Sol 10 Integral

10

Integral indefinida y definida

1. Reglas de integración ■

Piensa y calcula Calcula: Calcula: a) y = x5, y' =

b) y' = 3x2, y =

c) y = e5x, y' =

d) y' = e3x, y =

Solución:

a) y' = 5x 4

●

b) y = x3

c) y' = 5e 5x

1 d) y = 3 e3x

Aplica la teoría 1.

∫ 3(3x – 5) dx 7

Solución:

Se aplica la integral de una función polinómica. (3x – 5)8 + k 8 2.

∫

dx (3x + 5)3

Solución:

Se aplica la integral de una función logarítmica. L |x + 3| + k 6.

3.

∫

9 dx x+3

Solución:

Se aplica la integral de una función logarítmica. 9 L|x + 3| + k 4.

∫ e dx x

x3 – 2x2 + k 3 7.

5. 28 8

∫

dx x+3

∫ 2

6x

dx

Solución:

Se aplica la integral de una función exponencial. 26x – 1 + k 3L2 8.

∫

x dx x2 – 1

Solución:

Se aplica la integral de una función logarítmica. 1 L |x 2 – 1| + k 2

Solución:

Se aplica la integral de una función exponencial. e x + k

2

Solución:

Solución:

Se aplica la integral de una función racional. 1 – + k 6(3x + 5)2

∫ (x – 4x) dx

9.

∫ 4√ x dx

Solución:

8x√ 8x √ x + k 3 SOLUCIONARIO

. L . S , o ñ u r B l a i r o t i d E o p u r G ©

10.

∫

7 dx 2 √ 7x + 5

Solución:

Se aplica la integral de una función irracional. 2 √ x – 1 + k

Solución:

Se aplica la integral de una función irracional. √ 7x + 5 + k 11.

∫ 6x dx

20.

∫ ( 2 √1 x + x

1 2

+

)

2 dx x3

Solución:

13.

1 – 1 + k x x2

∫ √ x dx 3

3x √ x + k 4

∫

2x(x2 + 1) dx

x4 + x2 + k 2

∫

1 dx (x + 3)2

Solución:

1 – + k (x + 3) 16.

∫

(x3 –

6x2 + 1) dx

Se aplica la integral de una función polinómica. x4 – 3 4 2x + x + k


4 18.

Solución:

–1 – 1 dx 3(x3 + 1) 21.

∫

3 dx (x – 3)4

Solución:

Se aplica la integral de una función racional. – 1 3 + k (x – 3) 22.

23.

5

∫

dx x

Solución:

L x + k 24.

∫ 3 · 2

3x

dx

Se aplica la integral de una función exponencial. 23x + k L2

∫

x(x2 + 5) dx

∫

dx (2x – 1)4

Solución:

5x2

+

∫ (4x + 1) dx

Se aplica la integral de una función polinómica. (4x + 1)6 + k 24

25.

Solución:

x4

∫

Solución:

Solución:

17.

x2 + k (x3 + 1)2

Solución:

Solución:

15.

dx

3

Solución:

14.

x/2

Se aplica la integral de una función exponencial. 2 e x/2 + k

3x4 + k 2

√ x –

∫ e

Solución:

3

Solución:

12.

19.

2

+ k

∫

dx √x – 1

TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA

Se aplica la integral de una función racional. 1 – + k 6(2x – 1)3 26.

∫

ex dx ex – 5 289

Solución:

L

|ex –

30.

5| + k

∫ e

–7x

dx

Solución:

∫

2x – 3 dx 2 x – 3x + 5

Solución:

Se aplica la integral de una función exponencial. –7x – e + k 7

Se aplica la integral de una función logarítmica. L |x 2 – 3x + 5| + k

31.

27.

28.

∫

dx

Solución:

5

2 √ 2x dx

Se aplica la integral de una función logarítmica. –L – L |1 – x| + k

Solución:

Se aplica la integral de una función irracional. 32.

5

5x √ 2x + k 3 29.

∫ 1 – x

∫ (x – 2x – 5) dx 4

Solución:

Se aplica la integral de una función polinómica. x5 – x2 – 5x + k 5

∫

2 dx √ 1 – (2x)2

Solución:

Se aplica la integral de una función trigonométrica. arc sen 2x + k

2. Integral definida ■

Y

Piensa y calcula Halla, Halla, contando contando,, el área de la 2ª figura del margen, margen, la que tiene un signo signo + dentro. dentro. Cada cuadradito es una unidad cuadrada.

[ 2

]

X 5

y=x–1

Solución:

Tiene exactamente 7,5 u2

●

+

x=2

x=5

Aplica la teoría 2

33. Calcula

∫

2

(5 – x2) dx

c)

–1

∫ (5 – x ) dx = 12 u 2

2

–1

Solución: 3

Y

34. Calcula

∫ (–2x + 1) dx 1

Solución:

Y

X – 1

2

1

3

X

x3 3 14 22 b) F(–1) F(–1) = – ,F(2) = 3 3

a) F(x) F(x) = 5x –

29 0

SOLUCIONARIO


x2 2 G(0) = 0, G(2) = 2

a) F(x) = x – x2 b) F(1) = 0, F(3) = – 6 3

c)

G(x) =

∫ (5 – x ) dx = – 6 u 2

2

2

1

35. Siendo |x| el valor absoluto o módulo de x, calcula la 2

integral definida

∫ |x| dx

∫ x dx = 2 u 5 |x| dx = (–x) dx + x dx = ∫ ∫ ∫ 2 = 2,5 u 2

0 2

0

2

–1

–1

0

2

–1

1

Solución:

∫ xedx

36. Calcula el valor de

Y

x2

0

Solución: Y

X – 1

2

X 0

2

0

2

–1

–1

0

∫ |x| dx = ∫ (–x) dx + ∫ x dx Sea F(x) = ∫ (–x) dx

1

a)

x2 2 1 F(–1) = – , F(0) = 0 2 F(x) = –

0

∫ (–x) dx = 12 u G(x) = ∫ x dx

2

1 –x 2 e 2 1 1 b) F(0) = – , F(1) = – e –1 2 2 a) F(x) = –

1

c)

∫ xedx = 12 (1 – e 0

x2

–1)

= 0,32 u2

–1

3. Cálculo de áreas . L . S , o ñ u r B l a i r o t i d E o p u r G ©

■

Y

Piensa y calcula Halla por aproximación el área de las dos regiones, la amarilla y la verde, del dibujo del margen. Cada cuadradito es una unidad cuadrada. Solución:

La amarilla, 5 u2 aproximadamente, y la verde 2 u2 aproximadamente. En total, unas 7 unidades cuadradas.


