UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA CENTROAMERICANA “JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
GENERALIDADES DEL COMPORTAMIENTO DE CASCARONES Y PLACAS, Y FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS TRABAJO DE GRADUACIÓN PREPARADO PARA LA
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PARA OPTAR AL GRADO DE
INGENIERO CIVIL
POR:
SONIA CAROLINA CALDERÓN CASTILLO CAST ILLO ERNESTO BALTASAR MONTES SORIANO
OCTUBRE 2009 ANTIGUO CUSCATLÁN, EL SALVADOR, C.A.
RECTOR JOSÉ MARÍA TOJEIRA, S.J.
SECRETARIO GENERAL RENÉ ALBERTO ZELAYA
DECANO DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
EMILIO JAVIER MORALES QUINTANILLA
COORDINADOR DE LA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL ROBERTO MAURICIO MERLOS LAÍNEZ
DIRECTOR DEL TRABAJO JOSÉ CARLOS HASBUN HASBUN
LECTOR EMILIO MARTÍN VENTURA DÍAZ
AGRADECIMIENTOS Queremos agradecer antes de todo a Dios todopoderoso quien fue el que nos dio la sabiduría e inteligencia necesaria para la culminar esta etapa de nuestras vidas, sin él nada de lo que somos ahora sería posible. A nuestro querido asesor el Dr. José Carlos Hasbún, quien más que un asesor ha sido un compañero en este trabajo, ya que ha trabajado fervientemente a nuestro lado. Gracias por exigirnos dar lo mejor de nosotros, no solo en este trabajo sino también a lo largo de toda la carrera, formándonos para que el día de mañana seamos unos profesionales exitosos. Agradecemos también a nuestro lector Ing. Emilio Ventura, cuyos aportes fueron importantes y valiosos dentro del desarrollo de este documento. Gracias a todos nuestros compañeros con quienes compartimos cada etapa de nuestra carrera.
Sonia Calderón Ernesto Montes
DEDICATORIA Este logro lo dedico a Dios todo poderoso principalmente, pues sin él nada de esto hubiese sido posible, él fue quien me dio la sabiduría necesaria para poder desarrollar no solo este trabajo de graduación, sino que todo lo necesario para culminar esta etapa de mi vida. Su mano me ha sostenido a lo largo de toda mi carrera, este triunfo es por él y para él. A mis padres quienes fueron mi principal motivación, quienes me han apoyado en todo y han luchado juntos por darme lo mejor. Gracias por su amor, su comprensión y sus cuidados (sé que la mayoría de veces se desvelaron conmigo), este triunfo lo dedico a ustedes, gracias por todo los amo mucho. A mi hermanito (Rodrigo) quien tuvo paciencia para irme a traer siempre a la Universidad, siempre a donde estuviese estudiando a la hora que fuese, gracias hermanito por tu apoyo, amor y comprensión te amo mucho y este triunfo también lo dedico a ti. A mi compañero de trabajo de graduación, Neto gracias por el apoyo brindado durante toda la elaboración del documento… ¡lo logramos! Al Dr. Ing. José Carlos Hasbun quien no solo durante la elaboración de este documento nos brindó su apoyo incondicional, sino a lo largo de toda la carrera, gracias por cada consejo expresado en clase, cada comentario, muchas gracias. A todos los buenos compañeros y amigos que hice durante toda la carrera, su presencia hizo más agradable cada noche de desvelo y a cada una de las personas quienes de forma directa e indirecta me apoyaron durante toda mi carrera, gracias por todo. A todos ellos agradezco y dedico este triunfo,
Sonia Calderón
DEDICATORIA En primer lugar agradecer a Dios por permitirme alcanzar este logro en mi vida. Agradecer por la vida, la salud, el entendimiento y la voluntad para lograrlo. A mis mis padres infinitas infinitas gracias por siempre brindarme brindarme amor, cariño, compresión, compresión, apoyo y sobre todo una familia feliz que me ha permitido llegar hasta acá. Particularmente gracias a mi mamá por siempre cuidarme y preocuparse de mí. A mi papá por sus orientación, consejos y por darme un gran ejemplo de superación y lucha en la vida. A Gaby, mi hermana, con quien he compartido tanto a lo largo de mi vida y que con su compañía, cariño y amor ha hecho más fácil lograr esta meta. A la mejor compañera de tesis que pude tener. Por su optimismo, dedicación y atenderme siempre su hogar, lo que hizo que la culminación de este documento fuera posible y agradable. A partir de este momento somos más que compañeros, ¡somos colegas! A todos mis compañeros de lucha durante la carrera. Jamás olvidare las interminables jornadas de estudio, tantas anécdotas para el recuerdo, ver salir el sol estudiando y los buenos momentos que compartimos, ya que sin ustedes no hubiera sido posible este triunfo. A mis amigos y amigas de toda la vida que de una u otra forma siempre han estado a mí lado. Gracias por su cariño, apoyo y por todos los excelentes momentos que compartimos y seguiremos compartiendo juntos. Al Dr. Ing. José Carlos Hasbun, que desde el inicio confió en nosotros para salir adelante con este trabajo de graduación. Sus ideas, comentarios y aportes a lo largo de la carrera y de este trabajo nos han hecho crecer como personas y profesionales. …. A toda la gente que estuvo alrededor… Gracias… Totales!!!
Ernesto Montes
RESUMEN EJECUTIVO Capítulo 1: Dentro de este capítulo se presenta una introducción y se justifica la elaboración de este documento, sobre la base de la existencia de una infinidad de estructuras dentro del área de ingeniería cuyo comportamiento se explica a través del análisis estructural de cáscaras y placas. Se presentan además los objetivos generales y específicos
que
se
pretenden
cumplir
con
elaboración
de
este
documento, junto con sus limitaciones y alcances y una breve reseña histórica de la implementación de estas estructuras dentro del análisis estructural.
Capítulo 2: Este capítulo tiene como objetivo principal realizar una descripción general de los elementos cáscara y placa. Las placas son elementos paralelepípedos cuya característica principal es que la dimensión del espesor del elemento es mucho más pequeña en comparación a lo largo y ancho del mismo. Comúnmente los elementos placa, aparecen dentro de componentes de obras civiles y estructuras de ingeniería debido a los beneficios brindados tanto geométricamente como funcionalmente. En condiciones generales un elemento placa sometido a cargas externas experimenta fuerzas cortantes, fuerzas axiales, momentos flectores y torsores. El comportamiento de estos elementos se puede describir mediante dos maneras: de manera aproximada, por medio de la división de una serie de vigas ortogonales entre sí y de manera formal sobre la base del desarrollo de la Teoría de la Elasticidad Plana, cuya formulacion depende en gran medida de su espesor. A partir del espesor las placas se pueden clasificar como: placas delgadas con deformaciones pequeñas, placas delgadas con deformaciones grandes y placas gruesas. Otro aspecto determinante dentro del análisis del comportamiento de placas son las condiciones de apoyo a las que estará sujeto, un elemento placa puede tener distintas condiciones de apoyo en cada uno de sus cuatro lados. Por lo general, la Teoría de Placas es comúnmente aplicable aplicable al análisis análisis de losas losas de concreto reforzado, paredes de concreto y paredes de mampostería. Las cáscaras son estructuras con superficies curva que al igual que la placa su espesor es pequeño en comparación a las otras dimensiones que definen su superficie. Estos elementos se definen por la geometría de su superficie medía, la cual se encuentra a la mitad de la i
distancia entre las superficies exteriores. Las cáscaras se pueden clasificar en base a la geometría de su superficie media como: curvatura Gaussiana de la superficie y superficies generadas, donde las superficies generadas se pueden sub-clasificar como superficies de revolución y superficies de traslación. El comportamiento de un elemento cáscara está relacionado directamente con la geometría que éste posee, a pesar que las acciones internas que actúan en el son independientes de esta. Estas fuerzas internas pueden ser de tres tipos: fuerzas de membrana, fuerzas transversales y momentos flectores y torsores.
Capítulo 3: El objetivo principal de este capítulo es desarrollar la formulación de la ecuación diferencial que rige el comportamiento de un elemento placa. Para desarrollar esta formulación es necesario realizar una serie de hipótesis las cuales involucran conceptos fundamentales de la Teoría de la Elasticidad. Esta teoría tiene como objetivo principal el estudio de los sólidos deformables cuyo comportamiento es elástico; a estos se le suponen una serie de cualidades como los son isotropía, homogeneidad y continuidad. Existen dos casos donde el sistema de fuerzas externas y la sujeción a la que está sometido un sólido elástico hacen que los esfuerzos y deformaciones sean idénticos en planos paralelos, estos estados permiten hacer un análisis en un espacio bidimensional por lo que son llamados Estados de Elasticidad Plana y son: Estado de Deformación Plana y Estado de Esfuerzo Plano. Para llevar a cabo la formulación de los elementos placa se realizan una serie de hipótesis, una de ellas es el considerar que los elementos placa actúan en un estado de esfuerzo plano. Partiendo de estas hipótesis y haciendo uso de las condiciones de equilibrio, relaciones cinemáticas y relaciones constitutivas se obtiene la ecuación diferencial que rige el comportamiento de una placa.
Capítulo 4: Este capítulo aborda de forma generalizada algunos de los métodos numéricos y aproximados que se pueden utilizar para resolver la ecuación diferencial que rige el comportamiento de una placa. El objetivo principal de los métodos aproximados es el encontrar las acciones de diseño de una forma sencilla, sobre la base de una carga máxima que la estructura será capaz de soportar. El Método de los Coeficientes y el Método de las Franjas son dos métodos aproximados que se abordan dentro de este capítulo. El Método de los Coeficientes emplea tablas de coeficientes que abarcan nueve distintas condiciones de ii
apoyo en cada uno de los cuatro extremos de la placa, basándose en análisis elásticos y teniendo en cuenta posibilidades de redistribuciones inelásticas de esfuerzos. El Método de las Franjas aplicado generalmente a losas de concreto reforzado, distribuye la carga a la que es sometido el elemento de forma segura y conveniente, con el objeto de tener una una distribución de refuerzo económica. Finalmente se presenta un ejemplo ilustrativo de una losa empotrada en sus cuatro extremos la cual se resuelve por el Método de los Coeficientes y el Método de las Franjas.
Conclusiones: Dentro de este apartado se incluyen las conclusiones que corresponden a este trabajo de graduación. Recomendaciones: Dentro de este apartado se incluyen las recomendaciones realizadas a este trabajo de graduación.
iii
iv
ÍNDICE RESUMEN RESUMEN EJECUTIVO EJECUTIVO .................................................................................................... .................................................................................................... i ÍNDICE DE FIGURAS FIGURAS .................................................................................................... vii ÍNDICE DE TABLAS TABLAS ....................................................................................................... ix ix SIMBOLOGÍA.................................................................................................................. SIMBOLOGÍA.................................................................................................................. xi PRÓLOGO PRÓLOGO .................................................................................................................... xv
CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN 1.1 DEFINICIÓN DEFINICIÓN DEL PROBLEMA................................................................................ PROBLEMA................................................................................ 1 1.2 OBJETIVOS OBJETIVOS ............................................................................................................... 1 1.2.1 Objetivos Objetivos Generales Generales ........................................................................................... 1 1.2.2 Objetivos Objetivos Específicos Específicos ......................................................................................... 1 1.3 LIMITES Y ALCANCES ALCANCES ............................................................................................ 2 1.4 ANTECEDENTES ANTECEDENTES ...................................................................................................... 2
CAPITULO 2: GENERALIDADES DE LOS ELEMENTOS PLACA Y CASCARA 2.1 PLACAS PLACAS ..................................................................................................................... 5 2.1.1 Descripción e importancia de los elementos placa............................................... 5 2.1.2 Comportamien Comportamiento to................................................................................................. 6 2.1.3 Condición Condición de apoyo ............................................................................................ 9 2.1.4 Aplicaci Aplicaciones ones..................................................................................................... 10 2.2 CÁSCARAS.............................................................................................................. CÁSCARAS.............................................................................................................. 11 2.2.1 Descripción Descripción e importanci importanciaa ................................................................................ 11 2.2.2 Clasificaci Clasificación ón de superficies superficies de cáscaras ............................................................ 11 2.2.3 Comportamien Comportamiento to de los elementos elementos cáscara........................................................ 15 2.2.4 Cargas Externas Externas ................................................................................................ 15 2.2.5 Esfuerzos Esfuerzos internos internos ............................................................................................ 16 2.2.6 Condición Condición de equilibrio equilibrio .................................................................................... 18 2.2.7 Teoría Teoría de las membranas para cascarones cascarones ......................................................... 18 2.2.8 Teoría Teoría de la flexión para placas placas ........................................................................ 19 2.2.9 Condiciones Condiciones de apoyo....................................................................................... 20
2.2.10 Aplicaci Aplicaciones ones................................................................................................... 20
CAPITULO 3: FORMULACIÓN DE PLACA 3.1 FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS DE ELASTICIDA ELASTICIDAD D .................................................................... 23 3.1.1 Vectores esfuerzo en un punto .......................................................................... 24 3.1.2 Deformacione Deformacioness en el e l entorno de un punto ......................................................... 27 3.1.3 Relaciones Relaciones Constitutivas Constitutivas ................................................................................... 32 3.1.4 Estados de Elasticid Elasticidad ad Plana ............................................................................. 36 3.2 TEORIA DE PLACAS PLACAS .............................................................................................. 38 3.2.1 Hipótesis Hipótesis Básicas Básicas .............................................................................................. 38 3.2.2 Ecuaciones Ecuaciones de Equilibri Equilibrioo .................................................................................. 39 3.2.3 Relaciones Cinemáticas y Relaciones Constitutivas .......................................... 46 3.2.4 Ecuación Ecuación Diferencial Diferencial para la Teoría de Placas................................................... 48
CAPITULO 4: INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS PRÁCTICO 4.1 GENERALIDADES DE LOS MÉTODOS APROXIMADOS Y NUMERICOS........ NUMERICOS....... . 52 4.2 MÉTODO MÉTODO DE LOS COEFICIENTES COEFICIENTES ....................................................................... 56 4.3 MÉTODO MÉTODO DE LAS FRANJAS FRANJAS .................................................................................. 61 4.4 EJERCICIOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN .............................................................................. 68 4.4.1 Ejercicio Ejercicio de aplicaci aplicación ón 1 ................................................................................... ................................................................................... 68 4.4.2 Ejercicio Ejercicio de Aplicación Aplicación 2 .................................................................................. 70 4.4.3 Ejercicio Ejercicio de aplicaci aplicación ón 3 ................................................................................... ................................................................................... 76 CONCLUSIONES........................................................................... CONCLUSIONES............................................................................................................ ................................. 81 RECOMENDAC RECOMENDACIONES IONES................................................................................................... 85 GLOSARIO GLOSARIO .................................................................................................................... 87 BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................. 89
ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2.1
Dimensiones Dimensiones típi típicas cas de las placa p lacass ................................................................... 5
Figura 2.2
Configuraci Configuración ón de placa placa cargada transversalmente transversalmente .......................................... 7
Figura 2.3
Simulación de una placa empotrada en dos extremos dividida en vigas ortogonales ortogonales .................................................................................................... 8
Figura 2.4
Deformación por cortante en placas delgadas y gruesas .................................. 9
Figura 2.5
Apoyos comunes para placas en una misma estructura. ................................ 10
Figura 2.6
Elemento Elemento Cáscara. Cáscara. ....................................................................................... 11
Figura 2.7
Intersección de planos con co n la superficie. Adaptado de Hoogenboom [p.3]. [p.3] . ... 12
Figura 2.8
Tipos Tipos de Curvatura Curvatura Gaussiana. Gaussiana. ..................................................................... 13
Figura 2.9
Cáscara Cáscara de Revolución.. Revolución.. ............................................................................... 13
Figura 2.10 Ejemplos Ejemplos de Superficies Superficies de Traslación.]. Traslación.]. ...................................................... 14 Figura 2.11 Componentes Componentes de la carga mu muerta erta P. .............................................................. 15 Figura 2.12 Fuerzas Fuerzas en una u na membrana. membrana. A ....................................................................... 16 16 Figura 2.13 Fuerzas Fuerzas cortantes transversales. transversales. ................................................................... 17 Figura 2.14 Momentos Momentos flectores flectores y torsores...................................................................... 17 Figura 2.15 Carga concentrada, este tipo de carga no es compatible con la Teoría de la Membrana.. Membrana.................................................................................................... 19 Figura 2.16 Condiciones de borde compatibles con la Teoría de la Membrana. Membrana. ............ ...... .......... 19 Figura 3.1
Solido elástico atravesado por un plano cualquiera. ...................................... 24
Figura 3.2
Esfuerzos normales y tangenciales actuando en las distintas direcciones de un sólido sólido elástico. elástico. ............................................................................................. 25
Figura 3.3
Principio Principio de reciprocidad reciprocidad tangencial. tangencial. . .......................................................... 26
Figura 3.4
Posición de dos puntos de un sólido antes y después de la deformación........ 28
Figura 3.5
Desplazamiento de la línea
Figura 3.6
Distorsión angular de ABC debido a la deformación. . ................................. 30
Figura 3.7
Componentes del vector de deformación unitaria. . ...................................... 32
Figura 3.8
Modulo Modulo de elasticida elasticidadd .................................................................................. 33
Figura 3.9
Elemento placa antes y después de la deformación. ...................................... 39
AB
.. ................................................................... 28
Figura 3.10 Fuerzas Fuerzas actuando actuando en la pla p laca. ca. ....................................................................... 40 Figura 3.11 Esfuerzos Esfuerzos en el plano normal normal al eje e je X. ......................................................... 40 vii
Figura 3.12 Fuerzas Cortantes, Axiales y Momentos actuando en la cara X. ................... 41 Figura 3.13 Esfuerzos Esfuerzos en el plano normal al a l eje Y. . ........................................................ 42 Figura 3.14 Fuerzas Cortantes, Axiales y Momentos actuando en la cara Y. ................... 42 Figura 3.15 Fuerzas Cortantes Cort antes Transversales actuando act uando sobre el elemento placa............. ...... .......... 43 Figura 3.16 Momentos Momentos actuando sobre el elemento elemento placa. placa. .............................................. 44 Figura 3.17 Desplazamiento del plano medio para la dirección Y. .................................. 46 Figura 3.18 Desplazamiento del plano medio para la dirección X. .................................. 47 Figura 4.1
Aproximación Aproximación de placa placa en vigas vigas ortogonales. ortogonales. .............................................. 52
Figura 4.2
Valores de ka y kb para el método de Grashof. Grashof. ............................................. 54
Figura 4.3
Placa dividida en 3 franjas por el método de los coeficientes. ....................... 56
Figura 4.4
Distribución de momentos en ambas direcciones. ......................................... 57
Figura 4.5
Distintas condiciones de apoyo en los elementos placa. ................................ 58
Figura 4.6
Distribuci Distribución ón de la carga en dos direcci direcciones. ones. ................................................. 63
Figura 4.7
Variación de momento momento a lo lo largo de l 2 ...................................................... 64
/
Figura 4.8
Distribución de carga para una losa rectangular. ........................................... 65
Figura 4.9
Distribución de carga para par a una losa rectangular rect angular con un borde bor de libre. ............ ...... .......... 68
Figura 4.10 Entrepiso de concreto reforzado empotrado en sus cuatro bordes.................. 68 Figura 4.11 Momentos actuando en un entrepiso obtenidos por el método de los coeficientes coeficientes.. ................................................................................................. 69 Figura 4.12 Entrepiso de concreto reforzado empotrado en sus cuatro bordes.................. 70 Figura 4.13 Distribución de carga para una losa rectangular. ........................................... 71 Figura 4.14 Resultados Obtenidos por el método de las franjas ....................................... 75 Figura 4.15 Discretizacion de una placa rectangular en el software SAP2000.................. 76 Figura 4.16 Diagrama de momento momento en la la dirección X (tn.m (tn.m E10-3) ................................. 77 Figura 4.17 Diagrama Diagrama de mom momento ento en la dirección Y. ..................................................... 78 Figura 4.18 Resultados Obtenidos a través del software SAP. ......................................... 79 Figura 5.1
Resultados obtenidos de los ejemplos de aplicación. .................................... 82
viii
ÍNDICE DE TABLAS Tabla 4.1
Condiciones de apoyo en bordes método de los coeficientes. ....................... 58
Tabla 4.2
Coeficientes para momentos negativos en losas. Nilson ............................... 59
Tabla 4.3
Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta (d l) en losas. 59
Tabla 4.4
Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva (l l) en losas. .... 60
Tabla 4.5
Proporción de la carga q que se reparte en las direcciones la y l b para calcular el cortante en la losa y las cargas en los apoyos. ........................................... 60
Tabla 4.6
Valores de mom momentos entos para la dirección dirección X. ................................................... 77
Tabla 4.7
Valores de mom momento ento para la dirección dirección Y. ..................................................... 78
Tabla 5.1
Resultados obtenidos de los ejemplos de aplicación. .................................... 82
ix
x
SIMBOLOGÍA
ሬ ሬ ሬ
N
Vector unitario normal al plano α que contiene el punto P, con respecto al sistema Oxyz.
