DSA-Neslihan Serap Şengör-www.teknikhayat.com

Devre ve Sistem Analizi Neslihan Serap Şengör Devreler ve Sistemler A.B.D. oda no:1107 tel no:0212 285 3610 [email protected]

Ders Hakkında • 1 Yarıyıl içi sınavı •

5 Kısa sınav

5 Nisan 2010

% 20

22 Şubat 8 Mart

22 Mart 19 Nisan

3 Mayıs

% 20

• 2 Ödev

% 20

• Yarıyıl Sonu Sınavı

% 40

Kaynaklar: Yılmaz Tokad, “ Devre Analizi Dersleri” Kısım II, İ.T.Ü. Yayınları, 1977. Yılmaz Tokad, “ Devre Analizi Dersleri” Kısım IV, Çağlayan Kitabevi, 1987. Cevdet Acar, “Elektrik Devrelerinin Analizi” İ.T.Ü. Yayınları, 1995. L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York ( İşlenen Bölümler: 9,10,11,13) M. Jamshidi, M. Tarokh, B. Shafai. “Computer-Aided Analysis and Design of Linear Control Systems”, Prentice Hall, 1992 ( İşlenen Bölümler: 2,3)

Elektrik Devrelerinin Temelleri dersinde neler öğrendiniz? Amaç: Fiziksel devrelerin elektriksel davranışlarını öngörme akım ve gerilim

Devre TeorisindeTanımlanmamış Büyüklükler : akım ve gerilim Devre Teorisinin Aksiyomları: Toplu parametreli, KAY, KGY Eleman Tanım Bağıntıları:Lineer ve lineer olmayan direnç elemanları, Kapasite, Endüktans Lineer zamanla değişmeyen devrelere özgü yöntemler: Düğüm gerilimleri, çevre akımları Bazı Teoremler:Tellegen Teoremi, Toplamsallık ve Çarpımsallık, Thevenin ve Norton Teoremleri Dinamik Devreler ve Çözümleri

Hatırlatma: Kompleks Sayılar

z  z e j z

z  x  jy y

z z

x

Rez  x

Imz  y

Kartezyen Koordinatlar

y     arctan z  x y  x z 2

2

Polar Koordinatlar





z1  x1  jy1

z2  x2  jy2

z1  z1 e j z1

z2  z2 e j z 2

z1  z2  x1  jy1   x2  jy2   x1  x2   j  y1  y2  z1.z2  x1x2  y1 y2   j x1 y2  x2 y1 

z1.z2  z1 z2 e

j ( z1  z 2 )

z1 x1  jy1  x1  jy1 x2  jy2    z2 x2  jy2  x2  jy2 x2  jy2 

 x1x2  y1 y2   j  x1 y2  x2 y1  

z1 z1 j ( z1  z 2 )  e z2 z2

x

2 2



2 y2



z  z  2x z  z  2 jy 2

z.z  z  x2  y 2 Hatırlatma: Dinamik Devrelerin Çözümleri Durum Geçiş Matrisi

x(t )  (t ) x(t0 )  xözel (t )  (t ) xözel (t0 ) x(t )  (t ) x(t0 )  xözel (t )  (t ) xözel (t0 ) öz çözüm

zorlanmış çözüm t

x(t )  e At x(t0 )   e A(t  ) Bu ( )d öz çözüm

t0

zorlanmış çözüm

Öz çözümü bir daha yazarsak

özvektörler

x(t )  e1 (t to ) S1x1 (t0 )  e2 (t to ) S2 x2 (t0 )  .....en (t to ) Sn xn (t0 ) özdeğerler

Öz çözüm, özvektörler ve özdeğerler ile nasıl değişir

.............................................................................................................

Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir?

Tüm bu durum portrelerinde ortak bir şey var, ne?

S. Haykin, “Neural Networks- A Comprehensive Foundation”2nd Edition, Prentice Hall, 1999, New Jersey.

Dinamik sistemin özel bir çözümü: Denge noktası

x (t )  Ax (t ) x (t )  f ( x(t ))

0  Axd 0  f ( xd )

Kaç tane denge noktası olabilir?

Sistemin davranışını incelemenin bir yolu kararlılığını incelemektir. Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık

x (t )  f ( x(t )) sistemine ilişkin bir denge noktası xd herhangi bir   0 için x(0)  xd   ( ) eşitsizliği

olsun. Verilen

x(t )  xd  

eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir  ( ) bulunabiliyorsa xd denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır. Lineer sistemlerde denge noktasının Lyapunov anlamında kararlılığını incelemek için ne yapılıyor?

Denge noktasının kararlılığı neye denk, neden?

Sürekli Sinüsoidal Hal Amaç: Özel çözümü belirlemeye yönelik bir yöntem geliştirmek Neden “sürekli sinüsoidal hal”? sürekli sinüsoidal

Kalıcı çözümle ilgileniyoruz Devreyi uyaran kaynaklar sinüsoidal

Yöntem sadece elektrik devreleri ile sınırlı değil; kontrol teorisinde, Kuantum elektroniğinde, elektromanyetik teoride de kullanılır. Araç: Fazör kavramından yararlanılacak Sinüsoidal

x(t )  Am cos(wt   ) genlik frekans faz

Am  0

x(t )  Am cos(wt   ) 2 w : [rad / sn], T ˆ , w  2f w f : [ Hz] Fazör

A ˆ Ame

j

Fazör verildiğinde sinüsoidal büyüklüğe nasıl geçeceğiz? Frekans w ve fazör

A

biliniyorsa

Re[ Ae jwt ]  Re[ Ame j ( wt  ) ]  Am cos(wt   )

Sinüsoidal

x(t )  Am cos(wt   )

 Am cos( ) cos( wt ) 

Fazör

j

A  Ame  Am cos   jAm sin 

( Am ) sin () sin (wt)

Am cos(wt   )  Re( A) cos wt  Im( A) sin wt

Lemma 1:

Tanıt:

Re[ Ae

jwt

A B Ae Re[ Ae

jwt

jwt

]  Re[ Be

jwt

], t

A B

 Be

jwt

t

,

]  Re[ Be

jwt

],

t

Re[ Ae jwt ]  Re[ Be jwt ],

t

t1  0 : Re[ A]  Re[ B] jwt 2  Re[ Ae ]  Re[ jA]   Im A j  jwt 2 t2  : e e 2  j 2w Re[ Be jwt 2 ]  Re[ jB ]   Im B

Im[ A]  Im[ B] A  Re[ A]  j Im[ A]  Re[ A]  j Im[ B]  B

x1(t )  Re[ A1e ], x2 (t )  Re[ A2e A1  x1(t ) A2  x2 (t ) a1, a2  R, a1x1(t )  a2 x2(t)  a1 A1  a2 A2

