Sistemas de 1 Grado de Libertad

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

TEMA 3 – SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

Sistemas de 1 Grado de Libertad 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

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3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES


- 3.2 -


3.1


Introducción

Se estudian aquí las vibraciones de sistemas con un grado de libertad, al tiempo que se introducen algunos conceptos importantes a los que se hará referencia posteriormente. Los sistemas con un grado de libertad (1 gdl) tienen una excepcional importancia en la Teoría de las Vibraciones porque: Son los sistemas más sencillos, lo que hace pedagógicamente necesario comenzar por su estudio. Muchos problemas prácticos pueden ser suficientemente aproximados por sistemas con 1 gdl (Fig. 6). Muchas de las propiedades de estos sistemas se presentan también en sistemas con más grados de libertad. Mediante la técnica del "análisis modal" los sistemas lineales con n gdl pueden resolverse superponiendo n sistemas con 1 gdl.

Figura 6.a – Farola modelizada como un sistema de 1 gdl

Figura 6.b – Suspensión de una motocicleta modelizada como un sistema de 1 gdl 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

- 3.3 -


3.2


Componentes del sistema discreto básico de 1 gdl

Se conoce como sistema discreto básico de un grado de libertad al sistema de parámetros concentrados que puede observarse en la Figura 7. La energía cinética del sistema se almacena en la masa indeformable m, la energía potencial elástica en el resorte sin masa de constante k, y la capacidad de disipación de energía en el amortiguador viscoso que se mueve con velocidad proporcional a la fuerza, con constante de proporcionalidad c.

Figura 7 – Sistema discreto básico de 1 gdl

El sistema queda totalmente definido mediante la coordenada x (Figura 7). Para que el sistema sea lineal los parámetros k, m, y c deben ser constantes y no depender de la variable x. Las fuerzas presentes sin la acción de una acción exterior son las de la Figura 8.

Figura 8 – Fuerzas actuantes

Si se aplica una fuerza f(t) sobre la masa m, en la dirección positiva de x, la ecuación del movimiento del sistema discreto básico, común a todos los sistemas lineales con 1 gdl, puede establecerse aplicando D’Alembert, introduciendo la fuerza de inercia, y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección x: mx(t ) + cx (t ) + kx = f (t )


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3.3


Vibraciones libres en sistemas de 1 gdl

Todos los sistemas lineales con 1gdl conducen a la ecuación diferencial ordinaria de orden 2 vista en el apartado anterior: mx(t ) + cx (t ) + kx(t ) = f (t ) Cuando se trata de un caso de vibraciones libres, en las que no existen acciones exteriores sobre el sistema, f(t) = 0, y sí unas condiciones iniciales distintas de la trivial nula, x 0 = x(t 0 ), x 0 = x (t 0 ) , se buscan soluciones en la forma: x(t) = Cest Derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial resulta: C(ms2 + cs + k) est = 0 La expresión x(t) = Cest representará una solución para todos aquellos valores de s que satisfagan la ecuación anterior. Estos valores son las raíces de la ecuación característica ms2 + cs + k = 0: s=−

c ± 2m

(c 2m) − k m 2

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS 2 Como k/m es una constante positiva, podemos hacer ω = k m y en la ecuación característica resultan para s los valores:

s = ± − ω2 = ± ωi

En tal caso, la solución general de la ecuación diferencial vendrá dada por la expresión: x(t) = C1eiωt + C2e-iωt donde C1 y C2 son constantes que pueden ser reales o complejas. Teniendo en cuenta la relación de Euler (e±iωt = cosωt ± isenωt), la solución general puede ponerse en la forma: x(t) = A·cosωt + B·senωt 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

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Y haciendo A=X·cosθ, B=X·senθ: x(t ) = X cos(ωt − θ)

Las constantes A, B, X y θ son siempre reales y serán determinadas con ayuda de las condiciones iniciales. Por ejemplo, para determinar A y B: x(0 ) = x 0 = A.1 + B.0

A = x0

x (0 ) = x 0 = − A.ω.0 + B.ω.1

B = x 0 ω

Luego la solución del problema será: x(t ) = x 0 cos ωt +

x 0 sen ωt ω

y determinando X y θ a partir de A y B, x(t ) = x 20 +

æ x 20 x 0 ö ç ω − cos t arctg ç ωx 0 ω2 è

La solución de las vibraciones libres no amortiguadas es (Figura 9) una función armónica de ω = k m , que frecuencia depende sólo de los parámetros físicos del problema k y m, pero no del tiempo ni de las condiciones iniciales.

