Utatlán Matemática 2º Sem

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Matemática - 2º Básico - Grupo Utatlán - Segundo semestre - IGER

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Segundo semestre

© Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, iger. Es una obra producida por el Departamento de Redacción y Diseño, para el Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. 11 avenida 18-45, Ciudad Nueva, zona 2 Ciudad de Guatemala. PBX: 2412 6666 Fax: 2412 6704 Correo electrónico: [email protected] Página web: www.iger.edu.gt Edición 2014 Impreso en IGER talleres gráficos

Código: 1110804202 ISBN 9789929804692

Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.

Índice Índice................................................................................................................................................ I

Semana 18 Expresiones algebraicas............................................................................... 1 ¡Para comenzar! ¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa? ....................................... 2 El mundo de la matemática 1. Clasificación de expresiones algebraicas ..................................................................... 3

1.1 Monomio ........................................................................................................................... 3

1.2 Polinomio .......................................................................................................................... 4

1.3 Polinomios ordenados ................................................................................................. 5

a. Por orden alfabético ................................................................................................ 5

b. Orden descendente ................................................................................................. 5

c. Orden ascendente .................................................................................................... 5

2. Valor numérico de una expresión algebraica.............................................................. 6

2.1 Expresión algebraica con una sola variable ......................................................... 6

2.2 Expresión algebraica con dos variables ................................................................ 6

2.3 Expresión algebraica con tres variables ................................................................ 7

Resumen ......................................................................................................................................... 8 Autocontrol .................................................................................................................................. 9 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 12 Razonamiento lógico................................................................................................................ 13 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 14

Semana 19

Suma y resta de polinomios

................................................................. 15

¡Para comenzar! ¿Cómo se suman y restan números enteros? ................................. 16 El mundo de la matemática 1. Suma y resta de polinomios ............................................................................................. 17

1.1 Suma y resta de monomios ...................................................................................... 17

1.2 Suma y resta de un monomio con un polinomio ............................................ 19

1.3 Suma y resta de polinomios ..................................................................................... 21

Resumen ......................................................................................................................................... 23 Autocontrol................................................................................................................................... 24 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 26 Razonamiento lógico................................................................................................................ 27 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 28 Matemática − Índice

I

Semana 20

Multiplicación de polinomios I

........................................................... 29

¡Para comenzar! Ley de signos para el producto ............................................................ Producto de potencias de igual base .................................................

30 30

El mundo de la matemática 1. Multiplicación de polinomios ........................................................................................... 31

1.1 Producto de dos o más monomios ....................................................................... 31

1.2 Producto de un monomio por un polinomio .................................................... 34

Resumen ......................................................................................................................................... 36 Autocontrol................................................................................................................................... 37 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 40 Razonamiento lógico................................................................................................................ 41 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 42

Semana 21

Multiplicación de polinomios II

......................................................... 43

¡Para comenzar! Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la resta...............................................................................................................................

44

El mundo de la matemática 1. Multiplicación de polinomios ........................................................................................... 45

1.1 Multiplicación de un binomio por otro binomio .............................................. 45

1.2 Multiplicación de polinomios ................................................................................... 48


Semana 22

Productos notables I

........................................................................................ 57

¡Para comenzar! Joseph Louis Lagrange ............................................................................

58

El mundo de la matemática 1. Productos notables ............................................................................................................... 59

1.1 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 .................................................. 59

1.2 Cuadrado de la resta de un binomio (a - b)2 .................................................... 61

Resumen ......................................................................................................................................... 62 Autocontrol................................................................................................................................... 63 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 65 Razonamiento lógico................................................................................................................ 66

II

IGER − Utatlán

Semana 23

Productos notables II ...................................................................................... 67 ¡Para comenzar! Emmy Noether ..........................................................................................

68

El mundo de la matemática 1. Productos Notables............................................................................................................... 69

1.1 Producto de la suma por la diferencia .................................................................. 69

1.2 Producto de dos binomios con un término común y signos iguales ....... 71

a. (a + b)(a + c) ............................................................................................................. 71

b. (a - b)(a - c) ............................................................................................................. 72


Semana 24

División de polinomios

.................................................................................. 79

¡Para comenzar! Ley de signos de la división ................................................................... División de potencias de igual base....................................................

80 80

El mundo de la matemática 1. División de polinomios ....................................................................................................... 81

1.1 División de un monomio entre otro monomio ................................................. 81

1.2 División de polinomio entre monomio ................................................................ 83

1.3 División de un polinomio entre un binomio: La regla de Ruffini ............... 84


Semana 25

Repaso semanas 18-24

............................................................................. 93

El mundo de la matemática Expresiones algebraicas ............................................................................................................ 95 Suma y resta de polinomios..................................................................................................... 97 Multiplicación de polinomios I ............................................................................................... 100 Multiplicación de polinomios II .............................................................................................. 102 Productos notables I ................................................................................................................... 105 Productos notables II ................................................................................................................. 106 Matemática − Índice

III

División de polinomios............................................................................................................... 108 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 111 Orientaciones sobre la prueba parcial ............................................................................ 112

Semana 26

Pares ordenados y producto cartesiano

............................ 113

¡Para comenzar! Elija su menú .............................................................................................

114

El mundo de la matemática 1. Pares ordenados .................................................................................................................... 115 2. Producto cartesiano ............................................................................................................. 116

2.1 Formas de representar el producto cartesiano.................................................. 116

a. Forma enumerativa ................................................................................................. 116

b. Tabla de doble entrada .......................................................................................... 118 El plano cartesiano................................................................................................... 119

c. Representación del conjunto producto cartesiano en el plano cartesiano .................................................................................................................... 120

Resumen ......................................................................................................................................... 121 Autocontrol................................................................................................................................... 122 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 125 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 126

Semana 27

Relaciones y funciones

............................................................................... 127

¡Para comenzar! ¡Osadía hasta la cumbre! ......................................................................

128

El mundo de la matemática 1. Relaciones ................................................................................................................................ 129

1.1 Representación gráfica de una relación ............................................................... 129

2. Funciones ................................................................................................................................. 131

2.1 Representación gráfica de una función ................................................................ 132

Resumen ......................................................................................................................................... 134 Autocontrol................................................................................................................................... 135 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 138 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 139 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................. 140

IV

IGER − Utatlán

Semana 28

Funciones lineales

............................................................................................... 141

¡Para comenzar! Sistema de coordenadas cartesianas ........................................................

142

El mundo de la matemática 1. Función lineal .......................................................................................................................... 143

1.1 Función de proporcionalidad f (x) = ax ................................................................ 144

1.2 Función afín f (x) = ax + b.......................................................................................... 146

Practique en la red... ................................................................................................................ 150 Resumen ......................................................................................................................................... 150 Autocontrol................................................................................................................................... 151 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 153 Razonamiento lógico................................................................................................................ 154

Semana 29 Estadística I

.................................................................................................................... 155

¡Para comenzar! Historia de la Estadística.........................................................................

156

El mundo de la matemática 1. Estadística ................................................................................................................................. 157

1.1 Estadística descriptiva ................................................................................................. 157

1.2 Estadística inferencial .................................................................................................. 157

2. Términos estadísticos ........................................................................................................... 158 3. Organización de datos ........................................................................................................ 160

3.1 Organización de datos nominales .......................................................................... 160

3.2 Organización de datos ordinales ............................................................................ 161

3.2.1. Conteo y organización de datos ordinales ............................................ 161

Resumen ......................................................................................................................................... 163 Autocontrol .................................................................................................................................. 164 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 167 Razonamiento lógico................................................................................................................ 168

Semana 30 Estadística II

.................................................................................................................. 169

¡Para comenzar! Estadística en la computadora ............................................................

170

El mundo de la matemática 1. Gráficas estadísticas.............................................................................................................. 171

1.1 Tipos de gráficas estadísticas.................................................................................... 172

a. Diagrama de barras.................................................................................................. 172

b. Polígono de frecuencias......................................................................................... 174

c. Diagrama de sectores.............................................................................................. 176 Matemática − Índice

V


Semana 31

Medidas de tendencia central............................................................. 185 ¡Para comenzar! Y usted, ¿qué opina?.................................................................................

186

El mundo de la matemática 1. Medidas de tendencia central........................................................................................... 187

1.1 La media aritmética (X)................................................................................................ 187

1.2 La mediana (Me)............................................................................................................. 190

1.3 La moda (Mo).................................................................................................................. 194

a. La mediana para una cantidad par de datos ................................................ 192


Semana 32

Sistema de numeración maya

........................................................... 201

¡Para comenzar! Un recorrido por el mundo con los sistemas de numeración....

202

El mundo de la matemática 1. La numeración maya............................................................................................................. 203

1.1 Símbolos de la numeración maya........................................................................... 203

a. Números del 1 al 19 ................................................................................................ 203

b. Números mayores de 19........................................................................................ 205

1.2 Conversión del sistema decimal a numeración maya .................................... 205 1.3 Conversión de numeración maya a sistema decimal ...................................... 208

Resumen ......................................................................................................................................... 209 Autocontrol .................................................................................................................................. 210 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 213 Razonamiento lógico................................................................................................................ 214

VI

IGER − Utatlán

Semana 33

Suma y resta con números mayas

............................................ 215

¡Para comenzar! Calendario maya ......................................................................................

216

El mundo de la matemática 1. Suma con números mayas ................................................................................................ 217 2. Resta con números mayas.................................................................................................. 220 Resumen ......................................................................................................................................... 221 Autocontrol................................................................................................................................... 222 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 225 Razonamiento lógico................................................................................................................ 226

Semana 34

Repaso: semanas 26 a 33

..................................................................... 227

El mundo de la matemática Pares ordenados y producto cartesiano.............................................................................. 229 Relaciones y funciones................................................................................................................ 231 Funciones lineales ....................................................................................................................... 234 Estadística I ..................................................................................................................................... 236 Estadística II ................................................................................................................................... 239 Medidas de tendencia central ................................................................................................ 242 Sistema de numeración maya ................................................................................................. 244 Suma y resta con números mayas.......................................................................................... 247 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 249 Orientación sobre la prueba final...................................................................................... 250

Claves............................................................................................................................................. 251 Bibliografía............................................................................................................................... 277

Matemática − Índice

VII

18 Expresiones algebraicas ¿Qué encontrará esta semana? ¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa? Clasificación, grado, orden y valor numérico de expresiones algebraicas Valuar expresiones algebraicas Problemas de polinomios

Esta semana logrará:  Clasificar expresiones algebraicas según el número de términos.  Identificar el grado absoluto y relativo de un polinomio.  Escribir expresiones algebraicas en orden alfabético, descendente y ascendente.  Calcular el valor numérico de una expresión algebraica.  Practicar el cálculo mental. 

Matemática − Semana 18

1

¡Para comenzar! La Torre inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de la ciudad de Pisa, en Italia. Comenzó a inclinarse tan pronto inició su construcción. ¿Sabe qué altura tiene? La pregunta se puede responder a través de una expresión algebraica que los científicos han determinado para calcular la altura de cualquier torre. Solo hay que tomar el tiempo que tarda en caer un objeto desde la parte más alta hasta el suelo.

www.pisa-tourism.com

¿Conoce usted la torre inclinada de Pisa?

Si el objeto se deja caer libremente, la fórmula o expresión algebraica que nos permite calcular la altura es:

h=

gt2 2

h es la altura del edificio. g es el valor constante de la gravedad, 9.8 m/s2 (aceleración con que los objetos caen sobre la tierra). t es el tiempo que tarda en caer el objeto. Ahora ya podemos calcular la altura. Si un objeto tarda 3.37 segundos en caer desde el punto más alto de la torre de Pisa hasta el suelo, sustituimos los valores en la fórmula, operamos y obtenemos la respuesta. Así:

h=

gt2 2

h=

9.8 (3.37) 2 9.8 (11.36) = = 111.33 = 55.66 2 2 2

Respuesta: La torre inclinada de Pisa mide 55.66 metros de altura.

¡A trabajar! Conteste las preguntas. 1) ¿Cuál es el valor constante de la gravedad (g)? 2) ¿Cuál es el valor del tiempo (t) que tarda en caer el objeto? 3) ¿Qué variables se sustituyeron en la expresión matemática? 4) ¿Cuál es el valor de h después de operar?

2

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Clasificación de expresiones algebraicas Así como los polígonos se clasifican por el número de sus lados en triángulos, cuadrados, pentágonos, etc. las expresiones algebraicas se catalogan por el número de términos que las forman. Veamos.

1.1 Monomio Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término algebraico, en la cual, las potencias de las variables son números enteros positivos. Por ejemplo.

-4a3b2 Un monomio indica siempre el producto de dos o más factores, o lo que es lo mismo, todos los valores numéricos y literales se multiplican entre sí.

Un monomio se compone de las mismas partes que un término algebraico: • signo • coeficiente • variable • exponente

En el ejemplo, los factores son: -4, a3, b2. El coeficiente (-4) es el factor numérico y las variables (a3, b2) son los factores literales. Veamos algunos ejemplos de monomios.

2a, -5b, -2xy3, -x2y4z, 2 b2c3 5

7,

Ahora veremos algunos ejemplos de expresiones algebraicas que no son monomios.

2a + b, 2a + b + 1,

2

5w1/2 4y3 x

No son monomios porque el primero tiene dos términos algebraicos, el segundo tiene tres, el tercero tiene variable con exponente fraccionario y el último indica una división de dos monomios.

Ejercicio 1 Escriba sobre la línea si la expresión algebraica es monomio o no y explique por qué. Hay un ejemplo. 0) 2x + 1

no es monomio

1) 5x3y

3 2) 2a

c

3) -6d 2c

porque está formada por dos términos algebraicos


3

1.2 Polinomio Llamamos polinomio a la suma o la resta algebraica de dos o más monomios. Si un polinomio está formado por dos monomios recibe el nombre de binomio. Por ejemplo. 2c + d Si un polinomio está formado por tres monomios recibe el nombre de trinomio. Por ejemplo. 3y2 + 4z - x Si una expresión algebraica tiene cuatro o más monomios recibe el nombre de polinomio. Por ejemplo. x3 + x2 + x + 1

1.2.1 Grado de un polinomio Cuando hablamos del grado de un polinomio, nos referimos al valor máximo de los exponentes de los monomios que lo forman. Puede ser absoluto o relativo. El grado absoluto es la suma de todos los exponentes de las variables que forman un monomio. Por ejemplo.

4b2c3

El grado absoluto es 5 porque la suma de los exponentes es 2 + 3 = 5. El grado relativo es el mayor exponente al que está elevada una variable determinada. Un polinomio tendrá tantos grados relativos como variables tenga. Por ejemplo. 2x4y + 3x2y2 El grado relativo respecto a la variable x es 4 porque es su mayor exponente. El grado relativo respecto de y es 2 porque es su mayor exponente.

Ejercicio 2 Complete la tabla escribiendo si el polinomio se clasifica como binomio o trinomio. Luego escriba el grado relativo respecto a la variable indicada. Hay un ejemplo. polinomio

2x3y + 2x2y + y2 x3y + xy2 3x5y + 4x4y3 + x2 6x4y2 + 4x3y5

4

IGER − Utatlán

clasificación trinomio

grado de x 3

grado de y 2

1.3 Polinomios ordenados Un polinomio se puede escribir o expresar en orden alfabético o en orden ascendente y descendente según los exponentes.

a. Orden alfabético Ordenar alfabéticamente un polinomio es escribir las variables de los términos en la misma disposición de las letras en el alfabeto, como el polinomio del ejemplo. a + b + c

b. Orden descendente Ordenar un polinomio en forma descendente significa escribir de mayor a menor valor los exponentes de la variable. Por ejemplo. x3 + x2 + x + 1

Recuerde: Todo número elevado al exponente cero da como resultado uno. Ejemplo: x0 = 1

Atención: cuando un polinomio tiene dos o más variables, se escribe en orden descendente respecto de la primera letra y en orden ascendente respecto de la segunda. Por ejemplo. a4b + a3b2 + a2b3

c. Orden ascendente Ordenar un polinomio en forma ascendente significa escribir de menor a mayor valor, los exponentes de la variable. Por ejemplo. 1 + x + x2 + x3

Ejercicio 3 Observe con atención cada polinomio, luego escríbalos en orden alfabético y descendente. Hay un ejemplo.

e+a+b

a+b+e

a + a3 + a2 a2 + a3b c3 + c5 + c2 x2y3 + x + x4y2 -3r5 + s + r3s a3b2 + a5b + a Matemática − Semana 18

5

2. Valor numérico de una expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de dicha expresión por valores numéricos asignados a cada letra y desarrollar las operaciones indicadas. Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica, seguimos los pasos siguientes: • Sustituir cada variable por el valor asignado. • Operar respetando los signos de agrupación y la jerarquía de las operaciones, en el orden siguiente: 1. { [ ( ) ] } signos de agrupación 2. xn, x potencias y raíces 3.

•, ÷

multiplicación y división

4.

+, –

sumas y restas

• Obtener el valor numérico.

2.1 Expresión algebraica con una sola variable Recuerde En la semana 15 del grupo Quiriguá aprendimos a resolver operaciones combinadas y con signos de agrupación.

Si x = 2, calculemos el valor numérico de:

4x 3 + x 2 + 5

• Sustituimos la variable por su valor.

= 4 (2) 3 + (2) 2 + 5

• Operamos según la jerarquía de las operaciones.

= 4 (8) + 4 + 5 = 32 + 9

• Obtenemos el valor numérico. Escribimos la respuesta: Si x = 2

= 41

4x3 + x2 + 5 = 41

2.2 Expresión algebraica con dos variables Si a = 1 y b = 2, calculemos el valor numérico de: 2a + 3b • Sustituimos cada variable por su valor.

= 2 (1) + 3 (2)

• Operamos según la jerarquía de las operaciones. • Obtenemos el valor numérico. Escribimos la respuesta: Si a = 1 y b = 2

6

IGER − Utatlán

= 2+6 =8

2a + 3b = 8

2.3 Expresión algebraica con tres variables Si a = 3, b = -2, c = 2, calculemos el valor numérico de 3ab2 - c3 + ac • Sustituimos cada variable por su valor.

= 3(3)(-2)2 - ( 2) 3 + (3) (2)

• Operamos según la jerarquía de las operaciones.

= 3 (3) (4) - 8 + 6 = 36 - 2

• Obtenemos el valor numérico.

= 34 Escribimos la respuesta: Si a = 3, b = -2, c = 2

3ab2 - c3 + ac = 34

Ejercicio 4 Calcule el valor numérico de las expresiones algebraicas según los valores asignados. 1) Si x = 4, calcule el valor numérico de:

3x2 - 2x + 1

•

Sustituya la variable por su valor.

•

Opere según la jerarquía de las operaciones.

= 3 (..........) 2 - 2 (..........) + 1 = 3 (.............) - .......... + .......... = ............. - .............

•

Obtenga el valor numérico.

Escriba la respuesta: Si x = 4

= ............. 3x2 - 2x + 1 =

2) Si a = 1 y b = 2, calcule el valor numérico de: •

Sustituya cada variable por su valor.

•


•


Escriba la respuesta: Si a = 1 y b = 2

3a + 2b = 3 (..........) + 2 (..........) = .......... + .......... = ..........

3a + 2b =


7

3) Si c = 2 y d = 3, calcule el valor numérico de: •


•


•


2c3 + c2d - d = 2 (.........) 3 + (.........) 2 (.........) - ......... = 2 (.........) + (.........) (.........) - ......... = ............ + ............ - ......... = ............

Escriba la respuesta: Si

= 2 y d = 3 2c3 + c2d - d =

Resumen 1. Las expresiones algebraicas se clasifican según el número de términos. -3c3d4

1.1 Monomio es una expresión algebraica formada por un solo término. 1.2 Polinomio es la suma o la resta de dos o más monomios.

Binomio es un polinomio formado por dos monomios.

2a + b2

Trinomio es un polinomio formado por tres monomios.

3a3 + b2 + 1

Si una expresión algebraica está formada por cuatro o más terminos recibe el nombre de polinomio.

a+b+c+1

1.2.1 El grado de un polinomio es el mayor exponente de los monomios que lo forman. Puede ser absoluto o relativo. El grado absoluto es la suma de los exponentes de cada variable. El grado relativo es el mayor exponente al que está elevada una variable. 1.3 Un polinomio se puede escribir en orden alfabético (a, b, c... etc.), en orden ascendente (de menor a mayor grado del exponente) o descendente (de mayor a menor grado del exponente). 2. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir cada letra por un valor asignado y realizar las operaciones indicadas.

8

IGER − Utatlán

Autocontrol Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

A. Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Cuál es un ejemplo de monomio?

2x + w x2y3 1 + x2

2) ¿Cuántos términos algebraicos tiene un binomio?

uno dos tres

3) Si escribimos el trinomio 2x2 + 3x5 + x3 en orden descendente, ¿cuál sería el primer término?

3x5 2x2 x3

4) ¿Cuál es el grado relativo respecto de x del polinomio 3yx + x2 + 5y2x3?

1 2 3

5) Si escribimos el trinomio e + d + c en orden alfabético, ¿cuál sería el primer término?

c d e

B. Clasifique cada polinomio en binomio, trinomio o polinomio si tiene más de tres términos. Luego escriba el grado relativo respecto de cada variable. Hay un ejemplo. polinomio

-5x5 + 4x2y2 + 3y

clasificación

grado de x

grado de y

trinomio

5

2

2x2 - 5x x3 + 2x2 + 5xy y5 + y3 +

2

+2

x6y4 + x4y x5 + 2x3y3 + 4xy y6 - 5y4 + 2y2 + 1 x4y + 6x3y2 - 7x2y3 Matemática − Semana 18

9

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Escriba cada polinomio en orden alfabético y descendente. Hay un ejemplo.

y2 + y + 3

y2 + 3 + y x + 1 + x3 + x2 c+d+a+b x2y + xy2 + x3 ac3 + a2c2 + a3 b2c - b3c + b4 yz2 + y2z - y3z 2r3 + r + r2 xy2 - x2y3 + x4y

B. Siga los pasos para determinar el valor numérico de cada expresión algebraica, según los valores asignados. 1) Si a = 4 y b = 5, calcule el valor numérico de: •


•


•


Escriba la respuesta: Si a = 4 y b = 5

2a - b = 2 (..........) - .......... = .......... - .......... = ...........

2a - b =

2) Si a = -1 y b = 2, calcule el valor numérico de: •


•


•


3ab3 + b2 = 3 (..........) (..........) 3 + (..........) 2 = 3 (..........)(..........) + ............. = ............. + .......... = .............

Escriba la respuesta: Si a = -1 y b = 2

10

IGER − Utatlán

3ab3 + b2 =

C. Calcule el valor numérico de cada expresión algebraica tomando en cuenta los valores asignados a cada letra. Hay un ejemplo. Si a = 2, b = 1, c = 3, d = 4 0) -2a2b + d 1) 3a + b - c

=- 2 (2) 2 (1) + (4) =- 2 (4) (1) + 4 =- 8 + 4 =- 4

-2a2b + d = - 4

3) c3 + 2c2 - 3c + 4

4) 4bc - d2

2) 4a2 + 2a - 3

5) 2b + 3c - 2d

6) 2ab2 + c2 7) 3ab3 + c2 - 4d

8) 3a2b3 - c2

9) bc + 2c3 - 3d

11)

10) a3b + 2bc2 - d2

4bc + d 2a


11

Agilidad de cálculo mental Calcule el valor numérico de cada expresión algebraica tomando en cuenta los valores asignados. Escriba su respuesta sobre la línea. Hágalo lo más rápido que pueda. Fíjese en los ejemplos. Si d = -2 Si e = -5 A. Si b = 2 0) b + 2 =

4

9

6) d + 11 =

12) e + 18 = 13

1) b + 1 =

7) d + 14 =

13) e + 25 =

2) b + 5 =

8) d + 16 =

14) e + 24 =

3) b + 6 =

9) d + 12 =

15) e + 28 =

4) b + 9 =

10) d + 19 =

16) e + 33 =

5) b + 7 =

11) d + 23 =

17) e + 37 =

B. Si b = 4 Si c = 2

Si d = 3

0) 3b =

12 7) 2c =

14) 5d =

1) 2b =

8) 6c =

15) 3d =

2) 4b =

9) 9c =

16) 7d =

3) 5b =

10) 8c =

17) 2d =

4) 7b =

11) 5c =

18) 9d =

5) 9b =

12) 3c =

19) 4d =

6) 6b =

13) 7c =

20) 8d =

C. Si a = 2 Si b = 10 0) a3 =

12

8

Si c = 3

5) b1 =

10) c2 =

1) a2 =

6) b3 =

11) c1 =

2) a4 =

7) b0 =

12) c3 =

3) a1 =

8) b2 =

13) c0 =

4) a0 =

9) b4 =

14) c2 + 2 =

IGER − Utatlán

Razonamiento lógico Lea cuidadosamente cada problema y luego realice las actividades. Fíjese en el ejemplo. A. El triángulo de la figura siguiente está dividido a su vez en otros dos triángulos más pequeños (1 y 2). La medida de cada lado está representada por una variable.

a

b

h 1

2

c

d

1) Escriba un polinomio que represente el perímetro del triángulo mayor (suma de sus lados).

a + b + (c + d)

2) Escriba un binomio que represente el lado más largo del triángulo mayor. 3) Escriba un trinomio que represente el perímetro del triángulo 1. 4) Si b = 2.24, d = 2 y h = 1, ¿cuánto mide el perímetro del triángulo 2? B. Observe con atención la figura siguiente, luego realice las actividades en su cuaderno. x y y+z

2x

1 2

z

3x 1) Escriba un polinomio que represente el perímetro del rectángulo 1. Pista: aplique la fórmula de perímetro de un rectángulo. 2) Escriba un polinomio que represente el perímetro del rectángulo 2. 3) Escriba un polinomio que represente el perímetro de la figura completa. 4) Si x = 6, ¿cuántas unidades mide el lado horizontal más largo de la figura? 5) Si y = 1 y z = 2, ¿cuántas unidades mide el lado vertical más largo de la figura? 6) Si los valores de las letras son x = 5, y = 2, z = 3, ¿cuántas unidades mide el perímetro de la figura total? Matemática − Semana 18

13

Desarrolle nuevas habilidades ¡Expresemos en forma de polinomios!

a

Sabemos que una letra en álgebra representa cualquier número. Por lo tanto, la longitud de los lados y el área de unos azulejos se pueden representar por medio de variables. Por ejemplo. azulejo cuadrado

b

azulejo rectangular

Área = a2 a

Área = a : b b a

a

Utilizando la expresión de área en cada caso, representamos modelos de polinomios con diferentes azulejos. Por ejemplo. modelo

a2

a2

a:b a:b

expresión polinomial del área

a:b a:b

2a2 + 4a : b

Ahora le toca a usted escribir una expresión polinomial que represente el área de los azulejos. modelo

a2

expresión polinomial del área

a : b a : b b2 b2 b2 a : b a : b b2 b2 b2

Revise su aprendizaje

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14

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Clasifico expresiones algebraicas según el número de términos. Identifico el grado relativo de un polinomio. Escribo expresiones algebraicas en orden alfabético, descendente y ascendente. Calculo el valor numérico de una expresión algebraica. Practico el cálculo mental. IGER − Utatlán

en no logrado proceso logrado

19 Suma y resta de polinomios ¿Qué encontrará esta semana? Suma y resta de números enteros Suma y resta de monomios y polinomios Suma de enteros y términos semejantes Ejercicios de habilidad visual

Esta semana logrará:  Recordar cómo se suman y restan números enteros.  Identificar monomios semejantes.  Sumar y restar polinomios.  Practicar el cálculo mental de suma de enteros y términos semejantes.  Resolver ejercicios de habilidad visual. 


15

¡Para comenzar! ¿Cómo se suman y restan números enteros? Esta semana recordaremos cómo se suman y restan números enteros para operar polinomios de manera rápida y precisa. En los cursos anteriores aprendimos que el conjunto de los números enteros está formado por los números enteros positivos y los números enteros negativos. Son ejemplo de estos números: –10, –5, –1, 6, 100, 255 Suma de números enteros Las reglas para la suma se aplican a dos casos: números con igual signo y números con distinto signo. • Suma de números enteros con signos iguales Para sumar números enteros con signos iguales, se suman los valores absolutos y se conserva el signo, si el signo es positivo, no se escribe en el resultado. Ejemplos: a. 12 + 25 = 37 b. 65 + 96 = 161 c. (–3) + (–8) = –11 d. (–24) + (–26) = –50 • Suma de números enteros con signos diferentes Si los números enteros tienen diferente signo, se restan los valores absolutos y al resultado se le escribe el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplos: a. b. c. d.

10 + (–5) = 5 5 + (–51) = –46 –14 + 34 = 20 –110 + 50 = –60

¡A trabajar! Realice las operaciones con números enteros. Tiene un ejemplo. 0) 2 + (-6) = 1) -3 + (-4) =

16

IGER − Utatlán

-4

2) -10 + (-6) =

4) -85 + (-10) =

3) 10 + 25 =

5) 52 + (-18) =

El mundo de la matemática 1. Suma y resta de polinomios

Peras con peras y manzanas con manzanas

En un canasto tenemos cuatro peras y tres manzanas, y en otro, cinco peras y dos manzanas. ¿Cuántas frutas de cada clase tenemos en total? Aunque en el canasto las frutas están revueltas, para obtener el total de manzanas debemos sumar solamente las manzanas y aparte las peras. Lo mismo sucede en álgebra, un polinomio puede tener diferentes términos pero solo los términos semejantes se pueden sumar o restar. Recuerde que términos semejantes son las expresiones algebraicas que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia, aunque el coeficiente numérico sea diferente. Por ejemplo 7a2c es semejante a 3a2c.

1.1 Suma y resta de monomios Para sumar o restar monomios, se suman o restan los coeficientes numéricos respetando la ley de signos y se mantiene el coeficiente literal. Podemos efectuar las operaciones en sentido horizontal o vertical. Veamos un ejemplo. Operemos

2a + 3a

En sentido horizontal • Sumamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

2a + 3a = 5a

En sentido vertical • Escribimos un monomio debajo del otro. • Sumamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

2a + 3a 5a

¡Otro ejemplo! Operemos

-5yz - 12yz

En sentido horizontal • Por la ley de signos sumamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

-5yz - 12yz = -17yz

Números con el mismo signo se suman y se mantiene el signo.

En sentido vertical • Escribimos un monomio debajo del otro. • Sumamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

- 5yz - 12yz - 17yz Matemática − Semana 19

17

¡Un ejemplo más! Números con signos diferentes se restan y se escribe el signo del número mayor.

Operemos

-25x3y2 + 6x3y2

En sentido horizontal • Por la ley de signos restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

-25x3y2 + 6x3y2 = -19x3y2

En sentido vertical • Escribimos un monomio debajo del otro.

- 25x3 y2 + 6x3 y2 - 19x3 y2

• Restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

Ejercicio 1 A. Opere los monomios en sentido horizontal. 1) 3x + 15x =

4) -8a2b5c4 - 16a2b5c4 =

2) 6x6y8 - 12x6y8 =

5) -36a3b5 + 15a3b5 =

3) 10x2y2 - 5x2y2 =

6) -32x6y8 -18x6y8 =

B. Opere los monomios en sentido vertical.

2xy + 16xy = 1) •

Escriba un monomio debajo del otro.

•

Sume los coeficientes numéricos y copie la parte literal.

2xy +

2) -2x4y3 - 6x4y3 = •


-

•

Sume los coeficientes numéricos y copie la parte literal. (ponga atención al signo)

-

3) 5a3b2c - 9a3b2c =

18

•


•

Reste los coeficientes numéricos y copie la parte literal.

IGER − Utatlán

-

1.2 Suma y resta de un monomio con un polinomio Cuando sumamos o restamos un monomio con un polinomio, eliminamos los paréntesis del polinomio, para eso recuerde: • Un signo positivo delante de un paréntesis no altera los signos que están dentro. • Un signo negativo delante del paréntesis cambia el signo de todas las cantidades que están dentro. Operemos

2b + (3a + 3b - 4c)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

= 2b + 3a + 3b - 4c = 3a + (2b + 3b) - 4c = 3a + 5b - 4c

• Escribimos la respuesta: 2b + (3a + 3b - 4c) = 3a + 5b - 4c En sentido vertical • Eliminamos los paréntesis respetando la ley de signos y escribimos el monomio debajo del polinomio, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes.

3a + 3b - 4c + 2b 3a + 5b - 4c

• Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. ¡Otro ejemplo! Operemos

2x - (3xy + 6x - 6y)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

= 2x - 3xy - 6x + 6y = (2x - 6x) - 3xy + 6y =- 4x - 3xy + 6y

• Escribimos la respuesta: 2x - (3xy + 6x - 6y) = -4x - 3xy + 6y Matemática − Semana 19

19

Un ejemplo más Operemos No olvide que un signo negativo delante del paréntesis cambia el signo de todas las cantidades que están dentro.

18x - (3x2 y 2 + 4x - 6)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis operando el signo = 18x - 3x2 y2 - 4x + 6 menos que está delante del polinomio. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes.

=- 3x2 y2 + (18x - 4x) + 6

• Sumamos y obtenemos el resultado.

=- 3x2 y2 + 14x + 6

• Escribimos la respuesta: 18x - (3x2y2 + 4x - 6) = -3x2y2 + 14x + 6 En sentido vertical • Eliminamos los paréntesis respetando la ley de signos y escribimos el monomio debajo del polinomio, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes.

- 3x 2 y 2 - 4 x + 6 + 18x 2 2 - 3x y + 14x + 6

• Sumamos y obtenemos el resultado.

Ejercicio 2 A. Opere un monomio con un polinomio en sentido horizontal. 1)

9xy + (3xy - 10) •

Elimine los paréntesis.

•

Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

2)

= ........................... - .............. 5x - (4x2 - 2x + 5)

•


•

Agrupe términos semejantes.

•


B. Opere un monomio con un polinomio en sentido vertical. •

•

20

= ............... + ............... - ...............

Escriba el monomio debajo del polinomio sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

IGER − Utatlán

= 5x - ............... + ............... - ............... =- 4x2 + (............... + ...............) - ............... =- 4x2 + ............... - ............... 9x + (6x + 6xy + 10) = ...............

+ 9x

+ 6xy + ..............

1.3 Suma y resta de polinomios Para sumar y restar polinomios se aplican los pasos anteriores. Operemos

(2x3 + 3x2 + 6x + 1) + (5x2 - 3x + 5)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis.

= 2x3 + 3x2 + 6x + 1 + 5x2 - 3x + 5

• Ordenamos y agrupamos = 2x3 + (3x2 + 5x2) + (6x - 3x) + (1 + 5) términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

= 2x3 + 8x2 + 3x + 6

• Escribimos la respuesta:

(2x3 + 3x2 + 6x + 1) + (5x2 - 3x + 5) = 2x3 + 8x2 + 3x + 6

En sentido vertical • Escribimos un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado. Operemos

2x3 + 3x2 + 6x + 1 + 5x 2 - 3x + 5 2x3 + 8x2 + 3x + 6

(7y2 + 4y + 3) - (5y2 + 3y - 2)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis operando el signo menos que está antes del paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes.

= 7y2 + 4y + 3 - 5y2 - 3y + 2

= (7y2 - 5y2) + (4y - 3y) + (3 + 2)

• Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

= 2y2 + y + 5

• Escribimos la respuesta: (7y2 + 4y + 3) - (5y2 + 3y - 2) = 2y2 + y + 5 En sentido vertical • Escribimos un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. • Sumamos o restamos según sea el caso y obtenemos el resultado.

7y2 + 4y + 3 - 5y2 - 3y + 2 2y 2 + y + 5


21

Operemos

(5x2y + 9xy + 5x) - (4x2y + 3xy - 8)

En sentido horizontal • Eliminamos los paréntesis, teniendo cuidado de operar el signo menos delante del paréntesis. • Ordenamos y agrupamos términos semejantes.

= 5x2y + 9xy + 5x - 4x2y - 3xy + 8

= (5x2y - 4x2y) + (9xy - 3xy) + 5x + 8


= x2y + 6xy + 5x + 8

• Escribimos la respuesta: (5x2y + 9xy + 5x) - (4x2y + 3xy - 8) = x2y + 6xy + 5x + 8 En sentido vertical • Escribimos un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes.

5x2 y + 9xy + 5x - 4x2 y - 3xy +8 2 x y + 6xy + 5x + 8


Ejercicio 3 A. Opere los polinomios en sentido horizontal. 1)

(10x + 6) + (3x - 4) •


•

Ordene y agrupe términos semejantes.

•


= 10x + 6 + 3x - 4 = (............... + ...............) + (.............. - ..............)

2)

22

= .................... +

..............

(3x2 + 5x - 1) - (2x2 - 4x + 6) •


•

Ordene y agrupe términos.

•


IGER − Utatlán

= ............... + ............... - ............... - ............... + ............... - ............... = (............... - ...............) + (............... + ...............) + (- ............... - ...............) = ............... + ............... - ...............

B. Opere los polinomios en sentido vertical. 1)

(5x2 + 3x - 6) + (9x2 + 2x + 4) = •

•

Escriba un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

2)

5x2 + .............. - .............. ...................

+ 2x + ..............

...................

+ ............. - ..............

(- 2x2 y - 3x + 6) + (5x2 y - 10) = •

•

Escriba un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes.

- ....................... - .............. + ..............


3x2 y - ............... - ...............

3)

+ .......................

-

..............

(8a2 b - 5a - 2) - (10a2 b + 8b - 4) = •

•

Escriba un polinomio debajo del otro sin paréntesis, de tal manera que queden en la misma columna los términos semejantes. Sume o reste según sea el caso y obtenga el resultado.

...............................

-

- ............................... - 2a 2 b

-

- ..........

.............

.............

-

.............

+ ..........

-

.............

+ ..........

Resumen Para sumar o restar monomios, sumamos o restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

4m + 11m = 15m Para sumar o restar monomios y polinomios, eliminamos los paréntesis del polinomio respetando la ley de signos, agrupamos o alineamos términos semejantes y luego reducimos. Puede operar los monomios y polinomios en sentido vertical u horizontal. Sentido horizontal

(8m + 2n) - (3m + 5n -2) = 8m + 2n - 3m - 5n + 2 = (8m - 3m) + (2n - 5n) + 2 = 5m - 3n + 2

Sentido vertical

8m + 2n -3m - 5n + 2 5m - 3n + 2 Matemática − Semana 19

23



Observe con atención los monomios de cada fila y rellene el círculo de los términos semejantes. Tiene un ejemplo. 0)

-2x2y

xy - 25 5x2y

4x3y2

1)

5xy2

5x2y2 -6x3y3

-15x2y2

2)

-25x4y4

-10x4y

-10x4y4

-10xy4

3)

-8x2y3

-6x2y3z4

-9x2y

-2x2y3z4

4)

-14w2x6

24w2x -19w3x3

-5w3x3

5)

4a4b3c

10a3b2c

-100a3b2c2

6)

-10ab2c3

-100a2b2c2 -100a3b2c

Actividad 2.

-100a4b3c


A. Opere los polinomios en sentido horizontal. Tiene un ejemplo. 1) -x2 + 8x2 0) (a 3 - 3a 2 + 6) - (5a 2 - 4a - 9)

= a 3 - 3a 2 + 6 - 5a 2 + 4a + 9 = a 3 - 3a 2 - 5a 2 + 4a + 6 + 9 = a 3 - 8a 2 + 4a + 15 2) 9x2y2 + 6x2y2 3) -2a3b2 + 9a3b2

4) 5x + (8x + 2y + 10) 5) 5x2 - (2x2 + x - 10)

24

IGER − Utatlán

-10a3b2c

6) (2y2 - 4y + 3) + (-6y2 + 5y + 9) 7) (5x3y2 - 3x2y + 1) - (9x3y2 - 2x2y + 7x)

8) (15y2 - 9y + 5) + (2y4 + 9y2 - 3y) 9) (6m2 + 4m + 15) - (2m2 + 2m - 4)

B. Realice los ejercicios de sumas y resta de polinomios en sentido vertical. Tiene un ejemplo. 1) -4x6y4 + 9x6y4 0) (x2 - 9x + 1) - (3x2 - 4x + 6)

x 2 - 9x + 1 2 - 3x + 4x - 6 - 2x 2 - 5x - 5

2) -5x4y2 - 6x4y2 3) 8b + (5a + 2b - 8c)

4) 4b3 - (2b5 - 6b3 + 9b) 5) (a3 + 2b - 8) - (4a3 + 3b + 8)


25

C. Realice en su cuaderno las siguientes operaciones con polinomios. Puede resolverlo en sentido vertical y horizontal. 1) 25y + 10y

11) 15x - (8x3 - 3x2 + x)

2) 8x4y3 + 10x4y3 12) 9x2 - (14x3 + 2x2 - 4x + 2) 3) 14m5n2 + m5n2 13) (3x + 2y + 1) + (5x + 2y + 7) 4) 16x2y2 - 14x2y2 14) (x2 + 5x) + (3x2 + 9x + 16) 5) 12a3b4 - 4a3b4 15) (4xy + 5x -2y) + (3xy + 4x + 7y + 6) 6) 6abc - 8abc

16) (6a - 10b + 8c) - (5a + 7b - c)

7) 10a2b4 - 15a2b4 17) (2x3y2 + 8xy - y) - (6x3y2 + 2xy - 4x) 8) 8x2 + (2x3 + 4x2 + x)

18) (6a2b2 + 2ab - 2) - (2a2b2 + 9ab - a)

9) 2x3 + (9x3 - 5x2 - x)

19) (9x2 + 5y2 - 2x + 3y) - (14x2 + 7y)

10) 3m2 + (m3 - 8m2 + 4m - 10)

20) (5x3y2 - 4xy - 5) - (15x3y2 - 9xy - 8x)

Agilidad de cálculo mental A. Practique la ley de signos para sumar y restar. Tiene un ejemplo para cada caso. 0) 5 + 3 =

8 6) -8 - 9 = -17

12) -9 + 4 = -5

1) 9 + 6 =

7) -6 - 5 =

13) -6 + 8 =

2) 5 + 8 =

8) -4 - 8 =

14) -8 + 3 =

3) 2 + 3 =

9) -7 - 9 =

15) -7 + 8 =

4) 1 + 1 =

10) -2 - 1 =

16) -5 + 3 =

5) 9 + 0 =

11) -5 - 61 =

17) -6 + 1 =

B. Aplique la misma ley para sumar y restar monomios. Tiene un ejemplo. 0) -y2 -6y2 =

26

-7y2

6) -5a -25a =

1) 5x + 5x =

7) -24a + a =

2) 2a + 6a =

8) 3x3 -17x3 =

3) -8y -9y =

9) 24x -39x =

4) x3 + 5x3 =

10) 8a2 - 19a2 =

5) -5w -8w =

11) -9a3 + 19a3 =

IGER − Utatlán

Razonamiento lógico

ad

1u

nid

nid

1u

ad

En esta actividad le proponemos que, utilizando su habilidad visual, observe detenidamente las figuras y responda las preguntas que siguen. De esta manera estará desarrollando su capacidad de atención a los detalles.

1 unidad

1) ¿Cuántos triángulos pequeños tienen una medida de 1 unidad por lado? 2) ¿Cuántos triángulos tienen una medida lateral de 2 unidades por lado? 3) ¿Cuántos triángulos con una medida lateral de 3 unidades contienen un número de círculos que es múltiplo de 3?

1 unidad

1 unidad

1 unidad

1 unidad

1) ¿Cuántos cuadrados pequeños tienen una medida de 1 unidad por lado? 2) ¿Cuántos cuadrados tienen una medida lateral de 3 unidades por lado? 3) ¿Cuántos cuadrados con una medida de 1 unidad contienen un número de círculos que es múltiplo de 2?


27

Desarrolle nuevas habilidades El álgebra tiene como característica que utiliza patrones o fórmulas para operar números y letras. Observe los dibujos siguientes y escriba un polinomio que represente la serie de figuras que se le indican. Guíese por el ejemplo. 0)

+

+

+

1)

+

+

+

+

+ +

+

2)

+

+

+

+

3)

+

+

+

+

+

4)

+

+

+

+

+

5)

+

+

6)

+

+

+ +

+

+ +

+ +

+

+

+

+ +

=

+

+

+3

=

=

+

=

+

+

+ +

4

+ +

+ +

+

= +

=

=

Revise su aprendizaje Marque con un cheque



Recuerdo cómo se suman y restan números enteros. Identifico monomios semejantes. Sumo y resto monomios, monomio con polinomio y polinomios. Practico el cálculo mental de suma de enteros y términos semejantes. Resuelvo ejercicios de habilidad visual.

28

IGER − Utatlán


20 Multiplicación de polinomios I ¿Qué encontrará esta semana? Repaso de la ley de signos y del producto de potencias Multiplicación de dos o más monomios y de monomio por polinomio Producto de números enteros y producto de dos monomios Área algebraica de figuras geométricas y traducción de lenguaje común a lenguaje algebraico

Esta semana logrará:  Recordar la ley de signos aplicada al producto de números enteros y el procedimiento para multiplicar potencias de la misma base.  Multiplicar dos o más monomios y un monomio por un polinomio.  Practicar el cálculo mental a través del producto de números enteros y de dos monomios.  Calcular el área algebraica de figuras geométricas.  Traducir problemas de lenguaje común a lenguaje algebraico. 


29

¡Para comenzar! Para empezar nuestro estudio esta semana conviene recordar cómo multiplicar números enteros y potencias de la misma base, porque nos servirá para multiplicar polinomios.

Ley de signos para el producto Recuerde: • El producto de dos números enteros con el mismo signo es un número entero positivo. • El producto de dos números enteros con signo diferente es un número entero negativo. Observe con atención los principios de la ley de signos y el ejemplo que lo acompaña. ley de signos (+)(+) = +

ejemplo ( 7 )( 3 ) = 21

( – )( – ) = +

(–7)(–3) = 21

(+)( – ) = –

( 7 )( – 3 ) = –21

( – )(+) = –

( – 7 )( 3 ) = –21

Producto de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. (32)(35) = 32+5 = 37

(a4)(a3)(a) = a4+3+1 = a8

(63)(62) = 63+2 = 65

(x2)(x2)(x3) = x2+2+3 = x7

Ejemplos

(2)(23) = 21+3 = 24

(b)(b)(b2) = b1+1+2 = b4

¡A trabajar! Repase y practique. Tiene algunos ejemplos.