1

3

A2

4

X

A1 y = x2 – 2x – 3

x=1

x=4

291

●

Aplica la teoría 37. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica

de f(x) = x3 – 3x2 – x + 3, el eje de abscisas y las rectas x = 0,x = 3

Solución:

Raíces: x1 = – 2, x2 = 0, x3 = 2

0

Y

–2 2

X

1 0

3

x4 – 3 – x2 x + 3x 4 2 1 7 (x3 – 3x2 – x + 3) dx = u2 4 0 3

2

2

3

2

0

40. Calcula el área de la región limitada por la curva

(x3 – 3x2 – x + 3) dx =

3

3

Área = 8 u2

Raíces: x1 = –1, x2 = 1, x3 = 3

∫ ∫ ∫ (x – 3x – x + 3) dx = – 4 u

x4 – 2 2x 4

∫ ∫ (x – 4x) dx = 4 u ∫ (x – 4x) dx = – 4 u (x3 – 4x) dx =

y=

x2 y las rectas y = 0, x = 2, x = 3 x3 – 2

Solución: Y

2

X

1

Área =

23 = 5,75 u2 4

2

38. Halla el área del recinto limitado por la recta y = 3 – 2x

y la parábola y = 2x – x 2

Solución:

3

Raíces: x = 0 1 x2 dx = L |x3 – 2| 3 3 x – 2 3 1 x2 dx = (L 25 – L 6) u2 3 3 2 x – 2 1 Área = 3 (L 25 – L 6) = 0,48 u2

∫ ∫

Y

3

X

1

41. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Dibuja el recinto limitado por las curvas: y = ex + 2, y = e –x , y = 0,x = – 2 , x = 0 b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.

Raíces: x1 = 1, x2 = 3

x3 + 2x2 – 3x 3 3 4 (–x2 + 4x – 3) dx = 3 u2 1 4 Área = = 1,33 u2 3

∫ ∫

(–x2 + 4x – 3) dx = –

Solución: Y

39. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica

de y = x3 – 4x y el eje X

X

Solución:

–1

Y


Raíces: x = –1 –1

– 2

X

0 2

∫ e ∫ e –2 0

x+2

–x

dx = e – 1 u2

dx = e – 1 u2

–1

Área = 2e – 2 = 3,44 u 2 292

SOLUCIONARIO

42. Dada la función, definida en los números reales salvo

en x = 0

Solución:

Y

2 x calcula el área de la región plana limitada por la gráfica de f(x) y el semieje positivo X f(x) = 3 – x –

1

2

X

Raíces: x1 = 1, x2 = 2 2 x2 – 3 – x – dx = 3x – 2L|x| x 2 2 2 3 3 – x – dx = – 2 L 2 u2 x 2 1 3 Área = 2 – 2 L 2 = 0,11 u2

∫ ( ∫ (

)

)

4. Aplicaciones de la integral definida ■

Piensa y calcula Un depósito recoge agua de un grifo a una velocidad que sigue la función f(x) = 2x, donde f(x) se expresa en litros por minuto, y x, en minutos. 5

Calcula la integral

∫ 2x dx e interpreta el resultado. 0

Solución: 5

∫ 2x dx = 25 0

Se recogen 25 litros de agua en los 5 primeros minutos.

●

Aplica la teoría 43. Se estima que el ritmo de crecimiento de un feto du-

rante el embarazo viene dado por la función: . L . S , o ñ u r B l a i r o t i d E o p u r G ©

x x2 f(x) = – + 5 200 donde x se mide en semanas y f(x) en centímetros por semana. Calcula cuánto ha crecido el feto en las 30 primeras semanas.

Solución:

a) El crecimiento será: 30

∫ ( 0

)

2 – x + x dx 5 200

∫ (

)

x x2 x3 x2 b) F(x) = – + dx = – + 5 200 600 10 c) F(30) = 45; F(0) = 0 d) |F(30) – F(0)| = |45 – 0| = 45 Ha crecido 45 cm


293

44. Una fábrica produce objetos de decoración. La fun-

ción de ingreso marginal viene dada por: 3 x+2 donde x es el número de objetos vendidos e i(x) viene dado en euros. ¿Cuál es el incremento de los ingresos obtenidos cuando se pasa de vender 100 a vender 200 objetos? i(x) = 5 +

∫ 10000 e dx b) F(x) = ∫ 10000 e

0,5x

X 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

100

0,5x

0

5 4 3 2 1

(

Solución: 5

Y

∫

de basura viene dado por la función: f(x) = 10000 · e0,5x donde x se mide en años y f(x) en toneladas por año. Si se considera x = 0 el primer año en el que se inicia el estudio, ¿cuánta basura se generará en el municipio durante los 5 primeros años? a) El crecimiento será:

Solución:

200

46. En un municipio se estima que el ritmo de generación

)

3 5 + x + 2 dx = 500 + 3(L 101 – L 51) = 502,05 €

dx = 20000 e0,5x

c) F(5) = 243650; F(0) = 20000 d) |F(5) – F(0)| = |243650 – 20 000| = 223 650 Se han generado 223 650 Tm

45. La función que mide el caudal que sale de un depósi-

to es: f(x) = 10 – x donde f(x) está dado en litros por segundo, y x, en segundos. ¿Qué cantidad de agua sale del depósito entre el segundo 4 y el segundo 8? Solución: Y

X 4

8

8

Volumen =

∫ (10 – x) dx = 16 litros. 4


294

SOLUCIONARIO

Ejercicios y problemas

PA U

Preguntas tipo test 1

Contesta en tu cuaderno:

Calcula la siguiente integral indefinida:

∫ (

5 x+ x

)

2

✘

11/3 u2

dx

35/3 u2 No se puede calcular el área porque la función es discontinua en x = – 3

x4 – x4 + k 4 4

( )

1 5 x+ 3 x ✘

2

3

31/3 u2

6

+ k

Calcula el área de la región limitada por la parábola y = x2 y la recta y = – x + 2

25 x3 + 10x – + k 3 x

9 u2

x4 + L |x| + k 4

21/2 u2

3 u2 ✘

Sea la función f(x) = 3x 2 – 6x. Si f '(x) representa su derivada, encuentra una primitiva F(x) de f(x) que verifique F(2) = f'(3) x3 – 3x2 + 5

✘

x3 – 3x2 + 13

7

9/2 u2

Dada la función f(x) = – x3 – 2x2 + 3x, calcula el área encerrada por la gráfica de la función f(x) y por el eje OX 32/3 u2

x3 – 3x2 + 16 ✘

x3 – 3x2

71/6 u2 45/4 u2

3

Calcula el área de la región plana acotada limitada por las gráficas de las funciones reales de variable real: f(x) = x2 – x; g(x) = 1 – x2 4/3 u2

8

8/9 u2

8/3 u2 4

7/12 u2

✘

9/8 u2

Dada la función: °x2 – 1

f(x) = ¢

£(x –

1)2

Una alfombra de flores lleva 21 rosas por cada 4 dm2 de superficie. Se quiere rellenar de rosas una parte de la alfombra cuya gráfica está limitada por las funciones: y = – x2 + 4x + 3 ;y = 3 Si se mide en metros y cada rosa cuesta 0,3 ¿cuánto cuesta rellenar esa parte de la alfombra?

si x Ì 0 si x > 0

✘

840 �

2/3 u2

1890 �

1/3 u2

9

1 u2

Sea la función f(x) = 3x 2 – 6x. Calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3 8 u2

No se puede calcular el área porque la función es discontinua en x = 0 . L . S , o ñ u r B l a i r o t i d E o p u r G ©

5

1680 � 3570 �

calcula el área del recinto limitado por los ejes de coordenadas y la gráfica de la función.