Lemma 2:

Tanıt:

jwt

jwt

]

a1x1(t )  a2 x2(t)  a1 Re[ A1e ]  a2 Re[ A2e ]  Re[ a1 A1e jwt ]  Re[ a2 A2e jwt ]  Re[ a1 A1e jwt  a2 A2e jwt ] jwt  Re[( a1 A1  a2 A2 )e ] a1x1(t )  a2 x2(t)  a1 A1  a2 A2 jwt

jwt

Empedans-Admitans Kavramı Amaç: Lineer zamanla değişmeyen elemanlardan oluşmuş N devresinin iki uçlu olarak tanımlanması is

+ v

_

N 1-kapılısı

Z (w)  R(w)  jX (w) resistans reaktans

is (t )  Re[ I se jwt ]  I s coswt  s  v(t )  Re[Ve jwt ]  V coswt  v  N 1-kapılısına ilişkin giriş empedansı

V ( w) Z ( w) ˆ I s ( w) V (w)  Z (w) I s (w) V ( w)  V ( w) e jv

V (w)  Z (w) I S

v  Z  S v(t )  Z (w) I S coswt  Z  S 

i +

+

v

_

vS (t )  Re[VS e jwt ]  VS coswt  S  N 1-kapılısı

Y (w)  G(w)  jB(w) kondüktans suseptans

i(t )  Re[ Ie jwt ]  I coswt  I  N 1-kapılısına ilişkin giriş admitansı

I ( w) Y ( w) ˆ Vs ( w) I (w)  Y (w)Vs (w)

I ( w)  I ( w) e jI

I (w)  Y (w) VS

I  Y  S

i(t )  Y (w) VS coswt  Y  S 

Empedans-Admitans Kavramını kullanarak neler yapabiliriz?

V ( w) Z ( w)  I ( w) V1 ( w)  V2 ( w)  I ( w)  Z1(w)  Z2 (w) I ( w) Y ( w)  V ( w) I1 ( w)  I 2 ( w)  V ( w)  Y1(w)  Y2 (w) L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York

Devre Denklemleri

0  AT   0

KAY:

AI  0

KGY:

ATVd  V

ETB:

M (w)V  N (w) I  U s

A  Vd   0  0   V    0  M ( w) N ( w)  I  U s  0 I

T (w) T (w) ˆ T 0 jwT1

Direnç Devreleri

0  AT   0

0 I M

A  vd (t )  0  0   v(t )    0  N   i (t )  us (t )

T

vd (t ), v(t ), i(t )

Sürekli Sinüsoidal Hal

0  AT   0

A  Vd   0  0   V    0  M ( w) N ( w)  I  U s  0 I

T (w)

Vd ,V , I

 Zamanın fonksiyonu olan vektörler  Elemanları fazör olan vektörler  T‟nin elemanları reel sayılar

 T(w)‟nın son ne satırı kompleks sayılar

 Devre reel katsayılı, lineer, cebrik denklem takımı ile tanımlanmıştır.

 Devre kampleks katsayılı, lineer, cebrik denklem takımı ile tanımlanmıştır.

Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Düğüm Gerilimleri Yöntemi KAY:

AI  0

KAY:

AI  0

KGY:

ATVd  V

KGY:

ATVd  V

ETB:

M (w)V  N (w) I  U s

ETB:

M (w)V  N (w) I  U s

Yöntem:

I  Y (w)V  I s 1. Adım: nd  1 düğüm için KAY‟nı yaz

AI  0

 I1  [ A1 A2 ]   0 I2 

2. Adım: 1. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yerleştir, 2. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yaz.

V1  [ A1Y1 (w) A2 ]    A1I S I2 

V2  [ M ( w) N ( w)]   U S  I2 

3. Adım: eleman gerilimlerini düğüm gerilimleri cinsinden yaz

V1  A1TVd

V2  A2TVd

 A1Y1 ( w) A1T  T M ( w ) A 2 

A2  Vd   A1I S       U I N ( w)  2   s 

4. Adım: düğüm gerilimlerini ve ikinci grup elemanların akımlarını bul Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Çevre Akımları Yöntemi KAY:

I  BT IÇ

KAY:

I  BT IÇ

KGY:

BV  0

KGY:

BV  0

ETB:

M (w)V  N (w) I  U s

ETB:

M (w)V  N (w) I  U s

V  Z (w) I  Vs

Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Çevre Akımları Yöntemi KAY: KGY: ETB: Yöntem:

I  BT IÇ BV  0 M (w)V  N (w) I  U s

KAY: KGY: ETB:

I  BT IÇ BV  0 M (w)V  N (w) I  U s

V  Z (w) I  Vs 1. Adım: ne  nd  1 göz için KGYı‟nı yaz Bv  0

V1  [ B1 B2 ]   0 V2  2. Adım: 1. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yerleştir, 2. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yaz.

 I1  [ B1Z1 (w) B2 ]    B1Vk V2 

V2  [ M ( w) N ( w)]   U S  I2 

4. Adım: çevre akımlarını ve ikinci grup elemanların gerilimlerini bul

3. Adım: eleman akımlarını çevre akımları cinsinden yaz

I1  B1T I ç

I 2  B2T I ç

 B1Z1 ( w) B1T  T N ( w ) B 2 

B2   I ç   B1Vs       U V M ( w)  2   S 

4. Adım: çevre akımlarını ve ikinci grup elemanların gerilimlerini bul Toplamsallık ve Çarpımsallık Özelliği Teorem: (Toplamsallık) Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları 1. Grup bağımsız kaynaklar +Bağımsız kaynaklar 2. Grup bağımsız kaynaklar

1. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 2. grup bağımsız kaynaklar devre dışı iken devre çözülsün I1,V1

2. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 1. grup bağımsız kaynaklar devre dışı iken devre çözülsün I 2 ,V2 Devrede tüm bağımsız kaynaklar varken ki çözüm

IT  I1  I 2 ,

VT  V1  V2

Teorem: (Çarpımsallık) Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları+Bağımsız kaynaklar Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları elemanları +Bağımsız ~ ~ kaynakların değeri k katına çıkarılsın ve devre çözülsün I ,V

I,V

~ I  kI ~ V  kV

Thevenin (1883) ve Norton (1926) Teoremleri Amaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu direnç kapasite endüktans ve bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1kapılısının basit bir eşdeğerini elde etmek. Thevenin Eşdeğeri:

i +

N 1-Kapılısı v

_

ZTH



+

_

VTH

i + v

_

ZTH +

_

ZTH Thevenin eşdeğer empedansı

i

Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı + iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer empedans v

VTH

_

VTH Açık devre gerilimi 1-1‟ uçları açık devre iken 1-1‟ uçları arasındaki gerilim

Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı bağlandığında tüm i değerleri için tek çözümü varsa ( tek v değeri belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır. Norton Eşdeğeri: i +

N 1-Kapılısı v

_

i



+ IN

YN

v

_

Thevenin (1883) ve Norton (1926) Teoremleri Amaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu direnç kapasite endüktans ve bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1-kapılısının basit bir eşdeğerini elde etmek. Thevenin Eşdeğeri: I I ZTH + + N + _ VTH V 1-Kapılısı V

_

ZTH



_

ZTH Thevenin eşdeğer empedansı

I

Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer empedans + _ VTH V VTH Açık devre gerilimi _ 1-1‟ uçları açık devre iken 1-1‟ uçları arasındaki gerilim Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı bağlandığında tüm Ideğerleri için tek çözümü varsa ( tek V değeri belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır. +

Norton Eşdeğeri: I +

N 1-Kapılısı V

I +



IN

_ I

IN

V

_

GN Norton eşdeğer admitansı +

YN

YN

V

_

Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer admitans iN Kısa devre akımı 1-1‟ uçları kısa devre iken 1-1‟ uçlarındaki akım

Norton Teorem: N 1-kapılısının uçlarına v değerinde bir gerilim kaynağı bağlandığında tüm V değerleri için tek çözümü varsa ( tek I değeri belirlenebiliyorsa) Norton eşdeğeri vardır.

• Thevenin Eşdeğeri:

V  ZTH I  VTH

N kapılısı akım kontrollü değilse Thevenin eşdeğeri yok • Norton Eşdeğeri:

I  YNV  I N

N kapılısı gerilim kontrollü değilse Norton eşdeğeri yok • ZTH  0, V  0

•

YN  0, I  0

IN  

VTH ZTH

VTH  

IN YN

ZTH  0,

Norton eşdeğeri yok

YN  0, Thevenin eşdeğeri yok

SSH‟de Devre Fonksiyonları + V1

IS

0  AT   0

_

N Lineer zamanla değişmeyen elemanlar

  0 A  Vd   0  Vdk „nın Is fazörü sabit iken w ile değişimi nasıldır?      I 0 V   0 I  kofaktörT ( w) s V ( w )  IS M ( w) N ( w)  I    dk det T ( w) 0  T (w)

Vdk ( w) P( jw)  IS Q( jw)

P( jw) veQ( jw) (jw)‟nın reel

katsayılı çok terimlileri

Vdk ( w) a1 ( jw)  a2 ( jw)2  ...  an ( jw)n  IS b1 ( jw)  b2 ( jw)2  ...  bm ( jw)m

Sadece N devresine bağlı, Is „den bağımsız.

İlgilenilen her büyüklük için benzer fonksiyonlar tanımlanabilir:

Vdk ( w) I S ( w)

Empedans Fonksiyonu

V1 ( w) I S ( w)

Giriş Empedans Fonksiyonu

Vdk ( w) V1 ( w)

Gerilim Transfer Fonksiyonu

Devre Fonksiyonlarının Simetri Özellikleri Ön Bilgi:

Lemma: n(s), s    jw kompleks değişkeninin reel katsayılı çok terimlisi olsun

1) n( s)  n( s ) 2) n( z )  0  n( z )  0 z n(z)‟nin sıfırı olarak isimlendirilir.

Tanıt:

n( s)  nk s k  nk 1s k 1  ...  n1s  n0

nk , nk 1,...n1, n0  R

1) n( s)  n s k  n s k 1  ...  n s  n k k 1 1 0

 nk s k  nk 1s k 1  ...  n1s  n0  nk s k  nk 1 s k 1  ...  n1 s  n0

 n(s ) 2) n( z )  0  n( z )  0  0 (1)‟den n( z )  n( z )  n( z )  0  n( z )  0

n( jw) Devre Fonksiyonu: H ( jw)  d ( jw) n( jw) H ( jw)  d ( jw)

H ( jw)  H ( jw) e j H ( jw)

Özellik: Herhangibir devre fonksiyonunun genliği w‟nın çift fonksiyonudur, fazı da her zaman w‟nın tek fonksiyonudur.

Tanıt:

 n( jw)  n( jw)  H ( jw)     d ( jw)  d ( jw) n( jw)  H ( jw) jw   jw ve Lemma‟dan H ( jw)  d ( jw)

H ( jw) 

w

n( jw) d ( jw)

H ( jw)  H ( jw)  H ( jw)  H ( jw)

s ‟nin fazı   s seçilebildiğinden

  H ( jw)   H ( jw)

Vd j  H ( jw)Vk +

_

Vk (t)

N-Devresi

vk (t )  Vk cos(wt  Vk )

vd j (t )  H ( jw) Vk cos(wt   H  Vk ) Vd j  H ( jw) Vk

V   H  V dj

k

Sonuç:Devrenin w frekansındaki davranışını belirlemek için Vk , Vd genlikleri j ile Vk , H fazlarını belirlemek yeterli. Hatırlatma

1 cos 2 x  (1  cos 2 x) * 2 cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y ** 2 cos x cos y  cos( x  y )  cos( x  y ) ***

SSH‟de Güç ve Enerji Kavramları Tüm akım ve gerilimler “w” frekanslı sinüsoidaller Ani Güç ve Ortalama Güç R 2- uçlu direnç elemanı

iR (t )  I m cos(wt   I )

I R  I me j I

Kaynak tarafından dirence aktarılan güç:

p(t )  vR (t )iR (t )  RI m cos(wt   I ) I m cos(wt   I ) 1 * bağıntısından p(t )  vR (t )iR (t )  RI m2 [1  cos 2( wt   I )] 2 2 peryodu boyunca iki kere 0 ve RI 2 arasında değişiyor Ani güç T  m w T 1 1 2 p  p ( t ) dt  RI m Bir peryod boyunca ortalama güç: ort  T0 2

C kapasite elemanı

vc (t )  Vm cos(wt  v )

VC  Vme jv

IC  jwCVC  jwCVme jv

ic (t )  Re[ jwCVme jv e jwt ]  Re[ jwCVm (cos(wt  v )  j sin( wt  v ))]  Re[ jwCVm cos(wt  v )  wCVm sin( wt  v )]  ic (t )  wCVm cos(wt  v  ) 2 Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:



pc (t )  vc (t )ic (t )  Vm cos(wt  v ) wCVm cos(wt  v  ) 2 1   2 *** bağıntısından pc (t )  wCVm {cos[2( wt  v )  ]  cos } 2 2 2 1   wCVm2 cos 2( wt  v  ) 2 4 1 1 2 peryodu boyunca iki kere  wCV 2 ve wCV 2 arasında Ani güç T  m m 2 2 w değişiyor T 1 port   p(t )dt  0 Bir peryod boyunca ortalama güç: T0

