Transformaciones Geométricas en el Plano. Giros, traslaciones, homotecia e inversión..pdf

Geometría Métrica. Geométricas.

Transformacion Transf ormacion es

TEMA 35.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO. GIROS, TRASLACIONES, HOMOTECIA E INVERSIÓN. 1. INTRODUCIÓN. Giros, traslaciones, homotecia e inversión, son casos particulares de la homología en general. La homología es un caso particular de la homografía. La homografía estudia las correspondencia entre puntos, rectas o figuras relacionadas mediante proyecciones.

2. HOMOLOGÍA. Si bién trataremos más profundamente la homología en el tema 37, la introduciremos para comprender como derivan de ella las transformaciones motivo de este tema. Es la transformación geométrica de una figura en otra (homóloga), coplanarias ambas y de modo que entre ellas se cumplan estas relaciones. 1º. Los puntos homólogos entre sí están en línea recta con el centro de homología O. 2º. Las rectas homólogas entre sí se cortan en un mismo punto de otra fija denominada eje de homología. En la FIG. 1, los puntos A, B y C son homólogos de A’, B’ y C’ pues se cumplen las relaciones antedichas: 1º. A, A’ están en línea recta con el centro de homología O, así como B, B’ y C, C’. 2º. Las rectas homólogas AB, A’B’, se cortan en el eje de homológia, así como CB y C’B’, AC, A’C’.

ELEMENTOS.: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Puntos homólogos: A, A’. Rectas homólogas: AB, AB’. Centro de homología: O. Eje de homología: E. Rectas dobles: OAA’. Puntos dobles: m, n.

Es de aplicación en ejercicios de geometría descriptiva la siguiente cuestión:

NOTA: Dos secciones planas de una misma radiación, son tambien homólogas por corresponderse los puntos y rectas de ambas secciones, siendo el centro de homología el vértice de la radiación. Si se trata de una pirámide, seccionada por el plano horizontal y uno oblícuo secante, el centro de homología es el vértice de la pirámide, el eje de homología la traza de ambos planos, las rectas dobles son las arístas de la pirámide y las dos secciones son los elementos homólogos. Como ejemplo de esto, realizaré la sección de una pirámide empleando homología, primero en una perspectiva libre y después en Sistema Diédrico. FIG.2.:

Miguel Ángel Molina Pérez.

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Geometría Geometría Métrica. Métrica.

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FIG. 2

3. HOMOTECIA. Cuando en una homología la recta eje de homología se aleja al infinito, la homología se denomina denom ina Homotecia, dandose dandose además las siguientes caracteristicas: caracteristicas: 1. Las rectas homólogas se cortan en el infinito (sobre el eje, situado ahora en el infinito), resultando por tanto paralelas entre sí. 2. Los lados de dos figuras homólogas son además, en éste caso, proporcionales y sus ángulos iguales. 3. Al ser sus lados proporcionales, responden a una razón constante K, denominada razón de homotecia. 4. Es condición de la homotecia, que los lados mantengan la misma relación K de proporcionalidad entre ellos que sus puntos homólogos respecto al centro de homotecia, de lo contrario se trataría de una semejanza. En el ejemplo, de la Figura 3, el triángulo A’B’C’ es homotético respecto de ABC, siendo la razón de homotecia K = A’B’ / AB = A’C’ / AC = B’ C’ / BC. Como A’B’ mide 4cm y AB mide 8, la razón de homotecia es en este caso K = 4/8 = _ . Esta misma relación la tienen que mantener los vértices de la figura A, A’; B, B’ y C, C’ respecto del centro de homotecia O para que la correspondencia sea homotecia y no una simple semejanza: K= A’O / AO = 4 / 8= _ Homotecia Inversa. (FIG. 4)

Cuando la figura y su homóloga se situan ambas a un lado del centro de Homotecia, la homotecia se denomina directa, así como el centro de homotecia, siendo la razón positiva. Si las figuras quedan dispuestas a ambos lados del centro, la homotecia es inversa y la razón negativa.