T
Vector de esfuerzos correspondiente al plano α que atraviesa el punto P con respecto al sistema Oxyz.
δ
,,
Desplazamiento. Deformaciones unitarias.
[D]
Matriz de deformaciones.
[σ]
Matriz de esfuerzos correspondiente a un punto P, con respecto a un sistema Oxyz.
A , A´
Punto cualquiera en la superficie.
da
Diferencial de área.
e
Dilatación cubica unitaria.
E
Módulo de elasticidad. e lasticidad.
F,P
Cargas axiales actuando en la placa.
G
Módulo de rigidez del material. mater ial.
la
Ancho de un elemento placa.
lb
Largo de un elemento placa.
Mxx
Momento flector por unidad de longitud producido por σxx.
Mxy
Momento de torsión por unidad de longitud producido por τxy.
Myx
Momento de torsión por unidad de longitud producido por τyx. xi
Myy
Momento flector por unidad de longitud producido por σyy.
Mϕ , M θ
Momentos flectores por unidad de longitud.
Mϕθ , M θϕ
Momentos torsores por unidad de longitud.
Nxx
Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por σxx.
Nxy
Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por τxy
Nyx
Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por τyx.
Nyy
Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por σyy.
Nθ , N ϕ
Fuerzas normales en el plano por unidad de longitud.
Nθϕ , Nϕθ
Fuerzas cortantes en el plano por unidad de longitud
P, P´, Q, Q´ Puntos cualquiera de un sólido elástico. Pda
Componente en z del peso de una cáscara de revolución por diferencial de área.
Pxda
Componente en x del peso de una cáscara de revolución por diferencial de área.
Pzda
Componente en z del peso de una cáscara de revolución por diferencial de área.
q
Carga transversal actuando sobre un elemento placa.
Qθ , Q ϕ
Fuerzas Transversales.
r
Radio de curvatura del paralelo.
Rθ
Longitud de la normal entre cualquier punto de la superficie media y el eje de rotación.
Rϕ
Radio de curvatura del meridiano.
xii
S
Superficie que se produce en la intersección de un plano cualquiera con un sólido elástico
t
Espesor de los elementos placa y cáscara.
u° , v°
Desplazamientos del plano medio en las direcciones X y Y respectivamente
Vxz
Fuerza cortante transversal por unidad de longitud producida por τxz.
Vyz
Fuerza cortante transversal por unidad de longitud producido por τyz.
X, Y, Z
Componentes de un eje cartesiano
α
Plano cualquiera que intersecta un sólido elástico
γyz
Distorsión angular ó deformación por cortante.
θ
Ángulo comprendido entre r y cualquier línea de referencia ξ, perpendicular al eje de la cáscara.
θ1, θ2
Variación angular
λ
Coeficiente de lamé
µ
Módulo de Poisson
ξ
Línea central(eje de la cáscara)
σij
Esfuerzo normal, en donde el subíndice i representa el plano sobre el que actúa el esfuerzo, y el subíndice j, la dirección del esfuerzo.
τij
Esfuerzo tangencial o cortante, en donde el subíndice i representa el plano sobre el que actúa el esfuerzo y el subíndice j, la dirección del esfuerzo.
ϕ
Ángulo conformado entre el eje de la cáscara y la normal de la cáscara en el punto bajo consideración sobre la superficie media de la cáscara.
xiii
xiv
PRÓLOGO Los elementos cáscara y placa en la actualidad resultan ser componentes estructurales convenientes a considerar debido a las ventajas que ofrecen estos elementos, como lo es su resistencia estructural y en ocasiones porque permiten sus diseños innovadores agradables a la vista. Uno de los objetivos principales de este documento es ayudar a la comprensión del comportamiento estructural de los elementos cáscara y los elementos placa, es por ello que dentro del capítulo dos se presentan las generalidades de éstos, describiendo la geometría que caracteriza a cada uno de ellos y su importancia dentro del ámbito ingenieril. Además se aborda de manera general el comportamiento de cada uno de ellos haciendo énfasis en los esfuerzos y deformaciones que se producen al someter dichos elementos a cargas externas. También dentro de este capítulo se incluye una discusión relacionada con las distintas condiciones de apoyo con las que estos elementos pueden ser analizados es presentada dentro de esta capitulo al igual que las diversas aplicaciones de estas estructuras dentro de la ingeniería. ingenier ía. El capitulo tres posee como objetivo principal presentar una descripción más detallada del comportamiento de los elementos placa que la presentada en el capitulo dos. Dentro de este capítulo inicialmente se presentan conceptos fundamentales de la Teoría de la Elasticidad los cuales son necesarios para la comprensión del desarrollo de la teoría de placas con la cual se obtiene la ecuación diferencial de cuarto grado que rige el comportamiento de los elementos placa. Resuelta esta ecuación diferencial se pueden determinar el campo de desplazamientos, deformaciones y esfuerzos en cualquier punto de la placa. Existen diversos métodos numéricos y aproximados para obtener las acciones internas de los elementos placa, los cuales se diferencian unos de otros por la complejidad de su desarrollo y el grado de precisión de los resultados. Dentro del capítulo cuatro se presenta una descripción general de algunos de los principales métodos numéricos y aproximados con los que se resuelve la ecuación diferencial que rige el comportamiento del elemento placa y se presentan con más detalle dos métodos aproximados y un ejemplo de aplicación. Finalmente, se presentan las conclusiones conclusiones y recomendaciones obtenidas para este trabajo de graduación.
xv
CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA En El Salvador, el análisis estructural de placas y cascarones es un tema poco abordado dentro del ámbito académico a nivel de pregrado debido a su complejidad. Sin embargo su importancia es indiscutible tomando en cuenta un gran número de estructuras cuyo comportamiento se explica a través de estas tipologías estructurales. Algunos ejemplos de estas estructuras son ciertos tipos de cimentación, depósitos, pavimentos, paredes, techos y otros más complejos como silos, barcos, fuselajes de aviones, entre otros. Por lo anterior se pretende elaborar un documento el cual sirva de guía y facilite la compresión de aquella persona que se encuentre interesada en ampliar sus conocimientos en el tema y muy especialmente en la formulación del comportamiento de placas. Así mismo en la actualidad existe una diversidad de programas de computadora que ofrecen alternativas para el análisis y el diseño de dichas estructuras, por lo cual es importante que el usuario posea un conocimiento mínimo necesario para interpretar correctamente los resultados obtenidos a través de ellos.
1.2 OBJETIVOS 1.2.1 Objetivos Generales •
Ayudar a la comprensión comprensión del comportamiento estructural de las las cáscaras y placas.
•
Introducir la formulación de las placas, mediante su ecuación general, acciones internas y deformaciones.
1.2.2 Objetivos Específicos •
Caracterizar el comportamiento de los cascarones y placas y su clasificación de acuerdo a su geometría y espesor.
•
Servir como un texto introductorio a los principales métodos aproximados del análisis estructural de placas.
1
1.3 LIMITES Y ALCANCES •
El tema de cáscaras se abordará de forma introductoria y descriptiva.
•
El documento se enfocará en la formulación de los elementos placa, para él cual no se desarrollarán algoritmos de solución.
•
No se abordarán conceptos del diseño de placas.
1.4 ANTECEDENTES Los cascarones y placas han sido empleados desde mucho tiempo atrás, los cuales se pueden ver en diversas estructuras comunes y simples, sin embargo su estudio se empezó a desarrollar de una manera más amplia a partir del siglo XVIII. La primera aproximación matemática a la teoría de placas fue fue formulada por Euler en 1766, quien resolvió el problema de la vibración libre en el análisis de placas rectangulares y circulares. A partir de estos estudios, muchos matemáticos e investigadores se sumaron al análisis de cáscaras y placas, entre ellos Lagrange, que fue el primero en usar correctamente las ecuaciones diferenciales en el análisis de placas en 1813. El ingeniero y diseñador de puentes Navier, introdujo la moderna teoría de elasticidad, dentro de la cual resolvió muchos problemas que involucraban placas, derivando correctamente la ecuación diferencial de estas y convirtiéndolas en ecuaciones algebraicas, usando las series trigonométricas que fueron presentadas por Fourier en la misma década. Kirchhoff (1824-1887), es considerado el fundador de la teoría de placas que involucra la combinación del pandeo con el acortamiento de los elementos. Timoshenko contribuyo de gran manera con el análisis de placas circulares y la solución de problemas de elasticidad con su publicación “Theory of plates and Shells”. Con el auge de la industria de la aviación, las teorías de placas fueron retomadas para darle solución a problemas como vibración, espesor, torsión y otras fuerzas involucradas en aviones de guerra y comerciales. A pesar de estos esfuerzos, los problemas de placas involucran un sinfín de ecuaciones, por lo que alrededor de 1950, surgieron métodos numéricos, como el método de los elementos 2
finitos que anticipaba el uso de computadoras para su desarrollo. Zienkiewicz hizo numerosos aportes en este campo por lo que desarrolló en gran medida los elementos finitos en usos de mecánica de materiales. En tiempos modernos, con la invención y popularización de la computadora, han surgido muchos programas de computadora que permiten resolver las placas y cascarones simplemente modelando la estructura y el programa se encarga del análisis estructural e incluso del diseño correspondiente. Existe una amplia bibliografía acerca del análisis de cascarones y placas, pero estas publicaciones presentan un enfoque diferente del que se pretende elaborar en este trabajo de graduación. Así, muchos de estos documentos desarrollan un análisis complejo y formal que supone el conocimiento previo de conceptos que no son abordados en los cursos de estructuras a nivel de pregrado, lo que hace difícil para un estudiante de este nivel comprender el análisis de estas estructuras a partir de dicha bibliografía.
3
4
CAPITULO 2 GENERALIDADES DE LOS ELEMENTOS PLACA Y CÁSCARA Las cáscaras y las placas son elementos estructurales complejos, que se constituyen en opciones ingenieriles que se suelen adoptar en el diseño y construcción de obras civiles por diversas causas, como reducción de costos, incremento en la capacidad estructural, diseños arquitectónicos innovadores, por mencionar algunos. Es por ello que el objeto principal de este capítulo es realizar una descripción general de las características principales que poseen estos elementos y sus parámetros de clasificación. Así mismo, se pretende abordar de manera general el comportamiento estructural de dichos elementos ante la acción de cargas externas.
2.1 PLACAS 2.1.1 Descripción e importancia de los elementos placa Las placas son elementos estructurales planos en los que una dimensión del elemento, el espesor, es relativamente pequeña en comparación a las otras dos, su largo y ancho (ver figura 2.1), por lo que geométricamente se pueden aproximar a superficies bidimensionales que suelen trabajar predominantemente a flexión.
Largo, lb Espesor, t Ancho, la
t << Ancho; Ancho; t << Largo Figura 2.1
Dimensiones típicas de las placas
5
El comportamiento de placa aparece comúnmente en componentes de obras y estructuras de Ingeniería debido a ciertas conveniencias relacionadas con su geometría y funcionamiento, tal y como se menciona a continuación: •
Cumplen requisitos importantes de serviciabilidad en diversas estructuras, brindando así una solución a la necesidad de cubrir espacios, soportar cargas, crear superficies planas, entre otros. Algunos ejemplos son techos, losas de piso y paredes.
•
El comportamiento bidimensional de las placas, por ejemplo en sistemas de piso, se traduce en estructuras más livianas, lo que significa una reducción en los costos de construcción. Así mismo, por tener superficies planas, permite la instalación de tuberías, conductos eléctricos, de aire acondicionado entre otros, sin el uso de muchos accesorios (codos, curvas, etc.) lo que también se traduce en menores costos.
•
Permiten capturar mejor el comportamiento de algunos elementos estructurales para entender de forma más precisa cómo actúan bajo las solicitaciones a las que se ven sometidos.
2.1.2 Comportamiento Las secciones transversales de los elementos placa sometidos a una condición general de carga, experimentan en un caso general, fuerzas cortantes, fuerzas axiales, momentos flectores y torsores variables por unidad de longitud tal y como se esquematiza en la figura 2.2.
6
Z
+
Y
Momentos flectores Carga externa transversal “q”
F
+ X
Q
Cargas externas axiales
Plano medio Momentos torsores Fuerzas axiales Fuerzas cortantes Figura 2.2
Configuración de placa cargada transversalmente transversalmente
El comportamiento de una placa se puede describir básicamente de dos maneras: a. Mediante la división de la placa en una serie vigas ortogonales entre si, en las cuales cada una de ellas soporta la carga que les afecta independientemente de la otra. Esta hipótesis es conservadora, pues en los puntos comunes entre las vigas, actúan fuerzas en sentido contrario que igualan las cargas y las distribuyan en ambas direcciones, disminuyendo así los esfuerzos y las deformaciones en cada una de ellas. Así mismo, debido a que las vigas se encuentran cercanas entre sí, el giro de flexión provoca entre las vigas paralelas y ortogonales la presencia de un momento torsor que proporciona más resistencia a las cargas.