30

0) (-3)(6) = -18

4) (24)(23) =

1) (2)(-5) =

5) (52)(54) =

9) (a4)(a)(a2) =

2) (-8)(-4) =

6) (73)(75) =

10) (b5)(b4)(b3) =

3) (-6)(7) =

7) (36)(37) =

11) (x)(x6)(x8) =

IGER − Utatlán

24+3 = 27 8) (m6)(m3)(m) = m6+3+1 = m10

El mundo de la matemática 1. Multiplicación de polinomios Para multiplicar polinomios seguimos las mismas leyes del producto y de la potenciación de números enteros, como acabamos de repasar. Estudiaremos tres casos de multiplicación de polinomios: • producto de dos o más monomios • producto de un monomio por un polinomio • producto de un polinomio por un polinomio Esta semana veremos los dos primeros casos, comencemos.

1.1 Producto de dos o más monomios A diferencia de la suma y de la resta, que necesitan variables y exponentes iguales para reducirlos, podemos multiplicar dos o más monomios aunque tengan coeficientes, literales y exponentes diferentes. Por ejemplo.

(2a)(3b2) = 6ab2 Para comprender mejor el tema comencemos por resolver paso a paso un ejemplo sencillo. Ponga mucha atención. Multipliquemos el monomio -2x por el monomio 3x2. Escribimos entre paréntesis cada monomio para indicar la multiplicación.

(- 2x) (3x2)

• Agrupamos los coeficientes y las literales por separado (primero los números, después las letras).

= (- 2 : 3) (x : x2)

• Multiplicamos los valores agrupados. Acostúmbrese a multiplicar el signo en primer lugar (- : + = -) después los coeficientes y por último las variables.

=- 6 x1 + 2

• Escribimos la respuesta.

=- 6x3

¡Atención! Para indicar producto, además del signo “x” y paréntesis, también podemos utilizar el punto “•” en medio de los factores (x • y).

Expresamos el producto completo: (-2x)(3x2) = -6x3 Matemática − Semana 20

31

Otro ejemplo Multipliquemos los monomios. • Agrupamos los factores numéricos y literales por separado.

Ordenamos las letras iguales para facilitar la resolución.

• Multiplicamos los valores agrupados (observe la ley de potenciación para x). • Escribimos la respuesta.

(2x2 y) (4x) = (2 : 4) (x2 y : x) = 8 (x2 x) (y) = 8x2 + 1 y = 8x 3 y

Expresamos el producto completo: (2x2y)(4x) = 8x3y

Ahora veamos un ejemplo de producto de tres monomios Atención Para multiplicar tres cantidades con diferente signo podemos hacerlo de la forma siguiente. (-3 : 2)(-3) = (-6 : -3) = + 18

Seguimos los mismos pasos. Multipliquemos. • Agrupamos los factores numéricos y literales por separado. • Multiplicamos los valores agrupados.

(- 3a) (2a2) (- 3a2) = (- 3 : 2 : - 3) (a : a2 : a2) = 18a1 + 2+2

Atención al resultado de los signos.


= 18a5

Expresamos el producto completo: (-3a)(2a2)(-3a2) = 18a5

Otro ejemplo Multipliquemos

(- 5x2 y3) (6xy2) (2x3)

• Agrupamos los factores numéricos y literales por separado.

= (- 5 : 6 : 2) (x2 y3 : xy2 : x3)

• Multiplicamos los valores agrupados. (Atención a los signos diferentes y las potencias iguales)

=- 60 (x2 : x : x 3)(y3 : y2)


=- 60x2 + 1 + 3 y3 + 2 =- 60x6y 5

Expresamos el producto completo: (-5x2y3)(6xy2)(2x3) = -60x6y5

32

IGER − Utatlán

Ejercicio 1 A. Multiplique los monomios siguiendo los pasos indicados. 1)

(3b3) (2b) •

Agrupe factores numéricos y literales por separado.

•

Multiplique los valores agrupados.

= .........................................................

•

Escribimos la respuesta.

= .........................................................

= (3 : 2) (.............. : ..............)

Exprese el producto completo: 2)

(a) (- 2ab) (- 5b3 c) •

Agrupe los factores numéricos y literales por separado.

•

Multiplique los valores agrupados.

= (1 : - 2 : - 5) (.............. : .............. : ..............) = (..............) (a : a )(............................) (.....................) = ...............................................................................

•

Escribimos la respuesta.

= ...............................................................................

Exprese el producto completo: B. Resuelva los productos. Hay un ejemplo. 0)

(4x 2) (3x 3 z 2) 1) (y)(6y2) = = (4 : 3) (x 2 : x 3 z 2) = 12 (x 2 x 3) (z 2) = 12x 2 + 3 z 2 = 12x 5 z 2 (4x 2) (3x 3 z 2) = 12x 5 z 2

2) (-6cd)(-2c2) = 3) (2x)(-6x2y)(2y2) =


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1.2 Producto de un monomio por un polinomio El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio es el siguiente: • Multiplicar el monomio por cada término del polinomio. • Resolver cada operación como producto de dos monomios. • Escribir la respuesta. Al igual que la suma y la resta, podemos resolver esta operación en sentido horizontal y vertical. Veamos un ejemplo. En sentido horizontal Multipliquemos.

(3x) (2x + 4y)

• Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.

= (3x : 2 x) + (3x : 4y)

• Resolvemos cada operación como producto de dos monomios.

= (3 : 2) (x : x) + (3 : 4)(x : y)


= 6x1 + 1 + 12xy = 6x 2 + 12xy

• Expresamos el producto completo: (3x)(2x + 4y) = 6x2 + 12xy En sentido vertical • Escribimos el monomio debajo del polinomio. • Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio, de derecha a izquierda.

2 x + 4y 3x 2 6x + 12xy

Otro ejemplo Multipliquemos

(- 2x) (x2 - 4x + 5)

• Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.

= (- 2x : x2) + (- 2x : - 4 x) + (- 2x : 5)

• Resolvemos cada operación como producto de dos monomios.

= - (2 : 1) (x : x2) + (2 : 4) (x : x) - (2 : 5) (x)


=- 2 x3 + 8x 2 - 10x

=- 2x1 + 2 + 8x1 + 1 - 10x

• Expresamos el producto completo: (-2x)(x2 - 4x + 5) = -2x3 + 8x2 - 10x

34

IGER − Utatlán

En sentido vertical • Escribimos el monomio debajo del polinomio.

x2 - 4x + 5 - 2x 3 2 - 2x + 8x - 10x

• Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio, de derecha a izquierda.

Recuerde: Multiplicamos el signo en primer lugar, después los coeficientes y por último las variables.

Ejercicio 2 A. Realice cada multiplicación en el sentido indicado. 1) Multiplique en sentido horizontal.

(3a) (3a3 + a2)

•

Multiplique el monomio por cada término del polinomio.

= (3a) (...................) + (3a) (...................)

•

Resuelva cada operación como producto de dos monomios.

= (3 : 3) (.....................) + (3 : 1) (.....................) = ....................................... + .......................................

•

Escriba la respuesta:

•

Exprese el producto completo:

= ............................. + .............................

(3a) (3a3 + a2)

2) Multiplique en sentido vertical. •

Escriba el monomio debajo del polinomio.

•

Multiplique el monomio por cada término del polinomio, de derecha a izquierda.

3a3 + a2 3a ..........................

3) Multiplique en forma horizontal.

+ .........................

(- 5y) (2x2 y2 - 4y + 1)

•

Multiplique el monomio por cada término del polinomio.

= (- 5y) (..............................) + (- 5y) (.................) + (-5y) (..........)

•

Resuelva cada operación como producto de dos monomios.

=- (5 : 2)(..............................) + (5 : 4) (.................) - (5 : 1) (..........) =- ............................................ + ....................................... - .............................

•


•

Exprese el producto completo:

=- .................................. + .................................. - .............................


35

B. Resuelva los productos. Hay un ejemplo. 0) (2ab) (4a 2 b - 3bc + 1) = 1) (3x)(x2 + 2x - 1) =

4a 2 b - 3bc + 1 2ab 3 2 2 8a b - 6ab c + 2ab

2) (2xy)(3x2 + 5y2 + 2) =

3) (c2 )(3c3 - 2d2 - 4) =

Resumen 1. Para multiplicar polinomios aplicamos las mismas leyes del producto y de la potenciación de números enteros. 1.1 Podemos multiplicar dos o más monomios aunque los coeficientes, literales y exponentes sean diferentes. El procedimiento es el siguiente: • Agrupar los coeficientes numéricos y literales por separado. • Multiplicar los valores agrupados respetando las leyes de los signos y de la potenciación. • Escribir la respuesta. 1.2 El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio es: • Multiplicar el monomio por cada término del polinomio. • Resolver cada operación como producto de dos monomios. • Escribir la respuesta.

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Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Qué expresión indica lo mismo que (-1)(x)?

x -x -1

2) ¿Qué expresión indica lo mismo que (d 2)(-3)?

d2 - 3 -3 + d 2 -3d 2

3) ¿Qué expresión indica lo mismo que (-x)(y)?

-x + y -xy xy

4) ¿Cuál es el resultado de operar (-b)(-b)?

b2 b -b 2

5) ¿Cuál es el resultado de operar (-a)(-a)(-a)?

-a3 a3 a2

Actividad 2.


A. Siga los pasos para realizar las multiplicaciones.

(3b3)(-4b2c) 1) Multiplique • Agrupe los factores numéricos y literales por separado. • Multiplique los valores agrupados. • Escriba la respuesta:

= (............... : ...............) (............... : ...............) = ........................................................................... = ...............................................................

• Exprese el producto completo: 2) Multiplique (-2x2)(xy)(-4yz) • Agrupe los factores numéricos y literales por separado. = (................ : ................ : ................) (................ : ................ : yz) • Multiplique los valores agrupados.

=

............................................................................

= ............................................................. • Escriba la respuesta:

= ...............................................

• Exprese el producto completo: Matemática − Semana 20

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3) Multiplique en sentido vertical. a. (-x2)(x2 - 2x + 4) = •

Escriba el monomio debajo del polinomio.

•

Multiplique el monomio por cada término del polinomio de derecha a izquierda.

x 2 - 2x + 4 - x2 - x4 + ...................... - ......................

b. (2ab)(3a2 - 4b3 + 5) = •

Escriba el monomio debajo del polinomio

•

Multiplique el monomio por cada término del polinomio de izquierda a derecha.

3a2 - 4b2 + 5 2ab ...................................................................................................

B. Realice las multiplicaciones. Deje escrito el procedimiento que utilice para obtener el resultado. Hay un ejemplo. 0) (6a3 b2) (- 3a2 bc) =

1) (3a2)(-2ab) =

= (6 : - 3) (a 3 b 2 : a 2 bc) = -18(a3 : a2)(b2 : b)(c) =- 18a 3 + 2 b 2 + 1 c =- 18a 5 b 3 c (6a3 b2) (- 3a2 bc) = - 18a 5 b3 c

2) (2)(3c3)(2bc2) = 3) (3a2)(2ab)(-b3) =

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IGER − Utatlán

4) 3(a2 - 4) = 5) a(2a3 + 3a2) =

6) 3x(2x3 - 3x2 + 4) = 7) 5y2(-3x3y2 + 2xy - y) =

8) 2ab(3a3 - 2b3 + 2ab) = 9) (-2xy2)(2x3y - 3xy + 4y) =

10) a3b2(-2a3 + 3b2 + 3) = 11) -xz3(-2x2 + 3yz2 - y2 + z) =


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Agilidad de cálculo mental Realice mentalmente las multiplicaciones de números enteros y de monomios. Escriba su respuesta sobre la línea. Tome en cuenta las leyes de los signos y de la potenciación. Hágalo lo más rápido que pueda. Fíjese en los ejemplos. A.

B.

6) 3(-2) =

12) (-3)(-4) =

1) -5(2) =

7) 4(-8) =

13) (-5)(-2) =

2) -2(3) =

8) 5(-7) =

14) (-2)(-8) =

3) -4(8) =

9) 2(-5) =

15) (-4)(-3) =

4) -6(7) =

10) 6(-4) =

16) (-6)(-6) =

5) -3(6) =

11) 8(-7) =

17) (-8)(-3) =

0) 5b2(4b) = 20b3

6) 9d 3(-2d) =

12) -5c(3c2) =

1) 3b2(7b) =

7) 4d 3(-4d) =

13) -2c(6c2) =

2) 6b2(5b) =

8) 3d 3(-8d) =

14) -4c(5c2) =

3) 5b2(9b) =

9) 5d 3(-3d) =

15) -3c(3c2) =

4) 8b2(3b) =

10) 2d 3(-7d) =

16) -6c(2c2) =

11) 7d 3(-8d) =

17) -9c(4c2) =

0) 5a(2c) = 10ac

6) -2g(-8h4) =

12) b4(-3c3) =

1) x(6y3) =

7) -4s(-3t2) =

13) 2g(-8t) =

2) 2a(8b) =

8) -5b(-9c) =

14) 4w(-5x2) =

3) 5c2(5d) =

9) -3q2(-7r3) =

15) 3yz5(-7z3) =

4) 3h(9k3) =

10) -4w3(-4z4) =

16) 9d2e(-4d3) =

5) 6x3(2y) =

11) -2y3(-9z2) =

17) 8st(-6st) =

0) -2(4) =

-8

5) 4b2(7b) = C.

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IGER − Utatlán

Razonamiento lógico A. Observe las medidas de cada figura y encuentre una expresión algebraica que represente su área. Fíjese en el ejemplo.

0) x+3 2x

A = b:h A = 2 x (x + 3 ) A = 2 x2 + 6 x

1) 3a 4a

3)

2)

3y

2a + 3b 3y

4

5)

4) 2c + d 5c

2x + 3y 2xy

B. Lea cada problema y realice lo que se pide. Recuerde que en la semana 13 aprendimos a traducir a símbolos lo que normalmente expresamos con palabras. Fíjese en el ejemplo. 0) Si la edad actual de Rosa es x años, escriba un polinomio que represente el doble de la edad que tendrá dentro de 5 años.

Edad de Rosa: x

Edad dentro de 5 años: x + 5

El doble de edad dentro de 5 años: 2(x + 5)

Expresión polinomial

2(x + 5) = 2x + 10

1) La base de un triángulo rectángulo mide 5x y la altura mide 2x + 1. Escriba un polinomio que represente el área del triángulo. 2) El martes, Rubén obtuvo el doble de ganancia que el lunes; el miércoles ganó el doble que el martes y el jueves el doble de lo que ganó el miércoles. Escriba un monomio que represente la ganancia que obtuvo el jueves. 3) Hoy Pilar recorrió 2 km más que ayer y mañana piensa recorrer el doble que hoy. Escriba un polinomio que represente la distancia que Pilar recorrerá mañana. Matemática − Semana 20

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Desarrolle nuevas habilidades ¡Expresemos el área en forma de polinomio! Para calcular el área de una figura cuyas medidas son valores desconocidos, como la figura de la izquierda, debemos descomponerla en figuras que ya conocemos, por ejemplo en dos rectángulos como la figura de la derecha. x

x

x

x+2

x+2

x

x

1

x 2

x

x

3x La base del rectángulo 2 mide 3x porque es la suma de los lados superiores (x + x + x). Ahora calculemos el área de cada uno a través de la fórmula de área de un rectángulo. rectángulo 1 rectángulo 2

A=b:h

A1 = x (x + 2) = x2 + 2x A2 = 3x (x) = 3x2

Sumamos el área de los dos rectángulos para obtener el área total. Atotal = A1 + A2

Atotal = (x2 + 2x) + (3x2) = x2 + 2x + 3x2 Atotal = 4x2 + 2x Ahora le toca a usted. Exprese como polinomio el área total de la figura siguiente: 2x + 3 x

x x

x x

x




Recuerdo la ley de signos aplicada al producto de números enteros y el procedimiento para multiplicar potencias de la misma base. Multiplico dos o más monomios y un monomio por un polinomio. Practico el cálculo mental a través de los productos de números enteros y de dos monomios. Calculo el área algebraica de figuras geométricas. Traduzco problemas de lenguaje común a lenguaje algebraico.

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IGER − Utatlán


21 Multiplicación de polinomios II ¿Qué encontrará esta semana? La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y a la resta Multiplicación de polinomios Multiplicación de monomios Agudeza visual

Esta semana logrará:  Recordar la propiedad distributiva de la multiplicación.  Multiplicar binomio por binomio.  Multiplicar polinomio por polinomio.  Practicar la agilidad de cálculo mental con la multiplicación de monomios.  Desarrollar agudeza visual con el reflejo de figuras. 


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¡Para comenzar! Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y la resta Recordemos que para multiplicar un número por una suma o resta indicada, se multiplica dicho número por cada uno de los valores y se suman o restan los resultados. Por ejemplo Respecto a la suma 1) 7(3 + 2) = (7 : 3) + (7 : 2) = 21 + 14 = 35 2) 5 (8 + 4) = (5 : 8) + (5 : 4) = 40 + 20 = 60 Respecto a la resta 1) 9 (6 - 3) = (9 : 6) - (9 : 3) = 54 - 27 = 27 2) 4 (8 - 3) = (4 : 8) - (4 : 3) = 32 - 12 = 20 ¡A trabajar! Resuelva las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación. Tiene un ejemplo. 0) 6(10 -2 + 3) = 1) 2(3 + 2 + 1) = 2) 2(3 + 5) = 3) 4(1 + 2 + 6) = 4) 7(11 + 5 + 4) = 5) 5(7 - 2) = 6) 4(8 - 3 - 2) = 7) 9(3 + 2 - 4) = 8) 5(6 - 8 + 3) = 9) 3(-2 + 6 - 4) =

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IGER − Utatlán

(6 : 10) - (6 : 2) + (6 : 3) = 60 - 12 + 18 = 66

El mundo de la matemática 1. Multiplicación de polinomios Esta semana aprenderemos a multiplicar: • un binomio por otro binomio y • un polinomio por otro polinomio

1.1 Multiplicación de un binomio por otro binomio Cuatro jóvenes participan en un concurso de ajedrez. Ana y Nicté (A + N) forman un equipo, Pablo y Samuel (P + S) forman otro. Si las partidas son uno a uno, ¿cuántos juegos deben realizar? • En la primera ronda, Ana juega primero con Pablo (AP) y luego con Samuel (AS).

(A)(P + S) = AP + AS

• En la segunda ronda, Nicté juega con Pablo (NP) y luego con Samuel (NS).

(N)(P + S) = NP + NS

Si queremos averiguar el número total de partidas, multiplicamos las dos parejas, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación y obtenemos cuatro juegos. (A + N)(P + S) = AP + AS + NP + NS En realidad, hemos representado las parejas del juego mediante binomios y para averiguar el número de partidas, hemos multiplicado ambos binomios. Ahora ya podemos deducir el procedimiento del producto de dos binomios. Para multiplicar un binomio por otro binomio, multiplicamos cada término del primer binomio por cada término del segundo. Podemos hacer la operación en sentido horizontal o en sentido vertical.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a+b c+d + ad + bd ac + bc ac + ad + bc + bd

Recuerde la forma de multiplicar números enteros, porque así se operan los polinomios.


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Lea los pasos que se describen a continuación y observe la operación al final de estos. Siga la secuencia guiándose por los números de color rojo. Para multiplicar en sentido horizontal dos binomios seguimos el siguiente procedimiento. • Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y resolvemos los productos planteados. • Reducimos términos semejantes.

(2x + 3)(x + 5) = 6(2x : x) + (2x : 5) @ + 6(3 : x) + (3 : 5) @ Ponga atención al aplicar la ley de signos.

= 2x2 + 10x + 3x + 15

= 2x2 +

13x + 15 = 2x2 + 10x + 3x + 15 • Escribimos el producto completo: (2x + 3) (x + 5) = 2x 2 + 13x + 15

Hagamos la misma operación en sentido vertical. • Eliminamos los paréntesis y escribimos un polinomio debajo del otro. • Multiplicamos cada término del binomio inferior por cada término del binomio superior. Los términos semejantes deben quedar alineados en la misma columna.

2x + 3 x+5 10x + 15 2 2x + 3x 2x 2 + 13 x + 15

• Sumamos y reducimos términos semejantes y escribimos la respuesta. Observe que operando en cualquiera de los dos sentidos llegamos al mismo resultado. Sigamos el mismo procedimiento para este otro ejemplo.

(a2 + a)(2a - 6) = 6(a2 : 2a) + (a2 : - 6) @ + 6(a : 2a) + (a : - 6)@

=

2a3 - 6a2 + 2a2 - 6a

= 2a3 - 4a2 - 6a • Escribimos el producto completo: (a2 + a)(2a - 6) = 2a3 - 4a2 - 6a Hagamos la misma operación en sentido vertical.

Escriba los términos del polinomio en orden alfabético y descendente.

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IGER − Utatlán

a2 + a 2a - 6 - 6a 2 - 6a 2a 3 + 2a 2 2a3 - 4 a2 - 6a

Ejercicio 1 A. Multiplique los polinomios en sentido horizontal. Siga el procedimiento que practicamos en los ejemplos. 1) (x + 4)(x + 6)

:

[(

:

)+(

+

=

:

)] + [(

=

+

:

)+(

)]

+

+

+

Escriba el producto completo: 2) (-2x2 + 2)(3x3 - 5)

[(-

:

: -

) + (–

:

)] + [(

+

+

)+(

: -

)]

–

Escriba el producto completo: B. Multiplique los polinomios en sentido vertical. 1) (x + 8)(2x + 2)

+ + + +

Escriba el producto completo: 2) (a4b2 + 5)(a2b + 3b) .................................

+ ..................

.................................

+ ..................

.................................

+ ..................

.................................

+ .................................

.................................

+ ................................. + ................................. + ..................

Escriba el producto completo: Matemática − Semana 21

47

1.2 Multiplicación de polinomios Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo, se reducen términos semejantes si los hay y se escribe la respuesta. Podemos hacer la operación en sentido horizontal o vertical.

(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be c+d+e a+b + bc + bd + be ac + ad + ae ac + ad + ae + bc + bd + be Veamos un ejemplo Multipliquemos los polinomios en sentido horizontal. Recuerde que el procedimiento es el mismo del caso anterior.

(x + 4)(x2 + 2x + 5) = 6(x : x2) + (x : 2x) + (x : 5) @ + 6(4 : x2) + (4 : 2x) + (4 : 5) @ =

x3 + 2x2 + 5x + 4x2 + 8x + 20 = x3 + 2x2 + 4x2 + 5x + 8x + 20

2 2 = x3 + 6x6 x ++ 13x 13x + 20 + 20 = x3 +

• Escribimos el producto completo.

(x + 4)(x2 + 2x + 5) = x3 + 6x2 + 13x + 20 Hagamos la misma operación en sentido vertical.

x 2 + 2x + 5 x+4 2 4x + 8x + 20 3 x + 2x2 + 5x x 3 + 6 x2 + 13x + 20 • Escribimos el producto completo.

(x + 4)(x2 + 2x + 5) = x3 + 6x2 + 13x + 20

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IGER − Utatlán

¡Un ejemplo más! Multipliquemos los polinomios en sentido horizontal.

(2x - y)(x - 3y - 2z) = [(2x : x) + (2x : -3y) + (2x : -2z)] + [(-y : x) + (-y : -3y) + (-y : -2z)] = 2x2 -

6xy

-

4xz

3y2

xy +

-

+

2yz

= 2x2 - 6xy - xy - 4xz + 3y2 + 2yz = 2x2 - 7xy - 4xz + 3y2 + 2yz • Escribimos el producto completo.

(2x - y)(x - 3y - 2z) = 2x2 - 7xy - 4xz + 3y2 + 2yz Hagamos la misma operación en sentido vertical.

x - 3y - 2 z 2x - y 2 + 3y + 2yz

- xy 2x - 6xy - 4xz 2 x 2 - 7xy - 4xz + 3 y 2 + 2yz 2

• Escribimos el producto completo.

(2x - y)(x - 3y - 2z) = 2x2 - 7xy - 4xz + 3y2 + 2yz

Ejercicio 2 A. Multiplique los polinomios en sentido horizontal. 1) (3x + y)(2x - 5y + z)

= [(

:

)+(

:

:

)+(

:

)] + [(

:

:

)]


49

)+(

=

-

+

+

-

+

=

-

+

+

-

+

=

-

+

-

)+ (

+

Escriba el producto completo:

2) (b - 3)(b2 + 3b + 9)

= [(

:

:

)+(

)+(

:

:

)] + [(-

) + (-

:

=

+

+

-

-

-

=

+

-

+

-

-

=

-

)+ (-

:

)]

) + (-

:

)]

) + (-

:

)]

Escriba el producto completo: 3) (3a - 4)(2b2 + b + 5)

= [(

:

:

)+(

)+(

:

:

)] + [(-

) + (-

:

=

+

+

-

-

-

=

+

+

-

-

-

Escriba el producto completo: 4) (x - 2)(x2 + 2xy + 5y2)

= [(

:

:

)+(

)+(

:

:

)] + [(-

+

+

-

-

-

=

-

+

+

-

-

B. Multiplique los polinomios en sentido vertical. 1) (4x + 1)(4x2 + 2x + 2)

4x2 +

16x3 +

Escriba el producto completo: IGER − Utatlán

:

=


50

) + (-

+ 4x + + + +

2) (x2y + 2x)(x2 - 4x - 6) ..................

- .................. - ..................

.................. 4

3

xy ..................

- .................. - .................. x2 y + 2x

2

- 4 x y - 6x y + .................. - .................. - .................. - .................. - ..................


Resumen Multiplicación de polinomios Para multiplicar un binomio por otro binomio y un polinomio por otro polinomio: • Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y se resuelven los productos planteados. • Se reducen términos semejantes. • Se ordena el polinomio. • Se escribe el producto completo. Se puede multiplicar en sentido vertical y horizontal.

(b3 + 8)(3b2 + 5b + 1) = = [(b3 : 3b2) + (b3 : 5b) + (b3 : 1)] + [(8 : 3b2) + (8 : 5b) + (8 : 1)]

=

3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8

(b3 + 8)(3b2 + 5b + 1) = 3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8 3b2 + 5b + 1 b3 + 8 + 24b2 + 40b + 8 3b5 + 5b4 + b3 3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8 Matemática − Semana 21

51



Rellene el círculo donde está la respuesta correcta a cada pregunta. 1) ¿Qué propiedad se aplica en la multiplicación de polinomios?

conmutativa asociativa distributiva

2) ¿Qué expresión es equivalente a y(y+ 1)?

2y + y y2 + y y2 + 1

3) ¿Cuál es el primer término y segundo término que resulta al multiplicar (x + 1)(x + 2)?

2x + 2x x2 + x x2 + 2x

4) ¿Cuáles son los términos tercero y cuarto que resultan al multiplicar (2y - 5)(5y2 - y)?

-25y2 + 5y -2y2 + 5y 10y3 - 2y

5) ¿Qué resultado se obtiene al multiplicar (a + b)(c + d)?

a2 + ac + d2 ac + bc + ad ac + ad + bc + bd

Actividad 2.


A. Multiplique los polinomios de forma vertical. Tiene un ejemplo. 1) (a + 3)(a + 2) 0) (x2 - 1)(3x2 + 6)

x2 - 1 3x 2 + 6 6x 2 - 6 3x 4 - 3x 2 3x 4 + 3x 2 - 6

2) (2x - y)(5x + 3) 3) (3a + 1)(a + 7b)

52

IGER − Utatlán

4) (c + 5)(c2 + 3c + 1) 5) (4x + 2y)(2x + 3y + 1)

6) (2x- 1)(x2 - 4x + 3) 7) (r + 1) (r3+ 4r2 - r + 3)

8) (a2 - 1)(2a - 8) 9) (x2 + 4x)(x2 - 2x - 2)

B. Multiplique en su cuaderno. 1) (x + 2)(x - 5) 5) (x3 + x)(x + 6) 2) (y - 4)(y + 4) 6) (x2y + 2x)(y2 - 2y + 4) 3) (x2 + 1)(x - 6) 7) (5a2 - 4a)(a3 - 3a + 7) 4) (xy - 3)(xy - 5)

8) (b4 + 9)(-2b2 - 5b - 2) Matemática − Semana 21

53

Agilidad de cálculo mental Practique la agilidad de cálculo multiplicando los monomios lo más rápido que pueda. Recuerde aplicar la ley de signos y de la potenciación. Fíjese en los ejemplos. A.

B.

54

0) (x3)(x6) =

x9

11) (-a)(2b) = -2ab

1) (a2)(a3) =

12) (-a)(4c) =

2) (y7)(y2) =

13) (-3b)(d) =

3) (b4)(b9) =

14) (-4x)(y) =

4) (x4)(x3) =

15) (-3x)(3z) =

5) (y5)(y4) =

16) (-4c)(2d) =

6) (x2)(x9) =

17) (-2e)(5f ) =

7) (m6)(m2) =

18) (-4h)(6k) =

8) (b6)(b4) =

19) (-2s)(7t) =

9) (w3)(w8) =

20) (-4w)(5x) =

10) (b3)(b5) =

21) (-6y)(9z) =

2 0) (2c)(-2c) = -4c

11) (-6d2)(-d3) =

1) (3a)(-4a) =

12) (-8h)(-h3) =

2) (5b) (-2b) =

13) (-3b4)(-b) =

3) (4c)(-4c) =

14) (-x)(-5x2) =

4) (2d)(-3d) =

15) (-d2)(-3d2) =

5) (7h)(-2h) =

16) (-h3)(-4h2) =

6) (4s2)(-3s2) =

17) (-2t4)(-5t3) =

7) (5x2)(-2x2) =

18) (-4v3)(-3v3) =

8) (3y3)(-7y3) =

19) (-6w7)(-6w3) =

9) (9w3)(-2w3) =

20) (-2x4)(-8x2) =

10) (5z4)(-9z4) =

21) (-6y5)(-3y4) =

IGER − Utatlán

6d5

Razonamiento lógico La agudeza visual es la capacidad de ver los detalles de un objeto donde hay muchos más objetos que lo rodean. Estas figuras son reflejos la una de la otra, sus posiciones están al revés. Rodee con un círculo la cuadrícula que es un reflejo de la figura de la izquierda. Tiene un ejemplo. 0)

1)

a.

b.

c.

d.

2)

a.

b.

c.

d.

3)

a.

b.

c.

d.

4)

a.

b.

c.

d.

5)

a.

b.

c.

d.


55

Desarrolle nuevas habilidades El Sudoku es un rompecabezas matemático como el que aparece a la izquierda de este párrafo. El objetivo es rellenar una cuadrícula de 4 x 4 con las cifras del 1 al 4 partiendo de algunos números ya dispuestos. No se debe repetir ninguna cifra en una misma fila o columna. Un sudoku está bien planteado si la solución es única. La práctica de este pasatiempo es ideal para ejercitar la atención. Observe con atención el ejemplo. 0)

1

2

3

4

3

4

2

1

4

3

1

2

2

1

4

3

2)

4

1)

2

3 1

2

3 4

2 3

2

3)

2 2

3 3

4 3

2

3

1

3




Aplico la propiedad distributiva de la multiplicación. Multiplico binomio por binomio. Multiplico polinomio por polinomio. Practico la agilidad de cálculo mental con la multiplicación de monomios. Desarrollo agudeza visual con el reflejo de figuras.

56

IGER − Utatlán


22 Productos notables I ¿Qué encontrará esta semana? Joseph Louis Lagrange El cuadrado de la suma o la resta de un binomio Términos del cuadrado de un binomio Área algebraica de cuadrados

Esta semana logrará:  Conocer a Joseph Louis Lagrange y su aporte a la matemática.  Resolver el cuadrado de la suma o la resta de un binomio por simple inspección.  Practicar el cálculo mental en la resolución del cuadrado de un binomio.  Calcular en forma algebraica el lado y el área de un cuadrado. 


57

¡Para comenzar! Joseph Louis Lagrange

Joseph Louis Lagrange nació en 1736 en Turín, Italia. De formación autodidacta, sus numerosos estudios en diversos campos de las matemáticas, en especial sobre análisis, le convirtieron en uno de los matemáticos más destacados y apreciados del siglo XVIII. Trabajó en Turín como profesor en la Real Escuela de Artillería. En 1757 colaboró junto con un grupo de estudiantes en la fundación de la Academia de Ciencias turinesa. En 1766 fue nombrado director de matemáticas de la Academia de Ciencias de Berlín, Alemania. Durante esta etapa de su vida, escribió su obra más importante: Tratado de mecánica analítica. Se trasladó a París, Francia, en 1787, y trabajó para la Academia de Ciencias de esta ciudad. Entre otras tareas, formó parte del comité de pesas y medidas que introdujo el sistema métrico decimal y publicó sus investigaciones sobre cálculo matemático. Murió en París en 1813. Biografía tomada y adaptada de www.mcnbiografias.com

¡A trabajar! Lea detenidamente la biografía de Lagrange y responda a las preguntas. 1) ¿Cuál es título de su obra más importante? 2) ¿Cuál fue su aporte más importante en el comité de pesas y medidas? 3) Busque en el diccionario el significado de la palabra autodidacta.

58

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Productos notables

A simple vista

Los productos notables son casos especiales de multiplicación de polinomios que cumplen con reglas fijas y se pueden resolver por simple inspección, es decir, operar mentalmente sin necesidad de escribir todo el procedimiento. Aprenderemos tres casos: • Cuadrado de un binomio: – cuadrado de la suma (a + b)2 – cuadrado de la resta (a - b)2 • Producto de la suma por la diferencia de un binomio

(a + b)(a - b)

• Producto de dos binomios con un término común

(a + b)(a + c)

Esta semana aprenderemos a resolver por simple inspección el cuadrado de la suma o la resta de un binomio.

1.1 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 Elevar una cantidad al cuadrado es lo mismo que multiplicarla por sí misma. Por ejemplo (3)2 = (3)(3) = 9 Lo mismo sucede con el cuadrado de la suma de un binomio, es equivalente a multiplicar el binomio por sí mismo. Por ejemplo (a + b)2 = (a + b) (a + b) Si hacemos la operación, obtenemos:

a+b a+b ab + b 2 a 2 + ab a 2 + 2ab + b2

Atención: El producto (a + b)2 no es lo mismo que a2 + b2, es decir, (a + b)2 ! a2 + b2.

Observe que el resultado del producto es (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Un camino más corto para obtener el mismo resultado es a través de la fórmula general del cuadrado de la suma de un binomio. Veamos en la página siguiente el procedimiento para deducir la fórmula. Matemática − Semana 22

59

Deducimos de la operación anterior los pasos para resolver el cuadrado de la suma de un binomio: • El cuadrado del primer término, (a2) • más el doble del primero por el segundo, 2(a : b)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

• más el cuadrado del segundo (b2) Memorice la fórmula general: El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Fíjese en el desarrollo completo.

(a + b)2 = (a)2 + 2(a : b) + (b)2 = a2 + 2ab + b2 Veamos un ejemplo Desarrollemos por simple inspección el producto (x + 3)2.

(x + 3)2 = (x)2 + 2(x : 3) + (3)2 = x2 + 6x + 9 Otros ejemplos cuadrado de la suma

desarrollo

resultado

(x + 1)2 = (x + 5)2 = (x + 10)2 =

(x)2 + 2(x : 1) + (1)2 = (x)2 + 2(x : 5) + (5)2 = (x)2 + 2(x : 10) + (10)2 =

x2 + 2x + 1 x2 + 10x + 25 x2 + 20x + 100

Ejercicio 1 Desarrolle el cuadrado de la suma de un binomio. Vaya diciendo mentalmente la fórmula general: "cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo". Guíese por el ejemplo. cuadrado de la suma

60

desarrollo

resultado

0) (4x + 2)2 =

(4x)2 + 2(4x : 2) + (2)2 =

1) (x + 7)2 =

(x)2 +

2) (x + 5)2 =

(

)2 +

(

: 5) + (5)2 =

3) (2x + 3)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

4) (3x + 1)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

5) (2x + y)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

IGER − Utatlán

(x :

)+(

16x2 + 16x + 4 )2 =

1.2 Cuadrado de la resta de un binomio (a − b)2 Al igual que la suma, el cuadrado de la resta de un binomio es equivalente a multiplicar el binomio por sí mismo. Veamos.

(a - b)2 = (a - b) (a - b) Si efectuamos el procedimiento, obtenemos:

a-b a-b - ab + b 2 a 2 - ab a 2 - 2ab + b 2 El resultado a2 - 2ab + b2 es muy parecido al cuadrado de la suma. La diferencia está en el signo menos que separa al primer término del segundo. Por lo tanto: Deducimos de la operación anterior los pasos para resolver el cuadrado de la resta de un binomio: • El cuadrado del primer término (a)2 • menos el doble del primero por el segundo -2(a : b)

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

• más el cuadrado del segundo (b)2 Memorice la fórmula general: El cuadrado de la resta de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Fíjese en el desarrollo completo.

(a - b)2 = (a)2 - 2(a : b) + (b)2 = a2 - 2ab + b2 Veamos un ejemplo Desarrollemos por simple inspección el producto (5x - 4y)2

Atención: El producto (a - b)2 no es lo mismo que a2 - b2, es decir, (a - b)2 ! a2 - b2.

(5x - 4y)2 = (5x)2 - 2(5x : 4y) + (4y)2 = 25x2 - 40xy + 16y2 Otros ejemplos cuadrado de la resta 2

(x - 3) = (a - 1)2 = (y - 3)2 = (2b - 1)2 =

desarrollo

resultado

(x) - 2(x : 3) + (3) = (a)2 - 2(a : 1) + (1)2 = (y)2 - 2(y : 3) + (3)2 = (2b)2 - 2(2b : 1) + (1)2 = 2

2

2

x - 6x + 9 a2 - 2a + 1 y2 - 6y + 9 4b2 - 4b + 1 Matemática − Semana 22

61

Ejercicio 2 Obtenga el cuadrado de la resta de un binomio. Hay un ejemplo. cuadrado de la resta

desarrollo

resultado

0) (d - 2)2 =

(d)2 - 2(d : 2) + (2)2 =

1) (x - 9)2 =

(

)2 -

(

: 9) + (9)2 =

2) (y - 6)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

3) (y - 8)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

4) (2x - 1)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

5) (3a - 5b)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

d2 - 4d + 4

Resumen 1. Productos notables

Los productos notables son multiplicaciones de polinomios que cumplen con reglas fijas y se pueden resolver por simple inspección.

1.1 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2

Fórmula general para resolver el cuadrado de la suma de un binomio: El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a + b)2 = (a)2 + 2(a : b) + (b)2 = a2 + 2ab + b2 1.2 Cuadrado de la resta de un binomio (a - b)2

Fórmula general para resolver el cuadrado de la resta de un binomio: El cuadrado de la resta de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a - b)2 = (a)2 - 2(a : b) + (b)2 = a2 - 2ab + b2

62

IGER − Utatlán



Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Qué expresión es equivalente a (y + 3)2?

(y + 3)(y - 3) (y + 3)(y + 3) y2 + 9

2) ¿Qué expresión es equivalente a (x - 1)2?

(x - 1)(x - 1) (x - 1)(x + 1) x2 - 9

3) ¿Qué expresión es equivalente a (x - y)(x - y)?

x2 - y2 (x + y)2 (x - y)2

4) ¿Qué expresión es equivalente a (w + z)(w + z)?

(w + z)2 (w - z)2 w2 + z2

5) De las siguientes, ¿cuál es un producto del cuadrado de la suma de un binomio?

(x + y)(x + z) (x + y)(x - y) (x + y)(x + y)

6) ¿Cuál es el primer término del resultado de (2b + 3)2?

2b2 4b2 4b

7) ¿Cuál es el tercer término del resultado de (2x + 3y)2?

6y2 3y2 9y2

8) ¿Cuál es el segundo término del resultado de (2c + 5d)2?

10cd 20cd 7cd

9) ¿Cuál es el segundo término del resultado de (3x + 4)2?

12x 12x2 24x Matemática − Semana 22

63

Actividad 2.


A. Calcule el cuadrado de las siguientes sumas o restas de un binomio. Hay un ejemplo. cuadrado de un binomio

desarrollo

resultado

0) (3a + 2b)2 =

(3a)2+ 2(3a)(2b) + (2b)2 =

1) (x + 2)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

2) (2a + b)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

3) (3x + 2)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

4) (6m + n)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

5) (2x + 5)2 =

(

)2 +

(

:

)+(

)2 =

6) (x - 6)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

7) (5x - 3)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

8) (3x - 1)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

9) (4x - 9)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

10) (3x - 4)2 =

(

)2 -

(

:

)+(

)2 =

9a2 + 12ab + 4b2

B. Con la practica, usted podrá resolver el desarrollo mentalmente, sin necesidad de escribirlo. Intente hacerlo en este ejercicio. Escriba su respuesta sobre la línea. Guíese por el ejemplo. 0) (a + 8)2 =

11) (2x - y)2 =

1) (a + 1)2 =

12) (5x - y)2 =

2) (a + 4)2 =

13) (8x - y)2 =

3) (a + 2)2 =

14) (4x - y)2 =

4) (a + 3)2 =

15) (2c - 4d)2 =

5) (y + 5)2 =

16) (3c - 3d)2 =

6) (y + 7)2 =

17) (5c - 4d)2 =

7) (y + 9)2 =

18) (8c - 3d)2 =

8) (x + 6)2 =

19) (2c - 9d)2 =

9) (x + 10)2 =

20) (7c - 3d)2 =

10) (x + 12)2 =

64

a2 + 16a + 64

IGER − Utatlán

21) (4x - 6y)2 =

Agilidad de cálculo mental Calcule mentalmente el término que falta para que el resultado de cada producto notable sea correcto. Escriba la respuesta sobre la línea. Fíjese en los ejemplos. A. Complete el primer término

+ 8a + 4 6) (6a - 3)2 =

- 36a + 9

1) (x + 6)2 =

+ 12x + 36 7) (4y - 2z)2 =

- 16yz + 4z2

2) (t + 8)2 =

+ 16t + 64 8) (7h - k)2 =

- 14hk + k2

3) (3y + 5)2 =

+ 30y + 25 9) (5c - 4d)2 =

- 40cd + 16d2

4) (7y + 3)2 =

+ 42y + 9 10) (2w - 6z)2 =

- 24wz + 36z2

5) (6x + 2)2 =

+ 24x + 9 11) (8d - 3e)2 =

- 48de + 9e2

0) (2a + 2)2 =

4a2

B. Complete el tercer término 0) (2x + 5)2 = 4x2 + 20x +

25

6) (2x - 8y)2 = 4x2 - 32xy +

1) (3y + 4)2 = 9x2 + 24y +

7) (2a - 2b)2 = 4a2 - 8ab +

2) (a + 2b)2 = a2 + 4ab +

8) (3w - 4z)2 = 9w2 - 24wz +

3) (5c + 3d)2 = 25c2 + 30cd +

9) (2c - 7d)2 = 4c2 - 28cd +

4) (2c + 5d)2 = 4c2 + 10cd +

10) (5a - 9b)2 = 25a2 - 90ab +

5) (3d + 7e)2 = 9d2 + 42de +

11) (3h - 8k)2 = 9h2 - 48hk +

C. Complete el segundo término 0) (b - 3)2 = b2 -

+ 9 6) (2x + 1)2 = 4x2 +

+1

1) (x - 11)2 = x2 -

+ 121 7) (5t + 2)2 = 25t2 +

+4

2) (x - 10)2 = x2 -

+100 8) (4x + y)2 = 16x2 +

+ y2

3) (m - n)2 = m2 -

+ n2 9) (5a + 2b)2 = 25b2 +

+ 4b2

4) (4a - b)2 = 16a2 -

+ b2 10) (4w + 3z)2 = 16w2 +

+ 9z2

5) (6b - c)2 = 36b2 -

+ c2 11) (2x + 8y)2 = 4x2 +

6b

+ 64y2


65

Razonamiento lógico Fíjese en la figura. ¿Cómo podemos expresar la medida de cada lado y el área del cuadro A?

x A

Es más fácil de lo que piensa. Veamos, como el lado de la figura total mide x y una parte mide 5; entonces el lado restante, que es el cuadro A, mide x - 5.

x 5

Ya tenemos el valor de un lado. Como es un cuadrado, entonces sus lados miden lo mismo.

5

,=x-5 Ahora calculamos el área: A = ,2

A = (x - 5)2 = (x)2 - 2 (x : 5) + (5)2 A = x 2 - 10 x + 25 El área del cuadro A mide x2 - 10x + 25. A. Calcule algebraicamente el área que ocupa el cuadro A de cada figura. Trabaje en su cuaderno.

a

1) a

b

2)

A

A

b 3

6

3

6

B. Calcule algebraicamente el área total de cada figura. Pista: la suma de los valores indicados en cada lado es la medida de la longitud total. Trabaje en su cuaderno.

2) 5

1) x

z

z

3

5 x

3




Conozco a Joseph Louis Lagrange y su aporte a la matemática. Resuelvo el cuadrado de la suma o la resta de un binomio por simple inspección. Practico el cálculo mental en la resolución del cuadrado de un binomio. Calculo en forma algebraica el lado y el área de un cuadrado.

66

IGER − Utatlán


23 Productos notables II ¿Qué encontrará esta semana? Emmy Noether Producto de la suma por la diferencia y producto de dos binomios con un término común y signos iguales. Multiplicación y división de números enteros; multiplicación de potencias con igual base. El caso del pastor, la cabra, el lobo y la lechuga

Esta semana logrará:  Reconocer los valores de Emmy Noether.  Resolver productos notables por simple inspección: suma por diferencia y dos binomios con un término común y signos iguales.  Practicar la agilidad de cálculo mental con multiplicaciones y divisiones de números enteros y multiplicaciones de potencias con igual base.  Aplicar el razonamiento lógico para resolver un caso práctico. 


67

¡Para comenzar! Emmy Noether La matemática que soñaba con ser profesora

Tomada de: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk

Emmy Noether, notable matemática, nació el 23 de marzo de 1882 en Alemania. Estudió idiomas y trabajó como maestra, sin embargo sintió que su vocación no era enseñar idiomas, sino matemáticas. Su padre daba clases de matemáticas en la universidad y ella asistía como oyente. En esa época las mujeres no podían matricularse como alumnas regulares, debían solicitar permiso a cada profesor para asistir a sus clases. Entre 1908 y 1915, Noether trabajó en el Instituto de Matemáticas de Erlangen, donde se doctoró con un célebre trabajo, pero sin remuneración, ni nombramiento oficial. Colaboró con científicos importantes como Otto Fischer y Albert Einstein, pero no le permitían impartir clases. En 1918, logró demostrar dos teoremas básicos. Uno de ellos es conocido como el “Teorema de Noether”. Los conceptos algebraicos que Emmy desarrolló conducían a un grupo de principios que unificaban álgebra, geometría, álgebra lineal, topología y lógica. Para cumplir su sueño de dar clases de matemática tuvo que salir de su país. Fue profesora en Rusia, Suiza y Estados Unidos. ¡A trabajar! Cuéntenos, ¿usted con qué sueña? ¿A qué se quiere dedicar?

