RACUNSKE OPERACIJE U BINARNOM BROJNOM SISTEMU SEMINARSKI RAD
Predmet:
Mentor: doc.dr. Mladen Radivojevic Nermin
Student:Hađic
Mart 2018.
1
Contents Uvod................................................................................................................................3 Binarni sistem.................................................................................................................4 Osnovni brojevni sistemi.................................................................................................5 Brojevni sistemi korisni u računarstvu.........................................................................5 Prevođenje iz binarnog u dekadni brojevni sistem......................................................6 Pretvorba iz binarnog u oktalni i obrnuto................................................................... Pretvorba iz binarnog u !eksadekadni i obrnuto........................................................" #$%U&'() OP)#$*+,) '$ B+&$#&+- B#O,)+-$........................................................../ Binarno sabiranje......................................................................................................../ Binarno oduzimanje..................................................................................................10 Binarno mnoenje.....................................................................................................11 Binarno dijeljenje......................................................................................................11 Binarni sistem u računarstvu.........................................................................................13 (odiranje.......................................................................................................................13 2aključak.......................................................................................................................14 iteratura.....................................................................................................................15
Uvod Brojčani sistem je način zaisivanja !rojeva i nji"ovo# tumačenja. $ uotre!i je tzv tzv o ozi zici cion onii !roj !rojča čani ni sist sistem em #d #dje je u zavi zavisn snos osti ti od o olo lo%a %aja ja znam znamen en&e &e određujemo njenu vrijednost. Sva&i je !rojčani sistem određen vlastitim s&uom ci'ri( a u&uan !roj različiti" ci'ri naziva se !azom !rojevno# sistema. Baza !rojevno# sistema se o!ično o!ično zaisuje &ao &ao inde&s na&on samo# samo# !roja )zais 102 10 označava da je !roj 102 zais !roja u de&ads&om !rojevnom sistemu( zais 1010100012 označava !roj zaisan u !inarnom !rojevnom sistemu*. Binarne !rojeve mo%ete sa!irati( oduzimati( mno%iti i dijeliti. $oznajte se sa ta!lic ta!licama ama sa!ira sa!iranja nja(( odu oduzim zimanj anjaa i mno%en mno%enja ja &oje &oje vrijed vrijedee za !rojev !rojevee &oji &oji riadaju !inarnom !rojnom sistemu. Bez oznavanja ovi" ta!lica ne+ete mo+i savladati te"ni&e sa!iranja( oduzimanja( mno%enja i dijeljenja !inarni" !rojeva u &on&retnim rimjerima. ,snovna namjena računara i dru#i" di#italni" sistema i uređaja je o!rada in'ormacija