Facultad de Ingeniería Civil “Métodos Para Estacar Curvas”
CAMIN OS I
Curso:
Caminos I
Profesor:
Ing. Hugo
Casso Valdivia
Alumna:
Abigail Vilchez
Montalvo
Ciclo:
VI
2011 INTRODUCCIÓN La carretera es una faja de terreno con un plano de rodadura especialmente dispuesto para el tránsito adecuado de vehículos y está destinada a comunicar entre si regiones y sitios poblados Una carretera es un sistema que logra integrar beneficios, conveniencia, satisfacción y seguridad a sus usuarios, que conserva, aumenta y mejora los recursos naturales de la tierra, el agua y el aire y que colabora con el logro de los objetivos del desarrollo regional, industrial, comercial, residencial, recreacional y de salud pública. El diseño geométrico en planta o alineamiento horizontal, es la proyección sobre un plano horizontal del eje real o espacial de la carretera. En la filosofía del diseño convencional, dicho eje está constituido por una serie de tramos rectos denominados tangentes, enlazados entre si por curvas horizontales h orizontales o bien lo podemos definir por el trazado de su eje en planta y en perfil y por el trazado de su sección transversal.
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Las curvas horizontales que conectan dos secciones tangentes rectas pueden ser de dos tipos : Arcos circulares y Espirales. Los estudios para trazado y localización de una carreta cubren 5 etapas: 1. Reconocimiento: Es un examen general del terreno para determinar la ruta o rutas posibles de unión entre los puntos primarios de control que se señalan al Ingeniero de Vías. 2. Trazado antepreliminar: Se adopta la mejor o mejores ubicaciones de la vía. 3. Trazado preliminar: Se realiza sobre la ruta escogida con aparatos de precisión para el levantamiento topográfico de una zona de terreno en la cual va a proyectarse. 4. Proyecto: Comprende los diseños en planta y en perfil del eje de la vía. 5. Localización: Consiste en las labores necesarias para transferir al terreno el eje de la vía determinado en el proyecto.
RUTAS La RUTA, es aquella franja de terreno, de ancho variable, comprendida entre dos puntos obligados extremos y que pasa a lo largo de puntos obligados intermedios, dentro de la cual es factible hacer la localización del trazado de una vía. PUNTOS OBLIGADOS: Son aquellos sitios extremos o intermedios por los que necesariamente deberá pasar la vía. La identificación de una ruta a través de estos puntos y su paso por otros puntos secundarios, hace que aparezcan varias rutas alternas. Para todas las rutas alternas es necesario llevar a cabo la selección, que comprende una serie de trabajos preliminares que tienen que ver con acopio de datos (recolección de información básica relacionada con la topografía, la geología, la TRABAJO Nª 5
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hidrología, el drenaje y los usos del suelo), estudio de planos, reconocimientos aéreos y terrestres, poligonales de estudio, etc.
EVALUACIÓN DE LAS RUTAS: La mejor ruta, será aquella que de acuerdo a las condiciones topográficas, geológicas, hidrológicas y de drenaje, ofrezca el menor costo con el mayor índice de utilidad económica, social y estética. Existen varios métodos de evaluación de rutas entre los que se encuentra el de Bruce que utiliza la siguiente fórmula matemática:
LÍNEA DE PENDIENTE La línea de pendiente es aquella línea que, pasando por los puntos obligados del proyecto, conserva la pendiente uniforme especificada y que de coincidir con el eje de la vía, éste no aceptaría cortes ni rellenos, por lo cual también se le conoce como línea de ceros.
TRAZADO DE LA LINEA DE CEROS SOBRE UN PLANO
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En la figura 1, se supone que los puntos A y B se encuentran sobre dos curvas de nivel sucesivas, entonces la pendiente de la línea recta AB que los une es:
En esta imagen se muestra la pendiente de AB.
Si se quiere mantener una línea de pendiente uniforme, se despeja AC en la formula, BC es la diferencia de nivel o la equidistancia y la tangente del ángulo es la pendiente de la recta AB, AC sería la distancia horizontal entre curvas sucesivas. Para trazar la línea de ceros sobre un plano, se prevee que la distancia AC en metros, reducida a la escala del plano, es la distancia con que se debe abrir un compás de puntas secas a a partir del punto inicial, acto seguido se materializan los puntos donde coincide la abertura del compás sobre la curva de nivel inmediatamente superior.
