Secuencia Didáctica Para La Enseñanza de La Función Lineal Con GeoGebra

MATEMATICAS

GRADO NOVENO SECUENCIA DIDÁCTICA

PROFE… NO

SABÍA QUE ESTO SE PODÍA HACER… LA FUNCIÓN LINEAL DESDE OTRA MIRADA JHON FREDY SABI ROJAS*

*Estudiante de la maestría en Ciencias de la Educación con Énfasis en Didáctica de las Matemáticas, Univer sidad de la Amazonia; Licenciado en Matemáticas y Física, Universidad de la Amazonia. i b a s 1 5 0 1 @ h o t m a i l . c o m

PROFE… NO SABÍA QUE ESTO SE PODÍA HACER… LA FUNCIÓN LINEAL DESDE OTRA MIRADA. SECUENCIA DIDACTICA

MATEMÁTICAS GRADO NOVENO

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ................................................. ...................................................................................................... ................................................................. ............ 2 OBJETIVOS DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA ...................................................... ................................................................ .......... 5 RED CONCEPTUAL OBJETO MATEMÁTICO FUNCIÓN LINEAL .......... .............................. .................... 6 GUÍA N° 1: REPASANDO CONOCOMIENTOS ADQUIRIDOS ...................................... 7 ACTIVIDAD N°1: ............................................. .................................................................................................. ................................................................. ............ 8 ACTIVIDAD N°2: ............................................. .................................................................................................. ................................................................. ............ 9 GUÍA N°2: LA FUNCIÓN FUNCIÓ N LINEAL EN CONTEXTOS INTRAMATEMATICOS ......... 11 ACTIVIDAD N°1: ............................................. .................................................................................................. ............................................................... .......... 12 ACTIVIDAD N°2: ............................................. .................................................................................................. ............................................................... .......... 14 GUÍA N°3: LA FUNCIÓN LINEAL EN OTROS CONTEXTOS ...................................... 15 ACTIVIDAD N°1: ............................................. .................................................................................................. ............................................................... .......... 16 ACTIVIDAD N°2: ............................................. .................................................................................................. ............................................................... .......... 18 GUÍA N°4: MODELANDO FENOMENOS REALES R EALES ....................................................... 19 ACTIVIDAD: ................................................................................................ ................... 20 ........................................................................................... ........ 21 ALGUNAS REFLEXIONES… ................................................................................... BIBLIOGRAFÍA ................................................... ........................................................................................................ ............................................................... .......... 22

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INTRODUCCIÓN La labor docente implica grandes tareas. Una de las más importantes, y en ocasiones difíciles, es la elaboración de las actividades para desarrollar en clase, debido a que no todas las actividades que llevamos al aula permiten que los estudiantes desarrollen su pensamiento matemático y comprendan los contenidos matemáticos vistos. Existen actualmente muchas herramientas que permiten la elaboración de actividades que promueven el desarrollo de habilidades y capacidades en nuestros estudiantes. Una de ellas son las secuencias didácticas, las cuales “son un ejercicio y un

posible modelo que se propone al docente interesado en explorar nuevas formas de enseñar las matemáticas” (MEN, 2013, pág. 9). Las secuencias didácticas permiten planificar de una manera clara, ordenada y accesible los contenidos matemáticos que se pretenden enseñar en el aula de clases. Pero las secuencias didácticas no solo le ayudan a los estudiantes comprender de una manera más fácil los contenidos matemáticos, sino que también le brinda sentido y significado a eso que está aprendiendo. Y a los docentes, les permite enriquecer su conocimiento didáctico en relación con el contenido matemático que están enseñando (MEN, 2013). La presente secuencia didáctica tiene como eje central el objeto matemático función lineal vista desde otro punto de vista con la ayuda del programa GeoGebra. Esta secuencia consta de cuatro guías, las cuales van aumentando el nivel de complejidad de las actividades matemáticas. En la primera guía los estudiantes podrán observar las características y propiedades de la función lineal, hallar su pendiente, construir la gráfica de la función dados dos puntos, entre otras. En la guía dos resolverán ejercicios que han sido resueltos en sus cuadernos pero esta vez lo harán en GeoGebra para así poder establecer relaciones entre el gráfico hecho con lápiz y papel y el construido en GeoGebra, además de resolver otros ejercicios nuevos y situaciones problemas. En la guía tres, los estudiantes observarán

construcciones

descargadas

de

la

página

http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Sciences/accueilscie.htm las cuales son aplicaciones ,

