M ATEMÁTICAS: EBAU 2017 JUNIO C ASTILLA Y LEÓN
Opción A Ejercicio A1
= = 1 punto || ≠ 0 − − = |1 | ∙Adj | | = 11 43 = 3 44 =1⟶ | | ≠ 0 ⟶ Tieneene invenversarsa − = 11 43 ⟶ = 41 13 ⟶Adj = 31 41 ⟶ − = 11 ∙ 31 41 − = 31 41 || = 11 11 =11=0⟶ || = 0 ⟶ No tiene inver nversasa = = = 1′25 puntoss − − ∙∙=− ∙ 2∙ 2∙ − ∙= ∙=− ∙ 2∙ 2∙ ⟶=− ∙ 2∙ 2∙ = 31 41 ∙ 2 ∙ 11 11 10 01 = 31 41 ∙ 22 22 10 01 = 31 41 ∙ 23 23 ⟶=11 61
Sean
y
,
a) Estudiar si y tienen inversa y calcularla cuando sea posible. Una matriz cuadrada de cero, es decir,
tiene inversa (es una matriz regular) si, y solo si, su determinante es distinto , y su inversa, , es:
Comprobaremos que la matriz es una matriz regular:
Y su matriz inversa,
, es:
Por el contrario, la matriz no tiene inversa, es una matriz no regular (o singular):
b) Determinar tal que
siendo
Para despejar la matriz , multiplicamos por la matriz izquierda:
Teniendo en cuenta que
.
a ambos miembros de la ecuación, por la
:
Por tanto:
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Ejercicio A2
≡= ≡ − = + = −− ,, 2′25 puntoss ⃗ ⃗ = 1,1,11 ⃗ ⃗ = 1,2,44 ⃗ ×⃗ ⃗⃗ ⊥⊥⃗ } ⟶⃗ = ×⃗ =⃗ ⃗1 1 1 = 4 2 ∙⃗ 41 ⃗ ⃗ ⃗ 41 ∙ 2 1 ∙ =6∙ 3∙ 3∙ 1 2 4 ⃗ = 6,3,3 ⟶⃗ = 2,1,1 2,1,22 =22 2 2 = 1 1 = 1 2 ≡ =1 ≡ =2 Plano paralelo a ≡ = 0 ⟶ ≡=0 Si pasa por 2,1,22 ⟶ 2 11 22 =0⟶=5 Por tanto ≡5=0 Si es perpendicular a ⟶ =⃗ = 1,2,44 La ecuación del plano es de la forma ≡24=0 Si pasa por 2,1,22 ⟶22∙ ⟶22∙ 11 4 ∙ 22 =0⟶=8 Por tanto ≡248=0 5=0 ≡ {248=0 Determinar la recta que es paralela al plano Cancel
la recta
en el punto
y que corta perpendicularmente a
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.
Se pide encontrar una recta que sea paralela al plano , perpendicular a la recta y pase por . Siendo el vector director de la recta :
El vector
es perpendicular al vector normal al plano , que es
El vector
es perpendicular al vector director de la recta , que es
Por tanto, el vector
puede obtenerse mediante el producto vectorial vectorial
.
.
:
Conocido el vector director de la recta , y teniendo en cuenta ésta que pasa por el punto
:
Estrategia de resolución alternativa:
La recta buscada puede definirse como la intersección de dos planos:
Un plano
paralelo a que pase por el punto :
Un plano
perpendicular a que pase por el punto :
Por tanto, la recta buscada es:
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Ejercicio A3
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a) Enunciar el teorema de Bolzano e interpretarlo geométricamente. geométricamente. Teorema de Bolzano :
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1 punto
[,, ] ∈ ,, = 0. signo escont ≠inuasignogen[enno [,,]} ⟶ ∃ ∈ ,, tal que = 0
Si es continua en y y el signo de es distinto del signo de , entonces existe un número tal que
Consecuencia del teorema de Bolzano :
[,,] < > , ∈ ,, = 1′25 puntoss = 01 =1<0 =1>0} ⟶Intervalo [0,0, 1] [ ] 0,1 0 , 1 0 1 [ ] signo escont i n ua en 0,1 0 , 1 0 ≠ signogno 1 } ⟶ ∃ ∈ 0,10, 1 tal que = 0 ∈ 0,1 0, 1 Si
y son dos funciones continuas en el intervalo , siendo y entonces existe un número tal que . b) Encontrar un intervalo en el que
tenga al menos una raíz.
Para ello debemos encontrar un intervalo en el cual la función cambie de signo, por ejemplo:
Siendo continua en todo su dominio, también lo será en el intervalo , y como el signo de es distinto del signo de , se satisfacen s atisfacen las hipótesis del teorema de Bolzano, por lo que ha de cumplirse la tesis:
Es decir, hay un valor de para el cual la función se anula, por lo que podemos asegurar que tiene al menos una raíz en dicho intervalo.
