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4bel Nohpal 0riones abelnohpal@Photmail.com abelnohpal@Photmail.com
5ibraciones De TECNO*OQCO ;istemasDEDe 6 rado De *ibertad IN;TITUTO 4(IG4CO 4(IG4CO (or E+citaci$n 4rm$nica
Resumen — En este documento se ilustran dos métodos para reduc reducir ir la ecuaci ecuación ón que gobier gobierna na el movim movimien iento to o ecuaci ecuación ón recto rectora ra para para un sistem sistema a de un solo solo grado grado de liber libertad tad.. Los principios de la cantidad de movimiento que constituyen las bases de uno de los métodos, que comprende los métodos de equilibrio de fuerzas y balance de momentos. El segundo método se basa en las ecuaciones de Lagrange, de las cuales se habla por primera vez en este reporte. Las expresiones de la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento se definen a partir de los parmetros que aparecen en la ecuación rectora. Índice de términos — !étodos de balanceo" !étodos para bala balanc nceo eo de mome moment ntos os"" #rec #recue uenc ncia ia natu natura ral" l" #act #actor or de amortiguamiento" Linealizaci$n" %iomecnica& 'ibraciones 'ibraciones
I. 2FTODO; (4R4 (4R4 04*4NCEO DE 9UERG4; H 2O2ENTO; En esta secci$n se ilustra el uso del balance de "uer#as ! momentos para derivar ecuaciones rectoras del movimiento de sistemas con un solo &rado de libertad ! se muestra c$mo se puede determinar la posici$n de e'uilibrio est)tico de un sistema vibratorio asimismo, se e"ecta la lineali#aci$n de un sistema no lineal para oscilaciones de amplitud :pe'ue/a< con respecto a una posici$n de e'uilibrio del sistema. ..6 2-todos de balanceo o e'uilibrio de "uer#as Consiste el principio de la cantidad de movimiento lineal, el cual es la se&unda le! de Ne3ton del movimiento. El planteamiento del e'uilibrio din)mico dado por la ecuaci$n 6.66 se "ormula de nuevo de la si&uiente maneraJ F − p´ =0 ( 3.1 a) Donde 9 es el vector de "uer#a e+terna neta 'ue acta en el sistema, p es la cantidad de movimiento lineal absoluto del sistema considerado el punto sobre p indica la derivada con respecto al tiempo. En el caso de un sistema de masa constante m cu!o centro de masa se despla#a despla#a lineal p ´ =ma ! la ecuaci$n .6K ori&inan F −ma =0 El t-rmino L ma se denomina como "uer#a de inercia. *a interpretaci$n de la ecuaci$n en .6b es la suma de las "uer#as e+ternas ! de inercia 'ue actan sobre el sistema es cero, es decir, el sistema est) en e'uilibrio bao la acci$n de "uer#as e+ternas ! de unercia 6 5ibr 5ibrac acio ione ness vert vertic ical ales es de un sist sistem emaa reso resort rteB eBma masa saBB amorti&uador
I I NTRODUCCIÓN as vibraciones se presentan en muchos aspectos de nuestra vida. En el cuerpo humano, por eemplo, ha! oscilaciones de baa "recuencia en los pulmones ! en el cora cora#$ #$n, n, osci oscila laci cion ones es de alta alta "rec "recue uenc ncia ia en el o%do o%do,, osci oscila laci cione oness en la lari larin& n&ee cuan cuando do un unaa pers person onaa habl hablaa ! osci oscila laci cion ones es 'ue 'ue son son indu induci cida dass po porr el ritm ritmoo de los los movim movimien ientos tos corpor corporale aless al camina caminar, r, saltar saltar o bailar bailar.. (or eemplo, cual'uier dese'uilibrio en las m)'uinas 'ue poseen