68

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Productos Notables En la semana 22 aprendimos el cuadrado de la suma y la diferencia de un binomio, esta semana estudiaremos estos casos: • Producto de la suma por la diferencia de dos binomios:

(a + b)(a - b)

• Producto de dos binomios con un término común y signos iguales:

(a + b)(a + c) (a - b)(a - c)

1.1 Producto de la suma por la diferencia (a + b)(a – b) Identificar este producto notable es muy sencillo porque representa el producto de dos binomios, cuyos términos son iguales pero están unidos por signos opuestos. Veamos, si multiplicamos (a + b)(a - b) tenemos:

a+b a-b - ab - b2 a2 + ab a2 - b2 Observe que al sumar los resultados parciales de la multiplicación, los términos -ab + ab se anulan y el resultado es “0”, pero no se escribe. A la vista del resultado, podemos deducir que, en general, el producto de la suma de un binomio por su diferencia, es igual a la diferencia de sus cuadrados. • El cuadrado del primer término (a)2 • Menos el cuadrado del segundo término (b)2

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Memorice: Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. Matemática − Semana 23

69

Recuerde que la característica fundamental de los productos notables es que se pueden resolver por simple inspección, “a golpe de vista”, sin necesidad de realizar operaciones. Por eso es importante, en primer lugar, saber reconocerlos, y en segundo lugar aplicar la fórmula. Veamos un ejemplo Desarrollemos el producto (3a + 2)(3a - 2). Repita mentalmente la fórmula general: "suma por diferencia, es igual a diferencia de cuadrados".

(3a + 2)(3a - 2) = (3a)2 - (2)2 = 9a2 - 4 Comprobemos, multiplicando en sentido vertical.

3a + 2 3a - 2 - 6a - 4 9a2 + 6a 9a2 - 4 Otros ejemplos producto

(x + y)(x - y) =

desarrollo

(x)2 - (y)2 =

resultado

x2 - y2

(2x + 1)(2x - 1) = (2x)2 - (1)2 = 4x2 - 1 (5a + 4)(5a - 4) = (5a)2 - (4)2 = 25a2 - 16

Ejercicio 1 Desarrolle el producto de la suma por la diferencia. Repita mentalmente la fórmula general: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados". Guíese por el ejemplo. producto (suma por diferencia)

70

desarrollo

resultado

0) (3x + y)(3x - y) =

(3x)2 - (y)2 =

1) (x + 7)(x - 7) =

(

)2 - (

)2 =

2) (x + 9)(x - 9) =

(

)2 - (

)2 =

3) (a + 6)(a - 6) =

(

)2 - (

)2 =

4) (7b - 3)(7b + 3) =

(

)2 - (

)2 =

5) (2x - y)(2x + y) =

(

)2 - (

)2 =

6) (x + 4)(x - 4) =

(

)2 - (

)2 =

7) (3x + 2)(3x - 2) =

(

)2 - (

)2 =

8) (5x + 4)(5x - 4) =

(

)2 - (

)2 =

IGER − Utatlán

9x2 - y2

1.2 Producto de dos binomios con un término común y signos iguales a. (a + b) (a + c) Al igual que el producto de la suma por la diferencia, este también tiene una fórmula general para resolverlo por simple inspección. Memorice: El producto de dos binomios con un término común y signos iguales es igual al cuadrado del término común, más el término común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los términos no comunes. • El cuadrado del término común (a)2 • Más el término común por la suma de los no comunes a(b + c)

(a + b) (a + c) = a2 + a(b + c) + bc

• Más el producto de los términos no comunes bc Desarrollemos el producto (a + 7)(a + 6)

(a)2 + a(7 + 6) + (7 : 6) = a2 + 13a + 42 Comprobemos, multiplicando en sentido vertical.

a+7 a+6 6a + 42 a2 + 7a a2 + 13a + 42 Veamos otros ejemplos binomio

desarrollo

resultado 2

(a + 8)(a + 2) = a + 10a + 16 (a) + a(8 + 2) + (8 : 2) = 2 (b + 9)(b + 6) = b2 + 15b + 54 (b) + b(9 + 6) + (9 : 6) = (3y + 1)(3y + 5) = (3y)2 + 3y(1 + 5) + (1 : 5) = 9y2 + 18y + 5 2

Ejercicio 2 Desarrolle el producto de dos binomios con un término común y signos iguales. Repita mentalmente la fórmula general. Guíese por el ejemplo. binomio

desarrollo

resultado

0) (a + 9)(a + 1) =

(a)2 + a(9 + 1) + (9 : 1) =

1) (x + 3)(x + 6) =

(

)2 +

(

+

)+(

:

)=

2) (y + 4)(y + 5) =

(

)2 +

(

+

)+(

:

)=

a2 + 10a + 9


71

b. (a - b) (a - c) La fórmula es la misma del apartado anterior, salvo que el segundo término de la respuesta será un número negativo porque la suma de números negativos es otro número negativo. En general, podemos escribir la fórmula así:

(a - b)(a - c) = a2 + a(-b - c) + (-b : -c) = a2 - a(b + c) + bc suma de dos

producto de dos números negativos números negativos

El tercer término de la respuesta será siempre un número positivo porque el producto de dos números negativos es un número positivo. Lo entenderemos mejor con un ejemplo. ¡Atención! Recuerde que la ley de signos no es la misma para la suma que para el producto.

Desarrollemos el producto (w - 2)(w - 8)

(w - 2)(w - 8) = w2 + w(-2 - 8) + (-2 : -8) = w2 - 10w + 16 suma de dos

números negativos

producto de dos números negativos

Comprobemos, multiplicando en sentido vertical.

w-2 w-8 - 8w + 16 w2 - 2w w2 - 10w + 16 Veamos otros ejemplos. binomio

(x - 4)(x - 5) =

desarrollo

resultado

(x) + x(-4 - 5) + (-4 : -5) = 2

2

x - 9x + 20

(5y - 6)(5y - 4) = (5y)2 + 5y(-6 - 4) + (-6 : -4) = 25y2 - 50y + 24

Ejercicio 3 A. Desarrolle el producto de dos binomios con un término en común a simple vista y compruebe su respuesta multiplicando los binomios en sentido vertical. Fíjese en el ejemplo. 0) (y - 3) (y - 4) = y2 - 7y + 12

1) (d - 1) (d - 3) =

y - 3 y-4 -4y + 12 y2 - 3y y2 - 7y + 12

72

d-1 d-3

IGER − Utatlán

+

B. Desarrolle el producto de dos binomios con un término común y signos iguales. Repita mentalmente la fórmula general. Guíese por el ejemplo. binomio

desarrollo

resultado

0) (b - 6)(b - 2) =

(b)2 + b(-6 - 2) + (-6 : - 2) =

1) (a - 5)(a - 1) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

2) (c - 8)(c - 6) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

3) (h - 4)(h - 7) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

4) (x - 3)(x - 5) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

5) (x - 1)(x - 4) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

6) (y - 1)(y - 9) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

7) (w - 8) (w - 4) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

b2 - 8b + 12

Resumen Esta semana estudiamos dos casos más de productos notables. 1. Producto de la suma por la diferencia Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Comprobamos multiplicando en sentido vertical.

a+b a-b - ab - b2 a2 + ab a2 - b2 2. Producto de dos binomios con un término común y signos iguales El producto de dos binomios con un término en común y signos iguales es igual al cuadrado del término común, más el término común por la suma de los término no comunes, más el producto de los términos no comunes. a. (a + b)(a + c) = a2 + a(b + c) + bc b. (a - b)(a - c) = a2 + a(-b - c) + (-b : -c) = a2 - a(b + c) + bc Matemática − Semana 23

73



Rellene el círculo de la opción correcta a cada pregunta. 1) El resultado del producto de la suma por la diferencia de dos binomios es...

diferencia de cuadrados trinomio cuadrado factor común

2) Un ejemplo del producto de la suma por la diferencia es...

(x + 5)(x + 7) (x + 3)(x - 3) (x - 2)(x - 5)

3) Un ejemplo del producto de dos binomios con un término común y signos iguales es...

(w + 1)(x + 1) (w + 1)(x - 1) (w - 1)(w - 2)

4) El primer término del resultado de (3x + 2)(3x - 2) es...

x2 3x2 9x2

5) El segundo término del resultado de (3b + 3)(3b - 3) es...

6 9 -9

6) El primer término del resultado de (2c + 1)(2c + 3) es...

2c 4c 4c2

7) El segundo término del resultado de (y + 4)(y + 7) es...

11 11y 28y

8) El segundo término del resultado de (x - 2)(x - 5) es...

7x -7x -10x

9) El tercer término del resultado de (c - 6)(c - 3) es...

18 -18 -9c

74

IGER − Utatlán

Actividad 2.


A. Desarrolle el producto por simple inspección y compruebe su respuesta multiplicando en sentido vertical. Fíjese en el ejemplo. Producto de la suma por la diferencia

(d + 5)(d - 5) = 0) (x + 3)(x - 3) = x2 - 9 1)

x+3 x-3 -3x - 9 x2 + 3x x2 - 9

B. Efectúe la multiplicación de la suma por la diferencia de binomios. Tiene un ejemplo. binomio

desarrollo

resultado

0) (2x + 6)(2x - 6) =

(2x)2 - (6)2 =

1) (x + 9)(x - 9) =

(

)2 - (

)2 =

2) (a + 2)(a - 2) =

(

)2 - (

)2 =

3) (d + 4)(d - 4) =

(

)2 - (

)2 =

4) (x - 1)(x + 1) =

(

)2 - (

)2 =

5) (b + 2)(b - 2) =

(

)2 - (

)2 =

6) (2h - 5)(2h + 5) =

(

)2 - (

)2 =

7) (4k - 3)(4k + 3) =

(

)2 - (

)2 =

4x2 - 36

C. Opere el producto de la suma por la diferencia por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) (5a + 4)(5a - 4) =

25a2 - 16

1) (3x + 3)(3x - 3) = 2) (5y + 9)(5y - 9) = 3) (8x + 7)(8x - 7) = 4) (z + 12)(z - 12) = 5) (2d - 3)(2d + 3) = 6) (5k - 1)(5k + 1) = 7) (10m + 3)(10m - 3) = Matemática − Semana 23

75

D. Efectúe el producto de dos binomios con un término común y signos iguales. Tiene un ejemplo. binomio

desarrollo

resultado

0) (x + 9)(x + 4) =

(x)2 + x(9 + 4) + (9 : 4) =

1) (y + 1)(y + 5) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

2) (w + 8)(w + 7) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

3) (z - 4)(z - 2) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

4) (x -5)(x - 2) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

5) (a + 6)(a + 1) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

6) (b + 3)(b + 6) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

7) (x + 7)(x + 1) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

8) (y - 4)(y - 6) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

9) (y - 7)(y - 8) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

10) (z + 5)(z + 9) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

11) (2h + 1)(2h + 2) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

12) (5b + 3)(5b + 1) =

(

)2 +

(

)+(

:

)=

x2 + 13x + 36

E. Opere el producto de dos binomios con un término común y signos iguales por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) (v + 1)(v + 18) =

v2 + 19v + 18

1) (x - 3)(x - 8) = 2) (b + 11)(b + 7) = 3) (x - 6)(x - 9) = 4) (m - 3)(m- 5) = 5) (k - 2)(k - 7) = 6) (y + 5)(y + 9) = 7) (x + 3)(x + 6) = 8) (h - 9)(h - 8) = 9) (d + 8)(d + 7) = = 10) (x - 7)(x - 10) = = 11) (2b - 4)(2b - 1) = = 12) (5k + 2)(5k + 3) =

76

IGER − Utatlán

Agilidad de cálculo mental Escriba el término que completa la igualdad. Tiene un ejemplo para cada caso. A. Resuelva las multiplicaciones de números enteros lo más rápido que pueda. Tenga presente la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0) 4 x 4 = 16

7) 3 x (–8) =

14) 8 x (–10) =

1) 5 x 5 =

8) 2 x (–6) =

15) 9 x (–10) =

2) 7 x 7 =

9) 4 x (–5) =

16) (–8) x 5 =

3) 3 x 7 =

10) 3 x (–2) =

17) (–8) x 7 =

4) 8 x 9 =

11) 6 x (–9) =

18) (–4) x 8 =

5) 5 x 6 =

12) 3 x (–1) =

19) (–9) x 9 =

6) 6 x (–3) =

13) 2 x (–7) =

20) (–9) x 7 =

B. Resuelva las divisiones de números enteros, tenga presente la ley de signos. Guíese por el ejemplo. 0) 24 ÷ 6 = 4

5) 27 ÷ (–3) =

10) (–40) ÷ (–8) =

1) 42 ÷ 7 =

6) 32 ÷ (–8) =

11) (–63) ÷ (–9) =

2) 81 ÷ 9 =

7) 18 ÷ (–9) =

12) (–42) ÷ (–6) =

3) 56 ÷ 8 =

8) 25 ÷ (–5) =

13) (–25) ÷ (–5) =

4) 45 ÷ 5 =

9) 64 ÷ (–8) =

14) (–36) ÷ (–4) =

C. Multiplique potencias con igual base, recuerde colocar la base y sumar las potencias. Hay un ejemplo. 0) 36 x 33 =

39

1) 45 x 46 =

5) 114 x 113 =

10) 17 x 19 =

6) 153 x 1511 =

11) 238 x 234 =

2) 72 x 74 =

7) 124 x 126 =

12) 462 x 469 =

3) 32 x 35 =

8) 148 x 146 =

13) 888 x 882 =

4) 62 x 64 =

9) 105 x 102 =

14) 331 x 3316 = Matemática − Semana 23

77

Razonamiento lógico Los problemas de razonamiento lógico significan un reto que pone a prueba todas nuestras habilidades y destrezas para encontrar la mejor solución. Lea el caso siguiente, realice los procedimientos que considere necesarios y proponga la mejor solución. El caso del pastor, la cabra, el lobo y la lechuga Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río. Dispone de una pequeña barca en la que solo caben él y la cabra, él y el lobo o él y la lechuga. El lobo se come a la cabra si se quedan solos, la cabra se come la lechuga si se quedan solos. ¿De qué manera debe realizar los viajes para llevar al otro lado del río a los tres?




Reconozco los valores de Emmy Noether. Resuelvo productos notables por simple inspección: suma por diferencia y dos binomios con un término común y signos iguales. Multiplico y divido números enteros; multiplico potencias con igual base. Resuelvo un caso de razonamiento lógico.

78

IGER − Utatlán


24 División de polinomios ¿Qué encontrará esta semana? Repaso de la ley de signos y de la división de potencias División de un monomio entre otro monomio, de un polinomio entre un monomio y de un polinomio entre un binomio: regla de Ruffini Producto y división Secuencias lógicas

Esta semana logrará:  Repasar la ley de signos y de la división de potencias.  Dividir un monomio entre otro monomio y un polinomio entre un monomio.  Aplicar la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre un binomio.  Practicar el cálculo mental a través de productos y divisiones.  Completar secuencias lógicas. 


79

¡Para comenzar! Esta semana conviene recordar la división de números enteros y de potencias de la misma base. Porque nos servirán para la división de polinomios.

Ley de signos de la división Recuerde: • El cociente de dos números enteros con el mismo signo es un número positivo. • El cociente de dos números enteros con signo diferente es un número negativo. Observe la ley de signos de la división y los ejemplos. ley de signos + ÷ + = +

ejemplo 6 ÷ 2 = 3

– ÷ – = +

–6 ÷ –2 = 3

+ ÷ – = –

6 ÷ –2 = –3

– ÷ + = –

–6 ÷ 2 = –3

División de potencias de igual base Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes. Ejemplos 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 c7 ÷ c5 = c7–5 = c2 27 ÷ 26 = 27–6 = 21 = 2 d4 ÷ d4 = d4–4 = d0 = 1 Recuerde: todo número elevado al exponente cero (a0) es igual a uno (1), a0 = 1.

¡A trabajar! Repase y practique. Fíjese en los ejemplos.

4) 38 ' 33 = 38 - 3 = 35 8) a9 ' a3 = a9-3 = a6

1) -8 ' 2 =

5) 79 ' 76 =

9) y4 ' y3 =

2) 24 ' -3 =

6) 47 ' 43 =

10) w3 ' w2 =

3) -27 ' -9 =

7) 23 ' 23 =

11) z5 ' z5 =

0) 12 ' - 6 =

80

IGER − Utatlán

-2

El mundo de la matemática 1. División de polinomios Para dividir polinomios aplicamos las mismas leyes de los signos y de la potenciación de números enteros que acabamos de repasar. Estudiaremos tres casos.

1.1 División de un monomio entre otro monomio Para dividir dos monomios, primero aplicamos la ley de los signos, luego dividimos los coeficientes numéricos y después las literales. Veamos el procedimiento: • Escribir la división como una fracción algebraica. • Descomponer la fracción como producto de varias fracciones. • Dividir el coeficiente numérico y las literales, aplicando las leyes de los signos y de la potenciación. • Escribir el resultado. Lo entenderemos mejor con un ejemplo. Dividamos 6a4b5 ' 3a2b2 • Escribimos la división como una fracción algebraica.

4 5 = 6a2 b2 3a b

• Descomponemos la fracción como producto de varias fracciones.

4 5 = 6 : a2 : b2 3 a b

• Dividimos el coeficiente numérico y las literales. (Copiamos la base y restamos los exponentes)

= 2a4 - 2 b5 - 2 = 2a2b3

• Expresamos la división completa:

6a4b5 ' 3a2b2 = 2a2b3

Otro ejemplo Dividamos 24x5y7 ' -6x2y6 • Escribimos la división como una fracción algebraica.

=


5 y7 = 24 : x2 : 6 -6 x y

24x5 y 7 - 6x2 y6

• Dividimos el coeficiente numérico y las literales. Recuerde dividir primero los signos (+ ' - = -)

= -4x5 - 2 y7 - 6 = -4x3y


24x5y7 ' -6x2y6 = -4x3y Matemática − Semana 24

81

¡Un ejemplo más! Dividamos Atención: Cuando en el numerador hay una letra que no existe en el denominador, suponemos que su denominador es uno. Por ejemplo y3 y3 = 1

- 8x6y3 ' - 4x5

• Escribimos la división como una fracción algebraica.

=


6 y3 = - 8 : x5 : -4 x 1

• Dividimos el coeficiente numérico y las literales.

= 2x6 - 5 y3 = 2xy3


- 8x6 y3 - 4x 5

-8x6y3 ' -4x5 = 2xy3

Ejercicio 1 A. Siga los pasos para dividir

-12x3y ' - 4x2

•

Escriba la división como una fracción algebraica.

•

Descomponga la fracción como producto de varias fracciones.

= - 12 : ............... : ............... -4

•

Divida el coeficiente numérico y las literales. Acuérdese de dividir primero los signos.

= ..............................................................................................

•

Exprese la división completa:

=

B. Divida los monomios. Hay un ejemplo.

15x5 ' 5x2 = 0) -6a4b3 ' 3a2b = 1)

4 3 = - 6a2 b 3a b 4 3 = - 6 : a2 : b 3 a b = - 2a 4 - 2 b 3 - 1 =- 2a 2 b 2

2) 12x2y ' -3x = 3) -20ab3 ' 4b =

82

IGER − Utatlán

- 12x3 y - 4x2

1.2 División de polinomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio y resolvemos las operaciones indicadas. Entenderemos el procedimiento con un ejemplo.

(4c3 + 6c2 + 2c) ' (2c) Dividamos • Escribimos la división como una fracción algebraica. (Observe que el monomio se convierte en denominador común)

3 2 = 4c + 6c + 2c 2c

Atención: Cualquier valor dividido entre sí mismo es igual a la unidad (1).

• Separamos cada término como fracción con denominador común.

3 2 2c = 4c + 6c + 2c 2c 2c

• Dividimos cada fracción como división de dos monomios.

= 2c3-1 + 3c2 - 1 + 1

2 =1 2

= 2c2 + 3c + 1

c = c1-1 = c0 = 1 c

• Expresamos la división completa: (4c + 6c + 2c) ' (2c) = 2c + 3c + 1 3

2

2

Otro ejemplo

(9x5 - 6x3 + 12x) ' (3x) Dividamos • Escribimos la división como una fracción algebraica.

5 3 = 9x - 6x + 12 x 3x

• Separamos cada término como fracción con denominador común.

5 3 12 x = 9x - 6x + 3x 3x 3x

• Dividimos cada fracción como división de dos monomios.

= 3 x 5- 1 - 2 x 3 - 1 + 4 = 3x4 - 2x2 + 4

• Expresamos la división completa: (9x5 - 6x3 + 12x) ' (3x) = 3x4 - 2x2 + 4

Ejercicio 2 Complete la división. (8k4 + 12k3 - 4k2) ' (4k2) • Escriba la división como una fracción algebraica. • Separe cada término como fracción con denominador común. • Divida cada fracción como división de dos monomios.

4 3 2 = 8k + 12k2 - 4k 4k

=

4k2

+

4k2

-

4k2

= ................................................................................................................................

• Exprese la división completa: Matemática − Semana 24

83

1.3 División de un polinomio entre un binomio: La regla de Ruffini La regla de Ruffini es un método para dividir un polinomio entre un binomio. Al aplicarlo se debe cumplir este procedimiento: • El dividendo debe escribirse en orden descendente, x3 + x2 + x +1 • Si falta un término en algún orden del dividendo, se coloca cero en su lugar. • El divisor debe ser un binomio de la forma x + a, donde a es cualquier número entero. Entenderemos el procedimiento con un ejemplo. Ponga mucha atención. Dividamos (x3 - 7x + 6) ' (x + 3) = Atención: Observe que colocamos un cero (0) en el orden x2 que falta en el polinomio dividendo. El término independiente es un número que aparece sin la variable. En el binomio x + 3, el término independiente es 3.

84

IGER − Utatlán

1. Copiamos los coeficientes del polinomio. Trazamos dos líneas como en la ilustración. Abajo y a la izquierda el término independiente del binomio con el signo opuesto (-3).

x3 + 0x2 - 7x + 6 +1 0 - 7 +6 -3

2. Bajamos el +1 del polinomio, debajo de la línea horizontal. Siga la flecha.

+1 0 - 7 +6 -3 +1

3. Multiplicamos -3 : 1 = -3. Escribimos el resultado en la columna siguiente, siga las flechas.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 +1

4. Sumamos 0 - 3 = -3. Escribimos el resultado abajo.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 +1 -3

5. Repetimos los pasos 3 y 4. Multiplicamos -3 : -3 = +9. Escribimos el resultado en la columna siguiente.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 + 9 +1 -3

6) Sumamos - 7 + 9 = +2. Escribimos el resultado abajo.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 + 9 +1 -3 + 2

7. Repetimos los pasos 3 y 4. Multiplicamos -3 : 2 = -6. Escribimos el resultado en la columna siguiente.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 + 9 -6 1 -3 + 2

8. Sumamos 6 - 6 = 0. Escribimos el resultado abajo. Este último valor representa siempre el residuo (R) del resultado final.

+1 0 - 7 +6 -3 -3 + 9 -6 1 -3 + 2 0

9. ¡Atención! Con los valores de la última fila armamos el polinomio de la respuesta. Observe.

Observe que la respuesta es un polinomio en orden descendente de un grado menor al polinomio original.

x2 - 3x + 2

(x3 - 7x + 2) ' (x + 3) = x2 - 3x + 2, R = 0 Otro ejemplo Dividamos (2x2 - 9x - 19) ' (x - 6) 1. Copiamos los coeficientes del polinomio. Trazamos dos líneas como en la ilustración. Abajo y a la izquierda el término independiente del binomio con el signo opuesto (+6).

+2 -9 -19 +6

2. Bajamos el +2 del polinomio, debajo de la línea horizontal. Siga la flecha.

+2 -9 -19 +6 +2

3. Multiplicamos 6 : 2 = +12. Escribimos el resultado en la columna siguiente. Siga las flechas.

+2 -9 -19 +6 +12 +2

4. Sumamos - 9 + 12 = +3. Escribimos el resultado abajo. Siga las flechas.

+2 -9 -19 +6 +12 +2 +3

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta completar la tabla.

+2 -9 -19 +6 +12 +18 +2 +3 -1

6. Con los valores de la última fila armamos el polinomio de la respuesta. Observe con atención.

2x + 3

Escribimos la respuesta: (2x2 - 9x - 19) ' (x - 6) = 2x + 3, R = -1 Matemática − Semana 24

85

Ejercicio 3 Ahora practique la división de dos polinomios. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0) (x3 - 27) ' (x - 3) =

= (x3 + 0x2 + 0x - 27) ' (x - 3)

1 0 0 -27 3 +3 +9 +27 1 +3 +9 0

1) (x2 + 5x + 6) ' (x + 3) =

-3

x2 + 3x + 9, R = 0

86

2) (x2 + x - 20) ' (x + 5) =

3) (2m2 - 9m - 18) ' (m + 3) =

4) (x3 - 3x2 - 3x + 6) ' (x - 1) =

5) (y2 - 9) ' (y + 3) =

IGER − Utatlán

6) (4y3 - y + 4) ' (y + 2) =

7) (z3 + 8) ' (z + 2) =

Resumen 1.1 División de un monomio entre otro monomio Para resolver la división de monomio entre monomio seguimos estos pasos: 1. Escribir la división como una fracción algebraica. 2. Descomponer la fracción como producto de varias fracciones. 3. Dividir el coeficiente numérico y las literales. 4. Escribir el resultado final. 1.2 División de polinomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, procedemos así: 1. Escribir la división como una fracción algebraica. 2. Separar cada término como fracciones con denominador común. 3. Dividir cada fracción como división de dos monomios. 4. Escribir el resultado final. 1.3 División de un polinomio entre un binomio: La regla de Ruffini La regla de Ruffini es un método para dividir un polinomio entre un binomio. Se debe cumplir este procedimiento: • El dividendo debe escribirse en orden descendente, x3 + x2 + x +1 • Si falta un término en algún orden del dividendo, se coloca cero en su lugar. • El divisor debe ser un binomio de la forma x + a.


87



Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Cuál es el resultado de dividir a2 ' a2?

a4 a2 a 1

2) ¿Cuál es el resultado de dividir -b ' b?

-1 1 -b b

3) ¿Cuál es el resultado de dividir -x3 ' - x2?

x -x -x2 -x5

4) ¿Cuál es el resultado de dividir ab ' a?

a b ab 1

5) ¿Cuál es el resultado de dividir (a + b) ' a?

b 1+b 1 + b/a a + b/a

Actividad 2.


A. Siga los pasos para resolver la división

(6x5 + 4x3 + 2x) ' (2x)

• Escriba la división como una fracción algebraica. El monomio se convierte en denominador común.

=

• Separe cada término como fracción con denominador común.

=

• Divida cada fracción como división de dos monomios.

= ..................................................................................

+

+ 2x

2x

+

2x

+

2x

= .................................................................................. • Exprese la división completa:

88

IGER − Utatlán

B. Realice las divisiones indicadas. Guíese del ejemplo. 0) (6x4) ' (2x) =

1) (8x5) ' (-2x) =

4 4 3 4-1 = 6x = 6 : x = 3x = 3x 2x 2 x

2) (2x4 + 6x2 + 4x) ' (2x) = 3) (3y5 - 6y3 + 9y) ' (3y) =

C. Aplique la regla de Ruffini para dividir. 1) (x2 + 20x + 10) ' (x + 2) = 2) (x2 - 16) ' (x + 4) =

D. Realice en su cuaderno las divisiones siguientes. 1) -10x2 ' (-2x) =

6) (x2 + 5x + 2) ' (x + 2) =

2) 63a4b ' 3a = 7) (x2 - 2x - 3) ' (x - 3) = 3) 33a5b7 ' (-3a2b4) = 8) (x2 + 2) ' (x - 2) = 4) (x3 + 2x2 + 70x) ' (x) = 9) (x3 - 2x2 - 3x + 6) ' (x - 1) = 5) (2x4 - 6x3 + 4x2) ' (2x2)= 10) (2x3 - 1) ' (x - 1) = Matemática − Semana 24

89

Agilidad de cálculo mental A. Encuentre el producto o el factor que falta. Tiene un ejemplo. 0) 9 x 8 = 72

8)

x 7 = 49

1) 5 x 7 =

9)

x 9 = 54

2) 6 x 4 =

10)

x 2 = 18

3) 2 x 3 =

11)

x 5 = 45

4) 8 x 3 =

12)

x 8 = 56

5) 4 x 9 =

13)

x 5 = 40

6) 8 x 1 =

14)

x 7 = 42

7) 7 x 9 =

15)

x 8 = 64

B. Escriba el divisor que completa correctamente las divisiones. Tiene un ejemplo. 0) 28 ÷

4

=7

8) 48 ÷

=6

1) 32 ÷

=8

9) 54 ÷

=9

2) 90 ÷

= 10

10) 48 ÷

=8

3) 50 ÷

=5

11) 36 ÷

=9

4) 49 ÷

=7

12) 81 ÷

=9

5) 40 ÷

=8

13) 24 ÷

= 8

6) 100 ÷

= 10

14) 30 ÷

= 10

7) 21 ÷

=3

15) 45 ÷

=9

C. Resuelva la división de monomios. Tiene un ejemplo. 0) (x3) ' (x) =

90

x2

6) (-6d8) ' (-d5) =

1) (y8) ' (y3) =

7) (-7e6) ' (-7e4) =

2) (a5) ' (a2) =

8) (-10a7) ' (-2a2) =

3) (c7) ' (c6) =

9) (-18s3) ' (-3s3) =

4) (h2) ' (h2) =

10) (-20c4) ' (-2c) =

5) (b6) ' (b5) =

11) (-25y9) ' (-5y3) =

IGER − Utatlán

Razonamiento lógico Este ejercicio consiste en hallar la figura, el valor numérico o letra que corresponde según la secuencia lógica. Fíjese en el ejemplo. 0)

3

8

6

4

...32

12

9

¿Qué figura le corresponde al número 32? Explique la respuesta.

La figura es un cuadrado porque los triángulos contienen múltiplos de 3 y los cuadrados múltiplos de 4. Y 32 es múltiplo de 4.

1)

5

6

10

12

15

...65

18

¿Qué figura le corresponde a 65? Explique su respuesta.

2)

1

1

2

3

3

5

4

7

5

9

6

11

a

b

Observe la secuencia. ¿Cuáles son los valores de a y b? Explique su respuesta.

3)

15

20

12

10

5

12

18

23

20

18

15

N

Observe la relación de los números en forma vertical y horizontal en los dos primeros recuadros. ¿Cuál es el valor de N? Explique su respuesta.

4)

2

3

4

4

6

8

6

9

12

8

...27

Observe la secuencia de números y figuras. ¿Qué figura le corresponde a 27? Explique su respuesta.


91

Desarrolle nuevas habilidades ¿Cuántos cubos hay? Con esta actividad pretendemos desarrollar su habilidad de conteo y de observación atenta. La idea es calcular el total de cubos que hay en la figura siguiente:

El resultado lo podemos obtener así: • En la fila de arriba hay 5 cubos • En la fila de en medio hay 7 cubos • En la fila de abajo hay 8 cubos Respuesta: En la figura hay 5 + 7 + 8 = 20 cubos. Ahora le toca a usted, calcule la cantidad de cubos que hay en cada figura. Escriba su respuesta sobre la línea. 2)

1)

R/

R/




Repaso la ley de signos y la división de potencias. Divido un monomio entre otro monomio y un monomio entre un monomio. Aplico la ley de Ruffini para dividir un polinomio entre otro polinomio. Practico el cálculo mental a través de productos y divisiones. Completo secuencias lógicas.

92

IGER − Utatlán


25 Repaso: semanas 18 a 24 Esta semana logrará:  Repasar los contenidos de la semana 18 a la 24.  Clasificar expresiones algebraicas según el número de términos.  Sumar y restar polinomios en forma horizontal y vertical.  Multiplicar polinomios en forma horizontal y vertical.  Dividir polinomios con la regla de Ruffini.  Efectuar productos notables por simple inspección.  Practicar el cálculo mental con expresiones algebraicas. 


93

Querida y querido estudiante: Se aproxima la tercera evaluación y debe prepararse adecuadamente, repasando los contenidos de las semanas 18 a la 24. Para aprovechar este repaso le recomendamos: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.

¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de cálculo mental. En ella se mide su destreza y rapidez para la realización de operaciones básicas en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las ocho semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted elaboró en las actividades del autocontrol. Se le pedirá:  responder preguntas,  rellenar el círculo de la opción correcta,  resolver operaciones y  resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar escrito en la prueba el procedimiento que utilice para llegar a la respuesta. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.

94

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática Expresiones algebraicas 1. Las expresiones algebraicas se clasifican según el número de términos. -3c3d4

1.1 Monomio es una expresión algebraica formada por un solo término. 1.2 Polinomio es la suma o la resta de dos o más monomios.

Binomio es un polinomio formado por dos monomios.

2a + b2

Trinomio es un polinomio formado por tres monomios.

3a3 + b2 + 1

Si una expresión algebraica está formada por cuatro o más terminos recibe el nombre de polinomio.

a+b+c+1

1.2.1 El grado de un polinomio es el mayor exponente de los monomios que lo forman. Puede ser absoluto o relativo. El grado absoluto es la suma de los exponentes de cada variable. El grado relativo es el mayor exponente al que está elevada una variable. 1.3 Un polinomio se puede escribir en orden alfabético (a, b, c... etc.), en orden ascendente (de menor a mayor grado del exponente) o descendente (de mayor a menor grado del exponente). 2. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir cada letra por un valor asignado y realizar las operaciones indicadas.

Ejercicio 1 Escriba sobre la línea qué clase de polinomio es y explique por qué. Tiene un ejemplo. 0) 5a3b

Es monomio porque está formado por un solo término algebraico.

1) xy + 2z

2) 6d2c

3) 20x + 3

4) 3x + 2y

5) 2abc

6) ab2


95

Ejercicio 2 Complete la tabla escribiendo si el polinomio se clasifica como binomio o trinomio. Luego escriba el grado relativo respecto a la variable indicada. Guíese por el ejemplo. polinomio 0) 2a3b + 2a2b + 8b2

clasificación

grado de a

grado de b

trinomio

3

2

1) a3 + 3b 2) 12a5b - 6a4b3c + c2 3) 6a4d2 + 4b3c5 4) 10a5y4 + 21a6b 5) 5a2 - 2b2

Ejercicio 3 Calcule el valor numérico de las expresiones algebraicas si a = 3, b = 2 y x = 4. Fíjese en el ejemplo.

4b2 - 3x + 2a = 0) 2x + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9 1)

2) 4a3 + 5b2 - 3x3 = 3) 3a2 + 2x3 - 2x2 + 4 =

4)

96

2 2b2 + x = 5) 3x - 2a + 3b = a 2x

IGER − Utatlán

Suma y resta de polinomios Para sumar o restar monomios, sumamos o restamos los coeficientes numéricos y copiamos la parte literal.

4m + 11m = 15m Para sumar o restar monomios y polinomios, eliminamos los paréntesis del polinomio respetando la ley de signos, agrupamos o alineamos términos semejantes y luego reducimos.

Puede operar los monomios y polinomios en sentido vertical u horizontal. Sentido horizontal

(8m + 2n) - (3m + 5n -2) = 8m + 2n - 3m - 5n + 2 = (8m - 3m) + (2n - 5n) + 2 = 5m - 3n + 2

Sentido vertical

8m + 2n -3m - 5n + 2 5m - 3n + 2

Ejercicio 4 Opere los monomios en sentido horizontal. Hay un ejemplo. 0) 2x + 3x = 5x 1) 20abc + 12abc =

2) -23xyz -7xyz = 3) -6x2y3 + 12x2y3 =

4) 15x3y2z - 9x3y2z = 5) 4h2 - 16h2 =


97

Ejercicio 5 Opere los monomios en sentido vertical. Guíese por el ejemplo. 0)

4x 1) + 10x 14x

12x2y + 16x2y

2)

25a2b3c 3) -33a2b3c

- 25x3y7z4 - 26x3y7z4

4)

15xyz 5) - 84abc - 15abc + 12xyz

Ejercicio 6 A. Opere un monomio con un polinomio en sentido horizontal. Tiene un ejemplo. 0) 3x + (4xy + 2y + 1) = 1) 25y2 + (2xy -36y2) =

3x + 4xy + 2y + 1

2) 4x - (2x + 24y -15c) = 3) -6a - (6a + 4b - 6c) =

4) -36x - (-12x - 6y + 4z) =

98

IGER − Utatlán

5) 3p + (2p + 4q - 6r) =

B. Opere un monomio con un polinomio en sentido vertical. Hay un ejemplo. 0) 4z - (36x + 2y - 4z) = 1) 25x2y + (25x3y - 12x2y + 3) =

- 36x - 2y + 4z + 4z - 36x - 2y + 8z

2) 36a2 - (-12a3b2 + 15a2) =

3) 12mn + (-5m + 10mn - 4p) =

Ejercicio 7 A. Opere los polinomios en el sentido que desee. Guíese por el ejemplo. 0) (5x2y + 3x - 5y) + (6x2y - 5x + 8y) =

5x2y + 3x - 5y + 6x2y - 5x + 8y = (5x2y + 6x2y) + (3x - 5x) + (8y - 5y) = 11x2y - 2x + 3y

1) (3x + 8y - 6) + (8x - 9y + 14) =

2) (5a2b + 9bc + 8d) + (4a2b - 3bc + 6) =

B. Opere los polinomios siguientes en su cuaderno. 1) (5a - 3b + c) + (4a - 5b - c)

4) (3a + 7b - 4c) - (3a + 5b - 3c)

2) (8p4 - 3r2) + (6p4 - 12r2 + 15)

5) (5k + 2m + 10) + (2k + m - 4s + 24)

3) (-12x + 15y + 16z) - ( -13x + 20y) 6) (4x4y + 3x3 + 3y) + (5x4y - 5x2 + 4y) Matemática − Semana 25

99

Multiplicación de polinomios I 1. Para multiplicar polinomios aplicamos las mismas leyes del producto y de la potenciación de números enteros. 1.1 Podemos multiplicar dos o más monomios aunque los coeficientes, literales y exponentes sean diferentes. El procedimiento es el siguiente: • Agrupar los coeficientes numéricos y literales por separado. • Multiplicar los valores agrupados respetando las leyes de los signos y de la potenciación. • Escribir la respuesta. 1.2 El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio es: • Multiplicar el monomio por cada término del polinomio. • Resolver cada operación como producto de dos monomios. • Escribir la respuesta.

Ejercicio 8 Multiplique los monomios en sentido horizontal. Guíese por el ejemplo.

1) (a2b3)(a3b2c4) = (4:-3)(p4 : p6) = -12p4 + 6 = -12p10

0) (4p4)(-3p6) =

2) (-3x4y3)(-6xyz) = 3) (-4m4n3)(3m4n3p) =

4) (a2)(-b2)(4a3b3) = 5) (-4a3)(2a2b)(-6ab3c) =

6) (-ab2)(-bc3)(-cd4) = 7) (4x)(-5x2y)(2x3) =

100

IGER − Utatlán

Ejercicio 9 Multiplique un monomio por un polinomio en sentido horizontal. Exprese el polinomio resultante en orden descendente y reduzca términos semejantes. Tiene un ejemplo. 0) (6x2)(1 + 2x - 12y3 - 3) =

1) (4ab)(21ab + 14abc - 2) =

6x2 + 12x3 - 72x2y3 - 18x2 = 12x3 - 12x2 - 72x2y3

2) (4x)(1 + 20x - 5y) = 3) (2a)(10b - 12a) =

4) (b)(a - 36ab + 4bc) = 5) (2m4)(4m2n3 - 3mn - 12p) =

Ejercicio 10 Multiplique un monomio por un polinomio en sentido vertical. Hay un ejemplo. 0) (4x)(5x2 + 2xy - 4z) =

1) (5g)(3w + 11x - 9z) =

5x2 + 2xy - 4z 4x 3 2 20x + 8x y - 16xz

2) (7a2b)(-5a3 + 7a2b - 3ab2) =

3) (2c)(3c2 - 2cd + d) =

4) (3a3)(2a2b + a - 4) =

5) (4hk)(2h3 - 2k2 + 3hk) =


101

Multiplicación de polinomios II Multiplicación de polinomios Para multiplicar un binomio por otro binomio y un polinomio por otro polinomio: • Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y se resuelven los productos planteados. • Se reducen términos semejantes. • Se ordena el polinomio. • Se escribe el producto completo. Se puede multiplicar en sentido vertical y horizontal.

(b3 + 8)(3b2 + 5b + 1) = = [(b3 : 3b2) + (b3 : 5b) + (b3 : 1)] + [(8 : 3b2) + (8 : 5b) + (8 : 1)]

=

3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8

(b3 + 8)(3b2 + 5b + 1) = 3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8 3b2 + 5b + 1 b3 + 8 + 24b2 + 40b + 8 3b5 + 5b4 + b3 3b5 + 5b4 + b3 + 24b2 + 40b + 8

Ejercicio 11 Multiplique los polinomios en sentido horizontal aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación. 1) (2a + 2b)(3a + 3b)

:

= [(

:

)+( +

= =

:

)] + [( + +

)+(

:

)+(

: -

)]

+ +

2) (4x + 2y)(3x -3)

= [(

:

)+( =

102

IGER − Utatlán

: -

)] + [( +

: -

)]

Ejercicio 12 Multiplique los polinomios. Guíese por el ejemplo. 0) (x + 1)(2x + 3y + 4) = 1) (a + 1)(2a + b + 1) =

2x + 3y + 4 x+1 2x + 3y + 4 2 2x + 4x + 3xy 2x2 + 6x + 3xy + 3y + 4

2) (a2 + b)(2a + 4b + 8c) = 3) (mn + 1)(m3n3 + m2n2 - 4) =

4) (a + b)(2a2 + 2ab + b2) = 5) (c - d)(-a + 3b + 2c) =


103

6) (x + 4)(3x2 + 4x - 2) =

7) (3x + 2)(4x2 - 3x + 7) =

8) (4a2 - 3)(2a2 - a + 6) =

9) (5c3 + 1)(-c2 + 2c + 1) =

10) (a + b)(a2 - ab + b2) = 11) (6p2 - 2p)(p2 + 4p + 5) =

104

IGER − Utatlán

Productos notables I y II Los productos notables son multiplicaciones de polinomios que cumplen con reglas fijas y se pueden resolver por simple inspección. 1. Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a + b)2 = (a)2 + 2(a : b) + (b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Cuadrado de la resta de un binomio (a - b)2 El cuadrado de la resta de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a - b)2 = (a)2 - 2(a : b) + (b)2 = a2 - 2ab + b2

3. Producto de la suma por la diferencia Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b)(a - b) = a2 - b2

4. Producto de dos binomios con un término común y signos iguales El producto de dos binomios con un término común y signos iguales es igual al cuadrado del término común, más el término común por la suma de los término no comunes, más el producto de los términos no comunes. a.

(a + b)(a + c) = a2 + a(b + c) + bc

b.

(a - b)(a - c) = a2 + a(-b - c) + (-b : -c) = a2 - a(b + c) + bc

Recuerde que puede realizar todas estas operaciones paso a paso.

Si se siente más seguro, multiplique en sentido vertical. Fíjese en el ejemplo de la suma por la diferencia.

a+b a-b - ab - b2 a2 + ab a2 - b2 Matemática − Semana 25

105

Ejercicio 13 Calcule el cuadrado de las sumas y restas indicadas. Guíese por el ejemplo. cuadrado de la suma 0) (2a + 2b)2 =

desarrollo

(2a)2 + 2(2a : 2b) + (2b)2 =

resultado

4a2 + 8ab + 4b2

1) (4x + 2y)2 = 2) (2a + c)2 = 3) (3m + 2)2 = 4) (4m + 2n)2 = 5) (5h + 6k)2 = 6) (2x + 10y)2 = cuadrado de la resta 0) (2h - 3)2 =

desarrollo

(2h)2 - 2(2h : 3) + (3)2 =

resultado

4h2 - 12h + 9

1) (2a - 6)2 = 2) (5m - 3n)2 = 3) (4a - 9b)2 = 4) (3p - 4)2 = 5) (3k - 3x)2 = 6) (5x - 8y)2 =

Ejercicio 14 Opere el producto de la suma por la diferencia por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) (h + k)(h - k) =

h2 - k2

1) (x + y)(x - y) = 2) (c + d)(c - d) = 3) (a + b)(a - b) = 4) (n + 1)(n - 1) = 5) (4 + 9t)(4 - 9t) = 6) (5c + 4)(5c - 4) = 7) (2x + 3)(2x - 3) = 8) (5 + 8w)(5 - 8w) =

106

IGER − Utatlán

Ejercicio 15 Opere el producto de dos binomios con un término común y signos positivos por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) (a + 5)(a + 9) =

a2 + 14a + 45

1) (x + 5)(x + 4) = 2) (p + 2)(p + 3) = 3) (a + 7)(a + 1) = 4) (m + 1)(m + 2) = 5) (r + 3)(r + 4) = 6) (q + 6)(q + 3) = 7) (k + 1)(k + 8) = 8) (4g + 3)(4g + 5) = 9) (6b + 2)(6b + 6) = 10) (2d + 1)(2d + 7) =

Ejercicio 16 Opere el producto de dos binomios con un término común y signos negativos por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) (3h - 9)(3h - 2) = 9h2 - 33h + 18 1) (t - 1)(t - 2) = 2) (r - 8)(r - 2) = 3) (z - 5)(z - 4) = 4) (n - 2)(n - 1) = 5) (k - 2)(k - 4) = 6) (4c - 4)(4c - 5) = 7) (2a - 2)(2a - 3) = 8) (3g - 3)(3g - 5) = 9) (5h - 4)(5h - 2) = 10) (2p - 1)(2p - 2) =


107

División de polinomios 1.1 División de un monomio entre otro monomio Para resolver la división de monomio entre monomio seguimos estos pasos: 1. Escribir la división como una fracción algebraica. 2. Descomponer la fracción como producto de varias fracciones. 3. Dividir el coeficiente numérico y las literales. 4. Escribir el resultado final. 1.2 División de polinomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, procedemos así: 1. Escribir la división como una fracción algebraica. 2. Separar cada término como fracciones con denominador común. 3. Dividir cada fracción como división de dos monomios. 4. Escribir el resultado final. 1.3 División de un polinomio entre un binomio: La regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un método para dividir un polinomio entre un binomio. Se debe cumplir este procedimiento: • El dividendo debe escribirse en orden descendente, x3 + x2 + x +1 • Si falta un término en algún orden del dividendo, se coloca cero en su lugar. • El divisor debe ser un binomio de la forma x + a.