Figura 9 – Vibraciones libres no amortiguadas: Respuesta armónica El sistema siempre vibrará en la misma frecuencia, que por esta razón se denomina FRECUENCIA PROPIA o NATURAL.

VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

( )

2 c ± c − k , las dos raíces pueden ser reales y 2m m 2m distintas, reales e iguales, o complejas conjugadas, según el signo del radicando. El caso límite es aquél en el que dicho radicando es cero. Entonces,

Volviendo a la expresión s = −

c = k m =ω 2m 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

c = 2mω

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A este valor del amortiguamiento ( c ) se le llama AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO. Se denomina AMORTIGUAMIENTO RELATIVO o RELACIÓN DE AMORTIGUAMIENTO ξ de un sistema al cociente entre su amortiguamiento c y el amortiguamiento crítico c : ξ=

c c = c 2mω

Utilizando la definición de ξ, resultará para los valores de s la expresión: s = −ξω ± ξ 2 ω2 − ω2 = −ξω ± ω ξ 2 − 1

Si ξ<1 ( c < c ) se dice que se está en un caso de AMORTIGUAMIENTO SUBCRÍTICO (el radicando es negativo y las raíces son complejas conjugadas) y si ξ>1 ( c > c ) en un caso de amortiguamiento supercrítico (raíces reales y distintas): Para amortiguamiento crítico (ξ ξ=1), resulta el caso en que s=-ω (raiz doble), con lo que la solución del problema tiene la forma: x(t) = (c1 + c2t)e-ωt solución que no tiene carácter oscilatorio (Fig. 10) y no presenta mayor interés para la dinámica de máquinas.

Figura 10 – Respuestas no oscilatorias

Para amortiguamiento supercrítico (ξ ξ2>1), se podrá hacer ω = ω ξ 2 − 1 , y la solución general es:

(

x(t ) = e − ξωt A cosh ω t + B senh ω t

)

que no es de tipo oscilatorio tampoco (Fig. 10) y, por lo tanto, tampoco interesa, pues se sabe que la mayor parte de los sistemas mecánicos oscilan al sacarlos de su posición de equilibrio. Para amortiguamiento subcrítico (ξ ξ2<1), puede escribirse s = −ξω ± iω 1 − ξ 2 y 2 haciendo ωD = ω 1 − ξ se obtiene para la solución general la expresión:

x(t ) = e − ξωt X cos(ωD t − θ )


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Es decir, la solución es (Figura 11) una función armónica de frecuencia ωD (frecuencia de vibración amortiguada), y con amplitud que tiende exponencialmente a cero. Las constantes X y θ se calculan considerando las condiciones iniciales: x(t ) =

Figura 11 – Amortiguamiento subcrítico. Respuesta armónica amortiguada 2

x 20

æ x + ξωx 0 ö −ξωt æ x + ξωx 0 ö ÷÷ e + çç 0 cosçç ωD t − arctg 0 ωD x 0 ωD è è


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3.4


Vibraciones forzadas en sistemas de 1 gdl

La cuestión de fondo que se plantea es cómo caracterizar o definir el comportamiento dinámico de un sistema mecánico. Si no se tiene este problema resuelto, no será posible comprobar los resultados teóricos obtenidos sobre un modelo matemático, con resultados experimentales obtenidos sobre el modelo real. Lo ideal sería comprobar un modelo con las solicitaciones reales a que va a estar sometido. Sin embargo, en la mayoría de los casos esto no es posible por lo variables y complejas que pueden llegar a ser. Las condiciones que las solicitaciones de prueba o de test deben reunir son las de ser universales (servir para el mayor número y tipo posible de sistemas), fáciles de realizar y de reproducir (en el laboratorio y sobre el papel) y representativas del comportamiento dinámico del sistema en la práctica. Estas características deseables conducen a los casos siguientes: Respuesta a una excitación armónica: Las fuerzas que varían armónicamente son fáciles de reproducir físicamente y de estudiar teóricamente. Además, estudiando la respuesta del sistema para toda una gama de frecuencias de excitación, se tiene caracterizado su comportamiento dinámico. Respuesta a una función impulso, a una función escalón y a una función rampa: Son las funciones más simples y relativamente fáciles de reproducir en un laboratorio o taller. También caracterizan el comportamiento dinámico del sistema totalmente. Respuesta a una excitación aleatoria: Incluyen a todas las anteriores. Las vibraciones forzadas están gobernadas por la ecuación diferencial: mx(t ) + cx (t ) + kx(t ) = f (t )

