TEMA VI gr. v n u z .
TEORÍA CIN INÉT ÉTIC ICA A DE LOS LOS GASES magn agnitu itudes des macro acrosc scó ópicas icas de un gas, as, apli aplica can ndo la teo teoría ría partículas que componen el gas. as magn tu es m crosc p cas son prop e a es que caracterizan a cada partícula individual del gas: su posición, ve oc a , momen o nea y energ a c n ca, e c. s as magnitudes no son posibles de medir directamente. Las magnitudes macroscópicas son propiedades que caracterizan al sistema de muchas partículas, son el resultado del del prom promed edio io de las las magn magnit itud udes es micr micros oscó cópi pica cas: s: la pres presió ión, n, temperatura, cantidad de materia, energía interna, etc. Estas magn tu es son pos es e me r rectamente en a orator o� I. Ruiz
GASES IDEALES aleatoria en todo el volumen del recipiente, de tal manera que . Para ser un gas ideal, su densidad debe ser pequeña, en tal caso a s anc a prome o en re par cu as es muy gran e y a interacción entre moléculas es despreciable. Experimentalmente se encuentran: i Le e vo adro “Manteniendo constante la presión P y la tem eratura T de un as ideal su volumen es proporcional al número de moléculas N”. V α N I. Ruiz
GASES IDEALES ey e ar es ay ussac “Manteniendo constante la presión P y el , volumen V es proporcional a su temperatura”. V α T
iii) Ley de Boyle “Manteniendo constante el número de partículas N y su temperatura T de un gas ideal, su volumen V es inversamente proporcional a su presión P”. V α
1 P
I. Ruiz
GASES IDEALES V α N T
P
Introduciendo una constante de proporcionalidad, la ecuación de estado de un gas ideal esta dada por: N T P
= k
Donde : k = 1,38066 ×10
=
PV
k NT
−23
J/°K , constante de Boltzmann N El número de moles n, definido por la expresión: n = N A N
=
6 023 ×1023 moléculas/mol
La constante universal de los gases R, esta dada por la A
,
°
La ecuación de estado de los gases ideales esta dada por: PV
=
k NT
=
k
N A NT N A
PV
=
n RT I. Ruiz
TEORÍA CINÉTICA PARA GASES IDEALES La teoría cinética se fundamenta en los si uientes ostulados: i) El gas de volumen V, contiene un número muy grande N de , . ii) Las moléculas se modelan como partículas, el volumen total de las moléculas es despreciable frente al volumen V del gas. iii) El movimiento de las moléculas obedecen las Le es de Newton y mueven en trayectorias aleatorias del tipo zig-zag. , , su colisión, por tanto, se considera que las moléculas se mueve v) Las colisiones entre partículas y las paredes del recipiente , , la energía cinética.
I. Ruiz
PRESIÓN CINÉTICA Es la resión ue e ercen las moléculas del paredes de su recipiente.
as sobre las
Se considera un as ideal contenido en un reci iente cúbico rígido de aristas L, cuya área de sus caras es igual a L 2. Considerando una molécula de masa m ue colisiona con la cara A1, cuyo momento lineal antes de la colisión es: p = m v x u x
+ m v y u y + m vz u z
después de la colisión es:
' = −m v u
+ mv
u
+ mv
u
El cambio de momento lineal en el proceso ∆ p =
p '− p = −2 m v x u x
I. Ruiz
PRESIÓN CINÉTICA El tiempo que le toma a la partícula de ir de la cara A1 a la cara A2, está dada por la relación: v x
=
t 1
∆t 1
=
v x
El tiem o total ue le toma a la artícula en completar un viaje de ida y vuelta, es: ∆t =
