M ATEMÁTICAS: EBAU 2018 JUNIO C ASTILLA Y LEÓN
Opción A Ejercicio A1
12 puntoss
a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según s egún los valores del parámetro :
Recurriremos al teorema de Rouché –Frobenius para discutir el número de soluciones de este sistema. sis tema. Así que comenzaremos por definir la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada con los términos independientes:
Matr Matriiz dede los coef coeficientes⟶ es ⟶ 11 01 1 11 0 1 1 ∗ Matr Matriiz amp amplliadaada ⟶ 11 11 1 11 || 0 0 1 || 11 1 1 1 11 2 1 ± 2√ 1 8 ⟶ 2 1 Si|Si || 20⟶ 1± ≠ 1 ≠2 1 2 ≠ 1 ≠2 ∗ 3 Si ≠ 1 y ≠ 2 ⟶ SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 1 ∗ 2 ∗ 11 01 11 11 1 1 1 1 Si 1 ⟶ SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
A continuación evaluamos el rango de
, en función de los valores de para los que
Así pues, si y , el rango de es 3. Si o el rango de existe al menos un determinante de orden 2 no nulo en ella. Por tanto:
Si
y
Si
es 2, pues siempre
:
En este caso,
:
, que coincide con el número de incógnitas: i ncógnitas:
:
En este caso, el , ya que en la matriz ampliada hay tres columnas idénticas (no encontraremos encontraremos ningún determinante de orden tres en ella no nulo):
Autor: ENRIQUE CASTAÑOS GARCÍA
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Si
2
:
2 ∗ 3 ∗ 12 10 12 11 , 01 12 11 11213 ≠0 1 1 1 1 1 1 1 Si 2 ⟶ SISTEMA INCOMPATIBLE 08 puntoss 1 Si 1 ⟶ 1 1 1⟶1 1⟶11⟶0 ≡ ≡ 2 puntoss ⃗ 2, 0 , 2 1, 1 , 1 1,0,11 ⃗ ∙ 1,1,1 ∙ 1,0,11 1010⟹⃗ ⊥ ∉≡20 En este caso, , pero orden tres no nulo en ella:
b) Resolverlo para
, ya que podemos encontrar algún determinante de
.
En este caso el sistema es compatible indeterminado y depende de un parámetro:
Por lo que, al sustituir en las dos primeras ecuaciones, ecuaciones, se deduce:
Ejercicio A2
Determina la recta que es simétrica de
De la ecuación de deducimos que pasa por el punto De la ecuación de obtenemos su vector normal
respecto del plano
y su vector director es . Es fácil comprobar que:
.
.
Es decir, y son paralelos, y podemos plantear el problema de la siguiente manera:
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⃗ ⃗ 1,1,1 1,0,11 2,0,2 2 2 0 2 2 2 20⟶220⟶1 211 211 0 ⟶ 1,0,1 2,0,2 ,, 2 1⟶0 2 2 (2 , , ) 1, 0 , 1 ⟶ ⟹ 0, 0 , 0 2 22 22 0⟶0 2 1⟶0 ⃗ 1,1,1 0,0,0 ≡ 2 puntoss 12 3 0 0 12 3 0⟶ ∙ 123 123 0 ⟶ 14
La recta , que es simétrica de respecto de , también es paralela al plano y tiene la misma dirección que la recta , por lo que su vector director es:
De modo que, para determinar la ecuación de , debemos conocer el punto respecto del plano . Para ello:
que es simétrico del punto
Obtenemos la recta perpendicular al plano que pasa por
, la cual tendrá como vector
director el vector
:
Calculamos la proyección del punto
sobre el plano , es decir, el punto que es la intersección entre la recta y el plano. Sustituyendo las ecuaciones paramétricas paramétricas de en la ecuación del plano:
Luego el punto es:
Siendo
el punto medio entre
y
, hallamos este último:
En definitiva, la recta , cuyo vector director es
y que pasa por
, es:
Ejercicio A3
Dada la función
, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento,
sus extremos relativos y el número total de puntos en los que Comenzamos calculando calculando la derivada de la función
Obtenemos los valores de para los cuales
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se anula.