TRAZADO DE LA LINEA DE CEROS EN EL TERRENO Se lleva marcándola en la dirección requerida, pasando por los puntos de control y por los lugares más adecuados. Para tal efecto se emplean miras, jalones y clasímetros nivel Locke o nivel Abney. TRABAJO Nª 5
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DISEÑO GEOMETRICO EN PLANTA El diseño geométrico en planta, o alineamiento horizontal, es la proyección sobre un plano horizontal del eje real o espacial de la carretera constituido por una serie de tramos rectos llamados tangentes enlazados entre sí por curvas.
CURVAS CIRCULARES SIMPLES Las curvas horizontales circulares simples son arcos de circunferencia de un solo radio que unen dos tangentes consecutivas, conformado la proyección horizontal de las curvas reales o espaciales. Por lo tanto, las curvas del espacio no necesariamente son circulares.
Elementos de una curva circular
EXPRESIONES QUE RELACIONAN LOS ELEMENTOS GEOMÉTRICOS Tangente (T): Es la distancia del PC al PI o desde el PI al PT.
Cuerda larga (CL): Es la distancia recta entre el PC y el PT. TRABAJO Nª 5
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Externa (E): Es la distancia desde el PI al punto medio de la curva.
Ordenada media (M): Es la distancia desde el punto medio de la curva, al punto medio de la cuerda larga.
Centro de la curva circular (RP): Es el mismo punto de radio. Radio de la curva circular (R ): Es la distancia del RP al PC o al PT.
Longitud de la curva circular (L): Es la distancia del PC al PT por el arco de la curva. L = c D /G TRABAJO Nª 5
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D = Delta
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GRADO DE UNA CURVA CIRCULAR (G): El ángulo específico de una curva, se define como el ángulo en el centro de un arco circular subtendido por una cuerda específica c, ésta es la definición por cuerda. La definición por arco es el grado específico de una curva, que es el ángulo central subtendido por un arco específico.
Sistema arco –grado TRABAJO Nª 5
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R = 180 S / PI G L = pi R D / 180
Sistema cuerda - grado :(Es el más utilizado en carreteras). G = 2 arcsen (C / 2 R ) L=cD/G
Existen también curvas circulares compuestas que están formadas por dos o mas curvas circulares, pero su uso es muy limitado, en la grán mayoría de los casos se utilizan en terrenos montañosos cuando se quiere que la carretera quede lo más ajustada posible a la forma del terreno, lo cual reduce el movimiento de tierra. También se pueden utilizar cuando existen limitaciones de libertad en el diseño, como, por ejemplo, en los accesos a puentes, en los pasos a desnivel y en las intersecciones.
