Nama : Zizwatin Athiyah Npm : 10310255 Kelas : 4F Kelompok : V TRANSFORMASI LINEAR A. Pengantar Transformasi Linear n m Transformasi linear dari R ke R pertama-tama didefinisikan sebagai sebuah x1 , x2, . . . , xn) = (w1 , w2 , . . . , w m) fungsi T ( x Dimana persamaan-persamaan yang menghubungkan w1 , w2 , . . . , wm dengan n m x1 , x 2 , . . . , xn adalah linear. Telah ditunjukkan bahwa sebuah transformasi T : R →R adalah linear jika dan hanya jika kedua hubungan T (u + v) T (cu) = cT (u) v) = T (u) + T (v) dan n Berlaku untuk semua vektor u dan v pada R dan setiap skalar c. Sifat-sifat ini digunakan untuk awal pendefinisian transformasi linear umum. Definisi : Jika T : V → W adalah sebuah fungsi yang memetakan sebuah ruang vektor V ke sebuah ruang vektor W , maka T disebut sebagai transformasi linear (linear transformation) dari V ke W jika semua vektor u dan v pada V dan semua skalar c a. T (u + v) b. T (cu) = cT (u) v) = T (u) + T (v) Dalam kasus yang spesifik dimana V = W , transformasi linear T : V → V disebut sebagai operator sebagai operator linear (linear operator) pada V . Contoh : 1. Transformasi Matriks n m Transformasi linear dari R ke R juga merupakan transformasi linear yang berada dalam ruang lingkup definisi yang lebih umum. Maka , transformasi linear dari Rn ke Rm dapat disebut transformasi matriks (matrix transformation), karena transformasi semacam ini dapat dilakukan melalui perkalian matriks. 2. Transformasi Nol Misalkan V dan W adalah dua buah vektor. Pemetaan T :V→W sehingga V→W sehingga T (v) = 0 untuk setiap v pada V adalah sebuah transformasi linear yang disebut transformasi nol (zero transformation). Untuk membuktikan bahwa T adalah linear, perhatikan bahwa : T (u+v) u+v) = 0,
T (u) = 0,
T (v) = 0
dan
T (k u) = 0
Maka, T (u+v) u+v) = T (u) + T (v) dan
T (k u) u) = kT (u)
3. Operator Identitas Misalkan V adalah ruang vektor sebarang. Pemetaan T :V→V yang didefinisikan oleh T (v) = v dinamakan transformasi dinamakan transformasi identitas (identity operator) pada V . 4. Operator Dilasi dan Kontraksi
Misalkan V adalah ruang vektor sebarang dan k adalah skalar tetap sebarang. Telah dibuktikan bahwa fungsi T : V→V yang didefinisikan oleh T (v) = k v adalah sebuah operator linear pada V. Operator linear ini disebut dilasi (dilation) dari V dengan faktor k jika k > 1 dan disebut kontraksi (contraction) dari V dengan faktor k jika 0
Berdasarkan Teorema 6.3.5 dapat diketahui bahwa jika S = { w1, w2, . . . . , w r}
Adalah basis ortonormal sebarang untuk W , maka T (v) dirumuskan sebagai T (v) = projwv = (v, w1)w1 + (v, w2)w2 + . . . + (v, wr)wr
Pembuktian bahwa T adalah sebuah transformasi linear dapat diturunkan dari sifat-sifat hasilkali dalam. Sebagai contoh
〈〉 〈〉 〈 〉 〈〉 〈〉 〈 〉 〈〉 〈〉 〈 〉
Demikian pula, T (k u) = kT (u) n 6. Transformasi Linear dari Ruang V ke R Misalkan S = {w1, w2, . . . ,w n} adalah sebuah basis untuk suatu ruang vektor V berdimensi n, dan misalkan (v)s = (k 1 , k 2 , . . ., k n) Adalah vektor koordinat dari vektor v pada V relatif terhadap S; maka v = k 1w1 + k 2w2 + . . . + k nwn n definisikan T : V →R sebagai fungsi yang memetakan v ke vektor koordinatnya relatif terhadap S;