redstavljeni" u !inarnom o!li&u. -a !i se razumio način nji"ovo# rada( neo"odno je najrije uoznati se sa osnovnim matematič&im aaratom na &ome se taj rad zasniva. u se( rije sve#a( misli na !inarni !rojni sistem &oji riada &lasi ozicioni" !rojni" sistema. /atim od veli&o# značaja su i osnovne aritmetič&e oeracije )sa!iranje( oduzimanje( mno%enje i deljenje* nad !inarnim !rojevima &oje se u radu računara intenzivno &oriste. $vođenje "e&sadecimalno# !rojno# sistema redstavlja sonu &oja &orisni&u ola&ava ri"vatanje !inarne redstave odata&a. Radi otuno# razumijevanja rocesa rada( !itno je uoznati se sa ostucima &onverzija odata&a između !inarno#( "e&sadecimalno# i decimalno# sistema ) računar uvije& &oristi !inarni !rojni sistem za rijeavanje ne&o# ro!lema( ali #a nama redstavlja u de&adnom o! o!li li&u &u(( da !i raču računa narr mo#a mo#aoo da nam nam red redst stav avii taj taj o oda data ta&& o otr tre! e!na na je &onverzacija između !inarno# i de&adno# !rojno# sistema i o!rnuto da !i raču računa narr mo#a mo#aoo da razu razumi mije je ta ta %eli %elimo mo da mu rez rezen entu tuje jemo mo o otre tre!n !noo je &onverzovati )revesti* %eljeni odata& iz de&adno# u !inarni !rojni sistem( !inarni !rojni sistem ima manu zato sto u se!i sadr%i veli&i !roj odata&a veli&i !roj nula i jedinica( ovaj ro!lem reavamo uvođenjem "e&sadecimalno# "e&sadecimalno# sistema
3
Binarni sistem Binarni sistem redstavlja !rojevni sistem s !azom 2. o znači da u tom !rojevnom sistemu za označavanje označavanje !rojeva &oristimo 2 !roja( i to: 0 i 1. z en#les&o# jezi&a Bnar di#i nastalo je ime za najmanju &oličinu in'ormacije B B. $ $ot otre re!l !lja java va se u in'o in'orm rmat atic icii i ele& ele&tr tron onic ici( i( #d #dje je se ne&o ne&om m nao naonu nu ridru%uje jedno stanje )rimjerice !roju 313 naon od 45* a ne&om dru#om naonu dru#o stanje )narimjer !roju 303 naon od 05*. 6a&o za sastavljanje !inarno# !roja na rasola#anju imamo samo 0 i 1( niz !inarni" !rojeva iz#leda iz#leda ova&o:
0 7 decimalno 0 1 7 decimalno 1 1 0 7 decimalno decimalno 2 1 1 7 decimalno decimalno 1 0 0 7 decimalno 9 1 0 1 7 decimalno 4 1 1 0 7 decimalno 1 1 1 7 decimalno ; $ !inarnom !rojnom sistemu ( u &ojemu se na mjestu ci're ojavljuju 0 ili 1
4
Osnovni brojevni sistemi Brojevni sistemi korisni u računarstvu ,snov ,snov aditiv aditivno7 no7mul multi tili&a li&ativ tivno# no# !rojno !rojno## sistem sistemaa je B>/>( B>/>( &oja &oja ulazi ulazi &ao multili&ant u &omonente ozna&e ili naziva !roja. 1. Brojčani sistem &ojim sva&odnevno radimo jest de&ads&i !rojčani sistem. ,snova to# !rojevno# sistema je !roj 10( a za zais se &oriste znamen&e 0..?. 2.
Bina Binarn rnii !ro !rojč jčan anii sis siste tem m ima ima !azu !azu 2( a &or &oris iste te se znam znamen en&e &e 0 i 1. 1.
.
,&ta ,& taln lnii !ro !rojč jčan anii sis siste tem m ima ima !azu !azu 8( a &or &oris iste te se znam znamen en&e &e 0..; 0..;..
9. He&sade&ads&i !rojčani sistem ima !azu 1( a &oriste se znamen&e 0..?( >..@ )>A 10( BA 11( ...( @A 14*. 7 znamen&e &oje se &oriste u ne&om !rojevnom sistemu su od 0 do )!aza71*( u&oli&o ima vie od ? ci'ara &oriste se slova en#les&o# al'a!eta.
