SISTEM BILANGAN RASIONAL

SISTEM BILANGAN RASIONAL

A. Konsep Bilangan Rasional 1. Definisi Himpunan bilangan rasional adalah himpunan semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎

pecahan 𝑏 , dengan a, b adalah bilangan bulat dan b tidak boleh nol. 2. Notasi Himpunan Bilangan Rasional: Himpunan bilangan rasional disimbolkan dengan huruf Q. Jadi diperoleh: 𝒂

Q={𝒃|a,b ∈ 𝒁, b ≠ 𝟎} Karena semua bilangan bulat a dapat dinyatakan sebagai

𝑎 1

, maka semua

bilangan bulat merupakan bilangan rasional, maka himpunan bilangan bulat merupakan subset dari himpunan bilangan rasional, atau ditulis Z ⊂ Q. 3. Bentuk-Bentuk Bilangan Rasional 𝑎

Bilangan rasional mempunyai bentuk 𝑏 , menggunakan konsep keterbagian, maka akan terdapat dua kasus yakni b membagi a atau b tidak membagi a. a. Bilangan bulat Jika b membagi a, maka a = bx, untuk bilangan bulat. Maka diperoleh 𝑎 𝑏

=

𝑏𝑥 𝑏

= 𝑥, jadi jika b membagi a, maka

𝑎 𝑏

dapat dinyatakan sebagai bilangan

bulat. Contoh: 4 15 = 2 𝑑𝑎𝑛 =5 2 3 b. Bilangan pecahan murni Jika b tidak membagi a, maka mengembangkan algoritma pembagian, akan diperoleh a=bq+r, dengan 0 < r < |b| dan q, r ∈ Z. Maka bilangan rasional 𝑎 𝑏

bukan bilangan bulat. Jika pembilang dari

𝑎 𝑏

lebih dari penyebut, maka bentuk pecahan ini

disebut bentuk pecahan murni. Contoh: 2 3.0 + 2 3.0 2 2 2 = = + = 0+ = 3 3 3 3 3 3 c. Bilangan pecahan campuran atau bilangan campuran.

Jika pembilang dari

𝑎 𝑏

kurang dari penyebut, maka bentuk pecahan ini

disebut bentuk pecahan campuran. Contoh: 20 3.6 + 2 3.6 2 2 2 = = + =6+ =6 3 3 3 3 3 3 Berkaitan dengan pecahan campuran, maka bilangan pecahan campuran 𝑐

𝑎 𝑏

dapat ditulis 𝑐

𝑎 𝑏

𝑎

𝑐𝑥𝑏

𝑏

𝑏

=𝑐+ =

𝑎

+ = 𝑏

𝑐 𝑥 𝑏 +𝑎 𝑏

, sebagai

contoh: 6

2 2 6.3 2 18 + 2 20 =6+ = + = = 3 3 3 3 3 3

B. Operasi Aljabar 𝑎

𝑐

Untuk bilangan 𝑏 dan 𝑑 maka didefinisikan:

1. 2. 3. 4.

𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

𝑐

+

=

𝑑

𝑏𝑥𝑑

𝑐

𝑎𝑥𝑑 – 𝑏𝑥𝑐

𝑑

𝑏𝑥𝑑

− = 𝑐

𝑎𝑥𝑐

𝑑

𝑏𝑥𝑑

𝑥 = ∶

𝑎𝑥𝑑 + 𝑏𝑥𝑐

𝑐 𝑑

=

𝑎 𝑏

𝑑

𝑐

𝑐

𝑑

𝑥 , dengan syarat ≠ 0

Operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional jika penyebut sama dapat dilakukan dengan rumus:

1. 2.

𝑎 𝑐 𝑎 𝑐

+ −

𝑏 𝑐 𝑏 𝑐

= =

𝑎+𝑏 𝑐 𝑎−𝑏 𝑐

C. Sifat-sifat Bilangan Rasional 1. Terhadap Operasi Penjumlahan. a. Sifat ketertutupan 𝑎 𝑐

Untuk semua 𝑏 , 𝑑 ∈ 𝑸, maka 𝑎 𝑐 + ∈𝑸 𝑏 𝑑

b. Sifat komutatif (sifat pertukaran) Untuk semua

𝑎 𝑐

, ∈ 𝑸, maka

𝑏 𝑑

𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑑

=

𝑐 𝑎 + 𝑑 𝑏

c. Sifat assosiatif (pengelompokan) 𝑎

𝑐 𝑒

Untuk semua 𝑏 , 𝑑 , 𝑓 ∈ 𝑸, maka 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑒 + + = + + 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑓 d. Terdapat unsur identitas penjumlahan 𝑎

Untuk semua 𝑏 ∈ 𝑸, ada 0 ∈ 𝑸 sehingga 𝑎 𝑎 𝑎 + 0=0+ = 𝑏 𝑏 𝑏 0 disebut unsur satuan (identitas) penjumlahan. e. Terdapat invers penjumlahan 𝑎

𝑎

Untuk masing-masing 𝑏 ∈ 𝑸, ada − 𝑏 ∈ 𝑸 sehingga 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 + − = − + =0 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎

𝑎

𝑎

− 𝑏 disebut invers penjumlahan dari 𝑏 , dan − 𝑏 = 2. Terhadap Operasi Perkalian a. Sifat ketertutupan 𝑎 𝑐

Untuk semua 𝑏 , 𝑑 ∈ 𝑸 maka 𝑎 𝑐 𝑥 ∈𝑸 𝑏 𝑑 b. Sifat komutatif (sifat pertukaran) 𝑎 𝑐

Untuk semua 𝑏 , 𝑏 ∈ 𝑸 maka 𝑎 𝑐 𝑐 𝑎 𝑥 = 𝑥 𝑏 𝑑 𝑑 𝑏 c. Sifat assosiatif (sifat pengelompokan) 𝑎

𝑐 𝑒

Untuk semua 𝑏 , 𝑑 , 𝑓 ∈ 𝑸, maka 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑒 𝑥 𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑓 d. Terdapat unsur identitas perkalian 𝑎

Untuk semua 𝑏 ∈ 𝑸, ada 1 ∈ 𝑸 sehingga

−𝑎 𝑏

𝑎

= −𝑏

𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 1 = 1𝑥 = 𝑏 𝑏 𝑏 1 disebut unsur satuan (identitas) perkalian e. Terdapat invers perkalian 𝑎

𝑎

𝑏

Untuk masing-masing 𝑏 ∈ 𝑸, dengan 𝑏 ≠ 0ada 𝑎 ∈ 𝑸 sehingga 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑥 = 𝑥 =1 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏

𝑎

disebut invers perkalian dari 𝑏 dan kadang ditulis 𝑎

𝑎 −1 𝑏

=

1 𝑎 𝑏

𝑏

=𝑎

3. Terhadap Operasi Perkalian dan Penjumlahan/Pengurangan a. Sifat distributif perkalian atas penjumlahan 𝑎

𝑐 𝑒

Untuk semua 𝑏 , 𝑑 , 𝑓 ∈ 𝑸, berlaku 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑎 𝑒 𝑥 + = 𝑥 + 𝑥 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑏 𝑓 Dan 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑎 𝑒 𝑎 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑏 𝑓 𝑏 b. Sifat distributif perkalian atas pengurangan 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑎 𝑒 𝑥 − = 𝑥 − 𝑥 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑏 𝑓 Dan 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑎 𝑒 𝑎 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑏 𝑓 𝑏

REFRENSI : Abdussakir.2009.MATEMATIKA 1:Kajian Integratif Matematika & Al-Qur’an.Malang:UIN Malang Press