Teoria de probabilidad

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

PROBABILIDAD Conceptos básicos de probabilidad.

Suponga que usted es el gerente general de la zona sureste de una compañía privada de paquetería, y que está preocupado por la posibilidad de que algunos de sus empleados se vayan a huelga. Usted estima que la probabilidad de que sus pilotos se vayan a huelga es de 0.75, y la probabilidad de que sus choferes hagan huelga es de 0.65. Además, sabe que si los choferes se van a huelga, existe el 90% de posibilidad de que los pilotos realicen un paro solidario de actividades. Usted quiere saber, ¿Cuál es la probabilidad de que los choferes se vayan a huelga como acto de solidaridad, si los pilotos hacen huelga ? Por medio de las herramientas que se le proporcionan en esta sección usted podrá contestar la pregunta planteada y así tomar una d ecisión. Introducción

La probabilidad es una parte de nuestras vidas cotidianas. En la toma de decisiones personales y administrativas, nos enfrentamos constantemente a la incertidumbre y es aquí donde precisamente se tiene que hacer uso de la probabilidad. Cuando en la radio se escucha que existe un 70% de posibilidad de que llueva, inmediatamente las personas cambian de planes de salir de día de campo y se quedan en casa divirtiéndose con juegos de mesa. Antes de establecer una definición de probabilidad es necesario presentar y definir algunos conceptos, los cuales son utilizados constantemente en la teoría probabilística: EXPERIMENTO: Un experimento es el proceso mediante el cual se obtiene una observación. Al menos conceptualmente es posible imaginar experimentos en los cuales el resultado puede anticiparse. En el dominio dominio de la estadística estos estos experimentos son de poco o ningún interés. Los experimentos de los que se ocuparán en esta sección reciben el nombre de experimentos aleatorios. ⇒ EXPERIMENTO ALEATORIO: Un experimento es aleatorio cuando sus resultados no son posibles de predecir antes de su realización realización y, por lo tanto, están están sujetos al azar. ⇒ ESPACIO MUESTRAL: El conjunto integrado por todos los resultados posibles de un experimento, recibe el nombre de espacio muestral, el cual se identificará con la letra “S”. El espacio muestral en probabilidad es el conjunto universal de la teoría de conjuntos. ⇒ EVENTO: Un evento es uno o más de los posibles resultados de un experimento. Un evento, haciendo uso de los términos de la teoría de conjunto, se puede definir como un subconjunto del espacio muestral. Cuando el evento consta de un sólo posible resultado recibe el nombre de “evento simple”, pero si está integrado por dos d os o más se llama “evento compuesto”. A continuación se ejemplifica estos conceptos. EJEMPLO Suponga el lanzamiento de una moneda . a) Defina el experimento b) Indique el espacio muestral c) Indique los eventos posibles ⇒

SOLUCION a) Lanzamiento de una moneda b) S = { C, X }, donde: C = cara y X = cruz c) Los eventos son cara o cruz. c ruz. Es importante indicar que existe otro método para representar re presentar el espacio muestral y sus posibles resultados: el diagrama de árbol o arborigrama.

Mtra. Patricia Muratalla Guzmán


EJEMPLO Una caja contiene tres fichas de de póker ( una roja, una blanca y otra verde ) y se seleccionan dos de ellas con reposición o reemplazo ( esto significa que se selecciona una ficha, se observa su color, y se repone o devuelve a la caja antes de hacer la segundo selección ). Represente el espacio muestral por medio de un diagrama de árbol. SOLUCION

OBSERVE Y ANALICE: a) Como la extracción se está realizando con reemplazo, en la segunda selección aparece la opción de la primera selección. b) En un diagrama de árbol se generan pares ordenados ( a, b ), en donde el primer elemento lo forma la opción de la primera selección y el segundo elemento la opción de la segunda selección. Por lo tanto el espacio muestral está integrado por los siguientes eventos:



S ={ ( R,R ), ( R,B ), ( R,V ), ( B,R ), ( B,B ), ( B,V ), ( V,R ), ( V,B ), (V,V )

}

EJEMPLO Realice el mismo ejercicio anterior excepto que la extracción se hace sin reemplazo o sin reposición, es decir, la ficha se selecciona y no se devuelve a la caja antes de ser realizada la segunda selección. SOLUCION Realizando el diagrama de árbol:



En forma de lista: S=

{

(R,B), (R,V), ( B,R), (B,V), (V,R), (V,B) }

OBSERVE Y ANALICE: Como la extracción fué sin reposición, el elemento de la primera selección no aparece en la segunda selección. 