7
Punto común
Figura 2.3
Simulación Simulación de una placa empotrada en dos extremos dividida en vigas ortogonales
Bajo estas consideraciones se han desarrollado varios métodos aproximados para la solución de los elementos placa, que suelen ser muy sencillos, y con las consideraciones adecuadas, suficientemente precisos. b. Sobre la base del desarrollo de la teoría de la elasticidad plana, en la cual el comportamiento de la placa depende en gran medida del espesor de la misma en comparación con sus otras dos direcciones. En base a su espesor se pueden distinguir 3 tipos de placas: •
Placas delgadas con deformaciones pequeñas: cuando las deflexiones que sufren las placas son relativamente pequeñas en comparación con el espesor de la placa. Este tipo de elementos permiten realizar una serie de simplificaciones que facilitan el análisis de su comportamiento estructural (el problema se vuelve bidimensional) y es la teoría que más se aplica en la mayoría de los elementos placa, como se verá dentro del capítulo dos.
•
Placas delgadas con deformaciones grandes: cuando las deflexiones que sufren las placas son relativamente grandes en comparación del espesor, se generan esfuerzos en el plano medio (ver plano medio en figura 2.2) que no pueden ser despreciados y deben ser considerados en la derivación de la ecuación diferencial de la placa lo que conlleva a soluciones más complicadas.
8
•
Placas gruesas: son aquellas en las que el espesor no es tan delgado en comparación con sus otras dos dimensiones, por lo que su comportamiento es distinto sobre todo cuando existen cargas concentradas grandes. En este caso, las deformaciones producidas por cortantes que actúan en el espesor de la placa, no pueden ser despreciadas ya que se generan distorsiones entre el plano medio y un plano normal de la placa (ver figura 2.4). Para el análisis de este tipo de placas, se tienen que considerar las tres dimensiones del elemento (ancho, largo y espesor), por lo que ya que no son válidas las simplificaciones que se realizan para las placas delgadas y el problema se vuelve tridimensional y más complejo.
. Distorsiones por cortante (Planos no perpendiculares entre sí).
Planos perpendiculares entre sí.
a) Placa delgada
b) Placa gruesa
Figura 2.4 Deformación por cortante en placas delgadas y gruesas a) Placa delgada deformada sin considerar considerar efectos por cortante (el plano medio permanece siempre normal a un plano cualquiera antes y después de la deformación), b) En las placas gruesas el efecto por cortante debe ser considerado (nótese que después de la deformación, el plano medio ya no es normal a un plano arbitrario debido a las distorsiones generados por los esfuerzos de corte).
2.1.3 Condición de apoyo Las condiciones de apoyo de una placa son determinantes en el comportamiento que ésta tiene ante las cargas aplicadas y de ello dependen los condicionamientos introducidos al análisis estructural con el que se obtiene su solución. Las placas pueden tener condiciones de apoyo distintas en cada uno de los cuatro lados (e inclusive en el mismo lado). En la figura 2.5 aparecen algunas ilustraciones de distintos tipos de apoyo en una misma edificación, en este caso de dos niveles. Así por ejemplo, para la pared del segundo nivel y ante cargas que actúan normal a su plano mayor, se ha considerado lo siguiente: 9
a. Una condición de empotramiento para el lado inferior en su conexión con el sistema de piso. b. Apoyo articulado en los lados laterales con las paredes perpendiculares del segundo piso. c. Extremo superior libre debido a que se supone que la cubierta de techo no tiene rigidez suficiente para restringir los desplazamientos y los giros.
Paredes de segundo nivel.
Losa de entrepiso empotrada en su contorno. Paredes empotradas en su parte superior e inferior, articulada en los laterales. Figura 2.5
Apoyos comunes para placas en una misma estructura.
De la discusión anterior se dislucida la importancia de mantener la consistencia entre las condiciones de apoyo consideradas en el análisis (simplemente apoyada, empotrada, libre) y la practicada en el proceso constructivo a la luz de las necesidades y/o conveniencias arquitectónicas y estructurales. Debe tenerse presente, además, que las condiciones de apoyo normalmente adoptadas en un análisis, son solamente aproximaciones de lo que en la realidad existe físicamente.
2.1.4 Aplicaciones Algunos de los casos en los que comúnmente se aplica la Teoría de Placas es en el análisis de losas de concreto reforzado sometidas a cargas gravitacionales y en el análisis de paredes de concreto y mampostería sometidas a cargas de viento o sismo. A pesar que estos elementos no están constituidos por un solo material, muchas veces su análisis se realiza
10
como placas aunque no posean las propiedades y características en las que se basa la Teoría de Placas.
2.2 CÁSCARAS 2.2.1 Descripción e importancia Una cáscara o cascarón es una estructura con superficie curva, que por lo general es capaz de transmitir cargas en más de dos direcciones hacia los apoyos. Se constituye un componente de alta eficiencia estructural cuando tiene conformación, proporciones y apoyos de modo que transmita las cargas sin doblarse ni torcerse. Su espesor es pequeño en comparación con sus otras dimensiones, pero no suele ser tan delgado como para hacer que las deformaciones sean excesivas comparadas con su espesor. Una cáscara se define por la geometría de la superficie media que este posea, la cual se encuentra a la mitad de la distancia entre la superficie externa (extradós) y la superficie interna (intradós). Su espesor es la distancia normal a la superficie media entre el extradós y el intradós (ver Figura 2.6).
EXTRADOS E s s p e e s so r o r , t
SUPERFICIE MEDIA , t o r s p e E s
INTRADOS
Figura 2.6
Elemento Cáscara.
2.2.2 Clasificación de superficies de cáscaras Los cascarones se pueden clasificar a partir de la geometría de su superficie media atendiendo a los criterios que se exponen a continuación:
11
a) Curvatura Gaussiana de la superficie En cualquier punto A sobre una superficie cualquiera, se puede trazar un plano tangente a la cáscara. Un vector normal a dicho plano tangente es considerado un vector normal a la superficie en ese punto, tal y como se muestra en la figura 2.7.
Plano que Contiene el vector normal
A
A’ Cualquier Plano que se intersecta
Figura 2.7
Plano General de Curva
Vector normal
Intersección de planos con la superficie. superficie. Adaptado de Hoogenboom [p.3].
Obviamente, un número infinito de planos pueden intersectar la superficie y atravesar el punto A. Un plano que intersectar el punto A y contiene al vector normal es un plano normal a la superficie media en ese punto. La curva plana formada por la intersección de este plano normal con la superficie es denominada Sección Normal de la superficie en ese punto. Cada una de estas curvas planas posee su curvatura local y su correspondiente radio de curvatura. Dos, del infinito número de secciones normales, poseen un valor mínimo y un valor máximo de curvatura. Estas líneas curvas, que resultan ser ortogonales entre sí, son llamadas Secciones Principales y sus curvaturas, denotadas por K1 y K2, se denominan
Curvaturas Principales de la superficie en el punto A. El producto de las curvaturas principales Kg= K1.K2 es llamado curvatura Gaussiana de la superficie en el punto A. Si una de las curvaturas principales es igual a cero la superficie tiene una curvatura Gaussiana igual a cero. La superficie posee una curvatura Gaussiana positiva si Kg> 0 y una curvatura Gaussiana negativa si Kg< 0. (Ver Figura 2.8)
12
a. Curvatura Gaussiana positiva Figura 2.8
b. Curvatura Gaussiana cero
c. Curvatura Gaussiana negativa
Tipos de Curvatura Gaussiana. Adaptado de Hoogenboom [p.4].
b) Superficies Generadas Estas se pueden dividir en Superficies de revolución y Superficies traslación. •
Superficies de Revolución: son generadas por la rotación de una línea curva alrededor de un eje fijo. Tal curva es llamada meridiano y el plano que la contiene Plano
Meridiano. Las intersecciones de la superficie con planos perpendiculares al eje de rotación son círculos paralelos, los cuales son denominados paralelos (ver figura 2.9). Línea Central (eje (eje de la cáscara)
ሬ
dA
Meridiano
r
r
θ
ξ
y
Paralelo
N
z
ϕ
x
Rθ
ϕ
Rϕ Rθ Rϕ
Figura 2.9
Cáscara de Revolución. Adaptado de Baker [1972: p.4].
Donde: 13
Angulo conformado entre el eje de la cáscara y la normal de la
ϕ
cáscara en el punto bajo consideración sobre la superficie media de la cáscara. Angulo comprendido entre r y cualquier línea de referencia ξ,
θ
perpendicular al eje de la cáscara. Los radios de curvatura de una cáscara de revolución son: Rϕ
Radio de curvatura del meridiano.
Rθ
Longitud de la normal entre cualquier punto de la superficie media y el eje de rotación. Radio de curvatura del paralelo.
r
Es importante mencionar que Rϕ y Rθ son los radios principales de curvatura de la superficie. •
Superficies de Traslación: son generadas por medio del deslizamiento de una línea(recta o curva) a lo largo de otra línea(recta o curva), manteniendo constante la orientación del plano que contiene a la curva que se desliza. Ejemplos de superficies de traslación se pueden observar en la figura 2.10.
Z Z
Z
X
Y X
Y
X Y
a
b
a.
Paraboloide elíptico
b
b.
a
Paraboloide cilíndrico
b
c.
Paraboloide hiperbólico
Figura 2.10 Ejemplos de Superficies de Traslación. Adaptado de Hoogenboom [p.6].
14
a
2.2.3 Comportamiento de los elementos cáscara El comportamiento de un elemento cáscara está ligado directamente a la geometría que este posee, aunque el tipo de acciones internas que actúan en el elemento (como resultado de la acción de una carga externa), son independientes a la geometría de este. El tipo de cascarón más utilizado en el área de ingeniería es el cascarón generado a través de una superficie de revolución, por lo que este será el centro de análisis de los siguientes apartados.
2.2.4 Cargas Externas Las cargas externas consisten en un conjunto de fuerzas que actúan en la superficie externa e interna del elemento cáscara. Todas las cargas bajo consideración en cualquier punto de la cáscara de revolución pueden convenientemente ser representadas en tres componentes ortogonales entre si, en las direcciones X, Y y Z. La dirección X es paralela a la tangente del meridiano; la dirección Y es paralela a la tangente del circulo paralelo y la dirección Z es normal a la superficie de la cáscara. Como ilustración, si P representa el peso de una cáscara de revolución por unidad de superficie, la fuerza que actúa sobre el elemento diferencial de superficie considerado en la figura 2.11 puede descomponerse así: Eje Z dA
Línea central PzdA
PxdA
ϕ
PdA ϕ
Eje X
Figura 2.11 Componentes de la carga muerta P. Adaptado de Baker [1972: p.4]
Donde: Px = P sin ϕ dA
P
Py = 0
z=
15
P cos cos ϕ dA
Ec. 2
(
.1)
2.2.5 Esfuerzos internos Las fuerzas externas que actúan sobre un cascarón deben de encontrarse en equilibrio con las fuerzas internas o esfuerzos internos que en él se generan. Estas fuerzas internas están definidas por los ángulos ϕ y θ (la dirección ϕ se asocia a X y la dirección θ a Y), y son de tres tipos, cada uno de los cuales se describe a continuación: •
Fuerzas de Membrana, que actúan en el plano de la superficie de la cáscara. (ver figura 2.12).
Meridiano (ϕ)
Nθϕ
Paralelo (θ)
Nϕθ
Nθ Nϕ Figura 2.12 Fuerzas en una membrana. Adaptado de Baker [1972: p.4]
Donde: Nθ, Nϕ
Fuerzas normales en el plano por unidad de longitud.
Nθϕ, Nϕθ
Fuerzas cortantes en el plano por unidad de longitud.
Estas fuerzas pueden variar a lo largo del meridiano y del paralelo.
16
•
Fuerzas Transversales Qθ y Qϕ como se muestra en la figura 2.13.
Meridiano (ϕ)
Paralelo (θ)
Qθ
Qϕ
Figura 2.13 Fuerzas cortantes transversales. Adaptado de Baker [1972: p.5]
•
Momentos flectores Mϕ y Mθ por unidad de longitud y momentos torsores Mϕθ y M θϕ por unidad de longitud.( véase la figura 2.14) Representación de momento
Meridiano (ϕ) Mθ Mϕ
Paralelo (θ)
Mθϕ Mϕθ Figura 2.14 Momentos flectores y torsores. Adaptado de Baker [1972: p.5]
17
2.2.6 Condición de equilibrio Las ecuaciones obtenidas en virtud de las condiciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones se analizaran considerando un diferencial del elemento cáscara. Considerando un diferencial del elemento cáscara sometido a fuerzas externas, este experimenta diez componentes de esfuerzos internos (Nθ, Nϕ, Nθϕ, Nϕθ, Qθ, Qϕ, Mϕ, Mθ,
Mϕθ, Mθϕ), los cuales deberán estar en equilibrio con las fuerzas externas. Para determinar estas diez componentes, existen solamente seis ecuaciones de equilibrio (véase ecuaciones 2.2 y 2.3) , , por lo que este problema es considerado estáticamente indeterminado.
Fx =0 Mx =0
Fy =0
My =0
Fz =0 Mz =0
(Ec. 2.2)
2
(Ec. .3)
2.2.7 Teoría de las membranas para cascarones Por lo general un cascarón es una estructura estáticamente indeterminada, ya que existen solamente seis ecuaciones de equilibrio (como se mencionó en el apartado anterior) para las cuales se tienen diez incógnitas. Para elaborar un cálculo de valores estáticamente indeterminados en el análisis de cascarones, se recomienda realizarlos con la ayuda de métodos aproximados que permitan brindar resultados razonables. Si en el estudio de equilibrio de una cáscara, todas las expresiones de momentos se hacen igual a cero, resulta la comúnmente llamada Teoría de
la Membrana para Cascarones. Un cascarón es considerado que actúa en estado de membrana si los esfuerzos a flexión son despreciables, (pequeños comparados con los esfuerzos axiales directos). Dos casos en los que los cascarones cumplen con esta definición de estado de membrana son: a) Cascarones con rigidez a flexión lo suficientemente pequeña para ser incapaz de resistir la flexión. b) Cascarones que poseen suficiente rigidez a flexión pero con condiciones de cargas y apoyos de forma que no permitan el desarrollo de esfuerzos a flexión. 18
Para cascarones con suficiente rigidez a flexión, al considerar el estado de membrana, se deben cumplir diversas condiciones adicionales relacionadas con la forma de la cáscara, la naturaleza de la la carga aplicada (ver figura 2.15) y el tipo de apoyos (ver figura 2.16). Carga concentrada
Desequilibrio debido a la carga concentrada Figura 2.15 Carga concentrada, este tipo de carga no n o es compatible con la Teoría de la Membrana. Adaptado de Baker [1972: p.28].
Figura 2.16 Condiciones de borde compatibles con la Teoría de la Membrana. Adaptado de Baker [1972: p.28].
2.2.8 Teoría de la flexión para placas Cuando no se satisfacen las condiciones de equilibrio o existen deformaciones incompatibles, surgen esfuerzos a flexión y torsión en el cascarón. En ocasiones se puede modificar el diseño del cascarón y sus apoyos para reducir o eliminar estos esfuerzos. Sin embargo, cuando no se pueden eliminar, se debe procurar que el cascarón los resista y por tanto considerar la flexión y la torsión en el análisis del cascarón. Incluso para los tipos más sencillos de cascarones y de condiciones de carga, es difícil calcular los esfuerzos cuando deben considerarse la flexión y torsión. En la teoría de la flexión un cascarón delgado es estáticamente indeterminado, las condiciones de 19
deformación deben suplementar a las condiciones de equilibrio al establecer ecuaciones diferenciales para determinar las fuerzas y momentos desconocidos. La solución de las ecuaciones resultantes, cuando existe solución, puede ser muy compleja. En la práctica, el diseño de los cascarones está basado en gran parte en la experiencia y criterio del diseñador. El diseñador debe tener en consideración el tipo de cascarón, el material con el cual está hecho y las condiciones de los apoyos. Posteriormente, debe decidir si aplicar una teoría completa de flexión, utilizar una teoría aproximada de flexión o hacer un cálculo más o menos aproximado de los efectos de la flexión y la torsión.
2.2.9 Condiciones de apoyo Las condiciones de borde en los cascarones pueden permitir la rotación y las deflexiones horizontales y verticales del elemento, dependiendo de su condición de apoyo. Dos casos especiales de restricción son los de borde libre y borde empotrado. Para el caso de borde libre, este no está restringido en ninguna dirección, es decir puede rotar y deflectarse a causa de la aplicación de una carga. Para el caso de borde empotrado estos se encuentran totalmente restringidos a cualquier tipo de rotación y deflexión. Al igual que en el caso de las placas, estos casos son sólo aproximaciones de lo que en la realidad existe físicamente, pero es muy usual la adopción de bordes libres o empotrados con el objeto de simplificar el análisis. En muchos casos, cuando existe alguna restricción considerable a la rotación y deflexión de un borde, se adopta la condición de empotramiento. Así por ejemplo, una cúpula fijada a un anillo en sus bordes tiene las rotaciones y deflexiones restringidas a lo largo de todo su contorno. Esta restricción es impuesta por el anillo, el cual obviamente es deformable bajo las cargas, sin embargo, dado que sin estas restricciones los bordes estarían libres y las deformaciones serían mayores, sobre esta base se suponen empotradas.
