&.
El promedio de 3 números es 28, siendo / y dos de estos números. Eliminando estos dos números, el promedio de los restantes es: a&38 #&2 c&2 d&28 e&3
'.
El promedio aritm"tico de 3/ números es 2/, si se quita dos de ellos cuyo promedio aritm"tico es 49 6en cu*nto disminuye el promedio aritm"tico7 a&1 #&1, c&2 d&2, e&3
.
El promedio aritm"tico de 3 números impares consecutivos es 8. +allar la media 'eom"trica entre el menor y el mayor de dicos números. a& 13 3 #& 0 13 c& 30 d& 11 13 e& 28
.
;n camin de do#le carreta utilia para el transporte de contenedores 3/ llantas, si el coer desea que todas las llantas se des'asten uniorm emente y lleva adem*s 1/
PROMEDIOS Se denomina promedio o cantidad media a una cantidad representativa de otras varias cantidades. Este promedio es mayor que la menor cantidad y es menor que la cantidad mayor. Así, sean los números: a < a < a < ….. < a 1 2 3 n ⇒ a < promedio < a 1 n CLASES DE PROMEDIOS 1. Promedio Aritmético (P.A.)
Nota: Si tenemos slo dos cantidades A y ! al promedio aritm"tico, se le denomina tam#i"n media aritm"tica $%.A&.
llantas de repuesto para un via=e de // >m. 6-u*ntos >m. en promedio recorre cada llanta7 a& 3// >m #& 1// >m c& 1/ >m d& 2// >m e& // >m *.
Si la edad promedio de tres om#res es a5os y nin'uno de ellos tiene m*s de 8 a5os. 6-u*l es la edad mínima que puede tener uno de ellos7 a& #& c& / d& 8 e& 2
+.
El promedio aritm"tico de las edades de personas es 4 a5os. ?in'una de ellas es menor que . 6-u*l es la edad m*ima que podría tener uno de ellos7 a&81 #&3 c& d & e&8/
2. Promedio Geométrico (P.G.)
P. G. = a1. a 2 . a !.. . . . . . . a Nota: Si tenemos slo dos cantidades A y !, al promedio 'eom"trico se le denomina tam#i"n media 'eom"trica $%.(.&. M. G. ( A# ")
=
78
A. " 1,.
!. Promedio Arm$ico (P.%.) P. %. = 1 1 1 + +.......+ a1 a 2 a Nota: )ara dos cantidades A y ! se le denominar* media armnica $%.+.& M. %. =
2 1 A
+
1 "
⇒
M .%.=
2A. ". A
+
"
&. Promedio Aritmético Poderado Se utilia cuando los datos son presentados de manera 'rupal, conoci"ndose de cada 'rupo el número de elementos$n& y el promedio aritm"tico $)&.
@a edad promedio de personas es 3 a5os. Si nin'una de ellas es mayor que 34 a5os, 6cu*l es la mínima edad en común que pueden tener dos de ellas7 a& 22 #& 23 c& 24 d& 2 e&2 11. e los 2/ inte'r antes de un clu# de tiro, todos ellos siempre aciertan de 2 tiros para arri#a. 6-u*l ser* la m*ima cantidad común de aciertos que tres de ellos puedan o#tener para que el promedio sea 247 a& #&1/ c& d&4 e&0 12.
El promedio de 1// números consecutivos es 80,. +allar el número menor. a& 18 #& 1 c& 10 d& 2/ e& 2
1!.
El promedio de notas de un cole'io mito es 13,4. Si el promedio de los varones es 1,2 y el de las damas es 13,. -alcular en qu" relacin se encuentran los números de varones y damas. a& 2 a #& a 2 c& 3 a d& 3 a e& 3 a
1&.
El prome dio de notas de un eamen rendi do por 8/ alumnos ue 13. @os primeros 12 o#tuvieron un promedio de 18 y los 2/ últimos sacaron 1. 6-alcule el promedio de los restantes alumnos7 a& 1/ #& 1 c& 13 d& 11 e& 12
1'.
+alle , si el promedio 'eom"trico de los números: 2 22 y 4 es 28. a& 2 #& 3 c& d& e& 8
1.
6-u*l es el valor de BmC si el promedio 'eom"trico de las BmC primeras potencias de 3 es 8817 a& 1 #& 1 c& 18 d& 1 e& 2/
1.
6-u*l es el valor B>C, si el promedio 'eom"trico de las B>C primeras potencias de 2 es 32 2 7 a& 0 #& 1/ c& 11 d& 12 e& 13
1*.
-uantas ciras tiene la media 'eom"trica de la sucesin: 1/, 1/2, 1/3, ……………….. 1/10 a&1/ #&11 c&12 d&1 e&1
1+.
El promedio 'eom"trico de números pares dierentes es 6 3 . +allar el promedio aritm"tico de estos números.
PRÁCTICA DE CLASE 1.
2.
!.
