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ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES MEDIDAS DE DISPERSIÓN Rango Desviación media Varianza Desviación estándar Coeficiente de variación •
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LOGRO
Al finalizar la sesión el alumno reconoce las propiedades y la aplicación de las medidas de dispersión para datos agrupados y no agrupados.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Son cantidades que miden el grado en que los datos numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio.
Medidas de dispersión
La importancia que tienen es porque proporcionan más información que permite juzgar la confiabilidad de las medidas de tendencia central. Si los datos están muy dispersos, las medidas de tendencia central son menos representativas de los datos que cuando están más agrupadas alrededor de la media. Varianza Rango o recorrido de la variable
Desviación media
PRINCIPALES MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Desviación estándar
Coeficiente de variación
Medidas de dispersión
Desviación Media
Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de los valores observados respecto a la media aritmética de éstas.
Para datos no agrupados
Para datos agrupados
=
Medidas de dispersión
EJEMPLO: Al examinar los registros de facturación mensual de una empresa que vende al crédito, el auditor toma una muestra de 11 de las facturas no pagadas. Las sumas que se adeudan a la empresa son: 4 18 11 7 7 10 21 5 33 9 12 En este caso los datos están sin tabular, primero debemos calcular la media DM = DM = 6.04
Medidas de dispersión
Varianza
Se define como la media aritmética del cuadrado de las desviaciones de las observaciones con respecto a su media.
Para datos no agrupados
Poblacional:
:
Para datos agrupados
−
Poblacional:
= 1
−
:
= 1
Medidas de dispersión
EJEMPLO: Al examinar los registros de facturación mensual de una empresa que vende al crédito, el auditor toma una muestra de 11 de las facturas no pagadas. Las sumas que se adeudan a la empresa son: 4 18 11 7 7 10 21 5 33 9 12
Nota: el valor de la varianza no es interpretable, porque su valor están dadas en
Medidas de dispersión
EJEMPLO: A las familias de una comunidad alto andina se le preguntó por el número de hijos, obteniéndose los siguientes resultados (considere datos poblacionales) 2 0 2 4 4 6 6 4 6 7 4 4 7 4 2 0 4 6 7 7
Solo nos interesa una parte de la tabla. La media es 4,3
Medidas de dispersión
Desviación estándar Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Desviación Estándar Poblacional
Desviación Estándar Muestral
s
Para el ejemplo anterior , la desviación estándar poblacional es:
Coeficiente de Variación Las medidas de dispersión que vimos anteriormente, son “absolutas” y son útiles para describir la dispersión de un solo conjunto de datos, pero si se quiere comparar más de dos conjuntos de datos tendremos que usar una medida de dispersión relativa, como el coeficiente de variación; la cual está definida como el cociente entre la desviación estándar y la media.
∗ 100% (poblacional)
∗ 100% ()
Medidas de dispersión
Ejemplo: Se tomaron dos exámenes a estudiantes del primer ciclo en los cursos de matemática y economía, las notas están sobre 100 puntos. En el curso de matemática la media fue de 72 puntos y una desviación estándar de 9 puntos; en el curso de economía se obtuvo una media de 80 puntos y desviación estándar 6 ¿En cuál de los cursos hay mayor dispersión? (considere datos poblacionales) En matemática 72
En economía
= 9 ó 12,5% σ
80
=6 ó 7,5% σ
Como se puede observar, la mayor dispersión se dio en el curso de matemática. Nota Por notación podemos usar para la varianza de X:
()
PROPIEDADES PROPIEDAD 1
Si todos los valores observados (donde b es una constante) entonces
son iguales a b
PROPIEDAD 2
Si a cada valor de las observaciones se le suma (o resta) una constante, la varianza del nuevo conjunto transformado e será la misma que la varianza de las observaciones iniciales, es decir: PROPIEDAD 3
Si a cada valor de las observaciones se le multiplica por una constante diferente de cero, la varianza del nuevo conjunto transformado es la varianza del conjunto original multiplicado por la constante elevado al cuadrado.
CONCLUSIONES
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
UNIVERSIDAD TECNOLICA DEL PERU “ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES ”