L endüktans elemanı Kapasite için elde edilen bağıntılara benzer şekilde Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:

1  2 pL (t )  wCI m cos 2( wt   I  ) 2 4 Bir peryod boyunca ortalama güç:

T

port

1   p(t )dt  0 T0

1-Kapılı i + G

v

_

N-Devresi SSH

v(t )  V i (t )  I

T anında G kaynağı tarafından N devresine aktarılan ani güç:

p(t )  v(t )i(t )  Vm cos(wt  v ) I m cos(wt  i ) *** bağıntısından

1 1 p(t )  Vm I m cos(v  i )  Vm I m cos(2wt  v  i ) 2 2 T

Bir peryod boyunca ortalama güç: port

1 1   p(t )dt  Vm I m cos(v  i ) T0 2

port

1  Vm I m cos(v  i ) 2

Ortama güç v(.),i(.) sinüsoidallerinin sadece genliğine değil fazına da bağlı

cos(v  i ) Güç faktörü (güç çarpanı) olarak adlandırılır V=ZI bağıntısı ile belirlenen N 1-kapılısına ilişkin giriş empedans fonksiyonu Z‟ye ilişkin faz  Z  v  i „dir.

port  0  Z  90 port port

1 1 2  Vm I m cos  Z  I m Re( Z ) 2 2 1 1 2  Vm I m cos Y  Vm Re(Y ) 2 2

Kompleks Güç i

1-kapılı N devresine G kaynağı tarafından aktarılan kompleks güç:

+ G

v

_

N-Devresi SSH

1 P ˆ VI 2 

V  Vme jv I  I me ji

1 1 P  Vm I m cos(v  i )  j Vm I m sin(v  i ) 2 2 port

Q

P  port  jQ Aktif Reaktif Güç Güç [Watt] [VAR]

[VAR]-VoltAmperReaktif

port

1  Vm I m 2

Q0

port  0

1 Q   Vm I m 2

port  0

1 Q  Vm I m 2

L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York

Kompleks Gücün Sakınımı KAY+KGY

Tellegen Teoremi

Herhangi bir devrede enerji sakınımı geçerlidir

Teorem: Hep aynı w frekanslı sinüsoidal kaynaklarla sürülen lineer zamanla değişmeyen devrenin SSH‟de çalıştığını varsayalım. Kaynaklar tarafından devreye aktarılan kompleks güçlerin toplamı devredeki elemanlar tarafından çekilen kompleks güçlerin toplamına eşittir. Tanıt:

V1,V2 ,V3 ,....,Vne KGY‟yi sağlayan I1, I 2 , I3 ,...., I ne

gerilim fazörleri KAY‟yi sağlayan akım fazörleri

 AI  0  AI  0 1 ne Tellegen teoreminden  Vk I k  0 2 k 1 1 1 ne   V1I1  Vk I k 2 2 k 2 KAY

L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York

Maksimum Güç Transferi Teoremi Amaç: Devre SSH‟de çalışıyor; ZL „nin değerini, çektiği aktif gücün maksimum olmasını sağlayacak şekilde belirlemek.

ZL =?

Varsayımlar: Kompleks gücün sakınımı

ZG  RG  jX G EG  EGm

Aktif gücün sakınımı

1 1 2 PL  Re{EG I L }  RG I L 2 2 Kaynağa ilişkin aktif güç

1 PL  2

ZG ‟de harcanan aktif güç 1 2 EG I Lm cos  I L  RG I L m

2

PL , ØIL ve ILm „nin fonksiyonu (RG >0 ve EG baştan belirli)

1 1 2 PL  EG I Lm cos  I L  RG I L m 2 2 PL „yi maksimum kılmak için cos  I L  1

PL 1  EG  RG I L m I Lm 2

0

 2 PL   RG  0 2  I Lm o j I Lo

IL „nin maksimum değeri: I L  I L e m o

o 1 EG  RG I oL m  0 cos  IL  1 2 o  0 1 EG o IL I Lm  2 RG

Z Lo  ZG Z Lo  RG  jX G 2

PLo

EG  8RG

Sonuç: SSH‟de kaynakları w frekanslı 1-kapılı ZL yük empedansını beslesin. Bu 1- kapılı Thevenin eşdeğeri ile EG , ZG  RG  jX G , RG  0 verilsin.Yük empedansının bu 1-kapılıdan maksimum ortalama güç o çekmesi için gerek ve yeter koşul Z L  ZG olmasıdır. 2

EG o Bu durumda yüke aktarılan maksimum aktif güç: PL  8RG

Z Lo  ZG , RL  RG „ye eşit olduğundan kaynağın enerjisinin %50‟si yüke aktarılıyor. Z G „yi kontrol etmek imkanımız olmadığından bu elde edilebilecek en iyi sonuç.

Hatırlatma: Durum Denklemleri

x  Ax  Bu y  Cx  Du,

x(0)  x0

x  R n durum değişkenleri - kapasite gerilimleri, endüktans akımları

y  R r çıkış büyüklükleri u  R p giriş büyüklükleri

- ilgilenilen eleman akımları ve gerilimleri - bağımsız akım kaynağının akımı ve bağımsız gerilim kaynaklarının gerilimleri

EDT dersinde n=2 için çözümler bulundu

 x1   a11  x   a  2   21

a12   x1   b1    u ,    a22   x2  b2 

x(t0 )  x0

2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü

xT (t )  xh (t )  xözel (t ) Homojen kısım: x   Ax,

xh (t )  Set

x(t0 )  x0  S1  t   e  S2 

Set  ASe t S  AS

I  AS  0 det I  A  0

Çözüm Tahmini

belirlememiz gereken kaç büyüklük var? sıfırdan farklı çözümlerin olması nasıl mümkün olur?

2  a  b  0

Karakteristik Denklem

Karakteristik denklemin kökleri:

1, 2 özdeğerler

Belirlememiz gereken S özvektör

Hangi uzayın elemanı? O uzaya ait neyi belirlersek aradığımızı bulmuş oluruz?