Fungsi T adalah sebuah transformasi linear. Untuk membuktikan hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan matriks koordinat aupun vektor koordinat. 7. Transformasi Linear dari Pn ke Pn+1 n Misalkan p = p(x) = c0 + c1 x + . . . + c n x adalah sebuah polinomial pada Pn , dan definisikan fungsi T : Pn→P n+1 sebagai 2
n+1
T(p ) = T(p(x))= xp(x) = c0 x +c1 x + . . . + c n x
Fungsi T adalah sebuah transformasi linear, karena untuk skalar sebarang k dan polinomial sebarang p1 dan p2 pada Pn diperoleh T ( p1 + p2 )
= T(p1(x) + p2(x)) = x(p1(x) + p2(x)) = xp1(x) +xp2(x) = T( p1) + T(p2)
dan T (k p) = T(kp(x)) = x(kp(x)) = k(xp(x)) = kT(p)
8. Operator Linear pada Pn n Misalkan p = p(x) = c0 + c1 x + . . . + c n x adalah sebuah polinomial dalam Pn , dan misalkan a dan b adalah skalar sebarang. Fungsi T yang didefinisikan oleh n T (p) = T(p(x)) = p(ax + b) = c0 + c1(ax + b) + . . . + c n (ax+b) Adalah sebuah operator linear. Sebagai contoh, jika ax + b = 3x – 5, maka T : P2 → P 2 akan merupakansebuah operator linear yang dirumuskan oleh 2 2 T(c0 + c1 x + c2 x ) = c0 + c1(3x – 5) + c2(3x – 5) 9. Transformasi Linear Menggunakan sebuah Hasilkali Dalam Misalkan V adalah sebuah ruang hasilkali dalam dan misalkan v0 adalah vektor tetap sebarang pada V . Misalkan T : V→R adalah transformasi yang emetakan sebuah vektor v ke hasilkali dalamnya dengan vo ; yaitu, T (v) = (v, v0)
Dari sifat-sifat hasilkali dalam dapat diketahui bahwa
〈〉 〈〉 〈〉 Dan
〈〉 〈〉 Sehingga T adalah sebuah transformasi linear 1
10. Transformasi Linear dari C (-∞,∞) ke F ( -∞,∞) 1 Misalkan V = C (-∞,∞) adalah ruang vektor yangterdiri dari fungsi-fungsi dengan turunan pertama kontinu pada (-∞,∞) dan W = F(-∞,∞) adalah ruang vektor yang terdiri dari semua fungsi bernilai real yang terdefinisi pada (-∞,∞). Misalkan D: V→W adalah transformasi yang memetakan sebuah fungsi f = f(x) ke fungsi turunannya; yaitu, D(f ) = f’(x)
Dari sifat-sifat diferensial, diperoleh : D(f+g) = D(f ) + D(g)
dan
D(k f ) = kD(f )
Sehingga, D adalah sebuah transformasi linear. 1
11. Transformasi Linear dari C (-∞,∞) ke C (-∞,∞) Misalkan V = C(-∞,∞) adalah ruang vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu 1 pada (-∞,∞), dan W = C (-∞,∞) adalah ruang vektor yang terdiri dari fumgsi-
fungsi dengan turunan pertama kontinu pada (-∞,∞). Misalkan J : V→W adalah transformasi yang memetakan f = f(x) ke integral . Dari sifat-sifat integral, diperoleh
∫
( ) 12. Transformasi yang Tidak Linear Misalkan T : M nn→R adalah transformasi yang memetakan sebuah matriks n x n ke determinannya; yaitu, T ( A) = det( A)
Jika n > 1, maka transformasi ini tidak memenuhi kedua sifat yang dipersyaratkan untuk sebuah transformasi linear. Sebagai contoh pada contoh 1 subbab 2.3 bahwa det ( A1 + A2 ) ≠ det(A1) + det(A2) n
secara umum, selanjutnya, det(cA) = c det(A), sehingga det(cA) ≠ c det(A) secara umum. Dengan demikian, T bukan sebuah transformasi linear. B. Sifat Transformasi Linier ; Kernel dan Jangkauan Sifat-sifat Transformasi Linier : Teorema 1.1 “Jika T: V → W adalah transformasi linier, maka : a) T (0)= 0 b) T (-v) = T (v) untuk semua u di dalam V c) T (v-w) = T (v) – T (w) untuk semua v dan w di dalam V .” Bukti : Misalkan v adalah sebarang vektor di dalam V . Karena 0v = 0 maka diperoleh T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0
