Unidad 5: Sistemas de varios grados de libertad
El análisis de vibración de sistemas continuos requiere la solución de ecuaciones diferen diferencia ciales les parcial parciales, es, la cual cual es bastant bastante e difíci difícil.l. Para muchas muchas ecuaci ecuaciones ones diferenciales parciales, de hecho, no existen soluciones analíticas. Por otra parte, el análisis de un sistema de varios grados de libertad, requiere la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, la cual es relativamente simple. Por consiguiente, por sencillez del análisis, a menudo los sistemas continuos se representan como sistemas de varios grados de libertad. 5.1. Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad
Los sistem sistemas as con dos grados grados de libert libertad ad present presentan an import important antes es diferen diferencia ciass resp respec ecto to a los siste istema mass con con grad grado! o! de hech hecho, o, su com comport porta amien miento to es cualitativamente mu" similar al de un sistema con #$meros grados de libertad. %in emba embargo rgo,, si bien bien los los conce concept ptos os mate matemá mátitico coss " físi físicos cos que apare aparece cen n en los los sistemas con dos grados de libertad libertad son id&nticos a los de de sistemas con n$meros de dos dos l, tien tienen en la vent venta' a'a a de que que sus sus ecuac ecuacio iones nes alge algebra braic icas as son son todav todavía ía relativamente mane'ables " los e'emplos e'emplos de dos grados de libertad cesibles. Permiten, por ello, una formulación analítica sencilla " no dependiente del álgebra matricial. (igura ) %istemas mecánicos. %e verá como si un sistema con dos grados de libertad sin amortiguamiento es desplazado de su posición de equilibro " de'ado en libertad, libertad, no siempre siempre realiza un movimiento movimiento armónico armónico " ni tan siquiera periódico, sino sólo para determinadas formas de perturbar el equilibrio. %ólo para dos tipos tipos de perturbac perturbacion iones es el movimi movimient ento o subsigu subsiguien iente te es armónic armónico o ", en general, con distinta frecuencia para cada tipo de perturbación. *n sistema sistema con dos grados grados de libert libertad ad tendrá, tendrá, por lo tanto, tanto, dos frecuenc frecuencias ias natu natural rales es ", somet sometid ido o a una una exci excita taci ción ón armó armóni nica ca,, llega llegará rá a la condi condici ción ón de reso resona nanc ncia ia para para dos dos frec frecue uenc ncia iass de exci excita taci ción ón dife difere rent ntes es.. El estu estudi dio o del del comportamiento dinámico de este tipo de sistemas facilitará la introducción de conceptos como respuesta síncrona, frecuencias " modos naturales de vibración " análisis modal. La figura n. sistemas con dos grados de libertad
5.2. Acoplamiento de coordenadas
*n acoplamiento de coordenadas es una serie de acoplamientos rígidos con ligamentos que forman una cadena cerrada, o una serie de cadenas cerradas. +ada ligamento tiene uno o más ligas, " &stas tienen diferentes grados de libertad que le permiten tener movilidad entre los ligamentos. *n acoplamiento mecánico es llamado mecanismo si dos o más ligas se pueden mover con respecto a un ligamento fi'o. Los acoplamientos mecánicos son usualmente designados en tener una entrada, " producir una salida, alterando el movimiento, velocidad, aceleración, " aplicando una venta'a mecánica. Los acoplamientos de coordenadas son una parte fundamental del diseo de máquinas, " los más simples acoplamientos no fueron ni inventados ni siquiera entendidos hasta el siglo --. /oma en cuenta un simple palo0 tiene seis grados de libertad, tres de los cuales son las coordenadas de su centro en el espacio, los otros tres describen su rotación. *na vez unido entre un bloque de piedra " un punto de apo"o " es consignada a un movimiento particular, actuando como una palanca para mover el bloque. +uando más uniones son aadidas en varios modos su movimiento colectivo se define ma"or precisión. 1ovimientos mu" complicados " precisos pueden ser diseados en un acoplamiento con sólo unas partes. 2ado un vector 34P " un sistema de de referencia definido en el espacio 5inclu"endo el origen " sus direcciones de referencia6, el siguiente paso es definir un sistema de coordenadas para describir el vector. Para esto existen diversos m&todos o sistemas alternativos. 7 veces resulta conveniente describir matemáticamente el vector 34P con distancias a los e'es o planos de referencia. 3tras veces lo describiremos mediante algunos ángulos, o con una combinación de distancias " 8ángulos. En fin, lo importante es reconocer aquí que para describir un mismo vector tendremos a nuestra disposición una variedad de sistemas o m&todos alternativos, algunos de los cuales presentaremos a continuación.