Probabilidad De Un Evento

La probabilidad de que ocurra un evento se define como la frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra un evento. Existen tres maneras para calcular la probabili dad de un evento: a) Planteamiento clásico. b) Planteamiento de frecuencia relativa. c) Planteamiento subjetivo. ⇒

PLANTEAMIENTO CLÁSICO El planteamiento clásico define la probabilidad de que ocurra un evento como:

Probabilidad de que ocurra un evento = número de resultados posibles del evento número total de resultados posibles Simbólicamente: P ( A) = n ( A) n(S) La utilización de esta fórmula requiere de la existencia de un espacio muestral en donde cada resultado sea igualmente posible. EJEMPLO Considere el experimento del lanzamiento de una moneda, calcular la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento utilizando el planteamiento clásico. SOLUCION S = { Cara, Cruz } n(S)=2 Sea A ={ cara }, entonces: n ( A ) = 1, por lo tanto



P (A) = 1 2 ⇒

→ →

número de resultados posibles de que se produzca una cara número total de resultados en el lanzamiento

PLANTEAMIENTO DE FRECUENCIA RELATIVA

El planteamiento de la frecuencia relativa define la probabilidad de un evento como: a) La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos o b) La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables. Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como probabilidad. Se determina que tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y se utiliza esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. EJEMPLO Suponga que una compañía de seguros sabe, por la información obtenida de los datos actuariales registrados, que de los hombres de 40 años de edad, 60 de cada 100 000 morirán en un período de un año. Utilizando el método de frecuencia relativa estime la probabilidad de muerte de ese grupo de edad en particular. SOLUCION Sea S ={ Hombres que mueren en un periodo de un año}, entonces, n ( S ) = 100 000 Sea D = {hombres de 40 años de edad que murieron en un período de un año}, entonces, n ( D ) = 60 Probabilidad de muerte de este grupo de edad = 60 ó 0.0006 100000 ⇒

PLANTEAMIENTO SUBJETIVO

La probabilidad subjetiva se define como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible.

EJEMPLO Un juez debe decidir si permite la construcción de una planta nuclear en un lugar donde hay evidencia de que exista una falla geológica. Debe preguntarse a sí mismo ¿ Cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente nuclear grave en este sitio ?. El hecho de que no exista una frecuencia relativa de la presentación de la evidencia de accidentes anteriores en este sitio, no es suficiente para liberarlo de tomar la decisión. Debe utilizar su mejor sentido común para determinar la probabilidad subjetiva de que suceda un accidente nuclear.

Reglas De Probabilidad

Para poder calcular probabilidades de eventos es necesario conocer algunas reglas: 1.- La probabilidad del espacio muestral es igual a 1. P(S)=1 2.- La probabilidad de un evento se encuentra entre 0 y 1: Si el evento no puede ocurrir su probabilidad es de 0, pero si ocurre siempre su probabilidad es igual a 1. 0≤P(A)≤1 3.- Si se suman las probabilidades de cada uno de los eventos que conforman el espacio muestral, la probabilidad total es igual a 1


PROBABILIDAD Y ESTADISTICA n

∑ P( A ) = 1 i

1= 1

4.- La probabilidad de un evento es igual a la suma de las probabilidades de s us posibles resultados. n

P ( A )= ∑ P( E i ) i =1

EJEMPLO Una encuesta sobre el tránsito demuestra que en ci erta intersección, la probabilidad de que los vehículos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan la vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo. a) Represente el espacio muestral. b) Indique los resultados posibles. c) Sea el evento C = Vehículo seleccionado de vuelta a cualquier lado en la intersección, calcular su probabilidad. SOLUCION a ) Sea: I = Vehículos que dan vuelta a la izquierda D = Vehículos que dan vuelta a la derecha L = Vehículos que se siguen de largo Entonces: S ={ I, D, L} b) P ( I ) = 0.15 P ( D ) = 0.31 P ( L ) = 0.54 c)La probabilidad de que un auto de vuelta en cualquier dirección = probabilidad del auto que de vuelta a la izquierda + probabilidad del auto que de vuelta a la derecha P ( C ) = P ( I ) + P ( D ) = 0.15 + 0.31 =0.46 OBSERVE Y ANALICE: a) La probabilidad de cada evento se encuentra entre 0 y 1. b)La suma de las probabilidades es 1. c) La probabilidad de un evento es igual a la suma de los resultados que lo conforman. 

EJEMPLO En una universidad se han clasificado a los docentes en maestros de tiempo completo y maestros de tiempo parcial y según su sexo. Esta clasificación se presenta en la siguiente tabla: SEXO / DOCENTE MASCULINO FEMENINO

TIEMPO COMPLETO 25 35

TIEMPO PARCIAL 20 20

Si se selecciona a un docente aleatoriamente, determine las siguientes probabilidades: a) Sea de sexo femenino. b) Sea de tiempo completo SOLUCION Para poder solucionar el problema se recomienda obtener los totales tanto de cada fila como de cada columna y dar a cada resultado un símbolo que los represente, para después poder obtener las probabilidades correspondientes.



SEXO / DOCENTE

TIEMPO COMPLETO (C)

MASCULINO (M) FEMENINO (F) TOTAL

25 35 60

TIEMPO PARCIAL (P) 20 20 40

TOTAL 45 55 S =100

a) P ( F ) = 35 + 20 = 55 = 0.55 100 100 100 O bien se puede obtener la probabilidad observando directamente la columna de totales. b) P ( C ) = 60 = 0.60 100

Eventos excluyentes y no excluyentes. Eventos Mutuamente Excluyentes

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar en un mismo tiempo. Es decir o uno o el otro, pero no pueden suceder ambos al mismo tiempo. Con frecuencia interesa encontrar la probabilidad de que un resultado u otro suceda, Si éstos dos eventos son mutuamente excluyentes, se puede calcular esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos excluyentes. Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes entonces:

P(AoB)=P(AUB)= P(A)+P(B) Se lee la probabilidad de que suceda A o B es igual a la suma de sus probabilidades. OBSERVE Y ANALICE: a) La probabilidad de que suceda A y B o ambos ( A ∩ B ) es de 0, puesto que no existen intersección entre los eventos. b) Note que se está utilizando el diagrama de Venn - Euler para representar la operación, claro, esto es lógico puesto que los eventos son subconjuntos del espacio muestral, así como los conjuntos son subconjuntos del conjunto universal. 