partes &iratorias, como ventiladores, separadores centr%"u&os, lavadoras lavadoras,, tornos, tornos, bombas bombas centr%"u& centr%"u&as, as, prensas prensas rotatorio rotatorioss ! turbinas, turbinas, ocasionan ocasionan vibracion vibraciones. es. (ara estas estas m)'uinas m)'uinas,, las vibraciones son indeseables. *os edi"icios ! las estructuras e+pe e+peri rime ment ntan an vibr vibrac acio ione ness debi debido do a la op oper erac aci$ i$nn de ma'uinaria el paso de los veh%culos, aviones o trenes o bien, debido, debido a "en$menos naturales como sismos ! vientos. *as vibraciones son tambi-n indeseables cuando se e"ectan En la "i&ura .6 se presenta un modelo de resorteBmasaB mediciones con instrumentos de precisi$n, por eemplo, un amor amorti ti&u &uad ador or.. Un reso resort rtee line lineal al con con ri&i ri&ide de## 1 ! un micros microscop copio io electr electr$ni $nico, co, o cuando cuando se "abric "abrican an sistem sistemas as amorti&uador viscoso con coe"iciente de amorti&uamiento c microelectromecanicos. En el dise/o de veh%culos, el ruido est)n conectados en paralelo con el elemento de inercia m. 'ue ocasionan los paneles vibratorios se tiene 'ue reducir. *as 4dem)s de los tres elementos, se considera una "uer#a e+terna. vibraciones pueden ser causantes de sonidos desa&radables, ;e desea obtener una ecuaci$n 'ue describa los movimientos llamados ruidos, pero tambi-n son las 'ue &eneran la msica del sistema en direcci$n vertical. Con obeto de derivar tal 'ue escuchamos. ecuaci$n para movimientos de translaci$n se aplica el m-todo de e'uilibrio de "uer#as. 4ntes de obtener la ecuaci$n rectora de movimiento para el sistema de la "i&ura .6, se eli&e un conunto de vectores unitarios orto&onales i ! "ios en el 0ala1umar 0ala1umar 0alachandr 0alachandran, an, Universit Universit!! o" 2ar!land 2ar!land Ed3ard Ed3ard 0. 2a&rab 2a&rab marco de re"erencia inercial ! un sistema coordenado con ees Universit Universit!! o" 2ar!land 2ar!land 4uthors 4uthors o" the boo1 5ibrati 5ibrations. ons. 6Este enunciado M ! H ! un ori&en O 'ue est) "io. Como la masa m se traslada tambi-n se conoce como (rincipio de D74lembert. De acuerdo con la "orma &enera &enerali li#ad #adaa de este este princi principio pio,, cuando cuando un conun conunto to de los llamad llamados os s$lo a lo lar&o de la direcci$n , el e'uilibrio de "uer#as se despla#amientos virtuales se impone en el sistema de inter-s, el trabao neto considera s$lo en esta direcci$n. 'ue reali#an las "uer#as e+ternas ! de inercia es cero. 68 ;ea * la lon&itud sin estiramiento del resorte 'ue se ilustra 4.4. 4.4. 9erri, 9erri, :9riction :9riction Dampin& and Isolation Isolation ;!stems<, ;!stems<, 4;2E =. en la "i&ura .6. Entonces, la masa se locali#a en la posici$n 5ibrations 4coustics, ;pecial >8 th 4nniversar! Desi&n Issue, vol. 6??, pp. 6@AB8A unio de 6@@>. ( L +δ st + x ) j a partir de la super"icie "ia, donde el
