SISTEM BILANGAN BULAT BULAT DAN ALGORITMA
Makalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Matematika Diskrit yang diampu oleh Drs. H. Eka Fitrajaya Rahman, M.T.
Oleh: 16!6"# %o&an 'una(an 166$6" Muhammad Farhan Ramadhan 16!6"$ Tia Herdiastuti
DEPARTEMEN DEPARTEMEN PENDIDIKAN ILMU KOMPUTER FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2017
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ...............................................................................................................................i BAB I ISI .....................................................................................................................................1 A. SIFAT-SIFAT BILANGAN BULAT..........................................................................1 B. ALGORITMA EUCLIDEAN....................................................................................1 C. PEMBAGI BERSAMA TERBESAR................................................................ ........5 D. RELATIF PRIMA......................................................................................................8 E. ARITMATIKA MODULO.........................................................................................8 F. INVERSI MODULO..................................................................... ............................10 G. KEKONGRUENAN LANJAR......................................................................... .......11 DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. ..................1 LAMPIRAN.............................................................................................................................. 1!
i
BAB I ISI A. SIFAT-SIFAT BILANGAN BULAT )i*at pem+agian digunakan dalam sistem +ilangan +ulat karena dalam komputer sangat +erguna +agi salah satu konsep +ilangan +ulat, yaitu +ilangan prima. ilangan prima adalah +ilangan yang hanya ha+is di+agi oleh 1 dan dirinya sendiri. Misalkan a dan b adalah dua +uah +ilangan +ulat dengan syarat a - . Dinyatakan +ah(a a ha+is mem+agi b jika terdapat +ilangan +ulat c, sehingga b ac. /otasi0 a b jika b ac, c ∈ 2 dan a - dimana 2 adalah +ilangan +ulat. 3ontoh0 " 1# karena 1#45 " +ilangan +ulat7 atau 1# " 8 5. )e9ara umum, jika hasil pem+agian +ulat dinyatakan se+agai +ilangan +ulat juga, maka sem+arang +ilangan +ulat +ila di+agi dengan +ilangan +ulat positi* akan menghasilkan hasil +agi dan sisa pem+agian. Misalkan 154" mem+erikan hasil +agi 5 dan sisa 1. :tau pada 1#4" memiliki hasil +agi 5 dan sisa +agi . )etiap sisa hasil pem+agian selalu le+ih +esar atau sama dengan nol, tetapi le+ih ke9il dari pem+agi. )i*at ini tertuang dalam teorema +erikut0 T"#$"%& 1. misalkan m dan n adalah dua +uah +ilangan +ulat dengan syarat n ; . %ika m di+agi
dengan n maka terdapat dua +uah +ilangan +ulat unik q quotient 7 dan r remainder 7, sehingga0 %' ()*$ dengan 0 + r + n.
Teorema terse+ut +iasa juga dise+ut ,"#$"%& E/i"&( . ilangan n dise+ut pem+agi divisor 7, m dise+ut yang di+agi dividend 7, q dise+ut hasil +agi quotient 7, dan r dise+ut hasil sisa remainder 7. /otasi yang digunakan adalah dengan menggunakan operator mod dan di& se+agai +erikut0 q = m i n,
r = m %# r
B. ALGORITMA EUCLIDEAN mula dengan menda*tarkan smeua pem+agi dari masing>masing m dan n, lalu memilih pem+agi persekutuan yang +ernilai ter+esar. Metode untuk menemukan = dikenal dengan nama &/#$i,%& E/i"&(. 1
:lgoritma Eu9lidean mende*inisikan = dari dua +uah +ilagan +ulat sama dengan = dari salah satu +ilangan +ulat terse+ut dengan sisa hasil pem+agiannya se9ara +erturut>turut sampai menemukan sisa pem+agian +ernilai nol. 3ontoh0 Misalkan m dan n adalah +langan +ulat tak negati* dengan m ? n. misalkan r 0 m dan r 1 n. lakukan se9ara +erturut>turut pem+agian untuk memperoleh0 r 0 = r 1q1 + r 2
≤ r 2 ≤ r 1,
r 1 = r 2q2 + r 3
≤ r 3 ≤ r 3,
r n-2 = r n-1qn-1 + r n
≤ r n ≤ r n-1,
r n-1 = r nqn + erdasarkan T"#$"%& 2 3 %i4&/&( m &( n &&/&6 & &6 i/&(&( /&, "(&( 4&$&, n 9 0 4"6i(&: m = nq + r dengan 0 + r + (
M&& PBB;m, n< ' PBB;n, r <.
