Conteúdo Introdução................................ Introdução....................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ........................................1 .................1 Dualidade em programação linear................................................. linear........................................................................ .............................................. ...............................2 ........2 Montagem do Problema Dual...................................... Dual............................................................. .............................................. .............................................. ...........................2 ....2 Propriedades......................... Propriedades................................................ ............................................... ............................................... .............................................................3 ......................................3 Análise de Sensibilidade........................... Sensibilidade.................................................. .............................................. ................................................................ .............................................4 ....4 Variação Va riação dos e!ursos............................ e!ursos................................................... .............................................. .............................................. ................................................" ........................." In!lusão de uma no#a #ariá#el.................................... #ariá#el........................................................... .............................................. .................................................. ...........................$$ Mudança nos !oe%i!ientes das #ariá#eis da %unção ob&eti#o....................................... ob&eti#o................................................................' .........................' Variá#el Va riá#el bási!a.............................. bási!a..................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ...............................' ........' Variá#el Va riá#el não bási!a................................ bási!a....................................................... .............................................. .............................................. ...............................................1( ........................1( )on!lusão.......................... )on!lusão................................................. .............................................. .............................................. ................................................................... ............................................11 11 e%er*n!ias +ibliogra%i!as................................ +ibliogra%i!as....................................................... .............................................. ............................................... ................................... ...........12 12
Processos Decisórios: Grupo I
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Introdução , presente trabal-o tem !omo !omo tema Dualidade e análise análise de sensibilidade. sensibilidade. m dos !on!eitos mais importantes em programação linear / o da Dualidade. 0ualuer problema de P tem asso!iado um outro outro proble problema ma de P !-amad !-amadoo o Dual. esse !onte5to o problema original denomina6se por Primal.
m dos prin!ipais papeis da teoria da Dualidade / a interpretação e implementação da análise de sensibilidade ue / uma parte muito importante de um estudo de P. Variá#eis Va riá#eis em problemas duplos são di%erentes das do primário !ada #ariá#el dupla / asso!iada !om restriç restriç7es 7es primá primária ria / o #alor #alor marg margina inall ou multip multipli! li!ad ador or langra langrange nge !orres !orrespon ponden dente te !om essa essa restrição.
Processos Decisórios: Grupo I
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M/todo Dual e análise de sensibilidade
Dualidade em programação linear
, termo dualidade re%ere6se ao %a!to de ue !ada modelo de programação linear !onsiste de duas %ormas. A primeira ou original / !-amada de primal e a segunda %orma do modelo / !-amada de dual. ,s modelos primal e dual são !ompletamente inter6rela!ionados de tal maneira ue a solução 8ptima de um %orne!e in%ormaç7es !ompletas sobre o outro. Isto uer di9er ue ao se !al!ular a solução 8ptima de uma das %ormas do modelo / poss:#el !al!ular a solução 8ptima 8ptima do outro modelo. modelo. ;A !ada modelo de programação linear !ontendo !oe%i!iente a i& bi e ! & !orresponde um outro modelo denominado Dual Dual %ormado por esses mesmos !oe%i!ientes por/m dispostos de maneira di%erente;
. ?m determinadas situaç7es a uantidade de !ál!ulos ne!essária para resol#er um m1@4odelo linear pelo m/todo Simple5 pode ser redu9ida. , modelo primal pode ser substitu:do por um modelo dual !om solução solução mais rápida. Observações
a> Variá#eis de de!isão de!isão do modelo modelo dual indi!am indi!am o #alor do re!urso por unidade. b> @unção ob&eti#o !al!ula !al!ula o #alor total do estoue de re!ursos.
2
M/todo Dual e análise de sensibilidade
!> , modelo modelo dual permite permite determin determinar ar o #alor m:nimo m:nimo por e5emplo do estoue total pelo menos iguais aos lu!ros unitários %orne!idos
Montagem do Problema Dual
Se&a o seguinte problema de programação linear em %orma literal Ma5imi9ar Z = c1 x1
+ c2 x2 + c3 x3
su&eito a A
+ a12 x2 + a13 x3 ≤ b1 a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 ≤ b2 a31 x1 + a32 x 2 + a33 x3 ≤ b3 ≥ ( para i = 1 2 e 3 a11 x1
!om xi
, dual desse problema pode ser es!rito da seguinte maneira Minimizar W = b1 y1
+ b y + b y 2
2
3
3
sujeito a :
+ a y + a a y + a y + a a y + a y + a ≥ ( para i = 1, 2 e 3 a11 y1 12
13
com y i
1
1
y 3
21
2
31
22
2
32
23
2
≥c ≥c ≥c
1
y 3
y 3
33
2
3
De a!ordo !om PAD, <1===> para modelos ue as restriç7es são desigualdades do tipo B o modelo dual / !onstru:do a partir do primal da seguinte maneira 1. )ada )ada rest restri riçã çãoo em um prob proble lema ma !o !orr rres espo pond ndee a uma uma #ariá#el no outro. 2. ,s elem elemen ento toss do lado lado dire direit itoo da dass rest restri riç7 ç7es es em um problema são os !oe%i!ientes da %unção ob&eti#o do outro problema. 3