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CIRCUNFERENCIAS HOMOTÉTICAS

Los puntos de dos circunferencias son homotéticos respecto a un centro de homotecia que se encuentra en la recta que une sus centros BB’. El centro de homotecia se obtiene trazando en las mismas radios paralelos (CA, C’A’ por ej.). La recta que une sus extremos A, A’ determina en su intersección con la recta definida por la unión de sus centros C y C’, el centro de homotecia buscado O. Si los radios paralelos se toman en sentido contrario, obtenemos obt enemos el centro cent ro d e homotecia inversa Oi, en este caso, la razón de homotecia es negativa, quedando las figuras homotéticas separadas por el centro de homotecia. FIG. 5.

APL ICACIONES. ICACI ONES.

FIG. 5.

La homotecia se aplica principalmente en problemas de rectas y circunferencias tangentes a circunferencias pues el centro de homotecia tiene las siguientes propiedades: 1. En el centro de homotecia directa de dos circunferencias coinciden las rectas tangentes comúnes y exteriores a ambas. 2. En el centro de homotecia inversa de dos circunferencias coinciden las rectas tangentes comúnes e interiores a ambas. En la FIG.6 se trazan las rectas tangentes comunes exteriores e interiores a dos circunferencias dadas, calculando previamente los centros directo e inverso de homotecia para ambas.:

FIG.6. EJE DE HOMOTECIA DIRECTA DE TRES CIRCUNFERENCIAS.

Los tres centros de homotecia directa de tres circunferencias C1, C2 y C3 dadas, calculados tomando las circunferencias dos a dos, están alineados entre sí definiendo una recta denominada eje de homotecia directa. Calculamos dos de los tres posibles centros de homotecia directa (O1 para C1 y C3 por un lado y O 2 para C2 y C3) y los unimos para obtenerlo. FIG. 7.


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SIMETRÍA SIMETRÍA CENTRAL CENTRAL .

Como vimos, cuando el centro de homotecia es inverso, la razon de homotecia es negativa. Estamos ante una simetría central cuando la razon es negativa e igual a la unidad. K= -1. En este caso las

figuras ABC y A’B’C’ son simétricas respecto al centro de homotecia Oi. FIG.8.

SEMEJANZA.

La semejanza es una homología que, como la homotecia, tiene el eje en el infinito. Los lados de dos figuras semejantes son proporcionales, con razón K constante y sus ángulos iguales como ocurre en una homotecia. La diferencia entre homotecia y semejanza reside en que, en ésta última los puntos homólogos de sus lados no tienen porqué mantener, respecto del centro de homotecia, la misma relación K de proporcionalidad que se dá entre sus lados homólogos. Dos figuras homotéticas son por tanto semejantes pero no dos figuras semejantes, necesariamente necesariamente homotéticas. La semejanza puede ser directa con razón positiva y centro directo o inversa con razón negativa y centro inverso, en el primer caso las figuras semejantes están a un lado del centro de homotecia y en el segundo caso a ambos lados. La semejanza se emplea en la construcción de escalas gráficas. La relación entre los lados de dos figuras semejantes, K, nos indica la escala E de una respecto a la otra. En la figura 9, el el triángulo A’B’C’ está a escala escala E = 5/8 del triángulo ABC pues la razón razó n de semejanza entre ambas es K = 5/8.

4. AFINIDAD. Igualdad o Traslación es caso particular de la Afinidad. La Afinidad es un caso particular de la Homología, denominamos así a una homología cuando su centro se encuentra en el infinito. Las rectas dobles son ahora paralelas entre sí pues concurren en este centro de homología situado en el infinito. El centro de homología es sustituido ahora por una dirección, la dirección de afinidad. El eje de homología pasa a denominarse eje de afinidad, los puntos homólogos, puntos afines y las rectas homólogas, rectas afines que se cortan sobre el eje de afinidad en los puntos dobles. La afinidad queda determinada si conocemos el eje de afinidad, la dirección y un punto afín o razón de afinidad K (A’X/AX), relación de las distancias de dos puntos afines al origen de distancias (eje). FIG. 10


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ELEMENTOS.

Rectas dobles: AA’, BB’. Rectas afines: BA de A’B’ Puntos afines: A de A’. Eje de afinidad: E. Dirección de afinidad: AA’. Razon de Afinidad: K = Ax / A’x. Origen de distancias en el ej. el eje. En el ejemplo trazamos la figura afín A’B’C’, de otra dada ABC, para una dirección AA’, un eje de afinidad y una razón (K = A’X/AX) predeterminadas.