Primjetimo
$ sva&om !rojevnom sistemu vrijedi da sva&a znamen&a u nizu ima jedinstvenu te%ins&u vrijednost. e%ins&a se vrijednost sva&e znamen&e do!ije na način da se osnova osnova !rojevno# !rojevno# sistema otencira otencira e&sonen e&sonentom tom čija vrijednost vrijednost ovisi o olo%aju znamen&e. znamen&e. 6rajnje desni e&sonent ima vrijednost 0( redzadnji ima 1( itd... $ BN>RN,M BR,N,M SSCM$ u &ojemu se na mjestu znamen&e ojavljuju 303 ili 313( to redstavlja redstavlja 40= vjerovatan vjerovatan do#ađaj za ojavu jedne od od znamen&i( imamo da mjesto znamen&e sadr%i &oličinu in'ormacije od 1 !it7a( to je minimalna &oličina in'ormacije in'ormacije &oja se amti amti u računars&oj memoriji. memoriji. Primjer1:
( 2483 )10=2⋅103 + 4⋅102 + 8⋅101 + 3⋅10 0 ( 100110 )2 =1⋅25 + 0⋅2 4 + 0⋅23 + 1⋅22 + 1⋅21 + 0⋅20 4 3 2 1 0 13 A 45 45 )18 =1⋅18 + 3⋅18 + 10⋅18 + 4⋅18 + 5⋅18 ( 13 A
Prevođenje iz binarnog u dekadni brojevni sistem 5
Drevođenje !roja u de&adni sistem je ja&o jednostavno( vodi se rastavljanjem !roja na te%ins&e vrijednosti čime je mo#u+e mo#u+e da se sva&i sva&i !roj iz !ilo &oje# &oje# !rojevno# sistema retvoriti u nje#ovu de&adnu de&adnu rotuvrijednost. rotuvrijednost. Primjer2:
( 10011 ) =1⋅2 + 0⋅2 +0⋅2 + 1⋅2 +1⋅2 =( 19 ) ( 102 ) =1⋅8 + 0⋅8 + 2⋅8 = ( 66 ) ( ABC 1 ABC 1 ) =10⋅13 + 11⋅13 + 12⋅13 + 1⋅13 4
3
2
1
0
2
2
1
10
0
8
10
3
2
1
0
13
Dostua& reračunavanja reračunavanja !roja u de&ads&om !rojevnom sistemu u ne&i dru#i se rovodi na slijede+i slijede+i način: rovodimo cjelo!rojno cjelo!rojno dijeljenje( tj. !roj &oji %elimo %elimo reračunati dijelimo !azom sistema u &oji %elimo reračunati !roj( ri čemu ostata& ri dijeljenju zaisujemo zaisujemo sa strane.
-alje dijelimo !roj &oji smo do!ili ri dijeljenju sa !azom sistema u &oji %elimo reračunati !roj( te ostata& zaisujemo na mjesto lijevo od znamen&e &oju smo do!ili &ao ostata& ri dijeljenju u ret"odnom &ora&u. &ora&u.
Dostua& onavljamo sve do& ri dijeljenju ne do!ijemo 0.
Primjer 3: 24:2A12 12:2A :2A :2A1 1:2A0
,S>>6 1 0 0 1 1
( 25 )10=( 11001 )2
Primjer 4: ;2:1A94 94:1A2
,S>>6 1A6
2:1A0
2
( 726 )
10
(
= 2 D 6
)
16
Sa racionalnim !rojevima ostuamo dru#ačije. Broj za očeta& odijelimo na cijeli i decimalni dio. Eijeli dio dijelimo sa !azom u &oju %elimo reračunati reračunati !roj )ostuamo &a&o &a&o je ve+ rije navedeno*( navedeno*( a decimalni dio !roja mno%imo !azom u &oji %elimo reračunati !roj. Eijeli dio to# !roja je znamen&a u 3novom3 sistemu. >&o je !roj jedna& ili ve+i od 1( onda dalje S>M, decimalni dio mno%imo oet sa !azom. Dostua& onavljamo do& za decimalni dio ne do!ijemo 0. Primjer 5: 2 ,24 tre!a reračunati u !inarni !rojčani sistem: 2 ,24 A 2 F 0 ,24. Eijeli dio reračunamo u !inarni !inarni sistem na način način na &oji je rije oisano. oisano. -a&le imamo: 22 A 1010 . Sada decimalni dio !roja mno%imo sa 2. 0,25 2 0,5 0,5 2 1,0 ⋅
⋅
=
=
( 0,25 )10 ( 0,01 )2 dakle : ( 2,25 )10 ( 10 , 01 )2 =
=
Done&ad !roj ne mo%emo zaisati sa &onačno mno#o ci'ri. ada je !roj ili eriodičan ili nije eriodičan. $ slu+aju da je eriodičan( to zaisujemo &ao i u de&a de&ads ds&o &om m sist sistem emu( u( sa ovl ovla& a&om om izna iznadd dije dijela la &oji &oji se ona onavl vlja ja(( nr nr.
