INVESTIGACION DE OPERACIONES
DOCENTE JUAN MANUEL MONTOYA VALENZUELA
ANALIZIS DEL METODO SIMPLEX
ACOSTA ESPINOZA ABIGAIL ARMENTA CAMPOS SARITA CASTRO LEYVA ALEXIS DE JESUS INZUNZA LOPEZ DELMIS.
MÉTODO A UTILIZAR La PL es una técnica mediante la cual se toman decisiones, reduciendo el problema bajo estudio a un modelo matemático general, el cual debe ser resuelto por métodos cuantitativos. En desarrollo de este capítulo se aplicarán la solución de dichos modelos aplicando el método simplex. Además se desarrollara la aplicación de variables artificiales y obtención de soluciones para identificar a qué tipo de clasificación pertenecen. Por medio de dichos modelos de solución se podrá obtener la solución adecuada para cada problema y facilitar la toma de decisiones. Careciendo de la ventaja visual asociada con la representación gráfica del espacio de soluciones, el método simplex emplea un proceso iterativo que principia en un punto extremo factible, normalmente el origen, y se desplaza sistemáticamente de un punto extremo factible a otro, hasta que se llega por último al punto óptimo.
LOS PROBLEMAS A RESOLVER SON LOS SIGUIENTES: PROBLEMA 1: El agricultor Jones debe decidir cuántos acres de maíz y trigo tiene que plantar este año. Un acre de trigo produce 25 bushels de trigo y requiere 10 horas de trabajo por semana. Un acre de maíz produce 10 bushels de maíz y requiere cuatro horas de trabajo a la semana. Todo el trigo se vende a 4 dólares el bushel, y el maíz se vende a 3 dólares el bushel. Se dispone de siete acres de tierra y 40 horas por semana de trabajo. Las regulaciones gubernamentales establecen que por lo menos 30 bushels de maíz se produzcan durante el año actual. Sea x1= número de acres con siembra de maíz y x2= número de acres con siembra de trigo. Utilice estas variables de decisión y plantee un PL, cuya solución le indique al agricultor Jones cómo maximizar el ingreso total a partir del trigo y el maíz. Variables: si
X1 = Número de acres con siembra de maíz. X2 = Número de acres con siembra de trigo. Función objetivo
MAXIMIZAR Z = $3/bushel (10 bushels/acre) X1 + $4/bushel (25 bushels/ acre) X2 Z = $30/acre X1 + $100/acre X2. Restricciones
1) X1 + X2. ≤ 7 ≥3 2) X1 3) 4x1 +10x2 ≤ 40 X1, X2. ≥0
Solución. Con ayuda del programa WINQSB, obtenemos la solución del problema en modo no negativo continuo. Así se muestra la tabla de solución del método.
Donde se aprecian los valores dados para las variables definidas y el valor optimo para Z. dándole un valor aplicado de 3 acres para X1 y 2.8 acres para X2. Con una ganancia de $370.00. Análisis de sensibilidad. Ya que el resultado obtenido no produce las máximas ganancias posibles, por las restricciones se pretende dar un margen para tratar de superar este valor.
Se pretende aumentar el número de horas a la semana de trabajo, el cual estaba limitado a 40 para darle un mayor rango de 52, lo que ocasiona un mayor aprovechamiento del terreno en conflicto. Toma de decisión. En conclusión se espera contar con los valores esperados en el análisis de varianza, para obtener un mayor rendimiento en el proyecto, donde puede haber una ganancia de hasta $490 según lo indica el planteamiento y resolución.
PROBLEMA 2: Hay tres fábricas a las orillas del rio Momiss (1,2 y 3). Cada una vierte dos tipos de contaminantes (1 y 2) al río. Si se procesarán los desechos de cada una de las fábricas, entonces se reduciría la contaminación del río. Cuesta 15 dólares procesar una tonelada de desecho de la fábrica 1, y cada tonelada procesada reduce la cantidad del contaminante 1 en 0.10 toneladas y la cantidad del contaminante 2 en 0.45 toneladas. Cuesta 10 dólares procesar una tonelada de desecho de la fábrica 2, y cada tonelada procesada reduciría la cantidad del contaminante 1 en 0.20 toneladas y la cantidad del contaminante 2 en 0.25 toneladas. Cuesta 20 dólares procesar una tonelada de desecho de la fábrica 3, y cada tonelada procesada reduciría la cantidad del contaminante 1 en 0.40 toneladas y la cantidad del contaminante 2 en 0.30 toneladas. El estado desea reducir la cantidad del contaminante 1 por lo menos en 30 toneladas y la cantidad del contaminante 2 en por lo menos 40 toneladas en el río. Plantee una PL que minimice el costo de disminuir la contaminación en las cantidades deseadas. ¿Opina que las suposiciones del PL (proporcionalidad, Aditividad, Divisibilidad y Certidumbre) son razonables para este problema? Variables: si
X1 = Toneladas de desecho a procesar de la fábrica 1. X2 = Toneladas de desecho a procesar de la fábrica 2. X3 = Toneladas de desecho a procesar de la fábrica 3. Función objetivo
MINIMIZAR Z = 15 X1 +10 X2 + 20 X3 Restricciones
1) .10 X1 +.20 X2 + .40 X3 ≥30 2) .45 X1 + .25 X2 + .3 X3 ≤ 40 X1, X2, X3 ≥ 0 Solución. El programa nos ofrece el resultado del problema lineal planteado, donde un resultado para cada variable y otro para la función objetivo. Se le da un valor aplicado de 8.47 toneladas, para X1, 145.76 toneladas para X2 y 0 para la planta 3. Con un coste de $1584.746 por el proceso.