Yang membuktikan bagian a). Juga, T (-v) = T ((-1)v) = (-1)T (v) = -T (v)
Yang membuktikan bagian b). Akhirnya v – w = v +(-1)w, sehingga, T(v-w)
= T(v+(-1)w) = T(v) + (-1)T(w) = T(v) – T(w)
Yang membuktikan bagian c). Dengan kata lain bagian a) dari teorema di atas menyatakan bahwa sebuah transformasi linear memetakan 0 ke 0. Sifat ini sangat bermanfaat untuk mengidentifikasi transformasi-transformasi yang tidak linear. Sebagai contoh, 2 jika x o adalah sebuah vektor tak nol tetap pada R , maka transformasi T (x) = x + xo
Memiliki efek geometrik untuk mentranslasikan setiap titik pada x ke arah yang sejajar dengan xo sejauh ||xo||. Hal ini bukan merupakan sebuah transformasi linear karena T(0) = xo, sehingga T tidak memetakan 0 ke 0. Menentukan Transformasi Linear dari Bayangan Vektor Baris Sebuah transformasi matriks sepenuhnya ditentukan oleh bayangan vektor basis standarnya. Hal ini adalah kasus spesifik dari sebuah hasil yang lebih umum. Jika T:V→W adalah sebuah transformasi linear dan jika (v1, v 2, . . . , v n) adalah basis sebarang untuk V , maka bayangan T (v) dari vektor v sebarang pada V dapat dihitung dari bayangan T (v1), T (v2), . . . , T (vn) Vektor basis tersebut. Hal ini dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menyatakan v sebagai sebuah konbinasi linear dari vektor-vektor baris, misalnya v = c1v1 + c2v2 + . . . + c nvm dan kemudian dengan menggunakan Rumus (1) untuk menuliskan T (v) = c1T (v1) + c2T (v2)+ . . . + cnT (vn) dengan kata lain, s sebuah transformasi linier sepenuhnya ditentukan oleh bayangannya dari vektor basis sebarang
Definisi : Jika T 1 : U→V dan T 2 : V→W adalah transformasi linier, komposisi T 2 dengan T 1 (composition of T 2 with T 1 )dinotasikan dengan T 2 o T 1 (dibaca “T 2 ” lingkaran T 1 ), adalah fungsi yang didefinisikan oleh rumus (T 2 o T 1)(u) = T 2(T 1(u)) Dimana u adalah sebuah vektor pada U. Catatan : Perhatikan bahwa definisi ini mempersyaratkan bahwa domain T 2 (yaitu V ) mengandung range T 1; hal ini sangat penting agar rumus T 2(T 1(u)) masuk akal. Teorema 1.2 “ Jika T 1: U→ V dan T 2:V→W adalah transformasi linear, maka (T 2 o T 1): U→W juga merupakan transformasi linear ” Bukti : jika u dan v adalah vektor-vektor pada U dan c adalah sebuah skalar, maka dari (2) dan sifat kelinearan T 1 dan T 2 kita memperoleh
dan
( ) ( ) () () () () ()
Sehingga T 2 o T 1 memenuhi kedua persyaratan dari sebuah transformasi linear. Catatan : Komposisi dapat didefinisikan untuk lebih dari dua transformasi linear. Sebagai contoh, jika T 1 : U→V, T 2 : V→W, dan T 3 :W→Y adalah transformasi-transformasi linear, maka komposisi T 3 o T 2 o T 1 didefinisikan dengan (T 3 o T 2 o T 1)(u) = T 3(T 2(T 1(u)))
Kernel dan Jangkauan Jika A adalah sebuah matriks m x n, maka ruang nul matriks A terdiri dari semua vektor x pada Rn sedemikan sehingga Ax = 0, dan berdasarkan m teorema 5.5.1 ruang kolom matriks A terdiri dari semua vektor b pada R di mana terdapat setidaknya satu vektor x pada Rn sedemikan rupa sehingga Ax = 0. Dari sudut pandang transformasi matriks, ruang nul dari matriks A terdiri n dari semua vektor pada R yang mana perkaliannya dengan A memetakannya m ke 0, dan ruang kolom dari A terdiri dari semua vektor pada R yang n merupakan bayangan dari setidaknya satu