( 101 1010 )2 ,
Racionalan !roj zaisan u !inarnom sistemu reračunavamo u de&ads&i na način da sva& sva&aa znam znamen en&a &a desn desnoo od deci decima maln lnee tač& tač&ee ima ima ne#a ne#ativ tivne ne te%i te%ins ns&e &e vrijednosti( od 71( a nadalje. Eijeli dio !roja reračunavamo u de&ads&i de&ads&i &a&o je ve+ rije oisano. Primjer :
( 10 , 01)2=1⋅21+0⋅2 0+0⋅2−1 +1⋅2−2=1⋅2+ 0⋅1 +0⋅1 +1⋅1 =2 +0 +0 + 0,25 =( 2,25 )10 2
4
Pretvorba iz binarnog u okta!ni i obrnuto Binarni !rojčani sistem ima !azu 2( a o&talni sistem ima !azu 8 A 2 . z te činjenice slijedi da +e jedna znamen&a o&talno# sistema zamjeniti tri tr i znamen&e !inarno# sistema. sistema. Binarni 000 ,&talni 0 Primjeri ":
001 1
010 2
011
100 9
101 4
110
111 ;
128 A 0010100112 A )nule na očet&u !roja od!acitiG* A 1010011 2 ;248 A 111010011101 2 29100 A 010011100001000 2 A 100111000010000 2 Dretvor!a iz !inarno# !rojevno# sistema u o&talni se rovodi na način da zna7 men&e #ruiemo u troj&e ci'ri( očevi od &rajnje desne. $ slučaju da nam &rajnj &rajnjee lijeva lijeva s&u s&uin inaa nema nema tri znamen znamen&e( &e( nad nadou ounju njujem jemoo je nulama nulama &oje &oje stavljamo na očeta& zaisa. Na&on #ruisanja u troj&e( iz ta!lice ičitamo i zaiemo zais te troj&e u o&talnom sistemu. Primjeri #:
Pretvorba iz binarnog binarnog u $eksadekadni i obrnuto Binarni !rojčani sistem ima !azu 2( a "e&sade&ads&i sistem ima !azu 1 A 2 9. z te činjenice slijedi da +e jedna znamen&e "e&sade&ads&o# "e&sade&ads&o# sistema zamjeniti četiri znamen&e !inarno# sistema.
Binarni He&sad. Binarni He&sad.
0000 0 1000 8
0001 1 1001 ?
0010 2 1010 >
0011 1011 B
0100 9 1100 E
0101 4 1101 -
0110 1110 C
0111 ; 1111 @
Primjer %: 10 A1 A 0001000010102 A )nule na očet&u !roja mo%emo od!acitiG* A 1000010102 "
Dretvor!a iz !inarno# !rojevno# sistema u "e&sade&ads&i "e&sade&ads&i se rovodi na način da znamen&e #ruiemo u četvor&e ci'ri( očevi od &rajnje desne. $ slučaju da nam &rajnje lijeva s&uina nema četiri znamen&e( nadounjujemo je nulama &oje stavljamo na očeta& zaisa. Na&on #ruiranja u četvor&e( iz ta!lice ičitamo i zaiemo zais te četvor&e u "e&sade&ads&om "e&sade&ads&om sistemu.
Primjeri 1&:
( 110101000)2 = ( 1 1010 1000 )2 = ( 0001 1010 1000 )2 = ( 1A8 )16 ( 101110111011 )2 =( 1011 1011 1011 )2 = ( BBB )16 ¿
¿
¿
¿
¿
#ačunske
¿
oera7ije sa binarnim brojevima
.
