Devre ve Sistem Analizi Neslihan Serap Şengör Devreler ve Sistemler A.B.D. oda no:1107 tel no:0212 285 3610
[email protected]
Ders Hakkında • 1 Yarıyıl içi sınavı •
5 Kısa sınav
5 Nisan 2010
% 20
22 Şubat 8 Mart
22 Mart 19 Nisan
3 Mayıs
% 20
• 2 Ödev
% 20
• Yarıyıl Sonu Sınavı
% 40
Kaynaklar: Yılmaz Tokad, “ Devre Analizi Dersleri” Kısım II, İ.T.Ü. Yayınları, 1977. Yılmaz Tokad, “ Devre Analizi Dersleri” Kısım IV, Çağlayan Kitabevi, 1987. Cevdet Acar, “Elektrik Devrelerinin Analizi” İ.T.Ü. Yayınları, 1995. L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York ( İşlenen Bölümler: 9,10,11,13) M. Jamshidi, M. Tarokh, B. Shafai. “Computer-Aided Analysis and Design of Linear Control Systems”, Prentice Hall, 1992 ( İşlenen Bölümler: 2,3)
Elektrik Devrelerinin Temelleri dersinde neler öğrendiniz? Amaç: Fiziksel devrelerin elektriksel davranışlarını öngörme akım ve gerilim
Devre TeorisindeTanımlanmamış Büyüklükler : akım ve gerilim Devre Teorisinin Aksiyomları: Toplu parametreli, KAY, KGY Eleman Tanım Bağıntıları:Lineer ve lineer olmayan direnç elemanları, Kapasite, Endüktans Lineer zamanla değişmeyen devrelere özgü yöntemler: Düğüm gerilimleri, çevre akımları Bazı Teoremler:Tellegen Teoremi, Toplamsallık ve Çarpımsallık, Thevenin ve Norton Teoremleri Dinamik Devreler ve Çözümleri
Hatırlatma: Kompleks Sayılar
z z e j z
z x jy y
z z
x
Rez x
Imz y
Kartezyen Koordinatlar
y arctan z x y x z 2
2
Polar Koordinatlar
z1 x1 jy1
z2 x2 jy2
z1 z1 e j z1
z2 z2 e j z 2
z1 z2 x1 jy1 x2 jy2 x1 x2 j y1 y2 z1.z2 x1x2 y1 y2 j x1 y2 x2 y1
z1.z2 z1 z2 e
j ( z1 z 2 )
z1 x1 jy1 x1 jy1 x2 jy2 z2 x2 jy2 x2 jy2 x2 jy2
x1x2 y1 y2 j x1 y2 x2 y1
z1 z1 j ( z1 z 2 ) e z2 z2
x
2 2
2 y2
z z 2x z z 2 jy 2
z.z z x2 y 2 Hatırlatma: Dinamik Devrelerin Çözümleri Durum Geçiş Matrisi
x(t ) (t ) x(t0 ) xözel (t ) (t ) xözel (t0 ) x(t ) (t ) x(t0 ) xözel (t ) (t ) xözel (t0 ) öz çözüm
zorlanmış çözüm t
x(t ) e At x(t0 ) e A(t ) Bu ( )d öz çözüm
t0
zorlanmış çözüm
Öz çözümü bir daha yazarsak
özvektörler
x(t ) e1 (t to ) S1x1 (t0 ) e2 (t to ) S2 x2 (t0 ) .....en (t to ) Sn xn (t0 ) özdeğerler
Öz çözüm, özvektörler ve özdeğerler ile nasıl değişir
.............................................................................................................
Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir?
Tüm bu durum portrelerinde ortak bir şey var, ne?
S. Haykin, “Neural Networks- A Comprehensive Foundation”2nd Edition, Prentice Hall, 1999, New Jersey.
Dinamik sistemin özel bir çözümü: Denge noktası
x (t ) Ax (t ) x (t ) f ( x(t ))
0 Axd 0 f ( xd )
Kaç tane denge noktası olabilir?
Sistemin davranışını incelemenin bir yolu kararlılığını incelemektir. Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık
x (t ) f ( x(t )) sistemine ilişkin bir denge noktası xd herhangi bir 0 için x(0) xd ( ) eşitsizliği
olsun. Verilen
x(t ) xd
eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir ( ) bulunabiliyorsa xd denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır. Lineer sistemlerde denge noktasının Lyapunov anlamında kararlılığını incelemek için ne yapılıyor?
Denge noktasının kararlılığı neye denk, neden?
Sürekli Sinüsoidal Hal Amaç: Özel çözümü belirlemeye yönelik bir yöntem geliştirmek Neden “sürekli sinüsoidal hal”? sürekli sinüsoidal
Kalıcı çözümle ilgileniyoruz Devreyi uyaran kaynaklar sinüsoidal
Yöntem sadece elektrik devreleri ile sınırlı değil; kontrol teorisinde, Kuantum elektroniğinde, elektromanyetik teoride de kullanılır. Araç: Fazör kavramından yararlanılacak Sinüsoidal
x(t ) Am cos(wt ) genlik frekans faz
Am 0
x(t ) Am cos(wt ) 2 w : [rad / sn], T ˆ , w 2f w f : [ Hz] Fazör
A ˆ Ame
j
Fazör verildiğinde sinüsoidal büyüklüğe nasıl geçeceğiz? Frekans w ve fazör
A
biliniyorsa
Re[ Ae jwt ] Re[ Ame j ( wt ) ] Am cos(wt )
Sinüsoidal
x(t ) Am cos(wt )
Am cos( ) cos( wt )
Fazör
j
A Ame Am cos jAm sin
( Am ) sin () sin (wt)
Am cos(wt ) Re( A) cos wt Im( A) sin wt
Lemma 1:
Tanıt:
Re[ Ae
jwt
A B Ae Re[ Ae
jwt
jwt
] Re[ Be
jwt
], t
A B
Be
jwt
t
,
] Re[ Be
jwt
],
t
Re[ Ae jwt ] Re[ Be jwt ],
t
t1 0 : Re[ A] Re[ B] jwt 2 Re[ Ae ] Re[ jA] Im A j jwt 2 t2 : e e 2 j 2w Re[ Be jwt 2 ] Re[ jB ] Im B
Im[ A] Im[ B] A Re[ A] j Im[ A] Re[ A] j Im[ B] B
x1(t ) Re[ A1e ], x2 (t ) Re[ A2e A1 x1(t ) A2 x2 (t ) a1, a2 R, a1x1(t ) a2 x2(t) a1 A1 a2 A2
Lemma 2:
Tanıt:
jwt
jwt
]
a1x1(t ) a2 x2(t) a1 Re[ A1e ] a2 Re[ A2e ] Re[ a1 A1e jwt ] Re[ a2 A2e jwt ] Re[ a1 A1e jwt a2 A2e jwt ] jwt Re[( a1 A1 a2 A2 )e ] a1x1(t ) a2 x2(t) a1 A1 a2 A2 jwt
jwt
Empedans-Admitans Kavramı Amaç: Lineer zamanla değişmeyen elemanlardan oluşmuş N devresinin iki uçlu olarak tanımlanması is
+ v
_
N 1-kapılısı
Z (w) R(w) jX (w) resistans reaktans
is (t ) Re[ I se jwt ] I s coswt s v(t ) Re[Ve jwt ] V coswt v N 1-kapılısına ilişkin giriş empedansı
V ( w) Z ( w) ˆ I s ( w) V (w) Z (w) I s (w) V ( w) V ( w) e jv
V (w) Z (w) I S
v Z S v(t ) Z (w) I S coswt Z S
i +
+
v
_
vS (t ) Re[VS e jwt ] VS coswt S N 1-kapılısı
Y (w) G(w) jB(w) kondüktans suseptans
i(t ) Re[ Ie jwt ] I coswt I N 1-kapılısına ilişkin giriş admitansı
I ( w) Y ( w) ˆ Vs ( w) I (w) Y (w)Vs (w)
I ( w) I ( w) e jI
I (w) Y (w) VS
I Y S
i(t ) Y (w) VS coswt Y S
Empedans-Admitans Kavramını kullanarak neler yapabiliriz?
