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Professor Substituto da Universidade Federal da Bahia (UFBA) e Professor da UNIJORGE (Centro Universitário Jorge Amado)
O Teorema de Rolle 2 Teorema de Rolle : Seja {I 7 R
contínua, tal que f(a) = f(b). Se f é derivável em (a, b) então existe um ponto c ∈ (a, b) onde f ’ (c) = 0.
Demonstração: Pode acontecer que f tenha valor constante f(x) = f(a) = f(a) = f(b) em todo o intervalo [a, b]; nesse caso, sua derivada f ’ é identicamente nula e o teorema está
demonstrado. Se f não for constante, ela terá que assumir valores maiores ou menores que f(a) = f(b). Se f(x) Se f(x) > f(a), f(a), para algum x algum x em em (a, b), pelo Teorema do Valor Extremo, f assume um valor máximo em algum ponto de [ a, b ]. Como f(a) = f(b) ela deve assumir esse valor em um número c no intervalo aberto (a, b). Então f tem um máximo local em c e f é diferenciável em c (pela hipótese de que f é diferenciável no intervalo (a, b)). Portanto, f ’ (c) = 0 pelo Teorema de Fermat. Se f(x) < f(a), f(a), para algum x em (a, b), pelo Teorema do Valor Extremo assume um valor mínimo em algum ponto de [ a, b]. Como f(a) = f(b) ela deve assumir esse valor em um número c no intervalo aberto (a, b). Então f tem um mínimo local em c e f é diferenciável em c (pela hipótese de que f é diferenciável no intervalo (a, b)). Portanto, f ’ (c) = 0 pelo Teorema de Fermat. Obs. O inverso do teorema de Rolle não é verdadeiro. Isto é, não podemos concluir que se uma função f for tal que f ’ (c) = 0, como a < c < b, então serão verdadeiras as
condições: Seja uma função f , tal que (i) ela seja contínua no intervalo [ a, b]; (ii) ela seja derivável no intervalo aberto (a, b); (iii) f(a) = 0 e f(b) = 0. Então existe um número c no intervalo aberto (a, b), tal que f ’ (c) = 0. A hipótese de f ser contínua em [ a, b], mas derivável em (a, b) é feita porque as derivadas f ’(a) e f ’(b) não intervêm na demonstração. Aplicação do Teorema de Rolle:
Verifique se o Teorema de Rolle se aplica as funções f ( x) =
2
x 2
4 x x 2 − 4 x e g ( x) = . x − 2 x + 2 −
Para respaldar a demonstração do Teorema de Rolle, vamos enunciar os Teoremas do Valor Extremo e o Teorema de Fermat: Teorema do Valor Extremo: Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d ) em algum número c e d em [a, b]. Teorema de Fermat : Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, e f ’ (c) existir, então f ’ (c) = 0.
x 2
4 x . Observemos que para x = 0 ou x = 4, f(x) = 0. x − 2 Observemos também que f(x) é descontínua em x = 2, que é um ponto do intervalo 0 ≤ x ≤ 4 , logo, não se pode aplicar o Teorema de Rolle. x 2 − 4 x Consideremos Consideremos agora g ( x) = , nesse caso a função é descontínua em x + 2 x = - 2 que não pertence ao intervalo 0 ≤ x ≤ 4 . Derivando g(x), temos: Solução:
Consideremos Consideremos f ( x) =
−
( x 2 − 4 x)'.( x + 2) − ( x + 2)'.( x 2 − 4 x) (2 x − 4).( x + 2) − 1( x 2 − 4 x) = = g ' ( x) = ( x + 2) 2 ( x + 2) 2 2 x 2 + 4 x − 4 x − 8 − x 2 + 4 x 2 x 2 + 4 x − 8 2 x 2 + 4 x − 8 = = ∴ g ' ( x) = ( x + 2) 2 ( x + 2) 2 ( x + 2) 2 2 x 2 + 4 x − 8 Podemos concluir que g ' ( x) = está definida em todos os pontos do ( x + 2) 2 intervalo, exceto x = - 2. Portanto, pode-se aplicar o Teorema de Rolle. H ÉÉ Temos g contínua em [-1, +1], g(-1) = g(1), mas 2. Seja {.- 7 H . - tal que . O motivo é que g não tem derivada no ponto não existe . 0.
Considerando o Teorema de Rolle como lema preliminar a outro teorema muito famoso da matemática, vamos inserir nesse contexto, um grande matemático ítalo-francês chamado Joseph – Louis Lagrange, que provou no século XVIII um teorema que ficou conhecido como Teorema do Valor Médio de Lagrange. O Teorema do Valor Médio possui um conteúdo geométrico muito sugestivo, que merece ser analisado antes mesmo de enunciá-lo. Para isso vamos considerar a função f e dois pontos sobre o seu gráfico: A = (a, f(a)) e B = (b, f(b))
Figura 1
O declive da secante AB é dado por
f (b) − f ( a ) b−a C = (c, ( c, f(c)) f(c))
. Observemos que a figura sugere que
entre A e B deve haver algum ponto sobre o gráfico, onde a reta tangente à curva seja paralela a secante AB. Mas então os declives dessas duas retas serão iguais.