La solución de esta ecuación diferencial se obtendrá sumando a la solución general de la ecuación homogénea (problema ya resuelto en el apartado de vibraciones libres: x(t) = X e-ξωt cos(ωDt-θ)) una solución particular de la ecuación completa (Fig. 12). 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

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Figura 12 – Solución completa

EXCITACIÓN SÍSMICA En ocasiones, las vibraciones de un sistema mecánico no vienen generadas por la aplicación externa de unas cargas exteriores que sean función conocida del tiempo, sino por unos movimientos conocidos (al menos hasta cierto punto) del soporte o base sobre la que se encuentra el sistema. Los terremotos y la transmisión de vibraciones de una estructura a otra o a una máquina, son ejemplos significativos de este tipo de solicitaciones. En la Figura 13, se representa el sistema discreto básico de 1 gdl correspondiente a esta situación. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

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Sea x(t) el desplazamiento absoluto de la masa m, x (t ) el relativo de la masa respecto del soporte móvil y xi(t) el desplazamiento absoluto del soporte. Las variables dependientes x(t), x (t ) y xi(t) están relacionadas mediante la expresión:

Figura 13 – Excitación sísmica

x(t ) = x i (t ) + x(t )

Si se establece el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la masa m: mx(t ) + c[x (t ) − x i (t )] + k[x(t ) − x i (t )] = f (t )

Restando a ambos miembros mxi (t ) y teniendo en cuenta la ecuación diferencial que gobierna las vibraciones forzadas de sistemas de un grado de libertad: mx(t ) + cx (t ) + kx (t ) = f (t ) − mxi (t )

Ecuación análoga a la del sistema discreto básico, pero aplicada al movimiento relativo sistema-soporte. El resultado puede verse también como una aplicación del Teorema de la Dinámica que establece que la 2ª ecuación de Newton puede aplicarse al movimiento relativo, siempre que se introduzcan como fuerzas exteriores las fuerzas de inercia de arrastre (- mxi (t ) ) y de Coriolis (que no existen en este caso).

EXCITACIONES ARMÓNICAS En muchos casos, los esfuerzos que actúan sobre un sistema mecánico varían armónicamente (senoidal o cosenoidalmente), por ejemplo en el caso de un rotor desequilibrado. Pero además, cualquier función periódica (y aún no periódica) puede expresarse como serie (o integral) de funciones armónicas - ANÁLISIS DE FOURIER -. Supóngase que la fuerza excitadora que actua sobre el sistema tiene la forma: f (t ) = f0 e i ω t = f0 (cos ω t + i sen ω t )

Una fuerza compleja no tiene sentido físico, pero es un artificio matemático muy útil. Suponiendo un término independiente complejo en la ecuación diferencial, la solución será también compleja. Como dicha ecuación debe cumplirse tanto para la parte real como para la imaginaria, si la fuerza realmente presente varía sinusoidalmente, bastará quedarse con la parte imaginaria de la solución compleja, y con la parte real si la fuerza excitadora varía cosenoidalmente. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

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Siendo ω la frecuencia natural del sistema y ω la frecuencia de la fuerza excitadora, a la relación entre ambas frecuencias se va a llamar β: β=ω ω

La respuesta de un sistema de 1 gdl a una excitación armónica (problema de vibraciones forzadas con excitación armónica) resulta: x(t ) = Xe −ξωt cos(ωD t − θ) +

f0 1 e iωt k 1 − β2 + 2ξβ i

En concreto, la solución se obtendrá tomando el primer sumando de la ecuación y la parte imaginaria o la parte real del segundo, según la fuerza excitadora varíe sinusoidal o cosenoidalmente. Los dos sumandos tienen una importancia y un significado muy diferente: El primero representa una componente transitoria de la respuesta, que desaparece con el tiempo al tender su amplitud exponencialmente a cero. El segundo sumando representa, sin embargo, la respuesta estacionaria y es mucho más interesante, porque está presente mientras esté presente la excitación (Figuras 12 y 14).