V ( w) Z ( w) I ( w) V1 ( w) V2 ( w) I ( w) Z1(w) Z2 (w) I ( w) Y ( w) V ( w) I1 ( w) I 2 ( w) V ( w) Y1(w) Y2 (w) L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Devre Denklemleri
0 AT 0
KAY:
AI 0
KGY:
ATVd V
ETB:
M (w)V N (w) I U s
A Vd 0 0 V 0 M ( w) N ( w) I U s 0 I
T (w) T (w) ˆ T 0 jwT1
Direnç Devreleri
0 AT 0
0 I M
A vd (t ) 0 0 v(t ) 0 N i (t ) us (t )
T
vd (t ), v(t ), i(t )
Sürekli Sinüsoidal Hal
0 AT 0
A Vd 0 0 V 0 M ( w) N ( w) I U s 0 I
T (w)
Vd ,V , I
Zamanın fonksiyonu olan vektörler Elemanları fazör olan vektörler T‟nin elemanları reel sayılar
T(w)‟nın son ne satırı kompleks sayılar
Devre reel katsayılı, lineer, cebrik denklem takımı ile tanımlanmıştır.
Devre kampleks katsayılı, lineer, cebrik denklem takımı ile tanımlanmıştır.
Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Düğüm Gerilimleri Yöntemi KAY:
AI 0
KAY:
AI 0
KGY:
ATVd V
KGY:
ATVd V
ETB:
M (w)V N (w) I U s
ETB:
M (w)V N (w) I U s
Yöntem:
I Y (w)V I s 1. Adım: nd 1 düğüm için KAY‟nı yaz
AI 0
I1 [ A1 A2 ] 0 I2
2. Adım: 1. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yerleştir, 2. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yaz.
V1 [ A1Y1 (w) A2 ] A1I S I2
V2 [ M ( w) N ( w)] U S I2
3. Adım: eleman gerilimlerini düğüm gerilimleri cinsinden yaz
V1 A1TVd
V2 A2TVd
A1Y1 ( w) A1T T M ( w ) A 2
A2 Vd A1I S U I N ( w) 2 s
4. Adım: düğüm gerilimlerini ve ikinci grup elemanların akımlarını bul Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Çevre Akımları Yöntemi KAY:
I BT IÇ
KAY:
I BT IÇ
KGY:
BV 0
KGY:
BV 0
ETB:
M (w)V N (w) I U s
ETB:
M (w)V N (w) I U s
V Z (w) I Vs
Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Çevre Akımları Yöntemi KAY: KGY: ETB: Yöntem:
I BT IÇ BV 0 M (w)V N (w) I U s
KAY: KGY: ETB:
I BT IÇ BV 0 M (w)V N (w) I U s
V Z (w) I Vs 1. Adım: ne nd 1 göz için KGYı‟nı yaz Bv 0
V1 [ B1 B2 ] 0 V2 2. Adım: 1. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yerleştir, 2. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yaz.
I1 [ B1Z1 (w) B2 ] B1Vk V2
V2 [ M ( w) N ( w)] U S I2
4. Adım: çevre akımlarını ve ikinci grup elemanların gerilimlerini bul
3. Adım: eleman akımlarını çevre akımları cinsinden yaz
I1 B1T I ç
I 2 B2T I ç
B1Z1 ( w) B1T T N ( w ) B 2
B2 I ç B1Vs U V M ( w) 2 S
4. Adım: çevre akımlarını ve ikinci grup elemanların gerilimlerini bul Toplamsallık ve Çarpımsallık Özelliği Teorem: (Toplamsallık) Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları 1. Grup bağımsız kaynaklar +Bağımsız kaynaklar 2. Grup bağımsız kaynaklar
1. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 2. grup bağımsız kaynaklar devre dışı iken devre çözülsün I1,V1
2. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 1. grup bağımsız kaynaklar devre dışı iken devre çözülsün I 2 ,V2 Devrede tüm bağımsız kaynaklar varken ki çözüm
IT I1 I 2 ,
VT V1 V2
Teorem: (Çarpımsallık) Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları+Bağımsız kaynaklar Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları elemanları +Bağımsız ~ ~ kaynakların değeri k katına çıkarılsın ve devre çözülsün I ,V
I,V
~ I kI ~ V kV
Thevenin (1883) ve Norton (1926) Teoremleri Amaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu direnç kapasite endüktans ve bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1kapılısının basit bir eşdeğerini elde etmek. Thevenin Eşdeğeri:
i +
N 1-Kapılısı v
_
ZTH
+
_
VTH
i + v
_
ZTH +
_
ZTH Thevenin eşdeğer empedansı
i
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı + iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer empedans v
VTH
_
VTH Açık devre gerilimi 1-1‟ uçları açık devre iken 1-1‟ uçları arasındaki gerilim
Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı bağlandığında tüm i değerleri için tek çözümü varsa ( tek v değeri belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır. Norton Eşdeğeri: i +
N 1-Kapılısı v
_
i
+ IN
YN
v
_
Thevenin (1883) ve Norton (1926) Teoremleri Amaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu direnç kapasite endüktans ve bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1-kapılısının basit bir eşdeğerini elde etmek. Thevenin Eşdeğeri: I I ZTH + + N + _ VTH V 1-Kapılısı V
_
ZTH
_
ZTH Thevenin eşdeğer empedansı
I
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer empedans + _ VTH V VTH Açık devre gerilimi _ 1-1‟ uçları açık devre iken 1-1‟ uçları arasındaki gerilim Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı bağlandığında tüm Ideğerleri için tek çözümü varsa ( tek V değeri belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır. +
Norton Eşdeğeri: I +
N 1-Kapılısı V
I +
IN
_ I
IN
V
_
GN Norton eşdeğer admitansı +
YN
YN
V
_
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer admitans iN Kısa devre akımı 1-1‟ uçları kısa devre iken 1-1‟ uçlarındaki akım
Norton Teorem: N 1-kapılısının uçlarına v değerinde bir gerilim kaynağı bağlandığında tüm V değerleri için tek çözümü varsa ( tek I değeri belirlenebiliyorsa) Norton eşdeğeri vardır.