✘

�,

4 u2 6 u2

Dada la función: ✘

°2 § f(x) = ¢ x2 §1 £

si x Ì –3 si –3 < x < 1 si x Ó 1

calcula el área limitada por la gráfica de la función y = f (x), las rectas x = – 3, x = 2 y el eje de abscisas.


10

2 u2

Halla el área limitada por la recta y = – 4x + 4 y la parte positiva de los ejes de coordenadas. ✘

2 u2

4 u2

1/2 u2

8 u2

295

Ejercicios y problemas 1. Reglas de integración 47.

∫ 4(4x –

1)5

dx

54.

Se aplica la integral de una función polinómica. (4x – 1)6 + k 6

Se aplica la integral de una función logarítmica. 1 L |x2 + 9| + k 2 55.

dx (x – 1)5

∫

3 dx (x – 9)2

∫

Solución:

Solución:

Se aplica la integral de una función racional. 1 – + k 4(x – 1)4 49.

2

Solución:

Solución:

48.

x dx

∫ x + 9

∫

–3 + k x–9 56.

3 dx √3x

∫

Solución:

(2x + 7)2 dx

Se aplica la integral de una función irracional. 2 √ 3x + k

Solución:

(2x + 6 50.

∫ e

7)3

– x

+ k 57.

dx

2x dx √x2 – 1

∫

Solución:

2 √x2 – 1 + k

Solución:

Se aplica la integral de una función exponencial. –e –x + k 51.

58.

3x

∫ x – 5 dx 2

Solución:

dx x–1

∫

3 L |x2 – 5| + k 2

Solución:

Se aplica la integral de una función logarítmica. L |x – 1| + k

59.

∫ e

4x – 7

dx

Solución: 52.

e4x – 7 + k 4

5 dx x3

∫

Solución:

60.

– 5 2 + k 2x

∫ (5 – 2x) dx 4

Solución: 5

53.

∫ 2

– 4x

– (5 – 2x) + k 10

dx

61.

Solución:

Se aplica la integral de una función exponencial. 2 –4x – + k 4L2

296

∫ (


)

1 – 3 x + 2 dx 2 3 x x x +3

Solución: 2 – 1 + 3 2 + L |x + 3| + k 2 x 2x

SOLUCIONARIO

62.

∫ (10x + 2x – x – 1) dx 4

3

69.

Solución:

2x5 +

∫ x(x +

x4 x2 – – x + k 2 2

1)2

2

dx

∫ 5 · 7

– 5x

dx

Solución:

Se aplica la integral de una función exponencial. 7 –5x – + k L7

1 4 2 3 1 2 x + x + x + k 4 3 2

∫ 5

√x3 dx

71.

dx (x + 7)2

∫

Solución:

Solución:

Se aplica la integral de una función irracional.

Se aplica la integral de una función racional. 1 – + k x+7

5

5x √x3 + k 8 65.

∫ e

x/3

dx

72.

∫ (2x + e

Solución:

Solución:

Se aplica la integral de una función exponencial. 3ex/3 + k

x2 +

66.

x2 – 3x + 1 dx x

∫

73.

5x)

dx

e5x + k 5 3x2 + 5 dx x3 + 5x – 1

∫

Solución:

Solución:

1 2 x – 3x + L |x| + k 2

Se aplica la integral de una función logarítmica. L |x3 + 5x – 1| + k

67.


dx

3ex + k 2 70.

Solución:

64.

x2

Solución:

Se aplica la integral de una función polinómica.

63.

∫ 3xe

∫ (

3x2 + 1 –

)

1 8 + 5 dx x+2 x

74.

∫ ( ) x+

1 dx x

Solución:

Solución:

Se aplica la integral de las operaciones. x3 + x – L |x + 2| – 24 + k x

x2 + L |x| + k 2

68.

∫ (2x –

75.

1)3

dx

Solución:

Se aplica la integral de una función polinómica. (2x – 1)4 + k 8


∫ (x + 1) dx 3

Solución:

(x + 1)4 + k 4

297

Ejercicios y problemas 76.

∫ √5x + 1 dx 3

∫ xe

–x 2

83.

Solución:

Solución:

Se aplica la integral de una función irracional.

– e

3

3(5x + 1) √5x + 1 + k 20

–x2

84. 77.

∫

23x dx

2 dx x+1

∫

2 L |x + 1| + k

23x + k 3L2 85.

∫

3

2x √x2 – 1 dx

3

86.

5x

)

3 2 x – 8x + 1 dx 4

Se aplica la integral de una función polinómica. x4 x3 + – 4x2 + x + k 4 4

3(x2 – 1) √x2 – 1 + k 4

∫ e

∫ (

x3 +

Solución:

Solución:

79.

+ k

Solución:

Solución:

78.

2

dx

dx

∫ (x + √x ) dx

Solución:

Solución:

Se aplica la integral de una función exponencial.

x2 + 2x √x + k 2 3

e5x + k 5

2. Integral definida 80.

5 dx 5x + 4

∫

Solución:

Se aplica la integral de una función logarítmica. L |5x + 4| + k

81.

Calcula

x ( ∫ 2 + 1) dx 2

Solución: Y

∫

X

(6x2 – x + 2) dx

Solución:

2x3 –

82.

5

87.

∫

1 2 x + 2x + k 2

2

a) F(x) =

x2 +x 4

b) F(2) = 3,F(5) =

45 4

5

2

x3x dx

c)

5

∫ ( x2 + 1) dx = 334 = 8,25 u


2

2

Solución: 2

3x + k 2L3

298

3

88.

Calcula

∫ (x – 2x – 4) dx 2

1

SOLUCIONARIO

e

Solución:

Calcula

90.

∫ (1 + 1x ) dx 0

Y 1

Solución:

X

3

a) F(x) = x + L|x| b) F(e) = e + 1; F(1) = 1 e

c)

∫ ( ) 1+

0

x3 – x2 – 4x 3 14 b) F(1) = – 3 , F(3) = – 12

1 dx = F(e) – F(1) = e x

a) F(x) =

3. Cálculo de áreas 91.

3

∫

22 c) (x2 – 2x – 4) dx = – 3 = –7,33 u2 1 El área es negativa porque el recinto está debajo del eje X 89.

Sea f :  8  la función definida por f(x) = a) Esboza la gráfica de f

|x 2 –

Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de f(x) = x3 – 4x, el eje de abscisas y las rectas x = – 1, x=2

Solución: Y

1|

2

b) Calcula

∫

X

0

f(x) dx

2

–1

0

Solución: Y

Raíces: x1 = – 2, x2 = 0, x3 = 2

0

2

∫

|x2 – 0

1 2

1

1| dx =

∫

(–x2 0

0

2

+ 1) dx +

∫

(x2 – 1

1) dx

–1 2

∫

Sea F(x) = (–x2 + 1) dx F(x) = –

1

2 3

92.

