Resumen de Placas y Envolventes Delgadas Timoteo

RESUMEN DE PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS (TIMOSHENKO Cap. III)

I. Placa Circular cargada uniformemente (26). a) Bordes Empotrados. Al estar el borde empotrado, ϕ=0 para x=a y para x =0, siendo a el radio exterior de la placa, obteniéndose de este modo las ecuaciones siguientes:

De donde (con las condiciones):

Y sustituyendo estos valores en la ecuación:

Obtenemos:

Las flechas se calculan a partir de la ecuación de w; haciendo P=0, reemplazando los valores de las constantes (C 1 y C2) y utilizando la condición de que en el borde la flecha es nula, de esta forma obtenemos:

Los momentos flectores se obtienen de las ecuaciones:

Sustituyendo en ellas el valor de

ϕ:

b)

Bordes simplemente Apoyados. En este caso se utiliza el método de la superposición. Si se combina el caso de bordes empotrados (momentos negativos) con la flexión pura con el fin de eliminar el momento flector del borde, se tendrá una placa con el borde simplemente apoyado.

La flecha total será:

Para el caso de lo s momentos flectores también es necesario superponer los momentos encontrados para bordes empotrados, en ese caso obtenemos:

La fatiga máxima correspondiente al momento flector máximo es:

Para este análisis no se consideró el efecto de la fuerza cortante, en el caso de que lo hagamos, tenemos para el caso de carga uniforme:

Para el caso de la fatiga máxima, la distorsión correspondiente será:

La flecha total será:

II.

Placa Circular cargada en el centro (27). a) Bordes Empotrados. En este caso se hace q =0, obteniéndose:

Las constantes de integración se obtienen estableciendo de la placa, por lo que tenemos:

ϕ=0

en el borde empotrado y en el centro

La ecuación queda:

Introduciendo los valores de frontera en la ecuación de la flecha, obtenemos:

Donde C3 se calcula con la condición de la flecha nula en el borde empotrado, en este caso obtenemos:

Los momentos flectores son:

b) Bordes Apoyados. En este caso se utiliza nuevamente e l método de superposición, la curvatura producida por los momentos es:

La flecha correspondiente en el centro será:

III.

Placa Circular cargada concéntricamente (28).

Para el caso en el que la carga está distribuida uniformemente sobre una circunferencia de radio b. Las constantes arbitrarias se calculan de modo que satisfagan las condiciones de continuidad en la circunferencia x=b, representando a la carga total por P, tenemos:

a) Bordes Empotrados: Para el trozo interior (x
Para el trozo exterior (x>b):

b) Bordes Apoyados: Para el trozo interior (x
Para el trozo exterior (x>b):

IV.

Deformación de una Placa Circular que tiene un agujero en su centro y está cargada simétricamente (29). a) Flexión por Partes: Sea M1a y M1b los momentos flectores por unidad de longitud en los bordes. Para ello P=q=0, se tiene:

Las constantes se determinan por las condiciones en los bordes:

b) Flexión para una Carga uniformemente distribuida a lo largo de los bordes internos y externos: i

Si la flexión es originada por una carga uniformemente distribuida a lo largo de los bordes (94-a), q=0 y P es igual a la carga total sobre el borde interno, se deduce:

Las constantes arbitrarias se determinan por las condiciones en los bordes. Por ejemplo si la placa está empotrada en los bordes (94-b), las constantes se encuentran al hacer ϕ=0 para x=a y para x=b, entonces quedaría:

De aquí calculamos los valores de las constantes y se reemplaza en la ecuación de

ϕ.