• Thevenin Eşdeğeri:
V ZTH I VTH
N kapılısı akım kontrollü değilse Thevenin eşdeğeri yok • Norton Eşdeğeri:
I YNV I N
N kapılısı gerilim kontrollü değilse Norton eşdeğeri yok • ZTH 0, V 0
•
YN 0, I 0
IN
VTH ZTH
VTH
IN YN
ZTH 0,
Norton eşdeğeri yok
YN 0, Thevenin eşdeğeri yok
SSH‟de Devre Fonksiyonları + V1
IS
0 AT 0
_
N Lineer zamanla değişmeyen elemanlar
0 A Vd 0 Vdk „nın Is fazörü sabit iken w ile değişimi nasıldır? I 0 V 0 I kofaktörT ( w) s V ( w ) IS M ( w) N ( w) I dk det T ( w) 0 T (w)
Vdk ( w) P( jw) IS Q( jw)
P( jw) veQ( jw) (jw)‟nın reel
katsayılı çok terimlileri
Vdk ( w) a1 ( jw) a2 ( jw)2 ... an ( jw)n IS b1 ( jw) b2 ( jw)2 ... bm ( jw)m
Sadece N devresine bağlı, Is „den bağımsız.
İlgilenilen her büyüklük için benzer fonksiyonlar tanımlanabilir:
Vdk ( w) I S ( w)
Empedans Fonksiyonu
V1 ( w) I S ( w)
Giriş Empedans Fonksiyonu
Vdk ( w) V1 ( w)
Gerilim Transfer Fonksiyonu
Devre Fonksiyonlarının Simetri Özellikleri Ön Bilgi:
Lemma: n(s), s jw kompleks değişkeninin reel katsayılı çok terimlisi olsun
1) n( s) n( s ) 2) n( z ) 0 n( z ) 0 z n(z)‟nin sıfırı olarak isimlendirilir.
Tanıt:
n( s) nk s k nk 1s k 1 ... n1s n0
nk , nk 1,...n1, n0 R
1) n( s) n s k n s k 1 ... n s n k k 1 1 0
nk s k nk 1s k 1 ... n1s n0 nk s k nk 1 s k 1 ... n1 s n0
n(s ) 2) n( z ) 0 n( z ) 0 0 (1)‟den n( z ) n( z ) n( z ) 0 n( z ) 0
n( jw) Devre Fonksiyonu: H ( jw) d ( jw) n( jw) H ( jw) d ( jw)
H ( jw) H ( jw) e j H ( jw)
Özellik: Herhangibir devre fonksiyonunun genliği w‟nın çift fonksiyonudur, fazı da her zaman w‟nın tek fonksiyonudur.
Tanıt:
n( jw) n( jw) H ( jw) d ( jw) d ( jw) n( jw) H ( jw) jw jw ve Lemma‟dan H ( jw) d ( jw)
H ( jw)
w
n( jw) d ( jw)
H ( jw) H ( jw) H ( jw) H ( jw)
s ‟nin fazı s seçilebildiğinden
H ( jw) H ( jw)
Vd j H ( jw)Vk +
_
Vk (t)
N-Devresi
vk (t ) Vk cos(wt Vk )
vd j (t ) H ( jw) Vk cos(wt H Vk ) Vd j H ( jw) Vk
V H V dj
k
Sonuç:Devrenin w frekansındaki davranışını belirlemek için Vk , Vd genlikleri j ile Vk , H fazlarını belirlemek yeterli. Hatırlatma
1 cos 2 x (1 cos 2 x) * 2 cos( x y ) cos x cos y sin x sin y ** 2 cos x cos y cos( x y ) cos( x y ) ***
SSH‟de Güç ve Enerji Kavramları Tüm akım ve gerilimler “w” frekanslı sinüsoidaller Ani Güç ve Ortalama Güç R 2- uçlu direnç elemanı
iR (t ) I m cos(wt I )
I R I me j I
Kaynak tarafından dirence aktarılan güç:
p(t ) vR (t )iR (t ) RI m cos(wt I ) I m cos(wt I ) 1 * bağıntısından p(t ) vR (t )iR (t ) RI m2 [1 cos 2( wt I )] 2 2 peryodu boyunca iki kere 0 ve RI 2 arasında değişiyor Ani güç T m w T 1 1 2 p p ( t ) dt RI m Bir peryod boyunca ortalama güç: ort T0 2
C kapasite elemanı
vc (t ) Vm cos(wt v )
VC Vme jv
IC jwCVC jwCVme jv
ic (t ) Re[ jwCVme jv e jwt ] Re[ jwCVm (cos(wt v ) j sin( wt v ))] Re[ jwCVm cos(wt v ) wCVm sin( wt v )] ic (t ) wCVm cos(wt v ) 2 Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:
pc (t ) vc (t )ic (t ) Vm cos(wt v ) wCVm cos(wt v ) 2 1 2 *** bağıntısından pc (t ) wCVm {cos[2( wt v ) ] cos } 2 2 2 1 wCVm2 cos 2( wt v ) 2 4 1 1 2 peryodu boyunca iki kere wCV 2 ve wCV 2 arasında Ani güç T m m 2 2 w değişiyor T 1 port p(t )dt 0 Bir peryod boyunca ortalama güç: T0
L endüktans elemanı Kapasite için elde edilen bağıntılara benzer şekilde Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:
1 2 pL (t ) wCI m cos 2( wt I ) 2 4 Bir peryod boyunca ortalama güç:
T
port
1 p(t )dt 0 T0
1-Kapılı i + G
v
_
N-Devresi SSH
v(t ) V i (t ) I
T anında G kaynağı tarafından N devresine aktarılan ani güç:
p(t ) v(t )i(t ) Vm cos(wt v ) I m cos(wt i ) *** bağıntısından
1 1 p(t ) Vm I m cos(v i ) Vm I m cos(2wt v i ) 2 2 T
Bir peryod boyunca ortalama güç: port
1 1 p(t )dt Vm I m cos(v i ) T0 2
port
1 Vm I m cos(v i ) 2
Ortama güç v(.),i(.) sinüsoidallerinin sadece genliğine değil fazına da bağlı
cos(v i ) Güç faktörü (güç çarpanı) olarak adlandırılır V=ZI bağıntısı ile belirlenen N 1-kapılısına ilişkin giriş empedans fonksiyonu Z‟ye ilişkin faz Z v i „dir.