2

2

3

Área =

∫ (–x + 1) dx = 23 u G(x) = ∫ (x – 1) dx

2

0

2

23 = 5,75 u2 4

Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = 2 – x4 y = x2

Solución:

2

Y

x3

– x 3 2 2 G(1) = – 3 , G(2) = 3 G(x) =


3

0

x3 +x 3

F(0) = 0, F(1) =

x4 – 2 2x 4

∫ 7 (x – 4x) dx = ∫ 4 u ∫ (x – 4x) dx = – 4 u (x3 – 4x) dx =

X

X –1

1

2

∫ ∫ |x – 1| dx = ∫ (–x + 1) dx + ∫ (x – 1) dx = 2 u 4 (x2 – 1) dx = 3 u2 1 2 0

2

1 0

2

2

2

1


Raíces: x1 = – 1, x2 = 1 2

∫

(–x4 – x2 + 2) dx = –

x5 – x3 + 2x 5 3 299

Ejercicios y problemas 1

∫

(–x4 – x2 –1

Área = 93.

4. Aplicaciones de la integral definida

44 + 2) dx = 15 u2

95.

44 = 2,93 u2 15

Dada la función f(x) = 4 – x 2, calcula el área encerrada entre la gráfica f(x) y el eje de abscisas.

Solución:

El caudal de un grifo viene dado por la función: f(x) = 1 + 2x donde x se mide en minutos y f(x) en litros por minuto. a) Escribe la función que expresa la cantidad de agua que arroja el grifo al cabo de x minutos. b) ¿Cuánta agua arroja el grifo durante la quinta hora?

Solución:

Y

La función será:

∫

a) F(x) = (1 + 2x) dx = x + x2 5

∫ (1 + 2x) dx

X – 2

2

4

b) F(5) = 30; F(4) = 20 c) |F(5) – F(4)| = 10 El grifo ha arrojado 10 litros.

Raíces: x1 = – 2, x2 = 2 x3 3

∫ ∫ (4 – x ) dx = 323 u (4 – x2) dx = 4x – 2

2

2

96.

–2

Área = 94.

32 = 10,67 u2 3

a) ¿Qué ingreso se obtiene por la venta de 2000 unidades?

Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x) = – 4x3 + 5, el eje de abscisas, la recta x = – 1 y la recta x = 1

b) ¿Cuál es el ingreso adicional al pasar de 2 000 a 3000 unidades vendidas?

Solución: Y

La función de ingreso marginal de un producto, en millones de euros, es: i(x) = 15 – 2x donde x es el número de unidades vendidas en miles.

Solución: 2

∫ (15 – 2x) dx = 26 millones de euros. ∫ (15 – 2x) dx = 10 millones de euros. 0 3 2

X –1 3

Raíces: x = √10 = 1,08 2

∫ (–4x + 5) dx = – x + 5x ∫ (–4x + 5) dx = 10 u 3

1

4

3

2

1

97.

Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse. La parcela es la región plana limitada por la curva 1 y = √ x – 1 y la recta y = (x – 1) 2 Calcula el área de la parcela.

Solución:

–1

Y

Área = 10 u2 X 1

5

Área =

5

∫ ( √ x – 1 – x –2 1 ) dx = 43 = 1,33 u

2

1

300

SOLUCIONARIO


Para ampliar Calcula tres primitivas de la función: y=x Represéntalas. ¿En qué se parecen?

98.

100. Calcula

Solución:

Es la integral de un polinomio. x4 – 2x2 + k 4

Solución:

x2

y=

la integral de la función: f(x) = x3 – 4x

2 x2 y= +1 2 x2 y= –3 2

101.

1

∫ e

2x

dx

Solución:

Y

–1 + k 2e2x X 102.

∫ (

)

1 + 3x2 dx x

Solución:

L |x| + x 3 + k Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante. 99.

Dada la función: y = –x + 1 a) calcula su integral indefinida. b) halla la primitiva que pasa por el punto P(4, – 1) c) dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior.

Solución:

a)

∫

Es la integral de una función exponencial. ex + 2 + k

104.

∫ (

)

x3 – x + 2 dx x2

2 x2 – L |x| – + k x 2

105.

k=3

c)

Solución:

42 + 4 + k = –1 2

y=–

la integral de la función: y = ex + 2

Solución:

x2 (–x + 1) dx = – + x + k 2

b) –

103. Calcula

x2 +x+3 2

∫ (x + x

1

2

)

dx

Solución:

x2 – 1 + k x 2

Y

106. Calcula


la integral de la función: f(x) = √ x – 1

X

Solución:

Se aplica la integral de una función irracional. 2 (x – 1) √ x – 1 + k 3


301

Ejercicios y problemas 3

107. Calcula

∫ 0

la función f(x) = 3x – x 3 Halla el área de la región limitada por el eje X y dicha función.

109. Sea

1 dx x+1

Solución:

Solución:

Y

Raíces: x1 = – √ 3 , x2 = 0, x3 = √ 3 Y X 3

—

√3 —

– √ 3

a) F(x) = –

b) F(0) = 0, F(3) = L 4 c)

∫ x +1 1 dx = L 4 = 1,39 u

0

x4 3x2 + 4 2 9 9 b) F( – √ 3 ) = 4 , F(0) = 0, F( √ 3 ) = 4

a) F(x) = L |x + 1| 3

X

2

0

c) Área =

la función f(x) = 2x 3 + bx2 + ax – 5 a) Halla los valores de a y b, de forma que f(x) tenga un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2 b) Halla el área de la región limitada por la gráfica f(x) y el eje X entre x = 0 y x = 3

9 = 4,5 u2 2

108. Sea

Solución:

a) f'(x) = 6x2 + 2bx + a En los puntos en los que tiene el máximo y el mínimo, la primera derivada se anula. Se obtiene el sistema: a + 2b + 6 = 0 ° ¢ò a = 12, b = – 9 a + 4b + 24 = 0 £

las funciones f, g :  8  definidas por: f(x) = 6 – x2, g(x) = |x|, x é  a) Dibuja el recinto limitado por las gráficas f y g b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

110. Considera

Solución:

a) Dibujo: Y

y = 2x3 – 9x2 + 12x – 5 5 b) Raíces: x1 = 1, x2 = 2

X – 2

Y

2

b) Raíces: x1 = –2, x2 = 2 0

5 – 1 2

X 3

∫ ∫ (6 – x – x) dx = 223

22 (6 – x2 + x) dx = 3 –2 2

2

0

Área = x4 – 3x3 + 6x2 – 5x 2 3 75 3 • F(0) = 0, F(1) = – , F(5/2) = – ,F(3) = – 2 32 2 51 • Área = 16 = 3,19 u2

44 = 14,67 u2 3

• F(x) =

302

111. Calcula

el valor de a, positivo, para que el área encerrada entre la curva y = ax – x 2 y el eje de abscisas sea 36. Representa la curva que se obtienen para dicho valor de a

SOLUCIONARIO


Solución:

ax –

x2

Y

= 0 ò x = 0, x = a

a

∫ (ax – x ) dx = 36 ò a = 6 2

0

X

y = 6x – x 2

1 — m2

Y

1/m2

∫

( √ x – mx) = 1

0 3

√62 m= 6 X 0

6

el área de la región limitada por la curva y = e x y las rectas x = 0 y x = 2

114. Calcula

112. Resuelve

las siguientes cuestiones: a) Dibuja la región limitada por la curva de ecuación y = x(3 – x) y la recta de ecuación y = 2x – 2 b) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.

