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CARRERA PROFESIONAL: ING.MECANICA Y ELECTRICA •
CURSO: ESTATICA Y DINAMICA CICLO:IV SEMANA : 14
TEMA :COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL PROFESOR : ING. JORGE CUMPA MORALES 2012-I
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL OBJETIVOS •
Determinar las componentes normal y tangencial de la velocidad y la aceleración de una partícula que se encuentra moviéndose en una trayectoria curva.
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL APLICACIONES Cuando un auto se mueve en una curva experimenta una aceleración, debido al cambio en la magnitud o en la dirección de la velocidad. ¿Podría Ud. preocuparse por la aceleración del auto?.
Si el motociclista inicia su movimiento desde el reposo e incrementa su velocidad a razón constante. ¿Cómo podría determinar su velocidad y aceleración en la parte
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL POSICIÓN Cuando la trayectoria de una partícula es conocida, a veces es conveniente utilizar las coordenadas normal (n) y tangencial (t) las cuales actúan en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria. En un movimiento plano se utilizan las vectores unitarios ut y u
n
El origen se encuentra ubicado sobre la trayectoria trayectoria de la partícula.
El eje t es tangente a la trayectoria y positivo en la dirección del movimiento y el eje n es perpendicular al eje t y esta dirigido hacia el centro de curvatura
COMPONENTES TANGENCI ANGENCIAL AL Y NORMAL POSICIÓN En un movimiento plano las direcciones n y t se encuentran definidas por los vectores unitarios ut y un El radio de curvatura ρ, es la distancia perpendicular desde la curva hasta el centro de curvatura en aquel punto. La posición es la distancia S medida sobre la curva a partir de un punto O considerado fijo
COMPONENTES TANGENCIA ANGENCIALL Y NORMAL VELOCIDAD Debido a que la partícula se esta moviendo, la posición S está cambiando con el tiempo. La velocidad v es un vector que siempre es tangente a la trayectoria tra yectoria y su magnitud se determina derivando respecto del tiempo la posición S = f(t). Por lo tanto se tiene
v vut dS / dt
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL ACELERACIÓN Consideremos el movimiento de La aceleración tangencial es una partícula en una trayectoria la responsable del cambio en el modulo de la velocidad curva plana La aceleración normal es la En el tiempo t se encuentra en P responsable del cambio en la con una velocidad v en dirección dirección de la velocidad
tangente y una aceleración a dirigida hacia la concavidad de la curva. La aceleración puede descomponerse en una componente tangencial at (aceleración tangencial) paralela a la tangente y otra paralela a la
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL ACELERACIÓN Tracemos en A un vector unitario et . La aceleración será ˆ
a
dv dt
d (vet ) ˆ
dt
dv
et v
det ˆ
ˆ
dt
dt
Si la trayectoria es una recta, el vector et sería constante en magnitud y dirección, por tanto ˆ
ˆ
det dt
0
Pero cuando la trayectoria es curva la dirección de et cambia por lo tanto ˆ
ˆ
det
0
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL ACELERACIÓN d d Introduzcamos el vector unitario det j ( sen ) i cos normal en a la curva y dirigido dt dt dt hacia el lado cóncavo de la det d en curva. Sea β el ángulo que forma dt dt la tangente en A con el eje x. Entonces se tiene ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
et cos i sen j ˆ
ˆ
en cos(
)i sen(
ˆ
ˆ
2
2
)j
en sen i cos j ˆ
ˆ
La derivada del vector unitario
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL ACELERACIÓN •
•
•
Por otro lado se tiene que d d dS d v dt dS dt dS Donde dS es el pequeño arco a lo largo del movimiento en un dt. Las normales a la curva en A y A´ se intersecan en C. Entonces dS
d dS •
d
1
La razón de cambio del vector unitario tangencial es
det ˆ
dt
1
en ˆ
COMPONENTES TANGENCIA ANGENCIALL Y NORMAL ACELERACIÓN Remplazando esta ecuación en la aceleración se tiene a
a
dv
ˆ
dt dv
a
et
et ˆ
dt
v
det ˆ
dt v
2
en
ˆ
at et ˆ
an en ˆ
Es decir las aceleraciones tangencial y normal se escriben dv v2 at et : at en ˆ
ˆ
•
La magitud de la aceleración total será
a a a 2 t
2 n
CASOS ESPECIALES 1. La partícula partícula se mueve a lo largo de una línea línea recta recta
=>
an = v2 / 0
>
a = at = v
La componente tangencial representa la razón de cambio de la magnitud de la velocidad 2. La partícula se mueve en la curva a velocidad constante at = v = 0
=>
a = an = v2 /
La componente normal representa la razón de cambio de la dirección de la velocidad
CASOS ESPECIALES 3) La componen componente te tangen tangencial cial de la aceleracón es at = (at)c. s v v
1
2
(ac )c t
s0
v0t
v0
(ac )c t
2
2
v0
2
constante, constan te,
2(ac )c ( s s0 )
So and v o son la posición y la velocidad de la partícula en t = 0 4. La part partícu ícula la se se muev muevee a lo larg largo o de la tray trayect ectori oriaa dada dada por por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es [1 (dy / dx) ]
2 3/2
d 2 y / d x 2
Ejemplo 01 •
Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la que se está incrementando a razón de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria parabólica indicada en la figura. Determine su velocidad y aceleraciónn en el instante que llega al punto A . Desprecie en los aceleració cálculos el tamaño del esquiador.