Análisis de sensibilidad. Como los resultados obtenidos, no son muy convenientes en el punto de vista de algunos, se pretende interactuar con las restricciones para llegar a una conclusión más óptima en el trabajo.
Al realizar un análisis en las condiciones límite de las restricciones se llego a la conclusión de que el valor más óptimo en el problema sería reducir la cantidad deseada de tratamiento en contaminantes. Para lo cual se impone que al tratar 20 y 39 toneladas de contaminantes se podrá equiparar el costo entre dos de las fábricas lo cual es más beneficioso en este tipo de problemas lineales. Toma de decisión. Lo más correcto sería dar un resultado en que las tres fábricas tomaran a partes iguales el costo por tratamiento de contaminantes. Pero ya que no se pudo llegar a este, se espera optar por la opción dada en le análisis de varianza donde dos de las tres fabricas toman el deber de procesar las cantidades propuestas y cubrir el costo de $1474.57.
PROBLEMA 3: Suponga que la oficina de correos tiene la capacidad de forzar a los empleados a trabajar un día de tiempo extra cada semana. Por ejemplo, un empleado cuyo turno regular es de lunes a viernes, tendría que trabajar un sábado. Cada empleado recibe como pago 50 dólares por día en los primeros cinco días trabajados durante una semana y 62 dólares por el día extra (en caso de trabajarlo). Plantee un PL cuya solución posibilite a la oficina de correos minimizar el costo de cumplir con sus demandas de trabajo a la semana.
Exigencias de la oficina de correos Día Número de empleados de tiempo completo que se necesitan 1=Lunes 17 2=Martes 13 3=Miércoles 15 4=Jueves 19 5=Viernes 14 6=Sábado 16 7=Domingo 11 Variables: si
X1 = Empleados cuyo turno regular es de lunes a viernes y extra sábado. X2 = Empleados cuyo turno regular es de martes a sábado y extra domingo. X3 = Empleados cuyo turno regular es de miércoles a domingo y extra lunes. X4 = Empleados cuyo turno regular es de jueves a lunes y extra martes. X5 = Empleados cuyo turno regular es de viernes a martes y extra miércoles. X6 = Empleados cuyo turno regular es de sábado a miércoles y extra jueves. X7 = Empleados cuyo turno regular es de domingo a jueves y extra viernes. Función objetivo
MINIMIZAR Z = $250/jornada + $62/día extra (X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7) Z = $312 (X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7)
Restricciones
X1 +
X3 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥17
X1 + X2 +
X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 13
X1 + X2 + X3 +
X5 + X6 + X7 ≥15
X1 + X2 + X3 + X4 +
X6 + X7 ≥19
X2 + X3 + X4 + X5 +
X7 ≥14
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7
≥16 ≥11
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 ≥ 0
Solución.
La tabla de solución del problema es demasiado extensa como para compartir los datos. En ella se muestran los valores de algunas variables planteadas y variables de holgura, el valor optimo de Z, el cual cuenta con diferentes alternativas de solución.
Análisis de sensibilidad. Ya que el problema cuenta un gran número de alternativas de solución, se analizan para cumplir las demandas establecidas, en todas ellas se da el mismo valor óptimo lo que garantiza el monto de coste en las diversas formas en que se puede planificar el horario de los trabajadores.
Toma de decisión. Se cuenta con un gran número de variables de las cuales se puede alternar su valor, pero manteniendo el valor de Z constante ($5928). Se recomienda establecer cada solución para identificar la más óptima, ya que todas cumplen con las restricciones propuestas.
Conclusión.
El método simplex es una hábil herramienta en la resolución de problemas lineales, la cual facilita la toma de decisiones en las que influyan valores de gran importancia en un proceso. Su análisis nos informa sobre las variables que influyen en el resultado solicitado y su valor.
