UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO - CURSO BASICO
INFORME LABORATORIO DE FISICA
ESTUDIANTE: “ Deysi Torrez Huanquire” CONTENIDO: “RESORTE I” FECHA DE REALIZACION: Jueves, 2 de junio de 2011 FECHA DE PRESENTACION: Jueves, 9 de junio junio 2011 CARRERA: Ingeniería Electrónica CATEDRATICO: Ing. Roberto Parra
LA PAZ – BOLIVIA
EL RESORTE I
1. OBJETIVOS Objetivo general: Estudio de la ley de Hooke. o o Estudio del movimiento oscilatorio Objetivos específicos: o Verificación de la ley de Hooke. Determinación de la constante de rigidez de un resorte por la aplicación de la o ley de Hooke. o Determinación de la ley de Hooke mediante el movimiento oscilatorio. 2.
FUNDAMENTO TEORICO
Método Estático Un resorte se construye a partir de un alambre de sección uniforme arrollada en forma de hélice cilíndrica, la característica principal de este dispositivo es que, cuando se ejerce una fuerza sobre el resorte, este puede sufrir deformaciones (compresión o elongación), al cesar la fuerza del resorte recupera su longitud natural. La fuerza requerida para estirar o comprimir un resorte es proporcional a su elongación o compresión siempre y cuando no sobrepase el límite elástico, este enunciado se conoce como la ley de Oct. De conformidad al anterior enunciado, cuando se aplica una fuerza F sobre el resorte, este es proporcional al desplazamiento, es decir: (.1) F = kx A su vez el resorte ejerce una fuerza recuperadora que es proporcional y opuesta al desplazamiento, esto es: F’ = -kx En la (ec. 1), que es la expresión matemática de la ley de Oct, la constante k, se denomina constante de rigidez o elástica del resorte, esta constante depende fundamentalmente del tipo de material del que esta fabricado el resorte, sección transversal del material del resorte (grosor), radio de arrollamiento y número de espiras. La (ec. 1) es válida mientras el resorte no sufra deformación permanente, la figura 1 muestra la variación de la fuerza aplicada con respecto al desplazamiento, antes de llegar a su límite de deformación.
F
0 x figura 1 Cuando del resorte se cuelga un objeto, este ejerce la fuerza de su peso (es decir F = m g) y el resorte se estira una distancia x, entonces: F = mg = kx ( 2) 3
Si repetimos este procedimiento con distintos objetos de masas conocidas (en consecuencia pesos) y midiendo las elongaciones x i; lograremos un conjunto de valores experimentales (wi, xi), los cuales deben seguir la tendencia de recta mostrada en la figura 1, en donde la pendiente de la recta será igual a la constante de elasticidad del resorte. En el experimento, luego de colgarse el resorte, se emplea un plato para soportar las pesas que se irán colgando. La parte inferior del plato se toma como el cero para la medición de las respectivas elongaciones; si bien el plato tiene cierto peso (w p) y en consecuencia este estira al resorte una cierta distancia x p, esto no modifica la validez de la (ec. 1), por cuanto al asignar el valor de cero a x p, los ejes se trasladan como muestra la figura 2, la cual es equivalente a la figura 1, por ello no consideraremos el peso del plato. Con el propósito de obtener la ecuación experimental de la ley de Hooke, los diferentes pesos que se colocan sobre el plato w*1, w*2, w*3, etc. producen diferentes alargamientos x*1, x*2, x*3, etc., este conjunto de pares de datos (w* i, x*i), mediante ajuste por mínimos cuadrados, proporciona la ecuación experimental buscada, la cual tomará la forma de: w* = a + bx * ( 3) Para que esta ecuación sea equivalente a (ec. 1), el término experimental a debe ser cero o muy próximo a cero, pues, debido a errores experimentales (errores aleatorios), el término a puede ser distinto de cero; sin embargo, a través de una prueba de significación debe verificarse que a no difiere significativamente de cero, con lo cual se validará la (ec. 1) y en consecuencia la ley de Hooke. La pendiente de la recta, b (ec. 3), es igual a la constante de elasticidad del resorte, k.
W
W*
wp x*
x
xp figura 2
Método dinámico La constante de elasticidad del resorte, k, puede también puede obtenerse por el método conocido como dinámico. Para esto considere un objeto de masa M unido a un resorte de constante, k y masa m despreciable; cuando el objeto está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre él son, su peso W y la fuerza del resorte, kx E, donde xE representa la elongación del resorte, en consecuencia: W = kx E
(4)
Si desplazamos el objeto de su punto de equilibrio, hasta una posición x m (figura 3) y lo soltamos del reposo, la partícula se moverá hacia arriba y hacia debajo de la posición de equilibrio, O, generando un movimiento oscilatorio de amplitud x m.