Solución: Y

Solución:

a) Gráfica: Y

2

X 2

X

–1 2

∫

a) ex dx = ex b) F(2) = e2; F(0) = 1 c) Área =

2

∫ e dx = |F(2) – F(0)| = e – 1 u x

2

2

0

b) Raíces: x1 = –1, x2 = 2 2

Área =

115. Halla

el valor del parámetro a sabiendo que el área limitada por la gráfica de la parábola y = x 2 – ax y el 32 eje X es 3

∫ (–x + x + 2) dx = 94 = 4,5 u 2

2

–1

113. Halla . L . S , o ñ u r B l a i r o t i d E o p u r G ©

los valores de m para que el área de la región limitada por la parábola y 2 = x y la recta y = mx sea 1

Solución:

Raíces: x1 = 0, x2 = 12 m


Solución:

x2 – ax = 0 ò x = 0, x = a 0

| ∫ (x – ax) dx| = 323 2

a |a3|

= 64 a=4 a = – 4

303

Ejercicios y problemas Y

Y

X – 4

X

0

0

4

Problemas 116. Calcula

tres primitivas de la función: y = –x Represéntalas. ¿En qué se parecen?

c)

Y

Solución:

X

x2 y = – 2 2 y=– x +3 2 x2 y=– –1 2 118. Calcula

Y

la integral de la función: f(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x

Solución: X

Es la integral de un polinomio. x5 x3 – x4 + + 3x2 + k 5 3

Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante. la función:y = e x a) calcula su integral indefinida. b) halla la primitiva que pasa por el punto P(1, 1) c) dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior.

117. Dada

Solución:

∫

a) ex dx = ex + k

119. Calcula

la integral de la función: x2 – 3x + 2 f(x) = x

Solución:

Se aplica el método de integración de funciones racionales. La descomposición es: 2 x–3+ x La integral es: x2 – 3x + 2 L |x| + k 2

b) e1 + k = 1 ò k = 1 – e ò y = ex + 1 – e 304

SOLUCIONARIO


120. Calcula

la integral de la función: y = e – x

Se resuelve la ecuación y se toma a > 0: 1 L (a2 + 1) = 1 ò a = √ e2 – 1 2

Solución:

Y

Es la integral de una función exponencial. –e –x + k

1 0,5

121. La

recta que pasa por los puntos (0, – 6) y (1, 0) (observa el dibujo) es la gráfica de la función derivada segunda f’’ de una cierta función f:  8 . Se sabe que el origen pertenece a la curva y = f(x) y que en ese punto la recta tangente tiene pendiente igual a 3. Determina una expresión de la función f

X 0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

a

123. Calcula

el valor de a > 0 para que

Y

∫

1 dx = 3 0x+1

Solución: a

∫ xdx+ 1 = L (a + 1)

y = f''(x) X

0

L (a + 1) = 3 ò a = e3 – 1 Y 1,0 0,8

Solución:

0,6

f"(x) = 6x – 6 f'(x) = 3x2 – 6x + k 1 f'(0) = 3 ò k 1 = 3 f'(x) = 3x2 – 6x + 3 f(x) = x3 – 3x2 + 3x + k 2 f(0) = 0 ò k 2 = 0 f(x) = x3 – 3x2 + 3x

0,4 0,2

X 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

consideran las funciones f(x) = x 2 – 2x + 3, g(x) = ax2 + b a) Calcula a y b para que las gráficas f(x) y g(x) sean tangentes en el punto de abscisa x = 2 b) Para los mismos valores de a y b, halla el área limitada por las gráficas de las funciones y el eje vertical Y

124. Se

Y

X

Solución:

1 a) a = 2 , b = 1 b) Área: 122. Se


Y

considera la función real de variable real definida por: f(x) = 2 x x +1

Calcula el valor de a > 0 para el cual se verifica la iguala

dad

∫ f(x) dx = 1

X

0

0

Solución: a

∫

0

x dx = 1 L (a2 + 1) 2 x2 + 1


2 2 x –

∫

0

2

4 4x + 4 dx = 3 = 1,33 u2 2 305

Ejercicios y problemas las funciones f(x) = x 2 + ax + b, g(x) = – x2 + c a) Determínense a, b y c sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos (–2, –3) y (1,0) b) Calcula el área de la región limitada por las gráficas f(x) y g(x)

125. Sean

Solución:

a) f(x) = x2 + 2x – 3, g(x) = – x2 + 1 b) Área:

Raíces: x1 = – 1, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 3 x5 – 4 x3 x + + 3x2 5 3 22 76 b) F(–1) = , F(0) = 0, F(2) = 15 15 98 c) Área = 15 = 6,53 u2 a) F(x) =

128. Se

quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = x2 y la recta y = 1 en dos regiones de igual área mediante una recta y = a.Halla el valor de a

Y X

– 2

Solución: Y

1

X

1

Área =

∫

Aplicando el cálculo integral, se tiene:

(–2x2 – 2x + 4) dx = 9 u2

1

∫ (1 – x ) dx = 43 u

–2

2

2

–1

126. Halla

el área del recinto delimitado por la curva y = x2 + 4x + 5 y la recta y = 5

Solución:

Si y = a, y = x2 x2 = a ò x1 = – √ a , x2 = √ a 4 2 La mitad de 3 es 3

Y

–

√a

– 4

∫

0

0

1 (a – x2) dx = 3 3

2a√a = 1 ò a = √2 2 3 3 X

0

Área =

∫

32 (–x2 – 4x) dx = 3 = 10,67 u2 –4

la función f(x) = x 4 – 4x3 + x2 + 6x Calcula el área determinada por la gráfica f(x), el eje horizontal y las rectas x = – 1 y x = 2

127. Sea

129. Resuelve

las siguientes cuestiones: a) Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas: 2 y = x2 + 1, y = e y = x – 1 x b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.

Solución:

a) Recinto:

Solución:

Y Y X 0

X – 1

0

2

3

1 2

b) Área del recinto. 1

∫ (x + 1) dx = 43 2

0

306

SOLUCIONARIO


2

∫ (

1

)

∫

2 1 – x + 1 dx = – + L 4 x 2

1

Área =

0

5 + L 4 = 2,22 u2 6

130. Resuelve

(ax3 – 3ax) dx =

5 4

– 5a = 5 4 4 a = –1 f(x) = –x3 + 3x

las siguientes cuestiones:

Y

9 – x2 , 4 la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa x = 1 y el eje de abscisas. b) Calcula el área del recinto considerado en el apartado anterior. a) Dibuja el recinto limitado por la curva y =

X 0

1

Solución:

a) Recta tangente: 5–x y= 2 Y

Para profundizar X 1

3

132. La

recta de ecuación 3x – y + 2 = 0 es tangente a la parábola de ecuación y = ax 2 + c en el punto P(1, 5) a) Calcula las constantes a y c de la ecuación de la parábola describiendo el procedimiento que sigas. b) Dibuja la región plana limitada por el eje Y, la parábola y la recta tangente. c) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior.

