UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
TRABAJO GRUPAL DISTRIBUCIÓN NORMAL - TAMAÑO DE MUESTRA Distribución Normal 1.- Bases de la regla empírica. En los ejercicios a - d, calcule el área bajo la curva cur va indi indicad cada a de la dist distribu ribució ción n nor normal mal est estánd ándar ar,, desp después ués con convié viérta rtala la en porcentaje y complete el espacio en blanco. Los resultados conforman la base de la regla empírica explicada. a) Apro Aproxi xima mada dame ment nte e 68.26% del área está entre !-1 y ! 1 (o dentro de una desviación estándar a partir de la media). Z=-1 =0.15! Z=1 =0."1# Z=1 $=-1 = 0.6826
&) Apro Aproxi xima mada dame ment nte e 95.44% del área está entre -' y = ' (o dentro de ' desviaciones estándar a partir de la media). Z=-' =0.0'' Z=' =0.!!' Z=' $=-' = 0.9544 c) Apro Aproxi xima mada dame ment nte e 99.4% del área está entre =-# y = # (o dentro de # desviaciones estándar a partir de la media). Z=-# =0.001# Z=# =0.! Z=# $=-# = 0.994
d) Aproximadamente 99.96% del área está entre =-#.5 y =#.5 (o dentro de #.5 desviaciones estándar a partir de la media). Z=-#.5 =0.000' Z=#.5 =0. Z=#.5 $=-#.5 = 0.9996
2.- Cálculo de probabilidad. En los ejercicios, suponga "ue las lecturas de termómetros se distribuyen normalmente, con una media de #$ y una desviación estándar de %.##$. &alcule la probabilidad indicada, donde es la lectura en grados.
a' ()*%.+ %.+' Solución:
denti/camos0
(! -1.* + Z + 1.*, = ( )1%.+' - ( )1-%.+' !2eg3n 4abla 5ormal estándar 5 )#,%'
= #.+67 8 #.#97 ! #.+7 La probabilidad "ue 1 se encuentre entre -%.+ y %.+ es de .!"
b' () %.:7' Solución % - () ; %.:7' ! %- #.+7 ! ." La probabilidad "ue 1 sea mayor de %,:7 es ."
c' () < -9.767 o 9.767' Solución
() < -9.767' =() 9.767' ! () < -9.767'=%- () ;9.767'! #,##7%=%-#,++7 ! #11 La probabilidad "ue 1 sea o menor "ue -9.767 o mayor "ue 9,767 es .11
d' () <%.+ o %.+' Solución
() <%.+' =() %.+' () <%.+' =% - () ;%.+' #,+67=%-#,+67 ! 1 La probabilidad "ue 1 sea o menor "ue %.+ o mayor "ue %.+ es 1
$.- %untuaciones de C&. En los ejercicios, suponga "ue sujetos adultos tienen puntuaciones de & distribuidas normalmente, con una media de %## y una desviación estándar de %7 )como en la prueba >ec?sler'. )2ugerencia0 @ibuje una grá/ca en cada caso'. a) alcule la pro&a&ilidad de ue un adulto seleccionado al aar ten/a un menor ue 1#0.
Solución =oe2ciente ntelectual 3 (41#0) =3(41#0) X − μ 130 −100 =3( 4 ) = 3 (Z4') σ 15
denti2camos el área en la ta&la de distri&ución normal estándar es cuyo valor es 0!92 E" C#$%&'$()$ '()$"$&)*+" ,$ *(+ $/#(+ +,*")+ $(# + 10 $/ 9.23
&) alcule la pro&a&ilidad de ue un adulto seleccionado al aar ten/a un mayor ue 1#1.5 (el reuisito para ser miem&ro de la or/aniación esa6 ue a/rupa a personas con un elevado cociente intelectual).