5.3. Propiedades ortogonales
*na propiedad ortogonal es una matriz cuadrada cu"a matriz inversa coincide con su matriz traspuesta El con'unto de matrices ortogonales constitu"en una representación lineal del grupo ortogonal 9eom&tricamente las matrices ortogonales representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas 'ustamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones " son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, tambi&n son usadas para el estudio de ciertos fibrados " en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos " en la formulación de ciertas teorías de campo. Propiedades de las matrices ortogonales. . %i 7 " : son ortogonales entonces 7.: " :.7 son ortogonales. ;. En general si 7 " : son ortogonales entonces 7 <: no es ortogonal " = 7 no es 3rtogonal. 1atrices idempotentes, nilpotentes " unipotentes. 2efiniciones0 %ea 7 una matriz cuadrada de orden n0 . 2iremos que 7 es idempotentes si " solo si 7.7>7;>7 ;. 2iremos que 7 es unipotente si " solo si 7.7>7;>n ?. 2iremos que 7 es nilpotente si " solo si 7.7>7;>@ 51atriz nula orden n6
5.4. Matri modal
La matriz modal es aquella cu"as columnas son los vectores característicos.para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal. %e obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad. 2ebido a que los valores máximos no pueden ocurrir simultáneamente, estos valores son combinados estadísticamente para obtener la respuesta total. El m&todo de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, %A%%, es aplicable para estructuras bidimensionales cuando la relación entre los periodos de cualquier modo alto con cualquier modo ba'o es @.BC o menor, " la relación de amortiguamiento no excede el CD. El análisis modal puede ser enfocado mediante m&todos matriciales, num&ricos o m&todos iterativos El ob'etivo la matriz modal en la mecánica es determinar las frecuencias naturales " modos de vibrar de un ob'eto o estructura durante vibración libre. Es com$n utilizar el 1&todo de los elementos finitos 51E(, o (E1 por sus siglas en ingl&s6 para desarrollar el análisis porque, como en otros cálculos usando el 1E(, el ob'eto que se analiza puede tener formas arbitrarias " los resultados de los cálculos son aceptables. Los tipos de ecuaciones que surgen del análisis modal son vistas en %istemas propios. La interpretación física de los valores propios " vectores propios, los cuales vienen de resolver el sistema, representa las frecuencias " modos de vibrar correspondientes. 7 veces, los $nicos modos deseados son los correspondientes a las menores frecuencias porque pueden ser los modos predominantes en la vibración del ob'eto. /ambi&n es posible determinar las frecuencias naturales " modos de vibrar de un ob'eto mediante ensa"os experimentales. En este caso, el procedimiento se denomina análisis modal experimental. Los resultados de las pruebas experimentales pueden usarse para calibrar un modelo de elementos finitos para determinar si las hipótesis sub"acentes hechas fueron correctas 5Por e'emplo, propiedades correctas de materiales " condiciones de borde consideradas en el modelo. 5.5. Vibración libre
+ualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido $nicamente por las fuerzas de
restitución inherentes al mismo. El sistema ba'o vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa " rigidez. u T n = 2π/ωn
u· (0) b
u(0)
Amplitud u0 a
(a)
c
e t
φ ωn d
u0
u0
(b) a
b
c
d
e
ibración libre no amortiguada (igura F. %istema %2(0 vibración libre sin amortiguamiento La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal %2( sin amortiguamiento " que no está sometido a la acción de una fuerza externa es0 m ⋅ u + k ⋅ u = 0
u + ω n2 ⋅ u = 0 2onde0 Gn es la frecuencia natural en vibración libre del sistema " es igual a0 ω n
=
k m
El desarrollo de la ecuación diferencial F. se expone en el 7p&ndice , " su solución es0
u (t )
= A ⋅ cos ω n t + B ⋅ senω n t u
Las constantes 7 " : se hallan a partir de las condiciones iniciales0 u 5@6 " (0) , el desplazamiento " la velocidad inicial respectivamente. 3bteni&ndose por lo tanto0 u ( t )
= u (0)
⋅
cos ω n t
+
u ( 0) ω n
senω n t
Las (iguras F. 5a6 " F. 5b6 ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la ecuación F.C. 7 partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, / n, " es0 Hstas son propiedades naturales del sistema cuando &ste está en estado de vibración libre.
El movimiento representado por la ecuación F.C puede tambi&n ser expresado en la forma0 Imaginario u0 cos( ωnt-φ ) u· (0)
u(0) cosωnt
ω senω t n
n
ω
n
ω t n
φ
Real u0
ω t n
u· (0)
ω
u (t )
n
= u 0 cos(ω n t − φ )
(igura F.; ibración libre, representación vectorial 2onde u@ es la magnitud del desplazamiento máximo " es llamada amplitud de movimiento, la cual está dada por0 u0
=
u ( 0)
2
u (0) + ω n
2
I el ángulo de fase f está dado por0 u ( 0) φ = artg ω n u (0)
En la (igura F.; está representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta está dada por la parte real o pro"ección horizontal de los dos vectores de rotación! " el ángulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del t&rmino del coseno. 5.!. Vibración "orada # absorción de vibraciones
ibración forzada Es un sistema en respuesta a una fuerza aplicada. %i el sistema es lineal, la vibración estará a la misma frecuencia que la fuerza pero si es no lineal, la vibración ocurrirá a otras frecuencias, especialmente en los armónicos de la frecuencia forzada. La vibración de máquinas es una vibración forzada, " las fuerzas son el resultado de fenómenos como el desbalanceo " la desalineación de partes rotativas " fallas en rodamientos etc.
E'emplo de vibraciones forzadas0
7bsorción de vibraciones %e utiliza cuando un sistema de gdl m= está traba'ando en situación próxima a la resonancia, lo supone desplazamientos de m mu" grandes0
+onsiste en aadir un sistema absorbente de gdl al sistema anterior, con características tales que0 •
%e consigue que el desplazamiento de m sea nulo, "a que el absorbente e'erce una fuerza sobre el sistema igual " de sentido contrario de la fuerza aplicada externamente.
Esto supone que0 %e constru"e un sistema de ;gdl, dos posibles resonancias G " G;. Existen varias soluciones, interesa elegir un absorbente que haga que -a no sea mu" grande. • nteresa que la frecuencia de excitación est& ale'ada de las dos nuevas frecuencias propias. +uanto ma"or sea la masa del absorbente frente a la del sistema, las dos frecuencias propias están más ale'adas. Es me'or, aumenta la robustez del sistema. • #ormalmente • •