M/todo Dual e análise de sensibilidade
3. Se o ob ob&e &eti ti#o #o de um proble problema ma / ma5i ma5imi mi9a 9ar r do ou outr troo será minimi9ar. 4.
, problema de ma5imi9ação tem restriç7es !om sentido ≤ e o problema de minimi9ação tem restriç7es !om
sentido ≥.BBCXC ". As #ariá#eis #ariá#eis de ambos ambos os problemas problemas são não não negati#as. negati#as.
Propriedades
1. A solução solução 8tima 8tima primal primal !orresponde !orresponde C solução solução 8tima 8tima dual < E F>. 2. , !oe%i!ient !oe%i!ientee da #ariá#el #ariá#el de de!isão de!isão na %unção %unção ob&eti#o ob&eti#o primal / o #alor da #ariá#el de %olga %olga !orrespondente na solução dual. )oe%i!iente de 5i E #alor de G@i 3.
#, !oe%i!iente da #ariá#el de
%olga da %unção ob&eti#o primal
/ o #alor da #ariá#el de de!isão !orrespondente na solução dual. Coeficiente de 5@i E #alor de G i
4. , dual do modelo modelo dual dual / o model modeloo primal. primal. )omo !onseu*n!ia da propriedade 4 temos ue )oe%i!iente de Gi E #alor de 5@ i e )oe%i!iente de G@i E #alor de 5i
4
M/todo Dual e análise de sensibilidade
Análise de Sensibilidade
De a!ordo !om SIVA <1='"> a análise de sensibilidade e uma t/!ni!a para a#aliar os impa!tos ue o programa so%re uando e5istem modi%i!aç7es nas !ondiç7es de modelagem. A análise de sensibilidade pode ser de%inida !omo o estudo de um modelo de programação matemáti!a submetido a mudanças em suas !ondiç7es ini!iais. As mudanças poderão abranger mudança no #e!tor de !ustos mudança no #e!tor de termos independentes mudança nos !oe%i!ientes das #ariá#eisH a!r/s!imo de restriç7es a!r/s!imo de no#as #ariá#eis. m modelo de programação linear in!lui dados !u&os #alores dependem do mer!ado e do pro!esso usado na elaboração dos produtos. ?stes dados podem so%rer #ariaç7es !om o tempo ou !om a in!lusão de no#as in%ormaç7es. importante pesuisar a estabilidade da solução adotada em %a!e dessas #ariaç7es. Assim a Análise de Sensibilidade tamb/m !-amada de Análise de P8s6,ptimalidade P8s6,ptimalidade é o estudo do eeito na soluç!o "ptima de alter terações ee#tu ee#tuada adass nos par$me par$metro tross de determ determin inado ado modelo modelo.. Por ser
demo de mora rada da e !ara !ara a an anál ális isee %eit %eitaa reso resol# l#en endo do6s 6see no no#a #ame ment ntee o "
M/todo Dual e análise de sensibilidade
modelo s8 / adoptada em Jltimo !aso. As di%erentes !ategorias de alteraç7es ue podemos analisar são a> Alteraç7e Alteraç7ess nos !oe%i!ient !oe%i!ientes es da %unção ob&e!ti ob&e!ti#o #o H b> Alteraç7es nas !onstantes do lado lado direito H !> Alteraç7e Alteraç7ess nos !oe%i!ie !oe%i!ientes ntes das restri restriç7es ç7es H d> In!lusão In!lusão de uma uma no#a no#a #ariá#el. #ariá#el. A análise de sensibilidade ou de p8s6otimi9ação da solução 8tima tem o ob&eti#o de determinar as !ondiç7es para as uais a solução 8tima obtida / #álida. , seguinte modelo ser#irá de e5emplo para o estuda da análise de sensibilidade. Variá#eis de de!isão %& uantidade a produ9ir do produto P1. %' uantidade a produ9ir do produto P2. %( uantidade a produ9ir do produto P3.
