicas, que son siempre continuas. Así, el único posible punto de discontinuidad se encuentra en . Estudiamos los límites laterales en ese punto:
=4 lim =lim ⟶ ⟶4 = 0 } ⟶lim = 0 lim+ =lim 16 = 0 ⟶ ⟶ 16 ⟶
Cumpliéndose que:
Luego la función es continua en
=4
lim = 4 = 0 ⟶
y, en consecuencia:
es continua en ℝ ′ = 21 ssii <≥ 44 ′ <0 ∀ <4 ⟶ es decreciente en en ∞,4 ′ >0 ∀ ≥4 ⟶ es creciente en en 4,∞∞
b) Analiza el crecimiento y el decrecimiento de
.
Para determinar la monotonía de la función debemos analizar el signo de su primera derivada:
De esta información es fácil deducir que:
present resenta un míni mínimomo cuan cuandodo = =4
Autor: ENRIQUE CASTAÑOS GARCÍA
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Ejercicio A3 Se quiere estimar el sueldo medio de un trabajador. Para ello se selecciona una muestra de 625 trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de 1 480 €. El sueldo de un trabajador es una variable aleatoria con distribución normal y desviación típica igual a 250 €.
a) Halla el intervalo de confianza del 90 % para el sueldo medio de un trabajador.
~ ~, , ~, √ ̅ ⁄ ∙ √ ,̅ ⁄ ∙ √ ̅ = 1 4 8 0 € = 2 5 0 € =625 ⁄ (⁄ <<⁄) = ( < ⁄) (<⁄) = ( < ⁄) [1 ( < ⁄)]=0, )] =0,90 10,90 92 0 =0,95⟶Φ( ⟶ ( < ⁄) = 10, =0,95⟶Φ(⁄) =0,95⟶⁄ =1,645 250 ⟶ 1 463,55;1 496,455 1 480 480 1,645 645 ∙ √ 250625 ; 1 48 4 8 0 1 , 6 4 5 ∙ 625 625 √ 625
El sueldo de un trabajador es una variable aleatoria que sigue si gue una distribución normal:
El sueldo medio de un trabajador, , también sigue una distribución normal:
El intervalo de confianza para el sueldo medio de un trabajador viene dado por:
Donde la media muestral es es . Calculamos el valor de
, la desviación típica es para una confianza del 90 %:
y el tamaño de la muestra
Por lo tanto:
b) Si se quiere que el error máximo de la estimación del sueldo medio de un trabajador sea de 10 €, con una confianza del 99 %, halla el tamaño mínimo de la muestra que se debe elegir.
El error máximo admisible viene dado por:
= ⁄ ∙ √
Procediendo como en el apartado anterior, para un nivel de confianza del 99 %:
(⁄ <<⁄) = ( < ⁄) (<⁄) = ( < ⁄) [1 ( < ⁄)]=0, )] =0,99 10,99 92 9 =0,995⟶Φ( ⟶ ( < ⁄) = 10, =0,995⟶Φ(⁄) =0,995⟶⁄ =2,575 10 € 10>2, 10>2,575∙ 5 75∙ 250√ ⟶10> 643,√ 75 ⟶ √ > 64,375 ⟶ > 4 144,1 ⟶ ≥ 4 145
Por lo tanto, el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo sea de
Autor: ENRIQUE CASTAÑOS GARCÍA
es:
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Ejercicio A4 El 40 % de los internautas utiliza Dropbox o Google Drive para almacenar archivos en la nube. Sabiendo que el 25 % emplea Dropbox y y el 20 % emplea Google Drive, ¿qué porcentaje de inter– nautas emplea ambos? Sea
= 0,25, = 0,20, ∪ =0,40
el suceso “utilizar Dropbox ” y
el suceso “utilizar Google Drive”. Entonces:
Teniendo en cuenta que:
∪ = ∩ ∩ = ∪ =0, 2 50, 2 00, 4 0=0, 0 5
La probabilidad de la intersección de ambos sucesos es:
Luego, el porcentaje de internautas que utiliza los dos sistemas de almacenamiento es del
5%
.
Opción B Ejercicio B1
Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro :
= = { =
a) Clasifica el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de .