Ejercicio 17 Realice las divisiones de monomio entre monomio. Tiene en ejemplo. 0) 10x5y3 ' 2x3 =

10x5y3 10 x5 y3 = : : = 5x2y3 2x3 2 x3 1

1) 26w4z6 ' 2wz =

2) 16x6y8 ' (-2x2y4) =

3) -32m3n4p2 ' 16mn =

108

IGER − Utatlán

Ejercicio 18 Realice las divisiones de polinomio entre monomio. Escriba la división como una fracción algebraica. Tiene un ejemplo.

(3x + 6) ' 3 = 0) (6z3 + 4z2 + 8z) ' (2z) = 1) 3 2 = 6z + 4z + 8z 2z 3 2 8z = 6z + 4z + 2z 2z 2z

= 3z 2 + 2z + 4

2) (4x3 - 8x) ' 2 = 3) (4x3y4 + 12x2y5z -18xy) ' 2xy =

Ejercicio 19 Realice las divisiones de un polinomio entre un binomio por medio de la regla de Ruffini. 0) (x3 - 8) ' (x -2) = 1) (2x2 + 12x + 16) ' (x + 4) =

= (x3 + 0x2 + 0x - 8) ' (x - 2)

1 0 0 -8 +2 +2 +4 +8 1 +2 +4 0

x2 + 2x + 4, R = 0 2) (x2 + x - 20) ' (x + 5) =

3) (2m2 - 9m - 18) ' (m + 3) =


109

4) (2x3 + 6x - 4) ' (x + 4) =

5) (x3 + 27) ' (x + 3) =

(a2 + 2a - 3) ' (a + 3) = 6) (2p2 - 7p - 15) ' (p - 5) = 7)

8) (x4 - 9x2 + x + 3) ' (x + 3) = 9) (-m3 - 6m2 + 2m - 3) ' (m - 1) =

10) (h3 + 8) ' (h + 2) = 11) (2u3 - 3u2 - 3u + 6) ' (u - 1) =

110

IGER − Utatlán

Agilidad de cálculo mental Practique la agilidad de cálculo mental multiplicando los monomios lo más rápido que pueda. Recuerde aplicar las leyes de signos y potenciación. Guíese con los ejemplos. A.

0) (a)(a) = 1) (v4)(v) =

12) (-8r)(-r) =

2) (z)(z2) =

13) (-7i)(-3i) =

3) (y2)(y) =

14) (-4j)(-3j4) =

4) (f 3)(f 2) =

15) (-2k)(-3k) =

5) (b)(b3) =

16) (-p)(-9p) =

6) (d2)(d) =

17) (-5h)(-h3) =

7) (x5)(x2) =

18) (-s5)(-6s2) =

8) (e6)(e2) =

19) (-5q)(-2q) =

9) (c6)(c2) =

20) (-3g)(-8g3) =

10) (w)(w4) = B.

11) (-2u4)(-u) =

a2

2u5

21) (-6t2)(-4t3) =

4 0) (2m3)(-2m) = -4m

11) (-7u)(3u) = -21u

1) (5f)(-2f) =

12) (-a)(6a6) =

2) (3v3)(-2v2) =

13) (-3c)(2c) =

3) (2d)(-5d) =

14) (-4b)(2b) =

4) (4n)(-2n) =

15) (-9t5)(7t3) =

5) (5s3)(-2s) =

16) (-6r6)(3r4) =

6) (9p)(-3p5) =

17) (-4x)(3x2) =

7) (6h3)(-2h) =

18) (-2d)(8d) =

8) (3x)(-2x2) =

19) (-5g)(3g6) =

9) (4k)(-4k) =

20) (-6m)(2m) =

10) (9z3)(-6z4) =

2

21) (-3e6)(2e2) = Matemática − Semana 25

111





Repaso los contenidos de la semana 18 a la 24. Clasifico expresiones algebraicas según el número de términos. Sumo y resto polinomios en forma horizontal y vertical. Multiplico polinomios en forma horizontal y vertical. Divido polinomios con la regla de Ruffini. Efectúo productos notables por simple inspección. Practico el cálculo mental con expresiones algebraicas.

Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su tercera prueba parcial de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientadora u orientador voluntario.

Grupo: Utatlán Materia: Matemática Prueba: parcial A-2014

Círculo de estudio Nº:

i serie. 1 punto cada respuesta correcta. Total 6 puntos. INSTRUCCIONES: Rellene el círculo que corresponde al resultado correcto.

1) ¿Cuál es el resultado de (x + 3)(x - 3)?

x2 + 9 x2 + 6 x2 - 9

No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.

¡ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.

112

IGER − Utatlán

26 Pares ordenados y producto cartesiano ¿Qué encontrará esta semana? Elija su menú Par ordenado y producto cartesiano Operaciones combinadas Trazar una figura en el plano a partir de la ubicación de pares ordenados.

Esta semana logrará:  Identificar combinaciones en actividades cotidianas.  Realizar pares ordenados.  Representar un producto cartesiano en forma enumerativa, tabla de doble entrada y en un plano cartesiano.  Practicar el cálculo mental con operaciones combinadas y producto de monomios.  Trazar una figura geométrica por medio de pares ordenados en el plano cartesiano. 


113

¡Para comenzar! Elija su menú En el restaurante “Las Delicias” hay varias opciones de almuerzo a elegir. Veamos cuál es el menú del día.

Menú del día Hoy le ofrecemos:

carne asada pollo frito caldo de res

Puede acompañar su plato con arroz, ensalada o guacamol. ¡Buen provecho!

¿Cuántas opciones distintas de almuerzo hay? Con la ayuda de la tabla haremos todas las combinaciones posibles para preparar el “menú del día”. Llamamos conjunto A al conjunto plato principal y conjunto B al conjunto acompañamiento. Observe. B

arroz

ensalada

guacamol

carne asada

carne asada y arroz

carne asada y ensalada

carne asada y guacamol

pollo frito

pollo frito y arroz

pollo frito y ensalada

pollo frito y guacamol

caldo de res

caldo de res y arroz

caldo de res y ensalada caldo de res y guacamol

A

¡Se pueden escoger 9 menús distintos! Cada plato lo podríamos clasificar como un par ordenado. Esta semana aprenderá por qué. ¡A trabajar! Practique formando parejas ordenadas. Escriba en la tabla todas las combinaciones posibles de sabores de helado (conjunto A) con un acompañamiento (conjunto B). Escriba primero el sabor del helado y después el acompañamiento. Tiene un ejemplo. manías

B

A

fresa y manías

fresa vainilla chocolate

114

IGER − Utatlán

anisillos

granola

El mundo de la matemática 1. Pares ordenados Si pensamos en un día cualquiera de nuestra vida, descubriremos que está lleno de rutinas que realizamos en un orden determinado. Por ejemplo: primero comemos y después nos lavamos los dientes. Algo semejante sucede en matemáticas cuando hablamos de pares ordenados. Un par ordenado lo definimos como una colección de dos elementos unidos en un orden determinado. Un par ordenado se expresa mediante dos números o dos letras minúsculas, separados por una coma y entre paréntesis:

(a, b) se lee: par ordenado a, b La expresión (a, b) significa que a forma pareja con b en el orden que aparecen: primero el elemento a y después el elemento b. Los pares ordenados nos sirven principalmente para ubicar objetos o puntos sobre una gráfica. Veamos un ejemplo Sara dibuja un plano para indicarle a su amigo Gabriel cuántas cuadras debe caminar para llegar a su casa. Observe con atención.

5

¡Atención! El primer elemento del par ordenado representa siempre la posición horizontal, el segundo elemento la posición vertical.

4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

Gabriel debe caminar 4 cuadras hacia la derecha (horizontal) y 3 cuadras hacia arriba (vertical). Podemos representar el trayecto con el par ordenado (4, 3). Si Gabriel caminara 3 cuadras a la derecha y 4 cuadras hacia arriba, no llegaría a la casa de Sara. Observe la ilustración, el camino equivocado está trazado en gris. Por lo tanto, un par ordenado no cumple con la propiedad conmutativa, (4, 3) ! (3, 4). Matemática − Semana 26

115

2. Producto cartesiano En la sección ¡Para comenzar! formamos un producto cartesiano al combinar todos los elementos del conjunto “plato principal” con todos los elementos del conjunto “acompañamiento”. Al igual que un par ordenado, el producto cartesiano no cumple con la propiedad conmutativa, A x B ! B x A.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es otro conjunto A x B formado por todos los pares ordenados que pueden formarse, combinando cada elemento del conjunto A, con cada elemento del conjunto B. Simbólicamente se representa así: A x B, se lee: “A por B” o “conjunto producto cartesiano de A por B”.

2.1 Formas de representar el producto cartesiano El producto cartesiano es un conjunto y como tal se puede representar en forma enumerativa, en una tabla de doble entrada y en un plano cartesiano. Veamos.

a. Forma enumerativa Recuerde que enumerar es contar, hacer una lista. Por lo tanto, representar el producto cartesiano en forma enumerativa, consiste en realizar una lista de todos los pares ordenados posibles. Por ejemplo Dados los conjuntos A = { 1, 2 } y B = { A x B.

,

}, hallemos el producto cartesiano

• Combinamos el primer elemento del conjunto A, que es 1, con cada elemento del conjunto B para formar todos los pares posibles. 1

(1,

)

(1,

)

• Para completar el producto cartesiano, combinamos el segundo elemento del conjunto A, que es 2, con cada elemento de B. 2

(2,

)

(2,

)

• Ahora escribimos el conjunto producto cartesiano en orden tomando todas las parejas que obtuvimos. A x B = { (1,

116

IGER − Utatlán

), (1,

), (2,

), (2,

)}

Otro ejemplo Dados los conjuntos A = { 2, 5, 7 } y B = { x, y, z }, hallemos A x B. • Combinamos el primer elemento del conjunto A con cada elemento del conjunto B para formar todos los pares posibles. x (2, x) 2

y (2, y) z (2, z)

• Combinamos el segundo elemento del conjunto A con cada elemento del conjunto B. x (5, x) 5

y (5, y) z (5, z)

• Combinamos el tercer elemento del conjunto A con cada elemento del conjunto B. x (7, x) 7

y (7, y) z (7, z)

• Escribimos el conjunto producto cartesiano en orden tomando todas las parejas que obtuvimos. A x B = { (2, x), (2, y), (2, z), (5, x), (5, y), (5, z), (7, x), (7, y), (7, z) }

Para verificar el número de pares ordenados que debemos obtener del producto cartesiano, multiplicamos entre sí el número de elementos de cada conjunto. En el ejemplo AxB=3x3=9 Debemos obtener 9 pares ordenados.

Ejercicio 1 Dados los conjuntos C = { a, b } y D = {

,

,

}, halle C x D en forma enumerativa.

• Combine el primer elemento del conjunto C con cada elemento del conjunto D para formar todos los pares posibles. a

(

,

)

(

,

)

(

,

)

• Combine el segundo elemento del conjunto C, con cada elemento del conjunto D.

b

(

,

)

(

,

)

(

,

)

• Escriba el conjunto producto cartesiano en orden tomando todas las parejas que obtuvo.

CxD=

{ Matemática − Semana 26

117

b. Tabla de doble entrada Una tabla de doble entrada es un cuadro que combina dos valores. Está formada por filas y columnas. En la primera columna se escriben los elementos del primer conjunto, en la primera fila los elementos de segundo conjunto. Veamos un ejemplo Dados los conjuntos V = { a, e, i, o, u } y L = { 1, 3, 5, 7, 9 } Realicemos el producto cartesiano V x L en una tabla de doble entrada. Representamos el conjunto V en la primera columna y el conjunto L en la primera fila. En cada celda escribimos un par ordenado, primero el elemento del conjunto V y después el elemento del conjunto L.

Recuerde: Debemos obtener 25 pares ordenados porque: V x L = 5 x 5 = 25

1 V L a (a, 1)

3

5

7

9

(a, 3)

(a, 5)

(a, 7)

(a, 9)

e

(e, 1)

(e, 3)

(e, 5)

(e, 7)

(e, 9)

i

(i, 1)

(i, 3)

(i, 5)

(i, 7)

(i, 9)

o

(o, 1)

(o, 3)

(o, 5)

(o, 7)

(o, 9)

u

(u, 1)

(u, 3)

(u, 5)

(u, 7)

(u, 9)

Ejercicio 2 Dados los conjuntos C = { 1, 3 }, D = { 2, 4, 6, 8 } y E = { 7, 9, 11, 13 } Halle el producto cartesiano indicado en cada numeral y conteste la pregunta. 1) C x D

C D 1

2

4

6

8

3

2) C x E

C E

3) ¿Cuántos pares se deben obtener del producto cartesiano C x E?

118

IGER − Utatlán

El plano cartesiano El plano cartesiano debe su nombre al matemático René Descartes. Cuentan que estando en su habitación observó una mosca volando. Quiso ubicarla y comenzó a cuadricular la habitación en su mente, trazó una línea vertical y otra horizontal, así fue haciendo cuadritos imaginarios. A través de este método podía situar a la mosca en un lugar determinado.

6 5

(5, 4)

4 3

(2, 2)

2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

El plano cartesiano se compone de estas partes: • Una línea horizontal llamada eje de abscisas o eje x. • Una línea vertical llamada eje de ordenadas o eje y. • Un punto de origen (0) donde se unen los ejes. Sobre el eje x escribimos los elementos del primer conjunto del producto cartesiano y sobre el eje y los elementos del segundo conjunto. Observe la gráfica. eje y 8 7 ¡Atención! Se recomienda utilizar una hoja cuadriculada para dibujar el plano cartesiano y usar siempre una regla para trazar cada línea.

ordenadas

6 5 4 3 2 1 origen

(a, 1)

0

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

eje x

abscisas

¿Cómo ubicamos un par ordenado en el plano cartesiano? Por ejemplo, si queremos ubicar el par ordenado (a, 1), buscamos el elemento a en el eje x, trazamos una línea punteada vertical. Buscamos el elemento 1 sobre el eje y, trazamos una línea punteada horizontal. En la intersección de las líneas está el par ordenado (a, 1).

Ejercicio 3 Dado el subconjunto del producto cartesiano V x L = { (a, 1), (e, 3), (i, 5), (a, 5), (e, 7) }, localice los pares ordenados en el plano cartesiano de arriba. Guíese por el ejemplo. Matemática − Semana 26

119

c. Representación del conjunto producto cartesiano en el plano cartesiano. Veamos un ejemplo de cómo representar un producto cartesiano en el plano cartesiano. Dados los conjuntos C = { a, b, c, } y P = { 2, 4, 6 } a. Hallemos el producto cartesiano C x P. Combinamos los elementos del conjunto C con cada elemento del conjunto P. C x P = { (a, 2), (a, 4), (a, 6), (b, 2), (b, 4), (b, 6), (c, 2), (c, 4), (c, 6) } b. Representemos el producto cartesiano C x P en un plano cartesiano. Dibujamos el plano cartesiano y ubicamos los pares ordenados del producto cartesiano. y 6 5

Recuerde que el primer elemento del par ordenado representa la posición en el eje x, el segundo elemento representa el eje y.

4 3 2 1 0

a

b

c

d

e

f

g

x

¡Otro ejemplo! Para los mismos conjuntos C = { a, b, c, } y P = { 2, 4, 6 } a. Hallemos el producto cartesiano P x C.

En forma enumerativa:

P x C = { (2, a), (2, b), (2, c), (4, a), (4, b), (4, c), (6, a), (6, b), (6, c) }

b. Representemos el producto cartesiano P x C en un plano cartesiano. y f

e d c b a 0

1

2

3

4

5

6

7

x

Observe que la posición de los pares ordenados ha cambiado. Por tanto, el producto cartesiano no es conmutativo y C x P ! P x C.

120

IGER − Utatlán

Ejercicio 4 Dados los conjuntos A = { 1, 3 } y B = { 2, 4, 6 }, observe que A x B ! B x A. 1) Halle cada producto cartesiano A x B y B x A.

A x B = { (1, 2), (1, 4),

}

B x A = { (2, 1), (2, 3),

} 3) Represente B x A en el plano cartesiano.

2) Represente A x B en el plano cartesiano. 6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

7

Resumen 1. Un par ordenado asocia dos elementos (a, b) de dos conjuntos cualesquiera. Los elementos tienen la característica de estar unidos en un orden determinado que establece cuál es primer elemento y cuál es el segundo. 2. El conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B es otro conjunto A x B formado por todos los pares ordenados que pueden formarse, tal que el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo pertenece al conjunto B.

El producto cartesiano A x B no es igual que B x A,

A x B ! B x A.

2.1 El producto cartesiano se puede representar de forma: enumerativa, en una tabla de doble entrada y en un plano cartesiano.

enumerativa tabla de doble entrada

A x B = { (a, 1),(a, 2),(b, 1),(b, 2) }

1 A B a (a, 1)

(a, 2)

b

(b, 2)

(b, 1)

2

plano cartesiano

2 1 0

a

b


121



Rellene el círculo de la opción correcta a cada pregunta. 1) Dado el par ordenado (1, 7), ¿en qué eje localizamos el elemento 1?

en el eje x en el eje y en el eje vertical

2) Dado el par ordenado (1, b), ¿en qué eje localizamos el elemento b?

en el eje x en el eje y en el eje horizontal

3) Si representamos el producto A x B en un plano cartesiano, ¿en qué eje escribimos los elementos de A?

En el eje x En el eje y En las ordenadas

4) Si representamos el producto H x K en un plano cartesiano, ¿en qué eje escribimos los elementos de K?

En el eje x En el eje y En las abscisas

5) Si representamos el producto B x A en un plano cartesiano, ¿en qué eje escribimos los elementos de B?

En el eje x En el eje y En las ordenadas

6) Dados los conjuntos J = { 0 } y K = { a }, ¿cuál es el resultado correcto del producto J x K?

J x K = { 0, a } J x K = { a, 0 } K x J = { 0, a }

7) Dados los conjuntos A = { 1 } y B = { c, d }, ¿cuál es el resultado correcto del producto B x A?

B x A = { (1, c), (1, d) } B x A = { (c, 1), (1, d) } B x A = { (c, 1), (d, 1) }

122

IGER − Utatlán

Actividad 2.


A. Realice las actividades 1) Dados los conjuntos A = (a, r, v) y B = (1, 3, 5), realice el producto A x B en forma enumerativa. •

Combine cada elemento del conjunto A, con cada elemento del conjunto B.

1 ( a , 1 ) a

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

• Escriba el conjunto producto cartesiano con todos los pares ordenados.

AxB={

}

2) Dados los conjuntos C = (1, 2, 3) y D = (a, b, c). Realice el producto cartesiano C x D en una tabla de doble entrada. Escriba los elementos de C en la primera columna y los elementos de D en la primera fila. Fíjese en el ejemplo. C D 1

a (1, a)

3) Dados los conjuntos A = { 2, 4 } y B = { 1, 3, 5 }. a. ¿Cuántos pares ordenados debe tener el producto cartesiano A x B? b. Halle el producto cartesiano A x B.

AxB=

c. Represente A x B en el plano cartesiano.

6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7


123

4) Dados los conjuntos D = { 2, 4, 6 } y G = { 1, 5, 7 }. a. Halle el producto cartesiano D x G.

DxG=

b. Represente el producto cartesiano D x G en una tabla de doble entrada. 1

D G 2

c. Escriba los elementos de cada conjunto en el eje correspondiente y represente el producto cartesiano D x G en el plano. y

1 0

x

1

d. Compruebe que D x G ! G x D.

•

Halle el producto cartesiano G x D.

G x D =

•

Represente el producto cartesiano G x D en un plano cartesiano. y 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

x

e. Observe la posición de los puntos en cada plano cartesiano y explique por qué D x G ! G x D.

124

IGER − Utatlán

Agilidad de cálculo mental Resuelva las operaciones lo más rápido que pueda. A. Recuerde la jerarquía de operaciones, primero se realiza el producto y luego las sumas. Fíjese en los ejemplos. 0) 3 # 5 + 5 =

20

12) 3 + 5 # 5 =

1) 2 # 9 + 2 =

13) 6 + 8 # 2 =

2) 6 # 1 + 4 =

14) 5 + 1 # 1 =

3) 9 # 4 + 2 =

15) 6 + 2 # 3 =

4) 5 # 5 + 5 =

16) 9 + 3 # 6 =

5) 7 # 7 + 3 =

17) 1 + 2 # 5 =

6) 8 # 5 + 4 =

18) 4 + 9 # 0 =

7) 3 # 2 + 8 =

19) 3 + 3 # 3 =

8) 8 # 7 + 9 =

20) 8 + 5 # 6 =

9) 6 # 5 + 4 =

21) 4 + 3 # 1 =

10) 7 # 4 + 0 =

22) 10 + 3 # 1 =

11) 9 # 9 + 10 =

23) 0 + 5 # 5 =

28

B. Repase el producto de monomios. Recuerde aplicar las leyes de los signos y de la potenciación. 0) (3c)(d) =

3cd

4 11) (-3s)(s3) = -3s

1) (p)(2q) =

12) (-5b)(b2) =

2) (5s)(t) =

13) (-9t3)(t) =

3) (2y)(4z) =

14) (-h)(3h5) =

4) (6r)(4s) =

15) (-y3)(8y2) =

5) (5y)(4z) =

16) (-x5)(2x3) =

6) (3w)(6z) =

17) (-3d3)(4d3) =

7) (7f)(4g) =

18) (-5e2)(6e3) =

8) (5c)(4d) =

19) (-7k4)(3k2) =

9) (8b)(6c) =

20) (-6p2)(4p7) =

10) (4b)(4d) =

21) (-8c3)(3c4) = Matemática − Semana 26

125

Razonamiento lógico Descubra la figura geométrica que se oculta en el plano cartesiano. Siga estos pasos: 1) Lea los pares ordenados siguientes (cada uno está identificado con una letra mayúscula). Después localice los puntos en el plano cartesiano. Debe escribir el nombre de cada punto. Fíjese en los ejemplos.

A = (2, 2)

9

B = (2, 7)

8

C = (7, 7)

7

D = (7, 2)

E = (4, 4)

F = (4, 9)

3

G = (9, 9)

2

H = (9, 4)

B

6 5 4

A

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2) Ahora en el mismo diagrama debe unir con una línea recta y de dos en dos, los puntos siguientes. Fíjese en el ejemplo. A y B

B y C

CyD

AyD

E y F

F y G

E y H

A y E

B y F

CyG

DyH

GyH

¿Qué figura descubrió?

También puede formar otras figuras (triángulos, cuadrados, pirámides), solo debe ubicar puntos en el plano y unirlos. Le invitamos a inventar otra figura y a compartir su trabajo con sus compañeros.




126


Identifico combinaciones en actividades cotidianas. Realizo pares ordenados. Represento un producto cartesiano en forma enumerativa, tabla de doble entrada y en un plano cartesiano. Practico el cálculo mental a través de la resolución de operaciones combinadas y producto de monomios. Trazo una figura en el plano a partir de la ubicación de pares ordenados. IGER − Utatlán


27 Relaciones y funciones ¿Qué encontrará esta semana? ¡Osadía hasta la cumbre! Relaciones y funciones Valuar funciones Diagrama sagital de una relación y una función

Esta semana logrará:  Aplicar relaciones y funciones a aspectos de la vida real.  Identificar los conjuntos dominio y codominio de una relación.  Relacionar el procedimiento para calcular el conjunto imagen de una función con su representación gráfica.  Practicar la agilidad de cálculo mental valuando funciones.  Deducir una relación o una función a partir de su diagrama sagital. 


127

¡Para comenzar! ¡Osadía hasta la cumbre! Un grupo de escaladores se ha propuesto llegar a la cima de estos cuatro volcanes: De Agua, Acatenango, Tacaná y Tajumulco. Subirán dos volcanes en junio y los otros dos en diciembre. Cada vez que escalen subirán primero el volcán de menor altura. La altura de cada volcán se muestra en la gráfica siguiente.

De Agua 3766 m

Acatenango 3976 m

Tacaná 4092 m

Tajumulco 4220 m

¿Qué opciones pueden combinar para escalar? Para contestar la pregunta, podemos establecer la relación “El volcán a es más bajo que el volcán b”, y realizar las combinaciones que resulten verdaderas. Una opción es: primero Acatenango y después Tacaná, porque la altura del volcán Acatenango es menor que el de Tacaná.

¡A trabajar! Realice dos combinaciones de escalada posibles, por medio de pares ordenados. Explique su respuesta. Fíjese en el ejemplo. 0)

(Tacaná, Tajumulco) porque el volcán Tacaná es más bajo que el volcán Tajumulco.

1) 2)

128

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Relaciones En nuestra vida diaria establecemos continuamente relaciones entre personas, objetos, números, etc. Por ejemplo: a cada guatemalteco o guatemalteca mayor de edad nos corresponde un número de cédula o DPI. En matemática una relación se representa con la letra R y se define así: Una relación es la correspondencia entre dos conjuntos A y B, tal que cada elemento del conjunto A se relaciona con uno o más elementos del conjunto B, a través de una condición. Los elementos que cumplen esa condición forman dos conjuntos. • Dominio o conjunto origen: es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial o conjunto A que tienen imagen en B. • Codominio o conjunto imagen: es el conjunto formado por los elementos del conjunto final o conjunto B que son imagen de A.

1.1 Representación gráfica de una relación Una forma sencilla de representar una relación es a través de un diagrama sagital. Consiste en dibujar dos óvalos en los cuales escribiremos los elementos de cada conjunto A y B, e indicaremos la relación entre ellos por medio de flechas. Veamos un ejemplo. Dados los conjuntos: A = {2, 3, 4} y B = {5, 6, 9} y la relación R: “a es divisor de b”. La representación gráfica de la relación R en un diagrama sagital es la siguiente. R A

dominio (D)

s divisor de b ae

B

2

5

3

6

4

9

¡Atención! Los números que no cumplen con la condición, no forman parte ni del dominio ni del codominio.

codominio (C)

Observe, el conjunto dominio está formado por los elementos 2 y 3 porque solo ellos tienen imagen en el codominio, de acuerdo a la relación R. D = {2, 3} El conjunto codominio está formado por los elementos 6 y 9 porque solo ellos son imagen de los elementos del dominio. C = {6, 9} Matemática − Semana 27

129

¡Otro ejemplo! Dados los conjuntos A = { 2, 3, 5 } y B = { 1, 2, 4, 5 }, representemos en un diagrama sagital la relación R: “a es menor que b” (a
A

1

2 dominio

B

2

3

4

5

5

codominio

El conjunto dominio está formado por los elementos 2 y 3 del conjunto A. D = { 2, 3 } Los elementos 4 y 5 del conjunto B forman el codominio de la relación. C = { 4, 5 }

Ejercicio 1 Dados los conjuntos A = { 4, 5, 6, 7, 8 } y B = { 2, 3, 4, 5 } y la relación R: “a es múltiplo de b”. 1) Complete el diagrama sagital con los elementos de cada conjunto y establezca la relación dibujando flechas desde cada elemento del dominio hacia su imagen. R A

a

últiplo de b es m

4 5 6 7 8 2) Escriba los elementos que forman cada conjunto.

130

• Conjunto inicial: A = { 4, 5, 6, 7, 8 }

• Conjunto dominio: D = {

• Conjunto final: B = {

• Conjunto codominio: C = {

IGER − Utatlán

B

2. Funciones Una función se representa con la letra f y se define así: Una función es un tipo de relación o correspondencia entre dos conjuntos X y Y, en la cual todos los elementos del conjunto inicial tienen una y solo una imagen en el conjunto final. Simbólicamente podemos representar una función de dos formas:

f: X

Y Se lee “función de X en Y”.

f (x) = y Se lee “f de x igual a y”. En una función también se distinguen los conjuntos: • Dominio o conjunto inicial, formado por todos los valores que puede tomar la variable x, según la función establecida. • Codominio o conjunto imagen, formado por todos los valores que adquiere y al aplicar la función a cada valor x. En una función, x puede tomar cualquier valor, por eso recibe el nombre de variable independiente. Sin embargo, el valor de y depende del valor de x y de la función aplicada, por eso recibe el nombre de variable dependiente. Veamos un ejemplo Una libra de azúcar cuesta 4 quetzales. El total que gastemos estará en función de la cantidad de libras que compremos. 1 lb Q4.00 2 lbs Q8.00 3 lbs Q12.00

. ... . . x lbs

En el ejemplo, el número de libras de azúcar es la variable independiente. El precio es la variable que depende del número de libras de azúcar.

Q4(x).00

El precio, en función de las libras de azúcar, se puede representar simbólicamente:

f (x) = 4x = y Por ejemplo, si queremos hallar el precio de 25 lb de azúcar, sustituimos x por 25 en la función f (x) = 4x. Observe:

f (x) = 4x f (25) = 4(25) = 100 El valor que hallamos (100) es el valor que adquiere y después de aplicar la función al valor x. Si x = 25

y = 100

Por lo tanto, a 25 lb le corresponde un único precio, cuyo valor es Q100.00. Matemática − Semana 27

131

2.1 Representación gráfica de una función También podemos representar una función en un diagrama sagital, como en las relaciones. Los pasos a seguir son los siguientes: • Asignamos una serie de valores al conjunto dominio (valor de x), de preferencia valores cercanos a cero, por ejemplo X = { –2, –1, 0, 1, 2 } • Calculamos el valor de las imágenes sustituyendo el valor de x en la función f (x) y realizamos las operaciones indicadas. • Copiamos los valores obtenidos en un diagrama sagital. Siga con atención el ejemplo. Representemos en un diagrama sagital la función f (x) = 4x.

f (x) = 4x

f (x) = 4x = y Los valores que obtenemos después de aplicar la función a cada valor x, son los valores de y, como vemos en el procedimiento y en el diagrama sagital.

f (-2) = 4(-2) = -8 f (-1) = 4(-1) = -4

X

Y

–2

–8

–1

–4

f (0) = 4(0) = 0

0

0

f (1) = 4(1) = 4

1

4

2

8

f (2) = 4(2) = 8

Observe que el conjunto inicial es a la vez el conjunto dominio porque todos los elementos tiene imagen. ¡Otro ejemplo! Representemos en un diagrama sagital la función f (x) = x2.

f (x) = x2

f (x) = x2 = y f (-2) = (-2)2 = 4 f (-1) = (-1)2 = 1

–2 4

f (0) = (0) = 0

0

1

f (1) = (1)2 = 1

1

0

f (2) = (2)2 = 4

IGER − Utatlán

Y

–1

2

132

X

2

Ejercicio 2 Represente cada función en un diagrama sagital. Elija los valores –2, –1, 0, 1 y 2 para el conjunto dominio y aplique la función a cada valor para hallar las imágenes. Guíese por el ejemplo. 0) f (x) = 3x = y

f (x) = 3x

f (-2) = 3(-2) = -6

X

f (-1) = 3(-1) = -3

–2

–6

f (0) = 3(0) = 0

–1

–3

f (1) = 3(1) = 3

0

0

f (2) = 3(2) = 6

1

3

2

6

1) f (x) = x + 2 = y

f (x) = x + 2

f (-2) = (-2) + 2 = 0

X

Y

f (-1) =

–2

0

f (0) =

–1

f (1) =

0 1

f (2) =

2

2) f (x) = x - 1 = y

f (x) = x - 1 X

f (-2) = (-2) - 1 = -3 f (-1) =

–2

f (0) =

f (1) =

Y –3

f (2) =

Y


133

Resumen 1. En matemática una relación se representa con la R y se define así: Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos A y B, tal que cada elemento del conjunto A se relaciona con uno o más elementos del conjunto B, a través de una condición.

Los elementos que cumplen con esa condición forman dos conjuntos: • Dominio o conjunto origen: es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial o conjunto A que tienen imagen en B. • Codominio o conjunto imagen: es el conjunto formado por los elementos del conjunto final o conjunto B que son imagen de A.

1.1 Una relación se puede representar gráficamente en un diagrama sagital. R A

p s múlti lo de b ae

8 dominio

B 2 3

9

4

10

codominio

5

11

7

2. Una función se representa con la letra f y se define así: Una función es un tipo de relación o correspondencia entre dos conjuntos X y Y, en la cual todos los elementos del conjunto inicial tienen una y solo una imagen en el conjunto final.

Simbólicamente una función se expresa como:

f: X


f (x) = y Se lee “f de x igual a y”. 2.1 Una función se puede representar gráficamente en un diagrama sagital.

f (x) = x + 2

134

IGER − Utatlán

X

Y

1

3

2

4

3

5

4

6



Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) En una función, ¿qué otro nombre recibe el conjunto origen?

imagen dominio codominio

2) Si x = 0 en la función f(x) = x + 1, ¿cuál es el valor de la imagen?

0 1 –1

3) ¿Qué otro nombre recibe el conjunto de las imágenes de una función?

dominio codominio conjunto universo

4) Si x = 1 en la función f(x) = 5x + 2, ¿cuál es el valor de la imagen?

2 1 7

Actividad 2.


A. Represente en un diagrama sagital cada relación y escriba en el espacio indicado los conjuntos dominio (D) y codominio (C). Guíese por el ejemplo 0. 0) Dados los conjuntos A = { 3, 4, 5, 7 }, B = { 6, 8, 10, 12, 13 } y la relación R: “a es divisor de b”. R A 3 4 5

7

a

iso es div r de b

B 6 8 10 12 13

D = { 3, 4, 5

}

C={

}

6, 8, 10, 12


135

1) Dados los conjuntos A = { 3, 8, 9, 11 }, B = { 2, 6, 9, 10 } y la relación R: "a < b". R A

a
B

D={

}

C = {

}

2) Dados los conjuntos A = { 1, 2, 4, 6 }, B = { 2, 4, 5 } y relación R: "a > b". R A

a>b

B

D={

}

C={

}

3) Dados los conjuntos A = { 7, 8, 9, 10 }, B = { 3, 4, 5, 6 } y la relación R: "a es múltiplo de b". R A

múltiplo de b a es

B

D={

}

C={

}

4) Dados los conjuntos A = { 2, 3, 4, 5, 6 }, B = { 4, 5, 6, 7, 8 } y la relación R: "a = b". R A

136

IGER − Utatlán

a=b

B

D={

}

C={

}

B. Represente cada función en un diagrama sagital. Elija los valores –2, –1, 0, 1 y 2 para el conjunto dominio y aplique la función a cada valor para hallar las imágenes. Fíjese en el ejemplo. 1) f(x) = x + 1 = y

f (x) = x + 1

f (-2) = (-2) + 1= -1

X

f (-1) =

–2

f (0) =

–1

f (1) =

0

f (2) =

1

f (x) = 5x X

f (-2) = 5 (-2) = -10 f (-1) =

–2

f (0) =

–1

f (1) =

0

Y –10

1

f (2) =

2

3) f(x) = 2x + 1 = y

f (x) = 2x + 1 X

f (-2) = 2(-2)+ 1 = -3 f (-1) =

–2

f (0) =

–1

f (1) =

0

Y –3

1

f (2) =

–1

2

2) f(x) = 5x = y

Y

2

C. Realice en su cuaderno la representación gráfica de cada función en un diagrama sagital. Elija los valores 1, 2, 3 y 4 para el dominio.

f (x) = 10x 3) f (x) = x + 5 1) f (x) = 2x 2) 4) f (x) = x - 2 5) f (x) = 2x - 2 6) f (x) = 3x - 1 Matemática − Semana 27

137

Agilidad de cálculo mental Sustituya mentalmente el valor de x asignado para hallar el valor de su imagen. Fíjese en los ejemplos. A.

B.

0) f (3) = x + 1 =

4

11) f (8) = x - 6 =

1) f (0) = x + 2 =

12) f (7) = x - 3 =

2) f (4) = x + 1 =

13) f (3) = x - 1 =

3) f (9) = x + 11 =

14) f (1) = x - 5 =

4) f (3) = x + 7 =

15) f (9) = x - 2 =

5) f (7) = x + 5 =

16) f (5) = x - 3 =

6) f (2) = x + 2 =

17) f (4) = x - 4 =

7) f (1) = x + 6 =

18) f (7) = x - 6 =

8) f (0) = x + 15 =

19) f (0) = x - 7 =

9) f (6) = x + 21 =

20) f (10) = x - 20 =

10) f (5) = x + 10 =

21) f (15) = x - 12 =

0) f(3) = 2x + 1 =

7

2

11) f(2) = 2x - 6 = -2

1) f(0) = 9x + 6 =

12) f(5) = 2x - 8 =

2) f(4) = 4x + 4 =

13) f(7) = 2x - 5 =

3) f(9) = 3x + 1 =

14) f(9) = 2x - 2 =

4) f(3) = 8x + 6 =

15) f(2) = 6x - 3 =

5) f (7) = 2x + 2 =

16) f(4) = 5x - 9 =

6) f(2) = 9x + 7 =

17) f(7) = 8x - 4 =

7) f(4) = 2x + 9 =

18) f(8) = 6x - 10 =

8) f(0) = 5x + 15 =

19) f(10) = 4x - 20 =

9) f(10) = 3x + 10 =

20) f(15) = 2x - 25 =

10) f(15) = 2x + 20 =

21) f(20) = 3x - 20 =

138

IGER − Utatlán

Razonamiento lógico A. En una relación, a cada elemento del dominio le corresponde una o más imágenes en el codominio. En una función, a cada elemento del dominio le corresponde una y solo una imagen en el dominio. De acuerdo a estas afirmaciones, escriba si cada diagrama sagital representa una función o una relación. Explique su respuesta. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0)

1)

2)

A

B

a

b

b

c

c

d

A

B

a

b

b

c

c

d

A

B

a

b

b

c

c

d

Es una función porque a cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen en el codominio.

B. Escriba la función f (x) que corresponde a cada diagrama sagital. Explique su respuesta. Fíjese en el ejemplo. 0)

f X

Y

0

1

1

2

2

3

1)

La función es f (x) = x + 1 porque a cada elemento del dominio le corresponde una unidad más en el codominio.

f X

Y

2

0

3

1

4

2


139

Desarrolle nuevas habilidades Mónica y Fidel decidieron observar el crecimiento de una planta de maíz en condiciones favorables (buena iluminación solar, buen clima, humedad necesaria). Registraron los resultados obtenidos en la tabla siguiente: tiempo en semanas

0

1

2

3

4

…

crecimiento en cm

0

9

18

27

36

…

x 9x

1) Explique con sus palabras el significado de los datos en la tabla. 2) Represente en un diagrama sagital el crecimiento de la planta en función del tiempo. Escriba en el dominio el valor del tiempo, en el codominio el valor del crecimiento.

f(x) X

Y

0

dominio

0

codominio

3) Con los resultados del diagrama, ¿cuál es la función f(x) que corresponde al crecimiento en función del tiempo? Explique su respuesta.




140


Aplico relaciones y funciones a aspectos de la vida real. Identifico los conjuntos dominio y codominio de una relación. Relaciono el procedimiento para calcular el conjunto imagen de una función con su representación gráfica. Practico el cálculo mental valuando funciones. Deduzco una relación o una función a partir de su diagrama sagital. IGER − Utatlán


28 Funciones lineales ¿Qué encontrará esta semana? Sistema de coordenadas cartesianas Funciones lineales: de proporcionalidad y afín Pares ordenados de una función Aplicación práctica de una función

Esta semana logrará:  Recordar el plano cartesiano o sistema de coordenadas cartesianas.  Completar una tabla de valores para cada función dada.  Representar gráficamente funciones lineales.  Completar la pareja ordenada de una función.  Aplicar las funciones para resolver un problema de movimiento. 


141

¡Para comenzar! Sistema de coordenadas cartesianas Esta semana aprenderemos a representar funciones en un plano cartesiano o sistema de coordenadas cartesianas. En la semana 26 utilizamos parte del plano cartesiano, ahora lo ampliaremos. Observe con atención. +y

cuadrante ii

cuadrante i

6

(–, +)

(+, +)

5 4 3

A

2 1

–x -6 -5 -4

-2 -1

-3

0 -1

1

2

3

4

5

6 +x

-2

B cuadrante iii

(–, –)

-3 -4 -5

cuadrante iv

(+, –)

-6

–y

El plano se divide en cuatro partes iguales llamadas cuadrantes (observe en la gráfica el orden de los cuadrantes). El punto 0 (origen) divide cada eje en dos partes iguales o semiejes, uno positivo (+) y otro negativo (–). Del origen hacia arriba y hacia la derecha los valores son positivos. Del origen hacia abajo y hacia la izquierda los valores son negativos. El plano nos sirve principalmente para ubicar pares ordenados de acuerdo al signo de sus elementos (positivo o negativo). ¡A trabajar! Localice cada par ordenado en el sistema cartesiano de arriba, escriba el nombre de cada punto. Tome en cuenta los valores positivos o negativos de los elementos. Recuerde que el primer elemento del par ordenado representa la posición en el eje x, y el segundo elemento la posición en el eje y. Fíjese en los ejemplos.

A = (–1, 2) B = (–2, –3) C = (1, 3) D = (4, –2) E = (5, –4) F = (–5, –6) G = (– 4, 5) H = (6, 4)

142

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Función lineal Identificar una función lineal a simple vista es muy sencillo, porque cumple siempre con dos características: • El exponente de la variable x es uno (1). • Su representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta. Las funciones siguientes son ejemplos de funciones lineales.

f(x) = 4x

f(x) = x - 1

y

y

-5 -4 -3 -2 -1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

-1

1 2

3

4

5

x

-5 -4 -3 -2 -1

0 -1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

1 2

3

4

5

x

Recuerde que el exponente de 1 no es necesario escribirlo. x1 = x

Ambas funciones cumplen con la doble condición. A diferencia de las anteriores, las siguientes funciones no son lineales porque el exponente de x es un número distinto de 1 y su representación gráfica no es una línea recta.

f(x) = x2

f(x) = x3 + 2 y

y 5

5

4

4

3

3

2

2

1 -5 -4 -3 -2 -1

1 1

2

3 4

-1

5

x

-5 -4 -3 -2 -1

0 -1

-2

-2

-3

-3

1

2

3 4

5

x

Esta semana aprenderemos a representar gráficamente, en un plano cartesiano, dos clases de funciones lineales: función de proporcionalidad y función afín. Matemática − Semana 28

143

1.1 Función de proporcionalidad f(x) = ax Una función de proporcionalidad se expresa por f(x) = ax, en la que a es un número cualquiera que permanece constante. Su gráfica sobre el plano cartesiano es una línea recta que pasa por el origen. Veamos un ejemplo. En un parqueo cobran Q5.00 por cada hora de estacionamiento. El costo total dependerá del tiempo que estacionemos el carro. Observe el costo de estacionamiento para 1, 2, 3, 4, ... hasta x horas.

1 h

5(1) = 5

2 h

5(2) = 10

3 h

5(3) = 15

4 h 5(4) = 20 . . . .. . x h 5(x) = y El costo de estacionamiento para cualquier número de horas está dado por la función f(x) = 5x. Para representar gráficamente esta función, trasladamos a la tabla los valores de las horas (x) y del costo (y) que hemos calculado arriba. Por último, ubicamos los puntos en el plano cartesiano y los unimos en una recta. Las horas forman el conjunto origen (x), el costo será el conjunto imagen (y). f(x) = 5x

Trabaje siempre con una regla.

x 1 2 3 4

costo

y 35

y 5 10 15 20

30 25 20 15 10 5 -3 -2 -1

0

-5

1

2

3

4

5

6

x

7 horas

-10 -15

Observe: • La unión de todos los puntos es una recta que pasa por el origen. • Podemos numerar cada eje de coordenadas en cantidades proporcionales (1, 2, 3...), (2, 4, 6...), (5, 10, 15...), etc. según los valores de la tabla.

144

IGER − Utatlán

¡Otro ejemplo! Ya hemos visto que para llegar a representar gráficamente una función antes debemos elaborar una tabla de valores. Sigamos practicando. Representemos gráficamente la función f(x) = 3x. Para elaborar la tabla, asignamos valores a x, aplicamos la función a cada valor para calcular su imagen en y y trasladamos los resultados a la tabla. Por ultimo, localizamos los pares ordenados en el plano cartesiano y unimos los puntos en una recta. Observe:

f(x) = 3x = y

f(-2) = 3(-2) = -6

y

f(-1)= 3(-1) = -3

f(0) = 3(0) = 0

f(1) = 3(1) = 3

f(2) = 3(2) = 6

6 5 4 3 ¡Atención! La función de proporcionalidad pasa siempre por el origen, porque si x = 0, al multiplicarlo por cualquier número, el resultado es 0 (y = 0).

2 1 0

x -2

y -6

-1

-3

-3

0

0

-4

1

3

2

6

-6 -5 -4 -3 -2 -1

-1

1 2

3

4

5 6

x

-2

-5 -6

Ejercicio 1 Represente gráficamente la función f(x) = 2x. Utilice los valores asignados a la variable x para elaborar la tabla de valores. y

f(x) = 2x = y

x -2 -1 0 1 2

f(-2) = 2(-2) = -4 f(-1) = 2(-1) = f(0) = 2(

)=

f(1) = 2(

)=

f(2) = 2(

)=

5

y -4

4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

0 -1

1 2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5


145

1.2 Función afín f(x) = ax + b Una función afín se expresa por f(x) = ax + b, en la que a y b son dos números cualesquiera que permanecen constantes. Su gráfica sobre el plano cartesiano es una línea recta que no pasa por el origen (0). Veamos un ejemplo Una empresa de servicio de taxis cobra 5 quetzales por cada kilómetro recorrido más 5 quetzales de tarifa fija. Observe el precio de servicio para 1, 2, 3, 4 ... hasta x kilómetros.

1 km 5(1) + 5 = 10 2 km 5(2) + 5 = 15 3 km 5(3) + 5 = 20 5(4) 4 km . . + 5 = 25

. . ..

x km

5(x) + 5 = y

El pago del servicio en función de la distancia recorrida está dado por la función f(x) = 5x + 5. Para representar gráficamente esta función, tomamos los valores del precio y de la distancia para elaborar la tabla y ubicar los pares en el plano cartesiano. La distancia en km es el conjunto origen (x), el precio en Q./ el conjunto imagen (y). Observe.