port 0 Z 90 port port
1 1 2 Vm I m cos Z I m Re( Z ) 2 2 1 1 2 Vm I m cos Y Vm Re(Y ) 2 2
Kompleks Güç i
1-kapılı N devresine G kaynağı tarafından aktarılan kompleks güç:
+ G
v
_
N-Devresi SSH
1 P ˆ VI 2
V Vme jv I I me ji
1 1 P Vm I m cos(v i ) j Vm I m sin(v i ) 2 2 port
Q
P port jQ Aktif Reaktif Güç Güç [Watt] [VAR]
[VAR]-VoltAmperReaktif
port
1 Vm I m 2
Q0
port 0
1 Q Vm I m 2
port 0
1 Q Vm I m 2
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Kompleks Gücün Sakınımı KAY+KGY
Tellegen Teoremi
Herhangi bir devrede enerji sakınımı geçerlidir
Teorem: Hep aynı w frekanslı sinüsoidal kaynaklarla sürülen lineer zamanla değişmeyen devrenin SSH‟de çalıştığını varsayalım. Kaynaklar tarafından devreye aktarılan kompleks güçlerin toplamı devredeki elemanlar tarafından çekilen kompleks güçlerin toplamına eşittir. Tanıt:
V1,V2 ,V3 ,....,Vne KGY‟yi sağlayan I1, I 2 , I3 ,...., I ne
gerilim fazörleri KAY‟yi sağlayan akım fazörleri
AI 0 AI 0 1 ne Tellegen teoreminden Vk I k 0 2 k 1 1 1 ne V1I1 Vk I k 2 2 k 2 KAY
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Maksimum Güç Transferi Teoremi Amaç: Devre SSH‟de çalışıyor; ZL „nin değerini, çektiği aktif gücün maksimum olmasını sağlayacak şekilde belirlemek.
ZL =?
Varsayımlar: Kompleks gücün sakınımı
ZG RG jX G EG EGm
Aktif gücün sakınımı
1 1 2 PL Re{EG I L } RG I L 2 2 Kaynağa ilişkin aktif güç
1 PL 2
ZG ‟de harcanan aktif güç 1 2 EG I Lm cos I L RG I L m
2
PL , ØIL ve ILm „nin fonksiyonu (RG >0 ve EG baştan belirli)
1 1 2 PL EG I Lm cos I L RG I L m 2 2 PL „yi maksimum kılmak için cos I L 1
PL 1 EG RG I L m I Lm 2
0
2 PL RG 0 2 I Lm o j I Lo
IL „nin maksimum değeri: I L I L e m o
o 1 EG RG I oL m 0 cos IL 1 2 o 0 1 EG o IL I Lm 2 RG
Z Lo ZG Z Lo RG jX G 2
PLo
EG 8RG
Sonuç: SSH‟de kaynakları w frekanslı 1-kapılı ZL yük empedansını beslesin. Bu 1- kapılı Thevenin eşdeğeri ile EG , ZG RG jX G , RG 0 verilsin.Yük empedansının bu 1-kapılıdan maksimum ortalama güç o çekmesi için gerek ve yeter koşul Z L ZG olmasıdır. 2
EG o Bu durumda yüke aktarılan maksimum aktif güç: PL 8RG
Z Lo ZG , RL RG „ye eşit olduğundan kaynağın enerjisinin %50‟si yüke aktarılıyor. Z G „yi kontrol etmek imkanımız olmadığından bu elde edilebilecek en iyi sonuç.
Hatırlatma: Durum Denklemleri
x Ax Bu y Cx Du,
x(0) x0
x R n durum değişkenleri - kapasite gerilimleri, endüktans akımları
y R r çıkış büyüklükleri u R p giriş büyüklükleri
- ilgilenilen eleman akımları ve gerilimleri - bağımsız akım kaynağının akımı ve bağımsız gerilim kaynaklarının gerilimleri
EDT dersinde n=2 için çözümler bulundu
x1 a11 x a 2 21
a12 x1 b1 u , a22 x2 b2
x(t0 ) x0
2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
xT (t ) xh (t ) xözel (t ) Homojen kısım: x Ax,
xh (t ) Set
x(t0 ) x0 S1 t e S2
Set ASe t S AS
I AS 0 det I A 0
Çözüm Tahmini
belirlememiz gereken kaç büyüklük var? sıfırdan farklı çözümlerin olması nasıl mümkün olur?
2 a b 0
Karakteristik Denklem
Karakteristik denklemin kökleri:
1, 2 özdeğerler
Belirlememiz gereken S özvektör
Hangi uzayın elemanı? O uzaya ait neyi belirlersek aradığımızı bulmuş oluruz?