Ma5imi9ar u!ro E 51 K252 K353 onde pode6se tamb/m denominar @unção ,b&e!ti#o onde pretende6se ma5imi9ar o u!ro. estriç7es 51 K 52 K 53 B 1( <e!urso 1> 251 K 52 K4 53 B 12 <e!urso 2> 51 K 352 L 53 B = <e!urso 3> 51 ( 52 ( e 53 (
N
M/todo Dual e análise de sensibilidade
, 0uadro ini!ial para apli!ação do m/todo SIMP?O / +ase
u!ro
51 1 2 1 L1
52 1 1 3 L2
53 1 4 L1 L3
% 1 1 ( ( (
% 2 ( 1 ( (
% 3 ( ( 1 (
b 1( 12 = (
A apli!ação apli!ação do m/todo SIMP?O na solução gera o seguinte uadro +ase % 1 53 52 u!ro
51 (1"4 (3'" (4N2 1($$
52 ( ( 1 (
53 ( 1 ( (
% 1 1 ( ( (
% 2 L(3(' (231 (($$ (.'4N
% 3 L(231 L(($$ (3(' (3'"
b 4231 2($$ 3N=2 13N1"
Variação dos Recursos
Para P))II <1='$> a determinação do inter#alo de #ariação do e!urso 1 ue mant/m a solução 8ptima. o uadro ini!ial da resolução do SIMP?O / poss:#el indi!ar a #ariação do re!urso 1 do seguinte modo 1( + ∆ 1( 1 12 = 12 + ∆ ( = = (
o uadro %inal a #ariação do e!urso 1 pode pode ser indi!ada assim $
M/todo Dual e análise de sensibilidade 4231 1 4231 + ∆ 2($$ + ∆ ( = 2($$ 3N=2 ( 3N=2
Para ue a solução se manten-a 8tima / pre!iso ue 4231 K ( logo L4231 L42 31 Voltando a situação ini!ial obteremos o seguinte inter#alo 1( K E "$N= Q R"$N=H K> 0ualuer #alor maior ou igual a "N$= mant/m a solução 8tima. De maneira análoga / poss:#el determinar o inter#alo de #ariação do e!urso 2 ue mant/m a solução 8tima. Do uadro ini!ial a #ariação do e!urso 2 1( 1( ( 12 + ∆ = 12 + ∆ 1 = = (
o uadro %inal a #ariação pode ser indi!ada indi!ada assim 4231 − (3(' 4231 − (3('∆ 2($$ + ∆ (231 = 2($$ + (231∆ 3N=2 (($$ 3N=2 + (($$ ∆
Mas para ue a solução se&a 8tima / ne!essário ue 4231 T (3(' ( 2($$K(23 1 ( e 3N=2K(($$ ( esol#endo as ineuaç7es ineuaç7es temos ue L'==1 B B 13$3$. ? o inter#alo de #ariação do re!urso 2 será 12 L '==1 E 3((= e 12 K 13$3$ E 2"$3$ Q R3((= R 3((= H 2"$3$U
'
M/todo Dual e análise de sensibilidade
Determinação do inter#alo de #ariação do e!urso 3. Do uadro ini!ial 1( 1( ( 12 = 12 + ∆ ( = + ∆ = 1
? do uadro %inal 4231 − (231 4231 − (231∆ 2($$ + ∆ − (($$ = 2($$ − (($$ ∆ 3N=2 (3(' 3N=2 + (3('∆
?m ue / ne!essário 4231 L (231 (H 2($$ T (($$ ( e 3N=2 K (3(' (. esol#endo esol#end o as ineuaç7es ineuaç7es L11='$ B B 1'31N. ? o inter#alo de #ariação do re!urso / RL2='H 2$31NU
Inclusão de uma nova variável
Supon-a a %abri!ação de um no#o produto P 4 ue usa os mesmos re!u re!urs rsos os do doss ou outr tros os tr*s tr*s prod produt utos os &á e5 e5is iste tent ntes es e u uee nã nãoo / poss:#el aumentar a disponibilidade desses re!ursos. Isto signi%i!a ue o produto P4 !on!orrerá em termos de re!ursos !om os outros produtos. 0ual de#e ser o lu!ro m:nimo de P4 para &usti%i!ar sua %abri!ação pre!iso in!luir uma no#a #ariá#el 54 <ue indi!a a uantidade a produ9ir do produto P4> e a %unção ob&eti#o %i!a )u#ro E 51 K252 K353K!454
, lu!ro unitário / o !oe%i!iente ! 4 ue pre!isamos !al!ular.