APL ICACIONES. ICACION ES. Son numerosas las aplicaciones de la afinidad en geometría plana y proyectiva, algunas de ellas las resolveremos en el tema 37, en cualquier caso y para comprender mejor el concepto de afinidad resolveremos en la FIG.11 , la verdadera magnitud mediante abatimiento de un polígono representado en SDO sobre un plano oblícuo, simplificando por afinidad.

En los abatimientos, la dirección de afinidad es siempre perpendicular al eje de afinidad (b-B). El eje de afinidad es la charnela de abatimiento (Q), traza del plano oblícuo con el plano sobre el que vayamos a abatir, generalmente un plano de proyección y en el ejemplo el horizontal.

Necesitamos, para poder resolver la afinidad un punto afín (A) o la relación K, en el ejemplo abatiremos uno de los vértices del polígono (a en A) con alguno los metodos empleados en SDO con lo que la afinidad quedará totalmente determinada.

SIMETRIA AXIAL. Es un caso particular de la afinidad, se dá cuando la dirección de afinidad es normal al eje de afinidad y la razón K=-1, considerando el origen de distancias en el propio eje. FIG.12.

5. TRASLACIÓN. La traslación o igualdad, es una homografía en donde a cada punto A se le hace corresponder otro A’ de modo que el segmento al que pertenece A’ (A’B’) es igual, paralelo y del mismo sentido que el segmento al que pertenece A (AB). Viene determinada por un segmento orientado o vector, denominandose guia a la recta por donde discurre dicho vector.


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La sucesión de puntos homólogos, fruto de diversas traslaciones por igual guia, se denomina trayectoria. Se puede considerar como un caso de semejanza directa y centro en el infinito (o como una afinidad de eje improp) y razón K = 1 (A’B’ / AB=1). FIG.13

6. GIRO O ROTACIÓN. Es una transformación geométrica que hace corresponder a cada C otro C’ de modo que ambos equidisten de un punto fijo O, denominado centro de rotación, y que las semirrectas OC y OC’ formen entre sí un ángulo igual a un ángulo dado y denominado ángulo de rotación. El giro queda determinado por su centro, ángulo y sentido de rotación . El único punto doble (inalterable en la transformación) es el centro de la rotación. El giro es una homografía pues se lleva a cabo una transformación, con centro impropio como en la afinidad, ya que las rectas dobles son paralelas (concéntricas). Las figuras o segmentos girados son idénticos como en la igualdad por lo que la razón de semejanza es K=1. FIG.14.

APL ICACIONES. ICACIO NES. Podemos citar como ejemplo de aplicación del giro, el cálculo de la Verdadera Magnitud de un segmento que se presenta en Sistema Diédrico Ortogonal, oblícuo a los planos de proyección. Tomamos como eje de giro una recta vertical que contenga a uno de los estremos del segmento, en el ejemplo A, lo que a efectos prácticos significa que, con centro en -a- y radio ab, giramos la proyección r del segmento oblícuo hasta convertirlo en frontal (r1, paralelo a la línea de tierra) de modo que podamos observar en la nueva proyección vertical del segmento r’1, la verdadera magnitud del mismo. FIG. 15.

7. INVERSIÓN. La inversión es una transformación geométrica por la que a un punto A del plano, se le hace corresponder otro A’ del mismo plano, de tal forma que ambos estén alineados con un punto fijo O denominado centro de inversión, y que el producto de sus distancias al centro de inversión, OA x OA’, tenga un valor constante, K i , denominado potencia de la inversión . OA x OA’ = K i La potencia de inversión será positiva o negativa según estén situados los puntos inversos a un mismo lado de O o a ambos respectivamente. FIG. 16. NOTA.:La inversión está estrechamente ligada a la Potencia P, recordemos que potencia de un punto P respecto a una circunferencia C, si trazamos una secante r a la circunferencia, es el producto de las distancias de dicho punto P a los de intersección A y A’ de r con la circunferencia C. AP x A’P = Kp (= T 2 = PB x PB’) Si consideramos P como centro de una inversión (P=O), A y A’ son inversos respecto este punto según una razon de inversión K i = Kp. Como vemos toda potencia es inversión respecto de su punto pero no toda inversión inversi ón es potencia pues esta última se restringe a una circunferencia concreta. FIG. 17. Miguel Ángel Molina Pérez.

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FIG. 16.

FIG. 17.

FIGURAS DOBLES.