¡Atención! Si prolongamos la línea que representa la función (en la gráfica es la línea discontinua), comprobamos que no pasa por el origen.

f(x) = 5x + 5 x 1 2 3 4

Q./

y 35

y 10 15 20 25

30 25 20 15 10 5 -3 -2 -1

0

-5

1

2

3

4

5

6

7

x km

-10 -15

Ejercicio 2 Suponga que después de solicitar el servicio de taxi decide no viajar. De todos modo tendrá que pagar la tarifa fija. Complete esta minitabla. ¿Qué valor le dará a la distancia recorrida (x)?

¿Cuánto tiene que pagar (y)?

x

y

Ubique los valores de la tabla en la gráfica de arriba, prolongue la recta y responda: ¿Pasa por el centro? Sí o No Entonces, ¿es una función de proporcionalidad o es una función afín?

146

IGER − Utatlán

¡Otro ejemplo! Representemos gráficamente la función f(x) = 2x + 1 • Elaboramos la tabla de valores. Asignamos a x los valores –2, –1, 0, 1, 2, aplicamos la función y trasladamos los resultados a la tabla.

f(x) = 2x + 1 = y x f(-2) = 2(-2) + 1 = -3 -2 f(-1) = 2(-1) + 1 = -1 -1 f(0) = 2(0) + 1 = 1 0 f(1) = 2(1) + 1 = 3 1 f(2) = 2(2) + 1 = 5 2

y -3 -1 1 3 5

Recuerde: Puede asignar cualquier valor a la variable x.

• Graficamos la función f(x) = 2x + 1

y

Localizamos los pares ordenados que resultan de la tabla y unimos los puntos en una línea recta.

8 7 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0 -1

1 2

3

4

x

5 6

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Ejercicio 3 Siga practicando con la misma función. Calcule el valor de y para los nuevos valores de x y complete la minitabla.

f(-3) = 2(

)+1=

f( 3 ) = 2(

)+1=

x -3 3

y

Ubique en la gráfica de arriba los resultados de la tabla y prolongue la recta. Matemática − Semana 28

147

¡Un ejemplo más! Representemos gráficamente la función f(x) = -2x + 2 • Elaboramos la tabla de valores. Asignamos a x los valores –2, –1, 0, 1 y 2.

f(x) = -2x + 2 = y x

y

f(-2) = -2(-2) + 2 = 6

-2

6

f(-1) = -2(-1) + 2 = 4

-1

4

0

2

1

0

2

-2

f(0) = -2(0) + 2 = 2 f(1) = -2(1) + 2 = 0 f(2) = -2(2) + 2 = -2 • Graficamos la función f(x) = -2x + 2. y 8 7 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0 -1

1 2

3

4

5 6

x

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Ejercicio 4 A. Siga practicando con la misma función. Calcule el valor de y para los nuevos valores de x y complete la minitabla.

f(-3) = -2(

)+2=

f( 3 ) = -2(

)+2=

x -3 3

y

Ubique en la gráfica de arriba los resultados de la tabla y prolongue la recta.

148

IGER − Utatlán

B. Represente gráficamente cada función. Utilice los valores asignados a la variable x para elaborar la tabla de valores. 1) f(x) = x + 2

f(x) = x + 2 = y

y

f(-2) = -2 + 2 = 0

x -2 -1 0 1 2

f(-1) = f(0) = f(1) = f(2) =

5

y

4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

0 -1

1 2

3

4

5

1 2

3

4

5

1 2

3

4

5

x

-2 -3 -4

-5

2) f(x) = 2x - 1

y

f(x) = 2x - 1 = y

f(-2) = 2(-2) - 1 = -5

f(-1) =

f(0) =

f(1) =

f(2) =

x -2 -1 0 1 2

5

y

4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

0 -1

x

-2 -3 -4 -5

3) f(x) = -2x + 1

y

f(x) = -2x + 1 =

f(-2) =

4

f(-1) =

2

f(0) =

f(1) =

f(2) =

x

5

y

3 1 -5 -4 -3 -2 -1

0 -1

x

-2 -3 -4 -5


149

4) f(x) = -3x + 2

f(x) = -3x + 2 =

f(-2) =

f(-1) =

f(0) =

f(1) =

f(2) =

y

x

10

y

8 6 4 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0 -2

1 2

3

4

x

5 6

-4 -6

Practique en la red... Anímese a dar un paso más, ingrese al sitio de internet abajo indicado. En él encontrará conceptos y ejercicios relacionados con el sistema de coordenadas cartesianas. Lea las instrucciones antes de realizar cada ejercicio. http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/clicescuela20/blog/recursoseducativos/2011/01/18/ sistema-de-coordenadas-cartesianas/

Resumen 1. Una función lineal es aquella cuyo exponente de la variable x siempre es uno (1). Su gráfica sobre el plano es una línea recta y se clasifica como función de proporcionalidad o función afín.

Para representar gráficamente una función, elaboramos una tabla de valores, ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano y unimos en una línea recta los puntos obtenidos. y

1.1 Una función de proporcionalidad se expresa por f(x) = ax, en la que a es un número cualquiera.

• La gráfica de una función de proporcionalidad es una línea recta que pasa por el origen (0).

4 3 2

f(x) = ax

1 -4 -3 -2 -1

0 -1

• La gráfica de una función afín es una línea recta que no pasa por el origen (0).

4

x

2

3

4

x

y 4 3 2

f(x) = ax + b

1 -4 -3 -2 -1

0 -1

1

-2 -4

IGER − Utatlán

3

-4

-3

150

2

-3

1.2 Una función afín se expresa por f(x) = ax + b, en la que a y b son dos números cualesquiera.

1

-2



Rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Cuál es un ejemplo de función de proporcionalidad?

f(x) = 2 f(x) = 5x f(x) = 5x + 1

2) En una función lineal, ¿cuál es el valor del exponente de la variable x?

0 1 2

3) ¿Cuál es un ejemplo de función afín?

f(x) = -3 f(x) = x + 1 f(x) = x2 + 2

4) Si x = -1 en f(x) = 2x, ¿cuál es el valor de su imagen?

y=2 y = -1 y = -2

5) Si x = -2 en f(x) = x - 1, ¿cuál es el valor de su imagen?

y = -3 y = -2 y = -1

Actividad 2.


A. Complete la tabla para formar pares ordenados y represente gráficamente cada función. 1) f(x) = -2x = y

y

f(-2) = -2(-2) = 4 x y

f(-1) = -2(-1) =

f(0) = -2(0) =

f(1) = -2(1) =

f(2) = -2(2) =

5 4 3

-2

2

-1 0 1 2

1 -5 -4 -3 -2 -1

0 -1

1 2

3

4

5 x

-2 -3 -4 -5


151

2) f(x) = 2x = y

f(-2) =

y

x

5

y

4

-2

f(-1) =

3 2

-1

f(0) =

1

0

f(1) =

1

f(2) =

2

-5 -4 -3 -2 -1

0 -1

1 2

3

4

5 x

1 2

3

4

5 x

1 2

3

4

5 x

-2 -3 -4 -5

y

3) f(x) = x + 3 = y

f(-2) =

x

5

y

4

-2

3

-1

f(-1) =

2 1

0

f(0) =

-5 -4 -3 -2 -1

1

f(1) =

0 -1

2

f(2) =

-2 -3 -4 -5

y

4) f(x) = 5x + 10 = y

f(-2) = f(-1) = f(0) = f(1) = f(2) =

x

25

y

20

-2

15 10

-1

5

0 1 2

-5 -4 -3 -2 -1

0 -5

-10 -15 -20 -25

B. Represente gráficamente las funciones siguientes. Asigne a x los valores: -2, -1, 0, 1 y 2. Trabaje en su cuaderno. 2) f(x) = x - 1 1) f(x) = -3x

3) f(x) = x - 3

4) f(x) = 10x + 5 5) f(x) = -2x + 1

6) f(x) = -2x - 1

152

IGER − Utatlán

Agilidad de cálculo mental A. Si f(x) = x - 2, calcule el segundo elemento de cada par ordenado. Fíjese en el ejemplo. 0) (4, 2 )

6) (12,

)

12) (–3,

)

1) (8,

)

7) (15,

)

13) (–9,

)

2) (0,

)

8) (20,

)

14) (–2,

)

3) (1,

)

9) (18,

)

15) (–10,

)

4) (5,

)

10) (22,

)

16) (–20,

)

5) (9,

)

11) (16,

)

17) (–18,

)

B. Si f(x) = -5x, calcule el segundo elemento de cada par ordenado. Tiene un ejemplo. 0) (2, –10 )

6) (–2,

)

12) (–9,

)

1) (1,

)

7) (–4,

)

13) (–8,

)

2) (3,

)

8) (–1,

)

14) (–10,

)

3) (4,

)

9) (–6,

)

15) (–20,

)

4) (0,

)

10) (–3,

)

16) (–30,

)

5) (6,

)

11) (–7,

)

17) (–40,

)

C. Si f(x) = 3x + 5, calcule el segundo elemento de cada par ordenado. Fíjese en el ejemplo. 0) (5, 20 )

6) (4,

)

12) (–2,

)

1) (0,

)

7) (7,

)

13) (–1,

)

2) (3,

)

8) (6,

)

14) (–5,

)

3) (1,

)

9) (9,

)

15) (–6,

)

4) (5,

)

10) (8,

)

16) (–3,

)

5) (2,

)

11) (10,

17) (–4,

)

)


153

Razonamiento lógico Lea la información y realice las actividades. Un automóvil se desplaza por la autopista de Palín-Escuintla a 1.5 kilómetros por minuto. 1) ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil en 2 minutos? 2) ¿Qué operación utiliza para calcular la distancia recorrida en 4 minutos? 3) Complete la tabla de valores escribiendo la distancia recorrida para cada tiempo indicado. tiempo (en minutos)

2

4

distancia (en km)

3

6

6

8

10

12

14

4) Con los resultados de la tabla represente gráficamente el desplazamiento del automóvil. Escriba el valor del tiempo en el eje x, el valor de la distancia en el eje y. km

y 21 18 15 12 9 6 3

-4 -2

0 -3

2

4

x

6 8 10 12 14 minutos

-6

5) Si de Palín a Escuintla hay 17 kilómetros, ¿cuánto tiempo, aproximadamente, tardaría en llegar?




154


Recuerdo el plano cartesiano o sistema de coordenadas cartesianas. Completo una tabla de valores para cada función dada. Represento gráficamente funciones lineales. Completo la pareja ordenada de una función. Aplico las funciones para resolver un problema de movimiento. IGER − Utatlán


29 Estadística I ¿Qué encontrará esta semana? Historia de la estadística Estadística y términos estadísticos Operaciones combinadas Agudeza visual

Esta semana logrará:  Conocer la evolución de la estadística a través de la historia.  Definir qué es la estadística.  Explicar qué es población, muestra, datos y variables.  Organizar datos nominales y ordinales en una tabla de frecuencias.  Practicar la agilidad de cálculo mental con operaciones combinadas.  Resolver ejercicios de agudeza visual. 


155

¡Para comenzar! Historia de la Estadística Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, piezas de madera y paredes de cuevas, para contar personas, cosechas, animales u objetos. La información más antigua sobre el uso de la estadística la encontramos en Egipto, alrededor del año 3050 a.C., mucho antes de construir las pirámides. Esta civilización ya analizaba los datos de la población y los relacionaba con los tributos. También en Babilonia, 3000 a.C., usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y las especies vendidas o cambiadas mediante trueque. Así mismo, dejaron información de sus registros estadísticos en Grecia, Roma y China. Ya en nuestra era Guillermo I, rey de Inglaterra, en 1086 encargó un censo para registrar nacimientos y defunciones. Este censo es reconocido como el primer censo de población. El desarrollo pleno de la estadística se inicia entre finales del siglo XVII y principios del XVIII. El término "estadística" fue introducido por Gottfried Achenwall, profesor y economista alemán, quien lo utilizaba para el análisis de datos del Estado. Ya en el siglo XIX el término "estadística" adquirió el significado actual de recolectar y clasificar datos. Tomado y adaptado de http://www.profesorenlinea.cl/matematica/estadisticaHistoria.htm

¡A trabajar! Con la información de la lectura complete la línea de tiempo. Escriba el nombre de la civilización o persona que aplicó la estadística. Tiene un ejemplo. 3050 a.C.

egipcios

156

IGER − Utatlán

3000 a.C.

1086

siglo XIX

El mundo de la matemática 1. Estadística

Recolección de datos

En nuestros días, la estadística se ha convertido en una ciencia útil a toda actividad humana. Es aplicable a la medicina, la biología, la física, todas las ciencias sociales, etc. como método efectivo para describir, relacionar y comparar datos. La estadística es la rama de las matemáticas encargada de la recopilación, organización y análisis de datos numéricos y observaciones, para la toma de decisiones o para explicar y predecir un acontecimiento en particular. La estadística se divide en dos grandes ramas, dependiendo de su aplicación: la estadística descriptiva y la estadística inferencial.

1.1 Estadística descriptiva La estadística descriptiva se encarga de reunir, organizar y analizar datos para presentarlos de manera ordenada. Por ejemplo, si queremos hacer un estudio de la población escolarizada de Guatemala, nos preguntaremos ¿cuántos estudiantes hay en las escuelas del país?, ¿cuántos en cada departamento?, ¿qué edades tienen?, etc. Al responder estas preguntas, la estadística descriptiva nos ayudará a reunir, ordenar y organizar la información, de tal manera que sea fácil de interpretar. Esta semana y las siguientes estudiaremos parte de la estadística descriptiva. Aprenderemos a organizar información, realizar gráficas y extraer algunas medidas importantes como la media, la mediana y la moda.

1.2 Estadística inferencial La estadística inferencial se ocupa de sacar conclusiones más allá de los datos recogidos, para hacer predicciones generales. Por ejemplo, de acuerdo a los registros de la cantidad de estudiantes inscritos en el grupo Utatlán, se puede estimar el número de estudiantes que se inscribirán en el grupo Zaculeu el año próximo. Otro ejemplo puede ser la opinión de los estudiantes del Iger sobre la clase radial "El maestro en casa". Según los resultados, se pueden tomar decisiones para mejorarla. Matemática − Semana 29

157

2. Términos estadísticos

¿Cómo nos comunicamos en estadística?

La estadística, como todas las ciencias, se expresa con una serie de términos que le son propios o que toman un significado especial. Aprendamos el significado de estos términos.

En estadística el término población no se refiere solo a personas, sino también a cualquier otro grupo de objetos, animales, etc.

1. Población. En estadística, población es el conjunto de elementos sobre el que queremos hacer un estudio.

Por ejemplo, los niños y las niñas que han participado en una jornada de vacunación o la producción de caña en nuestro país.

2. Muestra. Es un subconjunto de la población que elegimos al azar para hacer un estudio más reducido.

Por ejemplo, para determinar la calidad de la caña, podemos tomar al azar una muestra en cada departamento.

3. Variables y datos. Las variables son aquellos aspectos que se van a estudiar. Los datos son los valores que se obtienen de las variables.

Por ejemplo, una variable puede ser la profesión de una población o muestra y el dato será el resultado: albañil, fontanero, secretaria, etc.

Ejercicio 1 Identifique población, muestra, dato y variable en los siguientes enunciados. Fíjese en los ejemplos. 1) Un estudio de 2006 determina que la estatura media de los hombres guatemaltecos, de 20 años en adelante, es de 1.68 metros. Para ello se tomó la estatura de 3000 jóvenes.

La población es: los hombres de Guatemala

La muestra es:

La variable es: la estatura

El dato es:

2) Un granjero seleccionó 60 pollos sobre un total de 900, para determinar la cantidad de concentrado que consume cada pollo por día. El resultado que obtuvo es 0.3 libras promedio. a. La población es:

La variable es:

La muestra es: El dato es:

b. Responda: ¿Qué otra variable se podría estudiar de la población de pollos?

158

IGER − Utatlán

Es posible clasificar las variables de acuerdo a los valores que toma, de la siguiente manera: 3.1 Variables cualitativas. Describen cualidades, características o atributos de los elementos en estudio. A su vez se clasifican en: a. Nominales: son las variables que solo se pueden describir con un nombre, porque no se pueden medir de otra forma. Por ejemplo: estado civil, sexo, la religión, etc. b. Ordinales: permiten clasificar a los objetos o sujetos según el orden que ocupan en una medición. Son variables ordinales: índice de alfabetismo (alto, medio o bajo), opinión sobre el servicio de un restaurante (regular, bueno, muy bueno), grado escolar (primaria, básico, diversificado). 3.2 Variables cuantitativas. Son las variables que se miden con cantidades numéricas. Se clasifican en: a. Discreta: es aquella variable que puede tomar únicamente valores enteros en la medición. Por ejemplo, el número de hijos por familia. Los datos que se podrían obtener son: 0, 1, 2, 3 hijos, etc. b. Continua: es aquella variable que puede tomar cualquier valor decimal en la medición. Por ejemplo, la estatura media de las niñas. Los datos que se podrían obtener son: 1.32, 1.35, 1.37 metros, etc.

Ejercicio 2 Rellene el círculo que responde si la variable citada es cualitativa, cuantitativa, nominal, ordinal, discreta o continua. 1) Edad

ordinal cualitativa cuantitativa

2) Estado civil

continua cualitativa cuantitativa

3) Estatura

cualitativa ordinal continua

4) Número de habitantes

nominal discreta continua Matemática − Semana 29

159

3. Organización de datos Los datos en estadística se organizan en una tabla de frecuencias. Frecuencia es el número de veces que se repite cada dato. Por lo tanto, una tabla de frecuencias es la representación de un conjunto de datos que nos permite observar que tan seguido ocurre algo. La tabla de frecuencias está formada por dos columnas, en una escribimos los datos y en la otra las frecuencias.

3.1 Organización de datos nominales Los datos nominales se organizan en una tabla de frecuencias según sus cualidades o características comunes. Por ejemplo En una fiesta de la comunidad participaron 140 personas (N = 140). Del total 25 eran niños, 40 jóvenes, 55 adultos y 20 ancianos. Podemos representar esta información en la tabla de frecuencias siguiente. participantes

frecuencia

niños

25

jóvenes

40

adultos

55

ancianos

20

total (N)

140

Observe que en la última fila hemos escrito el total de los datos (N) que representa el total de la población. La suma de todas las frecuencias debe coincidir con el total (N).

Ejercicio 3 Organice los datos en la tabla de frecuencias. Se preguntó a 100 turistas qué lugar deseaban visitar. 40 respondieron Tikal, 20 Atitlán, 25 los Cuchumatanes y 15 Puerto de San José. lugar turístico Tikal Atitlán Cuchumatanes Puerto de San José total (N)

160

IGER − Utatlán

frecuencia

3.2 Organización de datos ordinales Los datos ordinales se organizan en una tabla de frecuencias de acuerdo a un orden específico. Bien en orden ascendente, es decir, de menor a mayor valor, o en orden descendente, de mayor a menor valor. Veamos un ejemplo Se desea saber la distribución por niveles de 100 alumnos de un colegio. Los datos obtenidos son: 14 cursan el nivel preprimario, 48 el nivel primario, 31 el nivel básico y 7 el nivel diversificado. Ordenamos los datos en una tabla de frecuencias. nivel

frecuencia

Preprimaria

14

Primaria

48

Básico

31

Diversificado

7

total (N)

100

Observe que hemos ordenado los datos de la primera columna del nivel inferior de escolaridad (preprimaria) al nivel superior (diversificado), es decir, hemos aplicado un orden ascendente.

3.2.1 Conteo y organización de datos ordinales Una promotora de salud ha registrado el crecimiento de 15 bebés durante los primeros de 6 meses de vida. Los resultados, en centímetros, se muestran a continuación, al lado izquierdo:

crecimiento

frecuencia

9 cm

1

8

5

5

9

7

8 cm

2

8

6

7

6

6

7 cm

4

5

6

7

6

7

6 cm

5

5 cm

3

total (N)

15

Los datos que vemos a la izquierda aportan poca información. Es necesario ordenarlos en la tabla de frecuencias. Para ello, escribimos en la primera columna la variable del crecimiento, en orden ascendente o descendente (nosotros lo hemos hecho en orden descendente), luego contamos las veces que se repite cada dato y registramos los resultados en la columna frecuencia. De esta forma es fácil ver que solo un niño creció 9 cm, 2 niños crecieron 8 cm, etc. Matemática − Semana 29

161

¡Otro ejemplo! Elaboremos una tabla de frecuencias con los datos de la información siguiente: • Un orientador voluntario registra la edad de sus 12 estudiantes (N = 12). Veamos los resultados:

Observe que ordenamos la variable edad, de mayor a menor, es decir, en orden descendente.

16

22

18

18

22

22

edad

frecuencia

22

3

20

2

18

4

16

3

total (N)

12

20 18 18 16 20 16

En la tabla observamos que:

• 3 estudiantes tienen 22 años, 2 tienen 20 años, etc. • La mayor frecuencia se registra en la edad de 18 años. • La menor frecuencia se registra en la edad de 20 años.

Ejercicio 4 1) Lea la información y elabore una tabla de frecuencias para ordenar los datos proporcionados.

En la última prueba de evaluación de matemáticas, 15 estudiantes obtuvieron los resultados siguientes: punteo

frecuencia

12 20

12

12

20 24

16

20

18

22 18

16 18 20

20 24 22 18 20

22 24 total (N)

2) a. ¿Qué punteo registra la mayor frecuencia? b. ¿Qué punteo registra la menor frecuencia? c. Si 15 puntos se considera aprobado, ¿cuántos pasaron el examen? ¿cuántos reprobaron el examen?

162

IGER − Utatlán

Resumen 1. La estadística es la rama de las matemáticas encargada de la recopilación, organización y análisis de datos numéricos y observaciones, para la toma de decisiones o para explicar y predecir un acontecimiento en particular.

Se divide en: • Estadística descriptiva: se encarga de reunir datos, organizarlos y presentarlos de manera ordenada. • Estadística inferencial: se ocupa de sacar conclusiones del grupo de datos que se ha estudiado.

2. Términos estadísticos • Población. Es el conjunto o total de elementos que deseamos estudiar. • Muestra. Es un subconjunto de la población. • Variables y datos. Las variables son aquellos aspectos que se van a estudiar. Los datos son los valores que se obtienen de las variables.

Una variable, a su vez, puede ser: nominal cualitativa ordinal variable discreta cuantitativa continua

3. Organización de datos

Los datos se organizan en una tabla de frecuencias.

Frecuencia es el número de veces que se repite cada dato.

Una tabla de frecuencias es la representación de un conjunto de datos ordenados. Está formada por dos columnas, en una escribimos los datos y en otra las frecuencias.

Podemos construir una tabla de frecuencias con datos nominales o datos ordinales.

3.1 Organización de datos nominales: Estos datos se organizan en una tabla de frecuencias según sus cualidades o características comunes. 3.2 Organización de datos ordinales: Para organizar datos ordinales lo hacemos en forma ascendente (de menor a mayor valor) o en forma descendente (de mayor a menor valor). Contamos las veces que se repite cada dato y registramos los resultados en una tabla de frecuencias. Matemática − Semana 29

163



A. Rellene el círculo del enunciado que indica una aplicación estadística. Tiene un ejemplo. Investigar cuántos niños nacen en Guatemala cada año. Estudiar un fósil de dinosaurio. Averiguar la edad promedio de los estudiantes del Iger. Estudiar la historia de la Conquista de Guatemala. Calcular el porcentaje de guatemaltecos que tienen teléfono celular. Conocer los accidentes geográficos de Alta Verapaz. Investigar cuántas personas utilizan el transporte urbano en la Capital. Mejorar la ortografía y la comprensión lectora. B. Fije en su memoria los términos estadísticos que aprendió esta semana. El primer ejemplo se lo damos en cada ítem. Usted debe escribir otros dos. 1) Un ejemplo de población es el número de pinos amarillos que hay en Guatemala. Anote dos ejemplos más de población. a. b. 2) Si deseamos saber el porcentaje de personas mayores de 30 años que practican algún deporte, sería imposible preguntar a todos los habitantes del país, entonces elegimos una muestra que represente la población. Escriba dos casos en los que es necesario elegir una muestra. a. b. 3) La cantidad de personas que habitan una casa es un ejemplo de variable cuantitativa discreta. Escriba dos variables de este tipo. a. b. 4) Las variables cualitativas describen cualidades, atributos, de los elementos en estudio. Un ejemplo de estas variables es el estado civil de las personas. Escriba dos variables cualitativas. a. b.

164

IGER − Utatlán

Actividad 2.


A. Lea el siguiente caso y preste atención a la información proporcionada.

La empresa de agua pura Delirrica desea saber cuántos guatemaltecos consumen su producto en todo el país y qué opinión tienen del agua pura. Para obtener esta información, encuestaron a una muestra de 5000 personas y les hicieron las preguntas siguientes.

1) ¿Consume agua Delirrica?  sí  no

2) ¿Cuántas botellas de agua Delirrica consume en una semana?  1 a 3

 4 a 6

 7 o más

3) ¿Cómo le parece el sabor de la bebida Delirrica?  malo

 regular  deliciosa

4) ¿Cómo es el envase de la bebida Delirrica?

 común  sencillo  original

5) ¿Qué le parece la publicidad en la televisión?  aburrida  llamativa  la desconoce

B. Responda a las preguntas. a. ¿Qué dato representa la población? b. ¿Qué dato representa la muestra? c. ¿Qué tipo de variable representa el dato de la respuesta de la primera pregunta? d. ¿Qué tipo de variable representa el dato de la respuesta de la segunda pregunta? e. ¿A qué tipo de variable responden los datos de las respuestas de las preguntas 3, 4 y 5? Matemática − Semana 29

165

C. Realice las actividades que se le piden. 1) Lea la información, organice los datos en la tabla de frecuencias y conteste las preguntas.

Las temperaturas máximas en grados centígrados (ºC), en la región noroccidente del país, durante los primeros 14 días de febrero de 2012, fueron: temperatura

frecuencia

25°C 22° 23° 20°

24°C

21° 22° 24°

23°C

24° 23° 22° 22° 25° 21° 21° 22°

total (N)

a. ¿Qué temperatura registra la mayor frecuencia? b. Si consideramos un día caluroso cuando la temperatura es igual o mayor a 24ºC, ¿cuántos días calurosos hubo? 2) Lea la información, organice los datos en la tabla de frecuencias en orden ascendente y conteste las preguntas.

Durante una jornada de nutrición se ha registrado el peso de un grupo de mujeres de 15 años de edad. Los datos, en libras, se muestran a continuación. peso (lb)

frecuencia

100 100 115 115 110 140 105 110 105 120 110 110 120 115 105 115 100 110 110 130 105

total (N) a. Si consideramos que el peso bajo es igual o menor a 100 lb, ¿cuántas mujeres tienen peso bajo? b. Si consideramos que el sobrepeso es igual o mayor a 140 lb, ¿cuántas mujeres tienen sobrepeso? c. ¿Cuántas mujeres consideramos que tienen el peso normal dentro del rango? d. ¿Qué peso registra la mayor frecuencia?

166

IGER − Utatlán

Agilidad de cálculo mental A. Realice las operaciones combinadas de suma y multiplicación. Recuerde realizar primero la multiplicación. 1) 7 # 9 + 2 =

11) 3 + 1 # 9 =

2) 9 # 3 + 1 =

12) 5 + 3 # 7 =

13) 4 + 5 # 8 =

3) 8 # 5 + 20 = 4) 1 # 7 + 9 =

14) 8 + 2 # 1 =

5) 6 # 6 + 10 =

15) 5 + 6 # 2 =

6) 4 # 5 + 15 =

16) 3 + 9 # 3 =

7) 5 # 3 + 30 =

17) 4 + 3 # 6 =

8) 2 # 9 + 12 =

18) 3 + 5 # 10 =

9) 5 # 10 + 50 = 10) 7 # 70 + 6 =

19) 2 + 4 # 8 = 20) 6 + 2 # 5 =

B. Repase el producto de monomios. Recuerde aplicar las leyes de los signos y de la potenciación. Fíjese en los ejemplos. 0) (-x)(5y) = -5xy

11) (-2s)( -3s2) =

1) (-r)(3s) =

12) (-3c2)( -4c3) =

2) (-2w)(z) =

13) (-6x4) (-3x2) =

3) (-3x)(7y) =

14) (-9h)(-4h5) =

4) (-5c)(2d) =

15) (-7m4)(-6m3) =

5) (-9b)(3d) =

16) (-4y3)(-7y3) =

6) (-3)(8a2) =

17) (-9b6)(-5b2) =

7) (-4a3)(5b2) =

18) (-8h3)(-6h5) =

8) (-8h4)(7k2) =

19) (-7t4)(-8t2) =

9) (-3g2)(9h3) =

20) (-6p5)(-9p5) =

10) (-5k)( -5k) =

21) (-5y6)( -7y4) =

6s3


167

Razonamiento lógico Observe con atención la forma y el tamaño de las figuras pequeñas, luego determine cuántas figuras de estas necesitaría para formar la figura más grande. El ejemplo 0 le sirve de guía. 0)

4

2)

4)

1)

3)

5)




168


Conozco la evolución de la estadística a través de la historia. Defino qué es la estadística. Explico qué es población, muestra, variables y datos. Organizo datos nominales y ordinales en una tabla de frecuencias. Practico la agilidad de cálculo mental con operaciones combinadas. Resuelvo ejercicios de agudeza visual. IGER − Utatlán


30 Estadística II ¿Qué encontrará esta semana? Estadística en la computadora Gráficas estadísticas: diagrama de barras, polígono de frecuencias y diagrama de sectores Operaciones combinadas y porcentajes Análisis e interpretación de gráficas

Esta semana logrará:  Realizar gráficas en una hoja de Excel.  Elaborar diagramas de barras, polígonos de frecuencias y diagramas de sectores.  Analizar e interpretar datos y hechos tomados de la realidad mediante gráficas.  Practicar el cálculo mental con operaciones combinadas y porcentajes.


169

¡Para comenzar! Estadística en la computadora Desarrolle su competencia en tecnología Esta semana aprenderemos a dibujar y construir diferentes tipos de gráficas paso a paso, pero si usted dispone de una computadora le interesará saber que puede hacerlo desde el programa llamado Excel. El programa Excel nos permite crear diferentes gráficas de manera sencilla. Veamos cómo utilizar esta herramienta para representar gráficamente los gastos realizados por Fernando en un mes. 1. En la columna identificada con la letra A escriba: productos, alimentación, transporte, vestuario, vivienda y ahorro. En la columna B escriba: Gastos realizados en un mes, 950, 125, 555, 600, 270. 2. Una vez ingresados los datos, coloque el puntero sobre la palabra productos. 3. Busque en la barra de herramientas la palabra insertar, dele un clic y le aparecerá un cuadro con las opciones de gráficas que contiene el programa. 4. Escoja el tipo de gráfica que desee, haga clic y aparecerá la gráfica de la información que ingresó.

3 1

2

4

Si desea otro tipo de gráfica, coloque nuevamente el puntero sobre la palabra productos y seleccione la opción que desee. Ponga a prueba su curiosidad y elija otras formas de gráficas. ¡Anímese a usar esta valiosa herramienta!

170

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Gráficas estadísticas En estadística, después de recopilar, organizar y analizar los datos; se pueden presentar por medio de gráficas. Seguramente usted las ha visto en periódicos y revistas. Por ejemplo, la gráfica de imágenes o pictograma que vemos a continuación está tomada de una publicación de la Unesco sobre la situación mundial del agua.

8% 13%

15% 8%

AMÉRICA DEL NORTE Y CENTRAL

25% 6%

AMÉRICA DEL SUR

EUROPA

11% 13% ÁFRICA

36% 60% ASIA

5% <1% OCEANÍA

Fuente: unesco. Elaboración propia

Disponibilidad de recursos hídricos en el mundo

Las gráficas deben ofrecer la mayor información posible a simple vista. Observe cómo se han utilizado dos símbolos fáciles de reconocer: la gota, que representa la disponibilidad de agua, y la silueta humana, para representar el porcentaje de población. Además, ambas imágenes se han distribuido sobre un mapa mundi, para identificar esos porcentajes en cada continente.

Ejercicio 1 Los recursos hídricos de un país se miden según la disponibilidad media de agua por habitante en un año. Mire detenidamente la gráfica y responda. 1) ¿Qué continente tiene mayor porcentaje de disponibilidad de agua? 2) ¿Qué continente tiene menor porcentaje de disponibilidad de agua? 3) ¿Qué acciones podemos poner en práctica para mantener la disponibilidad de agua? Matemática − Semana 30

171

1.1 Tipos de gráficas estadísticas Esta semana estudiaremos tres tipos de gráficas: diagrama de barras, polígono de frecuencias y diagrama circular.

a. Diagrama de barras El diagrama de barras o histograma es una representación de datos cualitativos o cuantitativos en un plano cartesiano por medio de rectángulos, en los cuales la altura de cada rectángulo depende de la frecuencia de los datos. Las columnas pueden estar en posición vertical u horizontal. Las partes que componen un diagrama de barras son: • El título en la parte superior. • El eje y para las frecuencias. • Las barras que ilustran la información.

[ Título de la gráfica ] 60 50

frecuencias

• El eje x para las variables.

40 30 20 10 0

variable

variable

variable

Veamos un ejemplo. Representemos en un diagrama de barras la información de la tabla que contiene la ocupación de 100 personas tomadas como muestra en la comunidad “La Esperanza”. • Dibujamos un plano cartesiano y escribimos el título en la parte superior: Ocupación de 100 personas en la comunidad “La Esperanza” • En el eje x escribimos las variables: artesanos, estudiantes y carpinteros. En el eje y distribuimos las frecuencias de 10 en 10. • Sobre el eje x dibujamos una barra para cada variable, de altura proporcional al valor de la frecuencia. ocupación

frecuencia

Ocupación de 100 personas en la comunidad “La Esperanza”

artesanos

50

estudiantes

30

60

carpinteros

20

50

100

40

total

30 20 10 0

172

IGER − Utatlán

artesanos

estudiantes

carpinteros

Otro ejemplo. De acuerdo a los datos de la tabla de frecuencias, representemos en un diagrama de barras el nombre y la cantidad de árboles por especie presentes en el Cerro Alux. Recuerde los pasos. • Dibujamos un plano cartesiano y escribimos el título en la parte superior. • En el eje x escribimos las variables nominales y en el eje y las frecuencias. • Sobre el eje x dibujamos una barra para cada variable, que alcanzará la altura que marque su frecuencia. especie

frecuencia

Cantidad de árboles por especie presentes en el bosque Cerro Alux

pino

55

ciprés

42

60

eucalipto

20

50

8

40

125

30

palo blanco total

20 10 0

pino

criprés

eucalipto

palo blanco

Ejercicio 2 ¡Hágase donante de sangre! Las transfusiones de sangre salvan vidas. Solo la donación regular de voluntarios puede garantizar el suministro de sangre segura. La Organización Mundial de la Salud presentó en el informe de 2007 este incremento en las donaciones. Elabore un diagrama de barras con la información de la tabla. Porcentaje de incremento de las donaciones de sangre 70

origen de las donaciones % aumento

60

Países en desarrollo

25

50

Países en transición

30

Países desarrollados

65

40 30 20 10 0





173

b. Polígono de frecuencias El polígono de frecuencias es un gráfico que representa la información a través de puntos y rectas. La construcción de este gráfico es muy parecida al diagrama de barras, solo que en lugar de columnas se trazan puntos en el plano cartesiano, para luego unirlos por medio de líneas rectas. Veamos un ejemplo. Uno de los Objetivos del Milenio (odm), en concreto el Objetivo 5, propone la reducción de la mortalidad materna. El informe del Sistema de las Naciones Unidas en Guatemala, presentado en 2008, indica la evolución de la mortalidad por cada 100 000 nacidos vivos. Los datos se presentan en la tabla. Los Objetivos de Desarrollo del Milenio (odm) son ocho propósitos de desarrollo humano que los 193 países miembros de las Naciones Unidas acordaron conseguir para el año 2015.

año

mortalidad

1989

248

2000

153

2006

133

Representemos los datos en un polígono de frecuencias. • Dibujamos un plano cartesiano, escribimos el título en la parte superior. • En el eje x ubicamos las variables (los años) y en el eje y las frecuencias (número de muertes). • Sobre cada variable trazamos una línea suave hasta llegar al punto donde coincide con su frecuencia. Allí marcamos un punto. • Una vez marcados todos los puntos, los unimos con líneas rectas. Reducción de la mortalidad materna en Guatemala de 1989 – 2006 300 250 200 150 100 50 0

1989

2000

2006

Para reflexionar: observe la gráfica y note el avance ante este problema. Esto nos hace pensar que cuando nos proponemos metas y luchamos por lograrlas, los resultados se obtienen a pesar del tiempo.

174

IGER − Utatlán

Ejercicio 3 Ponga en práctica la representación gráfica en diagrama de barras y polígono de frecuencias. A. Una taza de yogur contiene 5 % de proteínas, 2% de grasas y 4% de azúcar. Escriba los datos en la tabla y dibuje un diagrama de barras con la información. nutrientes

%

Porcentaje de nutrientes que contiene una taza de yogur

proteínas 6

grasas

5

azúcar

4 3 2 1 0

proteínas

grasas

azúcar

B. La desnutrición infantil es un problema grave de nuestro país, que se acentúa en ciertas áreas. La tabla de frecuencias presenta el porcentaje de niños y niñas menores de 5 años con desnutrición en el área Noroccidente de 1987 a 2002, según el informe del Sistema de las Naciones Unidas en Guatemala, presentado en 2008.

Elabore el polígono de frecuencias.

año

% desnutrición

1987

46

1995

35

1998

33

2002

31

Porcentaje de niños y niñas con desnutrición en el área Noroccidente de Guatemala 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

1987

La gráfica nos indica que se ha reducido la desnutrición infantil, pero el nivel aún es alto. Participe en los programas locales para que este problema desaparezca lo antes posible. Matemática − Semana 30

175

c. Diagrama de sectores Un diagrama de sectores consiste en la representación de datos en una circunferencia. Esta gráfica es muy útil cuando se cuenta con valores absolutos y se desea representar la información en porcentajes. Veamos un ejemplo. Los tres idiomas más hablados en el mundo son: idioma

frecuencia (millones de hablantes)

chino mandarín

900

español

360

inglés

340

total

1600

• Como la información en un diagrama de sectores se presenta en porcentajes, calculamos el porcentaje que le corresponde a cada idioma. Recuerde que obtenemos un porcentaje por medio de una regla de tres simple, así: 100% 500 x 225 225 x 100 = 45% x= 500

900 x 100 90 000 = = 56.25% 1600 1600

chino mandarín:

español:

360 x 100 36 000 = = 22.5% 1600 1600

inglés:

340 x 100 34 000 = = 21.25% 1600 1600

• Con los porcentajes obtenidos, calculamos los grados que le corresponden a cada sector del círculo. El círculo completo mide 360º, que equivale al 100%. Para repartir los grados de manera proporcional a cada porcentaje, podemos aplicar la fórmula siguiente.

N° de grados =

Aprenda un símbolo nuevo, el símbolo de equivalencia

chino mandarín:

20 250º 56.25% x 360º = = 202.5º 100 100%

español:

inglés:

% de cada variable x 360º 100%

203º

8100º 22.5% x 360º = = 81º 100 100%

7650 21.25% x 360º = = 76.5º 100 100%

76º

Para facilitar la medición en grados, hemos aproximado la primera y la tercera cantidad.

176

IGER − Utatlán

• Escribimos los resultados en una tabla y comprobamos que la suma de las frecuencias es igual al número de datos, la suma de los porcentajes es 100% y la suma de los grados 360º. idioma

frecuencia

%

grados

chino mandarín

900

56.25%

203º

español

360

22.5%

81º

inglés

340

21.25%

76º

1600

100%

360º

total

• En un círculo, medimos con un transportador los grados correspondientes a cada sector, dentro de este escribimos el idioma y su porcentaje.

Idiomas más hablados en el mundo

inglés 21.25%

• Dentro de la gráfica, escribimos el dato del porcentaje, no de los grados.

español 22.5%

chino mandarín 56.25%

Ejercicio 4 El problema de la desnutrición no solo afecta a nuestro país. En la tabla están registrados los datos de otras regiones del mundo. Con esta información calcule los porcentajes y grados, aproxime los resultados a números enteros y luego trasládelos a la tabla. Finalmente, complete la gráfica de sectores. Tiene un ejemplo. región

frecuencia (en millones)

%

grados

América Latina y El Caribe

300

25.9%

93º

Asia, Pacífico y Oriente

615

África Subsahariana

239

total

%

1154

América Latina y El Caribe 25.9%

%

porcentajes % América Latina:

30 000 300 x 100 = = 25.9% 1154 1154

grados º 9360 26 x 360 = = 93º 100 100

Asia, Pacífico y Oriente:

=

=

=

=

África Subsahariana:

=

=

=

=


177

Resumen 1. Las gráficas estadísticas sirven para presentar información de diferente manera. Las más comunes son: a. Diagrama de barras o histograma representa datos cualitativos o cuantitativos en un plano cartesiano por medio de rectángulos, en la parte superior debemos escribir el título, en el eje x las variables, en el eje y los valores o frecuencias. Gastos realizados por Fernando en un mes 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

alimentación

transporte

vestuario

vivienda

ahorro

b. Polígono de frecuencias asocia por medio de puntos y rectas los datos nominales con su correspondiente cantidad o frecuencia. Gastos realizados por Fernando en un mes 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

alimentación

transporte

vestuario

vivienda

ahorro

c. Diagrama de sectores representa datos en una circunferencia. Esta gráfica es muy útil cuando se cuenta con valores absolutos y se desea representar la información en porcentajes. Gastos realizados por Fernando en un mes ahorro 11% vivienda 24%

alimentación 38%

vestuario 22%

178

IGER − Utatlán

transporte 5%



Rellene el círculo de la opción que responde correctamente a cada pregunta. 1) ¿Qué gráfica representa los datos en un círculo, dividido en porciones proporcionales?

diagrama de barras diagrama de sectores polígono de frecuencias

2) ¿Cómo se le llama a la cantidad de veces que se repite un dato?

variable frecuencia período

3) ¿Qué nombre recibe la gráfica que utiliza puntos y rectas para representar la información?

diagrama de sectores diagrama de barras polígono de frecuencias

4) ¿Qué información debe escribirse en el eje horizontal (x)?

las frecuencias las variables el título

5) ¿Qué información debe escribirse en el eje vertical (y)?

las frecuencias las variables el título

Actividad 2.


A. El número de días que llovió en junio de 2009 en los municipios de Morazán, Cuilapa, Cobán, La Unión y Huité está registrado en la tabla. Con la información elabore un diagrama de barras. municipio

nº días

Morazán

16

Cuilapa

27

Cobán

25

30

La Unión

12

25

9

20

Huité

15 10 5 0

Morazán

Cuilapa

Cobán

La Unión

Huité


179

B. Elabore un diagrama de sectores con la información de la tabla sobre los porcentajes de nutrientes que necesita un adulto sano. La información ya viene en porcentajes, solo debe calcular los grados correspondientes a cada uno. Tiene un ejemplo.

Para que nuestro cuerpo reciba todos los nutrientes necesarios debemos comer alimentos de todos los grupos y en las cantidades adecuadas. nutrientes

frecuencia (%)

grasas

25

proteínas

15

carbohidratos

57

fibra

3

total

100

grasas

Porcentajes de nutrientes que necesita un adulto sano

grasas 25%

25% x 360º = 90º carbohidratos 100%

proteínas

=

fibra

= =

C. Lea la información y observe la gráfica para resolver los siguientes ejercicios. 1) El Índice de Desarrollo Humano (idh) mide la capacidad de una sociedad para satisfacer sus necesidades básicas. Este indicador se mide de 0 (la nota más baja) hasta 1 (la nota más alta). En 2010, algunos países de América Latina y El Caribe obtuvieron las calificaciones siguientes. Índice de Desarrollo Humano 2010 0.783

0.775

0.75

0.725

0.694

0.659

0.604

0.565

0.56

alto

medio

Haití

Guatemala

Nicaragua

Honduras

El Salvador

Belice

Costa Rica

México

Argentina

Chile

0.404

bajo

a. Según la gráfica, ¿qué país tiene el mejor idh? Chile b. ¿Cuál es la diferencia de idh entre Chile y Guatemala? c. Escriba dos acciones para aumentar el idh en el área de educación. Le ayudamos con una: •

Mejorar la educación, salud y economía

•

180

IGER − Utatlán

2) La siguiente gráfica presenta los resultados de un estudio en el que se analiza el salario de las mujeres, respecto al de los hombres, en porcentaje, en el sector de la industria.

89

Suecia

84

Dinamarca

Reino Unido

77

79

Grecia

Suiza

74

79

Francia

España

73

Holanda

68

Bélgica

68

Alemania

64

67

Estados Unidos

60

Luxemburgo

%

Japón

43

Corea del Sur

54

65

Australia

Diferencia de salario de las mujeres respecto al de los hombres, en porcentaje

Con la información de la gráfica, responda las preguntas. a. ¿En qué país las mujeres ganan el 74% del salario de un hombre? b. ¿Cuál es el porcentaje del salario de una mujer con respecto al de un hombre en Francia? c. ¿En qué país el salario de la mujer se acerca más al del hombre? d. ¿En qué país las mujeres ganan menos del 50% que los hombres? Aplique sus conocimientos sobre porcentajes y calcule. e. Si una mujer en Suiza gana 1300 francos, ¿cuánto gana un hombre en el mismo puesto y con la misma categoría profesional?

Respuesta: f.

Un hombre, por término medio, gana en el Reino Unido un sueldo mensual de 2100 £ (libras esterlinas). ¿Cuánto ganaría si fuese mujer?