2



de la función lineal en la física, jugarán con las variables, entre otras cosas. En la guía cuatro, los estudiantes modelarán una situación real de su contexto que se explique por medio de la función lineal. Cada guía tendrá el siguiente esquema, el cual es una adaptación del utilizado en MEN (2013, pág. 11):

GUÍAS DE APRENDIZAJE

ESTANDAR DE MATEMÁTICAS

ESTANDAR DE TECNOLOGÍA E INFORMATICA

Guía N° _

Estándar de competencia en matemática a la que está relacionada la guía. (MEN, 2006)

Estándar de competencia en tecnología e informática a la que está relacionada la guía. (MEN, 2006a)

IDEAS CLAVE

DESEMPEÑOS ESPERADOS

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Conceptos y Lo que se temas que espera lograr se con la guía. desarrollan en la guía

Las actividades que los estudiantes realizan en el desarrollo de la guía

Estas guías articulan estándares en matemáticas (MEN, 2006) con estándares en tecnología (MEN, 2006a), mostrando así una articulación entre las áreas de matemáticas y tecnología, relación que muchas veces no se observan en las aulas de clases.

¿CÓMO ESTAN ORGANIZADAS LAS GUÍAS? Las guías de aprendizaje presentan el siguiente formato:



Estándar básico de competencia en matemáticas:

Esta el o los estándares en matemáticas que están presentes en la guía.

3

PROFE… NO SABÍA QUE ESTO SE PODÍA HACER… LA FUNCIÓN LINEAL DESDE OTRA MIRADA. SECUENCIA DIDACTICA 

Estándar básico de competencia en tecnología e informática: Esta el o los estándares en tecnología e informática que están presentes en la guía.



Ideas Claves: Son los conceptos y temas que se desarrollan en la guía pero escritos en forma de idea.



Desempeños esperados: Son los desempeños que se esperan que los estudiantes desarrollen cuando estén llevando a cabo las actividades de las guías.



Lo que voy a realizar…: Son las actividades propuestas para desarrollar la guía de aprendizaje.



No olvides que…:

Es una ayuda para recordar

aspectos o puntos importantes para resolver las actividades.



Analizo y resuelvo…:

Son una serie de preguntas

que los estudiantes deben responder a medida que desarrollan la guía de aprendizaje.

4




OBJETIVOS DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA

La presente secuencia tiene por objetivos:

1)

Movilizar desempeños en los estudiantes asociados a la función lineal por medio de

actividades en entornos virtuales.

2)

Utilizar GeoGebra para observar, comprobar y/o refutar hipótesis en relación con el

objeto matemático función lineal.

3)

Generar ambientes de aprendizaje que no sólo incluyan tareas con lápiz y papel.

4)

Diseñar una herramienta que les permita a docentes enseñar el objeto matemático

función lineal de una manera diferente, no convencional.

5)

Contribuir a la articulación de las TICs en la enseñanza de las matemáticas.

5

RED CONCEPTUAL OBJETO MATEMÁTICO FUNCIÓN LINEAL

GUÍA N° 1: REPASANDO CONOCOMIENTOS ADQUIRIDOS



Esquema general de la guía.



Guía N° 1: Repasando conocimientos adquiridos



Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

ESTANDAR DE TECNOLOGÍA E INFORMATICA 

Utilizo eficientemente la tecnología en el aprendizaje de otras disciplinas (artes, educación física, matemáticas, ciencias)

IDEAS CLAVE

 La

función

lineal.


Construyo la función lineal en GeoGebra e identifico sus características.



Observo, describo y argumento los cambios que presenta la  Actividad pendiente de la N° 2: recta al variar su variación de la inclinación. pendiente de la gráfica de la Describo el función lineal y comportamiento de una recta que de la recta pasa por dos construida a puntos, al variar partir de dos de sus condiciones sus puntos. iniciales.

recta que pasa por dos puntos. pendiente de la recta.

Actividad N°1: construcción de la gráfica de una función lineal y descripción de sus propiedades.



 La

 La


 Propiedades

de la función lineal. 






Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas

 





Construyo la función lineal en GeoGebra e identifico sus características. Observo, describo y argumento los cambios que presenta la pendiente de la recta al variar su inclinación. Describo el comportamiento de la recta construida a partir de dos de sus puntos.

 

 



La función lineal. La recta que pasa por dos puntos. La pendiente de la recta. Propiedades de la función lineal.