CURVAS ESPIRALES Las curvas espirales se usan para proporcionar una transición gradual de la curvatura en curvas horizontales. Su uso más común es para conectar tramos rectos de un alineamiento con curvas circulares, disminuyendo así el cambio brusco de dirección que ocurriría en los puntos de tangencia. En la figura, se aprecia una curva espiral con longitud Le, que conecta la tangente de entrada con una curva circular de radio R. La longitud L, es la longitud de la curva espiral desde su origen a un punto cualquiera P de radio conocido. TRABAJO Nª 5
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MÉTODO DE ABSCISAS Y ORDENADAS SOBRE LA TANGENTE En este método se utiliza un sistema de ejes coordenados, tomando como eje de las X la tangente de la curva y como eje de las Y el radio en el punto de tangencia. Utilizando a este como origen de las coordenadas. Como primer paso se hace estación en el punto B de la poligonal (teniendo previamente ubicado un jalón en el punto A). Bisectando el jalón se introduce al instrumento 0º00'00”, se gira 180º y se colocan jalones midiendo sobre el eje X las distancias establecidas arbitrariamente por nosotros (ver tabla siguiente). TRABAJO Nª 5
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Una vez obtenido estos puntos se hace estación en ellos y bisectando un jalón perteneciente a la alineación se provoca 0º00'00”, luego se gira 90º y se determina el eje Y de ese punto. Mediante la fórmula Y= R-(R2-X2) se calcula la distancia a medir sobre ese mismo eje. De esta misma forma se procede con los otros dos puntos restantes . Tabla: Datos de los puntos de la curva
PC1 PC2 PC3
X
X2
R2-X2
R2-X2
Y
40,30
1624,09
12064,91
109,84
7,16
55,30
3058,09
10630,91
103,11
13,89
70,30
4942,09
8746,91
93,53
23,47
Gráfico de la curva
METODO DE ABSCISA Y ORDENADA Coordenadas de EC o del CE: (Xc e Yc) Xc:
Yc: TRABAJO Nª 5
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Coordenadas del PC o del PT (desplazamiento): (K y P)
Coordenadas del PC o del PT(desplazamiento) :(K y P)
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CURVAS CIRCULARES SIMPLES Las curvas circulares simples se definen como arcos de circunferencia de un solo radio que son utilizados para unir dos alineamientos rectos de una vía. Una curva circular simple (CCS) está compuesta de los siguientes elementos: •
•
Ángulo de deflexión [Δ]: El que se forma con la prolongación de uno de los alineamientos rectos y el siguiente. Puede ser a la izquierda o a la derecha según si está medido en sentido anti-horario o a favor de las manecillas del reloj, respectivamente. Es igual al ángulo central subtendido por el arco (Δ). Tangente [T]: Distancia desde el punto de intersección de las tangentes (PI) -los alineamientos rectos también se conocen con el nombre de tangentes, si se trata del tramo recto que queda entre dos curvas se le llama entretangencia - hasta cualquiera de los puntos de tangencia de la curva (PC o PT).
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•
•
•
•
Radio [R]: El de la circunferencia que describe el arco de la curva.
Cuerda larga [CL]: Línea recta que une al punto de tangencia donde comienza la curva (PC) y al punto de tangencia donde termina (PT).
Externa [E]: Distancia desde el PI al punto medio de la curva sobre el arco.
Ordenada Media [M] (o flecha [F]): Distancia desde el punto medio de la curva hasta el punto medio de la cuerda larga.
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•
•
Grado de curvatura [G]: Corresponde al ángulo central subtendido por un arco o una cuerda unidad de determinada longitud, establecida como cuerda unidad (c) o arco unidad (s). Ver más adelante para mayor información.
Longitud de la curva [L]: Distancia desde el PC hasta el PT recorriendo el arco de la curva, o bien, una poligonal abierta formada por una sucesión de cuerdas rectas de una longitud relativamente corta. Ver más adelante para mayor información.
Ahora vamos a detenernos en dos aspectos con un poco más de detalle: Grado de curvatura Usando arcos unidad: En este caso la curva se asimila como una sucesión de arcos pequeños (de longitud predeterminada), llamados arcos unidad (s) . Comparando el arco de una circunferencia completa (2πR), que subtiende un ángulo de 360º, con un arco unidad (s), que subtiende un ángulo Gs (Grado de curvatura) se tiene:
Usando cuerdas unidad:
Este caso es el más común para calcular y materializar (plasmar en el terreno) una TRABAJO Nª 5