5

b) Área del recinto. 3

∫ ( 1

)

5 – x – 9 – x2 2 dx = 2 3 4

5

∫

5–x dx = 1 3 2

Área =

Solución:

5 = 1,67 u2 3

a) La pendiente de la recta es m = 3 La derivada de la parábola es y' = 2ax

la función f :  8  definida por: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un 1 5 punto de inflexión en (0, 0) y que: f(x) dx = 4 0 Calcula a, b, c y d

131. De

∫

3 2 Si la parábola pasa por el punto P(1, 5), se deduce que 7 c= 2 b) Dibujo: Por tanto, para x = 1 ò 2a = 3 ò a =

Y

Solución:


Si tiene un máximo relativo en x = 1, la primera derivada se anula para x = 1 3a + 2b + c = 0 Si tiene un punto de inflexión en (0, 0), pasa por ese punto; por tanto,d = 0 y la segunda derivada se anula en x = 0 b=0 De donde se obtiene: c = –3a La función es: f(x) = ax3 – 3ax TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA

X 0

1

c)

∫ (

1

)

1 3x2 7 + – 3x – 2 dx = 2 2 0 2 1 Área = = 0,5 u2 2 307

Ejercicios y problemas 133. La

figura siguiente representa la gráfica de una función f : [0, 7] 8 

Solución: Y

Y X X

– 1

La recta tangente en el punto de abscisa x = – 1 es y = 2

Sea F : [0, 7] 8  la función definida por: x

F(x) =

∫ 0

2

∫

27 (2 – x3 + 3x) dx = 4 –1

f(t) dt

a) Calcula F(4) y F(7) b) Dibuja la gráfica F(x) explicando cómo lo haces.

Área =

Solución:

a) F(4) es el área comprendida entre el eje X y la función en el intervalo [0, 4], F(4) = 4 u2 F(7) se obtiene como F(4), pero hay media unidad más positiva y una y media negativa, F(7) = 3 u 2 La fórmula de F(x) es: • En el intervalo [0, 4] es: f(t) = 1 ò F(x) = x • En el intervalo [4, 6] es: x2 f(t) = – x + 5 ò F(x) = – + 5x + k 1 2 con la condición de que debe pasar por el punto P(4, 4). De donde se obtiene que k 1 = – 8 x2 F(x) = – + 5x – 8 2 • En el intervalo [6, 7] es: f(t) = – 1 ò F(x) = – x + k 2 con la condición de que debe pasar por el punto P(6, 4). De donde se obtiene que k 2 = 10 F(x) = – x + 10 °x § 2 § x F(x) = ¢ – — + 5x – 8 § 2 § –x + 10 £

b)

2

27 = 6,75 u2 4

el área de la región limitada por las curvas y = e x, y = e –x y la recta x = 1

135. Calcula

Solución: Y

X 0

1

∫

(ex – e –x ) dx = e +

0

1

1 – 2 e

1 Área = e + e – 2 = 1,09 u 2 136. En

la figura aparece una curva que representa una función polinómica de grado 2. Los puntos de intersección de la curva con el eje X son el A(1, 0) y el B(3, 0).Además, el área limitada por la curva y los dos ejes coordenados vale 4/3. Halla la expresión de dicha función. Y

si 0 Ì x Ì 4

X

si 4 < x < 6 si 6 Ì x Ì 7

Y

Solución:

f(x) = a(x – 1)(x – 3) f(x) = a(x2 – 4x + 3) X

1 4 a (x2 – 4x + 3) dx = – 3 ò a = – 1

∫


0

f(x) = – x2 + 4x – 3 la recta tangente a la curva de ecuación y = x 3 – 3x en el punto de abscisa x = –1 Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente y la curva dada, y calcula su área.

134. Halla

308

SOLUCIONARIO

137. Dibujar

con la mayor exactitud posible las gráficas de las funciones f(x) = 3x2 – 6x y g(x) = – x2 + 6x – 8. Representa el recinto limitado por ambas funciones y obtén su área.

Solución: Y

Raíces: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4 2

∫ (x – √ x ) dx = 3 – 4√23 ∫ (6 – x – √ x ) dx = 4√23 + 23 2

1 4 2

X

1 2

Área =

11 = 3,67 u2 3

140. Calcula

el valor de a > 0 para que: 3

∫

1 dx = 5 0x+a

Raíces: x1 = 1, x2 = 2 2

∫

2 + 12x – 8) dx = 3

Área =

2 = 0,67 u2 3

(–4x2 1

Solución: 3

∫ x +1 a dx = L (3 + a) – L a = L 3 +a a 0

138. Representa

gráficamente el recinto plano limitado por la curva y = x 3 – x y su recta tangente en el punto de abscisa x = 1. Calcula su área.

L

3+a 3+a 3 5 a = 5 ò a = e ò a = e5 – 1 consideran las curvas y = x 2 e y = a, donde a es un número real comprendido entre 0 y 1(0 < a < 1).Ambas curvas se cortan en el punto (x 0, y0) con abscisa positiva. Halla a sabiendo que el área encerrada entre ambas curvas desde x = 0 hasta x = x 0 es igual a la encerrada entre ellas desde x = x 0 hasta x = 1

141. Se

Solución:

La ecuación de la recta tangente en el punto P(1, 0) es: y = 2x – 2 Y X

–2 1

Solución: Y

1

∫

(x3 – 3x + 2) dx =

–2

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

27 4

X 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Al punto (x0, y0) se le puede llamar ( √ a , a)

27 Área = 4 = 6,75 u2

–

√a

el área comprendida entre las curvas y = x2, y = √ x y la recta que pasa por los puntos A(2, 4) y B(4,2)

139. Determina

Solución:

∫ (a –

x2)

1

dx =

0

∫ (x – a) dx –

2

√a

2 2 1 a√a = a √a – a + 3 3 3 1 a= 3

Y . L . S , o ñ u r B l a i r o t i d E o p u r G ©

142. Considera

la función f :  8  definida por: f(x) = 2 + x – x2 2

Calcula a, a < 2, de forma que

∫

9 f(x) dx = 2 a

X 1

2

4


309

Ejercicios y problemas 144. Determina

una constante positiva a sabiendo que la figura plana limitada por la parábola y = 3ax 2 + 2x, la recta y = 0 y la recta x = a tiene área (a 2 – 1)2

Solución: Y

Solución: –1

2

X

2

La parábola pasa por el origen de coordenadas. Y

∫ (2 + x + x ) dx = 92 2

X

a

a

10 9 7 a3 – a2 – 2a + = ò a = – 1 , a = 3 2 2 3 2

a

∫ (3ax + 2x) dx = a + a

El valor a < 2 es a = – 1

2

4

2

0

la gráfica de la función polinómica f :  8  dada por: f(x) = x3 + ax2 + bx + c se conocen los siguientes datos: que pasa por el origen de coordenadas y que en los puntos de abscisas 1 y –3 tiene tangentes paralelas a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes. a) Calcula a, b y c b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas, y calcula su área.

143. De

Por tanto: a4 + a2 = (a2 – 1)2 Resolviendo esta ecuación, se obtiene: √3 √3 a = 3 , a = – 3 Solo se toma el resultado positivo, como indica el enunciado del problema.