1I  AS1  0 1„e ilişkin özvektör 2 I  AS2  0 2„e ilişkin özvektör S1  c1V1 S2  c2V2



1t

xh (t )  e V1



 c1   c1  e V2    M (t )   c2  c2  2t

M (t )

Özel çözüm:

 x1ö zel (t )  xözel (t )    x ( t )  2ö zel 

Tam çözüm:

Temel Matris

Nasıl belirleyeceğiz?

x(t )  M (t )C  xözel (t )

C  M (t0 )1x(t0 )  xözel (t0 ) x(t )  M (t ) M 1 (t0 )x(t0 )  xözel (t0 )  xözel (t )

x(t0 )  M (t0 )C  xözel (t0 )

x(t )  M (t ) M 1 (t0 )x(t0 )  xözel (t0 )  xözel (t )

(t , t0 )

Durum Geçiş Matrisi

x(t )  (t , t0 ) x(t0 )  xözel (t )  (t , t0 ) xözel (t0 ) x(t )  (t , t0 ) x(t0 )  xözel (t )  (t , t0 ) xözel (t0 ) öz çözüm

x(t )  e

A ( t t 0 )

zorlanmış çözüm t

x(t0 )   e A(t  ) Bu ( )d t0

öz çözüm

zorlanmış çözüm

Yüksek Mertebeden Devrelerin Durum Denklemlerin Çözümü

x  Ax,

x(t0 )  x0 ,

x  Rn ,

A  Rnn

2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü



1t

xh (t )  e V1



 c1   c1  e V2    M (t )   c2  c2 

M (t )

2t

Temel Matris

iki sütunu var ve her sütun lineer bağımsız ve çözüm

n. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümüne dönersek

X (t )  R nn Temel Matris

n sütunu var ve sütunları lineer bağımsız çözümler

Temel Matris- • tersinir matris • diferansiyel denklemi sağlar • temel matrisler birbirlerinden bir sabit çarpımı ile farklıdır • verilen ilk koşul için tek olarak belirlenir.

2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü

x(t )  M (t ) M 1 (t0 ) x(t0 )

(t , t0 )

Durum Geçiş Matrisi

Ne yapmakta?

Durum Geçiş matrisi

 (t , t )  A(t , t )  0 0

(t0 , t0 )  I n. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümüne dönersek

X (t )  (t , t0 )C

C tersinir matris

x(t )  (t , t0 )ci  (t , t0 ) x(t0 )

Gerçekten çözüm mü, nasıl anlayacağız?

İlgilendiğimiz Sistemler

x  Ax,

x(t0 )  x0 ,

x  Rn ,

A  Rnn

Durum Geçiş matrisi

 (t , t )  A(t , t )  0 0

(t0 , t0 )  I Durum geçiş matrisinin özellikleri

1-

(t2 , t0 )  (t2 , t1 )(t1, t0 ),

x(t0 )  x0

x(t1 )  (t1, t0 ) x0

x(t1 )  x1

x(t2 )  (t2 , t1) x1

t0  t1  t2

x(t2 )  (t2 , t1 )(t1, t0 ) x0 x(t2 )  (t2 , t0 ) x0

(t2 , t0 )  (t2 , t1 )(t1, t0 )

2-  1 (t , t0 )  (t0 , t )

(t2 , t0 )  (t2 , t1 )(t1, t0 ),

t0  t1  t2

(t0 , t0 )  (t0 , t1)(t1, t0 ),

t0  t2

I  (t0 , t1 )(t1, t0 )  1 (t , t0 )  (t0 , t ) İlgilendiğimiz Sistemler

x  Ax,

x(t0 )  x0 ,

x  Rn ,

Çözüm

x(t )  (t , t0 ) x(t0 )

A  Rnn

İlgilendiğimiz Sistemler

x  Ax  Bu , Yarsayım:

x(t0 )  x0 ,

x  Rn ,

A  Rnn , B  Rn p

x(t )  (t , t0 ) y(t ) d  (t , t0 ) y (t )  x(t )  ((t , t0 ) y (t ))  (t , t0 ) y (t )   dt *  (t , t ) y 0  (t )  A(t , t0 ) y (t )

x  Ax  Bu Yarsayımı yerleştirirsek x   A(t , t0 ) y(t )  Bu ** * ve **‟dan

A(t , t0 ) y(t )  Bu  (t , t0 ) y (t )  A(t , t0 ) y(t ) Bu  (t , t0 ) y (t )

y (t )   1 (t , t0 ) Bu t

y (t )    1 ( , t0 ) Bu ( )d  y (t0 ) t0

y(t0 )  1 (t0 , t0 ) x0  x0 x(t )  (t , t0 ) y(t ) t

x(t )  (t , t0 ) x0  (t , t0 )   1 ( , t0 ) Bu ( )d t0 t

x(t )  (t , t0 ) x0   (t , ) Bu ( )d t0

Lineer Zamanla Değişmeyen Sistemler için:

 (t , t0 )  ˆ e A ( t t 0 )  (t ,0)  e At

Çözümü bulmak için e A(t t0 ) „nin belirlenmesi gerekiyor.

3- Laplace Dönüşümü Ön bilgi: Laplace dönüşümü Tanım:

f (t ), t  0 için sürekli ya da parça parça 

sürekli bir fonksiyon olsun, f

(t ),



f (t )et dt  ,  0



koşulunu sağlıyorsa f (t ) „nin Laplace dönüşümü F (s ) aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır: 

F ( s)  ˆ



f (t )e st dt



f (t )e st dt

 

F ( s)  ˆ

Pierre-Simon, marquis de Laplace 1749-1827

0

F ( s)  L f (t )ile f (t ) „nin Laplace dönüşümünü

f (t )  L-1F ( s) ile ters Laplace dönüşümünü belirteceğiz

Laplace dönüşümünün özellikleri 1- Teklik

2- Lineerlik

f1 (t )  L  f1 (t )  F1 ( s)

f 2 (t )  L  f 2 (t )  F2 ( s)

c1 ve c2 sabit büyüklük olmak üzere Lc1 f1(t )  c2 f 2 (t )  c1F1( s)  c2 F2 ( s)

Tanıt: L c1 f1 (t )  c2 f 2 (t ) 



 st [ c f ( t )  c f ( t )] e dt 2 2  11

0







0

0

 st c f ( t ) e dt  11 

 st c f ( t ) e dt  2 2 

 c1  f1 (t )e st dt  c2  f 2 (t )e st dt 0

 c1F1 ( s)  c2 F2 (s)

0

3-

f (t )  F (s)  L f (t ) df (t )  df (t )    L   sF ( s)  f (0 ) dt  dt  

Tanıt:

 df (t )   st df (t ) L dt   e dt  dt  0 u dv  e st f (t )

 0







f (t )( se st )dt

0 

  f (0 )  s  f (t )e st dt 0

  f (0 )  sF ( s)  sF ( s)  f (0 )

4-

f (t )  F (s)  L f (t )





fˆ (t )  e at f (t )  Fˆ ( s)  L e at f (t )  F ( s  a)

Tanıt:





 e

L e at f (t ) 

 st  at

e

f (t )dt

0





( s  a ) t e f (t )dt 

0 

S ˆ sa



 St e  f (t )dt  F (S )

0

 F ( s  a)

5-

f (t )  F (s)  L f (t ) f (t  T1 )1(t  T1 )  L f (t  T1 )1(t  T1 )  e sT1 F ( s)