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curva circular, pues se asume que la curva es una sucesión de tramos rectos de corta longitud (también predeterminada antes de empezar el diseño), llamados cuerda unidad (c). La continuidad de esos tramos rectos se asemeja a la forma del arco de la curva (sin producir un error considerable). Este sistema es mucho más usado porque es más fácil medir en el terreno distancias rectas que distancias curvas (pregunta: ¿Se pueden medir distancias curvas en el terreno utilizando técnicas de topografía?¿cómo?). Tomando una cuerda unidad (c), inscrita dentro del arco de la curva se forman dos triángulos rectángulos como se muestra en la figura, de donde:
LONGITUD DE LA CURVA A partir de la información anterior podemos relacionar longitudes con ángulos centrales, de manera que se tiene: Usando arcos unidad:
Usando cuerdas unidad:
La longitud de una cuerda unidad, o de un arco unidad, se toma comúnmente como 5 m , 10 m , ó 20 m . Localización de una curva circular Para calcular y localizar (materializar) una curva circular a menudo se utilizan ángulos de deflexión. Un ángulo de deflexión (δ) es el que se forma entre cualquier línea tangente a la curva y la cuerda que va desde el punto de tangencia y cualquier otro punto sobre la curva. Como se observa en la figura, el ángulo de deflexión (δ) es igual a la mitad del ángulo central subtendido por la cuerda en cuestión (Φ). Entonces se tiene una deflexión para cada cuerda unidad, dada por:
Es decir, se puede construir una curva con deflexiones sucesivas desde el PC, midiendo cuerdas unidad desde allí. Sin embargo, rara vez las abscisas del PC o del TRABAJO Nª 5
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PT son cerradas (múltiplos exactos de la cuerda unidad), por lo que resulta más sencillo calcular una subcuerda desde el PC hasta la siguiente abscisa cerrada y, de igual manera, desde la última abscisa cerrada antes del PT hasta él. Para tales subcuerdas se puede calcular una deflexión conociendo primero la deflexión correspondiente a una cuerda de un metro (1 m ) de longitud δm: Entonces la deflexión de las subcuerdas se calcula como:
δsc = δm · Longitud de la subcuerda La deflexión para el PT, desde el PC, según lo anotado, debe ser igual al la mitad del ángulo de deflexión de la curva:
δPT = Δ/2
Lo cual sirve para comprobar la precisión en los cálculos o de la localización en el terreno. Ejemplo Para una curva circular simple se tienen los siguientes elementos: Rumbo de la tangente de entrada: N 76º20′ E Rumbo de la tangente de salida: N 19º40′ E Abscisa del punto de intersección de las tangentes, PI: k2+226 Coordenadas del PI: 800 N , 700 E Cuerda unidad: 20 m Radio de curvatura: 150 m Calcular los elementos geométricos de la curva; las abscisas del PC y el PT; las coordenadas del PC, el PT y el centro de la curva; y las deflexiones de la curva. Solución Elementos geométricos de la curva El ángulo de deflexión de la curva está dado por la diferencia de los rumbos de los alineamientos (no siempre es así, en este caso sí porque los dos están en el mismo cuadrante NE): • • • • • •
Δ = 76º20′ – 19º40′ = 56º40′ Izquierda (A la izquierda porque el rumbo de la tangente de salida es menor que el de la de entrada) Conociendo el radio y el ángulo de deflexión se pueden calcular los demás elementos geométricos: Tangente : T
= R · Tan (Δ/2)
Grado de curvatura: Gc = 2 · Sen-1[ c / (2R) ] TRABAJO Nª 5
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Longitud de la curva: Lc = c·Δ/Gc
Cuerda Larga: CL = 2·RSen(Δ/2)
Externa: E = R(1/Cos(Δ/2) – 1)
Ordenada Media (Flecha ): M = R[1 - Cos(Δ/2)]
Deflexión por cuerda:
Deflexión por metro:
Abscisas del PC y el PT Conociendo la abscisa del PI y las longitudes, tanto de la tangente (T) como de la curva (Lc): Abscisa del PC = Abscisa del PI – T Abscisa del PC = k2 + 226 – 80,879 m = k2 + 145,121 Abscisa del PT = Abscisa del PC + Lc Abscisa del PT = k2 + 145,121 + 148,243 m = k2 + 293,364 TRABAJO Nª 5
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Se debe tener en cuenta que la abscisa del PT se calcula a partir de la del PC y NO del PI, pues la curva acorta distancia respecto a los alineamientos rectos. Coordenadas de los puntos PC, PT y O Conociendo los rumbos de las tangentes de entrada y salida se pueden calcular sus azimutes: Azimut del PC al PI = 76º 20′ Azimut del PI al PC = Contra azimut de PC-PI = 76º 20′ + 180º = 256º 20′ Azimut del PC a O = 256º 20′ + 90º = 346º 20′ (porque el radio es perpendicular a la tangente de entrada en el PC) Azimut del PI al PT = 19º 40′ Nota: Debe tenerse mucho cuidado con el cálculo de estos azimuts, pues las condiciones particulares de cada curva pueden hacer que cambie la manera de calcularlos. Especialmente el hecho de si el ángulo de deflexión es a la izquierda o a la derecha. Lo que yo recomiendo para no cometer errores es, primero que todo, tener bien claro el concepto de azimut, y luego hacer un dibujo representativo para ubicarse, que sea claro y más o menos a escala.