:kan memperoleh0 =m, n7
=r 0 , r 17 =r 1 , r 27 @ =r n-2 , r n-17 =r n-1 , r n7 =r n , 7 r n
%adi, = dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari tuntunan pem+agian terse+ut. :lgoritma Eu9lidean meliputi men9ari pem+agi ter+esar, =, dari kedua +ilangan terse+ut, yaitu +ilangan +ulat positi* ter+esar yang ha+is mem+agi m dan n. A/#$i,%& E/i"&(
1. %ika n , maka m adalah =m, n7A stop. Tetapi jika n - , Banjutkan ke langkah #. #. agilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya. 5. 'anti nilai m dengan nilai n dan nilai n dengan nilai r , lalu ulang kem+ali ke langkah 1. 3atatan0 jika m C n, maka tukarkan terle+ih dahulu nilai m dan n.
2
3ontoh0 m$, n1#
dipenuhi
syarat m ? n
maka0 -
Bangkah 10 n - n 1# - , lanjut ke langkah #. Bangkah #0 mem+agi m dengan n, dan sisanya diinisialisasi dengan r $ di+agi 1# $41# mem+erikan hasil +agi 6 dan sisa +agi $ r $7. Bangkah 50 menukar m dengan n, n dengan r, ulangi langkah ke langkah 1 m 1#, n $.
m 1#, n $ -
Bangkah 10 n - n $ - , lanjut ke langkah #. Bangkah #0 mem+agi m dengan n, dan sisanya diinisialisasi dengan r 1# di+agi $ 1#4$ mem+erikan hasil +agi 1 dan sisa +agi " r "7. Bangkah 50 menukar m dengan n, n dengan r, ulangi langkah ke langkah 1 m $, n ".
m $, n " -
Bangkah 10 n - n " - , lanjut ke langkah #. Bangkah #0 mem+agi m dengan n, dan sisanya diinisialisasi dengan r $ di+agi " $4" mem+erikan hasil +agi # dan sisa +agi r 7. Bangkah 50 menukar m dengan n, n dengan r, ulangi langkah ke langkah 1 m ", n .
m ", n -
Bangkah 10 n - arena n , maka = dari $ dan 1# adalah nilai m terakhir, yaitu ". %adi =$, 1#7 ".
3
Dalam notasi pseudo>9ode, dapat ditulis se+agai +erikut0
T"#$"%& 2 misalkan a dan + adalah dua +uah +ilangan +ulat positi*, maka terdapat +ilangan +ulat m dan n
sehingga =a, +7 ma n+. Teorema # menyatakan +ah(a = dua +uah +ilangan +ulat a dan + dapat dinyatakan se+agai #%i(&4i /&(=&$ dengan m dan n se+agai koe*isiennya. Misalnya =$, 1#7 ", dan " >17 $ ! 1# maka
m >1 dan n !. 3ara untuk menemukan kom+inasi lanjar adalah dengan melakukan pem+agian se9ara mundur pada algoritma Eu9lidean. 3ontoh0 /yatakan = 51#, !7 # se+agai kom+inasi lanjar dari 51# dan !. Maka0 1. Bangkah 10 algoritma Eu9lidean0 m 51#, n ! - 51#4! hasil +agi " dan sisa +agi 5# r 5#7 m ! dan n 5# - !45# hasil +agi # dan sisa +agi 6 r 67 m 5# dan n 6 - 5#46 hasil +agi G dan sisa +agi # r #7 m 6 dan n # - 64# hasil +agi 5 dan sisa +agi r 7 m 5 dan n . #. Bangkah #0 menyusun pem+agian ke 5 menjadi
# 5# G 6
i7 ii7 iii7 i&7
i&7
5. Bangkah 50 menyusun pem+agian ke # menjadi 4
6 ! # 5#
&7
". Bangkah "0 ganti &7 ke dalam i&7 menjadi # 5# G ! # 5#7 # 1 5# G ! 1 5# # 1 5# 1 5# G ! # 11 5# G !
&i7
G. Bangkah G0 susun pem+agian nomor i7 menjadi 5# 51# " !
&ii7
6. Bangkah 60 ganti &ii7 ke dalam &i7 menjadi # 11 5# G ! # 11 51# " !7 G ! # 11 51# "" ! G ! # 11 51# "I ! %adi, =51#, !7 # 11 51# "I !
