FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Reporte No 6 Implementaci´on on de un controlador Proporcional
Laboratorio de Control Analogico II
Datos :
Alumno Profesor No Grupo 603-01
Juan Martinez Ruiz M.C. M. C.Jo Jos´ s´ e Aar´ Aar´on on Padilla Padi lla Garc Gar c´ıa
23 de octubre de 2017
Introducci´ on Para el sistema de control en lazo abierto de un motor de CD incluyendo el bloque del actuador y del sensor, en la practica No. 2 se obtuvo la funci´on de transferencia dada por V s (s) K 1 = (1) G1 (s) = V i (s) T s + 1 En esta pr´actica se implementar´a un controlador de tipo proporcional para la planta G1 (s) para evaluar las ventajas que proporciona la retroalimentaci´on (lazo cerrado) comparado con el comportamiento del sistema en lazo abierto y con el controlador ON-OFF implementado en la pr´actica No. 5.
El controlador proporcional. El controlador a implementar en esta pr´actica es un controlador proporcional, es decir, calcula el valor de voltaje vi (t) a aplicar al motor en forma proporcional al error actuante e(t) = r (t) − vs (t), es decir, vi (t) = K p e(t) = K p [r(t) − vs (t)]
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Donde K p es la ganancia del controlador proporcional y deber´a ser elegida para satisfacer alg´ un criterio de control. En forma de diagrama de bloques el controlador proporcional se puede representar como en la figura 1
Figura 1: Controlador Proporcional conectado al sistema Para implementar el controlador proporcional podemos observar en la ecuaci´on que lo define (2) que se puede implementar con un simple restador para generar e(t) = r (t)−vs (t) ganancia positiva K p los cuales se pueden implementar mediante amplificadores operacionales como se muestra en la figura
Figura 2: Implementaci´on del controlador proporcional mediante amplificadores operacionales
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Error en estado estable
ess
Una de las desventajas del controlador proporcional comparado con otros esquemas es que presenta un error que no desaparece con el tiempo, es decir, conforme el tiempo tiende a infinito, el error actuante tiende a un valor constante ess denominado error en estado estable. Por definici´on ess = e (∞) = l´ım e(t) t→∞
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Este error se puede calcular de antemano si obtenemos la funci´on de transferencia del sistema en lazo cerrado. De la figura 1 V s (s) =
K p G1 (s) R(s) 1 + K p G1 (s)
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Por lo tanto, sustituyendo en la ecuaci´on del error E (s) = R (s) − V s (s), se obtine E (s) = R (s) −
K p G1 (s) R(s) 1 + K p G1 (s)
Simplificando E (s) =
1 1 + K p G1 (s)
R(s)
(5)
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Usando el Teorema del valor final, obtenemos el error en estado estable ess = l´ım e(t) = l´ım sE (s) t→∞
s→0
(7)
Sustituyendo E (s) de la ecuaci´on (6) y suponiendo una referencia escal´o n de valor V i , es decir, suponiendo R(s) =
V i , se obtiene s
ess =
V i 1 + K p G1 (0)
(8)
Pero en este caso de la ecuaci´on (1) se obtiene G 1 (0) = K 1 , entonces ess =
V i 1 + K p K 1
(9)
De la ecuaci´on (9) se observa que el error en estado estable solo desaparece si oricamente infinito). K p es muy grande (te´
Efectos no lineales por saturaci´ on: Como se observ´o en la ecuaci´on (9), un valor grande de K p es conveniente si se desea un error peque˜no en estado estable, sin embargo, al aumentar el valor de K p , tambi´ en se aumenta la amplificaci´ on del controlador, por lo cual generar´ a acciones de control valores de vi (t) muy grandes, los cuales pueden salirse f´acilmente del rango de 0 a 5 volts que admite el sistema, cuando esto ocurre, la se˜ nal producida por el controlador se satura y se comporta como se muestra en la figura 3
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Figura 3: Efecto de saturaci´on del actuador.
Este efecto no lineal provocado por la saturaci´ o n del actuador no est´ a contemplado en el modelo en funci´ on de transferencia, ya que esta funci´ on representa solamente el comportamiento lineal.
Desarrollo y Resultados. 1) Implementar el controlador proporcional con amplificadores operacionales mostrado en la figura 2. Elegir R=10KΩ, adem´as elegir R1=R. Para el amplificador operacional se puede usar el circuito LM324 o el TL074, o el TL084. * En nuestra practica usamos el circuito integrado LM324
2) Para fijar el punto de operaci´o n cerca de la mitad del rango, colocar la referencia en r(t)=12.0v. Utilizar el circuito seguidor de voltaje mostrado en la figura 4.