Respuesta: Matemática − Semana 30

181

Agilidad de cálculo mental A. Aplique la jerarquía de las operaciones al realizar los ejercicios. Tiene un ejemplo. 0) 5 + 9 ÷ 3 =

8

7) 9 – 1 ÷ 1 =

1) 4 + 6 ÷ 3 =

8) 6 – 4 ÷ 2 =

2) 6 + 8 ÷ 4 =

9) 3 – 8 ÷ 4 =

3) 9 + 3 ÷ 3 =

10) 2 – 5 ÷ 5 =

4) 7 + 8 ÷ 2 =

11) 12 – 14 ÷ 7 =

5) 8 + 8 ÷ 4 =

12) 15 – 18 ÷ 9 =

6) 10 + 10 ÷ 2 =

13) 10 – 20 ÷ 10 =

B. Aplique la jerarquía de las operaciones para realizar los ejercicios. Guíese por el ejemplo. 0) 5 + 2 x 5 =

15

9) 15 – 2 x 5 =

1) 4 + 9 x 3 =

10) 10 – 3 x 1 =

2) 1 + 3 x 2 =

11) 18 – 4 x 0 =

3) 5 + 2 x 3 =

12) 34 – 9 x 3 =

4) 8 + 2 x 4 =

13) (6 + 1) + (2 + 2) =

5) 7 + 2 x 2 =

14) (2 + 1) + (5 + 1) =

6) 4 + 1 x 0 =

15) (5 + 5) + (3 + 2) =

7) 8 + 3 x 5 =

16) (6 + 0) + (4 + 6) =

8) 8 + 8 x 2 =

17) (3 + 1) + (3 + 3) =

C. Encuentre el 25% de las cantidades siguientes. Recuerde que el 25% de una cantidad es equivalente a tener la cuarta parte. Observe el ejemplo. 0) 25% de 40 =

10

5) 25% de 100 =

1) 25% de 12 =

6) 25% de 200 =

2) 25% de 20 =

7) 25% de 400 =

3) 25% de 60 =

8) 25% de 500 =

4) 25% de 80 =

182

IGER − Utatlán

9) 25% de 1000 =

Razonamiento lógico Un ciclista se está preparando para la competencia ciclística más importante del año: La Vuelta a Guatemala. Observe con atención la gráfica en el eje x la distancia en kilómetros y en el eje y la altura en metros. Responda las preguntas. Tiene un ejemplo.

Recorrido de un ciclista en su entrenamiento 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

10

20

30

40

50

60

0) ¿Desde qué altura inició el ciclista su recorrido?

70

80

90

100

110

50 metros

1) ¿Cuántos metros ascendió en los primeros 10 kilómetros? 2) ¿En qué tramo se considera que el terreno es plano? 3) ¿Cuál es la altura máxima que alcanzó? 4) ¿Del kilómetro 60 al 70, ascendió o descendió? 5) ¿En qué kilómetros tuvo su mayor descenso? 6) ¿Cuánto ascendió del kilómetro 70 al 90? 7) ¿Cuántos metros ascendió del kilómetro 30 al 50? 8) ¿A qué al altura llegó en el kilómetro 50? 9) ¿Qué distancia ha recorrido cuando llega a una altura de 1000 metros? 10) ¿Cuál es la diferencia de altura entra la posición final e inicial?


183

Desarrolle nuevas habilidades El árbol de factores es una forma de descomponer un número en sus factores primos. La descomposición factorial de un número es el producto de todos los factores primos que aparecen al final de las ramas del árbol. Veamos la descomposición factorial del número 36 y usted realice los siguientes. (Sugerencia, escriba al lado izquierdo de cada rama los números menores de cada producto). 36 6 6 La descomposición factorial 0) de 36 es 2 x 2 x 3 x 3. 2

16

16 =

3

12 =

28

2)

12

3)

2

36 = 2 x 2 x 3 x 3

1)

3

28 =

4)

42

42 =




Realizo gráficas en una hoja de Excel. Elaboro diagramas de barras, polígonos de frecuencias y diagramas de sectores. Analizo e interpreto datos y hechos tomados de la realidad mediante gráficas. Practico el cálculo mental con operaciones combinadas y porcentajes.

184

IGER − Utatlán


31 Medidas de tendencia central ¿Qué encontrará esta semana? Y usted, ¿qué opina? Medidas de tendencia central: media aritmética, mediana y moda Operaciones combinadas y porcentajes Interpretación de gráficas

Esta semana logrará:  Extraer información de una gráfica.  Obtener la media, la mediana y la moda a partir de una distribución de datos.  Practicar la agilidad de cálculo mental con operaciones combinadas y porcentajes.  Resolver ejercicios donde aplique la media, mediana y moda.  Interpretar gráficas. 


185

¡Para comenzar! Y usted, ¿qué opina? ¿Le han preguntado por quién votará para Presidente o si está satisfecho con el servicio de un almacén? Si su respuesta es sí, usted ha participado en una encuesta de opinión.

* NS/NR: No sabe, No responde.

Tomado de: Siglo 21 de fecha 02/09/11

La municipalidad realizó una encuesta de opinión acerca de cuál era el mayor problema para los habitantes de una comunidad.

Los resultados de las encuestas pueden orientar las decisiones de gobiernos, instituciones y empresas. Así que, la próxima vez que le pidan su opinión, exprésela con claridad para que la tomen en cuenta. ¡A trabajar! Lea la gráfica y responda a las preguntas. Las cantidades están expresadas en porcentajes. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cuál problema es señalado por el menor número de personas?

Las drogas y el alcoholismo porque tiene el menor porcentaje.

1) ¿Qué porcentaje de personas señaló las vías de comunicación como un problema principal? 2) ¿Qué problema preocupa a la mayoría de la población? 3) ¿Qué problemas preocupan a igual porcentaje de personas?

186

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Medidas de tendencia central Se llaman medidas de tendencia central, de una distribución de datos, a aquellos valores que indican el centro de la distribución y pretenden representar todos los datos en un solo punto. Esta semana estudiaremos tres medidas de tendencia central: media, mediana y moda.

1.1 La media aritmética (X)

Un promedio

Definimos la media como un promedio. Suele ser la más importante de las medidas de tendencia central porque representa el punto medio de un conjunto de datos. En estadística la representamos así X. Según el informe de 2007 de los Objetivos de Desarrollo del Milenio (odm), el promedio de estudiantes que empiezan primer grado de primaria y terminan sexto grado, en Centroamérica, es de 71.4 %. Este dato significa que de cada 100 estudiantes que ingresan a primer grado, 71, aproximadamente, terminan sexto primaria. El dato representa a la mayoría de los estudiantes de Centroamérica y se le conoce como la media o promedio. La media se obtiene sumando todos los valores de la serie y dividiendo el total entre el número de ellos. Se obtiene con la fórmula:

Media aritmética =

Suma de todos los valores observados Número total de observaciones X=

!x N

Se lee: La media aritmética es igual a la sumatoria de todos los valores de x dividido entre N (el número de valores). Donde: X = media aritmética

! (sigma) = sumatoria o suma de valores

x = conjunto de valores de la variable

N = número total de valores o datos Matemática − Semana 31

187

Veamos un ejemplo El porcentaje de estudiantes que empiezan primer grado de primaria y terminan sexto grado, en algunos países de América del Sur es:

Chile

Perú

95%

90%

Argentina Colombia Venezuela 89%

88%

81%

Brasil 76%

¿Cuál es el porcentaje promedio de terminación de la primaria en estos países de América del Sur? Calculemos la media ¡Atención! En estadística x representa cada uno de los valores en la distribución de datos.

• Copiamos la fórmula.

X=

!x N

• Sustituimos y sumamos los valores de x. El resultado lo dividimos entre el número de valores (N = 6). X =

95 + 90 + 89 + 88 + 81 + 76 519 = = 86.5 6 6

X = 86.5 • Escribimos la respuesta: Una media del 86.5% de los estudiantes en América del Sur termina la primaria. ¡Otro ejemplo! Según las tablas de crecimiento para Guatemala, la estatura media en niños de 13 años es de 152 cm. En un centro nutricional están atendiendo a 6 niños de 13 años cuyas estaturas son: Jorge

Estela

Marcos

Nicolás

Alba

María

143 cm

145 cm

149 cm

151 cm

152 cm

155 cm

¿Está este grupo de niños dentro de la media nacional? Averigüémoslo calculando la media aritmética. • Copiamos la fórmula.

X=

!x N

• Sumamos los valores de x y dividimos entre N. X=

143 + 145 + 149 + 151 + 152 + 155 895 = = 149.17 6 6

X = 149.17 • Escribimos la respuesta: Este grupo de niños no alcanza la estatura media nacional. En promedio le falta 2.83 cm.

188

IGER − Utatlán

Ejercicio 1 Resuelva los ejercicios siguiendo los pasos que aprendió en el apartado anterior. 1) Según el Instituto Nacional de Estadística (ine), los días que llovió en Puerto Barrios durante la época de invierno 2009 fueron: mes

mayo

junio

julio

agosto

septiembre

octubre

días de lluvia

13

16

26

26

18

15

¿En promedio cuántos días llovió cada mes? •

Escriba el valor de N =

•

Copie la fórmula:

•

Sume los valores de x y divida el resultado entre el valor de N.

X=

X=

X=

•

Obtenga el resultado. X =

•


!x N

6 6

2) Según la Gremial de recicladoras de Guatemala, en un año esta gremial recicló los siguientes materiales: producto reciclado

papel

plástico

llantas

vidrio

metales

toneladas

42 100

15 000

5000

19 200

100 000

¿Cuál es el promedio de material reciclado? •


•

Copie la fórmula:

•

Sume los valores de x y divida el resultado entre el valor de N.

X=

X =

X=

•


•

Escriba la respuesta: Matemática − Semana 31

189

1.2 La mediana (Me)

En el centro

La mediana es el valor que se encuentra en el centro de una serie de datos ordenados. Esta medida indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. No debemos confundir el valor de la media con el de la mediana. Recuerde que la media es un valor numérico promedio, mientras que la mediana indica la posición central en una serie ordenada. Fíjese en la gráfica que muestra el número de mujeres que ocupaban un puesto en el Congreso de su país en 2009.

país Haití

nº de mujeres diputadas 4

Guatemala

12

Nicaragua

19

México

23

Perú

29

Mujeres diputadas en el Congreso 2009 32

29

28 23

24 19

20 16 12

12 8 4 0

4 Haití

Guatemala Nicaragua

México

Perú

¿Qué país se ubica justo a la mitad de la gráfica? Efectivamente, Nicaragua. Eso significa que Nicaragua, con 19 diputadas, ocupa el lugar de la mediana en esta distribución de datos. Seguiremos los pasos para calcular la mediana con el ejemplo anterior. • Averiguamos la posición de la mediana mediante una fórmula muy sencilla:

Posición de la mediana =

• Sustituimos el dato en la fórmula.

5+1 6 N+1 = = =3 2 2 2

• Ordenamos los datos de menor a mayor. • Contamos de izquierda a derecha tantos lugares, como indica el valor de la posición de la mediana.

N+1 2

4 , 12 , 19 , 23 , 29

Me = 19

• Escribimos las respuesta: La mediana de mujeres en el congreso es 19.

190

IGER − Utatlán

Veamos un ejemplo El Ministerio de Salud ofrece de forma gratuita, para niños de 0 a 4 años, un sistema básico de vacunación. La tabla muestra el número de vacunas aplicada durante una jornada. vacunas

n° de vacunas aplicadas

Tuberculosis (BCG)

47

Sarampión

78

Difteria y tos ferina (dpt) Varicela

73

Rotavirus

65

56

¿Cuál es la mediana de vacunas aplicadas? 5+1 6 N+1 = = =3 2 2 2

• Calculamos la posición de la mediana. • Ordenamos los datos de menor a mayor y contamos 3 lugares de izquierda a derecha.

47 , 56 , 65 , 73 , 78 Me = 65

• Escribimos la respuesta: La mediana de vacunas aplicadas en la jornada es 65.

Ejercicio 2 La tabla refleja la temperatura registrada a las 6 de la tarde en siete departamentos de Guatemala. ¿Cuál es la mediana de las temperaturas? Guatemala Cobán 19

Esquipulas

Flores

21

27

20

Huehuetenango Quetzaltenango Retalhuleu

• Posición de la mediana.

18

17 N+1 = 2

2

24 =

2

=

• Ordene los datos de menor a mayor y cuente 4 lugares, de izquierda a derecha. Me = • Escriba la respuesta:


191

a. La mediana para una cantidad par de datos Si el número de datos es par, hay dos valores centrales. En tal caso, el valor de la mediana se obtiene calculando el promedio de ambos valores centrales. Hagamos un ejemplo. En una prueba de lectura aplicada a 6 estudiantes del grupo Utatlán, la cantidad de palabras leídas por minuto fue: 134, 140, 138, 145, 136, 149 ¿Cuál es la mediana de palabras leídas por minuto? • Calculamos la posición de la mediana.

6+1 7 N+1 = = = 3.5 2 2 2

Dado que es imposible destacar la posición 3.5, es necesario promediar los valores de las posiciones tercera y cuarta para calcular una mediana equivalente. • Ordenamos de menor a mayor. • Contamos de izquierda a derecha en los datos ordenados. y tomamos los valores 3 y 4.

134, 136, 138, 140, 145, 149

• Calculamos la media de ambos valores.

X=

• Ese será el valor de la mediana.

Me = 139

138 + 140 278 = = 139 2 2

• Escribimos la respuesta: La mediana fue 139 palabras por minuto.

Ejercicio 3 1) Las calorías que contienen una pieza de fruta de tamaño regular son: fruta calorías

durazno mandarina 49

44

manzana

pera

naranja

mango

53

58

38

56

¿Cuál es la mediana de calorías que contienen las frutas de la tabla anterior y a qué fruta o frutas corresponden? •

Posición de la mediana.

•

Ordene los datos de menor a mayor. Cuente y tome los valores 3 y 4 de izquierda a derecha.

•

Obtenga el promedio de los valores centrales.

N+1 = 2

192


IGER − Utatlán

7 = 3.5 2

38, 44, 49, 53, 56, 58 X=

2

Me = 51 •

2

=

=

2

=

2) En una fábrica de productos lácteos se llenan los recipientes de crema en unidades de 100 gramos. El departamento de control de calidad está verificando el peso de los envases y ha registrado los datos siguientes: 100, 97, 101, 98, 103, 99, 102, 100

¿A qué peso le corresponde la mediana? •


•

Ordene de menor a mayor.

•

Localice los dos valores centrales.

•


N+1 = 2

X=

=

2

2

=

=

2

2

=

Me = •


3) Las calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes en el último parcial de matemáticas fueron las siguientes: 19, 18, 19, 15, 22, 23, 20, 21, 17, 22, 24, 16

¿Qué calificación se ubica en la posición de la mediana? •


•

Ordene de menor a mayor.

•

Localice los dos valores centrales.

•


N+1 = 2

X=

2

=

2

=

Me = • Escriba la respuesta:


193

1.3 La moda (Mo) Cuando hablamos de moda pensamos en objetos, modos o costumbres que son de uso muy común durante algún tiempo. Por ejemplo, la ropa, peinados, zapatos, etc. En estadística la moda es el dato que se repite más veces, es decir, el que tiene mayor frecuencia y se representa como Mo. En una distribución de datos puede haber más de una moda, si las frecuencias más altas son iguales. Veamos un ejemplo Esmeralda tiene una venta de frutas. De las 38 personas que llegaron a comprar un día, las preferencias fueron: fruta

manzana

piña

frecuencia (f)

6

3

banano sandía papaya naranja 7

5

8

5

pera 6

¿Qué fruta representa la moda? En la tabla observamos que la fruta de mayor venta es la papaya, por lo tanto, representa la moda. Mo = papaya Un ejemplo más Los sabores de helado más vendidos en un kiosco son: sabor

fresa

piña

crema

mora

lima

chocolate

coco

frecuencia (f)

16

12

14

12

22

10

22

¿Qué sabor representa la moda? Como las frecuencias más altas corresponden a dos sabores diferentes, en este caso hay dos modas. Mo = lima y coco

Ejercicio 4 1) Se realizó una encuesta a 100 personas acerca de la red social que utilizan. Se obtuvieron los siguientes datos:

red social Myspace Twitter Facebook total

194

IGER − Utatlán

frecuencia (f) 18 36 46 100

¿Qué red social representa la moda? Mo =

2) Angelina tiene una zapatería y las ventas durante el mes de mayo fueron: tipo de zapato pares vendidos (f) tenis

30

mocasín

12

zapato casual

30

botas

5

sandalias

10

¿Qué tipo de zapato representa la moda? Mo = Explique su respuesta:

Resumen 1. Las medidas de tendencia central sirven para representar un grupo de observaciones a través de un solo valor numérico. Se clasifican en: 1.1 La media aritmética o promedio ( X ) se obtiene sumando todos los valores y dividiendo el total entre el número de datos. X=

!x N

1.2 La mediana (Me) es el valor que se encuentra en el centro de una serie de datos ordenados. Se calcula la posición de la mediana por medio de una fórmula, se ordenan los datos de menor a mayor y se cuenta de izquierda a derecha tantos lugares, como indica el valor de la posición de la mediana. Posición de la mediana =

N+1 2

Si el número de datos es par, hay dos valores centrales. El valor de la mediana se obtiene calculando el promedio de ambos valores.

1.3 La moda (Mo) es el valor que ocurre o se repite con mayor frecuencia. Matemática − Semana 31

195



1) Calcule la media, la mediana y la moda para los datos siguientes. 7, 5, 8, 9, 7, 6, 7, 6, 1, 3, 5 a. La media Fórmula: X =

X =

X =

=

=

b. La mediana

Posición =

N+1 = 2

Datos ordenados:

=

=

1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9

Me = c. La moda Mo = 2) Calcule la media, la mediana y la moda para los datos siguientes. 25, 18, 16, 22, 16, 14, 23, 19, 18, 21 a. La media Fórmula: X = X = X =

=

b. La mediana

Posición =

N+1 = 2

Datos ordenados: Me = c. La moda Mo =

196

IGER − Utatlán

=

=

3) Una cooperativa forestal sembró durante el último año estas hectáreas de árboles: 15, 24, 25, 36, 45, 65, 52, 30 y 18. ¿Cuál es la media y la mediana de árboles sembrados? a. La media Fórmula: X =

X =

X =

=

b. La mediana


Ordene los datos en forma ascendente.

Me =

N+1 = 2

=

=

4) En cierta empresa el registro de ingreso de los empleados en un día es el siguiente: 6:36, 6:39, 6:40, 6:40, 6:43, 6:51, 6:53, 6:55, 6:56, 6:58, 7:00, 7:02, 7:05 a. ¿A qué hora le corresponde la mediana?

Respuesta: b. ¿Cuántos empleados llegaron antes de la mediana?

Respuesta: c. ¿Cuántos empleados llegaron después de la mediana, pero antes de las 7:00?

Respuesta: Matemática − Semana 31

197

Agilidad de cálculo mental Resuelva mentalmente las operaciones y escriba su respuesta sobre la línea. Hágalo lo más rápido que pueda. A. Realice las operaciones combinadas, recuerde la jerarquía de las operaciones. Tiene un ejemplo. 0) 5 + (2 x 4) =

13

10) 5 + (12 x 3) =

1) 8 + (2 x 2) =

11) 7 + (18 x 2) =

2) 4 + (5 x 3) =

12) 1 + (20 x 8) =

3) 2 + (4 x 1) =

13) 9 + (36 x 2) =

4) 9 + (8 x 1) =

14) 7 + (18 x 1) =

5) 5 + (2 x 5) =

15) 4 + (40 x 5) =

6) 1 + (4 x 3) =

16) 6 + (50 x 5) =

7) 5 + (3 x 3) =

17) 3 + (22 x 10) =

8) 3 + (2 x 3) =

18) 9 + (10 x 15) =

9) 9 + (6 x 1) =

19) 3 + (20 x 20) =

B. Encuentre el porcentaje de las cantidades. Recuerde el 50% es la mitad y el 25% la cuarta parte. Tiene un ejemplo. 0) 50% de 20 =

10

10) 25% de 20 =

1) 50% de 10 =

11) 25% de 40 =

2) 50% de 12 =

12) 25% de 60 =

3) 50% de 30 =

13) 25% de 80 =

4) 50% de 80 =

14) 25% de 100 =

5) 50% de 40 =

15) 25% de 400 =

6) 50% de 90 =

16) 25% de 600 =

7) 50% de 60 =

17) 25% de 800 =

8) 50% de 70 =

18) 25% de 1600 =

9) 50% de 100 =

19) 25% de 2400 =

198

IGER − Utatlán

Razonamiento lógico A. Aplique lo aprendido y resuelva los problemas que se plantean. 1) Los últimos cálculos de la oms (Organización Mundial de la Salud) indican que en 2015 habrá en el mundo 2300 millones de adultos con sobrepeso y al menos 400 millones de obesos. En los últimos años el sobrepeso y la obesidad aumentan de manera alarmante en los países en vías de desarrollo y especialmente en las áreas urbanas.

En un centro comunitario se da seguimiento a 100 niños con sobrepeso para evitar que sean adultos obesos. Los resultados son: sobrepeso en lb

número de niños

2–5

39

6–9

41

10 – 13

18

14 – 17

2

a. ¿Cuál es la cantidad de libras de sobrepeso más frecuente entre estos niños? b. ¿Cuál es el promedio de sobrepeso entre los niños del inciso anterior? 2) Se ha anotado la estatura, en centímetros, de 20 jóvenes entre 18 y 20 años y se han obtenido los siguientes resultados:

160 167 148 151

166 166 151 155

162 166 171 150

147 162 158 164

157 155 154 153

a. ¿Cuál es la estatura promedio? b. ¿Qué estatura se repite más entre los jóvenes? 3) Una empresa grande de equipos deportivos está probando el efecto de dos planes publicitarios (A y B) sobre las ventas de los últimos 4 meses.

Según las ventas que se observan en la tabla, ¿qué programa de publicidad parece producir el crecimiento promedio más alto en ventas mensuales? mes

plan A

plan B

enero

Q1657.00

Q2500.00

febrero

Q1300.00

Q2000.00

marzo

Q3445.00

Q1234.00

abril

Q2456.80

Q1400.00 Matemática − Semana 31

199

4) La Organización Mundial para la Salud (oms) considera que un consumo diario de 100 litros de agua por persona es la cantidad adecuada para satisfacer todas las necesidades básicas.

El consumo de agua en determinado día para cinco familias compuestas por 4 personas es: familia

consumo de agua por día en litros

Batz

600

Gómez

750

Pérez

368

Tucubal

500

Zuret

480

a. ¿Cuál es el promedio de agua consumido por familia?

b. Utilice el resultado del inciso anterior para calcular el promedio consumido por persona.




200


Extraigo información de una gráfica. Obtengo la media, la mediana y la moda a partir de una distribución de datos. Practico la agilidad de cálculo mental con operaciones combinadas y porcentajes. Resuelvo ejercicios donde aplico la media mediana y moda. Interpreto gráficas. IGER − Utatlán


32 Sistema de numeración maya ¿Qué encontrará esta semana? Un recorrido por el mundo con los sistemas de numeración Sistema de numeración maya, símbolos y representación de cantidades en sistema maya y decimal Multiplicaciones y potenciaciones Números y fracciones en Babilonia

Esta semana logrará:  Conocer la escritura de los números en diferentes culturas.  Valorar y reconocer el sistema de numeración maya.  Leer y escribir cantidades en numeración maya.  Convertir números del sistema decimal a numeración maya y viceversa.  Resolver con agilidad multiplicaciones y potencias. 


201

¡Para comenzar! Un recorrido por el mundo con los sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos, regido por ciertas normas, que sirve para contar y realizar operaciones aritméticas. A lo largo de la historia, muchas civilizaciones han creado distintos sistemas de numeración. Veamos algunos Los romanos utilizaban un sistema de numeración representado por letras. Hoy día todavía se emplea para numerar los capítulos de los libros, partes o secciones de leyes, documentos, etc. l

V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Los egipcios se valían de un sistema de numeración a base de jeroglíficos; es decir, símbolos o figuras que representaban cantidades.

1

10

100

1000

10,000

100,000

1,000.000

La numeración China también se basaba en la escritura jeroglífica. Data aproximadamente del año 1,500 a.C.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

Texto tomado y adaptado de www.rena.edu.ve

¡A trabajar! Escriba el símbolo que utilizó cada civilización para representar el número del sistema decimal que se indica. Guíese por el ejemplo. sistema decimal

civilización

símbolo

sistema decimal

civilización

3

Roma

III

50

Roma

10

Egipto

6

China

202

IGER − Utatlán

símbolo

El mundo de la matemática 1. La numeración maya

De 20 en 20

La matemática maya se basa en un sistema vigesimal. Esto quiere decir que las unidades que van formando las diferentes cifras se toman en grupos de veinte. ¿Sabía que el número 20 tiene un significado muy profundo en la cultura maya y que está estrechamente relacionado con la persona humana? Preste atención: • La suma de todos los dedos de las manos de los gemelos Jun Ajpu' y Ixb'alamke, héroes del Popol Wuj, es 20. • Cuando una mujer y un hombre se abrazan para crear vida, la suma de los dedos de sus manos es 20. • Si multiplicamos nuestras cuatro extremidades por los cinco dedos que tiene cada una, obtenemos el número 20.

En varios idiomas mayas, 20 se dice igual que persona: Jun winaq, en k’iche’. Hun winic, en yucateco. Hach winik en lacandón.

1.1 Símbolos de la numeración maya El sistema decimal se compone de diez signos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sin embargo, los mayas utilizaban solo tres y los reunían en grupos de veinte. Los símbolos utilizados por el sistema de numeración maya son:

= = 0 El punto representa el uno. 1 = 1 La barra horizontal representa el cinco. 5 = 5

• La concha o caparazón representa el cero. • •

a. Números del 1 al 19 El sistema de numeración maya es aditivo, es decir, se suman los valores de los símbolos para obtener otro número. Se rige por dos reglas muy sencillas: 1. El punto no se repite más de 4 veces. Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una barra. 2. La barra no se repite más de 3 veces. Observe con atención los números del 0 al 19 en numeración maya: = 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

!

"

#

$

%

&

/

(

)

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19


203

Ejercicio 1 A. Escriba los tres signos del sistema de numeración maya. El cero le sirve de ejemplo.

=

cero

0)

1) uno

2) cinco

B. Escriba en numeración maya los siguientes números del sistema decimal. Tiene un ejemplo. 0) 6 =

6

6) 8=

1) 15 =

7) 17 =

2) 5 =

8) 19 =

3) 13 =

9) 11 =

4) 10 =

10) 4 =

5) 16 =

11) 9 =

C. Escriba los números mayas en números del sistema decimal. Tiene un ejemplo. 0)

9=

1)

==

7) 2 =

2)

3=

8) " =

3)

5=

9) ( =

4)

$=

10)

6=

5)

1=

11)

)=

9

6) %=

D. Responda las preguntas siguientes. 1) ¿Por qué el sistema de numeración maya es vigesimal? 2) ¿Por qué nuestro sistema de numeración es decimal?

204

IGER − Utatlán

b. Números mayores de 19 El sistema de numeración maya, además de ser aditivo, es posicional. Esto quiere decir que el valor de un número depende de la posición que ocupa. En el sistema decimal, el valor de un número varía de acuerdo a su posición horizontal. Un número puede estar en la posición de las unidades, decenas, centenas, etc. Fíjese, por el ejemplo, en el valor posicional de las cifras que componen el número 258. C 10 = 100 2

D 10 = 10 5

2 x 100

+ 5 x 10

2

U 10 = 1 8

1

0

+

= 258

8 x 1

El valor de un número en el sistema de numeración maya depende de su posición vertical. Estas posiciones siguen el orden de abajo hacia arriba. La tabla siguiente muestra los valores posicionales hasta la quinta posición. Primera posición, las unidades de 0 a 19. Segunda posición, de 20 a 399.

posición valor posicional 5 204 = 160000 4

203 = 8000

3

202 = 400

Cuarta posición, de 8000 a 159 999.

2

201 = 20

Quinta posición, de 160 000 a 3 199 999.

1

200= 1

Tercera posición, de 400 a 7999.

El sistema vigesimal utiliza potencias de base 20 para la numeración. El sistema decimal, potencias de base 10.

1.2 Conversión del sistema decimal a numeración maya Es posible pasar cantidades pequeñas del sistema decimal a numeración maya por simple inspección. Depende de su capacidad de cálculo mental y su agilidad para contar de 20 en 20. Hagamos la prueba con unos ejemplos. Escribamos el número 25 en numeración maya.

25 = 20 + 5 (una veintena y 5 unidades).

1 veintena, un punto en la segunda posición.

5 unidades, una barra en la primera posición.

1 5

Escribamos el número 56 en numeración maya. 56 = 40 + 16 (2 veintenas y 16 unidades).

2 veintenas, dos puntos en la segunda posición.

16 unidades en la primera posición.

2 & Matemática − Semana 32

205

Otra forma de transcribir un número del sistema decimal a numeración maya es a base de divisiones sucesivas. Preste atención al ejemplo. Para convertir cantidades grandes del sistema decimal a numeración maya, dividimos la cantidad entre el máximo valor posicional posible, de manera que obtengamos un número entero en el cociente. Cada residuo lo dividimos entre el valor posicional inferior a la división anterior, hasta llegar a un residuo menor o igual a 19. Veamos Escribamos el número 956 en numeración maya. • Dividimos 956 entre el valor posicional del nivel máximo posible, en este caso 400. Escribimos el cociente 2 en numeración maya, en ese nivel.

2 400 956 –800 156

400

• Dividimos el residuo 156 entre el valor posicional del nivel inferior, 20, escribimos el cociente 7 en numeración maya, en el segundo nivel.

7 20 156 –140 16

400

2

20 1

20

2 7

1

1

2 7 &

3 400 1340 –1200 140

400

3

7 20 140 –140 00

400

400

• Escribimos el residuo 16. Como es menor que 19 lo trasladamos al primer nivel, en la posición de las unidades.

20

Un ejemplo más Escribamos el número 1340 en numeración maya. • Dividimos 1340 entre el valor posicional máximo posible, 400, escribimos el cociente 3 en numeración maya, en ese nivel. • Dividimos el residuo 140 entre el valor posicional del nivel inferior, 20, escribimos el cociente 7 en numeración maya, en ese nivel. • Escribimos el residuo 0 en la posición de las unidades.

20 1

20 1 400 20 1

206

IGER − Utatlán

2 7 2 7 =

Ejercicio 2 Convierta los números del sistema decimal a numeración maya. Recuerde la posición de cada cantidad. Tiene un ejemplo. 0) 900 •

Divida 900 entre el valor posicional del nivel máximo posible y escriba el cociente, en numeración maya, en ese nivel.

2 400 900 –800 100

•

Divida el residuo 100 entre el valor del nivel inferior y escriba el cociente, en numeración maya, en ese nivel.

5 20 100 –100 0

•

Escriba el residuo 0 en el primer nivel.

0==

2 5 =

1) 320 •

Divida 320 entre el valor posicional del máximo nivel posible y escriba el cociente, en numeración maya, en ese nivel.

•

Escriba el residuo 0 en el primer nivel.

320

2) 645 •


•

Divida el residuo 245 entre el valor posicional del nivel inferior y escriba el cociente, en numeración maya, en ese nivel.

645

245

• Escriba el residuo 5 en el primer nivel. 3) 936 •


•

Divida el residuo 136 entre el valor posicional del nivel inferior y escriba el cociente, en numeración maya, en ese nivel.

936

136

• Escriba el residuo 16 en el primer nivel.


207

1.3 Conversión de numeración maya a sistema decimal Ahora se trata de convertir una cantidad escrita en numeración maya al sistema decimal. Este proceso es contrario al anterior, si conocemos los valores posicionales, resultará muy sencillo. Para hacer esta conversión, debemos realizar dos pasos muy simples. • Multiplicamos el valor posicional por el número decimal que representa la cifra maya. • Sumamos los resultados. Veamos dos ejemplos

2 8 $

400 x 2 = 800

400 x 5 = 2000

5 = 2

20 x 8 = 160 1 x 14 = 14 + 974

20 x 0 =

0

1x2=

2

+ 2002

Ejercicio 3 Convierta los números mayas a sistema decimal. Guíese por el ejemplo. 0)

( 5 6

400 x 18 = 7200

5

20 x 5 = 100 1x6=

1) 3

x

=

x

=

6

+

+ 7306 2)

7 =

x

=

x

= +

3)

9 4 $

x

=

x

=

x

= +

4)

0 = 8

x

=

x

=

x

= +

208

IGER − Utatlán

5)

/ 9 =

x

=

x

=

x

= +

Resumen 1. El sistema de numeración maya es aditivo, posicional y vigesimal. 1.1 Los símbolos utilizados en la numeración maya son: • La concha o caparazón representa el cero. • El punto representa el uno. • La barra horizontal representa el cinco.

= 1 5 0

1

5

a. Las cantidades en numeración maya se escriben de acuerdo a dos reglas: • •

El punto no se repite más de 4 veces. La barra no se repite más de 3 veces.

Los números del 0 al 19 en numeración maya son: = 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

!

"

#

$

%

&

/

(

)

10

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

b. Los números del 0 al 19 siempre se escriben en la primera posición. Los números mayores que 19 se escriben en la segunda, tercera, cuarta posición, etc. posición 5 4 3 2 1

valor posicional 204 = 160000 203 = 8000 202 = 400 201 = 20 200= 1

1.2 Conversión del sistema decimal a numeración maya 2 400 900 –800 100

2 5 =

5 20 100 –100 0 1.3 Conversión de numeración maya a sistema decimal

3 5 9

400 x 3 = 1200 20 x 5 = 100 1 x 9 = 9 + 1309 Matemática − Semana 32

209



A. Lea cada pregunta y rellene el círculo de la respuesta correcta. /

1) ¿Cuál es el símbolo maya que representa al cero?

1 5 =

2) En la numeración maya, ¿cuántas veces se puede repetir el punto para escribir un número?

2 3 4 5

3) ¿Qué número maya representa tres unidades?

3 % 5 1

4) ¿Cuál es el resultado de multiplicar 5 por el valor de la segunda posición en el sistema maya?

1 10 100 1000

5) ¿Qué número representa un punto en la tercera posición?

8000 400 20 1

B. Convierta cada número del sistema decimal a numeración maya o viceversa. Fíjese en los ejemplos.

210

decimal

6

maya

6

maya

3

decimal

3

IGER − Utatlán

8

1

0

13

15

17

4

5

19

%

9

6

0

=

5

4

&

"

Actividad 2.


A. Convierta los números del sistema decimal a numeración maya. Tiene un ejemplo. 0) 500 1) 120

1 400 500 –400 100

5 20 100 –100 0

1 5 =

2) 934 3) 1500

4) 3685 5) 8397

6) 25 369 7) 65 394


211

B. Convierta los números mayas a sistema decimal. Tiene un ejemplo. 0)

7 " 9

400 x 7 = 2800 20 x 12 = 240 1x9=

1)

0 4

9

+ 3049

2)

0 % =

3)

4)

4 8 )

5)

6)

2 4 $

7)

8)

4 8 % 9

9)

212

1 7 4

0 = 9

9 8 =

IGER − Utatlán

0 = $ 8

Agilidad de cálculo mental A. Escriba en la línea el resultado de la multiplicación. 1) 5 x 6 =

7) 5 x 9 =

13) 7 x 9 =

2) 8 x 7 =

8) 2 x 8 =

14) 5 x 2 =

3) 2 x 3 =

9) 6 x 6 =

15) 2 x 9 =

4) 5 x 5 =

10) 7 x 7 =

16) 4 x 4 =

5) 8 x 9 =

11) 3 x 3 =

17) 9 x 9 =

6) 7 x 2 =

12) 4 x 5 =

18) 6 x 4 =

B. Escriba el factor que completa la multiplicación. 1) 7 x

= 28

8) 9 x

= 72

15)

x 99 = 99

2) 3 x

= 24

9) 4 x

= 40

16)

x 13 = 39

3) 9 x

= 81

10) 9 x

= 27

17)

x 15 = 75

4) 5 x

= 15

11) 5 x

= 50

18)

x 22 = 88

5) 6 x

= 42

12) 6 x

= 48

19)

x 50 = 50

6) 8 x

= 64

13) 8 x

= 72

20)

x 15 = 60

7) 4 x

= 32

14) 11 x

= 22

21)

x 11 = 66

C. Mejore su capacidad de cálculo resolviendo las potencias. 1) 82 =

7) 62 =

13) 122 =

2) 72 =

8) 92 =

14) 302 =

3) 32 =

9) 102 =

15) 02 =

4) 42 =

10) 12 =

16) 402 =

5) 22 =

11) 202 =

17) 502 =

6) 52 =

12) 112 =

18) 1002 =

D. Calcule la raíz cuadrada de los números siguientes. 1) 4 =

36 = 4)

81 = 7)

2) 9 =

16 = 5)

144 = 8)

3) 1 =

49 = 6)

121 = 9) Matemática − Semana 32

213

Razonamiento lógico Los números en Babilonia Hace miles de años, los habitantes de Babilonia desarrollaron un sistema para contar, considerado como el primer sistema de numeración posicional. Es decir, el valor de un dígito particular está determinado por su posición en el número que se quiere representar. Los símbolos que utilizaron eran muy parecidos a los que muestra el siguiente cuadro. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

Podemos escribir fracciones con estos símbolos, como vemos a continuación. El reto que le proponemos es traducir las fracciones babilónicas al sistema decimal y reducir cada fracción a su mínima expresión. Guíese por el ejemplo.

Fracción babilonica Fracción decimal

6 = 3 4 8




Conozco la escritura de los números en diferentes culturas. Valoro y reconozco el sistema de numeración maya. Leo y escribo cantidades en numeración maya. Convierto números del sistema decimal a numeración maya y viceversa. Resuelvo con agilidad multiplicaciones y potencias.

214

IGER − Utatlán


33 Suma y resta con números mayas ¿Qué encontrará esta semana? Calendario maya Suma y resta con números mayas Operaciones combinadas Acertijos matemáticos

Esta semana logrará:  Conocer la organización del tiempo en el calendario maya.  Sumar y restar con exactitud números mayas.  Practicar la agilidad de cálculo mental con operaciones combinadas.  Resolver acertijos matemáticos a partir de un conjunto de enunciados. 


215

¡Para comenzar! Calendario maya

Calendario Tzolkin

¿Sabía usted que los mayas crearon varios calendarios? Veamos los más conocidos. El calendario solar o Haab de 365 días, basado en el movimiento de rotación de la Tierra alrededor del Sol. El calendario sagrado Tzolkin de 260 días es el que observamos en la ilustración. La Cuenta larga es el calendario que utilizaron para llevar el registro del tiempo en forma lineal. En él establecieron un “día cero”, que según los científicos corresponde al 12 de agosto de 3113 a.C. Se desconoce qué sucedió, aunque probablemente se trate de una fecha mítica. La cuenta larga es una concepción del tiempo como un camino sin fin y se conforma de la siguiente manera: ciclos

duración

duración en días

1 kin

1 día

1 día

1 uinal

1 mes

20 días

1 tun

1 año

360 días

1 katún

20 tunes

7200 días

1 baktún

400 tunes

144 000 días

1 piktún

8000 tunes

2 880 000 días

1 kalabtún

160 000 tunes

57 600 000 días

El 21 de diciembre de 2012 se completa un ciclo de trece baktunes en el calendario maya e inicia otro ciclo de 144 000 días. Texto tomado y adaptado de ww.tudiscovery.com/...mayas/calendario_maya/index.shtml

216

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática 1. Suma con números mayas Con la numeración maya se pueden realizar las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Esta semana aprenderemos a sumar y restar. Para sumar con números mayas debemos seguir estos pasos: • Escribir los sumandos en una tabla en su posición correspondiente. • Sumar símbolos iguales, desde la primera posición hacia arriba. • Realizar las transformaciones necesarias: cinco puntos forman una barra; cuatro barras forman un punto en la posición inmediata superior. Veamos un ejemplo Sumemos

4

+

4

• Escribimos los sumandos en una tabla y sumamos los números en la cuarta columna. Ocho puntos (en rojo).

20

• Cinco puntos se transforman en una barra y copiamos los tres puntos restantes.

20

1

1

3 4 4 4 8

Otro ejemplo Sumemos

5 3 5

+

4 4 %

• Escribimos los sumandos en una tabla y sumamos los números de cada posición.

400 20 1

• Las cuatro barras del primer nivel se transforman en un punto que sube al segundo nivel. Los cinco puntos del segundo nivel se convierten en una barra, en la misma posición. La posición que queda vacía se completa con el cero.

400 20 1

5 4 9 2 3 4 4 5 % 9 8 = Matemática − Semana 33

217

Un ejemplo más

!

Sumemos

+

"

• Escribimos los sumandos en una tabla y sumamos los números. Vea la cuarta columna.

20 1

! " ( 5

• Las cuatro barras se transforman en un punto y sube al segundo nivel de posición. Quedan tres puntos en la primera posición.

20

1 3

1

Ejercicio 1 1) Sume •

•

+

!

Escriba los sumandos en la tabla y sume los números.

2) Sume

•

7

2 7

+

6 9

20 1

Escriba los sumandos en la tabla y sume los números de cada posición. Transforme cinco puntos en una barra y copie los números restantes.

20 1 20 1

3) Sume

•

•

218

& 4

+

2 9

Escriba los sumandos en una tabla y sume los números de cada posición.

20

Transforme cinco puntos en una barra y copie los números restantes.

20

IGER − Utatlán

1

1

4) Sume

•

•

8 "

+

6 4

Escriba los sumandos en una tabla y sume los números de cada posición. Transforme cinco puntos en una barra y copie los números restantes.

20 1 20 1

5) Sume

•

•

3 7 %

+

5 1 0

Escriba los sumandos en una tabla y sume los números de cada posición. Transforme cuatro barras en un punto en la posición superior, copie los números restantes y escriba un cero en las unidades.

400 20 1 400 20 1

6) Sume

•

•

6 % 8

+

2 6 2

400

Escriba los sumandos en una tabla y sume los números de cada posición.

20

Transforme cuatro barras en un punto en la posición superior, copie los números restantes y escriba un cero en las unidades.

400

1

20 1


219

2. Resta con números mayas El sentido de la resta es quitar o diferenciar una cantidad menor de otra mayor. El procedimiento para restar en numeración maya es el siguiente. • Escribir en una tabla minuendo y sustraendo. • Restar símbolos iguales en cada posición, de abajo hacia arriba. • Si la cantidad de puntos en el minuendo es menor que en el sustraendo, hay que transformar una barra en cinco puntos. Ejemplo Restemos

9

–

7

• Escribimos minuendo y sustraendo en una tabla y restamos números iguales en ambas partes. • Escribimos en la última columna los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

20 1

9 7 2

Veamos en el ejemplo siguiente qué ocurre cuando la cantidad de puntos en el minuendo es menor que en el sustraendo. Restemos

7 0

–

3 4

• Escribimos minuendo y sustraendo en la tabla. Hay que transformar en los dos niveles una barra en cinco puntos para restar.

20 1

3 4 4 6

• Escribimos los números que no se eliminaron y ese es el resultado. Un ejemplo más Restemos

8 /

–

7 %

• Escribimos minuendo y sustraendo en una tabla y restamos números iguales en ambas partes. • Escribimos los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

220

IGER − Utatlán

20 1

8 7 1 / % 2

Ejercicio 2 Resuelva las restas de números mayas. 1) Reste

2 )

–

1 !

•

Escriba minuendo y sustraendo en una tabla y reste en ambas partes.

•

Escriba los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

2) Reste

•

•

2 5

–

20 1

1 4

Escriba minuendo y sustraendo en la tabla, transformando una barra en cinco puntos para restar. Escriba los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

20 1

Resumen 1. Suma con números mayas

Para sumar números mayas, escribimos los sumandos en una tabla, sumamos números iguales, teniendo en cuenta las reglas: cinco puntos se transforman en una barra y cuatro barras en un punto en la posición inmediata superior.

"

+

20

" #

1

1 5

20 1

2. Resta con números mayas

Para restar escribimos minuendo y sustraendo en una tabla, restamos símbolos iguales de abajo hacia arriba. Si la cantidad de puntos en el minuendo es menor que en el sustraendo, se transforma una barra en cinco puntos.

#

) % 20 1

–

7 !

) 7 " ! 4 Matemática − Semana 33

221



A. Lea cada pregunta y rellene el círculo de la respuesta correcta. 1) Por su posición ¿qué valor toma un punto en el tercer nivel?

1 20 400

2) ¿Cuál es el número máximo de barras que se deben tener en un nivel?

2 3 4

3) ¿Cuántos símbolos utiliza la numeración maya para representar cualquier cantidad?

tres cinco diez

4) ¿En qué símbolo se transforman 5 puntos en la suma?

= 1 5

5) ¿En qué orden deben escribirse los términos para efectuar una resta?

sustraendo y minuendo minuendo y sustraendo no importa el orden

B. Convierta los números decimales en números mayas. Tiene un ejemplo. 0) 10 =

0

5) 20 =

1) 9 =

6) 19 =

2) 0 =

7) 25 =

3) 4 =

8) 40 =

9) 100 =

4) 15 =

222

IGER − Utatlán

Actividad 2.


A. Realice las sumas con números mayas. Tiene un ejemplo. 0)

0

+

0

1)

20 1

1

2)

2 0

0 0 1 =

1

8 !

3)

1

1

20

20

4)

4 & 5

+

9 6

+

1 9 =

1

1 % 2

5)

400

400

20

20

1

1

400

400

20

20

1

+

7 %

+

2 6 5

20

20

1

7

1

20

+

20

20

8

1 Matemática − Semana 33

223

B. Realice las restas con números mayas. Tiene un ejemplo. 0)

$ 0 20

1

2)

1 8

–

7 4

$ 7 7 4 6

–

6

1)

1

4)

% $

1

$ #

3)

1

6)

% 8 5

224

8

–

9 6

–

9 =

–

4 1 3

20

–

! 8

1

/ 5

5)

20

–

20

20

$

20

–

0 7 1

1

6 7 5

7)

400

400

20

20

1

IGER − Utatlán

1

Agilidad de cálculo mental A. Realice las operaciones combinadas de multiplicación y suma, escriba la respuesta sobre la línea. Recuerde la jerarquía de las operaciones. Tiene un ejemplo. 26

6) 4 + 6 x 5 =

1) 4 x 9 + 4 =

7) 7 + 5 x 3 =

2) 2 x 8 + 9 =

8) 2 + 6 x 10 =

3) 1 x 9 + 4 =

9) 6 + 7 x 10 =

0) 9 x 2 + 8 =

4) 5 x 4 + 3 =

11) 0 + 3 x 11 =

5) 6 x 8 + 2 =

10) 15 + 3 x 5 =

B. Encuentre el número que completa la operación. Hay un ejemplo. 10

= 16

7) 6 x 7 +

= 42

1) 4 x 5 +

= 28

8) 3 x 8 +

= 30

2) 1 x 9 +

= 15

9) 1 x 9 +

= 20

3) 8 x 8 +

= 74

10) 2 x 3 +

= 10

4) 7 x 3 +

= 30

11) 5 x 7 +

= 50

5) 9 x 9 +

= 90

12) 8 x 7 +

= 66

6) 6 x 9 +

= 60

13) 5 x 9 +

= 54

0) 2 x 3 +

C. Encuentre el número que completa la operación. Hay un ejemplo. 3

= 5

7) 8 x 3 –

= 20

1) 3 x 7 –

= 20

8) 5 x 5 –

= 12

2) 8 x 2 –

= 6

9) 2 x 9 –

= 14

3) 5 x 9 –

= 40

10) 6 x 7 –

= 40

4) 6 x 6 –

= 16

11) 3 x 11 –

= 30

5) 7 x 2 –

= 4

12) 1 x 99 –

= 99

6) 5 x 5 –

= 20

13) 6 x 10 –

= 40

0) 4 x 2 –


225

Razonamiento lógico Los acertijos matemáticos activan nuestros procesos mentales para dar una conclusión a partir de un conjunto de premisas o enunciados. Aplique su razonamiento lógico y determine el número que cumple con las condiciones de las pistas. Practiquemos los acertijos resolviendo este ejemplo. 0) a.