2.2.10 Aplicaciones Existe una gran variedad de estructuras de cáscara en la práctica de la ingeniería. A continuación se presentan algunas de las ramas en donde estos elementos son más utilizados.
20
Obras civiles El desarrollo de domos y bóvedas de mampostería en la Edad Media, hizo posible la construcción de edificios más espaciosos. En tiempos recientes, el desarrollo del concreto reforzado ha estimulado el interés en el uso de cáscaras delgadas en techos, debido a que cubren grandes espacios de manera eficiente, pues la capacidad portante de la cáscara se genera dándole la forma curva adecuada sin necesidad de aumentar el espesor, por lo que se pueden obtener estructuras livianas y económicas
Industria El desarrollo de la industria de vapor, dio paso a la construcción de chimeneas a partir de cascarones delgados formados en base a placas convenientemente unidas. En la actualidad, existen diseños más eficientes que han permitido que su uso se extienda a importantes obras como plantas nucleares, de energía y térmicas, tuberías de alta presión y en todas las ramas de la industria química y petrolera. Particularmente, en la industria automotriz, el desarrollo de las cáscaras delgadas ha permitido la elaboración de carrocerías con gran cantidad de piezas en forma de cascarones delgados. Estas piezas permiten tener superficies lisas, livianas, agradables a la vista y con una alta capacidad de trasmitir y disipar las cargas por impactos. Este mismo concepto ha sido empleado en la construcción de trenes, naves espaciales y aviones.
21
22
CAPITULO 3 FORMULACIÓN DE PLACA 3.1 FUNDAMENTOS DE ELASTICIDAD Para describir el comportamiento de los sólidos deformables, es necesario desarrollar ecuaciones que relacionen los esfuerzos y las deformaciones en el entorno de un punto del material. Para el caso de pequeñas deformaciones, se comprueba que en la mayoría de los materiales el proceso de deformación es reversible, siendo esta una característica del comportamiento elástico. De igual forma, se ha verificado a lo largo de la historia que para casi todos los materiales elásticos la proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones se rige bajo un comportamiento co mportamiento elástico lineal. La Teoría de Elasticidad es la rama de la Mecánica de Sólidos que tiene como objeto el estudio de los sólidos deformables cuyo comportamiento es elástico. Esta teoría considera como sólido elástico todo aquel cuerpo que ante una fuerza exterior se deforma y recupera su estado original al dejar de actuar tal acción. A estos sólidos se les supone una serie de cualidades como isotropía, homogeneidad y continuidad, que se explican a continuación. •
Isotropía: se considera un cuerpo isotrópico cuando sus propiedades físicas no dependen de la dirección en que se han medido, es decir el cuerpo posee las mismas propiedades físicas en todas las direcciones.
•
Homogeneidad: esta propiedad equivale a considerar que todas las partes del cuerpo poseen la misma composición y características.
•
Continuidad: se considera que entre las partículas que conforman el cuerpo no existen huecos.
Para el desarrollo de la teoría de placas, es necesario tener claro algunos conceptos relacionados con la teoría de la elasticidad debido a que su desarrollo se basa en ella. Es por ello que dentro de este apartado se abordarán algunos conceptos fundamentales de esta rama de la mecánica de sólidos, con el objeto de facilitar la comprensión del comportamiento de los elementos placa.
23
3.1.1 Vectores esfuerzo en un punto En un cuerpo sólido sometido a un sistema de fuerzas externas en equilibrio que es atravesado por un plano arbitrario que lo divide divide en dos partes (ver figura 3.1), se forma una superficie S en donde existirán fuerzas de interacción a través de dicha superficie, las cuales son iguales en magnitud y dirección pero en sentidos opuestos para que exista equilibrio. Z
Z Punto “P”
Y X
O Y
Ejes de referencia
Sólido elástico
X
Superficie “S”
Figura 3.1
Solido elástico atravesado por un plano cualquiera.
Si se analiza un elemento diferencial de volumen de forma hexaédrica en un punto P que pertenece a la superficie S con vértice en O y con caras paralelas a un sistema de referencia cartesiano ortogonal Oxyz, como lo muestra la figura 3.2, se tiene que sobre cada cara del elemento actúa un vector
Ԧ
que se puede descomponer según los ejes de referencia
establecidos. La componente normal a la la cara se denomina esfuerzo normal σij y es paralela al eje de referencia, mientras que la componente tangencial o cortante τ ijij es paralela a la cara y perpendicular al eje de referencia.
24
Z
σzz Y
τzy
O
X
τzx
τyz
dz
Z
τxz
σyy τyx
O Y
τxy
X
σxx
dx dy
Figura 3.2
Esfuerzos normales y tangenciales actuando en las distintas direcciones de un sólido elástico.
A partir de la figura 3.2 se definen: •
σij
Esfuerzo normal, en donde el subíndice “i” representa el plano sobre el que actúa el esfuerzo (más bien el eje que es perpendicular a dicho plano), y el subíndice “j”, la dirección del esfuerzo.
•
τij
Esfuerzo tangencial o cortante, en donde el subíndice “i” representa el plano sobre el que actúa el esfuerzo y el subíndice “j”, la dirección del esfuerzo.
De las definiciones anteriores se obtienen las componentes de los vectores esfuerzo correspondientes a cada uno de los planos y que serán representados como sigue:
•
• •
ሬሬ ௫ ௬ ሬ௭
= [σxx, τxy, τxz] = [τyx, σyy, τyz ]
(Ec. 3.1)
= [τzx, τzy, σzz ]
Para que el cuerpo esté en equilibrio, los esfuerzos que actúan en las caras opuestas de la figura 3.2 tienen las mismas magnitudes pero poseen sentidos opuestos. Estos esfuerzos multiplicados por diferenciales de área se traducen a fuerzas que producen momentos en el
25
cuerpo. Haciendo equilibrio de momentos (∑M =0), por ejemplo alrededor el eje X se tiene: (τyz dxdz) x dy - (τzy dxdy) x dz = 0
(Ec. 3.2)
Y para que esto se cumpla τyz = τzy. A partir de esto se deduce el principio de reciprocidad que establece: “En dos planos perpendiculares entre sí, las componentes de los esfuerzos tangenciales normales a la arista común en un punto son iguales en magnitud, y ambas concurren o se separan simultáneamente a la arista” [Cervera y Blanco, 2001, p.7] (ver figura 3.3).
τ
τ τ
Figura 3.3
τ
Principio de reciprocidad tangencial. Adaptado de Cervera y Blanco [2001: p.7].
De forma análoga para los demás ejes se tiene: •
•
∑Mz =0
τxy= τyx
(Ec. 3.3)
∑My =0
τxz = τzx
(Ec. 3.4)
Este principio permite reducir a la mitad el número de esfuerzos tangenciales independientes, quedando para un punto P tres valores de esfuerzos normales y tres valores de esfuerzos tangenciales por determinar (σxx , σyy , σzz , τxy , τyz , τxz).
ሬ
Conforme a la Teoría de la Elasticidad, el vector esfuerzo T que actúa en un plano α cualquiera que atraviesa el punto P, puede definirse en función de estos esfuerzos normales
ሬ
y cortantes y en función de las componentes del vector unitario N perpendicular a dicho plano, de la siguiente forma:
ሬ = ሾ ሿ∗ ሬ
(Ec. 3.5) 26
T x T y = T z
σ xx
τ xy
τ zx
τ xy
σ yy
τ yz
τ zx
τ yz
σ zz
൩ N x N y N z
(Ec. 3.6)
en donde: •
•
•
ሬ
Vector de esfuerzos correspondiente al plano α que atraviesa el punto P con
[ σ]
Matriz de esfuerzos correspondiente al punto P, con respecto al sistema
T
ሬ
N
respecto al sistema Oxyz.
Oxyz. Vector unitario normal al plano α que contiene el punto P, con respecto al sistema Oxyz.
3.1.2 Deformaciones en el entorno de un punto Las deformaciones en un medio continuo se manifiestan tanto como el cambio de distancia entre dos puntos colindantes y como la distorsión angular (o cambio de ángulo) entre dos líneas que se intersectan. Antes que el cuerpo estuviera sometido a las acciones (fuerzas, cambios de temperatura) que produjeron las deformaciones, la posición de un punto P se define por las coordenadas (x, y, z). Después de haber ocurrido la deformación tal punto se desplaza hasta otro punto
P’ de coordenadas (x + u, y + v, z + w), donde los cambios u, v, y w son las componentes del vector desplazamiento en las direcciones de los ejes X, Y, Z, respectivamente.
ሬ
Si el vector desplazamiento en el punto P (x, y, z) está dado por δ (véase la figura 3.4), para un punto cercano Q, de coordenadas (x + dx, y + dy, z + dz), su desplazamiento puede
ሬሬ ሬ =ቈ y ሬ = ൩
expresarse como δ + dδ , en donde:
27
(Ec. 3.7)
ሬሬ
Q
+
ሬ
Q'
dr P
Figura 3.4
ሬ
dr'
Ԧ
P'
Posición de dos puntos de un sólido antes y después de la deformación. Adaptado de Hasbun [2005, p:23]
Considerando que u, v y w son funciones que dependen de la posición del punto P, de acuerdo a la regla de la cadena se tiene:
= + + = + + = + + ത ത
(Ec. 3.8) (Ec. 3.9) (Ec. 3.10)
Ahora considérese la línea AB paralela al eje Y , en su posición inicial antes que se produjera la deformación (ver figura 3.5). Luego de haber ocurrido la deformación, la línea
ത
AB toma la posici pos ición ón A’B’ . Z
B’ A’ A (x, y, z )
( x x + u + du, y + dy + v + dv, z +w + dw)
(x + u, y + v, z + w)
B (x, y + dy, z)
Y
O X
Figura 3.5
Desplazamiento de la línea
28
ABത
. Adaptado de Ottosen [1992: p.244]. p .244].
ത
La longitud de la línea |AB | es dy, y la longitud de la línea | de los puntos A’B’ en la figura 3.5) está dada por:
ห ห = ሾሺ ሻଶ + ሺ + ሻଶ + ሺ ሻଶሿଵଶ ′
ത
′
തA’B’
| (véanse las coordenadas
(Ec. 3.11)
Como AB es paralela al eje Y, se tiene: dx=0 y dz=0, por lo que las ecuaciones 3.8-3.10 se simplifican a:
= ; = ; =
(Ec. 3.12)
Usando estas expresiones en 3.11 se puede escribir:
ห ห = ൬ ′
′
ଶ൰ + ൬1 + ൰ଶ + ൬ ൰ଶ൩ଵଶ
(Ec. 3.13)
En la mayor parte de las aplicaciones a la ingeniería, las tasas de cambio de las deformaciones son mucho menores que la unidad, esto es:
≪1; ≪1; ≪1 por lo que la expresión 3.13 puede quedar como sigue:
ห ห = ൬1 + ൰ ′
(Ec. 3.14)
′
Conforme a lo anterior, la deformación por unidad de longitud o deformación unitaria en la dirección Y representada como εyy, es:
ห |หABA−B||ABAB| = = ௬௬
(Ec. 3.15)
௫௫ =
(Ec. 3.16)
′
′
En forma análoga pueden definirse las deformaciones unitarias en las direcciones X y Z como sigue:
; ௭௭ = 29
Como se mencionó antes, las deformaciones también se presentan como el cambio de ángulo entre dos líneas que se intersectan. Considérense ahora dos líneas തAC y തAB perpendiculares entre sí, con തAC paralela al eje Z y തAB paralela al eje Y. Luego de haberse producido la deformación, los puntos C’,
A, B
C
y
se trasladan a
A’, B’
y
respectivamente (ver figura 3.6).
Z
dv θ 2
C’
C θ 1
dz
A’
A (y, z) Figura 3.6
B’
dw
(y + v, z + w)
B
dy
Y
Distorsión angular de ABC debido a la deformación. Adaptado de Ottosen [1992: p.245].
Debido a que el interés se centra en los cambios de giro, se ignoran los cambios de posición de തAB y തAC , por lo que se supone que sus longitudes permanecen constantes. De lo anterior se tiene:
sin
ଵ
=
|
′
′
|
=
; sin
ଶ
=
|
′
′
|
=
(Ec. 3.17)
Dado que a lo largo de തAB, dx = 0 y dz = 0, resulta: =
(Ec. 3.18)
De igual forma, a lo largo de തAC, dx = 0 y dy = 0, por lo que:
=
(Ec. 3.19)
30
Sobre la base de estas expresiones para dw y dv y aproximando Sin θ ≈ θ en 3.17 se obtiene:
ଵ=
; ଶ=
(Ec. 3.20)
a partir de lo cual se puede concluir que el ángulo comprendido en CAB ha disminuido debido a la deformación la cantidad cantidad de:
ଵ+ ଶ =
+
(Ec. 3.21)
Esta variación angular es también denominada deformación por cortante ó distorsión γyz, para la cual los los subíndices indican que tal variación está referida a líneas líneas que son paralelas a los ejes Y y Z. De igual forma se pueden obtener estas variaciones angulares para las otras dos direcciones, por lo que se obtiene:
௫௬ =
+ ; ௫௭ = + ; ௬௭ = +
(Ec. 3.22)
Siempre conforme a la Teoría de la Elasticidad, se puede obtener para un determinado punto P la matriz de deformaciones [D], la cual está definida por las deformaciones longitudinales unitarias y por las variaciones angulares o distorsiones anteriormente definidas, de la siguiente forma:
1 1 ௫௫ ௫௬ ௫௭ 2 2 = 121 ௫௬ 1 ௬௬ 12 ௬௭ 2 ௫௭ 2 ௬௭ ௭௭
(Ec. 3.23)
Conocida esta matriz, es posible definir un vector deformación unitaria
ሬ
εሬ
asociado a una
dirección definida por un vector unitario N, perpendicular a un plano α, de la siguiente manera (véase figura 3.7):
31
εn
ሬNԦ
Plano perpendicular al vector
Figura 3.7
o bien:
P
ሬN
Ԧ
Q
1ൗ2 γn
Componentes del vector de deformación unitaria. Adaptado de Hasbun [2005: p.32].
ሬ = ሾ ሿ∗ ሬ 1 1 ௫௫ ௫௬ ௫௭ 2 2 ௫ ௬൩ = 1 ௫௬ ௬௬ 1 ௬௭ ௫௬ ௭ 21 1 2 ௭ 2 ௫௭ 2 ௬௭ ௭௭
La proyección del vector
εሬ
3
(Ec. .24)
sobre las direcciones normal y tangente al plano α, definen la
deformación unitaria longitudinal y la distorsión que sufre el entorno del punto P en la
ሬ
dirección asociada al vector N.
3.1.3 Relaciones Constitutivas En los apartados anteriores se establecieron los conceptos de esfuerzo y deformaciones, sin referencia alguna al tipo de material, imponiendo solamente la condición de pequeñas deformaciones. Existe obviamente una relación entre los esfuerzos y las deformaciones, pero esta relación depende exclusivamente del tipo de material con el que se está tratando. Esta relación es llamada Relación Constitutiva. 32
El Módulo de Elasticidad es la relación entre el esfuerzo aplicado en una determinada dirección y la deformación unitaria generada en esa misma dirección, dentro del rango elástico lineal del material. Esta propiedad se puede obtener de forma experimental mediante la curva esfuerzo-deformación (ver figura 3.8). σ
Carga Descarga ε
Figura 3.8
Modulo de elasticidad
Más específicamente, el Módulo de Elasticidad es la pendiente de la curva en la zona elástica lineal, y se constituye en la constante de proporcionalidad de la conocida Ley de Hooke, la cual establece lo siguiente:
=
Donde:
(Ec. 3.25)
•
E
Módulo de elasticidad
•
σm
Esfuerzo uniaxial aplicado en la dirección “m”.