1I AS1 0 1„e ilişkin özvektör 2 I AS2 0 2„e ilişkin özvektör S1 c1V1 S2 c2V2
1t
xh (t ) e V1
c1 c1 e V2 M (t ) c2 c2 2t
M (t )
Özel çözüm:
x1ö zel (t ) xözel (t ) x ( t ) 2ö zel
Tam çözüm:
Temel Matris
Nasıl belirleyeceğiz?
x(t ) M (t )C xözel (t )
C M (t0 )1x(t0 ) xözel (t0 ) x(t ) M (t ) M 1 (t0 )x(t0 ) xözel (t0 ) xözel (t )
x(t0 ) M (t0 )C xözel (t0 )
x(t ) M (t ) M 1 (t0 )x(t0 ) xözel (t0 ) xözel (t )
(t , t0 )
Durum Geçiş Matrisi
x(t ) (t , t0 ) x(t0 ) xözel (t ) (t , t0 ) xözel (t0 ) x(t ) (t , t0 ) x(t0 ) xözel (t ) (t , t0 ) xözel (t0 ) öz çözüm
x(t ) e
A ( t t 0 )
zorlanmış çözüm t
x(t0 ) e A(t ) Bu ( )d t0
öz çözüm
zorlanmış çözüm
Yüksek Mertebeden Devrelerin Durum Denklemlerin Çözümü
x Ax,
x(t0 ) x0 ,
x Rn ,
A Rnn
2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
1t
xh (t ) e V1
c1 c1 e V2 M (t ) c2 c2
M (t )
2t
Temel Matris
iki sütunu var ve her sütun lineer bağımsız ve çözüm
n. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümüne dönersek
X (t ) R nn Temel Matris
n sütunu var ve sütunları lineer bağımsız çözümler
Temel Matris- • tersinir matris • diferansiyel denklemi sağlar • temel matrisler birbirlerinden bir sabit çarpımı ile farklıdır • verilen ilk koşul için tek olarak belirlenir.
2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
x(t ) M (t ) M 1 (t0 ) x(t0 )
(t , t0 )
Durum Geçiş Matrisi
Ne yapmakta?
Durum Geçiş matrisi
(t , t ) A(t , t ) 0 0
(t0 , t0 ) I n. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümüne dönersek
X (t ) (t , t0 )C
C tersinir matris
x(t ) (t , t0 )ci (t , t0 ) x(t0 )
Gerçekten çözüm mü, nasıl anlayacağız?
İlgilendiğimiz Sistemler
x Ax,
x(t0 ) x0 ,
x Rn ,
A Rnn
Durum Geçiş matrisi
(t , t ) A(t , t ) 0 0
(t0 , t0 ) I Durum geçiş matrisinin özellikleri
1-
(t2 , t0 ) (t2 , t1 )(t1, t0 ),
x(t0 ) x0
x(t1 ) (t1, t0 ) x0
x(t1 ) x1
x(t2 ) (t2 , t1) x1
t0 t1 t2
x(t2 ) (t2 , t1 )(t1, t0 ) x0 x(t2 ) (t2 , t0 ) x0
(t2 , t0 ) (t2 , t1 )(t1, t0 )
2- 1 (t , t0 ) (t0 , t )
(t2 , t0 ) (t2 , t1 )(t1, t0 ),
t0 t1 t2
(t0 , t0 ) (t0 , t1)(t1, t0 ),
t0 t2
I (t0 , t1 )(t1, t0 ) 1 (t , t0 ) (t0 , t ) İlgilendiğimiz Sistemler
x Ax,
x(t0 ) x0 ,
x Rn ,
Çözüm
x(t ) (t , t0 ) x(t0 )
A Rnn
İlgilendiğimiz Sistemler
x Ax Bu , Yarsayım:
x(t0 ) x0 ,
x Rn ,
A Rnn , B Rn p
x(t ) (t , t0 ) y(t ) d (t , t0 ) y (t ) x(t ) ((t , t0 ) y (t )) (t , t0 ) y (t ) dt * (t , t ) y 0 (t ) A(t , t0 ) y (t )
x Ax Bu Yarsayımı yerleştirirsek x A(t , t0 ) y(t ) Bu ** * ve **‟dan
A(t , t0 ) y(t ) Bu (t , t0 ) y (t ) A(t , t0 ) y(t ) Bu (t , t0 ) y (t )
y (t ) 1 (t , t0 ) Bu t
y (t ) 1 ( , t0 ) Bu ( )d y (t0 ) t0
y(t0 ) 1 (t0 , t0 ) x0 x0 x(t ) (t , t0 ) y(t ) t
x(t ) (t , t0 ) x0 (t , t0 ) 1 ( , t0 ) Bu ( )d t0 t
x(t ) (t , t0 ) x0 (t , ) Bu ( )d t0
Lineer Zamanla Değişmeyen Sistemler için:
(t , t0 ) ˆ e A ( t t 0 ) (t ,0) e At
Çözümü bulmak için e A(t t0 ) „nin belirlenmesi gerekiyor.
3- Laplace Dönüşümü Ön bilgi: Laplace dönüşümü Tanım:
f (t ), t 0 için sürekli ya da parça parça
sürekli bir fonksiyon olsun, f
(t ),
f (t )et dt , 0
koşulunu sağlıyorsa f (t ) „nin Laplace dönüşümü F (s ) aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır:
F ( s) ˆ
f (t )e st dt
f (t )e st dt
F ( s) ˆ
Pierre-Simon, marquis de Laplace 1749-1827
0
F ( s) L f (t )ile f (t ) „nin Laplace dönüşümünü
f (t ) L-1F ( s) ile ters Laplace dönüşümünü belirteceğiz
Laplace dönüşümünün özellikleri 1- Teklik
2- Lineerlik
f1 (t ) L f1 (t ) F1 ( s)
f 2 (t ) L f 2 (t ) F2 ( s)
c1 ve c2 sabit büyüklük olmak üzere Lc1 f1(t ) c2 f 2 (t ) c1F1( s) c2 F2 ( s)
Tanıt: L c1 f1 (t ) c2 f 2 (t )
st [ c f ( t ) c f ( t )] e dt 2 2 11
0
0
0
st c f ( t ) e dt 11
st c f ( t ) e dt 2 2
c1 f1 (t )e st dt c2 f 2 (t )e st dt 0
c1F1 ( s) c2 F2 (s)
0
3-
f (t ) F (s) L f (t ) df (t ) df (t ) L sF ( s) f (0 ) dt dt
Tanıt:
df (t ) st df (t ) L dt e dt dt 0 u dv e st f (t )
0
f (t )( se st )dt
0
f (0 ) s f (t )e st dt 0
f (0 ) sF ( s) sF ( s) f (0 )
4-
f (t ) F (s) L f (t )
fˆ (t ) e at f (t ) Fˆ ( s) L e at f (t ) F ( s a)
Tanıt:
e
L e at f (t )
st at
e
f (t )dt
0
( s a ) t e f (t )dt
0
S ˆ sa
St e f (t )dt F (S )
0
F ( s a)
5-
f (t ) F (s) L f (t ) f (t T1 )1(t T1 ) L f (t T1 )1(t T1 ) e sT1 F ( s)
Tanıt:
L f (t T1 )1(t T1 )
ˆ t T1 d ˆ dt
T1
0
T1
st st 0 e dt f ( t T ) e dt 1
f ( )e s ( T1 ) d
T1
e sT1 f ( )e s d T1
e sT1 F ( s)
6-
f (t ) F (s) L f (t ) t
0
Tanıt:
t 1 f ( )d L f ( )d F ( s ) 0 s
