UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA Curso de Graduação em Engenharia Aeronáutica Laboratório de Ensino em Fenômenos de Transporte
RELATÓRIO DA PRIMEIRA AULA PRÁTICA DA DISCIPLINA MECÂNICA DOS FLUIDOS I (FEMEC41050) Determinação Experimental do Centro de Pressão de uma Superfície Submersa Prof. Aristeu da Silveira Neto Prof. João Marcelo Vedovoto
Higor Luis Silva (11111EAR018) Luiz Fernando Tolentino Vargas (11111EAR015)
Uberlândia, julho de 2013
1. 2. 3. 4.
Sumário Resumo ...................................................................................................................................................................................................... Introdução .................................................................................................................................................................................................. Objetivos .................................................................................................................................................................................................... Modelagem Teórica ................................................................................................................................................................................... 4.1. 4.2. 4.3.
5. 6. 7.
2 2 2 2
Força hidrostática ............................................................................................................................................................................. 2 Cálculo do Centro de Pressão Teórico.............................................................................................................................................. 3 Cálculo do centro de pressão experimental ...................................................................................................................................... 3
Equipamento experimental ......................................................................................................................................................................... 4 Modelagem Experimental .......................................................................................................................................................................... 4 Resultados .................................................................................................................................................................................................. 4 7.1. Montagem da Tabela 2 ..................................................................................................................................................................... 4 7.3 Explicação teórica sobre a localização do centro de pessão ..................................................................................................................... 5
8. 9.
Conclusão................................................................................................................................................................................................... 5 Referências Bibliográficas ......................................................................................................................................................................... 5
1. Resumo Para o experimento, foi utilizada uma bancada contendo uma superfície curva (no caso, um toróide) submersa em água. Para o cálculo do centro de pressão, foi realizado um equilíbrio de momento no ponto de pivotamento da bancada entre a força hidrostática e os pesos contrabalanceados na parte de fora da cuba. Com este experimento pode-se avaliar de forma prática como a força hidrostática resultante atua nas superfícies submersas e a forma com que a alteração na altura da coluna de líquido influencia nessa força. Também se verifica que o ponto de atuação dessa força será sempre deslocado para baixo em relação ao centro de gravidade, para o equilíbrio das forças. As alturas calculadas dos centros de pressão ( e ),apresentaram um erro médio de 3,2%, o que atesta a consistência da análise física no caso do e do desenvolvimento teórico dos cálculos de .Estes valores quando avaliados linearmente, plotados juntos em um gráfico, espera-se que o resultado seja uma reta com ângulo de 45°. O valor obtido experimentalmente foi de 44,65º com um erro aceitável de 0,77% .
2. Introdução A hidrostática, também chamada estática dos fluidos ou fluidostática é a parte da física que estuda as forças exercidas por e sobre fluidos em repouso. As leis que regem a Hidrostática estão presentes no nosso dia-a-dia, mais do que podemos imaginar. Elas se verificam, por exemplo, na água que sai da torneira das nossas residências, nas represas das hidrelétricas que geram a energia elétrica que utilizamos, na flutuação de embarcações e submarinos e na pressão que o ar está exercendo sobre você nesse exato momento. O experimento de número 1 do laboratório de Mecânica dos Fluidos tem como finalidade demonstrar experimentalmente a teoria da hidrostática para os casos de uma superfície parcialmente e totalmente submersa.
3. Objetivos Apresentação dos equipamentos, procedimentos de medição e obtenção de resultados com menor erro possível. Cálculo da força hidrostática em superfície parcialmente ou totalmente submersa e avaliação dos valores experimentais em relação aos teóricos, discutindo-se os erros.
4. Modelagem Teórica 4.1. Força hidrostática De acordo com o teorema de Stevin, tem- se que: “ A pressão em um fluido estático com uniforme continuamente distribuído varia somente com a distância vertical e é independente da forma do recipiente .” White, Frank – Mecânica dos Fluidos 2011. Sendo assim é possível que se verifique a pressão pela seguinte expressão matemática: (1) No entanto há ainda necessidade de se calcular o ponto de atuação desta força cuja relação com o centro de massa é dado por: (2)
( )
Definindo-se assim a força que atua sobre um corpo totalmente ou parcialmente submerso. Para que o cálculo da força hidrostática seja realizado, deve-se considerar a água como fluido incompressível a temperatura de 20°C e pressão próxima de 1atm, com massa específica equivalente a 998 ( ), segundo a tabela A.3. do 2
⁄
livro Mecânica dos Fluidos , Frank M. White, 6ª ed. Neste experimento, deseja-se calcular a força horizontal resultante na superfície plana direita da cunha, já que as forças sobre as superfícies curvas não influenciam no momento do sistema. Sabendo-se que:
⁄ ∫ ∫
No caso, a pressão atmosférica não será utilizada e fazendo-se as considerações supracitadas, temos:
∫
Avaliando-se o teorema de Stevin no cg, esta força atuará no centro de gravidade, obtendo-se a equação final para a força resultante em um corpo submerso, como:
( )
Onde: = Massa específica do fluido hcg = Altura do centro de gravidade da placa em relação a superfície A = Área de atuação da força horizontal na placa. F = Força hidrostática atuando na placa.
4.2. Cálculo do Centro de Pressão Teórico
Figura 1 - Diagrama da localização de hcp, hcg, cg, e cp na superfície livre
Após o cálculo da força é necessário que o ponto de atuação desta seja encontrado, para isto utiliza-se:
Com
e, Onde:
= Coordenada horizontal do centro de pressão em relação ao centro de gravidade da placa. = Coordenada vertical do centro de pressão em relação ao centro de gravidade da placa. = Produto de Inércia da área da placa (nulo). = Momento de Inércia de área da placa em torno do eixo x do centroide. = Ângulo entre a superfície livre e a placa.