EJEMPLO Una encuesta sobre el tránsito demuestra que en cierta intersección, la probabilidad de que los vehículos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan la vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo. Calcular la probabilidad de que un auto de vuelta a la izquierda o a la derecha. SOLUCION Para calcular la probabilidad de eventos compuestos es aconsejable realizar un diagrama de Venn, para poder detectar el tipo de eventos. Mtra. Patricia Muratalla Guzmán


En este problema es claro que los eventos son mutuamente excluyentes, entonces su diagrama será:

P ( I U D ) = P ( I ) + P ( D ) = 0.15 + 0.31 = 0.46 Eventos Mutuamente No Excluyentes

Sean los eventos A y B mutuamente no excluyentes y subconjuntos de un mismo espacio muestral S, entonces, la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B es: P(AUB)=P(A)+P( B)-P(A∩B) En la siguiente figura aparece el diagrama de Venn - Euler representando dos eventos mutuamente excluyentes

En la figura se puede observar que: P ( A ) = P ( r1 ) + P ( r2 ) P ( B ) = P ( r2 ) + P ( r3 ) P ( A ∩ B ) = P ( r2) Por lo tanto, si se quisiera sumar P ( A ) con la P ( B ) para encontrar la P(AUB ) se estaría sumando la P (r2) dos veces, obteniéndose una probabilidad errónea. Debido a esta explicación es que para obtener la unión de dos eventos mutuamente no excluyentes es necesario sumar la probabilidad de los eventos analizados y restarle una vez su intersección. EJEMPLO Calcular la probabilidad de extraer un as o una espada de una baraja de 52 cartas tipo americana, en un sólo intento. SOLUCION S = {x / x sea una carta de una baraja americana de 52 cartas}; n ( S ) = 52 Sea los eventos: A = {x / x sea un as }; n ( A ) = 4 por lo tanto P ( A ) = 4 / 52 B = {x / x sea una espada}; n ( B ) = 13 por lo tanto P (B ) = 13 / 52 P(AUB)=? Como existe una carta que es a la vez as y espada, entonces la probabilidad de que suceda el evento as y espada es: P ( A ∩ B ) = 1 / 52. Habiendo detectado que existe una intersección entre



los eventos A y B, entonces se dice que son eventos mutuamente no excluyentes y por lo tanto para encontrar la probabilidad de extraer un as o una espada, es decir, P ( A U B ) , se tendrá que aplicar su fórmula correspondiente. P(AUB)=P(A)+P( B)-P(A∩B)=

4 52

+

13 52

−

1 52

=

16 52

=

4 13

Representando esta operación en un diagrama de Venn:

OBSERVE Y ANALICE: Siempre que en un problema se pida encontrar algún tipo de probabilidad es importante detectar el tipo de eventos a trabajar, puesto que existen diferentes fórmulas según sean los eventos. 

Si un problema de probabilidad involucra dos eventos, digamos A y B, entonces muchas de las probabilidades que entrañan estos dos eventos pueden expresarse mediante una tabla o bien utilizando un diagrama de Venn - Euler, como se mostró anteriormente. A continuación se explica el procedimiento por medio de una tabla. Sean A y B dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral, entonces, la representación tabular de su posibles probabilidades son: B

A P (A ∩ B); A y B

B´

P (A∩B´); A y No B

Total

P ( A ); A

A´ P ( A´ ∩ B ) AyB P(A´∩B´) y No B P ( A´) ; No A

No

Total P ( B ); B

No A P ( B ´) ; No B 1

Se puede observar: a) Los complementos de los conjuntos: A´ complemento de A, B´ complemento de B. b) Los totales tanto del evento A como del B, así como el de sus complementos. c) El espacio muestral ( P ( S ) = 1 ). Note que si se suman las columnas verticales como las filas horizontales se obtienen sus probabilidades totales respectivas, esto es: P ( A ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B´) P ( B ) = P ( A ∩ B ) + P ( A´ ∩ B) P ( A´ ) = P ( A´ ∩ B ) + P ( A´ ∩ B´) P ( B´ ) = P ( A ∩ B´ ) + P ( A´ ∩ B´) P ( A ) + P ( A´ ) = 1 P ( B ) + P ( B´ ) = 1 EJEMPLO En una comunidad el 30% de las personas son fumadoras, 55% son bebedoras y 20% fumadoras y bebedoras ( tanto bebedoras como fumadoras ). Si se selecciona una persona al azar encontrar las siguientes probabilidades:



a) No fume b) No beba c) Fume pero no beba. d) Ni fume ni beba e) Beba pero no fume d) Fume o beba f) Fume o no beba SOLUCION A continuación se indicará un procedimiento muy sencillo para el llenado de la tabla: 1.- Representar simbólicamente a cada evento: Sean los eventos: F = {x / x sea un fumador }, por lo tanto, P ( F ) = 0.30 B = {x / x sea un bebedor}, por lo tanto, P ( B ) = 0.55 Por lo tanto, P ( F ∩ B ) = 0.20 2.- Llenar la tabla en forma parcial con las probabilidades totales de cada evento y con su intersección F F´ Total B 0.20 0.55 B´ Total 0.30 1 3.- Llenar las celdas en la forma en que se indica a continuación: F F´ Total B 0.20 0.55 - 0.20= 0.35 0.55 B´ 0.30 - 0.20 = 0.10 * 0.45 - 0.10 = 0.35 1 - 0.55 = 0.45 Total 0.30 1 - 0.30 = 0.70 1 * llenar al final esta celda 4.- Poner la tabla sólo con las probabilidades B B´ Total