Son puntos o figuras dobles en una homografía o transformación geométrica, aquellas que no varían en dicha transformación. Una figura puede ser doble y sus puntos no serlo. Son dobles en la inversión, es decir, inversos de sí mismos.: 1. La circunferencia de centro Oc coincidente con el centro de inversión O y radio r=  ki, cuando la potencia de inversión es positiva. También son dobles todos sus puntos puesto que rxr=Ki. Esta circunferencia se denomina DOBLE DE PUNTOS DOBLES. Supongamos un valor 9 para Ki, si el radio OA de la circunferencia mide 3, el inverso de su extremo A coincide en el propio extremo pues OAxOA’=Ki, sustituyendo 3xOA’=9, despejando OA’=3. FIG. 18.

2. Las rectas que pasan por el centro de inversión. Las rectas que pasan por O contienen

necesariamente puntos inversos entre sí, como A y A’, estas rectas son pués figuras dobles por estar compuestas de puntos entre sí inversos. Cualquier punto tomado en ellas tiene su inverso sobre la propia recta. En el ejemplo de la figura 19, A’ es inverso de A para una potencia de inversión dada K=16.

FIG. 18 potencia poten cia de inversión inversión Ki (Kp = Ki). Ki).

FIG. 19. 3.-CIRCUNFERENCIA DOBLE: (Los inversos de sus puntos están sobre ella misma).Es toda circunferencia C, respecto a la cual tenga el centro de inversión O, igual potencia Kp que

La circunferencia de centro C, tiene los puntos inversos de sus propios puntos, sobre ella misma siempre que la potencia Kp y la potencia de inversión Ki respecto a estos puntos, sea idéntica. Para ello, el centro de inversión O y el punto P desde donde trazamos la potencia, deben coincidir. (AP x A’P=Kp=Ki=AO x A’O; P=O) FIG. 20 Podemos decir por tanto que toda circunferencia que pase por dos puntos inversos A, A’, es doble para esa inversión. Efectivamente, determinada una inversión dibujamos dos inversos A y A’, todas las circunferencias que contengan a A y A’ son dobles para la inversión en cuestión pués sus puntos presentan sus inversos sobre la propìa circunferencia como le sucede al punto B. Esto es así pués cuando dos puntos pun tos inversos A y A’ pertenecen a su vez a una circunferencia cualquiera, la potencia Kp para esta circunferencia desde el centro de inversión y la potencia de inversión Ki coinciden automáticamente FIG. 20. ANTIPARAL ELA S

Las rectas antiparalelas entre sí forman con relación a los lados de un ángulo áng ulo cualquiera  (AOB) un ángulo (OAB) una de ellas (AB) con relación a uno de los lados del Miguel Ángel Molina Pérez.

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ángulo (el OA’ por por ej.) igual al ángulo (OB’A’) que la otra recta (A’B’) forma con el otro lad ladoo (OB’) de dicho ángulo. Figura 21 izquierda. En inversión, la recta que une dos puntos no alineados A y B y la que une sus inversos A’ y B’, son antiparalelas entre sí. En la figura 21 centro dibujamos la circunferencia doble de la inversión además de las antiparalelas y en la fig. 21 derecha designo los ángulos de dicha circunferencia para hacer un análisis: Demostraremos porqué los ángulos  y  son efectivamente iguales. El ángulo  es exinscrito en la circunferencia doble de la inversión y por tanto es suplementario del inscrito  adyacente.  = 180º - . Como recordaremos un ángulo inscrito vale la mitad del central que abarcan sus lados, el central que abarca a  es 360º - , sustituyendo  = (360º - ) /2 = 180º - /2, el ángulo exinscrito  valdrá si suistituimos:  =180º-  = 180º-(180º- /2) = 180º - 180º + /2 = /2 = . Por su parte  es tambien inscrito en la circunferencia doble, su valor será la mitad del central correspondiente ( ). Luego = /2 . Queda por tanto demostrada la igualdad entre  y  y por tanto el antiparalelismo aplicado a la inversión.

FIG. 21 DETERMINACIÓN DE PUNTOS INVERSOS.

Determinada una inversión por su centro O y un par de puntos inversos A A’, el inverso de otro dado B, se encuentra en la intersección de la recta OB con la circunferencia que pasa por AA’B (C, de centro donde se cruzan las mediatrices a AA’ y AB), o bién, en la recta A’B’ antiparalela de AB respecto del ángulo AOB. FIG. 21.