Solución:

a) a = 3,b = –10, c = 0 f(x) = x3 + 3x2 – 10x b) Dibujo: Y 30 20 10

X – 6

–5

– 4 – 3

–2

–1

1

2

3

Raíces: x1 = –5, x2 = 0, x3 = 2 x4 + x3 – 5x2 4 375 F(–5) = – , F(0) = 0, F(2) = – 8 4 407 Área = = 101,75 u2 4 F(x) =

310


SOLUCIONARIO

Linux/Windows

Windows Derive

Paso a paso 145.

Calcula la siguiente integral indefinida:

∫ (e

5x + x 2)

dx

Solución:

Resuelto en el libro del alumnado. 147.

Solución:

Resuelto en el libro del alumnado. 146.

Calcula la integral:

Dibuja y calcula el área del recinto limitado por el eje X y la función f(x) = x 2 – 2x – 3 en el intervalo [1, 4]

Solución:

∫

F(x) = (2x – 5) dx Halla la primitiva que pase por el punto P(4, 3). Representa la primitiva obtenida para comprobar que pasa por dicho punto.

Resuelto en el libro del alumnado. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

148. Internet.

Practica 149.

∫ (x – 6x + 1) dx 3

2

Solución:

150.

5 dx x 3

∫

152.

∫ 5 · 7

5x dx

Solución:

153.

1

∫ (x + 3)

2

dx

Solución: Solución:


151.

1 dx (3x + 5)2

∫

154.

∫ (e

x/5

+ x 2) dx

Solución:

Solución:


311

Linux/Windows 155.

∫

Calcula la integral: F(x) = (3x 2 – 4x – 1) dx

Solución:

Halla la primitiva que pase por el punto P(2, 1). Representa la primitiva obtenida para comprobar que pasa por dicho punto. Solución:

157.

Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida. 4

∫ (x – 6x + 4) dx 2

1

Observa y justifica el signo del valor obtenido. 156.

Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida.

Solución:

5

∫ (x – 1) dx 2


Observa y justifica el signo del valor obtenido.

312

SOLUCIONARIO

Windows Derive 159.

Dibuja el recinto limitado por las siguientes funciones y calcula su área. f(x) = 4 – x 2 g(x) = 2x + 1

Solución:

158.

Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida. 4

∫ |x| dx –4

Solución:



313

Linux/Windows 160.

Dibuja y calcula el área del recinto limitado por el eje X y la función: f(x) = –x 3 + x 2 + 2x

Solución:

161.

Una fábrica produce chips para ordenadores. La función de ingreso marginal viene dada por: 2 i(x) = 3 + x+1 donde x es el número de chips vendidos e i(x) viene dado en euros. Si vende 10 000 unidades, ¿cuáles son los ingresos obtenidos? Dibuja la región correspondiente a los ingresos obtenidos.

Solución:


314

SOLUCIONARIO

Windows Derive 162.

Calcula el área encerrada por las funciones: f(x) = x 3 + 3x 2, g(x) = x + 3

Solución:

163.

En una ciudad de 500 000 habitantes, se estima que la velocidad de enfermos por día que hay en una epidemia de gripe sigue la función: f(x) = 2x + 20 donde x se mide en días y f(x) en miles de personas cada día. Calcula el número de personas que enfermarán entre el segundo día y el quinto día.

Solución:



315

Linux/Windows 164.

El ritmo de crecimiento de una determinada población de peces viene dado por la función: f(x) = –x 2 + 2x + 8 donde x se mide en meses y f(x) en miles de peces por cada mes. Calcula el crecimiento de peces en los tres primeros meses.

Solución:

165.

Se estima que el ritmo de crecimiento de un feto durante el embarazo viene dado por la función: x 2 x f(x) = – + 200 5 donde x se mide en semanas y f(x) en centímetros por semana. Calcula cuánto ha crecido el feto en las 30 primeras semanas.

Solución:


316

SOLUCIONARIO

Problemas propuestos 1.

Dada la función f(x) = 4 – 3x 2 + x3, determina: a) la monotonía y la curvatura de f(x) b) los puntos donde la función alcanza sus extremos relativos. c) la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = – 1

Solución:

PA U c) calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. Solución:

° –x – 2 § §x + 2 a) f(x) = ¢ §k § (x – 2)2 £

a) Se calculan la 1ª derivada para estudiar la monotonía y la 2ª derivada para la curvatura: f'(x) = – 6x + 3x2 f''(x) = – 6 + 6x

La función está definida por cuatro funciones polinómicas que son continuas en todo . Los únicos puntos en los que puede haber problemas son los valores en los que cambia la definición. En concreto, x = – 1 , x = 1 Para que sea continua los límites laterales deben coincidir y ser iguales al valor de la función. En x = – 1 f(–1) = 1

Estudio de la monotonía:

f'(x) = 0 ò 3x2 – 6x = 0 ò 3x(x – 2) = 0 ò x = 0,x = 2 Si x = 0 ò f(0) = 4 – 3 · 02 + 03 = 4 ò A(0, 4) Si x = 2 ò f(0) = 4 – 3 · 22 + 23 = 0 ò B(2,0) x = 1 ò f'(1) = 3 · 12 – 6 · 1 = 3 – 6 = – 3 < 0 (–) + – + f'(x)

0

x

lím f(x) = lím – (x + 2) = 1 °

x 8 –1 –

x 8 – 1

lím f(x) = lím + k = k

x 8 –1 +

2

x 8 –1

§ ¢ò k = 1 § £

En x = 1 f(1) = 1

Creciente ():(– @,0) « (2,+ @) Decreciente: (): (0,2)

° § ¢ò k = 1 lím+ f(x) = lím+ (x – 2)2 = 1 § £ x8 1 x8 1

lím f(x) = lím – k = k

x 8 1 –

Estudio de la curvatura:

f''(x) = 0 ò 6x – 6 = 0 ò x = 1 Si x = 1 ò f(1) = 4 – 3 · 12 + 13 = 2 ò C(1, 2) x = 0 ò f''(0) = 6 · 0 – 6 = – 6 < 0 (–) – + f'(x)

si x Ì –2 si –2 < x Ì –1 si –1 < x < 1 si x Ó 1

x8 1

Para k = 1 la función es continua. b)

Y

0 1

x

X

Convexa («):(1,+ @) Cóncava (»):(– @, 1) b) Extremos relativos f''(0) = 6 · 0 – 6 = – 6 < 0 (–) ò A(0, 4) es un máximo relativo

f''(2) = 6 · 2 – 6 = 6 > 0 (+) ò B(2, 0) es un mínimo

c)

Y

relativo

c) Ecuación recta tangente Si x = – 1 ò f(–1) = 4 – 3 · (–1)2 + (–1)3 = 0 ò P(–1,0) f'(–1) = 3(–1)2 – 6(–1) = 9 La recta tangente es: y – 0 = 9(x + 1) ò y = 9x + 9 . L . S , o ñ u r B l a i r o t i d E o p u r G ©

2.

f(x) = 0 ï x = – 2 , x = 2

Dada la función: ° |x + 2| § f(x) = ¢ k § (x – 2)2 £

si x Ì –1 si –1 < x < 1 si x Ó 1

a) halla el valor de k para que la gráfica sea continua para x = – 1 b) para ese valor de k, dibuja la gráfica. BLOQUE II. ANÁLISIS

X

° x2 – 2x § – — 2 § 2 x § — + 2x F(x) = ¢ 2 §x § 3 x § — – 2x2 + 4x £ 3

si x Ì –2 si –2 < x Ì –1 si –1 < x < 1 si x Ó 1

317

Problemas propuestos –1

| ∫ | A = | ∫ dx| = |F(1) – F(–1)| = 2 1 A = | ∫ (x – 2) dx| = |F(2) – F(1)| = 3 A1 = 2

(x + 2) dx = |F(–1) – F(–2)| =

–2 1 –1 2

3

A= 3.