t t L f ( )d [ f ( )d ]e st dt 0 0 0
u t
[ 0
dv st
e f ( )d ] s
u
0
0
e st f (t ) dt s
v
t 0 e e 0 1 st [ f ( )d ] [ f ( )d ] f (t )e dt s s 0 0 s 0 1 0 0 F ( s) s
7-
f (t ) F (s) L f (t ) 1 s f (at ) L f (at ) F a a
Tanıt:
L f (at )
f (at )e st dt
0
at ˆ p adt ˆ dp s S ˆ a
f ( p )e
0
sp a
1 dp a sp
1 f ( p )e a dp a 0
1 f ( p )e Sp dp a 0 1 1 s F (S ) F a a a
8- f1 (t ) L f1 (t ) F1 ( s )
f 2 (t ) L f 2 (t ) F2 ( s) t
0
t f1 ( ) f 2 (t )d L f1 ( ) f 2 (t )d 0
f1 (t ) * f 2 (t )
t L f1 (t ) f 2 ( )d 0
F1 ( s) F2 ( s)
Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Öz Çözümün Bulunması
x Ax, x(0- ) x0 sX ( s) x0 AX ( s) sX ( s) AX ( s) x0
[ sI A] X ( s) x0 X ( s) [ sI A]1 x0 (s)
x(t ) L-1( s)x0 x(t ) e At x0
öz çözüm
Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Zorlanmış Çözümün Bulunması
x Ax Bu , x(0 ) x0 sX (s) x0 AX (s) BU ( s) 0
sX (s) x0 AX (s) BU ( s)
[ sI A] X (s) BU (s) X ( s) [ sI A]1 BU ( s)
(s) X (s) (s) BU (s) x(t ) L-1{( s) BU ( s)} t
x(t ) (t , ) Bu ( )d 0
zorlanmış çözüm
Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Tam Çözümün Bulunması
x Ax Bu , x(0 ) x0 X ( s) ( s) x0 ( s) BU ( s) t
x(t ) e At x0 (t , ) Bu ( )d 0
Çıkışın Belirlenmesi
y Cx Du Y (s) CX ( s) DU (s) Y ( s) C[( s) x0 ( s) BU (s)] DU (s) Y ( s) C( s) x0 [( s) B D]U ( s) t
y (t ) Ce At x0 C (t , ) Bu ( )d Du(t ) 0
Özdeğerler, Sıfırlar ve Kutuplar
x Ax Bu y Cx Du, x Rn , y Rr ,
x(0) x0
(1)
u Rm
Tanım (1) ile verilen sistemin özdeğerleri A‟nın karakteristik çok terimlisinin kökleridir. karakteristik p( ) det(I A) ( 1 )( 2 )...( n ) çok terimli özdeğerler i , i 1,2,...,n reel, kompleks, katlı olabilirler.
nxn sabit matris
ek ( sI A) Ri X ( s) [ sI A] x0 x0 x0 det[sI A] i 1 ( s i ) n
1
n
x(t ) i eit , i 1
i ˆ Ri x0
nx1 sabit vektör
Tanım: (1) ile verilen sistemin kutupları
Y ( s) G( s) C ( sI A)1 B D U ( s) C[ek ( sI A)]B D[det(sI A)] [det(sI A)] W (s) ( s) ( s) ( s s1 )(s s2 )...(s s ) kökleridir. Sonuç: Kutuplar özdeğerlerin bir alt kümesidir
n
Tanım: (1) ile verilen sistemin sıfırları, u (t ) e st u0 ( u0 sabit nx1 vektör) girişine y (t ) 0 çıkışı veren s değerleridir.
( sI A) X ( s) BU ( s) 0 CX ( s ) DU ( s) Y ( s)
( sI A) nn Y (s) 0 Crn
Bir şey ihmal edilmiş ,ne?
Bnm X ( s) 0 Drm U ( s ) 0 ( n r )( n m )
( sI A) rank C Girişler çıkışlara eşit ise m=r
B min{( n r ), (n m)} D
( sI A) ( s) ˆ det C
B 0 D
Sistemin sıfır çok terimlisi Girişler çıkışlara eşit ise (s ) „in kökleri (1) sisteminin sıfırlarıdır
( s) det(sI A) det[C (sI A)1 B D] Karakteristik çok terimli
p(s)
(s) p(s) det[G(s)]
G (s )
Sistem Özellikleri: Yönetilebilirlik, Gözlenebilirlik ve Kararlılık Yönetilebilirlik: x(t0 ) ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman * içinde x durumuna götüren bir u (t ) girişi bulunabilinir mi? Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında y (t ) çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu x(t0 ) belirlenebilir mi? Kararlılık: Denge durumunda bulunana bir sistem, bu durumda uyarıldığında, sistem tekrar denge durumuna mı döner, yoksa denge durumundan uzaklaşır mı? Lineer, zamanla değişmeyen sistemlerde, durum denklemlerini belirleyen (A,B,C,D) matrislerinden faydalanarak bu sorular yanıtlanır. Önbilgi Cayley-Hamilton Teoremi: nxn kare A matrisine ilişkin karakteristik çok terimli n n 1 n2
det(sI A) p1
p2
olsun. A matrisi karakteristik çok terimlisini sağlar.
... pn1 pn
An p1 An1 p2 An2 ... pn1 A pn I 0
Önbilgiye devam
Zamana bağlı fonksiyonların lineer bağımsızlığı
Tanım: fi (t ), i 1,2,..., n 1xm boyutlu, elemanları zamanın fonksiyonu olan bir vektör olmak üzere fi (t ), i 1,2,..., n fonksiyonlar kümesi [t0 , t1 ] aralığında lineer olarak bağımsızdır. n
i fi (t ) 0, i 0 i 1,2,..., n t [t0 , t1 ] i 1
f1 (t ) f (t ) n 1n 2 0 1m f ( t ) n nm Dikkat!!
Biraz daha açık yazarsak
1
2
...
1 f1(t ) 2 f 2 (t ) ... n f n (t ) 0 1[ f11 (t ) f12 (t ) ... f1m (t )] 2[ f 21 (t ) ... n [ f n1 (t ) f n 2 (t ) ... f nm (t )] 0
f 22 (t )
...
f 2 m (t )]
Teorem: 1xm boyutlu fi (t ), i 1,2,..., n fonksiyonları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır G (t0 , t1 ) ˆ nxn matris
t1
T f1 tersinir F ( t ) F ( t ) dt f t0 2 F (t ) ˆ fn
Tanıt: fi (t ) „lerin [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız iken G (t0 , t1 ) „in tersinir olduğu gösterilecek. Varsayım: fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız olsun, ama G (t0 , t1 ) tekil olsun.