•
εm
Deformación unitaria producida por σm
Sin embargo, es un hecho comprobado científicamente que un material sometido a esfuerzos uniaxiales no solamente sufre deformaciones en la dirección en la que es aplicado el esfuerzo, sino también en las direcciones perpendiculares a ella. Así, si “m” es la dirección en la que es aplicado el esfuerzo y “n” una dirección perpendicular a ella, dentro del régimen elástico de un material se puede establecer:
= −
(Ec. 3.26)
33
Siendo: •
µ
Módulo de Poisson
•
εm
Deformación unitaria en la dirección “m”
•
εn
Deformación unitaria en la dirección “n”
Conforme a lo anterior la deformación generada en una dirección se ve afectada por los esfuerzos aplicados en las demás direcciones. Así por ejemplo las deformaciones generadas en la dirección X, εxx son las siguientes:
௫௫ ௬௬ ௭௭
௫௫ = ఙೣೣ ௫௫ = − ௬௬ ௫௫ = − ௭௭
(Ec. 3.27) (Ec. 3.28) (Ec. 3.29)
De lo anterior puede entonces establecerse para un caso general:
௫௫ = 1 ൣ ௫௫ − ሺ ௬௬ + ௭௭ሻ൧ =௬௬ 1 ൣ ௬௬ − ሺ ௫௫ + ௭௭ሻ൧ ௭௭ = 1 ൣ ௭௭ − ሺ ௫௫ + ௬௬ሻ൧
(Ec. 3.30) (Ec. 3.31) (Ec. 3.32)
Por otro lado las distorsiones angulares se pueden expresar en función de los esfuerzos cortantes de forma análoga a la Ley de Hooke de la siguiente manera:
௫௬ = ௫௬ ௫௭ = ௫௭ ௬௭ = ௬௭
(Ec. 3.33) (Ec. 3.34) (Ec. 3.35)
siendo G el denominado Módulo de Rigidez del material. 34
Para el caso de sólidos elásticos lineales isotrópicos la Teoría de la Elasticidad establece la siguiente relación entre el Módulo de Rigidez G, el Módulo de Elasticidad E y el Módulo de Poisson µ:
= 2 ሺ1 + ሻ
(Ec. 3.36)
Las expresiones 3.30 - 3.35 constituyen las denominadas Leyes de Hooke Generalizadas, las cuales convenientemente se pueden expresar en forma matricial de la siguiente manera:
௫௫௬௬ −1 ௭௭௫௬ = 1 −0 ௫௭௬௭ 00
−1 −0 00
−− 10 00
00 00 00 02ሺ2ሺ1 + ሻ 00 00 00 2ሺ10+ ሻ 2ሺ10+ ሻ
௫௫௬௬ ௭௭௫௬ ௫௭௬௭
(Ec. 3.37)
De igual forma los esfuerzos se pueden expresar en función de las deformaciones, mediante las denominadas Ecuaciones de Lamé, las cuales se escriben como sigue:
௫௫ = ௬௬ = ௭௭ =
+ 2 ௫௫ + 2 ௬௬ + 2 ௭௭
௫௬ = ௫௬ ௫௭ = ௫௭ ௬௭ = ௬௭
(Ec. 3.38)
siendo λ y G los denominados Coeficientes de Lamé, dados por:
= ሺ1 + ሻሺ1 − 2 ሻ = 2 ሺ1 + ሻ = ௫௫ + ௬௬ + ௭௭
(Ec. 3.39) (Ec. 3.40)
y e es la denominada dilatación cubica unitaria, dada por: (Ec. 3.41)
Las ecuaciones de Lamé también pueden reordenarse convenientemente en forma matricial de la siguiente forma: 35
௫௫௬௬ ௭௭௫௬ = ௫௭௬௭
+2 00 0
+2 00 0
+02 00
00 00 00 0 00 00 00 0 0
௫௫௬௬ ௭௭௫௬ ௫௭௬௭
(Ec. 3.42)
3.1.4 Estados de Elasticidad Plana Existen muchos casos en la práctica en los que el sistema de fuerzas externas y la sujeción a que está sometido un sólido elástico hacen que tanto la matriz de esfuerzos como la matriz de deformaciones no varíen en los puntos del elemento pertenecientes a una recta perpendicular a una orientación fija, por lo que los estados de esfuerzos y de deformaciones en los planos paralelos son idénticos. Tales estados, que permiten hacer el análisis en un espacio bidimensional, son denominados Estados de Elasticidad Plana. Los dos casos de Elasticidad Plana se presentan a continuación. •
Estado de Deformación Plana Considerando que el plano de análisis coincide con el plano que definen los ejes X y Y, el estado de deformación plana ocurre cuando las componentes u y v del desplazamiento son independientes de la coordenada Z, es decir u(x, y) y v(x, y), y el desplazamiento en Z se encuentra restringido, esto es w = 0. Debido a que las derivadas con respecto a w son nulas, y tanto u como v no dependen de Z, de las expresiones 3.16 y 3.22 se tiene:
௭௭ = 0;0; ௭௫ = 0 ; ௭௬ = 0
(Ec. 3.43)
௭௭ = ሺ ௫௫ + ௬௬ሻ
(Ec. 3.44)
Por lo que de la condición εzz = 0, se obtiene de la ecuación 3.32:
y de la condición γzx = 0 y γzy = 0 y de las expresiones 3.34 y 3.35:
௫௭ = 0
(Ec. 3.45)
36
௬௭ = 0
(Ec. 3.46)
por lo que, de las condiciones anteriores las expresiones 3.38 se reescriben:
௫௫ = ൫ ௫௫ + ௬௬൯ + 2 ௫௫ ௬௬ = ൫ ௫௫ + ௬௬൯ + 2 ௬௬ ௫௬ = ௫௬
(Ec. 3.47) (Ec. 3.48) (Ec. 3.49)
Con las expresiones 3.39 y 3.40, las ecuaciones anteriores se pueden reordenar de forma matricial de la siguiente manera:
1 − ௫௫ ௫௬௬௬൩ = ሺ1 + ሻሺ1 − 2 ሻ ൦ 0
0 1 −0 ሺ1 −0 ሻ൪ ௬௬௫௬௫௫൩ 2
(Ec. 3.50)
Nótese que en el caso de Deformación Plana, σzz existe y está dado por la ecuación 3.44. •
Estado de Esfuerzo Plano Este estado se caracteriza por ser nulos los esfuerzos σzz, τxz y τyz. De las ecuaciones 3.30 a 3.35 resulta:
௫௬ = ௫௬ ௫௭ = 0 ௬௭ = 0 ௫௫ = 1 ሺ ௫௫ − ௬௬ሻ ∴ ௫௫ = ௫௫ + ௬௬ =௬௬ 1 ൫ ௬௬ − ௫௫൯ ∴ ௬௬ = ௬௬ + ௫௫ ௭௭ = − ሺ ௫௫ + ௬௬ሻ 37
(Ec. 3.51) (Ec. 3.52) (Ec. 3.53) (Ec. 3.54) (Ec. 3.55) (Ec. 3.56)
De las expresiones 2.54 y 2.55 se obtiene para σxx y σyy:
௫௫ = 1 − ଶ ሺ ௫௫ + ௬௬ሻ ௬௬ = 1 − ଶ ሺ ௬௬ + ௫௫ሻ
(Ec. 3.57) (Ec. 3.58)
Por otra parte, de las expresiones 3.36 y 3.51 se tiene:
=௫௬ 2ሺ1 + ሻ ௫௬ = ሺ1 − ଶሻ ቆሺ1 −2 ሻ ௫௬ቇ
(Ec. 3.59)
Conforme a lo lo anterior, las ecuaciones 3.57, 3.58 y 3.59 se pueden ordenar de forma matricial de la siguiente manera:
1 ௫௫ ௬௬௫௬൩ = ሺ1 − ଶሻ ൦0
0 10 ሺ1 −0 ሻ൪ ௬௬௫௬௫௫൩ 2
(Ec. 3.60)
Nótese que en el caso de esfuerzo plano, εzz existe y está dado por la ecuación 3.56.
3.2 TEORIA DE PLACAS 3.2.1 Hipótesis Básicas A partir de las ecuaciones básicas de elasticidad antes descritas, se puede expresar el comportamiento de los elementos placa, basándose en las siguientes hipótesis: •
Se considera válida la teoría de las pequeñas deformaciones. En los casos de placas, la hipótesis de las deformaciones pequeñas normalmente se satisface para deflexiones del orden de un décimo del espesor de la placa.
•
Todos los puntos situados sobre una recta normal al plano medio de la placa sin deformar, permanecen después de la deformación sobre una recta normal al plano medio en la configuración deformada (figura 3.9), por lo que se desprecian los efectos de la deformación por cortante. 38
Plano medio
Recta normal
Recta normal
a) Elemento placa antes de la deformación
Figura 3.9
Plano medio
b) Elemento placa después de la deformación
Elemento placa antes y después de la deformación.
•
Los esfuerzos normales en la la dirección transversal a llaa placa son despreciables.
•
Los elementos placa actúan en el estado de esfuerzo plano, mencionado en el apartado (3.1.4).
Las hipótesis antes mencionadas, mencionadas, permiten expresar los desplazamientos, deformaciones deformaciones y esfuerzos en el plano medio sólo en función de la flecha w(x, y), que caracteriza cada punto de la placa, transformando así un problema inicialmente tridimensional(x, y, z) en uno bidimensional(x, y).
3.2.2 Ecuaciones de Equilibrio Considérese una placa cuyo plano medio coincide con el plano formado por los ejes X y Y (ver figura 3.10), la cual es sometida a una carga transversal q por unidad de superficie, cuya convención positiva se muestra en la figura 3.10. La configuración de la placa es simétrica respecto a este plano, por lo que se admite la posibilidad de que el espesor de la placa varíe.
39
Z Carga transversal "q"
Y Plano medio
Espesor "t"
X Figura 3.10 Fuerzas actuando en la placa.
Bajo las condiciones anteriores, considerando que la placa se encuentra en equilibrio, en el plano normal al eje X aparecen los esfuerzos que se detallan en la figura 3.11.
Z
X
O
τxz Y
τxy τxz σxx
Figura 3.11 Esfuerzos en el plano normal al eje X. Adaptado de Ottosen [1992: p. 336]
Debido a estos esfuerzos, se producen las acciones Nxx, Nxy, Vxz, Mxx, y Mxy, para las cuales la figura 3.12 presenta la convención positiva correspondiente, y que se define como sigue:
40
Z Vxz Nxy
X
O
Y Mxx
Nxx
Mxy
Figura 3.12 Fuerzas Cortantes, Axiales y Momentos actuando en la cara X.
Adaptado de Ottosen [1992: p.336]. En donde: •
•
•
•
•
Nxx:
Nxy:
Vxz:
Mxx:
Mxy:
Fuerza horizontal por unidad de longitud longitud producida por σxx.
௧/ଶ ௫௫ = නି௧/ଶ ௫௫ ௧/ଶ ௫௬ = නି௧/ଶ ௫௬ ௧/ଶ ௫௭ = නି௧/ଶ ௫௭ ௧/ଶ ௫௫ = නି௧/ଶ ௫௫ ௧/ଶ ௫௬ = නି௧/ଶ ௫௬
(Ec. 3.61)
Fuerza horizontal por unidad de longitud longitud producida por τxy. (Ec. 3.62)
Fuerza cortante transversal por unidad de longitud producida por τxz. (Ec. 3.63)
Momento flector por unidad de longitud producido por σxx. (Ec. 3.64)
Momento de torsión por unidad de longitud producido por τxy. (Ec. 3.65)
Para una mejor interpretación de los momentos que actúan sobre cada cara, se emplea la convención estándar de doble flecha, la cual define los sentidos de tales acciones conforme a la regla de la mano derecha. De igual forma, en el plano normal al eje Y, se producen los esfuerzos que se presentan en la figura 3.13: 41
Z
O
τyz
Y
σyy τyx
Figura 3.13 Esfuerzos en el plano normal al eje Y. Adaptado de Ottosen [1992: p.337].
y se generan las acciones Nyy, Nyx, Vyz, Myy, y M yx para las cuales su convención positiva se muestran en la figura 3.14. Z
Vyz
X
Y
O
Myx
Nyy Nyx Myy Figura 3.14 Fuerzas Cortantes, Axiales y Momentos actuando en la cara Y. Adaptado de Ottosen [1992: p.337]. •
•
•
•
Nyy:
Nyx:
Vyz:
Myy:
Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por σyy.
௧/ଶ ௬௬ = නି௧/ଶ ௬௬ ௧/ଶ ௬௫ = නି௧/ଶ ௫௬ ௧/ଶ ௬௭ = නି௧/ଶ ௬௭ ௧/ଶ ௬௬ = නି௧/ଶ ௬௬
(Ec. 3.66)
Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por τyx. (Ec. 3.67)
Fuerza cortante transversal por unidad de longitud producido por τyz. (Ec. 3.68)
Momento flector por unidad de longitud producido por σyy. (Ec. 3.69) 42
•
Myx:
Momento de torsión por unidad de longitud producido por τyx.
௧/ଶ ௬௫ = නି௧/ଶ ௬௫
(Ec. 3.70)
Aplicando el principio de la Reciprocidad abordado en el apartado 3.1.1, se tiene:
௧/ଶ ௫௬ = ௬௫ = නି௧/ଶ ௫௬ ௧/ଶ ௫௬ = ௬௫ = නି௧/ଶ ௫௬
(Ec. 3.71)
(Ec. 3.72)
Suponiendo que la placa es sometida solamente a cargas transversales, esto es, no existen fuerzas horizontales actuando en el plano XY, del equilibrio de fuerzas horizontales se tiene:
௫௫ = ௬௬ = ௫௬ = 0
(Ec. 3.73)
La figura 3.15 presenta una parte infinitesimal de la placa sometida a una carga transversal
q por unidad de área, y en la que se muestran también los cortantes transversales que actúan en las cuatro caras de la placa.
z
Vyz
Vxz
qdxdy X
Y
Vxz+ ∂Vxz∂x dx
Vyz+ ∂Vyz∂y dy
Figura 3.15 Fuerzas Cortantes Transversales actuando sobre el elemento placa. Adapatado de Timoshenko [1959: p.80]
43
Del equilibrio de fuerzas en el eje Z, de la figura 3.15 se tiene
− ௬௭ + ൬ ௫௭ + ௫௭ ൰ + ቆ ௬௭ + ௬௭ ቇ − ௫௭ = 0
(Ec. 3.74)
Simplificando y dividiendo todos los términos entre dxdy, se obtiene la ecuación de equilibrio para los cortantes verticales
௫௭ + ௬௭ +
=0
(Ec. 3.75)
Por otra parte, la figura 3.16 presenta los momentos flectores y torsores por unidad de longitud que corresponden al elemento infinitesimal de la placa considerado. Mxx Myy Myy+ Myx
Mxy+
Mxx+
Z
Myy
Mxy
dy
Myx+
y`
Mx dx ∂x
Mxx dx x
+
Myx dy ∂y
Y
Mxy Mxx
+ X
Myx
Myy+
Myy Mxx+
Mxx dx x
Myy
Myx+
dy Myx dy ∂y
Y'
Mxy+
y
Mx dx ∂x
X'
Figura 3.16 Momentos actuando sobre el elemento placa. Adaptado de Ottonsen [1992: p.338]
Tomando en cuenta todas las acciones que se generan en el elemento considerado (cortantes y cargas de la figura 3.15 y momentos de la figura 3.16), el equilibrio exige para 44
las acciones que producen momentos alrededor del eje X’ mostrado en la figura 3.16 lo siguiente:
− 12 + ௬௭ − ൬ ௫௭ + ௫௭ ൰ 12 + ௫௭ 12 + ௬௬ − ቆ ௫௬ + ௫௬ ቇ − ቆ ௬௬ + ௬௬ ቇ + ௫௬ = 0 − 12 + ௬௭ − ௫௭ 12 − ௫௬ − ௬௬௬ = 0
(Ec. 3.76)
Simplificando y dividiendo la expresión anterior entre dxdy, queda:
(Ec. 3.77)
y despreciando los términos que multiplican el diferencial dy:
௫௬ + ௬௬ = ௬௭
(Ec. 3.78)
De forma análoga, haciendo sumatoria de momentos en la figura 3.16 con respecto al eje Y’, se obtiene:
௬௬ + ௫௬ = ௫௭
(Ec. 3.79)
A partir de las ecuaciones 3.78 y 3.79, se puede establecer:
௫௭ = ଶ ଶ௫௫ + ଶ ௫௬ ௬௭ = ଶ ଶ௬௬ + ଶ ௬௫
(Ec. 3.80)
(Ec. 3.81)
y sustituyendo estas dos últimas expresiones en la ecuación 3.75 se obtiene:
ଶ ଶ௫௫ + ଶ ௫௬ + ଶ ଶ௬௬ + ଶ ௬௫ = −
(Ec. 3.82)
Tomando en cuenta que Mxy es igual a Myx, la ecuación 3.82 se puede reordenar de la siguiente manera: 45
ଶ ଶ௫௫ + ଶ ଶ௬௬ + 2 ଶ ௫௬ = −
(Ec. 3.83)
3.2.3 Relaciones Cinemáticas y Relaciones Constitutivas Haciendo referencia a una de las hipótesis planteadas al inicio, la cual establece que todos los puntos situados sobre una recta normal al plano medio de la placa sin deformar, permanecen después de la deformación sobre una recta normal al plano medio en la configuración deformada, las figuras 3.17 y 3.18 ilustran las proyecciones de la configuración inicial y de la configuración deformada de un elemento infinitesimal de placa, para la dirección Y y X respectivamente.