F 0.20 0.10 0.30

F´ 0.35 0.35 0.70

Total 0.55 0.45 1

5.- Ya elaborada la tabla, se procede a contestar las preguntas de probabilidad teniendo en cuenta que las celdas interiores son intersecciones de los eventos, y que la fila y columna final, son los totales de cada evento respectivo. a) No fume: P ( F´) = 0.70 b) No beba: P ( B´) = 0.45 c) Fume pero no beba: P ( F ∩ B´) = 0.10 d) Ni fume ni beba: P ( F´ ∩ B´) = 0.35 e) Beba pero no fume: P ( B ∩ F´) =0.35 d) Fume o beba: P ( F U B ) = P ( F ) + P ( B ) - P ( F ∩ B ) = 0.30+0.55-0.20 =0.65 f) Fume o no beba: P ( F U B´)= P (F) + P(B´) - P ( F ∩ B´) = 0.30+0.45- 0.10= 0.65 EJEMPLO Represente el ejemplo anterior por medio de un Diagrama de Venn Euler



OBSERVE Y ANALICE: Con el diagrama se puede contestar las preguntas establecidas, a continuación se analizarán sólo algunas de ellas: La probabilidad de que no fume: P ( F´) = 1 - P ( F ) = 1- 0.30 = 0.70 La probabilidad de que fume o beba: P ( F U B ) = P ( F ) + P ( B ) - P ( F ∩ B ) = 0.30 + 0.55 - 0.20 = 0.65 La probabilidad que no fume ni beba: P ( F U B )´ = 1 - P ( F U B ) = 1 - 0.65 = 0.35 La probabilidad de que fume pero no beba: P ( F ∩ B´) = 0.10 

Eventos complementarios.

Los eventos compuestos se forman combinando varios eventos simples. A continuación se estudiará la probabilidades de los eventos compuestos. El evento complemento de evento A, es aquél que posee todos los resultados del espacio muestral que no pertenecen al evento A. Simbólicamente se representa: P ( A ´) = P ( S ) - P ( A ) = 1 - P ( A ) EJEMPLO Una encuesta sobre el tránsito demuestra que en cierta intersección, la probabilidad de que los vehículos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan la vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo. Calcular la probabilidad de que un auto no de vuelta a la izquierda. SOLUCION Siendo P ( I ) =0.15 Entonces la probabilidad de que no de vuelta un auto a la izquierda es su evento complemento: P ( I ´) = 1 - P ( A ) = 1 - 0.15 = 0.85 Independencia y probabilidad condicional.

Suponga que usted es gerente de una compañía seguros y elige a una persona para desempeñar cierta función entre 50 aspirantes. Entre los candidatos algunos poseen título universitario, otros poseen experiencia previa en el área de seguros y algunos cumplen ambos requisitos ( ver la siguiente tabla ) Experiencia previa (E) Sin experiencia previa (E´) Total


Título (T) 5 15

Sin título (T´) 10 20

Total 15 35

20

30

50


Usted quiere saber, ¿ Cuál es la probabilidad de seleccionar una persona con experiencia previa?, pero también está interesado en conocer ¿ Cuál es la probabilidad de seleccionar una persona que posea experiencia previa considerando sólo aquellos candidatos que posean título universitario ?, ¿ Será el mismo resultando para las dos preguntas ?. La respuesta es NO. Para poder resolver éste tipo de problemas es necesario conocer dos tipos de eventos: Independientes y Dependientes, los cuales se tratarán en ésta sección. Cuando se presentan dos eventos el resultado del primero puede tener un efecto en el resultado del segundo, o puede no tenerlo, esto es los eventos son dependientes o independientes respectivamente. En esta sección se examinará primero los eventos que son estadísticamente independientes, y posteriormente los dependientes. Probabilidad Bajo Condiciones De Independencia Estadística

Dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurra alguno de ellos no depende de la ocurrencia del otro, es decir la presentación de uno de ellos no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de cualquier otro evento. Existen tres tipos de probabilidad que se presentan bajo la independencia estadística: a) Marginal b) Conjunta c) Condicional a) Probabilidad marginal Una probabilidad marginal Considere el siguiente ejemplo:

es la probabilidad simple de presentación de un evento.