2 ∆t
∆t =
2 L v x
La fuerza que experimenta la cara A1, , ∆ p ∆t
F =
F
=
m v x2 u L x
Si el cubo contiene N partículas, la partícula i-esima ejerce una fuerza F sobre la cara A :
Fi
=
m v xi2 ux L
I. Ruiz
PRESIÓN CINÉTICA La fuerza total ejercida por las N partículas sobre A1: N
F
=
∑
m F= L
F i
i =1
N
∑
2
v xi u x
i =1
El promedio del cuadrado de la velocidad en dirección X, esta definido por: N v x
=
N i =1
vxi
La fuerza total sobre la cara A está dada or:
F
=
N m 2 v u L x x
La velocidad de la partícula i-esima, está dada por: vi
=
vi x u x
+ vi y u y + vi z u z
Cuya magnitud al cuadrado está dada por: vi2
=
vi2x
2
2
+ vi y + vi z
I. Ruiz
PRESIÓN CINÉTICA El promedio del cuadrado de la magnitud de la velocidad esta dada por: v
2
=
1
N
v
2
v
2
1
=
i =1
N
v
2
N
1
+
v
i =1
i =1
2
+
1
N
v
2
v2
=
v2
2
+v +v
2
i =1
Como el gas esta constituido por un número grande de partícu as y que e espac o e ve oc a es no cam a en e tiempo, entonces se cumple que: 2
v x
=
2
vy
=
2
vz
Por tanto, la fuerza total que las moléculas ejercen sobre la cara A1, está dada por:
F
=
N m
2 x
v ux
F
=
N m
2
v u x
La presión que ejercen las N moléculas sobre la cara A1, cuya área es L2, está dada or: F P= A
P=
3 L3
v
2
I. Ruiz
PRESIÓN CINÉTICA Como: el volumen del gas es V=L3, la masa de todo el gas es M=Nm, la densidad está dada por ρ=M/V, la presión cinética está dada por: Nosepuedemostrarlaimagen.Puedequesuequi
P=
N m
3 L3
v
ponotengasuficientememoriaparaabrirlaimagenoqueéstaestédañada.Reinici
eelequipo y,acontinuación,abraelarchivo denuevo.Sisi
2
gueapareciendolaxroja,puedequetengaqueborrarlaimagenei
nsertarladenuevo.
P=
ρ
3
v
2
De cuya ecuación se puede concluir: “La presión cinética que ejerce el gas sobre las paredes del recipiente, se debe al número de colisiones que realizan las moléculas en la unidad e tiempo por unidad e rea”.
I. Ruiz
PRESIÓN CINÉTICA La ener ía cinética romedio del sistema de define por la expresión: N N EK
=
1
1
m vi2
i =1
=
1m
artículas se
vi2
i =1
Aplicando la definición de promedio del cuadrado de la , EK
=
1 2 mv 2
La presión cinética que ejercen las moléculas sobre la cara A1, está dada por: 2 ρ 2 N 3 V
K
3m
k
De cuya ecuación se puede concluir: “La presión de un gas, es proporcional: al número de trasnacional promedio de las moléculas“. I. Ruiz
INTERPRETACIÓN CINÉTICA DE LA TEMPERATURA Com arando las ecuaciones: P=
eo
( )
2 N E 3 V K
ene:
PV 3
N EK
=
=
N kT
2 N EK 3
=
N k T
N k T
Des e ando, la tem eratura cinética esta dada or: T
2 E 3 k K
=
De cuya ecuación se concluye: “La tem eratura e un istema e artículas es la ma nitud física escalar que mide su energía cinética promedio”. negativas, el cuadrado de la velocidad seria negativa. , escala, el 0 K corresponde a la energía cinética promedio nula. °
I. Ruiz
VELOCIDAD CUADRÁTICA MEDIA La velocidad cuadrática media se define a la raíz cuadrada del promedio del cuadrado de velocidad : 2 r ms
La velocidad cuadrática media, también se puede escribir en as ormas: vr ms
=
v
2
=
3P
=
3k T m
=
3 RT M
La velocidad cuadrática media no es igual a la rapidez media. “La velocidad cuadrática media es un buen parámetro estimativo de cuán rápido se mueven las partículas del istema e partículas”.