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Ejercicio A4
a) Calcular la recta tangente a la curva
= −
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en el punto
(,, ) 1 punto .
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Geométricamente, la derivada de una función en un punto determinado representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Así pues, comenzaremos por derivar :
=4∙− ⟶ ′ =4∙− = ′ ∙ = 1 1 = ′1 ∙ 1 Siendo 1 =4 y ′4 = 4 4=4∙ 4=4∙ 1 ⟶=4∙ = = 1′25 puntoss = } ⟶ =4∙⟶ 4∙=0⟶∙ =0 =4∙ 4∙=0⟶∙ 4 ⟶ =±2
Teniendo en cuenta que la recta tangente viene dada por la siguiente ecuación:
Para
:
Por tanto, la recta buscada es:
b) Calcular el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de la función y la recta . En primer lugar calculamos los puntos de corte entre ambas gráficas:
Realizamos un esbozo de la gráfica, para visualizar la región comprendida entre la curva y la recta:
=4 = 4 ∙ 4 ∙ 2 2 = ∫ [4 4 ] = 2 4 = 2 4 0 = 162 164 =84 = 4 u
Como se pide el área comprendida entre la recta primer cuadrante:
y la gráfica de
únicamente en el
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Ejercicio A5
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Se lanzan dos dados (con forma cúbica) al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 8? Cancel Download And Print
1 punto
Las posibles combinaciones en las tiradas de los dos dados se recogen en la siguiente tabla:
Es decir, existe un total de 36 casos posibles, de los cuales sólo son favorables cinco (aquellos que suman ocho):
2, 6, 3,53, 5, 4,44, 4, 5,35, 3, 6,26, 2 de casos f a vorabl e s 5 = número ⟶ = número de casos posibles 36
Por lo tanto, según la regla de Laplace, la probabilidad buscada es:
También llegamos al mismo resultado a partir de la definición de probabilidad probabilidad total:
= 2 ∙ 6|2 3 ∙ 5|3 4 ∙ 4|4 5 ∙ 3|5 6 ∙ 2|6 ⟶ = 365 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 16 ⟶ Probabi Probabilidad de queque salgaga 2, 3,3, 4,4, 5 o 6 en el primermer dado dado 6|2 = 16 ⟶ Probabi Probabilidad de que salga un 6 en el segundo dado si ha salido un 2 en el primeroero 5|3 = 16 ⟶ Probabi Probabilidad de que salga un 5 en el segundo dado si ha salido un 3 en el primeroero 4|4 = 16 ⟶ Probabi Probabilidad de que salga un 4 en el segundo dado si ha salido un 4 en el primeroero 3|5 = 16 ⟶ Probabi Probabilidad de que salga un 3 en el segundo dado si ha salido un 5 en el primeroero 2|6 = 16 ⟶ Probabi Probabilidad de que salga un 2 en el segundo dado si ha salido un 6 en el primeroero
Siendo:
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Opción B Ejercicio B1
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= = =
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a) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro :
1′25 puntoss
Recurriremos al teorema de Rouché –Frobenius para discutir el número de soluciones de este sistema. sis tema. Para ello, comenzamos por definir la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada con los términos independientes:
1 Matr Matriiz dede los coefcoeficientes⟶ es ⟶ = 11 12 14 1 1 ∗ Matri Matriz amp amplliada⟶ da ⟶ = 11 12 14 12 || = 0 || = 111 12 14 =4224=22 Si|Si || =0⟶22=0⟶=1 ≠1 =1 ≠ 1 = =∗ = 3 Si ≠ 1 ⟶ SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO = 1 = =∗ = 2 ∗ ∗ = 11 11 11 11 1242 Si = 1 ⟶ SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO = 1 punto =1 =1 Si = 1 ⟶ 24=2 =1 {24=2
A continuación evaluamos el rango de
, en función de los valores de para los que
Así pues, si , el rango de es 3. Si , el rango de determinante de orden 2 no nulo en ella. Por tanto:
Si
Si
es 2, pues siempre existe al menos un
,
, que coincide con el número de incógnitas:
,
, pues en la matriz
b) Resolverlo para
:
aparecen dos filas idénticas:
.