EJEMPLO Se lanza una moneda no cargada ( normal ), la probabilidad de que salga cara es de 0.5 y la probabilidad de que salga cruz es también del 0.5. Esto es cierto para cada lanzamiento, no importando cuántas veces se lance la moneda o cuáles hayan sido los resultados anteriores. En consecuencia, el resultado de cada lanzamiento de una moneda es estadísticamente independiente de los resultados de cualquier otro lanzamiento de ella. Este experimento se puede representar utilizando un diagrama de árbol de probabilidades, el cual se elabora de forma similar a la descrita en la sección en donde se trato el tema de la representación del espacio muestral, la diferencia está en que hay que presentar todos los resultados posibles con sus respectivas probabilidades. A continuación se presenta el diagrama de árbol del lanzamiento de una moneda no cargada:



b) Probabilidad Conjunta La probabilidad de que dos o más eventos independientes se presenten juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales. Matemáticamente se escribe como: P(A∩B)=P(A)P(B) Donde: P ( A ∩ B ) = Probabilidad de que los eventos A y B se presentes juntos o en sucesión, se le conoce como probabilidad conjunta. P ( A ) = Probabilidad marginal de que se presente el evento A P ( B ) = Probabilidad marginal de que se presente el evento B Para mostrar éste tipo de probabilidad, considérese el siguiente ejemplo. EJEMPLO Se lanzan una moneda dos veces, ¿ Cuál es la probabilidad de obtener dos caras ?. SOLUCION La obtención en el primer lanzamiento del “evento cara” es independiente de obtener en el segundo lanzamiento el “evento cara” por lo tanto, para obtener la probabilidad buscada, se aplicará la fórmula de probabilidad conjunta, puesto que piden la probabilidad de obtener “cara en el primer lanzamiento y cara en el segundo lanzamiento”. Sea el evento C1= Obtener el evento cara en el primer lanzamiento, P(C1)=0.5 C2= Obtener el evento cara en el segundo lanzamiento, P(C2)=0.5 Por lo tanto: P ( C1 ∩ C2 ) = P(C1) P(C2)=(0.5) (0.5)=0.25 Para elaborar el diagrama de árbol considérese lo siguiente: Si se realiza el primer lanzamiento, existen dos opciones posibles: cara y cruz, suponga que se obtiene cara, si se vuelve a lanzar la moneda también existen dos resultados posibles, cara y cruz, cada uno con probabilidad de 0.5, y así sucesivamente se va obteniendo el árbol:

A partiendo del diagrama de árbol se pueden obtener varias probabilidades, por ejemplo: a) La probabilidad de obtener cruz en el primer lanzamiento y cara en el segundo. b) La probabilidad de obtener por lo menos una cara Mtra. Patricia Muratalla Guzmán


c) La probabilidad de no obtener caras. SOLUCION Analizando el diagrama: a) P(X1 ∩ C2)=0.25 b) Sea el evento A= {Obtener por lo menos una cara }, recuerde que el término por lo menos significa como mínimo, de aquí que sus eventos incluyen aquellos resultados en donde se obtiene una cara (CI y X2), (X1 y C2) y en donde se obtiene dos caras (C1 y C2), por lo tanto sus resultados posibles son: A = { (CI y X2), (X1 y C2) (C1 y C2) } Para encontrar la probabilidad del evento A( probabilidad marginal), es necesario sumar las probabilidades ( conjunta ) de cada resultado, las cuales se obtienen, analizando la rama correspondiente en el diagrama de árbol. P(A) = P(C1∩ X2) + P(X1∩ C2) + P(C1∩C2) = (0.25)+ (0.25)+ (0.25)= 0.75. c) La probabilidad de no obtener caras en dos lanzamientos de una moneda, se puede resolver de dos formas: 1.- Utilizando el diagrama: Sea el evento B={No obtener dos caras},por lo tanto sus resultados posibles son: (C1 y X1), (X1 y C2 ), (X1 y X2), B= {(C1 y X1), (X1 y C2 ), (X1 y X2)}, de aquí que la probabilidad marginal buscada es igual a la suma de las probabilidades conjuntas correspondientes: P(B) = P (C1∩X1) + P(X1∩C2) + P(X1∩X2) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75 2.- Utilizando el concepto de evento complemento: Si C={obtener dos caras}, su resultado es (C1yC2), por lo tanto, P(C)= P(C1∩C2)=0.25 C´= { no obtener dos caras}, de aquí que: P(C´)= 1 - P(C) = 1 - 0.25 = 0.75 OBSERVE Y ANALICE: a) La suma de las probabilidades en cada lanzamiento debe ser igual a 1. b) Para encontrar la probabilidad marginal de un evento se suman las probabilidades conjuntas de sus resultados posibles. 

c) Probabilidad condicional A continuación se definirá el concepto de probabilidad condicional: Sean A y B dos eventos, entonces, la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió, se denomina probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A / B). Note que el evento que va en el denominador de la expresión, es el que debe suceder primero, para que posteriormente pueda presentarse el segundo evento, el cual va en el numerador de la expresión. Para eventos independientes la probabilidad de que suceda el evento A dado que el e vento B ya sucedió es simplemente la probabilidad de A. P( A / B ) = P ( A )

A esta relación se le conoce como condición de independencia.