1 2

2

1

1 1 17 2 +2+ = u 2 3 6

a) Si f' es la derivada de la función dada por 3 f(x) = 2x3 – 6x2 + 4 (x ? 0), calcula f '(–2) x b) Dibuja la función f(x) = 2x3 – 6x2. Obtén el área que limitan la curva y el eje X entre x = 2 y x = 4

Solución:

a) f'(x) = 6x2 – 12x –

12 x5

a) Coste de fabricación unitario x – 2√x + 20 2√x 20 f(x) c(x) = = = 1 – + x x x x 2√x 20 c(x) = 1 – + x x b) Mínimo coste unitario √x 20 √x 20 c'(x) = 2 – 2 ò c'(x) = 0 ò 2 – 2 = 0 ò x x x x x = 400 3√x 40 c''(x) = – 3 + 3 ò c''(400) = 1/6400000 > 0 ò 2x x mínimo relativo. Para x = 400 unidades es mínimo. c(400) = 1/6 400000 € cada unidad. 5.

387 8

f'(–2) =

Solución:

b)

Y 40

Supongamos que tenemos un alambre de longitud a y lo queremos dividir en dos partes que van a servir de base a sendos rectángulos. En uno de los rectángulos su altura es el doble de su base y en el otro su altura es el triple de su base. Determina el punto por el cual debemos cortar el alambre para que la suma de las áreas de los dos rectángulos sea mínima.

30

Solución:

20

a) Datos, incógnitas y dibujo

10 –1

1

X

f(x) = 0 ò x = 0, x = 3

∫

F(x) = (2x3 – 6x2) dx = F(2) = – 8; F(3) = –

3y

1 4 x – 2x3 2

27 ; F(4) = 0 2

3

| ∫ | 27 A = | ∫ (2x – 6x ) dx| = |F(4) – F(3)| = 2 11 A1 = (2x3 – 6x2) dx = |F(3) – F(2)| = 2 2 4

2

Área = 4.

3

2

3

11 27 + = 19 u2 2 2

El coste de fabricación en euros de x unidades de un artículo viene dado por la función f (x) = x – 2√x + 20 a) ¿Cuál es la función que determina el coste de fabricación unitario? b) ¿Para qué producción resulta mínimo el coste unitario? ¿Cuánto vale éste? Justifica que es mínimo.

318

2x

x

y

b) Función que hay que maximizar

A(x, y) = x · 2x + y · 3y = 2x2 + 3y2 Sujeta a las condiciones: x + y = a ò y = a – x c) Se escribe la función con una sola variable

A(x) = 2x2 + 3(a – x)2 d) Se calculan máximos y mínimos


A'(x) = 4x – 6(a – x) = 10x – 6a A'(x) = 0 ò 10x – 6a = 0 ò x = 3a/5 e) Se comprueba en la 2ª derivada

A''(x) = 10 > 0 (+) ò mínimo relativo. Hay que cortarla por los 3/5

SOLUCIONARIO

PA U 6.

Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes.Los costes de fabricación, C(x), en euros están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la expresión: C(x) =10x2 – 1 850x + 25 000 El precio de venta de cada juguete es de 50 �. a) Plantea la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantea la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios?

C''(t) = – 2 < 0 (–) ò máximo relativo. C(4) = – 42 + 8 · 4 + 20 = 36 b) Consumo total 6

El consumo total es

∫ (–t + 8t + 20) dx 2

0

∫

F(t) = (–t2 + 8t + 20) dx = –

t3 + 4t2 + 20t 3

F(0) = 0 F(6) = 192 Consumo total = 192

Solución: 8.

a) Función ingresos I(x) = 50x b) Función beneficios

B(x) = I(x) – C(x) = 50x – (10x2 – 1 850x + 25 000) B(x) = – 10x2 + 1 900x – 25000

Solución:

c) Maximizar los beneficios

7.

Estudia la continuidad de la función x3 – 5x + 2 f(x) = 2 x – 5x + 6 y clasifica las discontinuidades que se encuentren. ¿Es posible definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad?

B'(x) = – 20x + 1900 B'(x) = 0 ò – 20x + 1900 = 0 ò x = 95 juguetes. B''(x) = – 20 < 0 (–) ò máximo relativo. B(95) = – 10 · 952 + 1 900 · 95 – 25 000 = 65 250 �

Factorizando el numerador y el denominador se obtiene:

Los beneficios ascienden a 65 250 €

a) x = 2 es una discontinuidad evitable; se evita definiendo f(x) como la función simplificada — — (x – 2)(x + 1 – √2 )(x + 1 + √2 ) x2 + 2x – 1 f(x) = = x–3 (x – 2)(x – 3)

El consumo de un motor, en un trabajo de 6 horas, viene dado por la expresión C(t) = – t2 + 8t + 20, siendo t el tiempo en horas, 0ÌtÌ6 a) ¿Qué momento es el de mayor consumo? ¿Cuánto es el consumo máximo? b) ¿Cuánto consume en total el motor en las 6 horas que dura el trabajo?

Solución:

—

b) x = 3 es una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito. 9.

El número de plazas ocupadas de un aparcamiento, a lo largo de las 24 horas de un día, viene expresado por la función ° 1 680 + 20t § f(t) = ¢ –10t2 + 260t + 400 § –10t2 + 360t + 1200 £

Y

—

(x – 2)(x + 1 – √2 )(x + 1 + √2 ) f(x) = (x – 2)(x – 3) Es discontinua en x = 2, x = 3

si 0 Ì t < 8 si 8 Ì t < 16 si 16 Ì t < 24

a) ¿A qué hora del día presenta el aparcamiento una ocupación máxima? ¿Cuántos coches hay a esa hora? b) ¿Entre qué horas la ocupación del aparcamiento es igual o superior a 2000 plazas? . L . S , o ñ u r B l a i r o t i d E o p u r G ©

Solución: a) Máximo X

a) Máximo consumo

C'(t) = – 2t + 8 C'(x) = 0 ò – 2t + 8 = 0 ò t = 4 horas. BLOQUE II. ANÁLISIS

Hay que hallar el máximo absoluto; para ello se hallan los máximos relativos en cada uno de los intervalos y en los extremos de los intervalos. El primer trozo es una recta, que vamos a llamar: g(t) = 1 680 + 20t ò no tiene máximos relativos. 319

Sol 10 Integral

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