FIG. 22

En el ejemplo de la figura 22 calaremos el inverso de B, B’, conocidos el centro de inversión O, un punto A y su inverso A’. Las mediatrices de AA’ y AB se cortan en C, circunferencia doble de la inversión que corta a la recta OB en B’, solución.

FIGURAS INVERSAS DE LAS CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR EL CENTRO DE INVERSIÓN. Teorema: “La figura inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una

circunferencia que pasa por dicho centro.” Recíprocamente, la figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por dicho centro O. Además, el diámetro de la circunferencia que pasa por O y la recta son perpendiculares entre sí estando el centro de inversión situado en algúno de los extremos de dicho diámetro. Demostración:

Sea O el centro y r la recta dada. Trazamos por O una perpendicular a la recta r que la corta en B y otra recta cualquiera que corta a r en A, determinamos dos inversos de A y B, A’ y B’, mediante una antiparalela a distancia aleatoria (es decir, para una potencia de inversión cualquiera). Definidos A’ y B’ tendremos que por ser OB normal a r, AB será normal a OB, y por antiparalelas, A’B’ lo será a OA’.


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Podemos trazar por arco capaz de 90º una circunferencia que pasando por A’ tenga como diámetro el segmento OB’. Esta circunferencia es efectivamente la figura inversa de la recta r pués contiene a los inversos de r, podemos probar con tantos puntos como queramos de r y observaremos como efectivamente sus inversos pertenecerán a la circunferencia. FIG. 23 Si operamos diámetro OB’, el que la recta r también para centro. FIG.24

considerando el extremo B’ del centro de inversión, observamos es inversa de la circunferencia este

FIG. 23 Existen tres posiciones posibles de rectas inversas a circunferencias que pasen por O, r secante, exterior y tangente, las dos primeras posiciones válidas además para dos centros de inversión diametralmente opuestos, y la última válida para el extremo del diámetro de la circunferencia normal a r, que no está en contacto con la recta. FIG. 23, 24 y 25.

FIG. 24

FIG. 25 De lo visto se deduce que una circunferencia es siempre inversa de una recta si tomamos como centro de inversión uno de los extremos del diámetro perpendicular a la recta. FIGURA INVERSA DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSIÓN. Teorema : “La figura inversa de una circunferencia C1 que no pasa por el centro de

inversión O, es otra circunferencia C2 homotética de ésta, con centro de homotecia en el de inversión O, y razón de homotecia Kh igual al cociente entre la potencia de inversión Ki y la potencia Kp de O respecto de la circunferencia”. (Kh = Ki / Kp). FIG. 26. Demostración:

Dada una circunferencia C1, de radio arbitrario y O, centro de inversión esterior a la misma, trazamos otra circunferencia C2 homotética de la primera con centro de homotecia igual al de inversión dado para una razón de homotecia Kh cualquiera (C2 de radio aleatorio). Para trazar una circunferencia homotética respecto O a C1, los extremos de dos de sus radios paralelos unidos deben cortar a la recta unión de centros C1 y C2, en O. Si trazamos desde O una secante a ambas circunferencias obtenemos los puntos A y B en C1, A’ y B’ en C2. - B’ es homotético de A y A’ de B, por lo que debe cumplirse que: OB’/OA = OA’/OB = Kh. - Según este teorema A’ es inverso de A y B’ de B (Podemos comprobarlo trazando antiparalelas) por lo que la potencia de inversión será: Miguel Ángel Molina Pérez.

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OAxOA’ = OBxOB’ = Ki - La potencia P de O respecto de C1, será: OAxOB = Kp - Según este teorema:

Kh = Ki / Kp

Sustituyendo sus miembros tenemos que: Kh = OAxOA’ / OAxOB = OBxOB’ / OAxOB que simplificada: OA’/OB = OB’/OA = Kh Se verifica por tanto que Kh = Ki / Kp

FIG. 26. Es importante destacar que el centro C2 no es inverso de C1 si bien si es su homotético. El punto inverso de C1 es Ci y lo calculamos mediante una antiparalela. Los puntos inversos de A, B, etc, no coinciden con sus homotéticos salvo en el caso de los de rectas tangentes comunes a ambas circunferencias desde el centro de homotecia O (T y T’). FIG. 26. PROPIEDADES DE LAS CIRCUNFERENCIAS INVERSAS. 1ª. La circunferencia que pasa por dos pares de puntos inversos, pertenecientes a dos circunferencias inversas C1 y C2 (B, D, B’ y D’), es doble en esta inversión.