:
:
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Determinamos Determinamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento evaluando el signo de valores de :
en torno a estos
0, ∞ (∞, 14) ( 14 , 0) 0,∞ < 0 > 0 > 0
Decreciente Por lo tanto:
Creciente
Creciente
decrece en (∞,1 14) crece en ( 4 ,∞)
14⁄
0
Del estudio de la monotonía de la función se desprende que hay un mínimo cuando y un punto de inflexión en , algo que podemos verificar a partir del signo de la segunda derivada de para dichos valores de :
36 6 ( 14) 34 > 0 ⟶ Mínimo en (( 14 , 257256) 0 0 ⟶ Punt Punto de inflexiexión enen 0,11 ⁄ 14 1⁄4 < 0 lim ∞ positivoo ⟶− ⁄ ∞ 1 4 ⁄ 0 ∞, 14 >14⁄ lim ∞ positivoo ⟶+ ⁄ 1⁄4 , ∞ 1 4 ∞ 0 ∞
Para determinar el número de puntos en los que se anula recurriremos al teorema de Bolzano. En primer lugar, tendremos en cuenta que la función decrece hasta alcanzar el mínimo cuando ,y que (negativo). Además, comprobamos que:
Como es siempre continua y cambia de signo entre y , entonces podemos asegurar que existe un valor para el cual . Además, sabemos que en el intervalo la función es siempre decreciente, lo cual nos permite garantizar que es el único valor de , perteneciente a dicho intervalo, en el cual la función se anula. De la misma manera, razonaremos lo que ocurre cuando
. Se comprueba c omprueba que:
Así que cambia de signo entre y , por lo que existe un valor para el cual . Como en el intervalo la función es siempre creciente, no existe otro valor de en dicho intervalo, en el cual la función sea nula. En definitiva:
Launfvalvaunciloró∈n se∈ anul∞,aúni14⁄cament e para dos val o res de : y otro otro valoror ∈ ∈ 1⁄4 , ∞ ∞
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Ejercicio A4
∙ , ,⁄ 2 puntoss ∈ 0,2 0 ,2⁄ 0 0 ⁄ ∙cos0⟶ ∙cos0⟶ cos0⟶2 ⁄ 0,2 ⁄ ∫ ∙c∙ cos ∙ ∙
Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función cuando pertenece al intervalo . En primer lugar, determinamos los valores de
para para los cuales
y el eje de las ,
:
Es decir, la función no cruza el eje de las en el intervalo . Así que el área del recinto limitado por la gráfica de y el eje de las viene dada por la integral i ntegral definida:
Que puede resolverse mediante el método de integración por partes:
⟶ ⟶ , co cos ∙ ∙ ⟶ ∫co ∫cos ∙ ∙ se sen Calculamos la integral indefinida:
∫∙cos∙∙sen∫sen∙∙sencos ⁄ ∫ ∙ cos cos ∙ ∙sencos ∙sencos⁄ 2 ∙sen 2 cos 2 0∙sen0cos0 0∙sen0cos0 2 ∙10 ∙10 0 1 2 1 2 2 u
Luego el área resulta:
Gráficamente, el área calculada es la que se señala a continuación (no es necesario hacer la gráfica):
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Ejercicio A5 a) Se tira una moneda tres veces. Calcular la probabilidad de que, sin tener en cuenta el orden salgan una cara y dos cruces.