F R = k (xE+x) -
xm 4
O X
P w
+xm +
figura 3 Con el propósito de analizar el movimiento oscilatorio del objeto, consideremos un punto cualquiera, como el denominado, P, en la figura 7 para un tiempo t. Al desplazamiento, OP, denominaremos, x, medido desde el punto de equilibrio (O). Las fuerzas que actúan sobre el objeto en dicho punto son: el peso, w, y la fuerza del resorte, F R = k (x E + x), con el convenio de signos asumidos en la figura 7, positivo hacia abajo, la sumatoria de fuerzas ( Σ F = ma) resulta: (5) ∑ F = W − F R = Ma De donde: W − k ( x E + x ) = Ma (6) La (ec. 4) en (ec. 6): kx E
k ( x E
−
+ x
) = Ma
Ordenando:
− kx = Ma
(7)
2
Puesto que la aceleración, es igual a: a
=
d x dt 2
, la (7) se escribe:
d 2 x
(8) + kx = 0 dt 2 d 2 x k 2 Ordenando dicha expresión como: + x = 0 y denominado p 2 dt M 2 d x (9) + p 2 x = 0 2 dt M
=
k M
la (8) resulta en:
La (9) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden y define el movimiento armónico simple. La característica de este tipo de movimiento es que la aceleración es proporcional al desplazamiento, y de sentido opuesto, además independiente de la aceleración de la gravedad. Existen dos soluciones particulares que satisfacen la (ec.9), estas son: x 1= sen pt y x 2 = cos pt . La solución general se obtiene multiplicando las soluciones particulares por las constantes A y B y luego sumando estas: x
= Asenpt
+ B cos
pt
(10)
Las constantes A y B dependen de las condiciones iniciales del movimiento, para ello diferenciamos una vez la (ec. 10), para obtener la velocidad, v = v
=
dx dt
= Ap cos pt − Bpsenpt
dx dt
.
(11)
Las condiciones iniciales son: v 0 y xm para t 0 = 0, estas en (10) y (11) dan como resultado:
5
A =
vo
y
p
B
( 12)
= xm
En nuestro caso, v 0 = 0 para t 0 = 0, con lo que la (10) se escribe: x = B cos pt (13) La (ec. 13) proporciona la posición del objeto para cualquier tiempo t, el término, B = x m, se k
denomina amplitud de oscilación con p =
M
. El análisis de la (13) muestra que se obtiene
x = B = x m, cuando cos pt = 1 lo cual ocurre cuando pt = 0, 2π , (2π + 2π ) rad,.....etc., esto señala que el objeto retorna al mismo lugar cada determinado tiempo, a este se denomina periodo de oscilación, T, en consecuencia: pT = 2π (14) De donde la constante de elasticidad del resorte r esulta: 2
4π
k =
T 2
(15)
M
Ecuación que nos permitirá determinar la constante de elasticidad del resorte a través de las medidas de masa y periodo de oscilación. En el caso que la masa del resorte, m, no sea despreciable en comparación a la masa del objeto oscilante, M, debemos considerar que la aceleración de las espiras del resorte varia linealmente desde el extremo fijo hasta el extremo móvil; además, el sistema se comporta como si la masa oscilante fuera M 1
= M + m y estuviese concentrado en el extremo del 2
resorte. Entonces la (ec. 15) se transforma en: 2
k =
4π 2
T
m M + 2
(16)
La determinación de k, por este método requiere de la medición de la masa del objeto oscilante y la del resorte, medidas que no plantean dificultad; sin embargo, en la medida del periodo T, esta magnitud puede resultar muy pequeña y la desviación en la manipulación del cronómetro (e = 0,20 s) resulta significativa. Para evitar este problema, es decir, para que el error en la determinación del periodo sea lo más pequeña posible, es conveniente medir el tiempo para n oscilaciones, t n, de modo que: t n = nT (17) Entre las magnitudes a medir, M, m y t n; es este último el cual tiene mayor incidencia en el error para la determinación de k; razón por la cual conviene estimar el número de oscilaciones, n, de manera de no rebasar cierto error prefijado en la determinación de k (ε k). En la realización del experimento, el instructor le asignará cierto error relativo porcentual para la determinación de k, con esta magnitud puede obtenerse el error relativo del periodo y luego estimar el número de oscilaciones, n, esto se realiza del siguiente modo: A la (16), aplicando logaritmos naturales, diferenciando y transformando las diferenciales en errores se obtiene: E k k
Luego
ε T
= 2 E T + T
E M
+ 1 E m 2
M +
m
(18)
2
se escribe:
ε T
=
E T T
1 + E E M m 1 E 2 = k + 2 k m M + 2
(19)
6
El error relativo del periodo ε T se determina a partir de (ec.19); para ello es necesario determinar M , m , E M y E m, con este fin, se deben medir repetidas veces M y m (5 veces) y a partir de las siguientes expresiones pueden conocerse estos términos: E M