Vimos al comienzo del capítulo de inversión, que las circunferencias que contiene un par de puntos inversos son dobles de la inversión o inversas de sí mismas.

2º. Las rectas que unen dos puntos B y D, y sus inversos B’ y D’, pertenecientes respectivamente a dos circunferencias inversas, se cortan en el eje radical de dichas circunferencias.

Trazamos el eje radical de C1C2 y podemos comprobar como efectivamente se cumple la segunda propiedad. Podemos tomar como circunferencia auxiliar la doble en la inversión Caux, secante con C1 y C2 y pasando por B, D, B’ y D’. Determinamos los ejes radicales de C1 con Caux y C2 con Caux, desde su intersección trazamos una perpendicular al segmento C1C2 unión de centros y obtenemos el eje radical de C1C2. Las rectas secantes y tangentes trazadas desde este eje a las dos circunferencias tienen igual potencia Kp lo que se traduce en igual magnitud cuando se trata de tangentes. 3º. Las rectas tangentes a dos circunferencias inversas en dos puntos inversos T1 y T2, forman iguales ángulos con la recta que los une. El punto de intersección de


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estas dos tangentes se encuentra en el eje radical de las dos circunferencias inversas.

Se forma un triángulo isósceles isósceles de vértice vértice V en la intersección intersección de ambas tangentes t angentes y base T1T2. FIG. 27 y 28

FIG. 27 APLICACIONES DE LAS PROPIEDADES DE LAS CIRCUNFERENC CIRCUNFERENCIAS IAS INVERSAS.

Por dos pares de puntos cualesquiera pero inversos entre sí (T1 y T2), pasa una circunferencia tangente a C1 y C2 de centro CT alineado con C2T2 y C1T1 pues los centros de dos circunferencias tangentes entre sí estan siempre alineados con su punto de tangencia. NOTA: Si los puntos T1 y T2 no fuesen entre sí inversos no se daría esta circustancia.: Las rectas unión de centros C1T1 y C2T2 son normales a las rectas tangentes trazadas desde V a C1 y C2, lados (VT1 y VT2) del triángulo isósceles anteriormente mencionado, al ser los lados de este triángulo iguales, las normales trazadas por sus extremos y que se cortan en en punto CT son también iguales y por tanto tan to radios de la circunferencia FIG. 28 buscada. FIG. 28


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CIRCUNFERENCIA INVERSA DE UNA RECTA DADA INVERSIÓN O Y LA POTENCIA DE INVERSIÓN KI .

R,

CONOCIENDO EL CENTRO DE

er

1 caso: cuando la circunferencia de puntos dobles corta a la recta dada.:

- La circunferencia C buscada ha de pasar por el centro de inversión O (según vimos en figuras inversas de r=  K rectas), y contener a los puntos dobles S y T de la recta. Los puntos dobles S y T son inversos de sí mismos, esto es así porque están el la intersección de la recta r y la circunferencia de puntos dobles (recordemos en figuras dobles, de radio raiz de k y centro en el centro de inversión O). - Conociendo 2 inversos, S y T y un punto más de la circunferencia, O, la trazamos. Sabemos además que su diámetro es normal a r y pasa por O. FIG. 29 - Observamos que las tangentes a la circunferencia de puntos dobles trazadas desde los puntos dobles S y T (perpendiculares al radio  K en esos puntos), se cortan en D, extremo opuesto del diámetro de la circunferencia que pasa por O,(diámetro que, recordemos, es siempre perpendicular a la recta inversa r). Esto es así pues  K es FIG. 29 media proporcional de los segmentos superpuestos OD y OD’ (D’ es la intersección entre la recta y el diámetro de la circunferencia, inverso en la recta de D situado en la circunferencia). Conociendo  K, K, (media entre OD y OD’) y el segmento OD’, obtenemos D mediante el trazado geométrico de medias proporcionales para segmentos superpuestos y que se recuerda en la FIG. 30. Si K es media de OD y OD’, podemos decir que OD/  K =  K/OD’, K/OD’, despejando tenemos que K= ODxOD’ puesto que efectivamente D y D’ son inversos entre sí. FIG. 30 2º Caso: cuando la circunferencia de puntos dobles no corta a la recta dada.:

- Determinaremos la circunferencia C inversa a r en este caso, trazando la perpendicular OS a r, y trazando por S la tangent tangentee ST a la circunferencia de puntos p untos dobles, la paralela TD trazada por T a r determina D, inverso de S, en el segmento OS, OD es el diámetro de la circunferencia buscada. FIG. 31 er

3 Caso: cuando la ci rcunferencia de puntos dobles es tangente a la recta dada.: dada.:

El diámetro en este caso es OD, siendo D (punto doble) el pie de la perpendicular a r desde O. FIG. 32

r=  K r=  K

F I G . 31

FIG. 32

DETERMINAR LA INVERSA DE UNA CIRCUNFERENCIA DADA C, CONOCIDO EL CENTRO DE INVERSIÓN O Y LA POTENCIA K DE INVERSIÓN.

La figura inversa de una circunferencia de centro C que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia de centro C’ como ya sabemos. Para calcularla Miguel Ángel Molina Pérez.

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gráficamente a partir del centro y potencia de inversión conocidos operamos del siguiente modo: Trazamos con centro O y radio  k la circunferencia de puntos dobles. Trazamos la recta OC, (que debe contener al centro de la circunferencia inversa buscada C’) y que corta en A y B a la circunferencia dada C. Las perpendiculares trazadas por A y B a la recta dada, son tangentes tan gentes a la circunferencia C y cortan a la de puntos dobles en M y N. Trazamos tangentes a la circunferencia de puntos dobles por M y N y obtenemos sobre OC, los puntos A’ y B’ inversos de A y B. A’B’ es el diámetro de la circunferencia inversa buscada. FIG. 33. NOTA: OM y ON son media proporcional de OA-OA’ y OB-OB’ respectivamente como vimos en la figura 30.

r=  K

FIG. 33

APL ICACIONES:

Trazar una circunferencia tangente a dos dadas C1 y C2 que pase por un punt pu nto o exterior.

La inversión permite resolver numerosos problemas geométricos de determinación de circunferencias tangentes entre sí, eligiendo una inversión adecuada para que la circunferencia solución quede transformada en recta y desaciendo posteriormente la inversión. Para resolver este ejercicio estableceremos una inversión que nos resulte cómoda y nos permita trabajar con rectas tangentes comúnes a las dos circunferencias dadas, rectas que una vez desecha la inversión sobre cada uno de los elementos del problema se conviertan en las circunferencias tangentes buscadas. Los puntos de tangencia permanecen invariables antes y trás la inversión pues la incidencia (pasar por) se conserva inalterable en todas las homografías. Inversión cómoda significa que los elementos del problema se inviertan con facilidad así como las soluciones buscadas, para ello hacemos coincidir el centro de inversión O con el punto exterior dado. Tenemos por tanto que las soluciones deben pasar por el centro de inversión Para más sencillez tomamos como potencia de inversión Ki, m 2, (cuadrado de la longitud de la tangente trazada desde O a una de las dos circunferencias, en el ejemplo C1) de esta forma, la circunferencia C1 no variará tras la inversión pues sera inversa de sí misma (doble). Podemos comprobarlo gráficamente, si tratamos de obtener la circunferencia inversa de C1 en estas circunstancias observaremos que es ella misma) Con centro O y radio m (r=  Ki= Ki=  m2=m), trazamos la circunferencia de puntos dobles y determinamos auxiliandonios de ella la circunferencia C2’ inversa de C2 como vimos en la figura 33. Invertidos los elementos del problema, trazamos una tangente común ST a las dos circunferencias inversas (C2’ y C1’, esta última inversa de sí misma). Desacemos la inversión y obtenemos CT circunferencia inversa de la tangente ST que será la circunferencia solución. Miguel Ángel Molina Pérez.

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Para trazarla trabajamos como en la figura 29, conocemos S y T puntos dobles por pertenecer a la circunferencia de puntos dobles, y el cemntro O, La tangente en T a la circunferencia de puntos dobles determina sobre la perpendicular a r desde O, el punto D, extremo del diámetro OD de la circunferencia CT buscada. FIG. 34 En la FIG. 35, 35, se traza otra recta tangente diferente a C1’ y C2’, obteniendo de ese e se modo otra circunferencia CT solución. Hay tantas soluciones como rectas tangentes comunes a C1’ y C2’, cuatro en total.

r=m=  K

FIG. 34

r=m=  K

FIG. 35


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Geometría Métrica. Geométricas.