ACTIVIDAD N°1: 1) Teniendo la ventana abierta del programa GeoGebra, ir a la opción “Vista” y dar clic en “Vista Algebraica” y “Vista Gráfica”.

2) Escribir una función lineal cualquiera en la casilla que dice “Entrada” de la parte inferior de la ventana, por ejemplo

3) Responde la pregunta 1 de la sección “Analizo y resuelvo”.

8

c

4) Ahora, en la misma casilla de “Entrada” construye otra función pero esta vez cámbiale el signo al número que acompaña la x. Siguiendo con nuestro ejemplo

5) Responde las preguntas 2 y 3 de la sección “Analizo y resuelvo”.

1) ¿Qué puede decir con respecto a la gráfica de esta función? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2) ¿Qué puedes decir con respecto a la gráfica de esta nueva función? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3) ¿Qué características comunes tienen estas dos gráficas? ¿Qué diferencias? _____________________________________________________________________ _________________________________________________________________

ACTIVIDAD N°2: 1) Construye una función lineal cualquiera. Por ejemplo 2) Haz clic en la casilla “Deslizador” y escoger la opción “Deslizador”. 3) Haz clic donde quieras que quede el deslizador y aparecerá un cuadro de dialogo y donde dice Nombre, le escribes la letra m



4) Luego, en la ventana de “Vista Algebraica” reemplazas el número que está acompañando a la x en la expresión de la función por la letra m. 5) Mueve el botón del deslizador. Responde la pregunta 1 de “Analizo y resuelvo”. 6) Ahora haz clic en la casilla que dice “Recta que pasa por dos puntos” y trazan la recta de tal manera que pase por el origen del plano.

7) Para calcular la pendiente de esa recta, haz clic en la casilla que dice “Angulo” y selecciona la opción “Pendiente” y haz clic en uno de los puntos de la recta. 8) Mueve la recta de distintas maneras desde el punto donde está la representación de la pendiente. Responde las preguntas 2 a la 4 de “Analizo y resuelvo”.

1) ¿Qué ocurre con la gráfica de esta función? ________________________________________________________ ________________________________________________________ 2) ¿Qué sucede con la gráfica? ¿y con la pendiente? ________________________________________________________ ________________________________________________________ 3) ¿Qué características comunes tienen estas dos gráficas con respecto a sus pendientes? ________________________________________________________ ________________________________________________________

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La pendiente de una recta es el grado de inclinación de la misma



GUÍA N°2: LA FUNCIÓN LINEAL EN CONTEXTOS INTRAMATEMATICOS 




Guía N° 2: La función lineal en contextos intramatemático s.



Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.



IDEAS CLAVE

 Situaciones

intramatemáticas de la función lineal de lo hecho en el cuaderno con lo que hacen con GeoGebra

DESEMPEÑOS ESPERADOS 

 Comparación

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

Analizo y resuelvo problemas donde se aplique la función lineal.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 

Actividad N°1: pagos de servicio de la energía

Actividad N° 2: plan de Comparo y minutos de comunico mis celular. observaciones con claridad y argumentos. 







Analizo y resuelvo problemas donde se aplique la función lineal.



Comparo y comunico mis observaciones con claridad y argumentos







Situaciones intramatemáticas de la función lineal



Comparación de lo hecho en el cuaderno con lo que hacen con GeoGebra.

ACTIVIDAD N°1: 1) Realizar y representar en GeoGebra la actividad del “consumo de energía” propuesta por Miranda, Pavez Peñalosa, & Ruiz Reyes (2011, pág. 11), la cual se aprecia en la siguiente imagen.

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2) Responde las preguntas del 1 al 5 de “Analizo y resuelvo”.

1) ¿Cuál es la interpretación gráfica de los datos de cada cliente? _______________________________________________________ _______________________________________________________ 2) ¿Cuál es el valor del kwh? ¿Qué significa este valor para la gráfica? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

3) Supongamos que el Sr. Reyes, vecino de la familia Ruiz, no le llega la cuenta de electricidad. Como no sabe cuánto pagar, anota las lecturas del medidor del mes anterior 40.907 Kwh y la actual 41.106 Kwh. Si acude hasta la oficina de pago para solicitar la facturación del mes de Marzo, determina: los Kwh consumidos por la familia Reyes. ¿Cuánto deberá pagar este mes? _______________________________________________________________________ 4) Si el vecino de la Familia Luna canceló $9.971 por la cuenta del mes de Marzo, ¿cuántos Kwh consumió durante este mes? _______________________________________________________________________ 5) La empresa Chilquinta, para emitir las facturas de sus clientes, debe usar un modelo matemático, en el cual los datos de un cliente cualquiera se representan por: x: la energía consumida en Kwh. y: el valor total a pagar en pesos. Encuentra el modelo utilizado por la empresa Chilquinta. ____________________________________________________________________

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ACTIVIDAD N°2: 1) Realizar y representar la actividad de “plan de minutos” propuesta en la cartilla de Matemáticas 9 para la educación rural (MEN, 2010, pág. 112), la cual se aprecia en la siguiente imagen.