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t-rmino δ st , la ecuaci$n de movimiento se desarrollar) desde el punto de vista de la variable de despla#amiento por medio de r = rj =( L + δ st + x ) j ( 3.2 ) *as direcciones de las distintas "uer#as, unto con sus ma&nitudes, se muestran en la "i&ura .6. Observe 'ue la ´ tambi-n se muestra unto con el "uer#a de inercia −m xj dia&rama de cuerpo libre del elemento de inercia. Como la "uer#a del resorte es una "uer#a restauradora ! la "uer#a del amorti&uador una "uer#a resistiva, se oponen al movimiento, como se muestra en la "i&ura .6. Con base en la ecuaci$n .6b se e"ecta un balance de "uer#as en la direcci$n ! obtenemos los resultados si&uientesJ 2 dr d r f ( x ) j + mgj −( kx + k δ st ) j−c j − m 2 j =0 ( 3.3 dt dt Despu-s de aplicar la ecuaci$n ., observar 'ue * ! δ st son constantes ! reacomodar los t-rminos, la ecuaci$n . se reduce a la si&uiente ecuaci$n di"erencial escalar 2 d x dx m 2 + c + k ( x + δ st )= f ( t ) +mg ( 3.4 ) dt dt II. ECU4CIONE; RECTOR4; (4R4 DI9ERENTE; TI(O; DE 42ORTIU42IENTO
*as ecuaciones rectoras del movimiento para sistemas con distintos tipos de amorti&uamiento se obtienen al reempla#ar el t-rmino correspondiente a la "uer#a por causa del amorti&uamiento viscoso por la "uer#a ocasionada por el amorti&uamiento de "luido, estructural o por "ricci$n en seco. 4l&unas soluciones para sistemas con "uer#as impuestas peri$dicamente se proporcionan en la Disipaci$n de la ener&%a ! amorti&uamiento e'uivalente, donde se obtienen los coe"icientes e'uivalentes del amorti&uamiento viscoso para diversos modelos de amorti&uamiento. 4morti&uamiento de Coulomb o por "ricci$n en seco Este tipo de amorti&uamiento se debe a la "uer#a 'ue ocasiona la "icci$n entre dos super"icies s$lidas. *a "uer#a 'ue acta en el sistema se tiene 'ue oponer al movimiento por tanto, el si&no de la "uer#a debe ser de sentido contrario direcci$n a la velocidad, tal ! como se ilustra en la "i&ura .. ;i el coe"iciente cin-tico es N, entonces,
F ( x´ )= μNsgn ( x´ ) ( 2.51 ) Donde s&n es la "unci$n si&no, la cual toma el valor de 6 cuando los valores del ar&umento son positivos
´ caso ) , ( x en este B6 cuando los valores del ar&umento son ne&ativos ! de 8 cuando el ar&umento es cero. ;i la "uer#a normal se debe al peso del sistema, entonces N = mg ! tenemos 'ue F ( x´ )= μmg sgnx ( 2.52 ) *a ener&%a disipada en este caso se obtiene con ´ (2.53 ) Ed = Fdx = F x ´ dt = μmg sgn ( x´ ) xdt *a "ricci$n seca puede dar como resultado perdida de e"iciencia en los motores de combusti$n interna, des&aste en las partes en contacto ! p-rdida de e+actitud de posici$n en los servomecanismos, pero se aplica para aumentar el rendimiento contra sismos. 68
∫
∫
∫
(osici$n de e'uilibrio est)tico *a posici$n de e'uilibrio est)tico de un sistema es la posici$n 'ue corresponde al estado de reposo del sistema es decir, una posici$n con velocidad ! aceleraci$n cero. ;i se elimina el t-rmino de "uer#a dependiente del tiempo f ( t ) ! se hacen los t-rminos de velocidad ! aceleraci$n 'ue aparecen en la ecuaci$n . i&uales a cero, se encuentra 'ue la posici$n de e'uilibrio est)tico es la soluci$n de
k ( x + δ st )= mg (3.5 ) ;i ele&imos en la ecuaci$n .> mg δ st = ( 3.6 ) k Encontramos 'ue x =0 es la posici$n de e'uilibrio est)tico del sistema. *a ecuaci$n .A se interpreta como si&ue. Debido al peso de la masa m, el resorte se estira una cantidad δ st se denomina desplazamiento estático. ;in olvidar 'ue el resorte tiene una lon&itud sin estiramiento *, la posici$n de e'uilibrio est)tico medida a partir del ori&en O se e+presa por medio de x st = x st j=( L + δ st ) j