Figura 14 –Transitorio y estacionario

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA En la solución general obtenida para el caso de vibraciones forzadas con excitación armónica, aparecen dos sumandos: el primero representa una componente transitoria de la respuesta que desaparece con el tiempo y el segundo la respuesta estacionaria presente mientras esté presente la excitación. Reteniendo este término exclusivamente: x(t ) =

f0 1 e iωt k 1 − β 2 + 2ξβ i

A partir de aquí, se define una función H(ω ) denominada función compleja de respuesta en frecuencia o FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: H(ω ) = 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

1k 1 − β + 2ξβ i 2

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Esta Función de Transferencia tiene la propiedad de que si sobre el sistema actúa una fuerza que responde a la expresión: f (t ) = f0 e i ω t

el sistema proporciona una respuesta: x(t ) = H(ω )f0 e i ω t

FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA Analizando la componente estacionaria de las vibraciones forzadas resultantes en un sistema de un grado de libertad sometido a la acción de una excitación de tipo armónico y expresándola de forma polar: x(t ) =

e − Φi

f0 f 1 e iωt = 0 2 k 1 − β + 2ξβ i k

(1− β ) + (2ξβ) 2 2

2

e i ω t = Xe i( ω t −Φ )

Expresión donde:

Φ = arctg

X=

f0 k

2ξβ : desfase presente entre la excitación y la respuesta del sistema. 1 − β2

(

)

1

(1− β ) + (2ξβ) 2 2

2

: amplitud de la vibración resultante en el sistema.

El primer factor (f0/k) de la expresión se llama desplazamiento estático, y es el desplazamiento que tendría el sistema si la carga fuera aplicada estáticamente (con frecuencia nula). Por otro lado, se llama FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA D a la relación existente entre el módulo de la respuesta dinámica (amplitud de la vibración resultante, X) y el desplazamiento estático: D=

1

(1 − β ) + (2ξβ) 2 2

2

Observando las expresiones del factor de amplificación dinámica y del módulo de la función de transferencia se deduce que ambos están relacionados a través de una constante (la rigidez k). La Figura 15 representa el factor de amplificación dinámica D en función de β = ω ω , para varios valores del amortiguamiento relativo ξ. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

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Para un valor del amortiguamiento relativo que puede considerarse normal de ξ=0.1, la figura muestra como para frecuencias de excitación próximas a la frecuencia natural (β≅1), la amplitud resultante del desplazamiento puede ser hasta 5 veces el que se obtendría aplicando estáticamente una fuerza de la misma amplitud. Sin embargo, para frecuencias de excitación que excedan en más de un 50% la frecuencia natural, el desplazamiento dinámico es mucho menor que el estático.

Figura 15 – Factor de Amplificación Dinámica

De ahí la importancia de hacer un diseño dinámico adecuado y escoger los parámetros k y m de modo que las posibles frecuencias de excitación estén lejos de la frecuencia natural del sistema. Cuando la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia natural (β β =1), se dice que se está en la CONDICIÓN DE RESONANCIA.

Figura 16 – Desfase de la respuesta

Por otro lado, la Figura 16 representa el desfase de la respuesta del sistema (la vibración) respecto a la excitación y permite apreciar como en la resonancia el desfase es siempre 90º, independientemente del valor del amortiguamiento relativo ξ. Los valores máximos del factor de amplificación dinámica D se obtienen derivando respecto a β e igualando a cero, obteniéndose que el máximo se produce para β = 1 − 2ξ 2 -ligeramente inferior a 1- y su valor es:

Dmáx =

1 2ξ 1 − ξ 2

Que para valores pequeños de ξ==puede aproximarse por Dmáx ≈1/2ξ ξ.