Solución 3 (+1#1.5) =1 - 3(41#1.5) = 1- 3 (
X − μ 131.5 −100 4 ) = 1 - 3 (Z4'.1) =1 -0.'1 σ 15
denti2camos el área en la ta&la de distri&ución normal estándar es cuyo valor es 0!019 7l porcenta8e para ser miem&ro de la or/aniación esa6 ue a/rupa a personas con un elevado cociente intelectual es 1.93
c) alcule la pro&a&ilidad de ue un adulto seleccionado al aar ten/a un entre 0 y 110 (denominado ran/o normal).
Solución 3 (044110) = 3(4110)-3(40)
=3(
90−100
4
X − μ 110 −100 4 ) σ 15
15 = 3 ( −0,666 4 Z406***) = 3 ( Z < 0,666 ¿−¿ 3 (Z4-06***)=
06!"5" - 06'5"* = 0!4908
7xiste una posi&ilidad ue un 49.083 est9n en cierto
ran/o
considerado normal
d) alcule la pro&a&ilidad de ue un adulto seleccionado al aar ten/a un entre 110 y 1'0 (denominado normal brillante).
Solución 3 (110441'0) = 3(41'0)-3(4110) =3(
110−100
4
X − μ 120 −100 4 ) σ 15
15 = 3 ( 0,666 4 Z416###) = 3 ( Z < 1,333 ¿−¿ 3 (Z406 ***) =
06 0' - 06 !"5" = 0! 1628
7xiste una posi&ilidad ue un 16!283 est9n en cierto considerado normal &rillante.
ran/o
4.- P$/#/ +" (+&$. 7n 7stados :nidos6 los pesos al nacer se distri&uyen normalmente6 con una media de #"'0 /rs. y una desviación estándar de "5 /rs. ;i un
a para esta&lecer un punto de corte ue separe al '% de los &e&9s menos pesados de los demás?
Solución: N'$(2#(!") 3(4x)= 3 (Z4
X −3420
495
)= 0.5 @ 3 (Z)= 0.0'
3 (Z)=0.0'-0.5 =-06"
C+"&*"+#/
Z=
( 2.05 −2.06 ) . ( 0.4798 −0.48 ) + 2.05 =2.054 (0.4803 −0.4798 )
eniendo en cuenta ue se encuentra en la parte iuierda de la campana de Bauss6 entoncesC -2.054. 3or lo tanto6 el peso de los &e&9s más pesados será deC
-'.05"=
X −3420
495
Despe8amos x y o&tenemos la solución a este pro&lemaC 7 240.2
5.- P$/#/ +" (+&$. 7n Eorue/a los pesos al nacer se distri&uyen normalmente6 con una media de #5!0 /rs. y una desviación estándar de 500 /rs. Fepita el e8ercicio " con los &e&9s ue nacen en Eorue/a. Di2ere muc
Solución: N'$"*#") +ipi,camos: 3(4x)= 3 (Z4
X −3570
500
)
denti2camos el valor Z en la pro&a&ilidad de 0.02 eniendo en cuenta ue se encuentra en la parte iuierda de la campana de Bauss6 entoncesC -2.054. 3or lo tanto6 el peso de los &e&9s Eorue/os más pesados será deC -'.05"=
X −3570
500
Despe8amos x y o&tenemos la solución a este pro&lemaC 7 254
6.- C#()+&)# '/*+". 7n un estudio de conducta Gacial6 se toma el tiempo de contacto visual entre los participantes en un /rupo de control6 durante un periodo de 5 minutos. Hos tiempos se distri&uyen normalmente6 con una media de 1".0 s y una desviación estándar de 55.0 s (se/In datos de J7t
/rupo de control6 calcule la pro&a&ilidad de ue el tiempo de contacto visual sea mayor ue '#0.0 s6 ue es la media de los esuioGr9nicos paranoides.
Solución: Sea la variable aleatoria X , tiempo de contacto visual. El enunciado nos indica que se distribuye normalmente, por lo que usaremos la distribución normal para hallar los apartados requeridos.