El número es menor que 55

c. El número es un múltiplo de 8

b. El número es mayor que 35

d. Es divisible entre 6

El número es:

48

•

La primera y segunda premisas indican que el número está entre 35 y 55.

•

La tercera y cuarta, los múltiplos en este rango son 40 y 48, pero solo 48 es divisible entre 6, por lo tanto el número es 48.

1) a. El número es menor que 200

c. El número es un múltiplo de 10


d. La suma de sus dígitos es 1

El número es:

c. No es divisible entre 4

b. Es un número de dos dígitos

d. La suma de los dígitos es igual a 10

El número es:

3) a. El número está entre 350 y 400

c. Cada dígito es impar

b. El número es divisible entre 5

d. Dos de los dígitos son iguales

El número es:

4) a. El número es menor que 60

c. La suma de los digitos es igual a 7


d. El número es un múltiplo de 4

El número es:

2) a. El número es múltiplo de 7




226


Conozco la organización del tiempo en el calendario maya. Sumo y resto con exactitud números mayas. Practico la agilidad de cálculo mental con operaciones combinadas. Resuelvo acertijos matemáticos a partir de un conjunto de enunciados. IGER − Utatlán


34 Repaso: semanas 26 a 33 Esta semana logrará:  Repasar los contenidos de la semana 26 a la 33.  Representar el producto cartesiano en forma enumerativa, en una tabla de doble entrada y en un plano cartesiano.  Establecer el conjunto dominio y codominio en relaciones y funciones para representarlos en un diagrama sagital.  Graficar funciones lineales en el plano cartesiano.  Utilizar la estadística para organizar datos, interpretar información en gráficas y obtener medidas de tendencia central.  Convertir números del sistema decimal a numeración maya y viceversa.  Sumar y restar números mayas. 


227

Querida y querido estudiante: Se aproxima la prueba final y debe prepararse adecuadamente, repasando los contenidos de las semanas 26 a la 33. Para aprovechar este repaso le recomendamos: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.

¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de cálculo mental para medir su destreza y rapidez de cálculo en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las ocho semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted resolvió en las actividades del autocontrol. Se le pedirá:  responder preguntas,  rellenar el círculo de la opción correcta,  resolver operaciones y  resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar escrito el procedimiento. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.

228

IGER − Utatlán

El mundo de la matemática Pares ordenados y producto cartesiano 1. Un par ordenado asocia dos elementos (a, b) de dos conjuntos cualesquiera. Los elementos tienen la característica de estar unidos en un orden determinado que establece cuál es primer elemento y cuál es el segundo. 2. El conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B es otro conjunto A x B formado por todos los pares ordenados que pueden formarse, tal que el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo pertenece al conjunto B.

A x B ! B x A.

El producto cartesiano A x B no es igual que B x A,

2.1 El producto cartesiano se puede representar de forma: enumerativa, en una tabla de doble entrada y en un plano cartesiano.

enumerativa tabla de doble entrada

A x B = { (a, 1),(a, 2),(b, 1),(b, 2) }

1 A B a (a, 1)

(a, 2)

b

(b, 2)

(b, 1)

plano cartesiano

2

2 1 0

a

b

Ejercicio 1 A. Dados los conjuntos A = { a, b, c } y B = {

,

,

}.

1) Calcule el producto cartesiano A x B y expréselo en forma enumerativa. a

( a ,

(

,

(

,

)

(

,

)

)

(

,

)

(

,

(

,

)

)

(

,

)

)

(

,

)

• Escriba el conjunto producto cartesiano, tomando todas las parejas que obtuvo.

AxB=


229

2) Con los mismos conjuntos A = { a, b, c } y B = { producto cartesiano B x A. a

(

, a )

(

,

(

,

,

,

} del ejercicio anterior. Calcule el

(

,

)

)

(

,

)

(

,

(

,

)

)

(

,

)

)

(

,

)

• Escriba el conjunto producto cartesiano, tomando todas las parejas que obtuvo.

BxA=

B. Dados los conjuntos A = { a, b, c } y B = { 2, 4, 6 }, halle el producto cartesiano A x B en una tabla de doble entrada. AB

2

a

(a, 2)

Ejercicio 2 Dados los conjuntos A = { 2, 4, 6 } y B = { 3, 5, 7 }. 1) Halle el producto cartesiano A x B y B x A.

AxB=

BxA=

2) Represente A x B en el plano. Fíjese en el ejemplo. 8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

230

3) Represente B x A en el plano. Fíjese en el ejemplo.

1

2

IGER − Utatlán

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Relaciones y funciones 1. En matemática una relación se representa con la letra R y se define así: Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos A y B, tal que cada elemento del conjunto A se relaciona con uno o más elementos del conjunto B, a través de una condición.

Los elementos que cumplen con esa condición forman dos conjuntos: • Dominio o conjunto origen: es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial o conjunto A que tienen imagen en B. • Codominio o conjunto imagen: es el conjunto formado por los elementos del conjunto final o conjunto B que son imagen de A.

1.1 Una relación se puede representar gráficamente en un diagrama sagital. R A

p s múlti lo de b ae

8 dominio

B 2 3

9

4

10

codominio

5

11

7

2. Una función se representa con la letra f y se define así: Una función es un tipo de relación o correspondencia entre dos conjuntos X y Y, en la cual todos los elementos del conjunto inicial tienen una y solo una imagen en el conjunto final.

Simbólicamente una función se expresa como:

f: X


f (x) = y Se lee “f de x igual a y”. 2.1 Una función se puede representar gráficamente en un diagrama sagital.

f (x) = x + 2 X

Y

1

3

2

4

3

5

4

6 Matemática − Semana 34

231

Ejercicio 3 Represente las relaciones y funciones siguientes en la forma indicada. A. Dados los conjuntos A = { primo, par, impar, racional } y B = { 6, 11, 3/4, 24 }. 1) Escriba los elementos en su correspondiente conjunto y represente en un diagrama sagital la relación “clasificación de los números”. Tiene un ejemplo. R A

B

primo

11

3/4

dominio

codominio

2) Escriba los elementos que forman cada conjunto. •

Conjunto dominio D = {

•

Conjunto codominio C = {

B. Dados los conjuntos A = { –2, –1, 0, 1, 2 } y B = { 4, 3, 2, 1, 0 }. 1) Escriba los elementos en su correspondiente conjunto y represente en un diagrama sagital la relación “el cuadrado del número”. Tiene un ejemplo. R A

B

–1

1

dominio 2) Escriba los elementos que forman cada conjunto.

232

•

Conjunto dominio D = {

•

Conjunto codominio C = {

IGER − Utatlán

codominio

C. Considere el conjunto x = { –1, 0, 1, 2, 3 } para hallar la imagen de las funciones y represéntelas en un diagrama sagital. Guíese por los ejemplos en cada ejercicio. 1) f(x) = 3x + 2

f (x) = 3x + 2 X

f (-1) = 3(-1) + 2 = -1 f (0) =

–1

f (1) =

0

–1

1

f (2) =

2

f (3) =

Y

3

2) f(x) = -2x + 4

f (x) = -2x + 4 X

f (-1) = -2(-1) + 4 = 6

Y

–1

f (0) =

6

f (1) = f (2) = f (3) =

3) f(x) = 4x - 3

f (x) = 4x - 3 X

f (-1) = 4(-1) - 3 = -7

Y

–1

f (0) =

–7

f (1) = f (2) = f (3) =

4) f(x) = 5x + 1

f (x) = 5x + 1 X

f (-1) = 5(-1) + 1 = -4

–1

f (0) =

Y –4

f (1) = f (2) = f (3) =


233

Funciones lineales 1. Una función lineal es aquella cuyo exponente de la variable x siempre es uno (1). Su gráfica sobre el plano es una línea recta y se clasifica como función de proporcionalidad o función afín.

Para representar gráficamente una función, elaboramos una tabla de valores, ubicamos en el plano cartesiano los pares ordenados que resultan y unimos en una línea recta los puntos obtenidos. y

1.1 Una función de proporcionalidad se expresa por f(x) = ax, en la que a es un número cualquiera.

• La gráfica de una función de proporcionalidad es una línea recta que pasa por el origen (0).

4 3 2 1

f(x) = ax

-4 -3 -2 -1

0 -1

• La gráfica de una función afín es una línea recta que no pasa por el origen (0).

2

3

4

x

2

3

4

x

-3 -4

y

1.2 Una función afín se expresa por f(x) = ax + b, en la que a y b son dos números cualesquiera.

1

-2

4 3 2 1

f(x) = ax + b

-4 -3 -2 -1

0 -1

1

-2 -3 -4

Ejercicio 4 Represente gráficamente las siguientes funciones. Tiene un ejemplo. 0) f (x) = 5x + 4, en el conjunto x = { –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2 }.

f (-4) = 5(-4) + 4 = -16 f (-3) = 5(-3) + 4 = -11 f (-2) = 5(-2) + 4 = -6 f (-1) = 5(-1) + 4 = -1 f (0) = 5(0) + 4 = 4 f (1) = 5(1) + 4 = 9 f (2) = 5(2) + 4 = 14

x -4 -3 -2 -1 0 1 2

y -16 -11 -6 -1 4 9 14

y 16 14 12 10 8 6 4 2 -6 -5 -4 -3 -2

-1

0 -2

1 2

-4 -6 -8 -10 -12 -14 -16

234

IGER − Utatlán

3

4

5 6

x

1) f (x) = 4x, para x = –2, –1, 0, 1, 2. y

f (-2) = 4(-2) = -8

f (-1) =

x -2

10

y -8

8 6 4

f (0) =

2

f (1) = -5 -4 -3 -2 -1

f (2) =

0 -2

1 2

3

4

5

3

4

5

3

4

5

x

-4 -6 -8 -10

2) f (x) = -3x, para x = –2, –1, 0, 1, 2. y

f (-2) = -3(-2) = 6

f (-1) =

x -2

6 5

y 6

4 3

f (0) =

2

f (1) =

1

f (2) =

-5 -4 -3 -2 -1

0 -1

1 2

x

-2 -3 -4 -5 -6

3) f (x) = 3x - 3, para x = –5, –2, 0, 3, 5. y

f (-5) = 3(-5) - 3 = -18

f (-2) =

18

x y -5 -18

15 12 9

f (0) =

6

f (3) = f (5) =

3 -5 -4 -3 -2 -1

0 -3

1 2

x

-6 -9 -12 -15 -18


235

Estadística I 1. La estadística es la rama de las matemáticas encargada de la recopilación, organización y análisis de datos numéricos y observaciones, para la toma de decisiones o para explicar y predecir un acontecimiento en particular.

Se divide en: • Estadística descriptiva: se encarga de reunir datos, organizarlos y presentarlos de manera ordenada. • Estadística inferencial: se ocupa de sacar conclusiones del grupo de datos que se ha estudiado.

2. Términos estadísticos • Población. Es el conjunto o total de elementos que deseamos estudiar. • Muestra. Es un subconjunto de la población. • Variables y datos. Las variables son aquellos aspectos que se van a estudiar. Los datos son los valores que se obtienen de las variables.

Una variable, a su vez, puede ser: nominal cualitativa ordinal variable discreta cuantitativa continua

3. Organización de datos

Los datos se organizan en una tabla de frecuencias.

Frecuencia es el número de veces que se repite cada dato.

Una tabla de frecuencias es la representación de un conjunto de datos ordenados. Está formada por dos columnas, en una escribimos los datos y en otra las frecuencias.

Podemos construir una tabla de frecuencias con datos nominales o datos ordinales.

3.1 Organización de datos nominales: Estos datos se organizan en una tabla de frecuencias según sus cualidades o características comunes. 3.2 Organización de datos ordinales: Para organizar datos ordinales lo hacemos en forma ascendente (de menor a mayor valor) o en forma descendente (de mayor a menor valor). Contamos las veces que se repite cada dato y registramos los resultados en una tabla de frecuencias.

236

IGER − Utatlán

Ejercicio 5 A. Determine población, muestra, dato y variable en los enunciados siguientes. Fíjese en el ejemplo. 0) En el curso de ciencias naturales, un grupo de estudiantes calculó que la temperatura mínima promedio en abril de 2012, en la ciudad de Guatemala, fue de 7°C. Para ello, registraron las temperaturas de 10 días del mes.

La población es: el mes de abril

La variable es: temperatura

La muestra es: 10 días El dato es: 7° C

1) El Ministerio de Salud Pública determinó que el peso promedio de los bebés recién nacidos en Guatemala es de 7 libras. Para ello, registró el peso de 600 bebés.

La población es:

La variable es:


2) El Instituto Nacional de Estadística registró en 2006 el número de hijos de 1500 familias guatemaltecas. Determinó que el promedio de hijos por familia es 3.

La población es:

La variable es:


3) Un campesino seleccionó 75 tomates del total de su cosecha para determinar el peso promedio de cada tomate. El resultado fue de 0.2 libras.

La población es:

La variable es:


4) Se calculó que la edad promedio de los estudiantes del grupo Utatlán, en el centro de orientación Nuevo Horizonte, es de 19 años. Para ello, se preguntó la edad a 20 estudiantes.

La población es:

La variable es:



237

B. Elabore una tabla de frecuencias con los datos que se presentan en cada enunciado y conteste las preguntas. 1) En una jornada de la salud se registró el peso de 16 niños de 10 años de edad. Los datos, en libras, se presentan a continuación. peso en lb

frecuencia

65 65

66

68

66

70 66 70 73

68

65

66

70

68 72 72 68

72

70

68 66

73 total (N) Según la Organización Mundial de la Salud, el peso ideal para niños de 10 años es 70 lb.

¿Cuántos niños están por debajo del peso ideal?

¿Cuántos niños tienen el peso ideal?

¿Cuántos niños están por encima del peso ideal?

2) Una promotora de salud registró la estatura de 22 niños de 2 años de edad. Los datos en centímetros fueron: estatura en cm 83

85

87

83

88

85

88

89

84

86

86

84

84

85

85

84

88 87 86 87 86

85

frecuencia

83 84 85 86 87 88 89 total (N)

¿Qué estatura presenta la mayor frecuencia?

La estatura ideal en niños de 2 años es de 87 cm. De acuerdo a los datos, ¿qué puede deducir de la estatura que presenta la mayor frecuencia?

238

IGER − Utatlán

Estadística II 1. Las gráficas estadísticas sirven para presentar información de diferente manera. Las más comunes son: a. Diagrama de barras o histograma representa datos cualitativos o cuantitativos en un plano cartesiano por medio de rectángulos. En la parte superior escribimos el título, en el eje x las variables, en el eje y los valores o frecuencias. Gastos realizados por Fernando en un mes 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

alimentación

transporte

vestuario

vivienda

ahorro

b. Polígono de frecuencias asocia por medio de puntos y rectas los datos nominales con su correspondiente cantidad o frecuencia. Gastos realizados por Fernando en un mes 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

alimentación

transporte

vestuario

vivienda

ahorro

c. Diagrama de sectores representa datos en una circunferencia. Esta gráfica es muy útil cuando se cuenta con valores absolutos y se desea representar la información en porcentajes. Gastos realizados por Fernando en un mes ahorro 11% vivienda 24%

alimentación 38%

vestuario 22%

transporte 5%


239

Ejercicio 6 Elabore la gráfica indicada con los datos que se proporcionan en cada enunciado. 1) La tabla muestra las causas principales de mortalidad en menores de un año, en Guatemala durante 2004. Elabore un diagrama de barras con esta información. causa de mortalidad

porcentaje %

Causas de mortalidad en niños menores de 1 año, 2004

neumonía

15

bronconeumonía

11

60

síndrome diarreico

9

50

desnutrición

3

40

paro cardiorrespiratorio

0.5

30 20

10 (neumonía y bronconeumonía) son las principales Reflexione. Las infecciones respiratorias causas de mortalidad en nuestros niños y niñas. Si un niño presenta síntomas de estas enfer0 variable variable variable medades, ¿qué decisión debe tomar?

Otra causa importante es el síndrome diarreico, ¿qué hábitos higiénicos pueden prevenir esta enfermedad?

2) Según los Odm, para erradicar el hambre en los menores de 5 años, habría que reducir el índice de desnutrición del 34% que había en 1987 al 17% para 2015. La tabla muestra el avance alcanzado hasta 2007.

Elabore un polígono de frecuencias con estos datos. año

índice de desnutrición

1987

34

1992

28

40

1997

25

30

2002

23

20

2007

20

10

Índice de desnutrición global en niños menores de 5 años

0

240

1987

1992

1997

2002

2007

Reflexione. El porcentaje de desnutrición global, en 2007, se redujo al 20%, lo que muestra un buen avance. Es posible que lleguemos a 17% para 2015. Vemos, pues, que cuando nos trazamos metas y luchamos por alcanzarlas obtenemos buenos resultados.

IGER − Utatlán

3) El objetivo 7 de los Odm es garantizar la sostenibilidad del medio ambiente. En 2006, el Consejo Nacional de Áreas Protegidas (Conap) presentó la siguiente información sobre la superficie del territorio guatemalteco bajo protección para conservar la diversidad biológica. Elabore un polígono de frecuencias con estos datos. Le ayudamos con el primero.

año

superficie

Territorio guatemalteco bajo protección para conservar la diversidad biológica

(en millones de hectáreas)

1990

2.6

4

2002

3.2

3

2005

3.4

2 1 0

1990

1995

2000

2005

2010

4) Según la Organización Mundial de la Salud (Oms), se calcula que del total de agua que se consume en el mundo, el 65 % se destina a la agricultura, el 25 % a la industria y, tan solo el 10 % al consumo doméstico. Con estos datos, calcule los grados, traslade los datos a la tabla y complete la gráfica de sectores. destino agricultura

porcentaje 65

industria

25

doméstico

10

total (N)

grados 234º

Destino del agua en el mundo 70 60 50 40 30

100

20 10 0


agricultura 65%



grados %

23 400 65 x 360 agricultura = = 234º 100 100

industria

doméstico

=

=

=

=


241

Medidas de tendencia central 1. Las medidas de tendencia central sirven para representar un grupo de observaciones a través de un solo valor numérico. Se clasifican en: 1.1 La media aritmética o promedio ( X ) se obtiene sumando todos los valores y dividiendo el total entre el número de datos. X=

!x N

1.2 La mediana (Me) es el valor que se encuentra en el centro de una serie de datos ordenados. Se calcula la posición de la mediana por medio de una fórmula, se ordenan los datos de menor a mayor y se cuenta de izquierda a derecha tantos lugares como indica el valor de la posición de la mediana. Posición de la mediana =

N+1 2

Si el número de datos es par, hay dos valores centrales. El valor de la mediana se obtiene calculando el promedio de ambos valores.

1.3 La moda (Mo) es el valor que ocurre o se repite con mayor frecuencia.

Ejercicio 7 Calcule la medida de tendencia central indicada para cada problema. 1) El Instituto Nacional de Sismología, Vulcanología, Meteorología e Hidrología (Insivumeh) registró, en los primeros 6 meses de 2007, las temperaturas máximas en la ciudad de Guatemala. mes

ene

feb

mar

abr

may

jun

temperatura máxima (°C)

27

29

30

33

31

30

a. ¿Cuál es la media de temperaturas máximas? •


•

Aplique la fórmula:

X=

!x N

X = X = X = •

242


IGER − Utatlán

6 6

b. ¿Qué temperatura máxima representa la mediana? •

Calcule la posición de la mediana.

•

Ordene los datos de menor a mayor y ubique la posición de la mediana.

•

Obtenga el promedio de los valores centrales. El resultado será el valor de la mediana.

•


N+1 = 2

2

X=

=

2

=

=

2

=

2

2) Una atleta corrió, durante una semana, las distancias siguientes: día

lunes

martes

miércoles

jueves

viernes

sábado

domingo

distancia en km

9

10

8

9

10

10

8

a. ¿Cuál es la distancia promedio que corrió por día? •


•

Aplique la fórmula de la media:

X = X =

7 7

•


•

Escriba la respuesta: La distancia promedio que corrió por día fue

km.

b. ¿Qué distancia representa la mediana? •


•

Ordene los datos de menor a mayor y ubique la posición de la mediana.

•


c. ¿Qué distancia representa la moda?

N+1 = 2

2

=

2

=

Mo =

Explique su respuesta:


243

Sistema de numeración maya 1. El sistema de numeración maya es aditivo, posicional y vigesimal. 1.1 Los símbolos utilizados en la numeración maya son: • La concha o caparazón representa el cero. • El punto representa el uno. • La barra horizontal representa el cinco.

= 1 5 0

1

5

a. Las cantidades en numeración maya se escriben de acuerdo a dos reglas: • •

El punto no se repite más de 4 veces. La barra no se repite más de 3 veces.

Los números del 0 al 19 en numeración maya son: = 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

!

"

#

$

%

&

/

(

)

10

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

b. Los números del 0 al 19 siempre se escriben en la primera posición. Los números mayores que 19 se escriben en la segunda, tercera, cuarta posición, etc. posición 5 4 3 2 1

valor posicional 204 = 160000 203 = 8000 202 = 400 201 = 20 200= 1

1.2 Conversión del sistema decimal a numeración maya 2 400 900 –800 100

2 5 =

5 20 100 –100 0 1.3 Conversión de numeración maya a sistema decimal

3 5 9 244

IGER − Utatlán

400 x 3 = 1200 20 x 5 = 100 1 x 9 = 9 + 1309

Ejercicio 8 Complete la tabla y escriba en numeración maya los números del sistema decimal. Tiene un ejemplo. decimal

9

maya

9

3

7

6

0

8

1

11

19

14

Ejercicio 9 A. Convierta números del sistema decimal a numeración maya, por simple inspección. Tiene un ejemplo. 0) 89 = 80 + 9

4 9

+

9 = 9 unidades +

2) 29 =

80 = 4 veintenas

3) 86 =

+

1) 45 =

4) 60 =

+

5) 100 =

+

B. Siga los pasos para convertir los números del sistema decimal a maya. Tiene un ejemplo. 0) 875 •

Divida 875 entre el valor posicional del nivel máximo posible y escriba el resultado en ese nivel.

•

Divida el residuo 75 entre el valor posicional del nivel inmediato inferior y escriba el resultado en ese nivel.

•

Escriba el residuo 15 en la primera posición.

1) 125

3 20 75 –60 15

2 3 %

2) 200

125

2 400 875 –800 75

200


245

3) 1500

4) 3856

C. Convierta los números mayas en números del sistema decimal. Tiene un ejemplo. 0)

7 ) 4

400 x 7 = 2800

1)

20 x 19 = 380 1x4=

1 %

x

=

x

=

4

+

+ 3184

2)

9 6

x

=

x

=

3)

& 3

x

=

x

=

+

4)

8 # 0

x

=

x

=

x

=

+

5)

0 ! (

x

=

x

=

x

=

+

6)

5 2 ) =

x

=

x

=

x

=

x

= +

246

IGER − Utatlán

+

7)

2 7 5 9

x

=

x

=

x

=

x

= +

Suma y resta con números mayas 1. Suma con números mayas

"

Para sumar números mayas, escribimos los sumandos en una tabla, sumamos números iguales, teniendo en cuenta las reglas: cinco puntos se transforman en una barra y cuatro barras en un punto en la posición inmediata superior.

+

20

" #

1

1 5

20 1

2. Resta con números mayas

#

) %

Para restar escribimos minuendo y sustraendo en una tabla, restamos símbolos iguales de abajo hacia arriba. Si la cantidad de puntos en el minuendo es menor que en el sustraendo, se transforma una barra en cinco puntos.

20 1

7 !

–

) 7 " ! 4

Ejercicio 10 Sume con números mayas. El ejercicio 0 es un ejemplo. 0)

!

+

8

1)

20

2)

1

9

1

+

!

20

! 8 )

+

4

3)

20

6

1

7 8

+

9 !

20

1

20

20

1

1


247

4)

" 6

+

5 9

5)

4 0 &

20

400

1

20 1

20

+

8 = $

1

400 20 1

Ejercicio 11 Resuelva las restas con números mayas, siga los pasos que se le indican. Guíese con el ejemplo. 0)

) $ 20

1

2)

% 5

–

" 8

) " 7 $ 8 6 –

3 =

1)

8 0

1

4)

" &

3)

$ 0

1 8

–

1

7 5

5)

–

6 4 =

1

9 & " 400

20 1

248

–

1

20

20

2 5

20

20

–

IGER − Utatlán

Agilidad de cálculo mental A. Multiplique. Escriba su respuesta sobre la línea.

1) 5 x 8 =

6) 9 x 4 =

11) 8 x 7 =

2) 7 x 4 =

7) 5 x 9 =

12) 5 x 4 =

3) 3 x 9 =

8) 3 x 8 =

13) 4 x 8 =

4) 6 x 7 =

9) 7 x 7 =

14) 9 x 9 =

5) 8 x 6 =

10) 9 x 6 =

15) 7 x 6 =

B. Escriba el factor que falta sobre la línea. 1) 6 x

= 36

6) 8 x

= 56

11)

x 5 = 25

2) 5 x

= 20

7) 6 x

= 30

12)

x 7 = 21

3) 2 x

= 14

8) 4 x

= 32

13)

x 3 = 18

4) 9 x

= 27

9) 9 x

= 18

14)

x 8 = 24

5) 7 x

= 35

10) 3 x

= 12

15)

x 6 = 30

C. Resuelva las potencias. 1) 32 =

6) 42 =

11) 23 =

2) 12 =

7) 62 =

12) 33 =

3) 52 =

8) 90 =

13) 102 =

4) 72 =

9) 81 =

14) 122 =

5) 30 =

10) 22 =

15) 202 =

D. Resuelva las raíces cuadradas. 1)

9 =

5)

36 =

9)

100 =

2)

4 =

6)

16 =

10) 144 =

3)

25 =

7)

81 =

11) 400 =

4)

49 =

8)

64 =

12) 900 = Matemática − Semana 34

249





Repaso los contenidos de la semana 26 a la 33. Represento el producto cartesiano en forma enumerativa, en una tabla de doble entrada y en el plano cartesiano. Establezco el conjunto dominio y codominio en relaciones y funciones para representarlos en un diagrama sagital. Grafico funciones lineales en el plano cartesiano. Utilizo la estadística para organizar datos, interpretar información en gráficas y obtener medidas de tendencia central. Convierto números del sistema decimal a numeración maya y viceversa. Sumo y resto números mayas.

Orientaciones sobre la prueba final ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su prueba final de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientadora u orientador voluntario.

Grupo: Utatlán Prueba: final

Materia: Matemática A-2014

Círculo de estudio Nº:

i serie. 1 punto cada respuesta correcta. Total 6 puntos. INSTRUCCIONES: Rellene el círculo que corresponde al resultado correcto.

1) ¿Cuál es el resultado de (x + 3)(x - 3)?

x2 + 9 x2 + 6 x2 - 9

No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.

¡ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.

250

IGER − Utatlán

Claves

Matemática − Claves

251

Semana 18 ¡A trabajar! 1) 9.8 m/s2 2) 3.37 segundos. 3) g y t 4) 55.66 metros.

Ejercicio 1 0) no es monomio porque está formado por dos términos algebraicos. 1) es monomio porque está formado por un solo término algebraico. 2) no es monomio porque indica una división de dos monomios. 3) es monomio porque está formado por un solo término algebraico.

Ejercicio 2 clasificación grado de x grado de y

2x3 + 2x2y + y2

trinomio

3

2

x3y + xy2

binomio

3

2

trinomio

5

3

binomio

4

5

4 3

2

3x y + 4x y + x 4 2

3 5

6x y + 4x y

Ejercicio 3 e+a+b

Polinomio escrito en orden alfabético y descendente. a+b+e

a + a3 + a2

a3 + a2 + a

a2 + a3b

a3b + a2

c3 + c5 + c2

c5 + c3 + c2

x2y3 + x + x4y2

x4y2 + x2y3 + x

-3r5 + s + r3s

-3r5 + r3s + s

a3b2 + a5b + a

a5b + a3b2 + a

polinomio

Ejercicio 4 1)

3x2 - 2x + 1 = 3 (4) 2 - 2 (4) + 1 = 3 (16) - 8 + 1 = 48 - 7 = 41

Si x = 4

252

3a + 2b = 3 (1) + 2 (2) = 3+4 =7

Si a = 1, b = 2

3)

2c 3 + c 2 d - d = 2 (2) 3 + (2) 2 (3) - 3 = 2 (8) + (4) (3) - 3 = 16 + 12 - 3 = 25

Si c = 2, d = 3

3a + 2b = 7

3x2 - 2x + 1 = 41

IGER − Utatlán

2c3 + c2d - d = 25

Desarrolle nuevas habilidades modelo

polinomio

5

2)

expresión polinomial del área 2

a2

2

2

a:b a:b b b b a : b a : b b2 b2 b2

a2 + 4a : b + 6b2

Semana 19 ¡A trabajar!

B. 1) (5x2 + 3x - 6) + (9x2 + 2x + 4) = 5x 2 + 3x - 6 9x 2 + 2x + 4 14x 2 + 5x - 2

0) -4 1) -7 2) -16 3) 35 4) -95 5) 34

2) (- 2x2 y - 3x + 6) + (5x2 y - 10) = - 2x2 y - 3x + 6 5x2 y - 10 2 3x y - 3x - 4

Ejercicio 1 A. 1) 18x 2) -6x6y8 3) 5x2y2 B. 1)

4) -24a2b5c4 5) -21a3b5 6) -50x6y8 2) - 2x4 y3 - 6x 4 y 3 - 8x 4 y 3

2xy + 16xy 18xy

3) (8a2 b - 5a - 2) - (10a2 b + 8b - 4) =

3)

5a3 b2 c - 9a3 b2 c - 4a3 b2 c

Ejercicio 2 A. 1) 9xy + (3xy - 10) = 9xy + 3xy - 10 = 12xy - 10

8a2 b - 5a -2 2 - 10a b - 8b + 4 2 2 a b 5 a - - 8b + 2

Desarrolle nuevas habilidades 0) 4

2) 5x - (4x2 - 2x + 5) = 5x - 4x2 + 2x - 5 = - 4x2 + 5x + 2x - 5 = - 4x 2 + 7x - 5

B. 9x + (6x + 6xy + 10) = 6x + 6xy + 10 + 9x 15x + 6xy + 10

Ejercicio 3

1) 3

+3 +5

2) 5

+3

3) 3

+2

4) 4

+3

5) 4

+3

+3

6) 3

+2

+

+2

+

+3

+2

+

A. 1) (10x + 6) + (3x - 4) = 10x + 6 + 3x - 4 = 10x + 3x + 6 - 4 = 13x + 2 2) (3x2 + 5x - 1) - (2x2 - 4x + 6) = 3x 2 + 5x - 1 - 2 x 2 + 4x - 6 = (3x2 - 2x2) + (5x + 4x) + (-1 - 6) = x 2 + 9x - 7


253

Semana 20 ¡A trabajar! 0) 1) 2) 3)

3) 4) 5) 6) 7)

-18 -10 32 -42

24 + 3 = 27 52 + 4 = 56 73+5 = 78 36+7 = 313

8) m6+3+1 = m10 9) a4+1+2 = a7 10) b5+4+3 = b12 11) x1+6+8 = x15

Ejercicio 1 A. 1)

2)

B. 0)

2)

(- 5y) (2x2 y2 - 4y + 1) = (-5y)(2x2y2) + (-5y)(-4y) + (-5y)(1) = (- 5 : 2) (y : x2 y2) + (5 : 4) (y : y) - (5 : 1) (y) = - 10x2 y1 + 2 + 20y1 + 1 - 5y = - 10x 2 y3 + 20y 2 - 5y (- 5y) (2x 2 y 2 - 4y + 1) = - 10x 2 y3 + 20y 2 - 5y

B. 0) (2ab) (4a 2 b - 3bc + 1) =

(3b3) (2b) = (3 : 2) (b3 : b) = 6b 3 + 1 = 6b 4 3 (3b ) (2b) = 6b 4

4a 2 b - 3bc + 1 2ab 8a 3 b 2 - 6ab 2 c + 2ab 1)

(a) (- 2ab) (- 5b3 c) = (1 : - 2 : - 5) (a : ab : b3 c) = 10 (a a) (b b3) (c) = 10a1 + 1 b1 + 3 c = 10a 2 b 4 c (a) (- 2ab) (- 5b3 c) = 10a 2 b 4 c (4x 2) (3x 3 z 2) 1) (y) (6y2) 2 3 2 = (4 : 3) (x : x z ) = (1 : 6) (y : y2) 2 3 2 = 12 (x x ) (z ) = 6y1 + 2 2+3 2 = 12x z = 6y 3 = 12x 5 z 2 (y) (6y 2) = 6y3 2 3 2 5 2 (4x ) (3x z ) = 12x z 3) (2x) (- 6x2 y) (2y2) = (- 6cd) (- 2c2) = (2 : - 6 : 2) (x : x2 y : y2) = (- 6 : - 2) (cd : c2) = - 24 (x x2) (y y2) = 12 (c c2) (d) = - 24x1 + 2 y1 + 2 = 12c3 d 2 3 = - 24x3 y3 (- 6cd) (- 2c ) = 12c d

x2 + 2x - 1 3x 3 2 3x + 6x - 3x (3x) (x2 + 2x - 1) = 3x3 + 6x 2 - 3x

2)

(2xy) (3x2 + 5y2 + 2) = (2xy) (3x2) + (2xy) (5y2) + (2xy) (2) = (2 : 3) (xy : x2) + (2 : 5) (xy : y2) + (2 : 2) (xy) = 6x1 + 2 y + 10xy1 + 2 + 4xy = 6x3 y + 10xy3 + 4xy 2 (2xy) (3x + 5y 2 + 2) = 6x3 y + 10xy3 + 4xy

3)

(c2 d) (3c3 - 2d2 - 4) = (c2 d) (3c3) + (c2 d) (- 2d2) + (c2 d) (- 4) = (1 : 3) (c2 d : c3) - (1 : 2) (c2 d : d2) - (1 : 4) (c2 d) = 3c2 + 3 d - 2c2 d1 + 2 - 4c2 d = 3c 5 d - 2c 2 d 3 - 4c 2 d (c 2 d) (3c3 - 2d 2 - 4) = 3c5 d - 2c 2 d3 - 4c 2 d

Desarrolle nuevas habilidades 2x + 3

Ejercicio 2

x

A. 1) Sentido horizontal

2) Sentido vertical 3 2 (3a) (3a + a ) 3a + a 3a = 3a (3a3) + 3a (a2) 4 3 2 9a + 3a3 = (3 : 3) (a a ) + (3 : 1) (a a ) = 9a1 + 3 + 3a1 + 2 = 9a 4 + 3a3 3a (3a3 + a 2) = 9a 4 + 3a3

254

3

IGER − Utatlán

2

x

x 3x

x

Área A1 = x(x) A2 = 3x(2x + 3) A3 = x(x) A1 = x2 A2 = 6x2 + 9x A3 = x2 Áreatotal = A1 + A2 + A3 Áreatotal = (x2) + (6x2 + 9x) + (x2) Áreatotal = x2 + 6x2 + 9x + x2 Áreatotal = 8x2 + 9x

Semana 21 ¡A trabajar! 0) 6(10 - 2 + 3) = (6 : 10) - (6 : 2) + (6 : 3) = 60 - 12 + 18 = 66 1) 2(3 + 2 + 1) = (2 : 3) + (2 : 2) + (2 : 1) = 6 + 4 + 2 = 12 2) 2(3 + 5) = (2 : 3) + (2 : 5) = 6 + 10 = 16 3) 4(1 + 2 + 6) = (4 : 1) + (4 : 2) + (4 : 6) = 4 + 8 + 24 = 36 4) 7(11 + 5 + 4) = (7 : 11) + (7 : 5) + (7 : 4) = 77 + 35 + 28 = 140 5) 5(7 - 2) = (5 : 7) - (5 : 2) = 35 - 10 = 25 6) 4(8 - 3 - 2) = (4 : 8) - (4 : 3) - (4 : 2) = 32 - 12 - 8 = 12 7) 9(3 + 2 - 4) = (9 : 3) + (9 : 2) - (9 : 4) = 27 + 18 - 36 = 9 8) 5(6 - 8 + 3) = (5 : 6) - (5 : 8) + (5 : 3) = 30 - 40 + 15 = 5 9) 3(- 2 + 6 - 4) = - (3 : 2) + (3 : 6) - (3 : 4) = -6 + 18 - 12 = 0

Ejercicio 1 A. 1)

(x + 4) (x + 6) = 6^ x : xh + (x : 6) @ + 6(4 : x) + (4 : 6) @ = x2 + 6x + 4x + 24 = x 2 + 10x + 24 (x + 4)(x + 6) = x 2 + 10x + 24

2)

(- 2x2 + 2) (3x3 - 5) = 6(- 2x2 : 3x3) + (- 2x2 : - 5) @ + 6(2 : 3x3) + (2 : - 5) @ = - 6x5 + 10x2 + 6x3 - 10 = - 6x5 + 6x3 + 10x 2 - 10 (- 2x 2 + 2 )(3x3 - 5) = - 6x5 + 6x3 + 10x 2 - 10

B. 1) (x + 8) (2x + 2) x+8 2x + 2 2x + 16 2x2 + 16x 2x 2 + 18x + 16

2) (a4b2 + 5)(a2b + 3b) a4b2 + 5 a2b + 3b 4 3 3a b + 15b a6b3 + 5a2b a6b3+ 3a4b3 + 5a2b + 15b

(x + 8)(2x + 2) = 2x2 + 18x + 16 (a4b2 + 5)(a2b + 3b) = a6b3 + 3a4b3 + 5a2b + 15b

Ejercicio 2 A. 1) (3x + y) (2x - 5y + z)

= 6(3x : 2x) + (3x : - 5y) + (3x : z) @ + 6(y : 2x) + (y : - 5y) + (y : z) @ = 6x2 - 15xy + 3xz + 2xy - 5y2 + yz = 6x2 - 15xy + 2xy + 3xz - 5y2 + yz = 6x 2 - 13xy + 3xz - 5y 2 + yz

(3x + y)(2x - 5y + z) = 6x2 - 13xy + 3xz - 5y2 + yz


255

2) (b - 3) (b2 + 3b + 9)

= 6(b : b ) + (b : 3b) + (b : 9) @ + 6(- 3 : b ) + (- 3 : 3b) + (- 3 : 9) @ = b3 + 3b2 + 9b - 3b2 - 9b - 27 = b3 + 3b2 - 3b2 + 9b - 9b - 27 = b3 - 27 2

2

(b - 3)(b2 + 3b + 9) = b3 - 27

3) (3a - 4) (2b2 + b + 5)

= 6(3a : 2b2) + (3a : b) + (3a : 5) @ + 6(- 4 : 2b2) + (- 4 : b) + (- 4 : 5) @ = 6ab2 + 3ab + 15a - 8b2 - 4b - 20

2

2

= 15a + 6ab + 3ab - 8b - 4b - 20 2

2

(x - 2)(x2 + 2xy + 5y2) = x3 - 2x2 + 2x2y + 5xy2 - 4xy - 10y2

B. 1) (4x + 1) (4x2 + 2x + 2) = 4x 2 + 2 x + 2 4x + 1 2 4x + 2 x + 2 3 16x + 8x2 + 8x 16x3 + 12x 2 + 10x + 2 (4x + 1)(4x2 + 2x + 2) = 16x3 + 12x2 + 10x + 2

2) (x2y + 2x)(x2 - 4x - 6) x 2 - 4x - 6 x 2 y + 2x 2x 3 - 8x 2 - 12x 4 3 2 xy - 4x y - 6x y x 4 y + 2x3 - 4x3 y - 8x 2 - 6 x 2 y - 12x

4

3

3

4

1

2

4

3

2

1

2

1

3

4

2) 4

2

1

3

3

1

4

2

2

4

3

1

1

3

2

4

3) 1

3

2

4

2

4

1

3

4

2

3

1

3

1

4

2

(3a - 4)(2b + b + 5) = 15a + 6ab + 3ab - 8b - 4b - 20 = 6(x : x2) + (x : 2xy) + (x : 5y2) @ + 6(- 2 : x2) + (- 2 : 2xy) + (- 2 : 5y2) @ = x3 + 2x2 y + 5xy2 - 2x2 - 4xy - 10y2 = x3 - 2x 2 + 2x 2 y + 5xy 2 - 4xy - 10y 2

2

2

4) (x - 2) (x2 + 2xy + 5y2)

1) 1

(x2y + 2x)(x2 - 4x - 6) = x4y + 2x3 - 4x3y - 8x2 - 6x2y - 12x

Desarrolle nuevas habilidades 0) 1

2

3

4

3

4

2

1

4

3

1

2

2

1

4

3

256

IGER − Utatlán

Semana 22

Semana 23

¡A trabajar!

¡A trabajar!

1) Tratado de mecánica analítica. 2) La introducción del sistema métrico decimal. 3) Autodidacta: que se instruye a sí mismo, sin ayuda de un maestro.

Las respuestas pueden variar. Queda a criterio del estudiante.

Ejercicio 1

Ejercicio 1

producto (suma por diferencia)

cuadrado de la suma

desarrollo

0) (3x + y)(3x - y) =

resultado

0) (4x + 2) = (4x) + 2(4x : 2) + (2) = 16x + 16x + 4 2

2

2

2

desarrollo (3x)2 - (y)2 =

resultado 9x2 - y2

1) (x + 7)(x - 7) =

(x) - (7) =

x2 - 49

2) (x + 9)(x - 9) =

(x)2 - (9)2 =

x2 - 81

2

2

1) (x + 7) = (x) + 2(x : 7) + (7) =

x + 14x + 49

3) (a + 6)(a - 6) =

(a) - (6) =

a2 - 36

2) (x + 5)2 = (x)2 + 2(x : 5) + (5)2 =

x2 + 10x + 25

4) (7b - 3)(7b + 3) =

(7b)2 - (3)2 =

49b2 - 9

3) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2(2x : 3) + (3)2 = 4x2 + 12x + 9

5) (2x - y)(2x + y) =

(2x) - (y) =

4x2 - y2

4) (3x + 1)2 = (3x)2 + 2(3x : 1) + (1)2 = 9x2 + 6x + 1

6) (x + 4)(x - 4) =

(x)2 - (4)2 =

x2 - 16

7) (3x + 2)(3x - 2) =

(3x)2 - (2)2 =

9x2 - 4

2

2

2

2

5) (2x + y)2 = (2x)2 + 2(2x : y) + (y)2 = 4x2 + 4xy + y2

Ejercicio 2 cuadrado de la resta

desarrollo

resultado

8) (5x + 4)(5x - 4) =

2

2

2

2

2

2

(5x) - (4) =

25x2 - 16

Ejercicio 2

0) (d - 2)2 =

producto

desarrollo

resultado

(d)2 - 2(d : 2) -(2)2 =

d2 - 4d + 4

1) (x - 9)2 =

0) (a + 9)(a + 1) =

(a)2 + a(9 + 1) + (9 : 1) =

a2 + 10a + 9

(x)2 - 2(x : 9) - (9)2 =

x2 - 18x + 81

2) (y - 6) =

1) (x + 3)(x + 6) = (x)2 + x(3 + 6) + (3 : 6) = x2 + 9x + 18

(y) - 2(y : 6) - (6) =

y - 12 + 36

3) (y - 8)2 =

(y)2 - 2(y : 8) - (8)2 =

y2 - 16y + 64

2

2

2

4) (2x - 1)2 = (2x)2 - 2(2x : 1) - (1)2 =

2

4x2 - 4x + 1

5) (3a - 5b)2 = (3a)2 - 2(3a : 5b) + (5b)2 = 9a2 - 30ab + 25b2

2) (y + 4)(y + 5) = (y)2 + y(4 + 5) + (4 : 5) = y2 + 9y + 20

Ejercicio 3 A. 0) (y - 3)(y - 4) = y2 - 7y + 12

y-3 y-4 -4y + 12 y2 - 3y y2 - 7y + 12

1) (d - 1)(d - 3) = d2 - 4d + 3

d-1 d-3 -3d + 3 d2 - d d2 - 4d + 3


257

B. producto

desarrollo

resultado

0) (b - 6)(b - 2) = 1) (a - 5)(a - 1) = 2) (c - 8)(c - 6) = 3) (h - 4)(h - 7) = 4) (x - 3)(x - 5) = 5) (x - 1)(x - 4) = 6) (y - 1)(y - 9) = 7) (w - 8)(w - 4) =

(b)2 + b(-6 - 2) + (-6 : -2) = (a)2 + a(-5 - 1) + (-5 : -1) = (c)2 + c(-8 - 6) + (-8 : -6) = (h)2 + h(-4 - 7) + (-4 : -7) = (x)2 + x(-3 - 5) + (-3 : -5) = (x)2 + x(-1 - 4) + (-1 : -4) = (y)2 + y(-1 - 9) + (-1 : -9) = (w)2 + w(-8 - 4) + (-8 : -4) =

b2 - 8b + 12 a2 - 6a + 5 c2 - 14c + 48 h2 - 11h + 28 x2 - 8x + 15 x2 - 5x + 4 y2 - 10y + 9 w2 - 12w + 32

Semana 24 ¡A trabajar! 0) -2 1) -4 2) -8 3) 3 4) 38 - 3 = 35 5) 79 - 6 = 73

6) 7) 8) 9) 10) 11)

47 - 3 = 44 23 - 3 = 20 = 1 a9 - 3 = a6 y4 - 3 = y w3 - 2 = w z5 - 5 = z0 = 1

Ejercicio 1 A. 3 y - 12x3 y = - 12 : x2 : = 3x3 - 2 y = 3xy = 2 -4 x 1 - 4x -12x3y ' -4x2 = 3xy B. 4 3 4 3 2 2 = - 6a2 b = - 6 : a2 : b = - 2a4 - 2 b3 - 1 = - 2a b 0) 3 a b 3a b

15x5 15 x5 5-2 3 1) 5x2 = 5 : x2 = 3x = 3x 2 12x2 y y = 12 : x : = - 4x2 - 1 y = - 4xy x 3 x 3 1 - 20ab3 = - 20 : a : b3 = - 5ab3 - 1 = -5ab 2 3) 4 1 b 4b

2)

Ejercicio 2 2 8k4 + 12k3 - 4k2 = 8k4 + 12k3 - 4k = 2 2 2 4k 4k 4k 4k2

= 2k4 - 2 + 3k 3 - 2 - 1 = 2k 2 + 3k - 1

Ejercicio 3 0) (x3 - 27) ' (x - 3) = (x3 + 0x2 + 0x - 27) ' (x - 3)

1 0 0 -27 3 +3 +9 27 1 +3 +9 0

x2 + 3x + 9, R = 0

1) (x2 + 5x + 6) ' (x + 3) =

258

IGER − Utatlán

1 +5 +6 -3 -3 -6 1 +2 0 x + 2, R = 0

Semana 25

2) (x2 + x - 20) ' (x + 5) =

1 1 -20 -5 -5 20 1 -4 0 x - 4, R = 0

Ejercicio 1 0) Es monomio porque está formada por un solo término algebraico. 1) Es binomio porque está formada por dos términos algebraicos. 2) Es monomio porque está formada por un solo término algebraico. 3) Es binomio porque está formada por dos términos algebraicos. 4) Es binomio porque está formada por dos términos algebraicos. 5) Es monomio porque está formada por un solo término algebraico. 6) Es monomio porque está formada por un solo término algebraico.