'()U*+,- OP-'(C./- +( B.*('*.0 B'O/-.0( Binarno sabiranje Sa!iranje dva !ita rovodi se o ravilima za sa!iranje dva !inarna !roja: 0F0
A0
0F1
A1
1F0
A1
1F1
A 0 i 1 dalje
Drijenos )1 dalje* se renosi na susjedni stuac sa lijeve strane. Do#ledajmo &a&o to iz#leda na rimjeru: Primjer 1: rijenos
1
F A
1
1 1 0
1 1 0
1 0 0 1
1 1 1 1
1 1 0
Razmotrimo &olonu o &olonu sa lijeva na desno: 1F 1 A 0 )renosimo 1* 1F 1 A 0 )renosimo 1* F1 )&oju smo renijeliG* A 1 /
0F 0 A 0 F 1 )&oju smo renijeliG* A 1 1F 1 A 0 )renosimo 1* 1F 1 )&oju smo renijeli* A 0 )renosimo 1* Primjer 2: rijenos
1
F A
1
1 1
1 1
0
0
1 1 1 1
1 1 0
0 1 1
0 0 0
Dostua& računanja je analo#an ret"odnom rimjeru.
Binarno oduzimanje ,duzim ,duz iman anje je !roj !rojev evaa se mo%e mo%e sves svesti ti na z!ra z!raja janj njee meto metodo dom m dvoj dvojno no## &omlementa. -a !i to !ilo mo#u+e( umanjitelj moramo retvoriti u ne#ativan !roj. Nr. Nr. 47 A 4 F )7*. Ne#ativni se !rojevi u !inarnom sistemu ri&azuju omo+u dvojno# &omlementa. Dostua& do!ivanja dvojno# &omlementa je slijede+i: $manjeni& i umanjitelj tre!a svesti na jedna&i !roj ci'ara na način da se umanjitelju doda s lijeve strane otre!an !roj nula.
Sva&u ci'ru 0 umanjeni&a tre!a retvoriti u 1( a sva&u 1 u 0 )ta&o do!iveni !roj se zove &omlement !roja*.
6omlementu tre!a ri!rojiti 1 )ta&o do!iveni !roj se zove dvojni &omlement*.
Sa!eremo umanjeni& i dvojni &omlement( te od!acimo &rajnje lijevu 1 da !i rezultat !io isravan. ime je !inarno oduzimanje #otovo.
Primjer 1: zračunajmo: 110112710112. Drvo rimjetimo da umanjeni& ima 4 ci'ri( a umanjitelj 9. /ato tre!a umanjitelja douniti sa 0: 010112. 6omlement to# !roja je 10100 2( a dvojni &omlement je 10100 2 F 12 A 101012. 10
/!rojimo sada umanjeni&a i dvojni &omlement: 11011 2 F 101012. Na &raju jo samo od!acimo &rajnje lijevu 1 da !ismo do!ili isravan rezultat: renos umanjeni& dvojni &omlement A R>/6>
1 F 1
1 1 1 1 1
1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 0 0
Binarno mnoenje Mno%enje !inarni" !rojeva ta&ođer se svodi na sa!iranje( samo moramo veli&u aznju osvetimo osvetimo otisivanju ci'ri. $ !inarnom sistemu mno%imo &ao i u de&adnom( ali sa!iranje rovodimo u !inarnom sistemu. Primjer 1: rijeno s
1
1
1
1
1 0
F A
1
Primjer 2:
0
0
1 0 1
0 1 0 1
0
( 11101 ) ⋅ ( 1000 ) 2
I
2
(
= 11101000
)
1
0
1 0 1
0 0
1
0
2
Binarno dije!jenje emeljna ravila dijeljenja !inarni" !rojeva #lase:
11
$ !inarnom sistemu +e se dijeljenje o!avljati na identičan način( to znači da +e se svoditi na oduzimanje. Drimjeri: 1010001 : 1001 A 1001 101010 : 111 A 110 10001 : 11 A 101 i ostata& 10 71001 7 111 7 11 0001001 00111 00101 7 1001 7 111 7 11 0000 000 010 6a&o očinjemoJ $zimamo ci'ru o ci'ru dijeljeni&a sve do& ne do!ijemo !roj ve+i od djelioca )1 K 1001( #ledamo dalje 10 K 1001( 101 K 1001( 1010 L 1001( a je 1010 !roj s &ojim očinjemo*
Dijeljenje s nulom nije dozoljeno.