Tanıt:

L  f (t  T1 )1(t  T1 ) 

  ˆ t  T1 d  ˆ dt

T1



0

T1

 st  st 0 e dt  f ( t  T ) e dt 1  









f ( )e s ( T1 ) d

T1 

 e sT1  f ( )e s d T1

 e sT1 F ( s)

6-

f (t )  F (s)  L f (t ) t



0

Tanıt:

t     1 f ( )d  L   f ( )d   F ( s )   0  s

t  t     L   f ( )d    [  f ( )d ]e st dt   0  0 0

u t

[ 0



dv  st

e f ( )d ] s

u





 0



0

e st f (t ) dt s

v

t 0   e  e 0    1  st  [  f ( )d ]  [  f ( )d ]    f (t )e dt s s  0  0  s 0 1 0 0  F ( s) s

7-

f (t )  F (s)  L f (t ) 1 s f (at )  L f (at )  F   a a

Tanıt:

L  f (at ) 





f (at )e st dt

0

at  ˆ p adt  ˆ dp s S ˆ a





 f ( p )e

0





sp a

1 dp a sp

 1   f ( p )e a dp a 0 

1   f ( p )e Sp dp a 0 1 1 s  F (S )  F   a a a

8- f1 (t )  L  f1 (t )  F1 ( s )

f 2 (t )  L  f 2 (t )  F2 ( s) t



0

t     f1 ( ) f 2 (t   )d  L   f1 ( ) f 2 (t   )d    0 

f1 (t ) * f 2 (t )

t      L   f1 (t   ) f 2 ( )d    0 

 F1 ( s) F2 ( s)

Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Öz Çözümün Bulunması

x  Ax, x(0- )  x0 sX ( s)  x0  AX ( s) sX ( s)  AX ( s)  x0

[ sI  A] X ( s)  x0 X ( s)  [ sI  A]1 x0 (s)

x(t )  L-1( s)x0 x(t )  e At x0

öz çözüm

Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Zorlanmış Çözümün Bulunması

x  Ax  Bu , x(0 )  x0 sX (s)  x0  AX (s)  BU ( s) 0

sX (s)  x0  AX (s)  BU ( s)

[ sI  A] X (s)  BU (s) X ( s)  [ sI  A]1 BU ( s)

(s) X (s)  (s) BU (s) x(t )  L-1{( s) BU ( s)} t

x(t )   (t , ) Bu ( )d 0

zorlanmış çözüm

Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Tam Çözümün Bulunması

x  Ax  Bu , x(0 )  x0 X ( s)  ( s) x0  ( s) BU ( s) t

x(t )  e At x0   (t , ) Bu ( )d 0

Çıkışın Belirlenmesi

y  Cx  Du Y (s)  CX ( s)  DU (s) Y ( s)  C[( s) x0  ( s) BU (s)]  DU (s) Y ( s)  C( s) x0  [( s) B  D]U ( s) t

y (t )  Ce At x0  C  (t , ) Bu ( )d  Du(t ) 0

Özdeğerler, Sıfırlar ve Kutuplar

x  Ax  Bu y  Cx  Du, x  Rn , y  Rr ,

x(0)  x0

(1)

u  Rm

Tanım (1) ile verilen sistemin özdeğerleri A‟nın karakteristik çok terimlisinin kökleridir. karakteristik p( )  det(I  A)  (  1 )(  2 )...(  n ) çok terimli özdeğerler i , i  1,2,...,n reel, kompleks, katlı olabilirler.

nxn sabit matris

ek ( sI  A) Ri X ( s)  [ sI  A] x0  x0   x0 det[sI  A] i 1 ( s  i ) n

1

n

x(t )    i eit , i 1

i  ˆ Ri x0

nx1 sabit vektör

Tanım: (1) ile verilen sistemin kutupları

Y ( s) G( s)   C ( sI  A)1 B  D U ( s) C[ek ( sI  A)]B  D[det(sI  A)]  [det(sI  A)] W (s)  ( s) ( s)  ( s  s1 )(s  s2 )...(s  s ) kökleridir. Sonuç: Kutuplar özdeğerlerin bir alt kümesidir

n

Tanım: (1) ile verilen sistemin sıfırları, u (t )  e st u0 ( u0 sabit nx1 vektör) girişine y (t )  0 çıkışı veren s değerleridir.

( sI  A) X ( s)  BU ( s)  0 CX ( s )  DU ( s)  Y ( s)

( sI  A) nn Y (s)  0   Crn 

Bir şey ihmal edilmiş ,ne?

 Bnm   X ( s) 0      Drm  U ( s )  0  ( n r )( n m )

( sI  A) rank   C Girişler çıkışlara eşit ise m=r

 B  min{( n  r ), (n  m)}  D 

( sI  A)  ( s)  ˆ det   C

 B 0  D 

Sistemin sıfır çok terimlisi Girişler çıkışlara eşit ise  (s ) „in kökleri (1) sisteminin sıfırlarıdır

 ( s)  det(sI  A) det[C (sI  A)1 B  D] Karakteristik çok terimli

p(s)

 (s)  p(s) det[G(s)]

G (s )

Sistem Özellikleri: Yönetilebilirlik, Gözlenebilirlik ve Kararlılık Yönetilebilirlik: x(t0 ) ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman * içinde x durumuna götüren bir u (t ) girişi bulunabilinir mi? Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında y (t ) çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu x(t0 ) belirlenebilir mi? Kararlılık: Denge durumunda bulunana bir sistem, bu durumda uyarıldığında, sistem tekrar denge durumuna mı döner, yoksa denge durumundan uzaklaşır mı? Lineer, zamanla değişmeyen sistemlerde, durum denklemlerini belirleyen (A,B,C,D) matrislerinden faydalanarak bu sorular yanıtlanır. Önbilgi Cayley-Hamilton Teoremi: nxn kare A matrisine ilişkin karakteristik çok terimli n n 1 n2

det(sI  A)    p1

 p2

olsun. A matrisi karakteristik çok terimlisini sağlar.

 ...  pn1  pn

An  p1 An1  p2 An2  ...  pn1 A  pn I  0

Önbilgiye devam

Zamana bağlı fonksiyonların lineer bağımsızlığı

Tanım: fi (t ), i  1,2,..., n 1xm boyutlu, elemanları zamanın fonksiyonu olan bir vektör olmak üzere fi (t ), i  1,2,..., n fonksiyonlar kümesi [t0 , t1 ] aralığında lineer olarak bağımsızdır. n

  i fi (t )  0, i  0 i  1,2,..., n t  [t0 , t1 ] i 1

 f1 (t )   f (t )   n 1n  2   0 1m     f ( t )  n  nm Dikkat!!

Biraz daha açık yazarsak

1

2

...