Solución •
•
Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene. La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su dirección será 1
dy y x , 1 dx x 10 20 •
2
Por lo tanto en A la velocidad forma 45° con el eje x
Solución •
La aceleración se determina aplicando la ecuación a
•
dv
et ˆ
dt
v
en
[1 (dy / dx) ]
2 3/2
2
2
[1 ( x /1 /10 0) ]
2 3/2
et ˆ
dt
1/10
28.28m
a A a A
2et ˆ
2et ˆ
v
2
en ˆ
ˆ
d y / d x
2
Para ello se determina el radio de curvatura
a A
dv
6
2
en ˆ
28,3
1, 27en ˆ
Solución •
La magnitud y la dirección de la aceleración serán 2
a
2 1.237 tan
1
2
2.37 m / s
57.5
2 1.327
2
Ejemplo 02 •
Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razón constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante.
Solución •
Se sabe que la aceleración tangencial es constante e igual a at
2,1m / s
•
La aceleración total será
a at et
v2
ˆ
2
en ˆ
a 2, 1et 0.0 49t 2 en ˆ
Enton En tonce ces s v
v0
a 2 2, 12 [0 .0 49t 2 ]2
at t
0 2,1t
2, 4 2, 1 [0.04 9t ]
La aceleración normal será
t 4,87
v •
ˆ
an
v
2
(2,1t ) 90
2
•
2
0.049t 2 m / s 2
2
La velocidad instante será
2 2
en
este
v 2.1t 10.2m / s
Ejemplo 03 Una caja parte del reposo en A e incrementa su rapidez a razón de at = (0.2t) m/s2 y viaja a lo largo de la pista horizontal mostrada. Determine la magnitud y dirección de la aceleración cuando pasa por B
Ejemplo 03 La posición de la caja en cualquier instante es S medida a partir del punto fijo en A. La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleración tangencial, esto es
at v 0.2t
v
0
dv
(1)
t
0.2tdt 0
v 0 1t
2
(2)
Ejemplo 03 Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), después obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decir v
S
0
ds
dt
ds
0.1t 2
t
0
0.1 0. 1t 2 dt
S 0, 03 03 3 3t 3
(3)
De la geometría se tiene sB = 3 + 2π (2)/4 (2)/4 = 6.142 m.
Entonces tenemos
6,1 ,14 42 0, 0333t
3
t 5,69s
Ejemplo 03 Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta ( a B )t vB 0.2(5.69) 1.138m / s 2 v B
0.1(5.69)2 3.238m / s
En el punto B el radio de curvatura es ρ = 2 m, entonces la aceleración será 2
(a B )n
v B
B
5.242m / s 2
La aceleración total será 2
a B at ,B et
v B
ˆ
en ˆ
1 138 5 242 ˆ
ˆ
Su modulo y dirección serán a
2
2
1,1 ,13 38
a
tg 1[
5, 36 36m / s
5.242 1,138
2
[5, 242] 2
] 77, 75
Ejemplo 04 Una partícula partícula se mueve en una trayectori trayectoriaa curva curva de tal manera que en cierto instante tiene una velocidad v y una aceración a. Demuestre que el radio de curvatura puede obtenerse a partir de la ecuación
1
vxa
v
3
Ejemplo 04 Sabemos que la aceleración en cualquier instante es
a at an Multiplicando ambos miembros por la velocidad v tenemos a at an vxa vx at an vxa vxat vxan Debido a que la aceleración tangencial son colineales su producto vectorial es nulo. Entonces tenemos
vxa 0 vxan vxa vxan vxa vxan van sen90 van Remplazado la normal tenemos
vxa
aceleración
v(
v
2
1
vxa
v
3
)
Ejemplo •
Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleración del bote en t = 3 s.
Ejemplo •
Un avión viaja a lo largo de una trayectoria parabólica y 0,A4 xel vertical . En el punto avión tiene una velocidad de 200 m/s la cual se incrementa a razón de 0,8 Determine la m/s2. magnitud de la aceleración del avión cuando pase por A. 2
Ejemplo •
El jugador de béisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de v 0 = 30 m/s a un ángulo θ = 30° como se muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente después del lanzamiento y (b) en el vértice. Calcular en cada caso, la variación de celeridad por unidad de tiempo.
ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIÓN
Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partícula usando un marco de referencia fijo.
Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una partícula es complicada, de modo que es más factible analizar el movimiento en partes usando dos o más marcos de referencia.
Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la hélice de un avión , mientras éste está en vuelo , es más fácil describirlo si observamos primero el movimiento del avión a partir de un sistema de referencia fijo y después se superpone vectorialmente el movimiento circular de la partícula medida a partir de un marco de referencia móvil unido al aeroplano.
ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIÓN
En esta sección nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de referencia en traslación. El análisis del movimiento relativo de partículas usando marcos de referencia en rotación se tratará en el curso de Dinámica.
MOVIMIENTO RELATICO: POSICIÓN •
•
Consideremos dos partículas A y B moviéndose en las trayectorias mostradas Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el marco de referencia OXYZ serán
r A OA •
r B OB
El observador B sólo experimenta traslación y se encuentra unidos al sistema de referencia móvil Oxyz
•
La posición relativa de A con respecto al observador observador B , es
r A rB r A / B
Movimiento relativo: Velocidad •
Derivando la ecuación de la posición relativa se tiene
v A vB v A / B
Movimiento relativo: Aceleración •
Derivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene
a A aB a A / B
Ejemplo 01 •
Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si el automóvil A está viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h. Determine la magnitud y dirección de la velocidad relativa del tren con respecto al auto.
SOLUCIÓN •
•
La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el auto al cual se le asocial el sistema de referencia OX’Y’, Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad relativa se obtiene de
vT v A vT / A 90i (67.5 co cos 45 i 67.5 si sin 45 j ) vT / A
vT / A {42.3i 47.7 j )km / h
solución •
La magnitud de la velocidad relativa será vT / A (42.3 47.7 ) 63.8km / h 2
•
•
2
2
La dirección de la velocidad relativa es
vT / A y 47.7 tan vT / A x 42.3 48.40
solución •
Dos aviones están volando horizontalmente a la misma elevación, como se indica en la figura. El avión A está volando en una trayectoria recta, y en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una aceleración de 50 km/h2. El avión B está volando en una trayectoria curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600 km/h y está decreciendo su rapidez a razón de 100 km/h2. Determine la velocidad y la aceleración relativa de B medida por el piloto A
Solución •
•
Al avión A esta moviéndose rectilíneamente y se asocia un marco de referencia móvil Ox’y’ Ox’y’..
•
La velocidad relativa de B respecto de A es
•
v B / A 100km / h 100 km / h
La aceleración normal será
a B n
v B v A vB / A 600 700 v B / A
El avión B tiene aceleración normal y tangencial pues se mueve en una curva.
•
v B2
900km / h 2
Aplicando la ecuación para determinar la aceleración relativa se tiene
a B a A aB / A 900i 100 j 50 j a B / A
a B / A 900i 150 j km / h 2
Solución •
En un determinado instante los carros A y B están viajando con velocidades de 18m/s y 12m/s, respectivamente. Además en dicho instante la velocidad de A está disminuyendo a razón de 2m/s2 y B experimenta un incremento de su velocidad a razón de 3 m/s2. Determine la velocidad y la aceleración de B con respecto de A
Solución •
El sistema de referencia fijo está en tierra y el marco móvil en el auto A. Por tanto se tiene
•
La aceleración normal será 2
a B n
v B v A vB / A 60 i 18 sin 60 60 j v B / A 12 j 18 cos 60
•
v B
1.440m / s 2
La aceleración relativa será
v B / A 9i 3.588 j m / s
a B aA aB / A 60 i 2 sin 60 60 j a 1.440i 3 j 2 cos 60 a 2.440i 4.732 j m / s
B / A
2 2 v B / A 9 3.588 9.69m / s •
La dirección de la velocidad relativa será
v B / A y 3.588 tan 9 v B / A x 21.7
2
B / A
•
Su dirección será a B / A 5.32m / s
62.7
2
Ejemplo •
Los pasajeros que viajan en el avión A que vuela horizontalmente a velocidad constante de 800 km/h observan un segundo avión B que pasa por debajo del primero volando horizontalmente. Aunque el morro de B está señalando en la dirección en la dirección 45°noreste, el avión B se presenta a los pasajeros de A como separándose de éste bajo el ángulo de 60° representado. Halle la velocidad verdadera de B
Solución •
El marco móvil está asociado al avión A donde se efectúan las observaciones relativas
•
Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene compo com ponen nente te i : ˆ
v B v A vB / A
v B cos 45 800 vB / A cos 60 compo com ponen nente te j : ˆ
La velocidad de A es conocida en v B sen45 vB / Asen60 módulo y dirección, el ángulo de 60° de la velocidad relativa de B Resolviendo estas ecuaciones respecto de A es conocido y la se obtiene velocidad verdadera de B tiene una dirección de 45°. Entonces v B / A 586km / h; vB 717 km / h tenemos. v A (800i )km / h •
•
ˆ
v B [vB cos 45i vB sen 45 j ] ˆ
[
ˆ
60i ˆ
60 j ] ˆ