1 punto
Si tiramos una moneda (no trucada) tres veces, los resultados pueden ser:
, , , , , , , , , de sucesos f a vorabl e s 3 Ley de Laplaplaceace ⟶ número número de sucesos posibles 8 ⁄ ⁄ 1 2 1 2 "número de veces que sale cruz en tiradas" ~ ~,, ⟶~ ⟶~3,12⁄ 2 3 − 1 1 1 3 − ∙ ∙ ⟶ 2 2 ∙ (2) ∙ (2) 3∙(2) 38
Donde representa el suceso “salir cara” y , “salir cruz”. Es decir, pueden darse 8 tiradas distintas, de las cuales solo en 3 salen dos cruces y una cara:
Por lo que la probabilidad pedida es:
También puede plantearse como una distribución binomial, donde se considera éxito el suceso “salir cruz” y fracaso y fracaso, el suceso “salir cara”, siendo la probabilidad de éxito y de fracaso, . De esta manera, la variable aleatoria puede repre– sentarse como:
Luego la probabilidad de que ocurran éxitos en sin importar el orden en que aparecen) es:
tiradas (es decir, dos cruces y una cara,
b) Una persona elige al azar, sin verlas, dos cartas de una baraja española (de 40 cartas, de las cuales 10 son de cada uno de los cuatro palos: oros, copas, espadas y bastos). Calcular la probabilidad de que ninguna de las dos cartas elegidas sea de copas.
1 punto
Llamamos al suceso “salir copas”. La probabilidad de no sacar una c opa en la primera extracción es:
̅ 3040
Luego la probabilidad de no sacar una copa en la segunda extracción, si no se ha sacado una copa en la primera extracción es (ahora hay una carta menos que no es de copas; no hay reemplazamiento):
̅ |̅ 2939 ̅ ∩ ̅ ̅ ∙ ̅ |̅ 3040 ∙ 2939 2952 0, 5 58
En consecuencia, la probabilidad de que ninguna de las dos cartas sea de copas es:
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Opción B Ejercicio B1
|| | | | 2 puntoss ∙ 32 25 75 ∙1 1 ∙ 12 25 2 1 1 11 01 2 1 1 1 || | 2 | | 3 32 25 75 6157142⟶2 2 2 1 1 1 2213⟶22
Dadas las matrices
,
y
, calcúlense y para que se verifiquen
y , donde se está usando la notación habitual (con barras verticales) para denotar al determinante de una matriz. En primer lugar, calculamos las matrices
Teniendo en cuenta que
y
y
:
:
Resolvemos el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas que se ha obtenido:
2 ⟶ 2 22 0
Ejercicio B2
≡ + ≡ 0,8 puntoss ⃗ 1,2,1 1,1,1 1,1,1 ⃗ ⃗ ∙ 1,2,1 ∙ 1,1,1 1210 ⃗ ∙0 ⃗ ⊥ 1 11 13≠0 ∉ y son paralelos
Dados la recta
y el plano
, se pide:
a) Determinar la posición relativa de y . La recta pasa por el punto vector normal .
y su vector director es
. El plano tiene como
Para determinar la posición relativa de y , calculamos el producto escalar de
Como , necesariamente debe cumplirse que paralelos o coincidentes.
y :
, lo que significa que
y pueden ser
Comprobamos si el punto de la recta pertenece al plano:
Por lo tanto,
y podemos asegurar que:
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12 puntoss
b) Hallar el plano paralelo a situado a la misma distancia de que .
0
Un plano paralelo a , que llamaremos ecuación general será de la forma:
, debe tener el mismo vector normal que , por lo que su
′
Para determinar el término desconocido, debemos conocer un punto del plano . Este punto puede ser el punto simétrico de cualquier punto del plano respecto del punto , que pertenece a :
Para ello:
∈ ≡ 0 0 0 0 0,0,0 ∈ 1, 1, 1 0,0,0 ,, 2 , 2 , 2 1,1,1 2 1⟶2, 2 1⟶2, 2 1⟶2 2,2,2 0⟶2 0⟶2 22 20⟶6 60
Obtenemos un punto
Hallamos el punto
y
, por ejemplo (si
, teniendo en cuenta que :
e
, entonces
):
viene a ser el punto medio entre
Por lo que el punto es:
Sustituimos Sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación del plano
Por tanto, el plano
:
buscado es:
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,, ,, |11 11111|1 √ 33 ⟶ 3 |3 | | | | 1 3 3 3 √ √ ,, ,, | 11 1111 1| 1 √ 3 3 |3 | ⟶ 33⟶0 3 3 ⟶6 0 6 60 ∙− 2 puntoss ∙− > 0 ∀ ∈ ℝ ℝ ℝ No posee asíntotas verticales ô ∞ 1 1 Así n tota hori z ontal 0 l i m → l i m 0 ⟶ ⟶∞ ∞ ⟶+ ∞ No haycuando l⟶±im l⟶+ t a⟶hori∞zontal i⟶−m ⟶+ lim − ⟶+ lim ∙ ∞⟶ cuaasíndndonoto⟶ ⟶∞ ⁄ ⟶− lim ⟶− lim ⟶− lim 1 −1 + ∞⟶ ∞ ⟶ No hayhay asíasíntntotota obloblicua
También podríamos haber calculado el valor de teniendo en cuenta que la distancia de a es la misma que la distancia de a . Por el paralelismo de nuestro problema, la distancia entre y cada uno de los planos es igual a la distancia entre el punto a cada uno de dichos planos:
Por lo tanto:
Cuando
se obtiene el plano dado, por lo que
es el valor que corresponde corresponde al plano
:
Ejercicio B3
Dada la función , determínese su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese también su gráfica.