N (184,55)
Nos piden obtener la siguiente probabilidad: P(X . !"#.#$
%ipi&icamos los datos dados: P ( z >
230 −184 55
¿ ' P ( #,)"*$
+perando la desigualdad: - P ( #.)"*$ ' / #.01) ' #.!#! 2a probabilidad del tiempo de contacto visual sea mayor ue '#0.0 s es de
0!202
.- T$$+)*+/ &##+"$/. on &ase en los resultados muestrales del con8unto de datos ' del ap9ndice L6 supon/a ue las temperaturas corporales
+. 7l a ue tienen 2e&re? ;u/iere este porcenta8e ue un punto de corte de 100.*PK es apropiado? ;olucionC E (.'0 S 0.*')
%ipi&icamos los datos dados: X'##.* P ( z <
100.6 −98.2 0,62
¿
' P ( 3".)0$ ' #.1114
2a probabilidad de personas normales y saludables consideradas que tienen &iebre es 11.145 , y si podr6a ser apropiado como punto medio porque nos sugiere como m6nima temperatura que el paciente tendra &iebre.
. Hos m9dicos desean seleccionar una temperatura m>nima como reuisito para solicitar más exámenes m9dicos. uál de&e ser esa temperatura6 si deseamos ue sólo el 5.0% de las personas saluda&les la excedan? (:n resultado como 9ste es un falso positivo6 lo ue si/ni2ca ue el resultado de la prue&a es positivo6 pero el su8eto no está realmente enGermo).
S#"*&'#( P :;< 0.05= - 1.65 ',$()'%&+,# $( "+ )+"+ (#+" $/)>(,+.
P ( z≤
x − 98.2 0,62
¿
7eempla8amos
'
x − 98.2 0,62
=1.65
X' 11.! es la temperatura m6nima que se espera que el 95 de personas sanas lo ecedan.
8.- D*+&'?( ,$ $++#/. Ha duración de los em&araos se distri&uye normalmente6 con una media de '* d>as y una desviación estándar de 15 d>as.
+. :n uso clásico de la distri&ución normal está inspirado por una carta diri/ida a JDear A&&yM6 en la ue una mu8er a2rma&a as despu9s de una &reve visita de su esposo6 uien tra&a8a&a en la arina. Dada esta inGormación6 calcule la pro&a&ilidad de ue un em&arao dure #0 d>as o más. Ru9 su/iere el resultado? Solución:
Sea la variable aleatoria X , duración del embara8o. Nos piden obtener la siguiente probabilidad: P(X "#)$ %ipi&icamos los datos dados: P ( Z >
308 −268 15
) =P(Z>2.67)
+perando la desigualdad: P ( !.*0$ ' - P ( !.*0$ ' - #,11*! ' 0.0038
Se sugiere en el resultado sugiere que la duración del embara8o sea "#) d6as o mayor es muy poco ocurrente.
. ;i estipulamos ue un &e&9 es prematuro cuando la duración del em&arao se encuentra en el "% inGerior6 calcule la duración ue separa a los &e&9s prematuros de auellos ue no lo son. Hos &e&9s prematuros suelen reuerir cuidados especiales y este resultado podr>a ser Itil para ue los administradores de
Solución: Sea la variable aleatoria Y , beb;s prematuros. En este problema, nos dan los datos de la probabilidad y debemos hallar el valor de la variable aleatoria Y que lo satis&aga. %enemos: P (< 3 . y$ ' #.#4 %ipi&icamos: P (Z <
y −268 15
) =
En la tabla normal est=ndar buscamos el valor la probabilidad de 0.04
P (8$ #.#4 ' /.09 Nos da un valor negativo, %eniendo en cuenta que z se encuentra en la parte i8quierda de la campana de >auss, entonces: z = -1.751. Por lo tanto, los beb;s prematuros ser=n de:
-1.751 =
y −268 15
?espe@amos y para obtener la solución a este problema: y ' 241.735 , es decir, para que un beb; sea prematuro debe nacer, aproimadamente, en 242 d6as o menos.