Transformacion Transf ormaciones es

índice

1. INTR INTROD ODUC UCIÓ IÓN. N. ........................................... ................................................................. ............................................. .............................................1 ......................1 2. HO HOMO MOLO LOGÍ GÍA. A. ............................................. ................................................................... ............................................. .............................................1 ......................1 3. HO HOMO MOTE TECI CIA..................... A........................................... ............................................ ............................................. ............................................. .......................... .... 2

HOMOTECIA I NVERSA. (FIG (FIG.. 4) ............................................. ................................................................... ............................................ .............................. ........ 2 CIRC CIRCUN UNFE FERE RENC NCIA IAS S HO HOMOT MOTÉTI ÉTICA CAS............ S............ ........ ......... ........ ........ ........ ........ ......... ........ ...... 3 APLI APLICA CACI CION ONES ES.. ........................................... ................................................................. ............................................. ............................................. .......................... .... 3 EJE DE HOMOTECIA DIRECTA DE TRES CIRCUNFERENCIAS..............................................3 SIMET SIMETRÍ RÍA A CENTR CENTRAL. AL. ........ ........ ......... ........ ........ ........ ......... ........ ........ ........ ........ ......... ....... 4 SEME SEMEJA JANZ NZA................... A.......................................... ............................................. ............................................ ............................................. ..................................4 ...........4 4. AFIN AFINID IDAD AD.. ........................................... .................................................................. ............................................. ............................................ .............................. ........ 4

ELEM ELEMEN ENTO TOS. S....................... ............................................ ............................................. ............................................. ............................................ .............................. ........ 5 APLI APLICA CACI CION ONES ES.. ........................................... ................................................................. ............................................. ............................................. .......................... .... 5 SIMETRIA AXIAL.................................................................................................................5 5. TRAS TRASLA LACI CIÓN ÓN.. ............................................. ................................................................... ............................................ .............................................5 .......................5 6. GIRO O ROTACIÓN........................................................................................................6

APLI APLICA CACI CION ONES ES.. ........................................... ................................................................. ............................................. ............................................. .......................... .... 6 7.

INVERSIÓN.....................................................................................................................6

FIGURAS DOBLES...............................................................................................................7 ANTI AN TIPA PARA RALE LELA LAS S ....... ......... ........ ........ ........ ........ ......... ........ ........ ........ ........ ......... ........ ...... 7 DETE DETERM RMIN INAC ACIÓ IÓN N DE PUNT PUNTOS OS INVE INVERS RSOS OS.. ........ ........ ........ ........ ......... ........ ........ ........ ........ . 8 FIGURAS INVERSAS DE LAS CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR EL CENTRO DE INVERSIÓN..........................................................................................................................8 FIGURA INVERSA DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSIÓN..........................................................................................................................9 PROPIED PROPIEDADES ADES DE LAS CIRCUN CIRCUNFERE FERENCI NCIAS AS INVERSA INVERSAS...... S...... ....... .... ....... .... ....... .... ....... .... .... ....... .... ....... .... ....... .... ...... ... 10

APLICACIONES DE LAS PROPIEDADES DE LAS CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS INVERSAS.. .. .... .. .. .... .. ...... .... .. .. 11 CIRCUNFERENCIA INVERSA DE UNA RECTA DADA R , CONOCIENDO EL CENTRO DE INVERSIÓN O Y LA POTENCIA DE INVERSIÓN KI . ........................................... ............................................................ ................. 12 DETERMINAR LA INVERSA DE UNA CIRCUNFERENCIA DADA C, CONOCIDO EL CENTRO DE INVERSIÓN O Y LA POTENCIA K DE INVERSIÓN..... INVERSIÓN... ...... .... .. .. .... .. .. .... .. .. .... .. .. .... .. .. .... .. ...... .... .. .. .... .. .. .... .. .. .... .. .. .... .. .. .... .. ...... .... .. .. 12

APLI APLICA CACI CION ONES ES:: ........................................... ................................................................. ............................................. ............................................. ........................ .. 13


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Transformaciones Geométricas en el Plano. Giros, traslaciones, homotecia e inversión..pdf

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