Solución Caso 2 La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia. Una de sus características consiste en que solo hay dos posibles resultados en un determinado ensayo del experimento y los resultados son mutuamente excluyentes; Otra caracter istica de la distribuci on binomial es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Es decir, se cuenta el n umero de exitos en el numero total de ensayos. Una tercera caracter istica de una distribucion binomial consiste en que la probabilidad de exito es la misma de un ensayo a otro. Un estudio del Departamento de Transporte de Illinois concluyo que 78.5% de quienes ocupaban los asientos delanteros de los vehiculos utilizaba cintur on de seguridad. Esto significa que los dos ocupantes de la parte delantera utilizaban cinturones de seguridad. Suponga que decide comparar la informacion con el uso actual que se da al cintur on de seguridad, para lo cual selecciona una muestra de 8 vehiculos. Usando sus conocimientos sobre distribuciones discretas de probabilidad, presente un informe en el que como minimo incluya: 1. Esta situacion cumple con los supuestos de la distribucion binomial. Identif iquelos La distribución de probabilidad binomial se caracteriza por que solo hay dos posibles resultados; para este caso, ambos resultados del experimento son, los dos pasajeros de los asientos delanteros usan el cinturón de seguridad o no lo usan. Además, al seleccionar 8 vehículos vehículos como muestra, existe existe una cantidad fija de ensayos (8). Una tercera característica es que la probabilidad de usar el cinturón de seguridad es la misma en todos los ensayos (78.5%). Una característica final es que los ensayos son independientes. 2. Diagrama de barras de la distribucion de probabilidad binomial que representa esta situacion
3. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera en exactamente 5 de los 8 vehiculos seleccionados utilicen cinturones de seguridad Formula de probabilidad binomial
() = ∗ (1 )− ó. ú . ú é. é
La letra griega (pi) representa un parámetro de población binomial. No confundir constante matemática 3,1416. = 78,5 =8 =5 (5) = ∗ (0,785) (1 0,785)− (5) = 56 ∗ (0,2981) (0,00994) (5) = 0,16593
La probabilidad de que los ocupantes de exactamente 5 de los 8 vehículos de la muestra utilicen cinturones de seguridad es de aproximadamente 16,59 %.
4. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de por lo menos 5 de los 8 vehiculos utilicen cintur on de seguridad ( ≥ 5) = (5) + (6) + (7) + (8) ( ≥ 5) = (0,1659) + (0,3028) + (0,3159) + (0,1441) ( ≥ 5) = 0,9289
La probabilidad de seleccionar 8 vehículos y hallar que los ocupantes de 5 o más vehículos utilizan cinturón de seguridad es de aproximadamente 92,89 %.
Los datos de los cálculos de probabilidades binomiales para cada éxito se muestran en la siguiente tabla.
Éxitos
Combinación
1 2 3 4 5 6 7 8
8 28 56 70 56 28 8 1
0.785 0.616225 0.48373663 0.37973325 0.2980906 0.23400112 0.18369088 0.14419734
( 1 )−
Probabilidad
0.0000212358 0.0000987713 0.000459401 0.002136751 0.009938375 0.046225 0.215 1
0.00013336 0.00170423 0.01244484 0.05679767 0.16590203 0.30286765 0.31594832 0.14419734 0.92891534 0.23698212
x≥5 x≤5
5. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de maximo 5 de los 8 vehiculos utilicen cintur on de seguridad ( ≤ 5) = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) ( ≤ 5) = (0.00013336) + (0.00170423) + (0.01244484) + (0.05679767) + (0.16590203) ( ≤ 5) = 0,2369
La probabilidad de seleccionar 8 vehículos y hallar que los ocupantes de máximo 5 vehículos utilizan cinturón de seguridad es de 23,69 %.
6. Numero de vehiculos esperado en los que los ocupantes de la parte delantera utilizan el cintur on de seguridad. =8 = 0,785 = ℎ =∗ = 8 ∗ 0,785 = 6,28
Se espera que, entre 6 y 7 vehículos, los ocupantes de la parte delantera usen cinturón de seguridad.