Z
/
Q'
X
Z
Y
P'
Q Z
P
v°
/
Figura 3.17 Desplazamiento del plano medio para la dirección Y. Adaptado de Ottonsen [1992: p.314]
46
Z
/
Q'
Y
Z
X
P'
Q
/
Z
P u°
Figura 3.18 Desplazamiento del plano medio para la dirección X. Adaptado de Ottonsen [1992: p.314]
A partir de estas figuras y sobre la base de las hipótesis básicas inicialmente presentadas, los desplazamientos u, v y w se pueden expresar de la siguiente manera:
= − = − =ሺ,ሻ
(Ec. 3.84)
(Ec. 3.85) (Ec. 3.86)
Siendo uo, vo los desplazamientos del plano medio en las direcciones X y Y respectivamente, por lo que las deformaciones εxx, εyy y γxy (ver ecuaciones 3.15, 3.16 y 3.22) se pueden expresar en función función de las expresiones 3.85, 3.84 y 3.86. Siendo:
୶୶ = ୷୷ = ௫௬ =
ε
ε
− −
= = +=
ଶଶ ଶଶ + −2 ଶ 47
(Ec. 3.87) (Ec. 3.88)
(Ec. 3.89)
Considerando que la placa se encuentra sometida a un estado de esfuerzo plano (ver apartados 3.1.4 y 3.2.1) y sustituyendo las ecuaciones 3.87, 3.88 y 3.89 en 3.57, 3.58 y 3.51, las relaciones constitutivas se pueden expresar de la siguiente manera:
ଶ ଶ ௫௫ = 1 − ଶ ൭ቆ − ଶ ቇ + ቆ − ଶ ቇ൱ ଶ ଶ ௬௬ = 1 − ଶ ൭ቆ − ଶ ቇ + ቆ − ଶ ቇ൱ ଶ ௫௬ ୀ ቆ + − 2 ቇ
(Ec. 3.90)
(Ec. 3.91)
(Ec. 3.92)
3.2.4 Ecuación Diferencial para la Teoría de Placas Los momentos generados en los planos normales a los ejes X y Y se pueden expresar en función de las relaciones cinemáticas y constitutivas. Sustituyendo la ecuación 3.90 en 3.64 se tiene:
௧ ଶ ଶ ଶ ௫௫ = නିଶ௧ 1 − ଶ ൭ቆ − ଶ ቇ + ቆ − ଶ ቇ൱൩ ௧/ଶ ௧/ଶ ଶ ଶ ௫௫ = 1 − ଶ ቌ൬ − ൰ නି௧/ଶ − ቆ ଶ + ଶ ቇ නି௧/ଶ ଶ
(Ec. 3.93)
siendo
௧/ଶ නି௧/ଶ
=0
௧/ଶ නି௧/ଶ ଶ 48
ଷ
= 12
ቍ
por lo que
donde:
ଷ ଶ ଶ ଶ ଶ ௫௫ = − 12ሺ1 − ଶሻ ቈ ଶ + ଶ = − ቈ ଶ + ଶ
(Ec. 3.94)
ଷ = 12ሺ1 − ଶሻ
(Ec. 3.95)
término que representa la rigidez a flexión de una placa.
De forma análoga para 3.69 y 3.91 se obtiene:
௧ ଶ ௬௬ = නିଶ௧ 1 − ଶ ൭ቆ − ଷ ଶ ௬௬ = − 12ሺ1 − ଶሻ ቈ ଶ +
ଶଶ ቇ + ቆ − ଶଶ ቇ൱൩ ଶ ଶ = − ቈ ଶ ଶ + ଶ ଶ
(Ec. 3.96)
(Ec. 3.97)
y para 3.65 y 3.92
௧ ଶ ଶ ௫௬ = නିଶ௧ ቈ ቆ + − 2 ቇ ଷ ଶ ଷ ଶ ሺ ሻ 1 − ௫௬ = − 12ሺ1 + ሻ ቆ ቇ = − 12ሺ1 + ሻሺ1 − ሻ ቆ ଶ ௫௬ = − ሺ1 − ሻ ቆ ቇ
(Ec. 3.98)
ቇ
(Ec. 3.99)
(Ec. 3.100)
Derivando 3.94, 3.97 y 3.100:
ଶ ଶ௫௫ = − ቈ ସ ସ + ଶସ ଶ 49
(Ec. 3.101)
ଶ ௬௬ = − ቈ ସ + ସ ଶ ସ ଶ ଶ ଶ ௫௬ =−ሺ1−ሻ ସ ଶ ଶ
(Ec. 3.102)
(Ec. 3.103)
Sustituyendo 3.101, 3.102 y 3.103 en 3.83 se obtiene:
ସ − ቈ ସ+ ସ − ସ−
ସଶ ଶ − ସସ −2
ସቈ ସ + ଶସ ଶ − ሺ1 − ሻ ଶସ ଶ = − ସଶ ଶ − 2 ሺ1 − ሻ ଶସ ଶ = −
(Ec. 3.104)
(Ec. 3.105)
Reordenando 3.105 se tiene:
ସ ସ + ସ ସ + 2 ଶସ ଶ =
(Ec. 3.106)
Esta es la ecuación diferencial que rige el comportamiento de una placa, por lo que resuelta esta ecuación se puede conocer el campo de desplazamientos, deformaciones, y esfuerzos en cualquier punto de la placa.
50
CAPÍTULO 4 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS PRÁCTICO La solución de problemas de placa a partir de la ecuación diferencial deducida en el capítulo tres, está limi limitada tada a elementos geométricamente simples, así como para ciertos tipos de carga y condiciones de borde. Si estas condiciones son más complejas, el análisis se vuelve más tedioso y a veces hasta imposible de resolver analíticamente. En estos casos, los métodos numéricos y aproximados se constituyen en una alternativa de solución viable y práctica. A pesar que la aplicación de métodos numéricos y aproximados a los problemas de placa conllevan a diversos tipos de imprecisiones, son aceptables debido a que se reconocen otras fuentes de error en la formulación del problema, como la definición de las cargas externas que solo se conocen con cierto grado de certeza; la definición de las propiedades del material, tales como el módulo de elasticidad E, módulo de poisson ν, y la definición de las condiciones de borde que son sólo aproximaciones de las condiciones teóricas. El objeto de los métodos aproximados, es encontrar las acciones de diseño de una manera más sencilla, sobre la base de una carga máxima que la estructura será capaz de soportar. Esta carga se encuentra dentro de dos límites que se les conoce como límite inferior y
límite superior. •
Límite inferior: se refiere a una carga última que no produce el colapso de la estructura, ya que los momentos producidos por ella no exceden el momento de fluencia en ningún sitio y se satisfacen las condiciones de borde. Si se cumplen estas condiciones, el elemento soportará las cargas de diseño y podría aun sostener cargas mayores si ocurriera una redistribución interna de momentos, por lo que se estaría dentro del límite de la seguridad.
•
Límite superior: se refiere a la carga última calculada a partir de un determinado mecanismo de falla que causa el colapso de la estructura. Si se cumplen estas condiciones, una carga mayor que la determinada producirá con certeza el fallo de la estructura. 51
4.1 GENERALIDADES DE LOS MÉTODOS APROXIMADOS Y NUMERICOS Diversos métodos han sido propuestos a lo largo del tiempo para encontrar de una manera más sencilla las acciones de diseño. La sustitución de una placa por una serie de vigas ortogonales cruzadas es el más antiguo y sencillo de estos métodos. Esta aproximación establece que la placa puede ser modelada como dos vigas que se intersectan, soportando cada una la carga distribuida q por unidad de área que le corresponde tal como se esquematiza en la figura 4.1. la
la
lb
lb
Interserción de vigas ortogonales en punto medio. Figura 4.1
Aproximación de placa en vigas ortogonales. Adaptado de Nilson [ 1998: p.362]
Así, tomando en cuenta que las flechas al centro de la longitud en ambas direcciones son iguales y sobre la base de la flecha máxima en vigas simplemente apoyadas sometidas a carga uniforme (ver ecuación 4.1), para el caso de la figura 4.1, se puede establecer la relación mostrada en la ecuación 4.2.
ସ 5 ∆௫ = 384 5384 ସ = 3845 ସ
(Ec. 4.1) (Ec. 4.2)
donde qa es la fracción de carga que se transmite en la dirección corta (en la dirección de la) y qb es la fracción que se transmite en la dirección larga (en la dirección de l b). Simplificando la expresión 4.2 se tiene:
= ସସ
(Ec. 4.3) 52
A partir de la relación anterior, se observa que la mayor parte de la carga se transmite en la dirección corta. Los resultados obtenidos con este método son bastante aproximados, ya que no se consideran los momentos torsores que se generan en los elementos placa que contribuyen a soportar la cargas. Tomando en cuenta el problema como vigas ortogonales aisladas, se tiene que el momento máximo para una placa cuadrada simplemente apoyada (donde qa = qb y la = lb) es de 0.0625ql2. Si se toma en cuenta la contribución de los momentos torsores mediante la teoría exacta de flexión de placas se tiene que el momento máximo es de 0.048wl 2, lo que se traduce a una reducción del 25 %. [Nilson y Winter, Winter, 1998: p.363] Este método de las vigas ortogonales se utiliza para realizar diseños en base al límite inferior, con los cuales se obtienen diseños más conservadores aunque obviamente más costosos debido a que consideran acciones de diseño mayores que las reales.
Grashof (1826-1893) introdujo un método que se basa precisamente en este concepto de división de la placa en vigas ortogonales. Para una placa, se iguala la flecha en la intersección de ambas vigas de forma análoga como se establece en la ecuación 4.2. Debido a que debe cumplirse:
= + ସ = ସ + ସ
(Ec. 4.4)
a partir de las ecuaciones 4.2 y 4.4, se puede establecer que la carga que soporta cada una de las vigas ortogonales es:
ସ = ସ + ସ
(Ec. 4.5)
En el método de Grashof, las expresiones anteriores se escriben de una manera más conveniente:
=
=
(Ec 4.6)
en donde los coeficientes ka y kb dependen de las condiciones de borde del elemento placa. Para las distintas condiciones de apoyo se tiene que kb = 1 – ka , y ka puede tomar los valores presentados en la figura 4.2. Con estos valores se obtienen las cargas qa y qb con las cuales se obtienen las acciones internas del elemento placa.
53
lb
lb
ସ 5 = 2 ସ + 5 ସ la
la
ସ 2 = ସ + 2 ସ
Empotrado
Simple apoyo
lb
lb
la
la
ସ 5 = ସ + 5 ସ Figura 4.2
ସ = ସ + ସ
Valores de ka y kb para el método de Grashof. Adaptado de Oliete [ p.6]
A pesar de ser un método bastante aproximado, ya que no toma en cuenta los momentos torsores que se generan en el elemento, permite de forma intuitiva y sencilla encontrar una respuesta aproximada del comportamiento de la placa.
54
Hillerborg publicó en 1956 una forma práctica de determinar los momentos para el diseño de losas, conocido como el Método de Franjas. Este método es empleado mayormente para el diseño de elementos placa de concreto reforzado (correspondiente a techos, losas, paredes) debido a que el diseñador tiene la libertad de variar el refuerzo de una forma conveniente y práctica (ver apartado 4.3). Debido a que gran parte de las losas cuyo comportamiento se describe como una placa delgada, son construidas de concreto reforzado, el ACI (American Concrete Institute) ha incluido a lo largo de los años dentro de sus publicaciones métodos para determinar los momentos máximos para el diseño de estos elementos. El capítulo 13 del ACI, dedicado a losas en dos direcciones, presenta dos métodos para la determinación de los momentos: el método de diseño directo, el cual es un método semiempírico y el método del pórtico equivalente, que es una aproximación del análisis elástico (para mayor referencia puede verse el ACI apartados 13.6 y 13.7 respectivamente). El ACI 1963 incorporo un método muy empleado en base a tablas de coeficientes para el cálculo de los momentos negativos y positivos para losas en dos direcciones, que se detallará más adelante. Diversos métodos numéricos han sido programados para el uso en ordenadores, los cuales se han convertido en una poderosa herramienta para el análisis de distintos elementos estructurales, entre ellos los elementos placa. Métodos como las Diferencias Finitas y los Elementos Finitos son empleados hoy en día para un sinfín de aplicaciones en ramas de la ingeniería estructural. El Método de las Diferencias Finitas sustituye la ecuación diferencial de cuarto orden (véase ecuación 3.106) por diversas ecuaciones algebraicas lineales, las cuales se expresan en función de las deflexiones de un número finito de puntos sobre la superficie de la placa, y que se convierten en las incógnitas a determinar. El Método de los Elementos Finitos divide la placa en un número conveniente de áreas o elementos rectangulares, triángulos o cuadriláteros. Posteriormente se consideran tanto las propiedades físicas y geométricas como las relaciones entre fuerzas (o acciones) y deformaciones sobre cada elemento y se expresan en función de las flechas y giros en sus bordes, y que se constituyen en las incógnitas a determinar.
55
4.2 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES Este método de diseño directo fue incorporado en el ACI 1963 para uso en losas armadas en dos direcciones apoyadas sobre muros y vigas de acero o vigas de concreto reforzado cuya altura total no sea menor que aproximadamente tres veces el espesor de la losa para proporcionar suficiente rigidez a flexión. El método emplea tablas de coeficientes que cubren varias condiciones de apoyo en cada uno de los cuatro extremos de la losa, basándose en análisis elásticos, pero también teniendo en cuenta la redistribución inelástica que se da en los elementos placa, por lo que los momentos obtenidos son menores en cierta cantidad que los momentos máximos elásticos en esa dirección. Considérese una placa de dimensiones la y lb con bordes continuos. Para el empleo del Método del los Coeficientes, cada elemento deberá ser dividido en ambas direcciones en tres regiones como se detalla en la figura 4.3.
4
2
4
4
4
2 lb
la
Figura 4.3
Placa dividida en 3 franjas por el método de los coeficientes.
de donde se tiene: •
Franja central: Ancho igual a la mitad del elemento.
•
Franjas de borde: Ancho igual a un cuarto del elemento.
El método proporciona los momentos máximos en ambas direcciones que corresponden a las franjas centrales, tanto para la dirección larga como la dirección corta, y pueden ser calculados fácilmente a partir de las siguientes expresiones: 56
= ଶ = ଶ
donde
(Ec. 4.7) (Ec. 4.8)
•
Ca , Cb : coeficientes de momento tabulados
•
q: carga uniformemente distribuida
•
la , lb : longitud libre entre vigas en la dirección corta y larga.
Para las franjas de borde, se supone que los valores de momento disminuyen desde el momento máximo en la franja central, a un tercio de ese valor en el otro extremo de la franja de borde, en ambas direcciones (ver figura 4.4).
Mmax
௫ଷ
lb
௫
la
௫ଷ
௫
4
2
4
௫ଷ ௫ଷ 4
4
2 lb
la
Figura 4.4
Distribución de momentos en ambas direcciones. Adaptado de Nilson [ 1998: p.366]
La figura 4.5 presenta una losa subdividida en varios elementos placa que se analizan separadamente, y en las que se han considerado distintas condiciones de borde para cada uno de ellos. La placa A tiene dos bordes libres y dos bordes continuos; la placa B un borde libre y 3 bordes continuos; la placa C todos sus bordes continuos.
57
A
B
C
Figura 4.5
Distintas condiciones de apoyo en los elementos placa. Adaptado de Nilson [ 1998: p.366]
Las tablas 4.2, 4.3 y 4.4 presentan los coeficientes para momentos positivos y negativos para nueve casos distintos de condiciones de apoyo en los bordes, mostrados en la tabla 4.1. Para su uso, se debe obtener la relación de lado corto a lado largo e intersectar con el caso de apoyo que se adapte a la situación de interés para extraer los coeficientes Ca y Cb de las ecuaciones 4.7 y 4.8. Tabla 4.1
Condiciones de apoyo en bordes método de los coeficientes.