1 3 1 1 3 1 1 = 31 11 1 1 , = 31 11 1 1 34 13 31 1 1 13 ⇒−∙− 10 38 1 4 10 ⇒∙− 10 38 1 4 10 11 1 4 0 22 0 3 0 0 4 12 =4 rango rango =2≠rango =2≠rango = 3 ⟶ Siststema ema incom ncompapatitiblble ≠4 rango rango =rango =rango = = 3 ⟶ Siststema ema comp compatatible ible dete determrmininadadoo
Escribimos la matriz de los coeficientes, , y la matriz ampliada con los términos independientes, independientes, :
Estudiaremos Estudiaremos el rango de cada una de ellas. Aplicamos el método de Gauss:
Por el teorema de Rouché –Frobenius: Si
Si
:
:
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b) Resuelve el sistema para Cuando
=3
:
De donde se deduce:
= 10 38 11 10 ⟶ {3=1 8=0 0 0 1 12 =12 =12 8=0⟶= 8 ⟶ = 32 3=1⟶=13⟶= 132 .
Ejercicio B2 Se espera que en los próximos diez años, los beneficios (en millones de euros) de una empresa, vengan dados por la función , donde es el tiempo transcurrido en años desde el momento inicial.
=
∈ ,
a) Determina en qué momento del tiempo los beneficios serán de 16 millones de euros.
1016 = = 16 =0 1016=16⟶ 10=0⟶∙ 10=0⟶∙ 10 10 = 0 ⟶ =10 ∈ 0,100 = 0 = 10 años
Como los beneficios, en millones de euros, vienen dados por la función determinar el valor de para el cual :
Dado que
, entonces
, debemos
no es una solución válida y, en consecuencia:
b) Determina en qué momento los beneficios serán mínimos. En el punto en el cual función
alcanza el mínimo debe cumplirse que
′ =210
′ = 0
. Siendo:
Por lo tanto:
2 10 10 = 0 ⟶ = 5 años ′′ = 2 5 = 9
Se comprueba que para este valor de existe un mínimo, evaluando el signo de la segunda derivada:
Como la segunda derivada es siempre positiva, sea cual sea el valor de , podemos asegurar que hay un mínimo cuando En En ese momento, los beneficios son millones de euros (es decir, la empresa tiene pérdidas).
= 5 años.
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Ejercicio B3 Una cadena de supermercados envasa tres variedades de queso en paquetes al vacío, en las pro– porciones que se indican: curado (45 %), semicurado (30 %) y tierno (25 %). Parte del queso que recibe es de importación, concretamente, el 25 % del queso curado, el 23 % del semicurado y el 20 % del tierno. Se elige al azar un paquete de queso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de importación?
=0, =0,25 =0, =0,45 ̅ = 0,75 =0, =0,23 =0, =0,30 ̅ = 0,77 =0, =0,20 =0, =0,25 ̅ = 0,80 ̅ = ∙ ̅| ∙ ̅| ∙ ̅| =0,45∙0,750,30∙0,770,25∙0,80 ̅ =0,7685⟶76,85 % Curado:
Importación:
No importación:
o s e u Q
Semicurado:
Importación:
No importación:
Tierno:
Importación:
No importación:
b) Si el queso elegido es de importación, ¿qué probabilidad tiene de ser curado? Se trata de una probabilidad condicionada: condicionada:
0,45∙0,768525 ⟶ | = 0,4860 | = ∩ = 1∙ ̅| = 10, 860 ⟶ 48,60 % Ejercicio B4 La probabilidad de que un alumno de Matemáticas apruebe un examen tipo test es del 80 %, mientras que la probabilidad de que apruebe un examen de problemas es del 60 %. Si la proba – bilidad de aprobar los dos exámenes es del 50 %, calcula la probabilidad de que no apruebe ninguno de los dos exámenes.
=0, 8 0 =0,60 ∩ =0,50 ∩ →Ly M ∩ = ∪ =1 =1 ∪ ∪ = ∩ =0, 8 00, 6 00, 5 0=0, 9 0 ∩ =10,90⟶ =10,90⟶ ∩ = 0,10 ⟶ 10 %
La probabilidad de aprobar un examen tipo test es es ; y la de aprobar los dos,
; la de aprobar un examen de problemas . Se pide la probabilidad de no aprobar ninguno:
Siendo
. En definitiva:
Autor: ENRIQUE CASTAÑOS GARCÍA
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