vektor pada R apabila vektor ini dikalikan dengan A. Definisi berikut ini memperluas ruang lingkup gagasan tersebut sehingga mencakup transformasi linear umum. Definisi Jika T : V→W adalah sebuah transformasi linear, maka himpunan vektor-vektor pada V yang dipetakan oleh T ke 0 disebut kernel dari T (kernel of T), dan dinotasikan dengan ker( T ). Himpunan semua vektor pada W yang merupakan bayangan karena T dari setidaknya satu buah vektor pada V disebut range dari T (range of T), dan dinotasikan dengan R(T). Contoh : 1. Kernel dan Range sebuah Transformasi Matriks n m Jika T A: R →R adalah perkalian dengan sebuah matriks A, m x n, maka dari definisi di atas dapat diketahui bahwa kernel dari T A adalah ruang nul dari matriks A, dan range dari T A adalah ruang kolom dari matriks A. 2. Kernel dan Range Transformasi Nol Misalkan T : V→W adalah transformasi nol (Contoh 2 subbab 8.1). Karena T memetakan setiap vektor pada V ke 0, maka ker( T ) = V. Selanjutnya, karena 0 adalah satu-satunya bayangan dari vektor-vektor pada V karena T, maka R(T) = {0}. 3. Kernel dan Range Operator Identitas Misalkan I : V→V adalah operator identitas (contoh 3 subbab 8.1). Karena I (v) = v untuk semua vektor pada V , setiap vektor pada V adalah bayangan dari suatu vekor (yaitu, bayangan dirinya sendiri); sehingga, R(I) = V. Karena satu-satunya vektor yang dipetakan I ke 0 adalah 0, maka ker( I ) = {0}. 4. Kernel dan Range Proyeksi Ortogonal 3 3 Misalkan T : R →R adalah proyeksi ortogonal pada bidang xy. Kernel dari T adalah himpunan titik-titik yang dipetakan T ke 0 = (0, 0, 0); titik-titik ini adalah titik-titik yang terletak pada sumbu z. Karena T memetakan setiap titik 3 pada R ke bidang xy, range dari T haruslah merupakan suatu subhimpunan dari bidang ini. Akan tetapi setiap titik ( xo , yo , 0) pada bidang xy adalah bayangan dari suatu titik karena T ; pada kenyataannya, titik itu adalah bayangan dari semua titik yang terletak pada garis vertikal yang melewati ( xo , yo , 0). Sehingga, R(T) adalah seluruh bidang xy itu sendiri
5. Kernel dan Range Rotasi 2 Misalkan T : R →R adalah operator linear yang merotasikan seiap vektor pada bidang xy sebesar sudut θ. Karena setiap vektor pada bidang xy dapat diperoleh dengan cara merotasikan suatu vektor sebesar sudut θ. Maka 2 diperoleh R(T ) = R . Selanjutnya, satu-satunya vektor yang dirotasikan ke 0 adalah 0, sehingga ket( T ) = {0}. 6. Kernel sebuah Transformasi Diferensiasi 1 Misalkan V = C (-∞, ∞) adalah ruang vektor yang terdiri dari fungsi-fungsi dengan turuna pertama kontinu pada (- ∞, ∞), misalkan W = F (-∞, ∞) adalah ruang vektor yang terdiri dari semua fungsi bernilai real yang terdefinisi pada (-∞, ∞), dan misalkan D: V→W adalah transformasi diferensiasi D(f ) = f’ (x). Kernel dari D adalah hipunan fungsi-fungsi pada V yang turunannya adalah nol. Dari kalkulus diketahui bahwa himpunan ini adalah himpunan fungsifungsi konstan pada (-∞, ∞). Sifat-sifat Kernel dan Range Ker(T ) dan R(T ) ternyata diketahui sebagai subruang yang berbeda-beda. Semua hal ini merupakan konsekuensi dari hasil umum berikut i ni. Teorema 2.1 “ Misalkan T : V→W adalah transformasi linear, maka : a) Kernel dari T adalah sebuah subruang dari V b) Range dari T adalah sebuah subruang dari W .”