1
Binarni sistem u računarstvu računarstvu 6a&o računar &oristi is&ljučivo !rojeve to znači da se svi svi zna&ovi(instru&cije i odaci moraju retvoriti retvoriti u !rojeve &a&o !i !i računaru !ili razumljivi.
,odiranje /na&ovi i instru&cije najče+e najče+e se unose re&o tastature tastature &oja alje računaru od#ovaraju+e &om!inacije imulsa.$o+eno tastatura je ele&tromečanič&i ele&tromečanič&i retvarač &oji zna& na ti&i ti&i o ritis&u retvara u riadnu riadnu mu !inarnu !inarnu &om!inaciju. Sva&om Sva&om zna&u riada njemusvojstvena njemusvojstvena !inarna &om!inacija. &om!inacija. S&u zna&ova i !inarni &om!inacija naziva se 6,- a sam ostua& &reiranja !inarni &om!inacija naziva se 6,-R>NC. 6,-R>NC. z s&orije čovje&ove čovje&ove istorije ostua& ridru%ivanja imulse ele&tričnim ili svijetlosnim ili sličnim ojedinim zna&ovima isma oznat je od nazivom Morzova a!eceda. Računar &oristi ista načela u narednijem o!li&u. znavedeno# je jasno da računari ne mo#u usjeno razmjenjivati odat&e a&o ne &oriste isti &od te je od veli&o# značaja standardizacija standardizacija &oda inje#ovo inje#ovo otivanje ali inje#ovo inje#ovo oznavanje. oznavanje.
13
ak!jučak Binarni !rojevi i#raju nezamjenjivu ulo#u u računars&oj te"nici( &a&o &ao način za zaisivanje odata&a ta&o i za realizaciju osnovni" računars&i" oeracija. 6roz ovaj rad smo se dota&li( racuns&i" oeracija u !inarnom !rojnom sistemu( a smo vidjeli da racunanje u !inarnom !inarnom !rojom sistemu nije !au&. 6a&o 6a&o vrijeme rolazi sve je veci orast rimjene racunara( i in'ormacijs&i" te"nolo#ija( s to#a je neo"odno znati( &a&o 'un&cionise racuns&e oeracije u !inarnom !rojnom sist sistem emu( u( samn samnim im tim tim je i jedn jednaa od osno osnova va za dalji dalji radi radi i nar nared eda& a& &roz &roz in'ormacijs&e te"nolo#ije i sisteme.
14
iteratura: 819 jubomir -ilanov :Brojevi i brojni sistemi; 00.g. Beoknjiga 89 ojni7a 839 idija Blagojevi7? @arko Arundler Arundler :Boolova algebra algebra i logički skloovi; skloovi; 01. kolska kolska knjiga
Internet izvori:
!CsDDs!.Eikiedia.orgDEikiDBrojevniFsistem !CsDDrezi.7omDsuvlb1bG"bDHlozoHjaIlogik !CsDDrezi.7omD suvlb1bG"bDHlozoHjaIlogikaIiIotkri7eIra7unar aIiIotkri7eIra7unaraD aD !CDDEEE.konides.ag.rsDinJ1D03I Brojni'istemiDraunskeFo Brojni'istemiDr aunskeFoera7ijeFsaFbinarnimF era7ijeFsaFbinarnimFbrojevima.!tml brojevima.!tml
15
