Un Circuito de Segundo Orden

Circuitos de ecuaciones de segundo orden

Circuitos de segundo orden RLC  Adrian Flores Mendoza Mendoza Prof. Julio Cesar Rodríguez Quiñonez

Materia: sistemas eléctricos

4to Semestre

Universidad del Valle de México Campus Mexicali

Jueves 24 de Mayo de 2012 Mexicali, Baja California

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Sistema eléctricos

Circuitos de ecuaciones de segundo orden

Un circuito de segundo orden está caracterizado por una ecuación diferencial de 2º orden, y el equivalente de por lo menos 2 elementos almacenadores de energía. El análisis de circuitos de segundo ordene s s i m i l a r a l o s d e p r i m e r o r d e n . C o n s i d e r a r e m o s q u e l o s circuitosestán excitados inicialmente, y que los elementos alm a l m a c e n a d o r e s adquirirán condiciones iniciales. La respuesta natural depende de los parametros R, L y C del circuito. Puede ser: Sobreamortiguada. Críticamente amortiguada. Subamortiguada.

Para comenzar nuestro análisis vamos a suponer que la energía almacenada inicialmente en la bobina y el capacitor. La ecuación para el circuito RLC paralelo se obtiene de aplicar LKC al nodo de arriba: iR+iL+iC = is(t), es decir: [V(t)/R] + (1/L) ∫ v(x) d x + iL (t0) + C (dv/dt) = is (t). de manera similar, la ecuacion para el circuito RLC serie se puede obtener aplicando LKV a la malla existente:

vR+vc+vL = vs(t), es decir: Ri+ (1/C) ∫i(x)dx+vc(t0)+L [di(t0)/dt] = vs(t) Note que la ecuación para el voltaje nodal del circuito RLC paralelo es de la forma que la de la corriente de malla del circuito RLC serie. Por tanto la solución de esos circuitos depende de que se resuelva una ecuación. Si ambas ecuaciones anteriores se derivan con respecto al tiempo, obtenemos: C (d^2v/dt^2) + (1/R)(dv/dt) + (v/L) = (dis/dt) Y L [d^2i(t)/dt^2] + R [di(t)/dt] + (i(t)/c) = [dvs(t)/dt].

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Circuitos de ecuaciones de segundo orden

Como este circuito nos lleva a lo que es una ecuación de Segundo orden con coeficientes como constantes, se concentra este tipo de análisis en este tipo de ecuación. Entonces de manera general se tiene una ecuación de la forma: [D^2x(t)/dt^2]+a1[dx(t)/dt]+a2x(t)=f(t) Para f(t) diferente de 0 vamos a tener dos respuestas: las respuestas natural y la forzada. A lo que la solución completa de la ecuación original es: x(t)=xf(t)+xn(t). Si por el momento nos limitamos a una función de forzamiento constante, entonces la respuesta forzada se puede calcular sustituyendo xf(t)=K en la ecuación diferencial, y obtenemos el valor de la respuesta forzada: (D^2K/dt^2)+a1(dK/dt)+a2K = A, se obtiene K=A/a2=xf(t), por tanto la solución total será x(t)=A/a2+xn(t) Y para encontrar la respuesta natural, se hace la ecuación diferencial de segundo orden igual a cero [D^2x(t)/dt^2]+a1[dx(t)/dt]+a2x(t)=0, donde a1 y a2 son constants. Por conveniencia y simplicidad rescribimos la ecuación asi: [D^2x(t)/dt^2]+2 wn(dxt/dt)+w^2x(t)=0. Donde hemos hecho las siguientes sustituciones par alas constants a1=2 w y a2=w^2. La solución de la ecuación homogénea debe ser una función cuyas derivadas de primero y segundo orden tienen la misma forma, de modo que el lado izquierdo de la ecuación homogénea se hara idénticamente cero para todo t. suponemos una solución exponencial para la respuesta natural. Xn(t)=Ke^(st) y sustituimos esta expresión en la ecuación homogénea, para obtener: S^2 Ke^(st)+ 2 wns Ke^(st)+wn^2ke^(st)=0. Dividiendo ambos lados de la ecuación entre ke^(st) se obtiene: S^2+ 2 wns+wn^2=0 Esta ecuación se llama ecuación característica. Si esta ecuación se satisface, nuestra solución supuesta xn(t)=ke^(st) es correcta. Empleando la formula cuadrática, encontraremos que la ecuación característica se satisface si: S=[-22 wn+-√(4 ^2w^2-4w^2)]/2 3

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Por lo que nos quedan dos valores de s: s1 y s2 S1=- wn+wn√( ^2-1) S2==- wn-wn√( ^2-1) Esto significa que xc1(t)=k1e^(s1t) es una solucion de la ecuacion homogenea y que xc2(t)=k2e^(s2t) tambien es una solucion a la ecuacion homogenea; es decir: [(d^2/dt)(k1e^s1t) + 2 wn(d/dt)(k1e^s1t)+w^2k1e^s1t=0 Y [(d^2/dt)(k2e^s2t) + 2 wn(d/dt)(k2e^s2t)+w^2k2e^s2t=0. La suma de estas dos ecuaciones produce igualdad. Y también resulta ser una solución, por lo tanto la solución complementaria de la ecuación homogénea es de la forma: xn(t) = k1e^(s1t) + k2e^(s2t) Donde k1 y k2 son constantes que pueden ser evaluadas via las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt.

CONCLUSION

Los circuitos RLC o de ecuaciones de segundo grado son generalmente utilizados para realizar filtros de frecuencias, o de transformadores de impedancia.

Estos

circuitos

pueden

múltiples inductancias y capacitores.

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entonces

comportar