=
M/todo Dual e análise de sensibilidade
Supon-a ue um le#antamento de dados indi!ou ue a produção de P4 reuer uma unidade do re!urso 1 uma unidade do re!urso 2 e duas unidades do re!urso 3. )om estas in%ormaç7es / poss:#el es!re#er as restriç7es da seguinte maneira 51 K 52 K 53 K 54 B 1( <*e#urso &> 251 K 52 K4 53 K 54 B 12 <*e#urso '> 51 K 352 L 53 K 254 B = <*e#urso (> <51 52 53 54 (> A restrição restrição gerada por essa no#a #ariá#el no modelo dual pode ser es!rita assim G1 K G2 K 2G3 !4 Pelo uadro %inal do S+,P)-X sabe6se ue G1 E ( G2 E ('4N e G3 E (3'". Substituindo esses #alores na restrição do dual temos ( K ('4N K 2<(3'"> ! 4 ('4N K ($$( !4 1N1N !4 ou !4 B 1N1N ? o lu!ro unitário do no#o produto seria de 1N1N isto / para ue a restrição do dual re%erente ao produto P 4 se&a uma sentença #erdadeira de#e6se ter !4 B 1N1N Observaç!o Se a solução do dual dei5ar de ser 8tima a do primal
tamb/m dei5ará de ser 8tima .
1(
M/todo Dual e análise de sensibilidade
Mudança nos coecientes das variáveis da !unção ob"etivo
Variável básica
este subtitulo
estudada6se os inter#alos de #ariação dos
!oe%i!ientes das #ariá#eis %' e %( de modo a não alterar a solução 8ptima. Para +,S, <1='"> a solução de um uadro se altera uando uma #ariá#el não bási!a entra na base. o !aso do uadro %inal a entrada das #ariá#eis 5 1 % 2 ou % 3. )omo o ob&e!ti#o / ma5imi9ar o lu!ro a solução permane!erá 8ptima se o aumento do lu!ro em !onseu*n!ia dessa in!lusão pelo menos !ompensar a diminuição de#ido Cs alteraç7es nas outras #ariá#eis. Assim Assim o inter# inter#alo alo de estabi estabilid lidade ade para para o !oe%i! !oe%i!ien iente te de %' será determinado a partir da análise da entrada das #ariá#eis não bási!as. Determinaç!o do intervalo de estabilidade do #oei#iente de %'. a -ntrada de %&.
, uadro %inal na !oluna dos !oe%i!ientes de 5 1 mostra as alteraç7es re%erentes Cs #ariá#eis bási!as do modelo se o #alor de %& aumentar de / para &. Analisando o uadro !on!lu:mos ue &
diminui em (1"4 5 3 diminui em (3'" e 5 2 diminui em (4N2. 11
M/todo Dual e análise de sensibilidade
ogo se 51 aumenta de ( para 1 o lu!ro aumentará de 1 W 1 E 1 unidade e a diminuição de#ido as outras #ariá#eis / dada dada por (1"4W ( K (3'"W3 K (4N2!2. )omo &á #imos o aumento do lu!ro de#e pelo menos !ompensar a alteração das outras #ariá#eis. ogo 11"" K (4N2!2 E 1 (4N2!2 E 1 L 11"" (4N2!2 E L (1"" !2 E L (1""X(4N2 !2 E L (33" b -ntrada de '.
Supondo ue % 2 aumenta de ( para 1 o lu!ro aumentará (W 1 E ( e a diminuição de#ido as outras #ariá#eis / dada por L(3(' W ( K (231 W 3 K (($$!2. )omo o aumento do lu!ro de#e pelo menos !ompensar a alteração das outras #ariá#eis (N=3 K (($$!2 E ( (($$!2 E L(N=3 !2 E L(N=3X(($$ !2 E L= # -ntrada de (.
Supondo o aumento de % 3 de ( para 1 o aumento do lu!ro será (W 1 E ( e a diminuição de#ido as outras #ariá#eis / dada por L(231 W ( L (($$ W 3 K (3('! 2.
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M/todo Dual e análise de sensibilidade
)omo o aumento do lu!ro de#e pelo menos !ompensar a alteração das outras #ariá#eis L(231 K (3('!2 E ( (3('!2 E (231 !2 E (231X(3(' !2 E ($" ,rdenando os #alores en!ontrados em e o !oe%i!iente atual L= B L(33" B ($" B 2 A partir partir dessa ordenação / poss:#el !on!luir ue a solução / está#el para !2 ($" . Determinaç!o do intervalo de estabilidade do #oei#iente de %(.
De modo análogo / poss:#el determinar o inter#alo para o !oe%i!iente da #ariá#el 5 3. a) Entrada de x1.