Bukti a) : untuk membuktikan bahwa ker( T ) adalah sebuah subruang, kita harus menunjukkan bahwa ker( T ) mengandung setidaknya satu vektor dan bersifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. Berdasarkan bagian a) teorema 8.1.1, vektor 0 berada di dalam ker( T ), sehingga himounan ini mengandung setidaknya satu vektor. Misalkan v1 dan v2 adalah vektor-vektor di dalam ker(T ), dan misalkan k adalah skalar sebarang, maka T (v1 + v2) = T (v1)+T (v2)= 0 + 0
Sehingga v1 + v2 terletak pada ker ( T ). Dan juga, T (k v1) = kT (v1) = k 0 = 0
Sehingga k v1 terletak pada ker(T ). Bukti b) : karena T (0) = 0, terdapat setidaknya satu vektor pada R(T ). Misalkan w1 dan w2 adalah vektor-vektor di dalam range dari T , dan k adalah skalar sebarang. Untuk membuktikan bagian ini , kita harus menunjukkan bahwa w1 + w2 dan k w1 terletak di dalam range dari T ; jelasnya, kita harus menemukan vektor a dan vektor b pada V sedemikan rupa sehingga T (a1) = w1 + w2 dan T (b) = k w1 Karena w1 dan w2 berada di dalam range dari T , terdapat vektor-vektor a1 dan a2 pada V sedemikian rupa sehingga T (a1) = w 1 dan T (a2) = w 2. Jika a = a 1 + a2 dan b = k a1, maka T (a) = T(a1 + a2) = T (a1) + T (a2) = w1 + w2
Dan T (b) = T (k a1) = kT (a1) = k w1
Yang melengkapi pembuktian ini. Pada subbab 5.6 telah di definisikan rank sebuah matriks sebagai dimensi ruang kolom (atau ruang baris)-nya dan nulitas sebagai dimensi ruang nulnya. Definisi berikut ini memperluas definisi tersebut hingga mencakup transformasi linear umum. Definisi Jika T: V→W adalah transformasi linear, maka dimensi range dari T disebut sebagai rank dari T (rank of T) dan dinotasikan dengan rank( T ); dimensi kernelnya disebut nulitas dari T (nulity of T) dan dinotasikan dengan nulitas(T ). n m Jika A adalah sebuah matriks m x n dan T A: R →R aadalah perkalian dengan A, maka dapat diketahui dari contoh 1 bahwa kernel dari T A adalah ruang nul dari matriks A dan range dari T A adalah ruang kolom dari matriks A. Sehingga, dapat diperolrh hubungan antara rank dan nulitas sebuah matriks dengan rank dan nulitas transformasi linear yang terkait dengannya, seperti tercantum di bawah ini.
Teorema 2.2 “ Jika A adalah sebuah matriks m x n dan T A: Rn →Rm adalah perkalian dengan A, maka : a) Nulitas(T A) = nulitas (A)
b) Rank (T A) = rank (A)
Contoh : 3 3 Misalkan T : R → R adalah proyeksi ortogonal pada bidang xy. Kernel T adalah sumbu z yang berdimensi satu; dan range T adalah bidang xy, yang berdimensi dua. Sehingga Nulitas(T ) = 1 dan rank(T ) = 2 Teorema Dimensi untuk Transformasi Linear Ingat kembali Teorema Diensi untuk Matriks (Teorema 5.6.3) bahwa jika A adalah sebuah matriks yang memiliki n kolom , maka rank( A) + nulitas( A) = n teorema berikut memperluas hasil di atas himgga mencakup transformasi linear umum. Teorema 8.2.3 : Teorema Dimensi untuk Transformasi Linear Jika T : V→W adalah sebuah transformasi linear dari suatu ruang vektor V berdimensi n ke suatu ruang vektor W, maka rank(T) + nulitas(T) = n dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa untuk transformasi linear, rank ditambah mulitas sama dengan dimensi dari domain yang bersangkutan. CATATAN: n m jika A adalah sebuah matriks m x n dan T A: R →R adalah perkalian dengan A,
aka domain T A memiliki dimensi n. Sehingga teorema 8.2.3 konsisten dengan Teorema 5.6.3 Teorema 2.4 Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah n – rank(A)