4.3. Cálculo do centro de pressão experimental Calculando o somatório de momento no apoio, vem:
∑ Mas ⁄ onde Do equilíbrio do momento no ponto de apoio: [ ] ⁄ [ ] Assim: ⁄ Onde m = massa utilizada na medição.
3
5. Equipamento experimental Para o seguinte experimento foi utilizado uma bancada hidráulica de base e os seguintes aparatos: 1- Marcador de nível, 2- ¼ de Toróide, 3 -Apoio, 4- Contrapeso, 5- Mangueira, 6- Válvula, 7- Recipiente, 8- Nível de bolha, 9- Suporte para pesos.
Figura 2 - Aparato hidrostático e suas componentes.
6. Modelagem Experimental Para obter um experimento adequado e com pouco erro deve-se garantir que o peso do corpo esteja equilibrado o que é dado pela utilização, na montagem, de um contapeso adequado (4) exposto acima, também é necessario garantir que o aparato esteja no plano horizontal, isto é feito a partir do ajuste dos três pés com o auxílio de um nível de bolha. Em seguida deve-se nivelar a barra com ajuda do marcador de nível (1), é válido ressaltar que não há necessidade de considerar o peso da barra, do contrapeso e do suporte, pois o conjnto está equilibrado.
Figura 3 - Esquema teórico/experimental para o cálculo da força e de hcp
Água deve ser adicionada de forma cuidadosa até que toda a face plana esteja submersa e haja ainda uma coluna de água acima (cota h na figura 3.), a seguir adiciona-se a massa padrão de 500g, esta massa será reduzida a uma taxa de 50g por medida, e a cada nova massa água deve ser retirada do recipiente de modo a nivelar o corpo, quando isto for feito a medida de altura da água deve ser realizada, como mostra a Tabela 1 abaixo (em azul está totalmente submerso e em rosa parcialmente). Medida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Massa [g] 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50
h [mm] 165 153 142 130 118 105 93 79 64 44
A [m²] 7,500 7,500 7,500 7,500 7,500 7,500 6,975 5,925 4,800 3,300
[] 6,25 * 6,25 * 6,25 * 6,25 * 6,25 * 6,25 5,03 3,08 1,64 5,32
Tabela 1-
Medidas realizadas no laboratório
Para obtenção do erro utilizou-se:
7. Resultados 7.1. Montagem da Tabela 2 A Tabela 2 é passível de construção a partir das fórmulações e teorias citadas em 4.1., 4.2., e 4.3. 4
Medida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,11500 0,10300 0,09200 0,08000 0,06800 0,05500 0,04650 0,03950 0,03200 0,02200
-0,00725 -0,00809 -0,00906 -0,01042 -0,01225 -0,01515 -0,01550 -0,01317 -0,01067 -0,00733
8,4442028 7,5630686 6,7553622 5,8742280 4,9939093 4,0385318 3,1753874 2,2913161 1,5038024 0,7107816
Tabela 2 - Cálculo teórico e experimental das grandezas, usando
7.2 Gráfico de
0,12225 0,11109 0,10106 0,09042 0,08025 0,07015 0,06200 0,05267 0,04267 0,02933
0,12474 0,11352 0,10174 0,09074 0,08009 0,07200 0,06292 0,05561 0,04340 0,03377
Erro [%] 2,03965 2,18253 0,67466 0,35555 0,20686 2,63594 1,47787 5,58295 1,70761 15,13689
998 (⁄).
x
Para se analisar o erro obtido é recomendada a comparação gráfica entre e , quando estes valores são plotados em um gráfico é possível que se verifique o erro entre as medidas, com o artificio numérico de regressão linear, pretende-se observar uma reta com ângulo de inclinação próximo ao de 45°, pois espera-se que o valor das abscissas e das ordenadas sejam aproximadamente iguais, uma vez que se referem a uma mesma medida. Após realizar a regressão linear obteve-se um ângulo de 44,65° com erro angular estimado em 0,77%. A fórmula da reta de regressão foi:
Figura 4 - Gráfico da Reta de Regressão Linear
×
7.3 Explicação teórica sobre a localização do centro de pessão Para equilibrar a porção do momento de flexão da tensão que cresce linearmente com a altura de fluido sobre o ponto analisado, a força resultante F não atua pelo centróide, mas abaixo dele, na parte de maiores pressões.
Figura 5- Distribuição das forças hidrostáticas
8. Conclusão
Com este experimento pode-se avaliar de forma prática como a força hidrostática resultante atua nas superfícies submersas e a forma com que a alteração na altura da coluna de liquido influencia na força. Também se verifica que o ponto de atuação da força será sempre deslocado para baixo em relação ao centro de gravidade, para o equilíbrio das forças. Após a realização prática do teste observa-se que quando a teoria é confrontada com a prática obtem-se uma diferença muito pequena entre o e o , erro médio de 1,44%, o que atesta a consistência da análise física no caso do e do desenvolvimento teórico dos cálculos de . Estes valores quando avaliados linearmente, plotados juntos em um gráfico, espera-se que o resultado seja uma reta com ângulo de 45°, o valor obtido foi 46,13º com um erro aceitável de 2,5% causado por inexperiência do operador, valor da escala, variação da massa específica da agua com possível alteração na temperatura, bem como erro de paralaxe.
9. Referências Bibliográficas White, F. Mecânica dos Fluidos, McGraw Hill, RJ, 1991. Fox & McDonald. Introdução à Mecânica dos Fluidos , LTC. 5