1 f1(t )  2 f 2 (t )  ...  n f n (t )  0 1[ f11 (t ) f12 (t ) ... f1m (t )]   2[ f 21 (t )  ...   n [ f n1 (t ) f n 2 (t ) ... f nm (t )]  0

f 22 (t )

...

f 2 m (t )]

Teorem: 1xm boyutlu fi (t ), i  1,2,..., n fonksiyonları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır  G (t0 , t1 )  ˆ nxn matris

t1

T  f1  tersinir F ( t ) F ( t ) dt  f  t0 2 F (t )  ˆ        fn 

Tanıt:  fi (t ) „lerin [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız iken G (t0 , t1 ) „in tersinir olduğu gösterilecek. Varsayım: fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız olsun, ama G (t0 , t1 ) tekil olsun.

G(t0 , t1 ) tekil  1n  0, G(t0 , t1 )  0  G(t0 , t1 )  T  0 t1

t1

t0

t0

G (t0 , t1 )  T   F (t ) F T (t ) T dt   [ F (t )][F (t )]T dt  0

F (t )  0 fi (t ) „ler lineer bağımsız değil

negatif olmayan skaler bir fonksiyon

Varsayıma aykırı  G(t0 , t1 ) tersinir

Hatırlatma

Teorem: 1xm boyutlu fi (t ), i  1,2,..., n fonksiyonları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır  G (t0 , t1 )  ˆ nxn matris

t1

T  f1  tersinir F ( t ) F ( t ) dt  f  t0 2 F (t )  ˆ        fn 

Tanıt:  fi (t ) „lerin [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız iken G (t0 , t1 ) „in tersinir olduğu gösterilecek. Varsayım: fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız olsun, ama G (t0 , t1 ) tekil olsun.

G(t0 , t1 ) tekil  1n  0, G(t0 , t1 )  0  G(t0 , t1 )  T  0 t1

t1

t0

t0

G (t0 , t1 )  T   F (t ) F T (t ) T dt   [ F (t )][F (t )]T dt  0

F (t )  0 fi (t ) „ler lineer bağımsız değil

negatif olmayan skaler bir fonksiyon

Varsayıma aykırı  G(t0 , t1 ) tersinir

 G(t0 , t1 ) tersinir (det G(t0 , t1 )  0) , fi (t ) ‟lerin [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız olduğu gösterilecek. Varsayım: G (t0 , t1 )tersinir ancak fi (t )„ler [t0 , t1 ]aralığında lineer bağımlı t1

 1n  0, F (t )  0  F (t ) F T (t )dt  G(t , t )  0 0 1  t0

G(t0 , t1)  0  G(t0 , t1) tersinir değil, varsayıma aykırı  fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız Lemma: 1xm boyutlu fi (t ), i  1,2,..., n fonksiyonlarının [t0 , t1 ] aralığında sürekli türevleri olsun

rank[ F (ta ) F (ta ) ... F ( n1) (ta )]  n sağlayan bir ta  [t0 , t1 ] var ise fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır

Teorem: 1xm boyutlu fi (t ), i  1,2,..., n fonksiyonlarının [t0 , t1 ] aralığında (n-1). mertebeye kadar sürekli türevleri olsun,

rank[ F (ta ) F (ta ) ... F ( n1) (ta )]  n sağlayan bir ta  [t0 , t1 ] var ise fi (t ) „ler[t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır.  (t ) ... F ( n1) (t )]  n Tanıt: varsayım rank[ F (ta ) F a a ancak fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımlılar.  1n  0, F (t )  0, t [t0 , t1 ]

F ( j ) (t )  0, j  1,2,..., n  1 t [t0 , t1]   [ F (ta )

F (ta )

...

F ( n1) (ta )], ta [t0 , t1 ]

satırları lineer bağımsız değil

rank[ F (ta )

F (ta )

...

F ( n1) (ta )]  n varsayımı ile çelişiyor

 fi (t )„ler[t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız olmalı.

Yönetilebilirlik: x(t0 ) ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman * içinde x durumuna götüren bir u (t ) girişi bulunabilinir mi? Tanım: Yönetilebilirlik: 1) Durum denklemleri ile verilen dinamik sistem [t0 , t1 ] aralığında yönetilebilir. 2) t0 anındaki herhangi bir x0 başlangıç durumunu t1 anındaki bir x1 durumuna götüren [t0 , t1 ] aralığında tanımlı bir giriş vardır. Lineer sistemler için :

3) t0 anındaki 0 başlangıç durumunu t1 anındaki herhangi bir x1 durumuna götüren [t0 , t1 ] aralığında tanımlı bir giriş vardır. 4) t0 anındaki herhangi bir x0 başlangıç durumunu t1 anındaki 0 [t0 , t1 ] aralığında tanımlı bir giriş vardır. durumuna götüren t 1

x1  e A(t1 t0 ) x0   e A(t1  ) Bu ( )d t0 t1

x1  e A(t1 t0 ) x0   e A(t1  ) Bu ( )d

xˆ1

t0

t1

xˆ1   e A(t1  ) Bu ( )d t0

0 başlangıç durumunu xˆ1

durumuna götüren giriş

t1

x1  e A(t1 t0 ) x0   e A(t1  ) Bu ( )d t0

t1

0  e A(t1 t0 ) x0  x1   e A(t1  ) Bu ( )d t0

t1

0  e A(t1 t0 ) [ x0  e A(t1 t0 ) x1 ]   e A(t1  ) Bu ( )d t0

ˆ0 x t1

0  e A(t1 t0 ) xˆ0   e A(t1  ) Bu ( )d t0

xˆ0 başlangıç durumunu 0 durumuna götüren giriş

 (t )  Ax (t )  Bu (t ) sistemi t0 Teorem: Lineer zamanla değişmeyen x anında yönetilebilir  F (t )  ˆ e A(t0 t ) B matrisinin satırları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır. Tanıt:  F (t )„ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin yönetilebilir olduğu gösterilecek t  t1 anındaki çözüm t1

x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )   e A(t1  ) Bu ( )d t0

t1

x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) Bu ( )d F (t )  ˆe

A(t0 t )

t0

B matrisinin satırlarının [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız

olduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1‟den yararlanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz t1

G (t0 , t1 )   e A(t0  ) BB T (e A(t0  ) )T d tersinirdir. t0

x(t0 ) başlangıç durumunu x(t1 )  0 durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade

ile belirlenebilir,

u (t )   BT (e A(t0 t ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 ) t1

x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) BBT (e A(t0  ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )d t0

t1

x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) BBT (e A(t0  ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )d t0 t1

x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) BBT (e A(t0  ) )T dG 1 (t0 , t1 ) x(t0 ) t0

G(t0 , t1 ) x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )

x(t1 )  0

F (t ) „ nin satırları lineer bağımsız ise x(t0 ) başlangıç durumunu x(t1 )  0 durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi.