Dominio. Como
:
Asíntotas. Como el dominio de la función es
:
Comprobamos Comprobamos si tiene asíntotas horizontales:
Consideramos Consideramos la posibilidad de que exista una asíntota oblicua
cuando
:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento . Para determinarlos, evaluamos el signo de la primera derivada
de la función a lo largo de su dominio:
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1 ∙
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10 1 ∞,1 1,∞∞ ∞,1 1,∞∞ > 0 < 0
La primera derivada se anula cuando signo de en y :
, es decir, cuando
Creciente
Por lo tanto:
. Luego nos interesa conocer el
Decreciente
crece enen ∞,1 y decrece enen 1,∞∞ 1 1 0
Extremos relativos. El único candidato a extremo relativo es
, ya que . Después de estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función, queda claro que para ese valor de la función presenta un máximo. (*) Esto puede comprobarse al evaluar el signo de la segunda derivada en ese punto:
1 ∙ 1 2 ⟶ 1 < 0 ⟹ Hay unun mámáximo enen 1
Por lo tanto:
Máximo en (1, 1) 2 0⟶2 ∞,2 2,∞∞ < 0 > 0 ∩ ∪ es cóncava cóncava ∩ enn ∞,2 y convexa convexa ∪ enn 2,∞∞ 2 Punto de inflexión es (2, 2) 2 2 2 ∙ 3 ⟶ 2 1 ≠ 0 ⟹ HayHay un punt punto dede inflexiexión enen 2
Concavidad y convexidad . Evaluamos el signo de la segunda derivada:
Cóncava
Convexa
Por lo tanto:
Puntos de inflexión. Hay un cambio de curvatura cuando
(*) Podemos comprobar que, efectivamente, en tercera derivada:
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, luego:
hay un punto de inflexión, aplicando el criterio de la
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Gráfica. A partir del estudio de la función:
Ejercicio B4 a) Calcular:
1 punto
b) Calcular:
1 punto
ô sen 1 0 [0] ⇒ ⟶lim 1 1 1 1 ⟶
∫ ∙ ⇒ =⟶= ∫ ∙ 3 ⟶ ln3
Ejercicio B5 La variable aleatoria IMC (índice de masa corporal, de modo abreviado) de las personas adultas de un determinado país sigue una distribución normal de media 26 y desviación típica de 6. Si tener un IMC superior a 35 significa ser obeso, encontrar la proporción de personas adultas obesas de ese país.
2 puntoss
26 6 ~ ~,, ⟶IMC~ ⟶IMC~26,6 IMC>35 IMC>35 9 IMC>35 IMC>35 (> 35 )(> 3526 )(> >1, 5 6 6) >1,5 > 1 1 < >1,5 >1,5 1 1<1,5 <1, 5 1Φ 1Φ1,5 10,93320,0668 IMC>35 IMC>35 0,0660668 ⟶ 6,6868 %
La variable aleatoria IMC sigue una distribución normal de media
Para calcular la probabilidad
Teniendo en cuenta que
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y desviación típica
:
, tipificamos la variable:
, y consultando la tabla:
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