G(t0 , t1 ) tekil 1n 0, G(t0 , t1 ) 0 G(t0 , t1 ) T 0 t1
t1
t0
t0
G (t0 , t1 ) T F (t ) F T (t ) T dt [ F (t )][F (t )]T dt 0
F (t ) 0 fi (t ) „ler lineer bağımsız değil
negatif olmayan skaler bir fonksiyon
Varsayıma aykırı G(t0 , t1 ) tersinir
Hatırlatma
Teorem: 1xm boyutlu fi (t ), i 1,2,..., n fonksiyonları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır G (t0 , t1 ) ˆ nxn matris
t1
T f1 tersinir F ( t ) F ( t ) dt f t0 2 F (t ) ˆ fn
Tanıt: fi (t ) „lerin [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız iken G (t0 , t1 ) „in tersinir olduğu gösterilecek. Varsayım: fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız olsun, ama G (t0 , t1 ) tekil olsun.
G(t0 , t1 ) tekil 1n 0, G(t0 , t1 ) 0 G(t0 , t1 ) T 0 t1
t1
t0
t0
G (t0 , t1 ) T F (t ) F T (t ) T dt [ F (t )][F (t )]T dt 0
F (t ) 0 fi (t ) „ler lineer bağımsız değil
negatif olmayan skaler bir fonksiyon
Varsayıma aykırı G(t0 , t1 ) tersinir
G(t0 , t1 ) tersinir (det G(t0 , t1 ) 0) , fi (t ) ‟lerin [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız olduğu gösterilecek. Varsayım: G (t0 , t1 )tersinir ancak fi (t )„ler [t0 , t1 ]aralığında lineer bağımlı t1
1n 0, F (t ) 0 F (t ) F T (t )dt G(t , t ) 0 0 1 t0
G(t0 , t1) 0 G(t0 , t1) tersinir değil, varsayıma aykırı fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız Lemma: 1xm boyutlu fi (t ), i 1,2,..., n fonksiyonlarının [t0 , t1 ] aralığında sürekli türevleri olsun
rank[ F (ta ) F (ta ) ... F ( n1) (ta )] n sağlayan bir ta [t0 , t1 ] var ise fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır
Teorem: 1xm boyutlu fi (t ), i 1,2,..., n fonksiyonlarının [t0 , t1 ] aralığında (n-1). mertebeye kadar sürekli türevleri olsun,
rank[ F (ta ) F (ta ) ... F ( n1) (ta )] n sağlayan bir ta [t0 , t1 ] var ise fi (t ) „ler[t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır. (t ) ... F ( n1) (t )] n Tanıt: varsayım rank[ F (ta ) F a a ancak fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımlılar. 1n 0, F (t ) 0, t [t0 , t1 ]
F ( j ) (t ) 0, j 1,2,..., n 1 t [t0 , t1] [ F (ta )
F (ta )
...
F ( n1) (ta )], ta [t0 , t1 ]
satırları lineer bağımsız değil
rank[ F (ta )
F (ta )
...
F ( n1) (ta )] n varsayımı ile çelişiyor
fi (t )„ler[t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız olmalı.
Yönetilebilirlik: x(t0 ) ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman * içinde x durumuna götüren bir u (t ) girişi bulunabilinir mi? Tanım: Yönetilebilirlik: 1) Durum denklemleri ile verilen dinamik sistem [t0 , t1 ] aralığında yönetilebilir. 2) t0 anındaki herhangi bir x0 başlangıç durumunu t1 anındaki bir x1 durumuna götüren [t0 , t1 ] aralığında tanımlı bir giriş vardır. Lineer sistemler için :
3) t0 anındaki 0 başlangıç durumunu t1 anındaki herhangi bir x1 durumuna götüren [t0 , t1 ] aralığında tanımlı bir giriş vardır. 4) t0 anındaki herhangi bir x0 başlangıç durumunu t1 anındaki 0 [t0 , t1 ] aralığında tanımlı bir giriş vardır. durumuna götüren t 1
x1 e A(t1 t0 ) x0 e A(t1 ) Bu ( )d t0 t1
x1 e A(t1 t0 ) x0 e A(t1 ) Bu ( )d
xˆ1
t0
t1
xˆ1 e A(t1 ) Bu ( )d t0
0 başlangıç durumunu xˆ1
durumuna götüren giriş
t1
x1 e A(t1 t0 ) x0 e A(t1 ) Bu ( )d t0
t1
0 e A(t1 t0 ) x0 x1 e A(t1 ) Bu ( )d t0
t1
0 e A(t1 t0 ) [ x0 e A(t1 t0 ) x1 ] e A(t1 ) Bu ( )d t0
ˆ0 x t1
0 e A(t1 t0 ) xˆ0 e A(t1 ) Bu ( )d t0
xˆ0 başlangıç durumunu 0 durumuna götüren giriş
(t ) Ax (t ) Bu (t ) sistemi t0 Teorem: Lineer zamanla değişmeyen x anında yönetilebilir F (t ) ˆ e A(t0 t ) B matrisinin satırları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır. Tanıt: F (t )„ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin yönetilebilir olduğu gösterilecek t t1 anındaki çözüm t1
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 ) Bu ( )d t0
t1
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 t0 ) e A(t0 ) Bu ( )d F (t ) ˆe
A(t0 t )
t0
B matrisinin satırlarının [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız
olduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1‟den yararlanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz t1
G (t0 , t1 ) e A(t0 ) BB T (e A(t0 ) )T d tersinirdir. t0
x(t0 ) başlangıç durumunu x(t1 ) 0 durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade
ile belirlenebilir,
u (t ) BT (e A(t0 t ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 ) t1
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 t0 ) e A(t0 ) BBT (e A(t0 ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )d t0
t1
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 t0 ) e A(t0 ) BBT (e A(t0 ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )d t0 t1
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 t0 ) e A(t0 ) BBT (e A(t0 ) )T dG 1 (t0 , t1 ) x(t0 ) t0
G(t0 , t1 ) x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 t0 ) x(t0 )
x(t1 ) 0
F (t ) „ nin satırları lineer bağımsız ise x(t0 ) başlangıç durumunu x(t1 ) 0 durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi.