Al haber dos ecuaciones idénticas en el sistema, podemos prescindir de una de ellas:
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In order to print this document from Scribd, you'll De este modo el sistema queda con dos ecuaciones y tres incógnitas, por lo que trataremos una de first need to download it. ellas como parámetro. Haciendo :
=
=1 {2=24 =13 13 13 =1⟶=2 =2 =13 = ≡= , , , , 2′25 puntoss 0,1,1 2,1,33 = 2 , 2 , 2 = 0 2 2 , 1 2 1 , 1 2 3⟶= ⟶= 1,0,11 ⃗ ≡32=0 = 3,1,1 ⃗ = 2,1,33 0,1,1 = 2,2,44 ⃗⃗⊥⊥ ⟶⃗ =× =⃗ ⃗3 1 1 = 42 ⃗ ⃗ 42 ∙ 122 122 ∙ 62 62 ∙ 2 2 4 =2∙ ⃗14∙⃗ 8∙ ⟶⃗ = 2,14,88 ≡ 1,7,4 ⃗ = 1,7,4 = 1,0,11 =1 ≡ =14 =7 ≡ 1 1 = 7 = 4 1 Download And Print
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Restando la primera ecuación a la segunda, obtenemos ::
Y sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones, despejamos despejamos :
En definitiva, las soluciones son:
Ejercicio B2
Dado el plano y los puntos , que pertenecen al plano , determinar la recta del plano que pasa por el punto medio entre y y es perpendicular a la recta que une estos puntos. En primer lugar, determinamos el punto medio
entre
y
:
Por otro lado, sabemos que la recta buscada:
Pertenece al plano
normal al plano
, por lo que su vector director
es perpendicular al vector
.
Es perpendicular a la recta que une los puntos y , por lo que su vector director
al vector
es perpendicular perpendicular
.
En consecuencia:
Finalmente, la recta cuyo vector director es
y que pasa por el punto
es:
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Ejercicio B3
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= 1′25 puntoss
a) Dado el polinomio relativo sea 1. El punto
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, hallar para que el valor de
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en su mínimo
en el que se encuentra el mínimo relativo debe satisfacer las siguientes condiciones:
′ = 0, ′ > 0 ′ = 3 2, ′ =23 32 4∙1∙2 = 3 ± √ 29 8 = 3 ±2√ 1 = 3 ±2 1 ⟶ == 12 32=0⟶= 3 ± 3
Por lo que el primer paso es obtener las derivadas primera y segunda segunda de
:
Igualando la primera derivada a cero determinamos los posibles valores de en los cuales se pueden encontrar los extremos relativos del polinomio:
Ahora buscamos el valor que corresponde al mínimo, que será aquel para el cual la segunda derivada es positiva:
′ 1 =1<0⟶Máximo ′ 2 =1>0⟶Mínimo = 2 2 3 ∙ 2 2 = 3 2 2∙2=1⟶= 13
Luego el mínimo se encuentra en
b) Calcular:
. Sabiendo que el valor de
es 1:
∙ ∙ ⟶ 1 ´ H ô l n ∞ l⟶im∙ln ∙ln = [0 ∙ ∞ ∞] =lim⟶ 1 = ∞ ⇒ ⟶lim 1 =lim⟶ =lim⟶ = 0
Ejercicio B4
> ≤ = {
Sea
a) Encontrar para que la función sea continua.
1 punto
=1 ⟶ cont ⟶limlim =lim ⟶ o nt i n ua en = 1 = 1 ⟶
El único posible punto de discontinuidad discontinuidad lo podemos encontrar en continuidad de la función en este punto, debe cumplirse:
, por lo que para garantizar la
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Print document Teniendo esto en cuenta:
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l⟶im =lim⟶ 1 = 1 1 = 0 ln =ln1⏟ = ⟶ln ⟶lim =lim Cancel
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Luego, para garantizar que ambos límites coincidan y, a su vez, la función adopte ese mismo valor en , debe cumplirse que:
=1
=0
b) Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de
1′25 puntoss
y las rectas
= = e
.
El área pedida es la que aparece sombreada en la siguiente figura:
=≤01 = 1 = 1 ∫ 1 ∙ = ∫ 21 21 ∙ =1 =0 =1 = ∫ 1 ∙ ∫ 21 21 ∙ = 3 = 3 = 13 1⟶= 23 u
En el tramo que nos interesa, con por debajo de esta gráfica, entre
, la función implicada es la de . El área que está y , viene dada por la siguiente s iguiente integral definida: definida:
Luego el área entre la gráfica y la recta
, entre
y
, es:
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Ejercicio B5
⁄
La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es . ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 caras en tres lanzamientos? Cancel Download And Print Llamaremos al suceso de la moneda.
1 punto
="sacar cara"
, y distinguiremos con los subíndices 1, 2 y 3, las sucesivas tiradas
= 1⁄2 = ∩ ∩ = ∙ ∙ = 12 ∙ 12 ∙ 12 ⟶ = 18
Siendo la probabilidad de que salga cara en un lanzamiento tres veces cara, en tres lanzamientos independientes, es:
, la probabilidad de que salgan
Si definimos el espacio de posibilidades de las tres tiradas, comprobaremos comprobaremos que, efectivamente, sólo uno de los sucesos es favorable: favorable:
Ω = , , , , , , , ⟶#Ω=8 de sucesos f a vorabl e s 1 Según Según la ley de Lapl Laplace⟶ ce ⟶ = Número ⟶ = Número de sucesos posibles 8
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