Figura 4: Seguidor de voltaje usado para generar la referencia de velocidad.
3) Antes de cerrar el lazo de control (antes de conectar la salida del amplificador operacional a la a la entrada vi del m´odulo de control del motor) aseg´ urate de que el controlador proporcional funciona correctamente midiendo los voltajes en los puntos marcados del 1 al 5 en la figura 2 y llenando la siguiente tabla
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V1(r) Medido
V2(vs) Medido
3.4v
5v
V3 (r-vs) Medido 1.79v
V4 (-V3)
Calculado 1.6v
Medido -1.79v
Calculado -1.6v
V5(KpV3) Medido 1.79v
Calculado 1.6v
4) Para obtener la respuesta al escal´ on, a continuaci´ o n se deber´a generar una se˜ nal cuadrada de niveles TTL (0 y 5 volts) mediante el generador de se˜ nales con una frecuencia de aproximadamente 1 Hz y con ella alimentar el potenci´ometro de la figura 6.5. y se cerrar´a el lazo de retroalimentaci´on 5) Con el canal CH1 del osciloscopio se visualizar´a la entrada r(t) y con el canal CH2 se visualizar´an alternativamente: la salida vs (t) y la acci´o n de control vi (t) (punto 5 de la figura 2). Visualizando solo el primer medio ciclo de r(t) se obtendr´a la informaci´on para llenar las primeras tres columnas de la siguiente tabla. 6) Una de las ventajas del control en lazo cerrado es la atenuaci´on del efecto de perturbaciones en la variable controlada. Se introducir´a una perturbaci´on a la velocidad del motor presionando con el dedo ´ındice el eje del motor para frenarlo lo m´as posible (usar s´olo el dedo, sin cargar el cuerpo procurando que la fuerza aplicada siempre sea la misma), en estas condiciones se llenar´a s´olo la u ´ ltima columna de la siguiente tabla.
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Figura 5: Gr´afica donde se puede ver la entra de referencia y el voltaje de entrada y al no haber retroalimentaci´on no se crea una acci´on de control
Figura 6: Gr´afica donde se puede ver la entra de referencia y la salida del sistema en color amarillo, y como en la anterior gr´afica se vio que no hab´ıa acci´ on de control el sistema no alcanza el voltaje de referencia
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Figura 7: Gr´afica donde se puede ver la entra de referencia y el voltaje de entrada y aqu´ı ya tenemos una retroalimentaci´on, en esta caso la acci´on de control esta con una ganancia de k=1R
Cuadro 1: Compara las mediciones realizadas (sin perturbaci´ o n) con lo que predice la teor´ıa y llena la siguiente tabla (en este caso el tiempo final(∞)se refiere al final del medio ciclo en alto. Explica los c´alculos realizados. r(∞) V s (∞) V s (∞) ess ess K p Medido Medido Calculado Medido Calculado 0(Lazo abierto) 2.01v 920mV 1v 960mV 1v 1 2.01v 920mV 1v 960mV 1v 10 2.01v 1.72v 1.81v 200mV 199mV 2.01v 1.9999v 2 1mv 0v ∞
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Preguntas Explica en qu´ e casos se present´ o saturaci´ o n y en que te basas para afirmar que s´ı la hubo.
Apartar de que entro en acci´on la retroalimentaci´on y que la resistencia R se fue aumentando, en el caso de R=1(R1) se nota una peque˜ na se˜ nal que sobrepasa el voltaje de referencia, pero que despu´ es r´apidamente baja a este nivel, en el caso donde r=10(R1) esta saturaci´ on se hace muy grande y se mantienen estos sobre impulsos de manera extendida a lo largo del voltaje de refrencia. Comparar los resultados obtenidos en la pr´ actica con la simulaci´ on de las ecuaciones del sistema en Simulink. No olvidar incluir en simulaci´ on el efecto de la saturaci´ on. Presentar gr´ aficas y especificar todos los valores utilizados en los bloques de simulink. En los casos en que se presenta saturaci´ on ¿qu´ e cambios observas al quitar el saturador?
Figura 8: Diagrama de bloques para la simulaci´on, donde estaremos variando el valor de Kp, 1, 10 y un valor muy grande cualesquiera
Figura 9: Grafica donde vemos la salida del sistema aplicando un valor de kp=1
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Figura 10: Grafica donde vemos la salida del sistema aplicando un valor de kp=10, como podemos ver el comportamiento del sistema simulado es muy parecido al realizado en la preactica donde la respuesta del sistema va mejorando conforme vamos aumentado la ganancia Kp.
Figura 11: En esta gr´afica estamos aplicando una ganancia de 1000 y podemos ver que el sistema pr´acticamente alcanza la referencia aplicada
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