3) (2m2 - 9m - 18) ' (m + 3) =

2 -9 -18 -3 -6 +45 2 -15 27 2m - 15, R = 27

4) (x3 - 3x2 - 3x + 6) ' (x - 1) =

1 -3 -3 +6 1 +1 -2 -5 1 -2 -5 +1 x2 - 2x - 5, R = 1

5) (y2 - 9) ' (y + 3) = (y2 + 0 - 9) ' (y + 3)

Ejercicio 2 polinomio

1 0 -9 -3 -3 +9 1 -3 0

3

2

binomio

3

1

2) 12a b - 6a b c + c

trinomio

5

3

3) 6a d + 4b c

binomio

4

3

4) 10a y + 21a b

binomio

6

1

5) 5a - 2b

binomio

2

2

2

1) a + 3b 5

6) (4y3 + y + 4) ' (y + 2) = = (4y3 + 0y2 - y + 4) ' (y + 2)

4 3

4 2

4 0 -1 +4 -2 -8 +16 -30 4 -8 +15 -26

2

2

3 5

5 4

6

2

Ejercicio 3

4y2 -8y + 15, R = -26

0) 2x + 1 = = 2(4) + 1 =8+1=9

7) (z3 + 8) ' (z + 2) = = (z3 + 0z2 + 0z + 8) ' (z + 2)

trinomio

2

3

y - 3, R = 0

clasificación grado de a grado de b

0) 2a b + 2a b + 8b 3

1) 4b2 - 3x + 2a = 4(2)2 - 3(4) + 2(3) = 4(4) - 12 + 6 = 16 - 12 + 6 = 10

1 0 0 +8 -2 -2 +4 -8 1 -2 +4 0 z2 - 2z + 4, R = 0

Desarrolle nuevas habilidades 1) Primera fila: 3 cubos Segunda fila: 6 cubos Tercera fila: 9 cubos R/ El la figura hay 3 + 6 + 9 =18 cubos. 2) Primera fila:4 cubos Segunda fila: 8 cubos Tercera fila: 9 cubos R/ En la figura hay 4 + 8 + 9 = 21 cubos.

2) 4a3 + 5b2 - 3x3 = 4(3)3 + 5(2)2 - 3(4)3 4(27) + 5(4) - 3(64) 108 + 20 - 192 = -64 3) 3a2 + 2x3 - 2x2 + 4 = 3(3)2 + 2(4)3 - 2(4)2 + 4 3(9) + 2(64) - 2(16) + 4 27 + 128 - 32 + 4 = 127


259

2 4) 2b2 + x = 2 (2) + 4 = 2 (4) + 4 = 8 + 4 = 12 = 4 5) 3p + (2p + 4q - 6r) = 3p + 2p + 4q - 6r = a 3 3 3 3 (3p + 2p) + 4q - 6r = 2 5) 3x2 - 2a + 3b = 3 (4) - 2 (3) + 3 (2) = 5p + 4q - 6r 2 (4) 2x B. 3 (16) - 6 + 6 = 48 = 6 0) -36x - 2y + 4z 1) 25x3y - 12x2y + 3 8 8 + 4z + 25x2y 3 -36x - 2y + 8z 25x y + 13x2y + 3 Ejercicio 4

0) 2x + 3x = 5x 1) 20abc + 12abc = 32abc 2) -23xyz - 7xyz = -30xyz 3) -6x2y3 + 12x2y3 = 6x2y3 4) 15x3y2z - 9x3y2z = 6x3y2z 5) 4h2 - 16h2 = -12h2

Ejercicio 5 12x2y 0) 4x 1) + 16x2y + 10x 28x2y 14x 2) 25a2b3c 3) -25x3y7z4 2 3 -33a b c -26x3y7z4 2 3 -8a b c -51x3y7z4 -84abc 4) 15xyz 5) -15abc + 12xyz -99abc 27xyz

Ejercicio 6 A. 0) 3x + (4xy + 2y + 1) = 3x + 4xy + 2y + 1 1) 25y2 + (2xy - 36y2) = 25y2 + 2xy - 36y2 = 2xy + (25y2 - 36y2) = 2xy - 11y2 2) 4x - (2x + 24y - 15c) = 4x - 2x - 24y + 15c = (4x - 2x) - 24y + 15c = 2x - 24y + 15c = 15c + 2x - 24y 3) -6a - (6a + 4b - 6c) = -6a - 6a - 4b + 6c = (-6a - 6a) - 4b + 6c = -12a - 4b + 6c 4) -36x - (-12x - 6y + 4z) = -36x + 12x + 6y - 4z = (-36x + 12x) + 6y - 4z = -24x + 6y - 4z

-5m + 10mn -4p 2) 12a3b2 - 15a2 3) + 12mn + 36a2 -5m + 22mn -4p 12a3b2 + 21a2

Ejercicio 7 A. 0) (5x2y + 3x - 5y) + (6x2y - 5x + 8y) = 5x2y + 3x - 5y + 6x2y - 5x + 8y = (5x2y + 6x2y) + (3x - 5x) + (8y - 5y) = 11x2y - 2x + 3y 1) (3x + 8y - 6) + (8x - 9y + 14) = 3x + 8y - 6 + 8x - 9y + 14 = (3x + 8x) + (8y - 9y) + (14 - 6) = 11x - y + 8 2) (5a2b + 9bc + 8d) + (4a2b - 3bc + 6) = 5a2b + 9bc + 8d + 4a2b - 3bc + 6 = (5a2b + 4a2b) + (9bc - 3bc) + 8d + 6 = 9a2b + 6bc + 8d + 6 B. 8p4 - 3r2 1) 5a - 3b + c 2) 6p4 - 12r2 + 15 4a - 5b - c 14p4 - 15r2 + 15 9a - 8b 3) -12x + 15y + 16z 4) 3a + 7b - 4c +13x - 20y -3a - 5b + 3c x - 5y + 16z 2b - c + 3y 5) 5k + 2m + 10 6) 4x4y + 3x3 5x4y - 5x2 + 4y 2k + m - 4s + 24 9x4y + 3x3 - 5x2 + 7y 7k + 3m - 4s + 34

Ejercicio 8 0) -12p10 1) a5b5c4 2) 18x5y4z

3) -12m8n6p 4) -4a5b5 5) 48a6b4c

Ejercicio 9 0) (6x2)(1 + 2x - 12y3 - 3) = 6x2 + 12x3 - 72x2y3 - 18x2 = 12x3 - 12x2 - 72x2y3 1) (4ab)(21ab + 14abc - 2) = 84a2b2 + 56a2b2c - 8ab

260

IGER − Utatlán

6) -ab3c4d4 7) -40x6y

Ejercicio 12

2) (4x)(1 + 20x - 5y) = 4x + 80x2 - 20xy = 80x2 + 4x - 20xy

Puede resolver este ejercicio en sentido horizontal, el resultado es el mismo.

3) (2a)(10b - 12a) = 20ab - 24a2 = -24a2 + 20ab

0)

2 x + 3y + 4 x+1 2x + 3y + 4 2x2 + 4x + 3xy 2x 2 + 6 x + 3xy + 3y + 4

4) (b)(a - 36ab + 4bc) = ab - 36ab2 + 4b2c 5) (2m4)(4m2n3 -3mn - 12p) = 8m6n3 - 6m5n - 24m4p

1)

Ejercicio 10 0)

5x2 + 2xy - 4z 4x 20x3 + 8x2y - 16xz

1)

3w + 11x - 9z 5g 15gw + 55gx - 45gz

2)

3)

2)

-5a3 + 7a2b - 3ab2 7a2b 5 4 2 -35a b + 49a b - 21a3b3

3)

m3 n3 + m2 n2 - 4 mn + 1 3 3 2 2 m n +m n -4 m 4 n 4 + m3 n3 - 4mn m4 n4 + 2m3 n3 + m2 n2 - 4 mn - 4

4)

2a2 + 2ab + b2 a+b 2a2 b + 2ab2 + b3 2a3 + 2a2 b + ab2 2a3 + 4a 2 b + 3ab2 + b3

5)

- a + 3b + 2c c-d + ad - 3bd - 2cd - ac + 3bc + 2c 2 - ac + ad + 3bc - 3bd + 2c2 - 2cd

6)

3x2 + 4x - 2 x+4 12x2 + 16x - 8 3x3 + 4x2 - 2x 3x3 + 16x2 + 14x - 8

7)

4x2 - 3x + 7 3x + 2 8x2 - 6x + 14 12x3 - 9x2 + 21x 12x3 - x2 + 15x + 14

3c2 - 2cd + d 2c 6c3 - 4c2d + 2cd 2a2b + a - 4 3a3 5 4 6a b + 3a - 12a3

2h3 - 2k2 + 3hk 4hk 8h4k - 8hk3 + 12h2k2

Ejercicio 11 1) (2a + 2b)(3a + 3b) = 6(2a : 3a) + (2a : 3b) @ + 6(2b : 3a) + (2b : 3b) @ = 6a2 + 6ab + 6ab + 6b2 =

2 a + 4b + 8c a2 + b 2 + 2ab + 4b + 8bc 2a3 + 4a2 b + 8a2 c 2a3 + 4a2 b + 8a2 c + 2ab + 4b2 + 8bc

4)

5)

2a + b + 1 a+1 2a +b+1 2a2 + a + ab 2a2 + 3a + ab + b + 1

6a 2 + 12ab + 6b 2

2) (4x + 2y)(3x -3) = 6(4x : 3x) + (4x : - 3) @ + 6(2y : 3x) + (2y : - 3) @ = 2 12x - 12x + 6xy - 6y


261

8)

5) (4 + 9t)(4 - 9t) = 16 - 81t2 6) (5c + 4)(5c - 4) = 25c2 - 16 7) (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 - 9 8) (5 + 8w)(5 - 8w) = 25 - 64w2

2a2 - a + 6 4a2 - 3 2 -6a + 3a - 18 8a4 - 4a3 + 24a2 8a4 - 4a3 + 18a2 + 3a - 18

9)

Ejercicio 15 0) (a + 5)(a + 9) = a

-c2 + 2c + 1 5c3 + 1 2 -c + 2c + 1

2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

-5c5 + 10c4 + 5c3 -5c5 + 10c4 + 5c3 - c2 + 2c + 1 10)

a2 - ab + b2 a+b a2b - ab2 + b3 a3 - a2b + ab2 a3 + b3

11)

p2 + 4p + 5 6p2 - 2p 3 - 2p - 8p2 - 10p 4 6p + 24p3 + 30p2 6p4 + 22p3 + 22p2 - 10p

Ejercicio 16 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Ejercicio 13 cuadrado de la suma

desarrollo

resultado

0) (2a + 2b)2 = (2a)2 + 2(2a : 2b) + (2b)2 =

4a2 + 8ab + 4b2

1) (4x + 2y)2 = (4x)2 + 2(4x : 2y) + (2y)2 =

16x2 + 16xy + 4y2

2) (2a + c) =

4a2 + 4ac + c2

2

(2a) + 2(2a : c) + (c) = 2

2

3) (3m + 2)2 = (3m)2 + 2(3m : 2) + (2)2 =

9m2 + 12m + 4

4) (4m + 2n)2 = (4m)2 + 2(4m : 2n) + (2n)2 = 16m2 + 16mn + 4n2 5) (5h + 6k) = (5k) + 2(5h : 6k) + (6k) = 2

2

2

2

2

25k + 60hk + 36k

6) (2x + 10y)2 = (2x)2 + 2(2x : 10y) + (10y)2 = 4y2 + 40xy + 100y2 cuadrado de la resta

desarrollo

resultado

0) (2h - 3)2 =

(2h)2 - 2(2h : 3) + (3)2 =

4h2 - 12h + 9

1) (2a - 6)2 =

(2a)2 - 2(2a : 6) + (6)2 =

4a2 - 24a + 36

2) (5m - 3n)2 = (5m)2 - 2(5m : 3n) + (3n)2 = 25m2 - 30mn + 9n2 3) (4a - 9b)2 = (4a)2 - 2(4a : 9b) + (9b)2 =

16a2 - 72ab + 81b2

4) (3p - 4)2 =

9p2 - 24p + 16

(3p)2 - 2(3p : 4) + (4)2 =

5) (3k - 3x)2 = (3k)2 - 2(3k : 3x) + (3x)2 =

9k2 -18kx + 9x2

6) (5x - 8y)2 = (5x)2 - 2(5x : 8y) + (8y)2 =

25y2 - 80xy + 64y2

Ejercicio 14 0) (h + k)(h - k) = h2 - k2 1) (x + y)(x - y) = x2 - y2 2) (c + d)(c - d) = c2 - d2 3) (a + b)(a - b) = a2 - b2 4) (n + 1)(n - 1) = n2 - 1

262

IGER − Utatlán

+ 14a + 45 (x + 5)(x + 4) = x2 + 9x + 20 (p + 2)(p + 3) = p2 + 5p + 6 (a + 7)(a + 1) = a2 + 8a + 7 (m + 1)(m + 2) = m2 + 3m + 2 (r + 3)(r + 4) = r2 + 7r + 12 (q + 6)(q + 3) = q2 + 9q + 18 (k + 1)(k + 8) = k2 + 9k + 8 (4g + 3)(4g + 5) = 16g2 + 32g + 15 (6b + 2)(6b + 6) = 36b2 + 48b +12 (2d + 1)(2d + 7) = 4d2 + 16d + 7

(3h - 9)(3h - 2) = 9h2 - 33h + 18 (t - 1)(t - 2) = t2 - 3t + 2 (r - 8)(r - 2) = r2 - 11r + 16 (z - 5)(z - 4) = z2 - 9z + 20 (n - 2)(n - 1) = n2 - 3n + 2 (k - 2)(k - 4) = k2 - 6k + 8 (4c - 4)(4c - 5) = 16c2 - 36c + 20 (2a - 2)(2a - 3) = 4a2 - 10a + 6 (3g - 3)(3g - 5) = 9g2 - 24g + 15 (5h - 4)(5h - 2) = 25h2 - 30h + 8 (2p - 1)(2p - 2) = 4p2 - 6p + 2

Ejercicio 17 5 3 5 3 0) 10x 3y = 10 : x3 : y = 5x2y3 1 2x 2 x 4 6 w4 z6 1) 26w z = 26 : : = 13w3z5 2wz 2 w z 6 8 x6 y8 2) 16x 2y 4 = 16 : 2 : 4 = -8x4y4 y -2x y -2 x 3 4 2 m3 n4 p2 3) -32m n p = -32 : : : = -2m2n3p 16mn 16 m n p

Ejercicio 18 3 2 3 2 8z = 3z 2 + 2z + 4 0) 6z + 4z + 8z = 6z + 4z + 2z 2z 2z 2z 6 1) 3x + 6 = 3x + =x + 2 3 3 3 3 3 - 8x = 4x - 8x = 2x3 - 4x 2) 4x 2 2 2 3 4 2 5 3 4 2 5 y + 12x y z - 18xy y yz = 4x + 12x - 18xy = 3) 4x 2xy 2xy 2xy 2xy

2x2y3 + 6xy4z - 9

Ejercicio 19

8) (x4 - 9x2 + x + 3) ' (x + 3)

0) (x3 - 8) ' (x - 2)

1 0 -9 +1 +3 -3 -3 +9 0 -3 1 -3 0 +1 0

1 0 0 -8 +2 2 4 8 1 +2 +4 0

x2 + 2x + 4, R = 0

9) (-m3 - 6m2 + 2m - 3) ' (m - 1)

1) (2x2 + 12x + 16) ' (x + 4)

2 +12 +16 -4 -8 -16 2 +4 0

2x + 4, R = 0

-1 -6 +2 -3 +1 -1 -7 -5 -1 -7 -5 -8

-m2 - 7m - 5, R = -8

10) (h3 + 8) ' (h + 2)

2) (x2 + x - 20) ' (x + 5)

1 +1 -20 -5 -5 +20 1 -4 0

x - 4, R = 0

x3 - 3x2 + 1, R = 0

1 0 0 +8 -2 -2 +4 -8 1 -2 +4 0 h2 - 2h + 4, R = 0

11) (2u3 - 3u2 - 3u + 6) ' (u - 1)

3) (2m - 9m - 18) ' (m + 3) 2

2 -9 -18 -3 -6 +45 2 -15 27

2m - 15, R = 27

2u2 - u - 4, R = 2

Agilidad de cálculo mental

4) (2x3 + 6x - 4) ' (x + 4)

2 0 +6 -4 -4 -8 32 -152 2 -8 +38 -156

2x2 - 8x + 38, R = -156

A. 0) a2 1) v5 2) z3 3) y3 4) f 5 5) b4 6) d3 7) x7

5) (x3 + 27) ' (x + 3)

1 0 0 +27 -3 -3 +9 -27 1 -3 +9 0

x - 3x + 9, R = 0

B. 0) -4m4 1) -10f 2 2) -6v5 3) -10d2 4) -8n2 5) -10s4 6) -27p6 7) -12h4 8) -6x3 9) -16k2 10) -54z7

2

6) (2p2 - 7p - 15) ' (p - 5)

2 -7 -15 +5 +10 +15 0 2 +3

2p + 3, R = 0

7) (a2 + 2a - 3) ' (a + 3)

1 +2 -3 -3 -3 +3 1 -1 0

a - 1, R = 0

2 -3 -3 +6 +1 +2 -1 -4 2 -1 -4 2

8) e8 9) c8 10) w5 11) 2u5 12) 8r2 13) 21i2 14) 12j5 15) 6k2 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21)

16) 17) 18) 19) 20) 21)

9p2 5h4 6s7 10q2 24g4 24t5

-21u2 -6a7 -6c2 -8b2 -63t8 -18r10 -12x3 -16d2 -15g7 -12m2 -6e8


263

Semana 26 ¡A trabajar! B A

Ejercicio 4

manías

anisillos

granola

fresa y manías

fresa y anisillos

fresa y granola

vainilla

vainilla y manías

vainilla y anisillos

vainilla y granola

chocolate

chocolate y manías

chocolate y chocolate y anisillos granola

fresa

(b, ) (b, ) (b, )

b

C x D = { (a, ), (a,

), (a, ), (b, ), (b,

), (b, ) }

Ejercicio 2 1)

4 6 8 CD 2 1 (1, 2) (1, 4) (1, 6) (1, 8) 3

2)

(3, 2) (3, 4) (3, 6) (3, 8)

9 11 13 C E 7 1 (1, 7) (1, 9) (1, 11) (1, 13) 3

(3, 7) (3, 9) (3, 11) (3, 13)

3) Se deben obtener C x E = 2 x 4 = 8 pares ordenados.

Ejercicio 3 y 8 7 6

(e, 7) (a, 5)

5

(i, 5)

4 (e, 3)

3 2 (a, 1)

1 0

a

264

b c

d e

f

g h

IGER − Utatlán

i

j

x

3)

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

(a, ) (a, ) (a, )

2) 6

Ejercicio 1 a

1) A x B = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6) } B x A = { (2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3) }

1 2 3 4 5 6 7

0

1 2 3 4 5 6 7

AxB!BxA El conjunto A x B es distinto de B x A porque la representación de ambos conjuntos en el plano no es igual.

Semana 27 ¡A trabajar!

2) f(x) = x - 1 = y f(-2) = -2 - 1 = -3 f(-1) = -1 - 1 = -2 f(0) = 0 - 1 = -1 f(1) = 1 - 1 = 0 f(2) = 2 - 1 = 1

Hay 6 posibles combinaciones 1) (Tacaná, Tajumulco) 2) (Acatenango, Tajumulco) 3) (De Agua, Tajumulco) 4) (Acatenango, Tacaná) 5) (De Agua, Tacaná) 6) (De Agua, Acatenango) En cada par ordenado, el primer volcán es menor que el segundo.

Ejercicio 1 1) A 4

R múltiplo de b a es

5 6 7 8 2) • • • •

–2 –1 0 1 2

Y –3 –2 –1 0 1

1) Los datos indican que en una semana la planta creció 9 cm, en 2 semanas creció 18 cm, así sucesivamente. X 0 1 2 3 4

2 3 4 5

X

Desarrolle nuevas habilidades

2)

B

f(x) = x - 1

f(x)

Y

0 9 18 27 36

3) f(x) = 9x porque a cada valor del dominio le corresponde 9 veces su valor en el codominio.

Conjunto inicial: A = { 4, 5, 6, 7, 8 } Conjunto dominio: D = { 4, 5, 6, 8 } Conjunto final: B = { 2, 3, 4, 5 } Conjunto codominio: C = { 2, 3, 4, 5 }

Ejercicio 2 0) f(x) = 3x = y f(-2) = 3(-2) = -6 f(-1) = 3(-1) = -3 f(0) = 3(0) = 0 f(1) = 3(1) = 3 f(2) = 3(2) = 6

1) f(x) = x + 2 = y f(-2) = -2 + 2 = 0 f(-1) = -1 + 2 = 1 f(0) = 0 + 2 = 2 f(1) = 1 + 2 = 3 f(2) = 2 + 2 = 4

f(x) = 3x Y

X

–6 –3 0 3 6

–2 –1 0 1 2

f(x) = x + 2 X

Y

–2 –1 0 1 2

0 1 2 3 4


265

Semana 28 ¡A trabajar! 6 5

G

4 3 2 1

A -6 -5 -4 -3 -2 -1

B

0

f(-3) = 2(-3) + 1 = -5 f(3) = 2(3) + 1 = 7 La recta prolongada pasa por los puntos (-3, -5) y (3, 7) del plano cartesiano.

H

C

y

1 2 3 4 5 6 -1 -2 D -3 -4 -5 -6

F

Ejercicio 3

8 7 6 5

x y -3 -5 3 7

E

4 3 2 1

Ejercicio 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1

f(x) = 2x = y f(-2) = 2(-2)= -4 f(-1) = 2(-1)= -2 f(0) = 2(0)= 0 f(1) = 2(1) = 2 f(2) = 2(2) = 4

4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1 2 3 4 5 6 -1 -2

y

-3 -4 -5 -6

8 7 6 5

x y -3 8 3 -4

4 3 2 1

La distancia recorrida es cero (x = 0) Tiene que pagar Q5.00 (y = 5) La recta no pasa por el origen. Es una función afín. Q./

-6 -5 -4 -3 -2 -1

y 35

y 5

30 25 20

15 10 5 -3 -2 -1

0 -5

1

-10 -15

2

3

4

5

6

x

7 km

IGER − Utatlán

0

1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

x

B. 1) f(x) = x + 2 = y f(-2) = -2 + 2 = 0 f(-1) = -1 + 2 = 1 f(0) = 0 + 2 = 2 f(1) = 1 + 2 = 3 f(2) = 2 + 2 = 4

266

x

A. f(-3) = -2(-3) + 2 = 8 f(3) = -2(3) + 2 = -4 La recta prolongada pasa por los puntos (-3, 8) y (3, -4) del plano cartesiano.

Ejercicio 2

x 0

1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Ejercicio 4 6 5

x y -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4

0

x

y

-2

0

-1

1

0

2

1

3

2

4

6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6

Semana 29

2) f(x) = 2x - 1 = y f(-2) = 2(-2) - 1 = -5 f(-1) = 2(-1) - 1 = -3 f(0) = 2(0) - 1 = -1 f(1) = 2(1) - 1 = 1 f(2) = 2(2) - 1 = 3

x

y

-2

-5

-1

-3

0

-1

1

1

2

3

¡A trabajar! 6 5 4 3 2 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1

0

5

-1

3

0

1

1

-1

2

-3

-6 -5 -4 -3 -2 -1

-1

5

0

2

1

-1

2

-4

Guillermo I

Gottfried Achenwall

0

6 5

b. Puede ser: peso, color de las plumas, especie...

4 3 2 1

Ejercicio 2 1) 2)

1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6

lugar turístico Tikal Atitlán Cuchumatanes Puerto de San José total (N)

8 6 4 2 0 -2 -4

cuantitativa cualitativa

3) 4)

continua discreta

Ejercicio 3

10

-6 -5 -4 -3 -2 -1

babilonios

2) a. Población: 900 pollos Muestra: 60 pollos Variable: cantidad de concentrado Dato: 0.3 libras

y 8

egipcios

1) Población: los hombres de Guatemala Muestra: 3,000 hombres Variable: la estatura Dato: 1.68 metros

4) f(x) = -3x + 2 = y f(-2) = -3(-2) + 2 = 8 f(-1) = -3(-1) + 2 = 5 f(0) = -3(0) + 2 = 2 f(1) = -3(1) + 2 = -1 f(2) = -3(2) + 2 = -4

-2

siglo XIX

Ejercicio 1

x

1086

-3 -4 -5 -6

y

-2

3000 a.C.

1 2 3 4 5 6 -1 -2

3) f(x) = -2x + 1 = y f(-2) = -2(-2) + 1 = 5 f(-1) = -2(-1) + 1 = 3 f(0) = -2(0) + 1 = 1 f(1) = -2(1) + 1 = -1 f(2) = -2(2) + 1 = -3 x

3050 a.C.

frecuencia 40 20 25 15 100

Ejercicio 4 12 3 4 5 6

1)

-6 -8 -10

punteo 12 16 18 20 22 24 total (N)

frecuencia 2 1 3 5 2 2 15

2) a. 20 puntos b. 16 puntos c. 13 pasaron el examen y 2 reprobaron.


267

Semana 30 Ejercicio 1

Ejercicio 4

1) Asia porcentajes 2) Oceanía 3) Reducir la cantidad de agua que utilizamos, reutilizar, América Latina: no contaminar el ambiente. 300 x 100 = 30 000 = 25.9% 1154 1154

Ejercicio 2

Asia, Pacífico y Oriente:

Porcentaje de incremento en las donaciones de sangre

615 x 100 = 61 500 = 53.3% 1154 1154

70

África Subsahariana:

60 50

239 x 100 = 23 900 = 20.7% 1154 1154

40 30 20 10 0



grados


25.9 x 360 = 9360 = 93.2º 100 100 53.3 x 360 = 19 080 = 191.8º 100 100

Ejercicio 3 A. nutrientes

%

proteínas

5

grasas

2

azúcar

4

93º

Porcentaje de nutrientes que contiene una taza de yogur

20.7 x 360 = 7560 = 74.5º 100 100

6 4 3

2 1 0

proteínas

grasas

azúcar

75º

frecuencia (en millones)

región

5

192º

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

300

25.9%

93º

Asia, Pacífico y Oriente

615

53.3%

192º

África Subsahariana

239

20.7%

75º

1154

99.9%

360º

total

268

Desnutrición en diferentes regiones del mundo África Subsahariana América Latina y El Caribe 20.7% 25.9% Asia, Pacífico, Oriente 53.3%

1987

1995

IGER − Utatlán

1998

2002

grados

América Latina y El Caribe

B. Porcentaje de niños y niñas con desnutrición en el área Noroccidente de Guatemala

%

Semana 31

Desarrolle nuevas habilidades 36

0) 6 2

¡A trabajar!

6 3

2

0) Las drogas y el alcoholismo porque tienen el menor porcentaje. 1) 4.7 o 4.7% 2) La seguridad. 3) El costo de vida y la corrupción.

3

36 = 2 x 2 x 3 x 3 16

1) 4 2

4 2

2

4 2

16 = 2 x 2 x 2 x 2 12

3)

Ejercicio 1

28

2)

2

7 2

28 = 2 x 2 x 7

42

4)

1) N = 6 ! X= x N 13 + 16 + 26 + 26 + 18 + 15 6 114 = 19 X= 6 X=

R/ En promedio, llovió 19 días cada mes. 3

4 2

6 2

12 = 3 x 2 x 2

2

7 3

42 = 2 x 3 x 7

2) N = 5 !x X= N

42 100 + 15 000 + 5000 + 19 200 + 100 000 5 181 300 = 36 260 X= 5 X=

R/ El promedio de material reciclado durante un año fue de 36 260 toneladas.

Ejercicio 2 Posición = N + 1 = 7 + 1 = 8 = 4 2 2 2 Datos ordenados = 17, 18, 19, 20, 21, 24, 27 Me = 20 R/ La mediana de las temperaturas es 20 grados.

Ejercicio 3 1) Posición = N + 1 = 6 + 1 = 7 = 3.5 2 2 2 Datos ordenados = 38, 44, 49, 53, 56, 58

X=

49 + 53 = 102 = 51 2 2

Me = 51 R/ La mediana es de 51 calorías y le corresponde al durazno y la manzana.


269

2) Posición = N + 1 = 8 + 1 = 9 = 4.5 2 2 2

Datos ordenados = 97, 98, 99, 100, 100, 101, 102, 103

X=

100 + 100 = 200 = 100 2 2

Me = 100 R/ La mediana en el peso de los recipientes de crema es 100 gramos. 3) Posición = N + 1 = 12 + 1 = 13 = 6.5 2 2 2 Datos ordenados = 15, 16, 17, 18, 19, 19, 20, 21, 22, 22, 23, 24

X=

19 + 20 = 39 = 19.5 2 2

Semana 32 ¡A trabajar! sistema decimal civilización símbolo

3

romana

10

egipcia

50

romana

6

III

L

china

Ejercicio 1

A. Me = 19.5 = 1 5 R/ La calificación que se ubica en la posición de la 0) cero 1) uno 2) cinco mediana es 19.5. B. 0) 6 = 6 6) 8 = 8 Ejercicio 4 1) 15 = % 7) 17 = / 1) La red social que más utilizan es Facebook. 2) 5 = 5 8) 19 = ) Mo = Facebook 3) 13 = # 9) 11 = ! 2) Mo = tenis y casual 4) 10 = 0 10) 4 = 4 El zapato tenis y casual tienen las frecuencias más 5) 16 = & 11) 9 = 9 altas, la moda corresponde a esos productos. C. 0) 9 = 9 6) % = 15 1) = = 0 7) 2 = 2 2) 3 = 3 8) " = 12 3) 5 = 5 9) ( = 18 4) $ = 14 10) 6 = 6 5) 1 = 1 11) ) = 19 D. 1) Porque se reúnen las cantidades de veinte en veinte. 2) Porque reunimos las cantidades en grupos de diez en diez.

Ejercicio 2 A. 0) 2 400 900 – 800 100

270

IGER − Utatlán

5 20 100 – 100 0

2 5 =

1)

16 20 320 – 20 120 – 120 0

=

Ejercicio 1

2) 1 400 645 – 400 245

3)

Semana 33

&

2 400 936 – 800 136

12 20 245 – 20 45 – 40 5 6 20 136 – 120 16

1)

1 " 5

2)

( 5 6

2)

2 6 8 8 7 9 &

6

1

&

4) 20 1

400 x 18 = 7200 1) 20 x 3 = 60 3 1 x 5 = 5 20 x 5 = 100 5 + 65 1 x 6 = 6 + 7306

& 2 ( ( 4 9 # 8 6 $ $ " 4 &

5) 400

3 5 8 8 20 7 1 8 9 5 1 % 0

6) 400 1x0= 0 + 140

4

20 x 4 = 80 1 x 14 = 14 + 3694

400 x 10 = 4000 5) 400 x 17 = 6800 0 / 20 x 0 = 0 20 x 9 = 180 1x8= 8 1x0= 0 = 9 + 4008 + 6980 8

20

3) 20

$ 4)

7 ! (

2

7 20 x 7 = 140 3) 9 400 x 9 = 3600 =

1

1

Ejercicio 3 0)

20

=

6 2 8 9 1 20 % 6 0 1 8 2

Ejercicio 2 1) 20

2 1 1

1

) ! 8

2) 20 1

2

1 1


271

Semana 34 Ejercicio 1

Ejercicio 3

A. 1)

A. 1)

a

(a, ) (a, ) (a, )

b

(b, ) (b, ) (b, )

primo impar

c

(c, ) (c, ) (c, )

a ( , a) b ( , b) c ( , c)

a ( , a) b ( , b) c ( , c)

a ( , a) b ( , b) c ( , c)

B

2

4

6

a

(a, 2)

(a, 4)

(a, 6)

b

(b, 2) (b, 4) (b, 6)

c

(c, 2)

A

(c, 4)

6 11 3/4

racional

24

dominio

codominio

2) • Conjunto dominio D = {primo, par, impar, racional} • Conjunto codominio C = { 6, 11, 3/4, 24 } B. 1)

B x A = { ( , a), ( , b), ( , c), ( , a), ( , b), ( , c), ( , a), ( , b), ( , c) }

B.

B

par

A x B = { (a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (b, ), (c, ), (c, ), (c, ) }

2)

R

A

R A

B

–2 –1 0 1 2

4 3 2 1 0

dominio

codominio

2) • Conjunto dominio D = { –2, –1, 0, 1, 2, } • Conjunto codominio C = { 0, 1, 4 } C. 1) f(x) = 3x + 2 f(-1) = 3(-1) + 2 = -1 f(0) = 3(0) + 2 = 2 f(1) = 3(1) + 2 = 5 f(2) = 3(2) + 2 = 8 f(3) = 3(3) + 2 = 11

(c, 6)

Ejercicio 2 1) A x B = { (2, 3), (2, 5), (2, 7), (4, 3), (4, 5), (4, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7) } B x A = { (3, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (7, 2), (7, 4), (7, 6) } 2)

AxB

3)

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

272

1 2 3 4 5 6 7 8

IGER − Utatlán

0

BxA

1 2 3 4 5 6 7 8

2) f(x) = -2x + 4 f(-1) = -2(-1) + 4 = 6 f(0) = -2(0) + 4 = 4 f(1) = -2(1) + 4 = 2 f(2) = -2(2) + 4 = 0 f(3) = -2(3) + 4 = -2

f(x) = 3x + 2 X –1 0 1 2 3

Y –1 2 5 8 11

f(x) = -2x + 4 X Y –1 0 1 2 3

6 4 2 0 –2

3) f(x) = 4x - 3 f(-1) = 4(-1) -3 = -7 f(0) = 4(0) -3 = -3 f(1) = 4(1) -3 = 1 f(2) = 4(2) -3 = 5 f(3) = 4(3) -3 = 9

f(x) = 4x - 3 X

Y –7 –3 1 5 9

–1 0 1 2 3

4) f(x) = 5x + 1 f(-1) = 5(-1) + 1 = -4 f(0) = 5(0) + 1 = 1 f(1) = 5(1) + 1 = 6 f(2) = 5(2) + 1 = 11 f(3) = 5(3) + 1 = 16

2) f(x) = -3x f(-2) = -3(-2) = 6 f(-1) = -3(-1) = 3 f(0) = -3(0) = 0 f(1) = -3(1) = -3 f(2) = -3(2) = -6

f(x) = 5x + 1 X

Y

–4 1 6 11 16

–1 0 1 2 3

Ejercicio 4 0) f(x) = 5x + 4 f(-4) = 5(-4) + 4 = -16 f(-3) = 5(-3) + 4 = -11 f(-2) = 5(-2) + 4 = -6 f(-1) = 5(-1) + 4 = -1 f(0) = 5(0) + 4 = 4 f(1) = 5(1) + 4 = 9 f(2) = 5(2) + 4 = 14

x y -2 -8 -1 -4 0 0 1 4 2 8

-1

3

0

0

6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

2 -6

0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

x

-6

3) f(x) = 3x - 3 f(-5) = 3(-5) -3 = -18 f(-2) = 3(-2) -3 = -9 f(-0) = 3(0) -3 = -3 f(3) = 3(3) -3 = 6 f(5) = 3(5) -3 = 12 18 15

y

12 9 6 3

-5 -18 -2

-9

0

-3

3

6

5

12

-5 -4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4 5 -3 -6 -9 -12 -15

x

-18

Ejercicio 5

0 -1 1 2 3 4 5 6 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16

x

A. 0) Población: el mes de abril Muestra: 10 días Variable: temperatura Dato: 7° C 1) Población: los bebés recién nacidos Muestra: 600 bebés Variable: el peso Dato: 7 libras 2) Población: las familias guatemaltecas Muestra: 1500 familias Variable: número de hijos Dato: 3 hijos

y 10 8 6 4 2 -5 -4 -3 -2 -1

6

y

y

8 6 4 2

1) f(x) = 4x f(-2) = 4(-2) = -8 f(-1) = 4(-1) =-4 f(0) = 4(0) = 0 f(1) = 4(1) = 4 f(2) = 4(2) = 8

-2

x

16 14 12 10

-6 -5 -4 -3 -2

y

1 -3

y

x y -4 -16 -3 -11 -2 -6 -1 -1 0 4 1 9 2 14

x

0

1 2 3 4 5 -2 -4

3) Población: la cosecha de tomates Muestra: 75 tomates Variable: el peso Dato: 0.2 libras

x

-6 -8 -10


273

4) Población: los estudiantes del grupo Utatlán en el círculo de estudio Nuevo Horizonte Muestra: 20 estudiantes Variable: la edad Dato: 19 años B. 1) peso en lb 65 66 68 70 72 73 total (N)

frecuencia 2 4 4 3 2 1 16

2)

10 niños están por debajo del peso ideal. 3 niños tienen el peso ideal. 3 niños están por encima del peso ideal.

2) estatura en cm 83 84 85 86 87 88 89 total (N)

frecuencia 2 4 5 4 3 3 1 22

3)

1992

1997

2002

2007

Territorio guatemalteco bajo protección para conservar la diversidad biológica 4 3 2

1990

1995

10 x 360 = 3600 = 36º 100 100 destino agricultura industria doméstico total (N)

porcentaje grados 65 234º 25 90º 10 36º 100 360º

Destino del agua en el mundo doméstico 10% industria 25% agricultura 65%

IGER − Utatlán

1987

25 x 360 = 9000 = 90º 100 100

10

274

0

15

desnutrición paro cardiorrespiratorio

10

65 x 360 = 23 400 = 234º 100 100

20

neumonía bronconeumonía síndrome diarreico

20

Causas de mortalidad en niños menores de 1 año, 2004

0

30

4) grados

Ejercicio 6

5

2.6 3.2 3.4

40

0

La redacción varía en cada estudiante. Le damos un ejemplo: A cinco niños les faltan 2 cms para alcanzar la estatura ideal.

(millones de hectáreas)

Índice de desnutrición global en niños menores de 5 años

1

porcentaje 15 11 9 3 0.5

superficie

año

1990 2002 2005

La estatura que presenta la mayor frecuencia es 85 cm.

causa de mortalidad neumonía bronconeumonía síndrome diarreico desnutrición paro cardiorrespiratorio

índice de desnutrición 34 28 25 23 20

año 1987 1992 1997 2002 2007

1)

Le presentamos algunos ejemplos. • Si el niño presenta síntomas de infección respiratoria llevarlo, lo antes posible, al centro o puesto de salud más cercano. • Hábitos para prevenir el síndrome diarreico: lavarse bien las manos con agua y jabón antes de preparar los alimentos; tapar la basura; lavar bien los utensilios de comida, etc.

2000

2005

2010

Ejercicio 7

Ejercicio 9

1) a. N = 6

A. 0) 89 = 80 + 9 1) 45 = 40 + 5 4 80 = 4 veintenas 2

!x N 27 + 29 + 30 + 33 + 31 + 30 X= 6 180 = 30º X= 6

X=

9

2) 29 = 20 + 9 3) 86 = 80 + 6

1 9

R/ La media de temperatura máxima, en los primeros seis meses de 2007, fue 30°C. 6 + 1 = 7 = 3.5 b. Posición = N + 1 = 2 2 2

30 + 30 = 60 = 30 2 2 Me = 30 R/ La mediana de temperatura máxima fue 30°C. X=

2) a. N = 7 ! X= x N 9 + 10 + 8 + 9 + 10 + 10 + 8 7 64 X= = 9.14 7 R/ La distancia promedio que corrió cada día fue 9.14 km.

X=

Datos ordenados = 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10.

Me = 9

decimal 9

3

7

6

0

8

1

11 19 14

maya 9 3 7 6 = 8 1 ! ) $

=

=

2 400 875 – 800 75 1)

6 20 125 – 120 5

2)

10 20 200 – 20 00

R/ La mediana de distancias recorridas fue de 9 km.

Ejercicio 8

5

0)

3)

c. R/ Mo = 10 porque es la distancia que presenta mayor frecuencia.

3

B.

b. Posición = N + 1 = 7 + 1 = 8 = 4 2 2 2

4 6

4) 60 = 60+ 0 5) 100 = 100 + 0

Datos ordenados = 27, 29, 30, 30, 31, 33

5

9 = 9 unidades

4)

3 20 75 – 60 15

2 3 %

6 5

0 =

3 400 1500 – 1200 300

15 20 300 – 20 100 – 100 0

9 400 3856 – 3600 256

12 20 256 – 20 56 – 40 16

3 % =

9 " &


275

C. 0)

7 ) 4

400 x 7 = 2800 20 x 19 = 380 1x4= 4 + 3184

Ejercicio 10 0)

1) 1)

1 %

2)

20 x 1 = 20 1 x 15 = 15 + 35

1x6= 6 + 186

4)

& 20 x 16 = 320 1x3= 3 3 + 323

8 # 0

5)

0 ! (

400 x 8 = 3200 20 x 13 = 260 1 x 10 = 10 + 3470 400 x 10 = 4000 20 x 11 = 220 1 x 18 = 18 + 4238

1 3) 20

4) 20 1

8000 x 5 = 40 000

5 400 x 2 = 800 2 20 x 19 = 380 )

1 x 0 = 0 + 41 180

= 7)

8000 x 2 = 16 000

9

276

9 4

7 9 & 8 ! ) ) " 5 / / 6 9 %

Ejercicio 11 0)

20 1

1 2) 20 1

1 4) 20 1 5) 400

) " 7 $ 8 6

8 2 6 0 5 5 3 " 5 = 5 $ 1 # 8 2 " 7 5 & 5 !

9 6 3 4 " 20 1 " = "

IGER − Utatlán

#

4 8 " 20 0 = 0 ! 0 1 & $

3) 20

2 400 x 7 = 2800 7 20 x 5 = 100 1 x 9 = 9 5 + 18 909

5) 400

1) 20 6)

6 ! /

2) 20

1 3)

A. 1) 40 2) 28 3) 27 4) 42 5) 48

! 8 (

20 1

9 20 x 9 = 180 6

20 1

Agilidad de cálculo mental 6) 36 7) 45 8) 24 9) 49 10) 54

B. 1) 6 x 6 = 36 2) 5 x 4 = 20 3) 2 x 7 = 14 4) 9 x 3 = 27 5) 7 x 5 = 35 6) 8 x 7 = 56 7) 6 x 5 = 30 8) 4 x 8 = 32

11) 56 12) 20 13) 32 14) 81 15) 42

9) 9 x 2 = 18 10) 3 x 4 = 12 11) 5 x 5 = 25 12) 3 x 7 = 21 13) 6 x 3 = 18 14) 3 x 8 = 24 15) 5 x 6 = 30

C. 1) 9 2) 1 3) 25 4) 49 5) 1

6) 16 7) 36 8) 1 9) 8 10) 4

D. 1) 3 2) 2 3) 5 4) 7

5) 6 6) 4 7) 9 8) 8

11) 12) 13) 14) 15)

8 27 100 144 400

9) 10 10) 12 11) 20 12) 30

Bibliografía Almaguer, G. y Bazaldúa, J. Matemáticas I. Limusa, México, 1997. ARAGÓN, M. y CONTRERAS, M. Alfa por competencias, manual del educador. Norma, Guatemala, 2008. Baldor, A. Álgebra. Grupo Patria Cultural, México, 2008. Bello, I. Álgebra. Thomson, México, 2005. Cabrera, E. El calendario maya, su origen y filosofía. Liga Maya, Costa Rica, 1995. De la Vega, S. Aritmética y Álgebra. McGraw – Hill, México, 2000. De Paz, M. Calendario maya, el camino infinito del tiempo. Gran jaguar 1, Guatemala, 1992. FORESMAN, S. y WESLEY, A. Matemáticas, actividades de enriquecimiento, grado 5. SFAW, Estados Unidos de América. Goodman, A. y Hirsch, L. Álgebra y geometría con trigonometría analítica. Prentice – Hall, México, 2002. IGER. Cimientos 2, Matemática. IGER, Guatemala, 2005. Tomo 2. IGER. Matemática 7, Quiriguá. IGER, Guatemala, 2007. Tomos 1 y 2 IGER. Matemática 7, Quiriguá. IGER, Guatemala, 2010. Tomos 1 y 2. IGER. Matemática 8, Utatlán. IGER, Guatemala, 2007. Tomos 1 y 2. Klee, O. Estadística. Kamar, Guatemala, 2008. Moreno, J. Álgebra. McGraw – Hill, México, 2002. Sullivan, M. Álgebra y Trigonometría. Pearson, México, 2006. VARIOS AUTORES. Alfa con estándares 7. Norma, Bogotá, 2006. VARIOS AUTORES. Alfa con estándares 8. Norma, Bogotá, 2006. VARIOS AUTORES. Alfa con estándares 9. Norma, Bogotá, 2006 VARIOS AUTORES. Matemática 7. Santillana, Colombia, 2007. VARIOS AUTORES. Matemática 8. Santillana, Colombia, 2007. VARIOS AUTORES. Matemática 9. Santillana, Colombia, 2007.

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Bibliografía − Matemática

277

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