=
S M
t α
5
2
E m
=
S m
t α 2
5
(20) (21)
Diferenciando la (ec. 17): dt n = ndT , transformando a errores, E t = nE T , dividiendo y multiplicando por T el segundo miembro, se obtiene: E T n = nT ε T (22) n
Puesto que E T n
= t
S t n
, en donde N, es el número de veces que se medirá t n (N = 5) y t /2 N con N-1 grados de libertad, tomando la aproximación: S tn = e = 0,2 s (máxima desviación del cronómetro), estas consideraciones en (ec.22) y resolviendo para el número de oscilaciones, n, se tiene: α 2
α
t α e n=
2
(23)
T ε T N
Mejor: t α e n≥
2
(24)
T ε T N
Esto en virtud a que n debe ser un número entero y la operación a realizar a partir de (24) no resultará un número entero y conviene tomar el entero superior más próximo con el propósito de no rebasar el error establecido. Finalmente, el periodo puede estimarse aproximadamente midiendo una o dos veces el tiempo de 10 oscilaciones, t 10, de manera que: t T ≅ 10 (25) 10
En el uso de t /2, debe cuidarse de emplear la misma probabilidad en todos los cálculos y se recomienda el 95 % de probabilidad. α
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Método Estático Cuelgue verticalmente el resorte. Coloque en la parte inferior del resorte, el plato que soportará las pesas. Si la separación de las espiras del resorte no es uniforme (el resorte esta torcido) cuelgue una carga (pesa) inicial de modo de corregir esta dificultad. Señale la parte inferior del plato como el cero. Coloque en el plato una pesa (m). A partir del cero (punto 4) mida la respectiva elongación x i. Retire la pesa y verifique que la parte inferior del plato retorne al cero, es decir, que el resorte no sufra deformación permanente. Para distintas masas (pesas) o combinación de ellas, repita los pasos 5 a 7. Mida las masas de las distintas pesas. Método Dinámico
7
Elija la masa del cuerpo oscilante de tal modo que las oscilaciones del resorte no sean demasiado rápidas. Desplace la masa oscilante una pequeña distancia hacia abajo y suéltelo. Mida dos veces el tiempo para 10 oscilaciones, t10, obtenga el promedio y a partir de (ec. 25) estime el periodo aproximado. Mida 5 veces la masa del resorte, m, y la de la masa oscilante, M y calcule los promedios y sus respectivos errores, para la probabilidad del 95%. Calcule el error relativo del periodo a partir de (ec. 19). Calcule el número de oscilaciones mediante la (ec. 24) en donde: e = 0,2 s; N = 5 y emplee el valor de t α /2 para dos grados de libertad (N – 1) y el 95% de probabilidad. Mida el tiempo t n tres veces para el número de oscilaciones n calculado en el paso 6.
DATOS RECOPILADOS •
CALCULOS Y ANÁLISIS DE GRAFICAS a) Método estático
Las pruebas realizadas en el laboratorio nos ayudarán a construir la correspondiente a la variación de los pesos que cuelgan en el resorte: N
M (Kg)
W (N)
X (m)
1 2 3 4 5
0.2571 0.3687 0.4788 0.5848 0.7255
2.51 3.60 4.68 5.71 7.09
0.0145 0.025 0.033 0.047 0.08
tabla1
Con los datos de W y X construiremos la grafica y ajustando la recta por el método de mínimos cuadrados tenemos:
8
Y 8
7
6
5
4
3
2
X 1 0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
La ecuación ajustada de la recta sera:
Y = 2 + 68.07 X
Y el coeficiente de correlacion es:
R = 0.9675
La constante B es la pendiente de la ecuación lineal, que en este caso representa a la constante de rigidez del resorte y finalmente tenemos que: W=k * x
y =B x+A
entonces:
K = 68.07 N/m
Hallando el error de K y como :
K =
m * g x
Aplicando logaritmos y diferenciando tenemos: 9
K ∆
y
ln K = ln m +ln g −ln x
K
=
∆m
m
+
g ∆ g
+
x ∆ x
reemplazando en la formula:
∆ K K
2
2
2
2
2
2
1 *10 − ∆m ∆ g ∆ x 0.1 0.004 = + + = + + m g x 0.48298 9.775 0.0399 4
utilizando los valores promedio de masa y distancia, además de la gravedad 9.78, determinamos el error de K, y los errores tanto de la regla graduada y de la balanza, tenemos:
∆ K = K * 9.129 * 10 − = 68.07 * 0.207 = 14.09 4
entonces la constante K y su error es: K
= 68 .07 ±14 .09 ( N /
m)
b) Método dinámico Error porcentual de K (prefijado) = 2% Masa del resorte
m = 30.8 g
Masa del cuerpo oscilante
M = 693.1 g
Para determinar el periodo aproximado medimos tres veces el tiempo de 10 oscilaciones y sacamos un promedio.