En los experimentos que se realizan con reemplazo, se encuentran bajo independencia estadística, puesto que al reemplazar la primera selección, la segunda selección no se ve influida por la primera. EJEMPLO



Suponga que se extraen 3 cartas, con reemplazo, de un conjunto de 52 cartas americanas. ¿ Cuál es la probabilidad de que las tres sean ases ? SOLUCION Como la extracción se realizó con reemplazo, se aplicará la fórmula de probabilidad conjunta para eventos independientes: Sean los eventos A1= {Obtener as en la primera extracción}, P(A1) = 4/52 A2= {Obtener as en la segunda extracción}, P(A2) = 4/52 A3= {Obtener as en la segunda extracción}, P)A3) = 4/52 Entonces la probabilidad de obtener tres ases es: P(A1∩ A2∩ A3 ) = P(A1) P(A2) P(A3) = (4/52) (4/52) (4/52) = 64/140608 = 0.0005 OBSERVE Y ANALICE: Al seleccionar el segundo as el espacio muestral (52) no disminuye puesto que el as obtenido en la primera extracción se ha devuelto antes de seleccionar el segundo as, y la operación se repite para la extracción del tercer as 

Probabilidad Bajo Condiciones De Dependencia Estadística

Se dice que dos eventos A y B son dependientes si se cumple la siguiente condición: P( A / B ) ≠ P ( A ), esto quiere decir que, para obtener la probabilidad de que ocurra “A” existe la condición de que primero ocurra “B”. De la misma manera que los eventos independientes, existen tres tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística: a) Probabilidad condicional. b) Probabilidad Conjunta. c) Probabilidad marginal. a) Probabilidad condicional Sean A y B dos eventos estadísticamente dependientes, entonces, la probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A / B), es la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió. La fórmula para calcular la probabilidad condicional para eventos dependientes es: P(A/B)=

(

P A∩ B

)

( )

P B

Donde: P ( A / B ) = Probabilidad de que ocurra el segundo evento A, dado que el primer evento B ya ocurrió. P (A ∩ B ) = Probabilidad de que ocurra A y B. P ( B ) = Probabilidad de que ocurra el primer evento B Se lee: la probabilidad de que ocurra A dado que B ya ocurrió, es igual a la razón entre la probabilidad de que ocurra A y B, y la probabilidad de que se dé el evento B, el cual tiene que haber sucedido primero. Es importante indicar que cuando se muestrea sin reemplazo en una población finita, los valores de probabilidad asociados con los diversos eventos dependen de qué eventos han ocurrido. EJEMPLO En una muestra de 150 residentes, se preguntó a cada persona si estaba a favor de la propuesta de contar con un solo cuerpo policiaco en un distrito. El distrito esta formado por una ciudad grande y varios suburbios. En la siguiente tabla se resumen los datos obtenidos:



Lugar de residencia En la ciudad (C) Fuera de la ciudad (C´) Total

A favor (F) 80 20 100

En contra (F´) 40 10 50

Total 120 30 150

Si se selecciona al azar un de los residentes, ¿ Cuál es la probabilid ad ? a) De que esté a favor b) De que esté a favor dado que reside en la ciudad c) Son independientes los eventos “a favor” y “reside en la ciudad” SOLUCION a) P( F ) =

100 150

b) P ( F / C ) =

2

=

3

(

P F

∩ C )

( )

P C

=

80 120

=

2 3

c) Trabajando con la condición de independencia P ( F / C ) = P ( F ) Por lo tanto los eventos a favor y reside en la ciudad son independientes. b) Probabilidad conjunta Se había definido a la probabilidad conjunta como la probabilidad de que dos o más eventos se presenten juntos o en sucesión, es decir la P(A y B). En el caso de eventos dependientes, basta con despejar de la formula de probabilidad condicional, la probabilidad P(A ∩ B ): P(A ∩ B ) = P ( B ) P ( A / B ) Donde: P(A ∩ B )= Probabilidad de que suceda A y B ( probabilidad conjunta ) P ( B )= Probabilidad de que suceda el primer evento . P ( A / B )= Probabilidad de que suceda el segundo evento dado que el primero ya sucedió. EJEMPLO Según una investigación, la probabilidad de que una familia sea dueña de dos automóviles si sus entradas anuales son mayores a $35000 es de 0.75. De las amas de casa entrevistadas 0.60 tuvieron entradas superiores a $35000 y el 0.52 tenían dos autos.¿ Cuál es la probabilidad de que una familia tenga dos automóviles y una entrada mayor a $ 35000? SOLUCION Sean los eventos: A= {x / x sea una familia que posee dos autos } , P(A)= 0.52 B= {x / x sea una familia con entradas superiores a $35000}, P(B)=0.60 Por lo tanto: P( A / B ) = 0.75 Como en el problema preguntan P(A ∩ B), entonces: P(A ∩ B ) = P ( B ) P ( A / B ) = ( 0.65 ) ( 0.75 ) = 0.49 c) Probabilidad marginal La probabilidad marginal en condiciones de dependencia estadística se calcula mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo.