Borde empotrado
Borde libre
Caso 1
Caso 4
Caso 7
Caso 2
Caso 5
Caso 8
Caso 3
Caso 6
Caso 9
58
Tabla 4.2
ൗ 1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50
Coe fi ci ente
1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50
Caso 1
Ca, neg
Caso 2
Caso 3
0. 045
Cb, neg
0. 045
Ca, neg
0. 050
Cb, neg
0. 041
Ca, neg
0. 055
Cb, neg
0. 037
Ca, neg
0. 060
Cb, neg
0. 031
Ca, neg
0. 065
0.076 0.072 0.070 0.065
Cb, neg Ca, neg
0. 022 0. 074
0.056
Cb, neg
0. 017
0.050
Ca, neg
0. 077 0. 014
Cb, neg
0.01
Ca, neg
0. 084
Cb, neg
0. 007
Ca, neg Cb, neg
0. 086 0. 006
0.05
0.075
0.071
0.079
0.075
0.05
0.061
0.043
0. 08
0.079
0.082
0.083
0.062
0.034
0.057 0.083
0.086
0.076
0.085
0.088
0.024 0.081
0.086
0.091
0.087
0.093
0.088
0.095
0.089
0.096
0.029
0.051 0.044
0.019
0.038
0.015 0.089
0.035
0.067
0.04
0.085
0.031
0.011 0.092
0.028
0.008
0.022
0.094 0.006
Caso 7
0.071
0.045
0.071
0. 027
0. 081
Caso 6
0.066
0. 069
Ca, neg
Caso 5
0.06
Ca, neg
Cb, neg
Caso 4
0.055
Cb, neg
Tabla 4.3
ൗ
Coeficientes para momentos negativos en losas. Nilson [1998: p.367]
0.024
0. 09
Caso 8
Caso 9
0. 033
0.061
0. 061
0.033
0. 038
0.065
0. 056
0.029
0. 043
0.068
0. 052
0.025
0. 049
0.072
0. 046
0.021
0. 055
0.075
0. 041
0.017
0. 061
0.078
0. 036 0. 068
0.014 0.081
0. 029
0.011
0. 074
0.083
0. 024
0.008
0.08
0.085
0. 018
0.006
0. 085
0.086
0.019
0. 014
0.005
0.014
0. 089 0.01
0.088 0.003
0.097
Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta (d l) en losas. Nilson [1998: p.368]
Coe fi ci ente
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Caso 6
Caso 7
Caso 8
Caso 9
Ca, d l
0.036
0. 018
0.018
0.027
0.027
0.033
Cb , d l
0. 036
0. 018
0.027
0.027
0.018
0.027
0.027
0.02
0.023
0. 033
0. 023
Ca, d l
0.040
0. 020
0.021
0.03
0.028
0.036
0.02
0.031
0. 022
0.024
Cb , d l
0. 033
0. 016
0.025
0.024
0.015
0.024
0. 031
0. 021
0.017
Ca, d l
0.045
0. 022
0.025
0.033
0.029
0.039
0.035
0. 025
0.026
Cb , d l
0. 029
0. 014
0.024
0.022
0.013
0.021
0. 028
0. 019
0.015
Ca, d l
0.050
0. 024
0.029
0.036
0.031
0.042
0.04
0. 029
0.028
Cb , d l Ca, d l
0. 026 0.056
0. 012 0. 026
0.022 0.034
0.019 0.039
0.011 0.032
0.017 0.045
0. 025 0.045
0. 017 0. 032
0.013 0.029
Cb , d l
0. 023
0. 011
0.02
0.016
0.009
0.015
0. 022
0. 015
0.01
Ca, d l
0.061
0. 028
0.040
0.043
0.033
0.048
0.051
0. 036
0.031
Cb , d l
0. 019
0. 009
0.018
0.013
0.007
0.012
0.02
0. 013
0.007
Ca, d l
0.068
0.03
0.046
0.046
0.035
0.051
0.058
0.04
0.033
Cb , d l
0. 016
0. 007
0.016
0.011
0.005
0.009
0. 017
0. 011
0.006
Ca, d l
0.074
0. 032
0.054
0.05
0.036
0.054
0.065
0. 044
0.034
Cb , d l
0. 013
0. 006
0.014
0.009
0.004
0.007
0. 014
0. 009
0.005
Ca, d l
0.081
0. 034
0.062
0.053
0.037
0.056
0.073
0. 048
0.036
Cb , d l
0. 010
0. 004
0.011
0.007
0.003
0.006
0. 012
0. 007
0.004
Ca, d l
0.088
0. 035
0.071
0.056
0.038
0.058
0.081
0. 052
0.037
Cb , d l
0. 008
0. 003
0.009
0.005
0.002
0.004
0. 009
0. 005
0.003
Ca, d l
0.095
0. 037
0.080
0.059
0.039
0.061
0.089
0. 056
0.038
32
0.006
0. 002
0.007
0.004
0.001
0.003
0.007
0. 004
0.002
59
Tabla 4.4
ൗ 1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50
Coe fici ente
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Caso 6
Caso 7
C aso 8
Ca, l l
0. 036
0. 027
0.027
0.032
0.032
0.035
0. 032
0. 028
0.03
Cb , l l
0. 036
0. 027
0.032
0.032
0.027
0.032
0. 035
0.03
0.028
Ca, l l
0. 040
0. 030
0.031
0.035
0.034
0.038
0. 036
0. 031
0.032
Cb , l l
0. 033
0. 025
0.029
0.029
0.024
0.029
0. 032
0. 027
0.025
Ca, l l
0. 045
0. 034
0.035
0.039
0.037
0.042
0.04
0. 035
0.036
1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50
Caso 9
Cb , l l
0. 029
0. 022
0.027
0.026
0.021
0.025
0. 029
0. 024
0.022
Ca, l l
0. 050
0. 037
0.04
0.043
0.041
0.046
0. 045
0.04
0.039
Cb , l l Ca, l l
0. 026 0. 056
0. 019 0. 041
0.024 0.045
0.023 0.048
0.019 0.044
0.022 0.051
0. 026 0. 051
0. 022 0. 044
0.02 0.042
Cb , l l
0. 023
0. 017
0.022
0.020
0.016
0.019
0. 023
0. 019
0.017
Ca, l l
0. 061
0. 045
0.051
0.052
0.047
0.055
0. 056
0. 049
0.046
Cb , l l Ca, l l
0. 019 0. 068
0. 014 0. 049
0.019 0.057
0.016 0.057
0.013 0.051
0.016 0. 06
0.02 0. 063
0. 016 0. 054
0.013 0.05
Cb , l l
0. 016
0. 012
0.016
0.014
0.011
0.013
0. 017
0. 014
0.011
Ca, l l
0. 074
0. 053
0.064
0.062
0.055
0.064
0.07
0. 059
0.054
Cb , l l
0. 013
0.01
0.014
0.011
0.009
0. 01
0. 014
0. 011
0.009
Ca, l l
0. 081
0. 058
0.071
0.067
0.059
0.068
0. 077
0. 065
0.059
Cb , l l
0. 010
0. 007
0.011
0.009
0.007
0.008
0. 011
0. 009
0.007
Ca, l l
0. 088
0. 062
0.08
0.072
0.063
0.073
0. 085
0.07
0.063
Cb , l l
0. 008
0. 006
0.009
0.007
0.005
0.006
0. 009
0. 007
0.006
Ca, l l
0. 095
0. 066
0.088
0.077
0.067
0.078
0. 092
0. 076
0.067
Cb , l l
0. 006
0. 004
0.007
0.005
0.004
0.005
0. 007
0. 005
0.004
Tabla 4.5
ൗ
Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva (l l) en losas. Nilson [1998: p.369]
Proporción de la carga q que se reparte en las direcciones l a y lb para calcular el cortante en la losa y las cargas en los apoyos. Nilson [1998: p.370]
Proporcion
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Caso 6
Caso 7
Caso 8
Caso 9
qa
0.50
0.50
0.17
0.50
0. 83
0. 71
0.29
0.33
0.67
qb
0.50
0.50
0.83
0.50
0. 17
0. 29
0.71
0.67
0.33
qa
0.55
0.55
0.20
0.55
0. 86
0. 75
0.33
0.38
0.71
de la carga
qb
0.45
0.45
0.80
0.45
0. 14
0. 25
0.67
0.62
0.29
qa
0.60
0.60
0.23
0.60
0. 88
0. 79
0.38
0.43
0.75
qb
0.40
0.40
0.77
0.40
0. 12
0. 21
0.62
0.57
0.25
qa
0.66
0.66
0.28
0.66
0. 90
0. 83
0.43
0.49
0.79
qb qa
0.34 0.71
0.34 0.71
0.72 0.33
0.34 0.71
0. 10 0. 92
0. 17 0. 86
0.57 0.49
0.51 0.55
0.21 0.83
qb
0.29
0.29
0.67
0.29
0. 08
0. 14
0.51
0.45
0.17
qa
0.76
0.76
0.39
0.76
0. 94
0. 88
0.56
0.61
0.86
qb
0.24
0.24
0.61
0.24
0. 06
0. 12
0.44
0.39
0.14
qa
0.81
0.81
0.45
0.81
0. 95
0. 91
0.62
0.68
0.89
qb
0.19
0.19
0.55
0.19
0. 05
0. 09
0.38
0.32
0.11
qa
0.85
0.85
0.53
0.85
0. 96
0. 93
0.69
0.74
0.92
qb
0.15
0.15
0.47
0.15
0. 04
0. 07
0.31
0.26
0.08
qa
0.89
0.89
0.61
0.89
0. 97
0. 95
0.76
0.80
0.94
qb
0.11
0.11
0.39
0.11
0. 03
0. 05
0.24
0.20
0.06
qa
0.92
0.92
0.69
0.92
0. 98
0. 96
0.81
0.85
0.95
qb
0.08
0.08
0.31
0.08
0. 02
0. 04
0.19
0.15
0.05
qa
0.94
0.94
0.76
0.94
0. 99
0. 97
0.86
0.89
0.97
qb
0.06
0.06
0.24
0.06
0. 01
0. 03
0.14
0.11
0.03
60
Los momentos máximos negativos de borde se obtienen cuando dos placas adyacentes a un borde particular sostienen la totalidad de la carga muerta y viva, por lo que los momentos se calculan para la totalidad de la carga (no hay distinción de carga muerta y carga viva). En los bordes discontinuos, los momentos negativos se suponen iguales a un tercio de los momentos positivos en la misma dirección. Estos momentos deben de tenerse en cuenta en el diseño ya que la rigidez torsional de la viga o muro de borde, suministra en general un grado de restricción en bordes libres. Cuando la carga muerta actúa sola, los momentos positivos presentan poca rotación en los bordes continuos debido a que las cargas en los dos paneles adyacentes tienden a producir rotaciones opuestas que se cancelan o balancean entre sí. Bajo esta condición, los bordes continuos pueden considerarse empotrados y los momentos se pueden calcular a partir los coeficientes de la tabla 4.3. Los momentos positivos para carga viva, se obtienen cuando esta se coloca únicamente en la placa de análisis y en ninguna placa adyacente. Para este caso, la rotación en los bordes continuos debe ser considerada y se supone que existe un 50% de restricción para calcular los momentos producidos por las cargas vivas, por lo que los coeficientes para este cálculo se obtienen de la tabla 4.4. Los cortantes y cargas en los soportes de las losas (vigas, muros, etc.) se calculan a partir de los coeficientes presentados en la tabla 4.5.
4.3 MÉTODO DE LAS FRANJAS El Método de las Franjas es especialmente utilizado para el diseño de elementos placa de concreto reforzado, en donde se divide la carga a la que es sometido el elemento (carga q por unidad de superficie uniformemente distribuida) de forma arbitraria y/o conveniente en ambas direcciones. El principal objetivo de este método es llegar a una distribución de acero que sea segura, económica y evite problemas a nivel de cargas de servicio, relacionadas con agrietamientos o deflexiones excesivas. Este Método de las Franjas es atractivo no solo por su seguridad y economía sino también por su versatilidad para diversas condiciones de carga y apoyo, porque representa una formalización de los procedimientos que siguen de manera instintiva los diseñadores para colocar el refuerzo en la mejor posición posible, y se justifica sobre la base que el concreto 61
reforzado por su alta ductilidad, es capaz de transmitir las cargas en consistencia con la manera en la que ha sido distribuido el refuerzo por el diseñador. En este método, se divide la carga a la que está sometido el elemento de forma conveniente y a partir de esta división se determina inicialmente un campo de momentos que cumpla los requisitos de equilibrio. Posteriormente se diseña el refuerzo del elemento para que sea capaz de resistir tal campo de momentos. Así, si se puede encontrar una distribución de momentos que satisfaga tanto el equilibrio como las condiciones de frontera para determinada distribución de cargas externas y si la capacidad a momentos de fluencia del elemento no se excede en ninguna parte, entonces la distribución de cargas externas considerada representará un límite inferior de la capacidad de carga real. Atendiendo a los objetivos de este documento, la presentación del método estará limitada a la determinación del campo de acciones (cortantes o momentos) al que una placa es sometida ante la distribución de carga que ha sido considerada o supuesta. Para un elemento pequeño de placa con lados dx y dy, de la ecuación 3.83 se tiene:
ଶ ଶ௫௫ + ଶ ଶ௬௬ + 2 ଶ ௫௬ = − donde q es la carga externa por unidad de área; Mxx y Myy son los momentos flectores en las direcciones X y Y respectivamente; y Mxy es el momento de torsión. Conforme al teorema del límite inferior, cualquier combinación de M xx, Myy y Mxy que satisfaga las ecuaciones de equilibrio en todos los puntos de la placa y que cumpla las condiciones de frontera es una solución válida, siempre y cuando se coloque refuerzo para soportar dichos momentos. El Método de las Franjas se caracteriza por suponer que el momento de torsión Mxy es igual a cero, y con ello se considera que la resistencia a torsión de la placa no contribuye a resistir carga alguna por lo que la ecuación 3.83 se reduce a:
ଶ ଶ௫௫ + ଶ ଶ௬௬ = −
4
(Ec. .9)
62
La ecuación anterior puede dividirse convenientemente en dos partes, que representan la acción de una franja de viga sin torsión para el eje X y para el eje Y respectivamente:
ଶ ଶ௫௫ = − ଶ ଶ௬௬ = − ሺ1− 1− ሻ
(Ec. 4.10) (Ec. 4.11)
donde k es la proporción de la carga que toma la franja en la dirección X y (1 - k) la proporción de la carga que toma la franja en la dirección Y. El valor de k depende de la distribución de carga que se desee realizar, un valor de k = 0 indica que las franjas toman toda la carga en la dirección Y, un valor de k = 1 indica que toda la carga se transmite en la dirección X, y un valor de k = 0.5 supone que la carga se divide igualmente en las dos direcciones. Así por ejemplo, para una placa cuadrada simplemente apoyada en los cuatro bordes con una longitud de lados la y lb (la = lb = l ) y una carga q uniformemente distribuida por unidad de área (ver figura 4.6), la figura 4.7 ilustra el campo de momentos que se obtiene al considerar k = 0.5.
la
2 A
Figura 4.6
2
lb A’
Distribución de la carga en dos direcciones. Adaptado de Nilson [1998: p.460]
q
Debido a que la carga sobre todas las franjas en cada una de las direcciones es 2, para una franja a lo largo de A-A’ se obtiene el valor de momento máximo siguiente: 63
2 4
l
Diagrama de cortante
ଶ
16
−4
Diagrama de momentos
ଶ ௫௫ = 16
(Ec. 4.12)
Debido a las condiciones establecidas se obtiene el mismo valor máximo de momento para una franja orientada en la dirección Y. Por otro lado, siempre en este caso, nótese que no se presenta variación transversal de M xx a lo ancho de la placa como se muestra en la figura 4.7. l
2
Mmax =
2 Figura 4.7
Variación de momento a lo largo de
64
ଵమ
l Adaptado de Nilson [1998: p.460] 2
Para una losa rectangular con todos sus extremos empotrados resulta conveniente la distribución de carga que se muestra en la figura 4.8.
4 4
C
2
4
2 2
2
lb
2
2 C’
Figura 4.8
2 A
2
2
4
D
2
A’
B’
− 2
la
B
D’
Distribución de carga para una losa rectangular. Adaptado de Nilson [1998: p.462]
La franja a lo largo de A-A’ se encuentra sometida a la siguiente condición: q
q
2 4
la
65
4
por lo que los valores de momentos en los extremos se pueden obtener a partir de la siguiente expresión:
ି = 12ଶ − 11384ଶ
(Ec.4.13)
La franja a lo largo de B-B’ esta se encuentra sometida a la siguiente condición:
2 4
2 la
4
por lo que los valores de momentos en los extremos se pueden obtener a partir de la siguiente expresión:
ି = 24ଶ − 11384ଶ
4
(Ec.4.1 )
La franja a lo largo de C-C’ esta se encuentra sometida a la siguiente condición: q
4
2 lb
q
4
por lo que los valores de momentos en los extremos se pueden obtener a partir de la siguiente expresión:
ଶ ଶ ଶ ଷ 6 = 12 − 24 ቈ1 − 16 ଶ + 16 ଷ La franja a lo largo de D-D’ esta se encuentra sometida a la siguiente condición: 66
(Ec.4.15)
2 4
2 lb
4
por lo que los valores de momentos en los extremos se pueden obtener a partir de la siguiente expresión:
ଶ ଶ ଶ ଷ 6 = 24 − 24 ቈ1 − 16 ଶ + 16 ଷ
ሺEc.4.16ሻ
En el caso de bordes libres, el análisis mediante este método suele considerar que una franja a lo largo del borde libre toma una carga por unidad de área mayor que la carga unitaria que realmente actúa en ella, es decir actúa en forma de apoyo para las franjas perpendiculares a ella la cual es llamada “banda fuerte”. Para una losa cuyo borde libre se encuentra perpendicular a la dirección Y resulta conveniente una distribución de carga sencilla como se muestra en la figura 4.9 en donde β representa una fracción que define el ancho de la banda fuerte. Nótese que en la banda fuerte –k2 se constituye en una especie de reacción vertical que disminuye la flexión en la dirección de lb, y que (1+k2)q es entonces la carga que debe resistir la banda fuerte en la la dirección de la.