Periodo aproximado
= 0.523 s
Error relativo del periodo
= 0.00989
ε rT =
ε rK
*
2 * N
0.015 =
2*2
=
0.00989
donde N es el número de términos y es igual a 2. 10
Para determinar el numero de oscilaciones se uso:
n=
e
=
T * ε rK
Periodo de oscilación
0.2
= 48
0.523 * 0.00989
T = 0.523 s
Para determinar la constante de rigidez reemplazamos los datos en la siguiente formula: 2
K =
4 * π * M 2
T
2
=
4 * π * 0.6931 2
0.523
= 72.3
N m
aplicando logaritmos y diferenciando la ecuación anterior:
ln K
= ln 4 + 2 * ln π + ln M − 2 * ln T
∆ K
y
K
=
∆M
M
+2*
∆T
T
Reemplazando en la formula:
2
− 3.35 *10 − ∆ K = ∆M + ∆T = 1 *10 2 + 2 K M T 0.6931 0.523 2
2
4
3
2
utilizando el error de la balanza, y averiguando el error estándar del periodo que es igual al error relativo por el valor promedio, se tiene:
∆ K = K * 7.50 * 10 − = 70.3 * 7.50 *10 − = 0.24 3
3
entonces el error de K es: K = 70 .3 ± 0.24 ( N / m )
•
COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS.11
Tomamos el resultado obtenido por el método estático y el resultado obtenido en el método dinámico, entonces los comparamos en la siguiente tabla.
K: Método Estático 68.07
K: Dinámico 70.3
Método %de error 3.27
CUESTIONARIO 1. En un grafico FR vs. x, ¿cuál el significado del área bajo la curva?, ¿cuál el significado de la pendiente? R. El área bajo la curva siempre significa el trabajo producido o realizado, la pendiente es la constante de rigidez pero en presencia de un coeficiente de rozamiento.
2. ¿Qué sucede si excedemos el límite de elasticidad del resorte? R. Cuando se excede o supera el límite de elasticidad del resorte, el alambre reduce su longitud original al dejar de aplicar la fuerza, y éste ya no recupera dicha longitud. 3. ¿Cómo es la constante equivalente de dos resortes acoplados: a) En serie, b) En paralelo? R. La constante equivalente de dos resortes acoplados en serie es igual a 2k; y la constante equivalente de dos resortes acoplados en paralelo es igual a k / 2. 4. Si un resorte de longitud L y constante de rigidez k se divide en dos partes iguales, ¿cuál será el valor de la constante de rigidez de cualquiera de estas porciones del resorte?, ¿igual al original?, ¿menor?, ¿mayor?, justifique su respuesta. R. La constante de rigidez de cualquiera de estas porciones será la mitad de la original, ya que esta constante depende del número de espiras. 5. ¿Si el experimento se realiza en la Luna, el valor de k obtenido será igual al obtenido en la tierra?, ¿mayor?, ¿menor?, ¿por que? R. Si el experimento de realiza en la Luna, el valor de k sería diferente debido a la gravedad.
6. ¿De qué factores depende la constante elástica k del resorte? 12
R. La constante k del resorte depende fundamentalmente del tipo de material del que está fabricado el resorte, sección transversal del material del resorte (grosor), radio de arrollamiento y número de espiras.
7. Mencione ejemplos concretos de piezas o equipos que funcionen en base a un resorte. R. Los resortes se usan en los tapiceros y en cuerdas de instrumentos musicales, se utilizan en las básculas de resorte, en los resortes de ballesta empleados en las suspensiones de automóvil, también para almacenar energía mecánica como en los relojes de cuerda.
CONCLUSIONES En este laboratorio vimos cumplido el principal objetivo el cual era demostrar la ley de hooke , también se pudo comprobar que se puede tener experimentalmente la constante de rigidez k. Los dos valores encontrados son confiables, ya que medimos la constante de un solo resorte y debería darnos el mismo resultado, pero como en laboratorio existen errores el resultado varia, pero en este caso el resultado varia muy poco y además afirmas que tanto calcular K por el método estático es confiable como para el método dinámico
.
13