Hatırlatma
Lemma: 1xm boyutlu fi (t ), i 1,2,..., n fonksiyonlarının [t0 , t1 ] aralığında sürekli türevleri olsun
rank[ F (ta ) F (ta ) ... F ( n1) (ta )] n sağlayan bir ta [t0 , t1 ] var ise fi (t ) „ler [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır
(t ) Ax (t ) Bu (t ) sistemi t0 Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen x anında yönetilebilir F (t ) ˆ e A(t0 t ) B matrisinin satırları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır. Tanıt: F (t )„ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin yönetilebilir olduğu gösterilecek t t1 anındaki çözüm t1
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 ) Bu ( )d t0
t1
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 t0 ) e A(t0 ) Bu ( )d F (t ) ˆe
A(t0 t )
t0
B matrisinin satırlarının [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız
olduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1‟den yararlanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz t1
G (t0 , t1 ) e A(t0 ) BB T (e A(t0 ) )T d tersinirdir. t0
x(t0 ) başlangıç durumunu x(t1 ) 0 durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade
ile belirlenebilir,
u (t ) BT (e A(t0 t ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 ) t1
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 t0 ) e A(t0 ) BBT (e A(t0 ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )d t0
t1
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 t0 ) e A(t0 ) BBT (e A(t0 ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )d t0 t1
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 t0 ) e A(t0 ) BBT (e A(t0 ) )T dG 1 (t0 , t1 ) x(t0 ) t0
G(t0 , t1 ) x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 ) e A(t1 t0 ) x(t0 )
x(t1 ) 0
F (t ) „ nin satırları lineer bağımsız ise x(t0 ) başlangıç durumunu x(t1 ) 0 durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi.
Varsayım: sistem yönetilebilir ancak F (t )„nin satırları lineer bağımlı 1n 0, F (t ) 0 t1 T x(t0 ) alırsak 0 e A(t1 t0 ) T e A(t1 t0 ) e A(t0 ) Bu ( )d
t0
t1
0 e A(t1 t0 ) T e A(t1 t0 ) e A(t0 ) Bu ( )d t0 t1
0 T e A(t0 ) Bu ( )d t0 t1
0 T e A(t0 ) Bu ( )d t0 t1
0 e T
t0
A( t0 )
Bu ( )d
F (t ) 0
0 T 0 varsayım ile çelişiyor
F (t ) „ nin satırları lineer bağımsız
(t ) Ax (t ) Bu (t ) sistemi Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen x anında yönetilebilir rankC ˆ rank[ B AB ... A(n1) B] n yönetilebilirlik matrisi
(t ) Ax (t ) Bu (t ) yönetilebilir e A(t0 t ) B„nin Tanıt: Teorem 2 x satırları lineer bağımsız Lemma rank[e Ata B
ta 0 rank[ B
e Ata AB
AB
...
...
(1)n1 e Ata An1B...] n
(1)n1 An1B...] n
Cayley-Hamilton Teoreminden An , An1,.... I , A,... An1 „nın lineer kombinasyonu olarak yazılabilir ve (-) işareti rankı değiştirmez
rank[ B
AB
...
An1B...] n
Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında y (t ) çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu x(t0 ) belirlenebilir mi?
Tanım: Gözlenebilirlik
[t0 , t1 ] aralığındaki giriş-çıkış çiftinden x(t0 ) tek olarak belirlenebiliyorsa sistem [t0 , t1 ] aralığında gözlenebilirdir. t
y (t ) Ce A(t t0 ) x(t0 ) C e A(t1 ) Bu ( )d Du(t) t0 t
yˆ (t ) ˆ y (t ) C e A(t1 ) Bu ( )d Du(t) t0
yˆ (t ) Ce A(t t0 ) x(t0 )
Teorem 4: Lineer zamanla değişmeyen x (t ) Ax (t ) Bu (t )
y (t ) Cx(t ) Du(t ) ~ F (t ) ˆ Ce A(t t0 ) matrisinin
sistemi gözlenebilir sütunları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız.
Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik Hatırlatma x (t ) Ax(t ) Bu (t ) y (t ) Cx(t ) Du (t )
Yönetilebilirlik
F (t ) ˆ e A(t0 t ) B matrisinin satırları [t0 , t1] aralığında lineer bağımsızdır. rankC ˆ rank[ B
x(t0 ) başlangıç durumunu
Gözlenebilirlik
AB
...
An1B] n
x(t1 ) 0 durumuna götüren giriş
u (t ) BT (e A(t0 t ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )
~ F (t ) ˆ Ce A(t0 t ) matrisinin sütunları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır. C CA n rankO ˆ rank n 1 1 CA t t1 T A(t0 ) A(t0 ) T y (t ) C e A(t1 ) Bu ( )d Du(t) e C C e d t t0 0
t1
T
x(t0 ) M 1 (t0 , t1 ) e A(t t0 ) C T yˆ (t )dt t0
Frekans Tanım Bölgesinde Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik Varsayım: A‟nın özdeğerleri lineer katsız 1, 2 ,...,n
D0 0 0 ... 0 1 b1 0 b 0 ... 0 2 2 x 0 0 3 ... 0 x u ... 0 bn 0 n y c1 c2 ... cn x
xi ‟ler birbirinden ....... bi 0 ise xi .................................dolayısıyla sistem........... ci 0 ise xi .................................dolayısıyla sistem...........
(*)
(*) sistemine ilişkin transfer fonksiyonu:
G ( s ) C ( sI A) 1 B
c1
c2
n
1 s 1 0 ... cn 0
0
0
...
1 s 2
0
...
0
1 s 3
... ... 0
b1 0 b 2 0 0 b 1 n s n 0
ci bi G(s) s i i 1 b j 0 ve/veya c j 0 ise sistem yönetilemez ve/veya gözlenemez n ci bi G(s) s i
i 1 i j
Lemma: ( A, B, C ) sisteminin özdeğerleri katsız ise, sistemin yönetilebilir olması için gerek ve yeter koşul G( s) C (sI A) 1 Btransfer fonksiyonunda sıfır kutup sadeleşmesi olmamasıdır. Gözlenebilirliği ve yönetilebilirliği ayrı ayrı incelemek istiyorsak: Gc ( s) ( sI A) 1 B Go ( s) C ( sI A) 1
F (t ) ˆ e A(t0 t ) B ~ Gözlenebilirlik için F (t ) ˆ Ce A(t0 t )
Yönetilebilirlik için
t-tanım bölgesinde yönetebilirlik ve gözlenebilirlik için baktığımız matrisler Bir sistemin yönetilebilir ve gözlenebilir altsistemlerinin ayrıştırılması