I. Ruiz
TEOREMA DE LA EQUIPARTICIÓN DE LA ENERGÍA Relaciona la ma nitud macroscó ica tem eratura con la magnitud microscópica energía cinética promedio. “ térmico, esta igualmente distribuida entre todos los grados , por partícula se tiene una contribución a la energía en la ” Los grados de libertad, se definen como el número de componen es n epen en es que ene a energ a. La cantidad de energía por partícula y grado de libertad del teorema de equipartición de la energía, se obtiene, de considerar: 2
v x
=
2
vy
=
2
vz
v
= 3 v x = 3 v y = 3 v z
I. Ruiz
TEOREMA DE LA EQUIPARTICIÓN DE LA ENERGÍA La ecuación: 2
Se escribe
kT
=
EK
=
2
mv
3 kT 2
=
1 m 3 vx2 2
3 kT 2
=
1 m 3 vy2 2
3 kT 2
1 m v x2 2
=
1 kT 2
1 m v y2 2
=
1 kT 2
1 m v z2 2
=
1 m 3 vz2 2
=
1 kT 2
Por tanto, si la molécula solo tiene energía cinética de traslación su ener ía cinética tiene 3 rados de libertad: 1 m vx2 2
1 m v y2 2
1 m vz2 2
Finalmente, se concluye que, por cada grado de libertad y por cada partícula se tiene una energía dada por: 1 k T 2 I. Ruiz
ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL Está definida como la suma de las ener ías cinéticas de las partículas, mas la suma de las energías potenciales entre ares de artículas, es decir: N
U
=
∑E
ki
i =1
∑
+
E pi j
pares de artículas
En un gas ideal, las distancias promedio entre partículas son mu randes, entonces, la ener ía otencial entre la partícula i y j se considera nula, y la energía interna del gas ideal esta dada por: U
=
∑ E
ki
i =1
, energía interna tiene una forma definida bajo el siguiente
I. Ruiz
GAS IDEAL MONOATÓMICO Se considera un as ideal con N moléculas monoatómicas, cada molécula está formada or un solo átomo, cu a molécula solo tiene energía cinética de traslación dada por: 1 1 1 2 2 2 ki
=
2
m vxi
2
m vy i
2
m vz i
El as monoatómico tiene tres rados de libertad. Por rado de libertad y por partícula se tiene una energía igual a k T 2 , por tanto la energía interna del gas ideal monoatómico es: U
= 3N
1 kT 2
Considerando que N k = n R, la energía interna del gas ideal monoatómico es: U
=
2
N kT
U
=
2
n RT I. Ruiz
GAS IDEAL DIATÓMICO Se considera un as ideal con N moléculas diatomicas, cada molécula está formada por dos átomos, cu a molécula tiene ener ía cinética de traslación y dos movimientos rotacionales respecto de los ejes Z y X del sistema de referencias c.m. , es decir: ki
1 2
2 xi
1 2
2 yi
1 2
2 zi
1 2
x
2 xi
1 2
z
2 zi
La energía tiene 5 grados de libertad, por tanto, la energía interna de un gas ideal diatómico está dada por: U
=
5 N kT 2
U
=
5 n RT 2 I. Ruiz
GAS IDEAL POLIATÓMICO Se considera un as ideal con N moléculas poliatómicas, cada molécula está formada or tres o mas átomos, cu a molécula tiene energía cinética de traslación y tres movimientos rotacionales respecto de los ejes X, Y, y Z del sistema de referencias c.m. , es decir: Ek i
=
1 2 m vxi 2
+
1 2 m vyi 2
+
1 2 m vz i 2
+
1 2 I xωxi 2
+
1 2 I yω yi 2
+
1 2 I z ω z i 2
La energía tiene 6 grados de libertad, por tanto, la energía interna de un gas ideal po atóm co está a a por: 6 2
6 2 I. Ruiz
ENERGÍA INTERNA DEL GAS IDEAL Solo se considera la energía cinética de traslación y rotación, pero también hay otras formas de energías, por ejemplo, las moléculas diatómicas pueden oscilar libremente, por tanto se ebe a icionar os gra os e liberta ebi o a la energía cinética de oscilación y la energía potencial de los dos átomos, en el caso e mo cu as po a om cas se e e a c onar m s e os gra os de libertad debido a las oscilaciones atómicas de la molécula. os mo os e osc ac n e as mo cu as se acen ev entes únicamente a altas temperaturas debido a las colisiones violentas , la temperatura del gas disminuye, los movimientos oscilatorio y libertad debido al movimiento traslacional. oscilación de los átomos en la molécula, según la mecánica I. Ruiz