Hatırlatma

Lemma: 1xm boyutlu fi (t ), i  1,2,..., n fonksiyonlarının [t0 , t1 ] aralığında sürekli türevleri olsun

rank[ F (ta ) F (ta ) ... F ( n1) (ta )]  n sağlayan bir ta  [t0 , t1 ] var ise fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır

 (t )  Ax (t )  Bu (t ) sistemi t0 Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen x anında yönetilebilir  F (t )  ˆ e A(t0 t ) B matrisinin satırları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır. Tanıt:  F (t )„ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin yönetilebilir olduğu gösterilecek t  t1 anındaki çözüm t1

x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )   e A(t1  ) Bu ( )d t0

t1

x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) Bu ( )d F (t )  ˆe

A(t0 t )

t0

B matrisinin satırlarının [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız

olduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1‟den yararlanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz t1

G (t0 , t1 )   e A(t0  ) BB T (e A(t0  ) )T d tersinirdir. t0

x(t0 ) başlangıç durumunu x(t1 )  0 durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade

ile belirlenebilir,

u (t )   BT (e A(t0 t ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 ) t1

x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) BBT (e A(t0  ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )d t0

t1

x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) BBT (e A(t0  ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )d t0 t1

x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) BBT (e A(t0  ) )T dG 1 (t0 , t1 ) x(t0 ) t0

G(t0 , t1 ) x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )

x(t1 )  0

F (t ) „ nin satırları lineer bağımsız ise x(t0 ) başlangıç durumunu x(t1 )  0 durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi.

Varsayım: sistem yönetilebilir ancak F (t )„nin satırları lineer bağımlı 1n  0, F (t )  0 t1 T x(t0 )   alırsak 0  e A(t1 t0 )  T  e A(t1 t0 ) e A(t0  ) Bu ( )d



t0

t1

0  e A(t1 t0 )  T  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) Bu ( )d t0 t1

0   T   e A(t0  ) Bu ( )d t0 t1

0   T    e A(t0  ) Bu ( )d t0 t1

0     e T

t0

A( t0  )

Bu ( )d

F (t )  0

0   T 0   varsayım ile çelişiyor

 F (t ) „ nin satırları lineer bağımsız

 (t )  Ax (t )  Bu (t ) sistemi Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen x anında yönetilebilir rankC  ˆ rank[ B AB ... A(n1) B]  n  yönetilebilirlik matrisi

 (t )  Ax (t )  Bu (t ) yönetilebilir  e A(t0 t ) B„nin Tanıt: Teorem 2  x satırları lineer bağımsız Lemma  rank[e Ata B

ta  0  rank[ B

 e Ata AB

 AB

...

...

(1)n1 e Ata An1B...]  n

(1)n1 An1B...]  n

Cayley-Hamilton Teoreminden  An , An1,.... I , A,... An1 „nın lineer kombinasyonu olarak yazılabilir ve (-) işareti rankı değiştirmez

 rank[ B

AB

...

An1B...]  n

Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında y (t ) çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu x(t0 ) belirlenebilir mi?

Tanım: Gözlenebilirlik

[t0 , t1 ] aralığındaki giriş-çıkış çiftinden x(t0 ) tek olarak belirlenebiliyorsa sistem [t0 , t1 ] aralığında gözlenebilirdir. t

y (t )  Ce A(t t0 ) x(t0 )  C  e A(t1  ) Bu ( )d  Du(t) t0 t

yˆ (t )  ˆ y (t )  C  e A(t1  ) Bu ( )d  Du(t) t0

yˆ (t )  Ce A(t t0 ) x(t0 )

Teorem 4: Lineer zamanla değişmeyen x (t )  Ax (t )  Bu (t )

y (t )  Cx(t )  Du(t ) ~ F (t )  ˆ Ce A(t t0 ) matrisinin

sistemi gözlenebilir  sütunları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız.

Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik Hatırlatma x (t )  Ax(t )  Bu (t ) y (t )  Cx(t )  Du (t )

Yönetilebilirlik

F (t )  ˆ e A(t0 t ) B matrisinin satırları [t0 , t1] aralığında lineer bağımsızdır. rankC  ˆ rank[ B

x(t0 ) başlangıç durumunu

Gözlenebilirlik

AB

...

An1B]  n

x(t1 )  0 durumuna götüren giriş

u (t )   BT (e A(t0 t ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )

~ F (t )  ˆ Ce A(t0 t ) matrisinin sütunları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır.  C   CA  n rankO  ˆ rank     n 1  1 CA   t  t1  T   A(t0  ) A(t0  ) T y (t )  C e A(t1  ) Bu ( )d  Du(t) e C C e d    t  t0  0 





t1



T

x(t0 )  M 1 (t0 , t1 ) e A(t t0 ) C T yˆ (t )dt t0

Frekans Tanım Bölgesinde Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik Varsayım: A‟nın özdeğerleri lineer katsız  1, 2 ,...,n

D0 0 0 ... 0  1  b1  0   b  0 ... 0 2    2 x   0 0 3 ... 0  x   u     ... 0      bn  0 n     y  c1 c2 ... cn x

xi ‟ler birbirinden ....... bi  0 ise xi .................................dolayısıyla sistem........... ci  0 ise xi .................................dolayısıyla sistem...........

(*)

(*) sistemine ilişkin transfer fonksiyonu:

G ( s )  C ( sI  A) 1 B

 c1

c2

n



 1 s  1   0  ... cn   0     

0

0

...

1 s  2

0

...

0

1 s  3

... ... 0

    b1  0  b   2    0     0  b  1  n   s  n  0

ci bi G(s)  s  i i 1 b j  0 ve/veya c j  0 ise sistem yönetilemez ve/veya gözlenemez n ci bi G(s)  s  i

 i 1 i j

Lemma: ( A, B, C ) sisteminin özdeğerleri katsız ise, sistemin yönetilebilir olması için gerek ve yeter koşul G( s)  C (sI  A) 1 Btransfer fonksiyonunda sıfır kutup sadeleşmesi olmamasıdır. Gözlenebilirliği ve yönetilebilirliği ayrı ayrı incelemek istiyorsak: Gc ( s)  ( sI  A) 1 B Go ( s)  C ( sI  A) 1

F (t )  ˆ e A(t0 t ) B ~ Gözlenebilirlik için F (t )  ˆ Ce A(t0 t )

Yönetilebilirlik için

t-tanım bölgesinde yönetebilirlik ve gözlenebilirlik için baktığımız matrisler Bir sistemin yönetilebilir ve gözlenebilir altsistemlerinin ayrıştırılması