Recordemos que, conociendo las coordenadas de un punto A (N A y E A ), las coordenadas de un punto B (N B y EB) se calculan a partir de la distancia y el azimut de la linea que une los dos puntos (AB) así: NB = N A + Distancia AB · Cos(Azimut AB) EB = E A + Distancia AB · Sen(Azimut AB) Coordenadas del PI:
800N 700E Coordenadas del PC:
N = 800 + T·Cos(256º 20′) = 800 + 80,879 Cos(256º 20′) N = 780,890 E = 700 + T·Sen(256º 20′) = 700 + 80,879 Sen(256º 20′) E = 621,411 Coordenadas del centro de la curva (O):
N = 780,890 + R·Cos(346º20′) = 780,890 + 150 Cos(346º20′) N = 926,643 E = 621,411 + R·Sen(346º20′) = 621,411 + 150 Sen(346º20′) TRABAJO Nª 5
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E = 585,970 Coordenadas del PT
N = 800 + T·Cos(19º40′) = 800 + 80,879 Cos(19º40′) N = 876,161 E = 700 + T·Sen(19º40′) = 700 + 80,879 Sen(19º40′) E = 727,220 Deflexiones de la curva
Para calcular las deflexiones de la curva partimos de las abscisas calculadas para el PC y el PT y dos ángulos que ya están definidos: la deflexión por cuerda y la deflexión por metro. Como la cuerda unidad es de 20 m quiere decir que las abscisas de la poligonal se vienen marcando a esa distancia, por lo tanto si la abscisa del PC es la k2 + 145,121 , la siguiente abscisa cerrada corresponde a la k2 + 160 (no la k2 + 150 porque no es múltiplo de 20, es decir, si empezamos desde la k0 + 000 sumando de 20 en 20 no llegamos a la k2 + 150 sino a la k2 + 160). Esto genera una subcuerda, cuya longitud se calcula como la diferencia entre las dos abscisas: •
Subcuerda de entrada:
2 160 m – 2 145,121 m = 14,879 m
Ahora, si ya se había calculado que por cada metro de curva existe una deflexión δm=0º11’28,06”, para la primera subcuerda tenemos una deflexión (correspondiente a la abscisa k2 + 160) de: •
Deflexión para la abscisa k2 + 160 = 14,879 m * 0º11’28,06” = 2º50’37,64”
A partir de la abscisa k2 + 160 siguen abscisas cerradas cada 20 m (de acuerdo a la longitud de la cuerda unidad), hasta llegar al PC, y la deflexión para cada una de las abscisas siguientes corresponde a la suma de la anterior con la deflexión por cuerda: • • • • •
Deflexión para la k2+180 = 2º50’37,64” + 3º49’21,2” = 6º39’58.84” Deflexión para la k2+200 = 6º39’58.84” + 3º49’21,2” = 10º29’20,04” Deflexión para la k2+220 = 10º29’20,04” + 3º49’21,2” = 14º18’41,24” Deflexión para la k2+240 = 14º18’41,24” + 3º49’21,2” = 18º08’02,44” Deflexión para la k2+260 = 18º08’02,44” + 3º49’21,2” = 21º57’23,64”
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Deflexión para la k2+280 = 21º57’23,64” + 3º49’21,2” = 25º46’44,84”
Pero ahí hay que parar porque la abscisa del PT es la k2 + 293,364 , por lo tanto se genera otra subcuerda, la de salida, que se calcula de manera similar a la de entrada: •
Subcuerda de salida: 2 293,364 m – 2 280 m = 13,364
Y de la misma manera, la deflexión para la subcuerda es de: •
Deflexión para la subcuerda de salida = 13,364 m * 0º11’28,06” = 2º33’15,23”
Así que al final, la deflexión para el PT es: •
Deflexión para la k2+293,364 = 25º46’44,84” + 2º33’15,23” = 28º20’00,07”
La cual, según lo visto en el artículo, debe corresponder con la mitad del ángulo de deflexión de la curva:
Con esta información se construye la cartera de deflexiones, que va a ser la que permita materializar la curva en el terreno, pues es la que recibe el topógrafo para hacer su trabajo. A continuación se muestran las tres primeras que debe contener dicha cartera. Las otras tres, hacen referencia a los elementos que ya se calcularon a lo largo de este artículo (es necesario reescribirlos dentro de la cartera), el azimut de los alineamientos rectos (de entrada y salida), y el sentido en el que se deflectará la curva (en este ejemplo desde el PC hasta el PT, que es el sentido en el que aumenta la deflexión). Nótese que la cartera está escrita de abajo hacia arriba, para facilitar el trabajo de los topógrafos.