C. PEMBAGI BERSAMA TERBESAR ;PBB< Dua +uah +ilangan +ulat memiliki *aktor pem+agi yang sama, dan *aktor pem+agi ersama yang terpenting adalah *aktor pem+agi ersama ter+esar. Misalkan a dan + adalah dua +uah +ilangan +ulat tidak nol. = = greatest 9ommon di&isor atau g9d7 dari a dan + adalah +ilangan +ulat ter+esar d sedemikian sehingga d a dan d +. Dalam hal ini kita nyatakan +ah(a = a, +7 d 3ontoh0 Faktor pem+agi "G 0 1,5,G,I,1G,"G Faktor pem+agi 56 0 1,#,5,",I,1#,1$,56 Faktor pem+agi ersama dari "G dan 56 adalah0 1,5,I. )ehingga = "G, 567 I
T"#$"%& 1. )i*at>si*at =em+agi ersama Ter+esar - %ika 9 adalah = dari a dan +, maka 9 a +7 - %ika 9 adalah = dari a dan +, maka 9 a > +7 - %ika 9 a, maka 9 a+
ukti0
5
arena 9 adalah = dari a dan +, maka 9 a dan 9 +. arena 9 a, maka +erarti a 9d1
G.#7
G.57
G."7
Dari G."7 terlihat +ah(a 9 ha+is mem+agi a + 3ontoh0 -
I ha+is mem+agi "G 56 $1, atau I "G567 I ha+is mem+agi "G 56 I, atau I "G>567 I ha+is mem+agi "G . 56 16#, atau I "G.567
T"#$"%& 2. Misalkan m dan n adalah dua +uah +ilangan +ulat dengan syarat n ; sehingga0 m = nq + r dengan 0 + r + (
M&& PBB;m, n< ' PBB;n, r <.
:kan memperoleh0 =m, n7
=r 0 , r 17 =r 1 , r 27 @ =r n-2 , r n-17 =r n-1 , r n7 =r n , 7 r n
%adi, = dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari tuntunan pem+agian terse+ut.
6
3ontoh0
m
=
qn
.
+
r
m $, n 1# dan dipenuhi syarat m n )isa pem+agian terakhir se+elum adalah ", maka = $, 1#7 ".
T"#$"%& . Misalkan a dan + adalah dua +uah +ilangan +ulat positi*, maka terdapat +ilangan +ulat
m dan n sedemikian sehingga =a, +7 ma n+. Misalnya =$, 1#7 " , dan " >17 $7 !.1#. $ 6.1# $ @i7 1# 1.$ " @ii7 =ada ii7 " 1# >17.$ =ada i7 $ $ >67.1# )u+stitusikan i7 ke ii7 maka " 1# >17 $ >67.1#7 " 1.1# 6.1# >17 $7 " !.1# >17 $7 " >17 $7 !.1# 3ontoh . /yatakan =6, 1$7 6 se+agai kom+inasi lanjar dari 6 dan 1$. =enyelesaian 0 6 5.1$ 6 1$ 5.6 6 6 >57.1$ )ehingga =6, 1$7 6 6 >57.1$ D. RELATIF PRIMA 7
Dua +uah +ilangan +ulat a dan + dikatakan relati&e prima jika =a, +7 1. Misalkan # dan 5 adalah relati* prima, karena =#, 57 1. Tetapi # dan G tidak relati* prima karena =#, G7 - 1. %ika a dan + relati&e prima, maka dapat ditemukan +ilangan +ulat m dan sehingga0 ma n+ 1 3ontoh0 ilangan # dan 5 adalah relati* prima karena =#, 57 1 atau se+agai +erikut # # >157 5 1 dengan m # dan n >15.
E. ARITMATIKA MODULO :ritmatika modulo modular arithmeti97 memiliki peranan yang penting dalam komputasi integer, khususnya pada aplikasi kriptogra*i. Operator yang digunakan adalah %#. Operator mod mem+erikan sisa pem+agian. Misalnya 1! mod G mem+erikan hasil 5 dan sisa #, sehingga kita tulis 1! mod G # Misalkan m adalah suatu +ilangan +ulat positi*, a dan + adalah suatu +ilangan +ulat, a dikatakan kongruen + modulo m, ditulis 0
a = b (mod m) a mod m = b
jika dan hanya jika a + adalah kelipatan m.
8
3ontoh 0 1. #5 mod G 5 karena #5 di+agi G mem+erikan hasil J7 " dan sisa r7 5, atau ditulis se+agai #. 5. ". G. 6.