Latihan soal ! 2
2
1. Misalkan F:R R adalah fungsi yang didefinisikan oleh F( v) = (2x, y) dengan v 2 = (x, y) di R . buktikan bahwa F merupakan transformasi linier ! 2. Carilah matriks baku (A) untuk tranformasi 3 2 T: R R yang didefinisikan oleh T(x) = (x 1+x2, x2+x3), untuk setiap x = (x 1, x2, n x3) dalam R ! 3. Jika T 1:P1→P 2 dan T 2:P2→P 2 adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh T 1(p(x) = xp(x) T 2(p(x)) = p(2x+4) dan Maka komposisi ( T 2 o T 1): P1→P2 adalah ? 4. Jika T : V →V adalah suatu operator linear sebarang, dan jika I :V →V adalah operator identitas. Buktikan T o I = I o T ! 3 3 5. Diketahui T : R R dimana : T[x, y, z] = [x + 2y +z, 2x + 3z, 3x + 2y +4z]. Tentukan basis dan dimensi ruang peta dan ruang nol ! Jawab : 1. Misalkan u = (x 1, y1) dan v = (x 2, y2) Bukti pertama: F(u + v) = F((x1, y1) + (x2, y2)) = F(x1+x2, y1+y2) = (2(x1+x2), (y1+y2)) = ((2x1, y1) + (2x2, y2)) F(u + v) = F(u) + F(v) => terbukti Bukti kedua: F(k u) = F(k x1, k y1) = (2kx1, k y1) = k (2x1, y1) F(ku) = k F(u) => terbukti Jadi F adalah trasnformasi linier 3
2
2. Diketahui : T: R R yang didefinisikan oleh n T(x) = (x1+x2, x2+x3), untuk setiap x = (x 1, x2, x3) dalam R Ditanya : Carilah matriks baku (A) untuk tranformasi 3 2 Jawab : T: R R 3 Basis baku dari R adalah: e1 = (1, 0, 0) T(e1) = (1 + 0, 0 + 0) = (1, 0) e2 = (0, 1, 0) T(e2) = (0 + 1, 1 + 0) = (1, 1) e3 = (0, 0, 1) T(e3) = (0 + 0, 0 + 1) = (0, 1) Maka matriks A nya adalah vektor kolom bentukan dari T(e1), T(e2), dan T(e3), yaitu
[ ]
3. Diketahui : T 1:P1→P 2 dan T 2:P2→P 2 adalah transformasi linear yang dirumuskan T 2(p(x)) = p(2x+4) oleh T 1(p(x) = xp(x) dan Ditanya : komposisi ( T 2 o T 1): P1→P2 ? Jawab : Berdasarkan rumus (T 2 o T 1)(p(x)) = T 2(T 1(p(x))) = T 2(xp(x)) = (2x+4)p(2x+4) Secara spesifik, jika p(x) = co + c1 x, maka
()
4. Diketahui : Jika T : V →V adalah suatu operator linear sebarang, dan jika I :V →V adalah operator identitas Ditanya : Buktikan T o I = I o T! Jawab : Berdasarkan teorema 1.2 , maka untuk semua vektor v pada V diperoleh : (T o I)(v) = T(I(v)) = T(v) (I o T)(v) = I(T(v)) = T(v) Dengan demikian T o I dan I o T keduanya sama dengan T ; yaitu, T o I = T dan I o T = T (terbukti) 3 3 5. Diketahui T : R R dimana : T[x, y, z] = [x + 2y +z, 2x + 3z, 3x + 2y +4z]. Ditanya : Tentukan basis dan dimensi ruang peta dan ruang nol Jawab : Tentukan dulu matriks transformasi A : T[1, 0, 0] = [1, 2, 3] T[0, 1, 0] = [2, 0, 2] T[0, 0, 1] = [1, 3, 4] A
1 T e 2 3 e
2
1
0
3
2
4
Rank matriks A (secara kolom) : 1 2 3
2
1 K 21
0
3
2
( 2 )
( 1) 4 K 31
1 2 3
0
4 3
0 K 23
1 1
( 4)
1 2 3
0 0 0
0
1 1
Adalah = 2. Jadi dimensi Im(T) = 2 dan basisnya dapat diambil {|1, 2, 3|, |0, 1, 1|}. T di atas adalah trnasforasi yang singular. Untuk mencari Ker(T) : Misalkan v = [v 1, v2, v3] 1 2 3
2 0 2
1 v1
0 3 v 2 0 0 4 v 3
Ker(T), maka Av = 0 atau :
, dimensi Ker(T) = n – rank(A) = 3 – 2 = 1.
Kita menghitung jawab susunan persamaan linier homogen di atas : cukup diambil 2 persamaan yang bebas : v1 + 2v2 + v3 = 0 2v1 + 0v2 + 3v3 = 0
Ambil 1 parameter, misalnya v 2 = , maka v1 = -6 , v3 = 4 . Jadi v = [-6, 1, 4]; Ker(T) mempunyai basis (-6, 1, 4) Atau Ker(T) = L {[-6, 1, 4]}. Sumber : Buku “ Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Edisi Kedelapan Jilid 1” karangan Howard Anton dan Chris Rorres , Erlangga 2004 Jakarta http://search.4shared.com/postDownload/1RHvoZrW/transformasi__vektor__linier.ht ml