EJEMPLO De 12 cuentas que están en un archivo cuatro contienen un error de procedimiento en su elaboración de saldos. a) Si un auditor selecciona una cuenta el azar ¿Cuál es la probabilidad de que contenga un error de procedimiento? b) Si un auditor selecciona 2 cuentas al azar ¿ Cuál es la probabilidad de que ninguna de las cuentas posean error de procedimiento? c) Si el auditor selecciona 3 de sus cuentas al azar ¿ Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de ellas tenga error de procedimiento? Realice un diagrama de árbol de probabilidad. SOLUCIÓN a)Sea el evento: E ={ Cuenta con error} , por lo tanto, P(E)=4/12 b) Nota: Cuando se realiza una selección al azar significa que se está realizando sin reemplazo, y que por lo tanto los eventos son estadísticamente dependientes. Sea el evento E´= {Cuenta sin error}, por lo tanto, P(E´)= 1 - P(E)= 1 - 4/12 = 8/12 A= {Ninguna de las dos cuentas posean error} Al realizarse la selección al azar, significa que al seleccionar la primera cuenta ésta no es regresada al archivo, y por lo tanto la segunda selección está afectada por la primera, entonces: La probabilidad de que la primera cuenta no tenga error será: P (E1´) = 8/12 La probabilidad de la segunda cuenta no posea error depende de que la primera no haya tenido error, por lo tanto, tanto el número de cuentas sin error como el espacio muestral disminuye en una unidad, puesto que ya se extrajo una cuenta y ésta fué sin error, de aquí que, la probabilidad de que la segunda cuenta no tenga error dado que la primera no tuvo es: P (E2´/ E1´) = 7 / 11 Como están preguntando la probabilidad de que en la primera selección se obtenga una cuenta sin error y que en la segunda selección también la cuenta no posea error, se trata entonces de una probabilidad conjunta P ( E1´∩ E2´), de aquí que aplicando la fórmula de probabilidad conjunta: P ( A ) = P( E1´∩ E2´) = P(E1´) P( E2´/ E1´)= ( 8 / 12 ) ( 7 / 11) = 0.42 Este problema se puede resolver realizando un diagrama de árbol, considerando dos extracción sin reemplazo.

OBSERVE Y ANALICE: a) En la primera extracción puede salir un carta con error (E1) o bien sin error, (E1´), siento éste evento el complemento, lo cual quiere decir que la suma de 



ambos debe dar 1 ( 4/12 + 8/12 = 12/12). b) En la segunda extracción , cada opción anterior, tendrá 2 opciones: cuenta con error (E2) y cuenta sin error (E2´), pero como los eventos son dependientes, es necesario considerar que la probabilidad cada evento va disminuyendo tanto en el numerador como en el denominador, según sea el evento que haya sucedido anteriormente. Por ejemplo en la primera rama la probabilidad de que la segunda cuenta tenga error dado que la primera tuvo error es de 3/11, P(E2/E1)=3/11, puesto que ya se extrajo una con error. De manera similar se van calculando las probabilidades condicionales de las demás ramas. c) La suma de cada ramificación tendrá que ser igual a 1, por ejemplo, en la primera ramificación : 3/11 + 8/11 = 1. d) La suma de las probabilidades conjuntas de las ramificaciones de cada rama tiene que ser igual a la probabilidad de la rama, por ejemplo, tomando como base la primera rama: P(E)=4/12=0.33, por lo tanto las sumas de la probabilidades conjuntas de sus ramificaciones, P(E1 y E2) + P( E1 y E2´) = 0.09 + 0.24 = 0.33. e) Es importante agregar la columna de probabilidad conjunta para cada rama, claro está, aplicando la fórmula correspondiente para eventos dependientes. Por ejemplo la probabilidad conjunta de la primera rama es: P ( E1 ∩ E2 )= P(E1) P ( E2/E1)= ( 4/12 )(3/12)= 0.09. El cálculo de las probabilidades conjuntas facilitará la obtención de las probabilidades marginales. c)Realizar el diagrama de árbol

La pregunta planteada en este inciso se puede resolver de dos maneras: a) Utilizando evento complemento Sea T={ Obtener por lo menos una cuenta con error } T´={ Obtener una cuenta con ningún error }, entonces su resultado es: (E1´, E2´,E3´), por lo tanto: P(T´)= P(E1´ ∩ E2´ ∩ E3´) = 0.26 P(T)= 1 - ( T´)= 1 - 0.255 = 0.74. b) Obteniendo una probabilidad marginal, mediante la suma de las probabilidades conjuntas de los resultados que formen el evento. Sea T= { Obtener por lo menos una cuenta con error }, éste evento inmiscuye todos aquellos resultados que poseen una cuenta con error, dos errores y tres errores, de aquí que sus resultados son: T = { (E1,E2´,E3´), (E1´,E2 ,E3´), (E1´,É2´, E3), (E1, E2, E3´), (E1, E2´, E3), (E1´, E2, E3),(E1, E2, E3) }.