67
Y X
βb
-k2q
Banda Fuerte
(1+k2) q
lb
k1 q (1-k1) q
la Figura 4.9
Distribución de carga para una losa rectangular con un borde libre.
4.4 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 4.4.1 Ejercicio de aplicación 1 Se tiene un entrepiso de concreto reforzado con luces libres en planta de 4 m x 5 m con un espesor de 15 cm, apoyado en sus lados sobre vigas perimetrales rígidas como se muestra en la figura 4.10. El entrepiso se diseñara para una carga de 500 kg/m2 peso propio incluido. Calcular los momentos de diseño a partir del método de los coeficientes.
Empotrado 5m
4m Figura 4.10 Entrepiso de concreto reforzado empotrado en sus cuatro bordes.
68
= 4ൗ5 =0.80 ିି =0.065 ×500 4 ଶଶ =520.00 . =0.027 ×500 5 =337.50 .
Relación lado corto / lado largo
Momentos negativos en bordes continuos (tabla 4.2, caso 2)
Momentos positivos positivos (tablas 4.3, caso 2)
,ାା =0.026 ×500 4 ଶ =208.00 , =0.011×500 5 ଶ =137.50
..
Los resultados para ambas direcciones se muestran en la figura 4.11, en donde se puede observar que en la franja corta la los momentos son mayores con respecto a la franja larga lb ya que absorbe mayor cantidad de la carga distribuida actuando sobre el elemento. -337.50 kg.m
lb
137. 13 7.50 50 k .m -520.00 kg.m
-520.00 kg.m 208.00 kg.m
la -337.50 kg.m
Figura 4.11 Momentos actuando en un entrepiso obtenidos por el método de los coeficientes.
69
4.4.2 Ejercicio de Aplicación 2 Se tiene un entrepiso de concreto reforzado con luces libres en planta de 4 m x 5 m con un espesor de 15 cm, apoyado en sus lados sobre vigas perimetrales rígidas como se muestra en la figura 4.12. El entrepiso se diseñara para una carga de 500 kg/m2 peso propio incluido. Calcular los momentos de diseño a partir del método de los coeficientes
Empotrado 5m
4m Figura 4.12 Entrepiso de concreto reforzado empotrado en sus cuatro bordes.
Para una losa rectangular se puede utilizar la distribución de cargas descrita en la figura 4.8, por lo que se obtiene lo siguiente:
70
1 1
250 ଶ
2
C
250 ଶ
1
D
500 ଶ 250 ଶ
A’
250 ଶ A
250 ଶ 500 ଶ
B’
1
250 ଶ
250 ଶ
250 ଶ
500 ଶ
500 ଶ 250 ଶ C’
4m
250 ଶ
5m
B
D’
Figura 4.13 Distribución de carga para una losa rectangular.
La franja a lo largo de A-A’ se encuentra sometida a la siguiente condición:
500 ଶ
750
1
250 ଶ 2m
500 ଶ
1
750
y a partir de la ecuación 4.13 se obtienen los momentos máximos negativos generados en los extremos de la franja: 71
ି = 12ଶ − 11384ଶ = 437. 437.5 kg.kg. mm 750
250
Diagrama de Cortante
−250 mm 187. 5 kg. 62.5 kg. mm 62.5 kg. mm −437.5 kg. mm
−750 Diagrama de Momentos
−437.5 kg. mm
La franja a lo largo de B-B’ se encuentra sometida a la siguiente condición:
250 ଶ
250
1
250 ଶ 2m
1
250
por lo que los valores de momentos en los extremos se pueden obtener a partir de la expresión 4.14
ଶ ଶ 11 ି = 24 − 384 = 104. 104.16 kg.kg. mm 72
250 kgm −250 kgm 20.84 kg. mm
Diagrama de Cortante
20.84 kg. mm
Diagrama de Momentos
−104.16 kg. mm
−104.16 kg. mm
La franja a lo largo de C-C’ se encuentra sometida a la siguiente condición:
500 ଶ
875
1
250 ଶ 3m
500 ଶ
1
875
y a partir de la ecuación 4.15 se obtienen los momentos máximos negativos generados en los extremos de la franja:
ଶ ଶ ଶ ଷ 6 = 12 − 24 ቈ1 − 16 ଶ + 16 ଷ =629.17
73
.
875
375
Diagrama de Cortante
−375
−875
377.98 kg. mm −4.6 kg. mm
−629.17 .
Diagrama de Momentos
−4.6 kg. mm
−629.17 .
La franja a lo largo de D-D’ se encuentra sometida a la siguiente condición:
250 ଶ
250
1
250 ଶ 3m
1
250
por lo que los valores de momentos en los extremos se pueden obtener a partir de la expresión 4.16
ଶ ଶ ଶ ଷ 6 = 24 − 24 ቈ1 − 16 ଶ + 16 ଷ = 108.33 .
74
250 kgm −250 kgm 17 kg. mm
Diagrama de Cortante
17kg. mm −108.33kg. mm
−108.33 kg. mm
Diagrama de Momentos
Los resultados se muestran en la figura 4.14.
C -629.17. m/m
D -103.33 kg.m/m
187.5 kg.m/m
A’ -437.5 kg.m/m
A -437.5 kg.m/m 17.0 kg.m/m
208.33 kg.m/m
B’ -104.16 kg.m/m
B -104.16 kg.m/m
20.84 kg.m/m D’ -108.33 kg.m/m
C’ -629.17 kg.m/m
Figura 4.14 Resultados Obtenidos por el método de las franjas
75
4.4.3 Ejercicio de aplicación 3 El ejercicio resuelto en los apartados 4.4.1 y 4.4.2 fue resuelto mediante el software de análisis estructural SAP2000, el cual emplea el Método de los Elementos Finitos para realización dicho análisis. La La placa de 4m de ancho ancho por 5m de largo largo fue discretizada en 80 elementos de área, según se muestra en la figura 4.15, en donde N representa los nodos y A el elemento finito.
Y
O
5m
4m Figura 4.15 Discretizacion de una placa rectangular en el software SAP2000
La figura 4.16 muestra los momentos (tn.m) que se generan por la acción de las cargas externas en la dirección X, la intensidad de colores indica la variación del momento a lo largo de toda la placa (la escala de valores se muestra en la misma figura).
76
Figura 4.16 Diagrama de momento momento en la dirección X (tn.m E10 -3) Tabla 4.6
Valores de momentos para la dirección X.
MOMENTOS ACTUANDO EN EL EJE X AREA
NODO
A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A25 A35 A45 A55 A65 A73 A74 A75 A76 A77 A78 A79
N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N28 N39 N50 N61 N72 N91 N92 N93 N94 N95 N96 N97
Mx x (kg.m)
-462.21 -710.1 -859.43 -908.39 -859.43 -710.1 -462.21 172.65 374.41 435.62 374.41 172.65 -462.21 -710.1 -859.43 -908.39 -859.43 -710.1 -462.21
77
PROMEDIO PROMEDIO (kg.m)
-710.27
Franja Izquierda
305.95
Franja Central
-710.27
Franja Derecha
Así mismo, para la dirección Y se tiene la distribución de momentos presentada en la figura 4.17, los cuales varían de acuerdo a la intensidad de colores mostrada en la misma figura.
Figura 4.17 Diagrama de momento en la dirección dir ección Y.
y los valores de momento para las franjas centrales se muestran en la tabla 4.7 Tabla 4.7
Valores de momento para la dirección Y.
MOMENTOS ACTUANDO EN EL EJE Y AREA
NODO
A41 A41 A43 A44 A45 A46 A47 A48 A49 A50 A50
N45 N46 N47 N48 N49 N50 N51 N52 N53 N54 N55
Myy (kg. m)
-755. 00 -164. 98 113. 91 232. 81 274. 48 283. 76 274. 48 283. 76 274. 48 -164. 98 -755. 00
78
PROMEDIO PROMEDIO (kg.m)
-459.99
Franja Inferior
248.24
Franja Central
-459.99
Franja Superior
De los datos anteriores se obtiene -459.99 kg.m
lb
248.24 kg.m -710.27 kg.m
-710.27 kg.m 305.95 kg.m
la -459.99 kg.m
Figura 4.18 Resultados Obtenidos a través del software SAP.
79
80
CONCLUSIONES
•
Existe diversa bibliografía que aborda la Teoría de placas, sin embargo la mayoría de ella la presenta de manera compleja, y otra presenta directamente la ecuación de cuarto orden que rige el comportamiento de estos elementos estructurales. La formulación de la ecuación diferencial de cuarto orden que rige el comportamiento de los elementos placa se basa en una serie de conceptos fundamentales (esfuerzos, deformaciones, estados de elasticidad plana) y propiedades (isotropía, homogeneidad, continuidad) correspondientes a la Teoría de la Elasticidad, lo cual hace necesario que el lector posea conceptos y fundamentos correspondientes a dicha teoría.
•
Existen
diversos
métodos
aproximados
que
realizan
simplificaciones
y
consideraciones para encontrar las acciones internas que actúan en los elementos placa con propósitos de diseño. Es importante conocer tales consideraciones y simplificaciones a fin de tener criterios para la selección del método a utilizar en el caso de interés. A continuación se presenta un resumen de los resultados obtenidos en los ejercicios de aplicación correspondientes al capítulo cuatro, mediante los dos métodos estudiados en él: Método de los Coeficientes y Método de las Franjas. A demás se incluyen los resultados obtenidos a partir de haber llevado a cabo un análisis a través del Software SAP.
81
-337.50 kg.m -629.0 kg.m -459.9 kg.m
LEYENDA Método de los Coeficientes Método de las Franjas SAP2000
lb EJE Y 137.5 kg.m 187.5 kg.m 248.2 kg.m -520.00 kg.m -437.5 kg.m -710.0 kg.m
-520.00 kg.m -437.5 kg.m -710.0 kg.m
EJE X 208.0 kg.m 187.5 kg.m 305.0 kg.n
la -337.50 kg.m -629.0 kg.m -459.9 kg.m
Figura 5.1
Tabla 5.1
Resultados obtenidos de los ejemplos de aplicación.
Resultados obtenidos de los ejemplos de aplicación.
Franja Izquierda
Método Coeficientes (kg.m) -520.0
Método de las Franjas (kg.m/m) -437.5
Centro (eje X)
208.0
187.5
Franja Derecha
-520.0
-437.5
Franja Superior
-337.50
-629.0
Centro (eje Y)
137.5
248.2
Franja Inferior
-337.50
-629.0
Ubicación
SAP2000 ( kg.m) -710.0 305.0 -710.0 -459.9 248.2 -459.9
A partir de los resultados obtenidos se puede observar que estos varían entre ellos, ya que como se mencionó cada uno de ellos realiza consideraciones propias de cada método. Los resultados que se obtuvieron a través de SAP2000, son los más representativos del comportamiento de una placa debido a que este software trabaja trabaja con mucha mucha 82
precisión mediante el Método de los Elementos Finitos, por lo tanto se convierten en el parámetro de comparación. El método de los franjas presenta una variación considerable respecto a los resultados obtenidos a través de SAP2000, debido a que el método realiza una distribución de cargas de acuerdo al criterio del diseñador y no distribuyendo la carga externa a la que es sometido el elemento de forma simétrica. Sin embargo los resultados son seguros para elementos de concreto reforzado, ya que por su ductilidad las cargas se distribuyen de acuerdo al refuerzo considerado. Se puede observar que los resultados obtenidos a través del método de los coeficientes son más cercanos a los obtenidos a través de SAP2009, que por el método de las franjas. Pues este considera la redistribución inelástica de los esfuerzo y se obtienen valores promedio para las franjas centrales. Sin embargo estos resultados deben ser utilizados con cautela ya que los valores de momento son menores que los obtenidos por SAP2000, lo cual podría estar dentro del lado de la inseguridad. •
En la actualidad los métodos numéricos y los software de análisis estructural son la manera más rápida y eficaz de resolver los elementos placa. Sin embargo, es necesario que el usuario tenga claro los conceptos de la Teoría de Placas para poder interpretar de manera correcta los resultados obtenidos a través de estos software y poderlos emplear correctamente en la elaboración de diseños estructurales seguros y económicos.
83
84
RECOMENDACIONES
•
Se recomienda que dentro del plan de estudio de Ingeniera Civil en la Universidad Centroamericana José Simeón Cañas se aborde dentro de alguno de los cursos de análisis estructural los conceptos fundamentales de los elementos placa y cáscara ya que como se mencionó mencionó anteriormente, son estructuras comúnmente utilizadas utilizadas dentro del área de la Ingeniería y es importante tener una idea del comportamiento de esta tipología estructural.
•
Así mismo se recomienda impartir cursos de aplicación que tengan como objetivo el uso correcto de programas de análisis y diseño estructural que incluyan las tipologías estructurales de placas y cáscaras.
85
86
GLOSARIO Cáscara: estructura con superficie curva que transmite cargas en más de dos direcciones hacia los los apoyos, y en la que su su espesor es pequeño en comparación con las dimensiones que definen su superficie.
Continuidad: se dice que un cuerpo es continuo cuando no existen huecos en él. Curvatura Gaussiana: producto de las curvaturas principales (k1 y k2) de una superficie curva. La curvatura Gaussiana es positiva si el producto de las curvaturas principales es mayor a cero; es negativa si el producto de las curvas principales es menor que cero; es cero si el producto de las curvaturas principales es igual a cero.
Esfuerzo de membrana: esfuerzos de compresión, tracción y laterales que actúan de forma tangencial a la superficie de una membrana.
Esfuerzo normal: esfuerzo que es perpendicular al plano sobre el que se aplica la fuerza de tensión o compresión, que es distribuido de manera uniforme por toda su superficie. También llamado esfuerzo axial.
Extradós: superficie externa de una cáscara. Homogeneidad: propiedad de un cuerpo en el cual todas las partes poseen la misma composición y características.
Intradós: superficie interna de una cáscara. la dirección en que se han Isotropía: cuerpo cuyas propiedades físicas no dependen de la medido, es decir el cuerpo posee las mismas propiedades físicas en todas las direcciones.
Membrana: son estructuras (sin rigidez a flexión) que conforman una superficie en el espacio, con espesor mínimo. Se aproximan a una superficie geométrica y trabajan sólo mediante esfuerzos de tensión. .
Placa: Elemento plano en forma de paralelepípedo en el que el espesor es relativamente pequeño en comparación de su ancho y largo, las cuales trabajan predominantemente a flexión y generalmente se encuentran sometidos a cargas transversales. 87
88
BIBLIOGRAFÍA Baker, E.H., Kovalevsky, Kovalevsky, L. y Rish, F.L. [1972] Structural Analysis Analysis of Shells. Shells. Editorial McGraw-Hill, Estados Unidos. Beer, Ferdinand P. y Johnston, E. Russell [1996] Mecánica de Materiales. Editorial McGraw-Hill, México D.F. Chronowicz, Albin [1961] Diseño de cascarones. Editorial continental, México D.F. Cervera y Blanco [2001] Mecánica de estructuras Libro 1, Resistencia de materiales. Ediciones UPC, Barcelona, España. Goldenveizer, A.L. [1963] Teoría de los cascarones elásticos delgados. Editorial Continental, México D.F. Hasbun, José Carlos [2005] Fundamentos de elasticidad. UCA editores, San Salvador, El Salvador. Hasbun, Jose Carlos [2006] Fundamentos del método de los elementos finitos: aplicación al caso de elasticidad plana. UCA editores, San Salvador, El Salvador. Hoogenboom. Apuntes de clase tomados del curso “Shell Analysis, Theory and Aplications”. Impartido en la Universidad Delf University of Technology. Kraus, Harry [1967] Thin Elastic Shells. Editorial John Wiley & Sons, New York, Estados Unidos. Liew, J.Y. Richard y Shanmugam, N.E. Structural Analysis 2. Merritt, Frederick [1987] Manual del Ingeniero Civil, volumen 1. Editorial McGraw-Hill, México. Nilson, Arthur y Winter, George [1998] Diseño de estructuras de concreto, 11ª edición. Editorial McGraw-Hill, México. Oliete Josa, Sergio. Estructuras II: Teoría de placas.
89
Ortiz Berrocal, L. [1998]. Elasticidad, 3ª edición. Mc-Graw-Hill. Ottosen, Niels y Hans Petersson [1992] Introduction to the finite element method. Pearson Education Limited, England. Park R. y W.L. Gamble [1987] Losas de concreto reforzado. Editorial Limusa, México. Szilard, Rudolph [1974] Theory and analysis of plates: classical and numerical methods. Editorial Prentice-Hall, New Jersey, Estados Unidos. Timoshenko, Stephen P. y Kreiger, S. Woinowsky [1959] Theory of Plates and Shells. Editorial McGraw-Hill, Estados Unidos.
90