Como o declive da tangente em C é f(c), teremos f (b) − f ( a )
=
f (b) − f ( a ) b−a
=
f ' (c )
ou ainda
f ' (c)(b − a ) .
Observemos que o valor c entre a e b, satisfazendo a equação f (b) − f (a ) = f ' (c )(b − a ) pode não ser único. A figura abaixo ilustra uma situação em que há dois pontos C e D entre A e B, onde as tangentes são paralelas à secante AB.
Figura 2
Portanto, nesse caso há duas abscissas c e d tais que f (b) − f ( a ) = f ' (c)(b − a ) = f ' ( d )(b − a ) . Pode acontecer também, que não haja ponto algum nas condições citadas, como em f ( x) = | x | . Isso mostra que para validade geral da equação f (b) − f ( a ) = f ' (c )(b − a ) , é imprescindível que a função f seja derivável no intervalo (a, b). No caso particular em que f (a) = f (b), a equação f (b) − f ( a ) = f ' (c)(b − a ) se reduz a f’(c) = 0. Esse fato é conhecido como o Teorema de Rolle, que já demonstramos acima. Vamos enunciar então o Teorema do Valor Médio de Lagrange. Seja f : [a, b] → IR uma função que satisfaz as seguintes condições: 1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]. 2. f é derivável no intervalo aberto (a, b). Então, existe um número c em (a, b) tal que f ' (c ) =
f (b) − f ( a ) b−a
Demonstração Demonstração do Teorema do Valor Médio :
A demonstração desse teorema consiste em síntese em duas etapas; 1o) Definir uma função F(x) no intervalo [a, b] que satisfaça as hipóteses do Teorema de Rolle. 2o) Aplicar a F(x) o Teorema de Rolle.
Demonstração:
Vamos considerar a função F(x) igual à diferença entre as ordenadas f(x da curva e Y da x da abs issa. A secante reta secante AB, ou seja, F x) = f(x) – Y, para um mesmo valor x AB é a reta pelo ponto ( , f(a)) com declive •
por Y − f ( a ) =
f (b) − f ( a )
( x a) ou Y = f (a ) +
f (b) − f ( a ) b−a
f (b) − f ( a )
b−a b−a Portanto a Função F(x) = f x) – Y será dada por: f (b) − f ( a ) F ( x) = f ( x ) − f (a ) − ( x − a) b−a
; Logo sua equação é dada
( x − a)
Daí podemos observar faci lmente que F(a) = F(b) = 0, além do que F é derivável nos pontos internos ao interval [a, b]. Logo o Teorema de Rolle é aplicáv l a essa função: existe um ponto c, entre a e b, tal que F’(c) = 0. Mas f (b) − f ( a ) f b ) − f (a ) de sorte que F’(c) = 0 significa f ' (c) = F ' ( x ) = f ' ( x ) − b−a Ou ainda f (b) − f ( a ) = f ' (c)(b − a ) . Isso completa a demonstração do
b−a
eorema.
Agora, vamos ver como u ilizar o Teorema do Valor Médio para elu cidar o seguinte problema: Dois corredores iniciaram uma corrida num mesmo instante e termi aram a corrida empatados. Prove que e algum instante durante a corrida eles têm a mesma velocidade. Solução:
Consideremos inicialmente que tais corredores gastaram u terminar a corrida, daí seja S1 e S2 definidas no intervalo [0, T]
tempo T para
É bastante razoável, do onto de vista físico, que tais funções s erão deriváveis satisfazendo S 1(0) = S2(0), (pois os corredores partem da mesma posiçã inicial) e S1(T) = S2(T) (pois os mesmos te minam a corrida empatados). Com base em tais informações, consideremos a função F: [0, T] → IR d finida por: F(t) = S1(T) - S2(T) •
Observe a Figura 1
Notemos também que a função F também é derivável, pois é a diferença entre duas funções deriváveis, e a mesma satisfaz que F(0) = F(T) = 0. Utilizando o Teorema do Valor Médio de Lagrange, observemos então que deve existir um tempo t ∈ (0, t) satisfazendo F (T ) − F (0) F ' (t ) = =0 T − 0 Usando a definição de F temos que S’ 1(T) – S’2(T) = 0 e lembrando-se que a derivada da posição é a velocidade, segue que no tempo t vale V1(t) - V2(t) Onde V1 e V2 são as respectivas velocidades, concluindo assim nossa demonstração. Bibliografia
STEWART; JAMES - Cálculo Volume I, Ed. Cengage Learning ÁVILA; GERALDO - Cálculo 1- Funções de uma variável - Ed. LTC