2) Resuelve las preguntas del 1 al 4 de “Analizo y resuelvo”.

1) ¿Cuál es el costo de 10 minutos en el plan A? ¿Y de 15 y 20 minutos? __________________________________________________

2) Con los datos anteriores, realice la gráfica del plan A de minutos ¿Qué significado tiene el costo del minuto para la gráfica? 3) Encuentre la expresión que modeliza el plan A de minutos. _______________________________________________ 4) Realice el mismo procedimiento para el plan B de minutos. ¿Qué similitudes y diferencias encuentras en las dos gráficas? _______________________________________________ 14

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos     es

 ,    ,    −  =  − −   − 



GUÍA N°3: LA FUNCIÓN LINEAL EN OTROS CONTEXTOS






Guía N° 3: La función lineal en otros contextos



Analizo en representacione s gráficas cartesianas los comportamient os de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.



IDEAS CLAVE

 Aplicaciones

de la función lineal en la física (ley de Ohm y ley de Hooke

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

Analizo y explico  Actividad N°1: Ley de cómo cambia la gráfica de la Ohm resistencia de un circuito eléctrico  Actividad N° 2: Ley de a medida que cambia el voltaje Hooke. y la corriente.



Describo la variación de la gráfica de elongación contra masa.















Aplicaciones de la función lineal en la física (ley de Ohm y ley de Hooke.

Analizo y explico cómo cambia la gráfica de la resistencia de un circuito eléctrico a medida que cambia el voltaje y la corriente.

Describo la variación de la gráfica de elongación contra masa.

ACTIVIDAD N°1: 1) Observar y analizar la simulación de GeoGebra sobre la ley de Ohm, la cual fue descargada de una página web (ver Mentrard (2006)). Deslicen los comandos de voltaje, resistencia y corriente para observar cómo varía la gráfica de voltaje – corriente. La simulación se puede apreciar en la siguiente imagen.

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2) Responde las preguntas del 1 al 4 de “Analizo y resuelvo”.

1) Cierre el circuito deslizando el comando de la izquierda. Luego, deslice el comando del voltaje de 6V a 12 V ¿Qué pasa con la gráfica? ____________________________________________ 2) Ahora, deslice solamente el comando de la resistencia ¿Qué pasa con la gráfica? ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ 3) Ahora, deslice solamente el comando rojo de la corriente ¿Qué pasa con la gráfica? ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ 4) Encuentre la expresión que me relacione el voltaje en función de la corriente ¿Qué papel juega la resistencia en ésta expresión? Explique ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________

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La ecuación de la recta dado un punto   y su pendiente m es

 ,   −  =  − 



ACTIVIDAD N°2: 1) Observar y analizar la simulación de GeoGebra sobre la ley de Hooke, la cual fue descargada de una página web (ver Mentrard (2006a)). Deslicen los comandos de constante de elasticidad y masa para observar cómo varía la gráfica de elongación masa. La simulación se puede apreciar en la siguiente imagen.

2) Responda las preguntas del 1 al 3 de “Analizo y resuelvo”.

1) Deslice solamente el comando de la masa ¿Qué pasa con la gráfica? ________________________________________________________________ 2) Deslice solamente el comando de la constante de elasticidad ¿Qué pasa con la gráfica? ________________________________________________________________ 3) Encuentre la expresión que me relacione la elongación del resorte en función de la masa ¿Qué papel juega la constante de elasticidad del resorte en ésta expresión? Explique 18



GUÍA N°4: MODELANDO FENOMENOS REALES





Guía N° Modelando fenómenos reales.

4:




Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.


Utilizo eficientemente la tecnología en el aprendizaje de otras disciplinas (artes, educación física, matemáticas, ciencias).

IDEAS CLAVE

 Modelación

de situaciones reales que se puedan expresar por medio de la función lineal.

Identifico y formulo problemas propios del entorno susceptibles de ser resueltos a través de soluciones tecnológicas.