+amao de uestra .- uántos estudiantes de&e tener una muestra6 con el 2n de estimar la proporción de estudiantes ue tienen correo electrónico6 en una cierta re/ión rural con aproximadamente 000 estudiantes? 7n un estudio previo6 se an correo electrónico. ;e desea tener un nivel de con2ana del 5% y un error del #% en las estimaciones.
S#"*&'?( E=000 ;i/niGicancia T = 0.05 onGiana 1 $ T =0.5 e=0.0# p=1'0U150 =0.
=0.' ;i el nivel de con2ana es 0.5 6
( 0 ;2 3R Ue' ( 0 :1.96=2:0.8=:0.2= @0.02 ( 0 [email protected] 68. 68 •
C#(#&'$(,# $" )++# ,$ "+ #"+&'?( +&$#/ $" +*/)$ &#$/#(,'$()$
nV = ( 0 @:1 :( 0 -1=@N =
#
nV =
n0 n 0 −1 1+ N
nV =*#U(1@(*#- 1)U000)) = *#U1.05'5 =*'.# 629 ,$$+ )$($ *(+
*$/)+
10.- uál de&e ser el tamaWo de muestra para estimar el nivel medio del consumo de prote>nas de los adultos de una ona minera6 si se desea tener un mar/en de error de 0."5 /Udl y un nivel de con2ana del 5%?.
+= 3or estudios previos6 se sa&e ue el consumo de prote>nas tiene una desviación estándar de '.5 /Udl.
Solución
e ! #.:7 onGiana =1 $ T =0.5 σ ='.5 Z=1.* A continuación identi2camos la Gormula n =
2
Z
∝
.
σ
'
Ue'
n = 1.*'x '.5'U(0."5') ='".01U0.'0'5 =11.* ≈ 118 •
Ha cantidad ue de&e tener el tamaWo de muestra será 11 adultos de la minera
= ;upon/a ue en la ona minera existe 1#00 adultos6 cuál de&e ser el tamaWo de muestra reuerido?
Solución
e ! #.:7
onGiana =1 $ T =0.5 N = 1300
Z=1.* σ ='.5 A continuación identi2camos la Gormula
U((E-1) e'@Z'. σ ') n =#1'1#U'!.05!5 =10.! ≈ 109 n = NZ 2 .
σ
∝
•
'
Ha cantidad aproximada de la muestra conociendo la po&lación será 10 adultos de la minera
11.- 7l director comercial de cierta compaW>a ue realia ventas por correo electrónico6 desea precisar con muctica de cr9dito. ;i el director desea tener un intervalo de con2ana del % para la proporción de clientes ue están al d>a en sus pa/os. Ru9 tamaWo de muestra de&e usar si se desea tener un mar/en de error del ".5%? . . =% Z= '.5 7 = ".5 += ;upon/a ue en una muestra piloto de #5 clientes se a en sus pa/os. n =#5 p=U#5=0.'# =0.!! A continuación identi2camos la Gormula
n=pX
√
pq n
n = 0.'# X '.5 n = 06'# X '.5
0.23 x 0.77 35 √ 0.00506
n = 06'# X 0.1#1 Ha proporción de lientes ue var>an en sus pa/os están entre (0."1" y 0.0"!) PQ /e2 n = *.**(0.'#)(0.!!)U".5 ' n
0
=Z
2
= ;upon/a ue existen #500 clientes ue realian sus compras por correo. uál será el tamaWo de muestra para este caso? E=#500 n=? 2
n=
N Z PQ
( N −1 ) E 2+ Z 2 PQ
F773HAZAEDNC #500Y0.05 ='0# n='0#
&= 3ara un nivel de con2ana del 5%6 un tamaWo de la po&lación de #500 clientes y considerando la estimación conservadora de p i/ual a 0.5. omplete el si/uiente cuadro para estimar tamaWos de muestra para diGerentes valores de mar/en de error. E=#500 1-T =5% 3=0.5 R=0.5