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EXCITACIONES IMPULSO, ESCALÓN O RAMPA Estas funciones (Figura 17) están relacionadas entre sí: la función escalón es la derivada de la función rampa y la función impulso es la derivada de la función escalón. Gracias a ello, para analizar la respuesta de un sistema a estos tres tipos de funciones bastará con calcular la respuesta a la función escalón. A partir de ahí, las respuestas a la funciones impulso y rampa se podrán obtener por derivación e integración, respectivamente.

Figura 17 – Funciones impulso, escalón y rampa

La función impulso δ(t-a) es una función que toma valor infinito en el punto t=a, y es cero en todos los demás puntos. Matemáticamente, se define como una función tal que: ∞ −∞

δ(t − a )f (t )dt = f (a )

Para determinar la respuesta de un sistema ante una entrada escalón, hay que integrar la ecuación diferencial mx(t ) + cx (t ) + kx(t ) = E 0 (t ) siendo E0(t) la función escalón. La solución particular de la ecuación completa es 1 x p (t ) = E 0 (t ) k

Y la solución general de la ecuación diferencial se obtiene sumando a esta solución particular la solución general de la ecuación homogénea (la correspondiente al problema, ya resuelto, de vibraciones libres): 1 x(t ) = Xe −ξωt cos(ωD t − θ ) + E 0 (t ) k

t≥0

Las condiciones iniciales - x(0) = 0, x (0) = 0 - permitirán determinar las constantes X y θ, de forma que la respuesta a la entrada escalón resulta (Figura 18): 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

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x(t ) = −


æ ξ ö 1 e −ξωt cosç ωD t − arctg + E 0 (t ) 2 ç k k 1 − ξ2 1 − ξ è 1

t≥0

Figura 18 – Respuesta en vibración de un sistema ante una entrada escalón Derivando la respuesta obtenida para el sistema ante una entrada de tipo escalón, se tendrá (Figura 19) la respuesta h(t) a la función impulso unidad:

Figura 19 – Respuesta ante una excitación impulso h(t ) =

e − ξωt sen ωD t mωD

E integrando la respuesta a una función rampa. Se puede comprobar (Figura 20) que la respuesta a una función rampa tiende, al tender t a infinito, a otra función rampa paralela: 1 é 2ξ 1 − ξ 2 ù 1 é 2ξ ù êt − ú= t− k ê ω 1 − ξ 2 ú k êë ω ë

donde 2ξ ω es el retraso de la respuesta respecto a la excitación. 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

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De las tres funciones -impulso, escalón y rampa- estudiadas la más sencilla de reproducir físicamente es la primera de ellas. También la función escalón se utiliza a veces en análisis experimental de vibraciones, y por lo general se simula por medio de una fuerza aplicada que se retira (se hace cero) súbitamente.

Figura 20 – Respuesta a una rampa

EXCITACIÓN DE TIPO GENERAL: INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN El método más sencillo para calcular la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una excitación de tipo general, conocido como Método de la Integral de Convolución, está basado en la respuesta a un impulso unitario h(t): h(t) = 0 t<0 − ξωt e t≥0 sen ωD t h(t ) = mωD Si el impulso no es de magnitud unitaria, para calcular la respuesta bastará multiplicar la función h(t) por la magnitud del impulso. Una fuerza excitadora de tipo general puede tener una forma como la de la Figura 21. El comportamiento dinámico del sistema en un instante t, puede verse como el resultado de un conjunto de impulsos elementales anteriores de magnitud F(τ)∆τ=(Fig. 22.a). Cada uno de estos impulsos influye en la respuesta en el instante t en función del tiempo (t-τ) transcurrido entre ambos. Cada impulso en τ influye en t en la forma: F(τ)∆τ ·h(t-τ) (Fig. 22.b)

Figura 21 – Fuerza excitadora La respuesta total será la suma de las respuestas a todos estos impulsos elementales anteriores x(t ) =


t −∞

h(t − τ )F(τ )dτ - 3.17 -



Integral que recibe el nombre de INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN. Como está extendida desde -T no hay que considerar condiciones iniciales.

Figura 22


Si la fuerza excitadora comenzase a actuar en el instante t=0 y las condiciones iniciales no fuesen nulas, habría que superponer el transitorio correspondiente según las expresiones deducidas al tratar el problema de vibraciones libres.

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Sistemas de 1 Grado de Libertad

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