Para obtener la probabilidad marginal del evento “T” se tendrá que sumar las probabilidades conjuntas de sus resultados: P(T) = P (E1∩E2´∩E3´) + P (E1´∩E2∩E3´) + P (E1´∩É2´∩E3) + P (E1∩E2∩E3´) + P (E1∩ E2´∩E3) + P (E1´∩E2∩E3) + P (E1∩E2∩E3), por lo tanto: P(T)= 0.169 + 0.169 + 0.169 + 0.072 + 0.072 + 0.072 + 0.018 = 0.74 El teorema de Bayes

Si la administradora de una boutique encuentra que la mayoría de las chamarras deportivas color negro y blanco que pensó que se iban a vender muy bien, todavía están colgadas en los exhibidores, entonces tiene que revisar las probabilidades anteriores y ordenar una combinación diferente de color o ponerlas en oferta. En este caso, las probabilidades fueron alteradas después que la interesada obtuvo información adicional. Las nuevas probabilidades se conocen como probabilidad a posteriori. El origen del concepto de la obtención de probabilidades posteriores con información limitada se atribuye al reverendo Thomas Bayes ( 1702 - 1761). El teorema de Bayes ofrece un método estadístico poderoso para evaluar nueva información y revisar anteriores estimaciones de la probabilida d de que las cosas se encuentren en un estado o en otro. Si es utilizado correctamente, se hace innecesario reunir grandes cantidades de datos en un período grande con el fin de tomar mejores decisiones, basadas en probabilidad. La fórmula básica para la probabilidad condicional en circunstancias de dependencia se conoce como Teorema de Bayes . Partiendo de las fórmulas de probabilidad condicional y probabilidad conjunta para eventos estadísticamente dependientes P(A / B ) =

(

P A∩ B

( )

P B

)

, P ( A ∩ B ) = P ( B ) P ( A / B ) se procederá a enunciar el teorema de

Bayes. Sean A1, A2, ... A n eventos mutuamente excluyentes tales que cualquier evento “B” en el espacio muestral pertenece a uno y sólo a uno de estos evento. Entonces la probabilidad de que ocurra cualquier evento Ak dado que ha ocurrido el evento “B” se calculará por la siguiente fórmula:

(

P Ak B

)=

(

P Ak

∩ B)

( )

P B

Donde: El numerador es la probabilidad conjunta:

(

P Ak

∩ B) = P( Ak ) P( B Ak )

El denominador es la probabilidad marginal de que ocurra el evento “B” P( B) = P( A1 ) P( B A1 ) + P( A2 ) P( B A2 )++ P( An ) P( B An )



Por lo tanto, sustituyendo la fórmula de probabilidad condicional: P ( Ak / B ) =

( ) ( P( A ) P( B A ) + P( A ) P( B

P Ak P B Ak

1

1

2

A2

)

)++ P( A ) P( B n

An

)

Como son eventos estadísticamente dependientes, el teorema de Bayes se puede representar también utilizando un diagrama de árbol. EJEMPLO El empleado de préstamos de un banco sabe que el 5% de todos los solicitantes de préstamos representan riesgo de falta de pago, el 92% de todos los solicitantes que representan en realidad un cliente moroso también son considerados en la misma categoría por una agencia sobre consultoría de crédito y el 2% de todos los solicitantes que no representan en realidad un cliente moroso sí son por parte de la agencia. ¿ Cuál es la probabilidad de que un solicitante de préstamo que es clasificado como riesgo de falta de pago por la gerencia, en realidad lo sea ? Sean los eventos: a)Mutuamente excluyentes: A1= {Un solicitante represente en realidad un cliente moroso}, P(A1)=0.05 A2= {Un solicitante no represente en realidad un cliente moroso}, por lo tanto, P(A2) = 1 - P(A 1) = 1 - 0.05 = 0.95 b) El evento que tiene que suceder primero: B= {La agencia considera a un solicitante como un riesgo de falta de pago} B´= {La agencia no considera a un solicitante como un riesgo de falta de pago} Por lo tanto, en base a los datos del problema: P(B / A1 ) = 0.92 P(B / A2) = 0.02 P( A1 / B ) = ? Aplicando la fórmula del teorema de Bayes:

(

P A1 B

)=

( ) ( ) P( A ) P ( B A ) + P( A ) P ( B P A1 P B A1

1

1

2

A2

)

Sustituyendo la fórmula:

(

P A1 B

)=

( 0.05)( 0.92) ( 0.05)( 0.92) + ( 0.95)( 0.02)

=

0.046 0.065

= 0.71

Las operaciones realizadas en el Teorema pueden ser representadas en un diagrama de árbol. Para su elaboración, se parte de los eventos mutuamente excluyentes y se continúa con las ramificaciones, de igual manera como se ha indicado anteriormente.



OBSERVE Y ANALICE: Si se sustituye la fórmula del teorema, el numerador será la primera ramificación P ( A ∩ B ), y el denominador P(B) se calculará sumando las dos probabilidades conjuntas indicada en el diagrama por **, debido que es una probabilidad marginal y se obtiene sumando sus probabilidades conjuntas: 

(

P A1 B

)=

0.046

0.046

( 0.046) + ( 0.019)

=

0.065

=

0.71

Teniendo el diagrama se pueden obtener otras probabilidades, por ejemplo: a) ¿ Cuál es la probabilidad de que un solicitante de crédito que es clasificado por la agencia como una persona sin riesgo en la falta de sus pagos, en realidad no lo sea? P( A2 / B´) =

(

P A2

∩ B′ )

( )

P B′

=

0.931 0.0 04 + 0.9 31

=

0.931 0.935

= 0.995

De igual manera que en el ejercicio anterior, la probabilidad conjunta del numerador P(A 2 ∩B´) se obtuvo de la rama correspondiente del árbol y la probabilidad marginal de P(B´) se encontró sumando las probabilidades conjuntas de sus resultados: P(B´) = P(A1 ∩ B´) + P(A2 ∩B´).


Teoria de probabilidad

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