(1"4 W ( K (3'"!3 K (4N2 W 2 E 1 (3'"!3 K (=24 E 1 (3'"!3 E 1 L (=24 (3'"!3 E (($N !3 E (($NX(3'" !3 E (1=$ b) Entrada de f 2.
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M/todo Dual e análise de sensibilidade
L(3(' W ( K (231!3 K (($$ W 2 E ( (231!3 K (1"4 E ( (231!3 E L(1"4 !3 E L(1"4X(231 !3 E L(NN$ c) Entrada de f 3
L (231 W ( L (($$ ! 3 K (3(' W 2 E ( L (($$ !3 K (N1N E ( L (($$ !3 E L (N1N !3 E (N1NX(($$ !3 E ' ,rdenando os #alores en!ontrados em e o !oe%i!iente atual L(NN$ B (1=$ B 3 B ' A partir partir dessa ordenação !on!lui6se ue a solução / está#el para (1=$ B !3 B ' .
Variável não básica
sar o modelo dual !om a restrição gerada pela #ariá#el de de!isão. Determinação do inter#alo de estabilidade do !oe%i!iente de 51. 14
M/todo Dual e análise de sensibilidade
A restrição restrição do dual / G1 K 2G2 K G3 1. Para estudar a #ariação do !oe%i!iente usaremos a restrição da seguinte maneira G1 K 2G2 K G3 1 K Substituindo os #alores ( K 2 <('4N> K (3'" 1 K 1N=2 K (3'" 1 K 2($$ 1 K B 2($$ L 1 B 1($$ @a9endo !1 E 1 K !1 B 1 K 1($$ !1 B 2($$ ? a solução / está#el para !1 B 2($$.
Conclusão
Portanto o modelo de Programação inear redu9 um sistema real a um !on&unto de euaç7es ou ineuaç7es onde pretendemos otimi9ar uma %unção ob&eti#o. ? uma das grandes !ontribuiç7es C Programação Matemáti!a desse s/!ulo segundo Yoldbarg e una <2(( <2(((> (> / o algo algori ritm tmoo sim simple5 ple5.. , estu estudo do de dess ssee algo algori ritm tmoo na opinião dos autores / indispensá#el para uem dese&a dominar as 1"
M/todo Dual e análise de sensibilidade
t/!ni!as uantitati#as de análise e solução de problemas em um !onte5 !on te5to to ra9oa# ra9oa#elm elment entee a#ança a#ançado. do. Deste Deste modo modo eles eles de%ine de%inem m simple5 !omo um algoritmo ue utili9a um %erramental baseado na [lgebra inear para determinar por um m/todo iterati#o a solução 8tima de um PP. ?m ? m suma simple5 / um algoritmo. De a!ordo !om os autores dualidade / um !on!eito amplo ue engloba a possibilidade do tratamento de duas nature9as distintas de uma mesma entidade ou se&a eles de%inem duais !omo !omo um par de model modelos os de progra programa mação ção matemáti matemáti!a !a primal e dual . ?ste par de modelos preser#am as seguintes !ondiç7es as
%unç %unç7e 7ess ob ob&e &eti ti#o #oss são são sim sim/tri /tri!a !as s isto isto / se o prim primal al %or %or de minimi9ação o dual será de ma5imi9ação re!ipro!amenteH são sim/ sim/tr tri! i!as as as de des! s!ri riç7 ç7es es da dass rest restri riç7 ç7es es ou se&a se&a se na %orm %ormaa !an\ni!a o primal possui restriç7es B então o dual terá restriç7es H os termos independentes no primal surgem !omo os !oe%i!ientes da %unção ob&eti#o no dual re!ipro!amenteH a matri9 de restrição do primal / a transposta da matri9 de restrição do dual re!ipro!amente.
1N
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Re!er#ncias $ibliogracas
ADAD? ?. . +ntroduç!o +ntroduç!o 0 Pes1uisa Opera#ional2 ,étodos e ,odelos para Análise de De#isões. 3]. ?dição.
^) ?ditora. io de _aneiro 2((2. +,S, . .Pesuisa ,pera!ional M!Yra`6ill 1='" Y,D+AY Mar!o )/sarH A enriue Pa!!a. Otimi3aç!o Combinat"ria e Pro4ramaç!o )inear2 ,odelos a Al4oritmos. io de _aneiro )ampus 2(((.
PAD, D. Pro4ramaç!o )inear. +elo ori9onte ?d. Desen#ol#imento Desen#ol#imento Yeren!ial 1===. P))II A. del.H PI,A^, . D. Pro4ramaç!o linear io de _aneiro ^) 1='$. SIVA ?rmes Medeiros et al.. Pes1uisa Opera#ional . Atlas 1=='
1$