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DESEMPEÑOS ESPERADOS 

Modelo situaciones reales de mi entorno, que se puedan expresar por medio de la función lineal, con ayuda de GeoGebra.



Explico y argumento modelos de situaciones reales que se puedan expresar por medio de la función lineal.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 

Actividad: Construcción de un modelo de una situación real de los estudiantes


 Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.



Modelo situaciones reales de mi entorno, que se puedan expresar por medio de la función lineal, con ayuda de GeoGebra.



Explico y argumento modelos de situaciones reales que se puedan expresar por medio de la función lineal.







Identifico y formulo problemas propios del entorno susceptibles de ser resueltos a través de soluciones tecnológicas.



Modelación de situaciones reales que se puedan expresar por medio de la función lineal.

ACTIVIDAD: 

Buscar un fenómeno real de su entorno local o nacional que se pueda representar por medio de la función lineal y modelarlo gráfica y algebraicamente con ayuda de GeoGebra. Explicar paso a paso el procedimiento utilizado para la elaboración del modelo, argumentándolos desde el punto de vista matemático. Se realizará una sustentación en clase del modelo construido. 20



ALGUNAS REFLEXIONES … El uso de las TICs está ganando terreno en la enseñanza de las matemáticas y nosotros como docentes debemos estar a la vanguardia de este gran avance que tienen las nuevas tecnologías. Debemos ser conscientes del avance del mundo tecnológico e incorporar las TICs en nuestros lanes de estudios de matemáticas. Esta secuencia didáctica constituye una de las miles de ayudas que hay actualmente para utilizar las TICs en la clase de matemáticas. En el desarrollo de las guías y actividades matemáticas se pudo observar una gran diferencia al momento de graficar la función lineal con ayuda del GeoGebra en el sentido de que los estudiantes: ahorraron tiempo para construir las gráficas; pudieron ver animaciones de las gráficas (cosa que no se puede observar en una hoja de papel); observaron más fácil y claramente las características de las gráficas de la función lineal al cambiar las condiciones iniciales de las mismas; con la incorporación del GeoGebra en la clase de matemáticas se logró que se produjera más interacción y comunicación entre los estudiantes; se presentó un aumento relativamente mayor con respecto a la participación de los estudiantes en las clases, a comparación de las “clases tradicionales”, entre muchas otros aspectos.

Con respecto al conocimiento matemático, se pudo observar que, debido a la ayuda del GeoGebra, hubo una mayor compresión del objeto matemático tratado. Esto se debe a diversas razones: la oportunidad de “manipular” el objeto matemático a partir de animaciones; desarrollar varios ejercicios y actividades en un menor tiempo a comparación del tiempo que le lleva hacerlo en una hoja de papel, entre otros.

Hay que replantear nuestra metodología de enseñanza. No quiere decir que la “clase tradicional” desaparezca y solo sea TICs, sino que hay que unificar estas dos estrategias

para así lograr mejores resultados y desarrollar las capacidades y destrezas de nuestros estudiantes en torno al pensamiento matemático.

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BIBLIOGRAFÍA

MEN. (2006). Estandares Básicos de Competencias en Matemáticas. (M. d. Nacional, Ed.) Obtenido de http://www.mineducacion.gov.co/cvn/1665/articles116042_archivo_pdf2.pdf MEN. (2006a). Estandares Básicos de competencias en tecnología e informatica. Recuperado el 13 de Noviembre de 2013, de http://www.semmonteria.gov.co/download/estandares-basicos-tecnologiainformatica-version15.pdf MEN. (2010). Matematicas 9 Posprimaria. Bogota D.C. MEN. (2013). Secuencias Didácticas en Matemáticas para Educación Básica Secundaria. Bogotá D.C.: Sanmartín Obregón & Cía. Ltda. Mentrard, D. (2006). INFORMATH. Recuperado el Noviembre de 2013, de http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Sciences/Physique/Electricite/Loidohm.html Mentrard, D. (2006a). INFORMATH. Recuperado el Noviembre de 2013, de http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Sciences/Physique/Statique/etalonage.html Miranda, E. L., Pavez Peñalosa, F., & Ruiz Reyes, K. (2011). Profe Pavez. Profesor de matematicas. Recuperado el Noviembre de 2013, de http://www.profepavez.cl/2propuestas/algebra/Ponencia_Luna_Pavez_Ruiz.pdf

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Secuencia Didáctica Para La Enseñanza de La Función Lineal Con GeoGebra

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