#5 G." 5 #! mod 5 6 mod $ 6 mod 1# 1# >"1 mod I " >5I mod 15
#! 5.I 7 6 $. 67 1#. 1#7 >"1 I >G7 "7 5I 15>57 7
=enjelasan untuk G70 arena a negati*, +agi a dengan m mendapatkan sisa rK. Maka a mod m m rK +ila rK . %adi r "1 mod I G, sehingga >"1 mod I I G "
K#($"(
Misal a dan + kongruen dalam modulo m, ditulis se+agai 0
a = b (mod m) contoh : 17 = 2 (mod 3)
( 3 habis membagi hasil dari 17 - 2 )
-7 = 15 (mod 11)
( 11 habis membagi hasil dari -7 - 15 )
%ika a tidak kongruen dengan + dalam modulus m, maka ditulis se+agai 0
a =/ b (mod m) contoh :
1# 4 # mod !7
! tidak ha+is mem+agi hasil dari 1# > # 7
>! 4 1G mod 57
5 tidak ha+is mem+agi hasil dari >! > 1G 7
9
F. INVERSI MODULO
%ika a dan m relati* prima dan m ; 1, maka kita dapat menemukan +alikan invers7 dari a modulo m.
alikan dari a modulo m adalah +ilangan +ulat sedemikian sehingga
a
1 (mod
)
m
3ontoh0 Tentukan +alikan dari " mod I7 L =enyelesaian0
arena =", I7 1, maka +alikan dari " mod I7 ada.
Dari algoritma Eu9lidean diperoleh +ah(a I # " 1 )usun persamaan di atas menjadi # " 1 I 1 Dari persamaan terakhir ini kita peroleh # adalah +alikan dari " modulo I. =eriksalah +ah(a 0 # " 1 mod I7
I ha+is mem+agi # " 1 I7
10
G. KEKONGRUENAN LANJAR
ekongruenan lanjar adalah kongruen yang +er+entuk 0
ax = b ( mod m ) engan m adalah bilangan b!lat "osi#$% a dan b sembarang bilangan b!lat% dan x adalah "e!bah bilangan b!lat& 'ara mencari nilai : x
=
b + km a
engan k adalah sembarang bilangan b!lat&
'ontoh :
1. ent!*an sol!si dari 4 = 3 (mod 9) #. ent!*an sol!si dari 2 = 3 (mod 4)
+en,elesaian : 1& e*ongr!enan 4 = 3 (mod 9) e*i.alen dengan menem!*an k dan x bilangan b!lat sedemi*ian sehingga
=
x
nilai k bilangan b!lat ,ang menghasil*an x b!lat adalah !nt!* k = 1 di"eroleh = 3% !nt!* k = 5 diperoleh = 12% !nt!* k = -3 di"eroleh x = -6% !nt!* k = --6 di"eroleh x = -15% dan
seter!sn,a& /adi nilai-nilai x ,ang memen!hi 4 = 3 (mod 9) adalah 3% 12% dan -6% -15%
11
2& e*ongr!enan 2 x = 3 (mod 4) e*i.alen dengan menem!*an k dan x bilangan b!lat sedemi*ian sehingga
=
x
arena 4k bernilai gena" dan 3 bernilai ganil ma*a "en!mlahann,a menghasil*an ganil% sehingga hasil "en!mlahan terseb!t i*a dibagi dengan 2 #da* menghasil*an bilangan b!lat& /adi% #da* ada nilai-nilai x ,ang memenhi 2 x = 3 (mod 4)
12
DAFTAR PUSTAKA
'iind!t& (2012% /an!ari 23)& Penerapan Ilmu Matemaka Diskrit & etrie.ed e"tember 18% 2017% $rom eori ilangan !lat: h":o.ieciind!ts&blogs"ot&co&id201201teori-bilangan-b!lat&html !nir% & (2005)& Matemaka Diskrit. and!ng: +enerbit n$orma#*a& osen% & & (2007)& Discrete Mathemacs and Its Applicaons: Sixth Edion. ;e< or*: c>ra<-ill& h"s:<<<&google&com!rl?@=h":*e"o&!ni*om&ac&id4501518A252'9A252'10A252'11-;B A2520CDCA2520A252'C;A2520EC;>C; A2520BEC1&""tFsa=BF.ed=0ahBD
13
LAMPIRAN
14
15
16
17