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ESTACIÓN
ABSCISA
DEFLEXIÓN
PT
k2+293,364
28º20’00,07”
K2+280
25º46’44,84”
K2+260
21º57’23,64”
K2+240
18º08’02,44”
K2+220
14º18’41,24”
K2+200
10º29’20,04”
K2+180
6º39’58.84” 21
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PC
K2+160
2º50’37,64”
k2+145,121
0º00’00”
REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES: Para replantear una curva circular lo primero que se debe realizar es ubicar el PI, una vez ubicado el PI se mide la longitud de la tangente sobre el primer alineamiento (tangente de entrada) para localizar el PC (punto de inicio de la curva) y desde este punto se mide la longitud de la curva para localizar el PT (punto donde termina la curva). A partir de estos puntos se puede replantear la curva. Métodos para replantear una curva: Existen tres métodos para replantear una curva circular, los cuales son los siguientes: • • •
Deflexiones angulares Ordenadas sobre la tangente Ordenadas sobre la cuerda principal
Deflexiones angulares: Este método consiste en replantear todos los puntos de la curva desde el PC midiendo ángulos de deflexión y cuerdas, el ángulo de deflexión es el ángulo formado por la tangente y cada una de las cuerdas que se miden desde el PC hasta los puntos de la curva. El método de deflexiones angulares es el más utilizado.
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Método de deflexiones angulares.
Deflexiones angulares. A partir de la figura se obtiene la fórmula para determinar la deflexión angular hacia cada uno de los puntos de la curva:
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Donde: δ = Ángulo de deflexión medido hacia cada uno de los puntos de la curva c = Cuerda medida a cada uno de los puntos de la curva α = Ángulo de deflexión Lc = Longitud de la cuerda principal
Ordenadas sobre la tangente: Este método consiste en replantear la curva por medio de ordenadas (y) las cuales son medidas perpendicularmente desde cada una de las tangentes hasta los puntos de la curva que corten las x, estas son medidas perpendicularmente al radio, como se indica en la figura
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Método de ordenadas sobre la tangente .
A esta fórmula se da diferentes valores a x para determinar y, y de esta forma se localizan todos los puntos de la curva. En la siguiente tabla se muestra una tabulación para R = 1, así multiplicando cualquier radio por cada uno de los valores se obtiene x y y:
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O también se pueden utilizar las fórmulas siguientes para calcular x y y:
Ordenadas sobre la cuerda principal :
Este método es similar al método anterior, la diferencia es que las ordenadas se miden sobre la cuerda principal.
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CONCLUSIONES
En este informe nos ayuda a conocer las formas para poder estacar. Se observo que el tema nos servirá de mucho para poder calcular y es muy importante saberlo para nuestra carrera profesional que ingeniería civil. Es preferible saber calcular mentalmente y saber las condiciones y formulas que está en cada tema. Para esto se realizó cuadros con valores adecuados que nos ayudo a calcular lo que nos pedía. Se vio cada grafica los métodos para estacar curvas: •
por la ordenada medias
•
por las abcisas y ordenadas.
Y todo este método es práctico y sencillo de resolver.
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