-arlos tiene un promedio de 13 puntos en cuatro e*menes. Si la primera nota ecede a la última en dos. +allar la primera nota, si la se'unda y tercera son /0 y 11respectivamente. a&1 #&1 c&1 d&12 e&14 El promedio aritm"tico de las edades de tres personas es superior en una unidad al promedio aritm"tico de las edades de las dos primeras personas. Sa#iendo que la tercera persona tiene / a5os. 6-u*l es el promedio aritm"tico de las tres edades7 a& 34 #& / c& 2 d& e& 8 +allar el promedio aritm"tico de los múltiplos de 39 comprendidos entre 1 y 1/. a& 84, #& 4, c& 2, d& /, e& 3,
,
a& 2/
#& / y
c& 3/ d & 8/
e& /
a& 12,2
2,.
Si x + BC e ByC. a& 8
21.
@a media aritm"tica de y ab y ba es 889 si se cumple que: a 2D#2 0/. ar como respuesta la media 'eom"trica de BaC y B#C. a& 2 2 #& 2 c& 8 6 d& 3 3 e& 2
=
8 . +alle la suma de la %A y la %( de
#& 32
c& 18
d& 14
e& 0
3 22.
a b + = 4 . eterminar la ran 'eom"trica entre la b a media aritm"tica y la media armnica de a y #. a& #&2 c&3 d&F2 e&3F2
!'.
+allar dos números sa#iendo que su mayor promedio es 4 y su menor prom edio es 83F4. a r como respuesta la dierencia de dicos números. a&2 #&3 c& d& e&,
2&.
El mayor promedio de dos números enteros positivos es / y el menor promed io es 3,. ar como respuesta la suma de ciras de am#os números7 a& #& 4 c& 0 d& 1/ e& 11 @a media armnica de dos números es
4
4 /9
etermine la media armnica de los BnC números: 29 89 129 2/9 …. 9 2/ a& 1 #& 18F1 c& 1F18 d& 18 e& 18 2 +allar la media armnica de la si'uiente sucesin: 249 /9 13/9 2/49 ……9 1/ #& 138 c& 4 d& 1,38 e& ,4
;n automvil su#e una cuesta con una velocidad de 3/ >mF y desciende la misma con una velocidad de 8/ >mF. 6-u*l es el valor de la velocidad promedio7 $En >mF& a& #& / c& 3/ d& 3 e& 34,0
!.
;n avin so#revuela una pista que posee la orma de un tri*n'ulo equil*tero. El primer lado lo so#revuela a ran de G1 mFmin.9 el se'undo a ran de G 2 mFmin.9 y el tercero a ran de G 3 mFmin. Si G1, G 2 y G3 se encuentran en la mis ma relacin que lo s números 2, y y la velocidad media del avin en su recorrido total es de 38/mFmin. +allar G3. a& 8 mFmin. #& / mFmin. c& mFmin. d& mFmin. e& 0 mFmin.
!*.
El promedio de es ab8 . -alcular: %+$3a9#& a& 8 #& 1/ c& 11, d& 1 e& 18
!+.
El promedio armnico de tres números enteros es 2F11, el promedio aritm"tico es 4 y su promedio 'eom"trico es i'ual a uno de ellos multiplicados por la raí cú#ica de 8. -alcular el mayor de los números: a& 4 #& c& 12 d& 2 e& 18
&,.
Si la media armnica de $aH& y $1/H#& es i'ual a su media 'eom"trica. +allar $aD#&. a& 1/ #& 1 c& 18 d& 1 e& 12
, su
@a media aritm"tica de dos números, que se dierencian en 2/, ecede en a su media armnica, entonces el número mayor es: a& 4 #& c& / d& 38 e& 3/
2.
@a media 'eom"trica de dos nú meros enteros es 10 6 y su media armnica y aritm"tica son dos números consecutivos. +allar la dierencia de los números7 a&4 #& c&/ d&38 e&3/
2*.
Si la %.A. y %.+. de dos números est*n en la misma relacin que 2 y 0. +allar el menor valor de la %.(. a&2 #&3 c& d&8 e&0
2+.
@a ran entre la media aritm"tica y la media 'eom"trica de dos números es :. +allar la ran entre la media aritm"tica y la media armnica de dicos números. a& : #& 18:0 c& 2:18 d& 2:2 e& 1:1
!,.
)ara dos números cuya dierencia de sus cuadrados es 1, se cumple que la relacin entre su promedio armnico y su promedio aritm"tico es equivalente a 1F18. +allar su promedio 'eom"trico. a& 15 #& 10 c& 2 30 d& 3 20 e& 3
e& 12,8
!.
media 'eom"trica resulta 2 5 y la dierencia de dicos números es 1. 6-u*l es el valor del número mayor7 a& #& 3 c& d& e&0 2.
c& 12, d& 12,4
a& 84
Si
2!.
2'.
!&.
#& 12,
15
!1.
)ara 2 números se cumple que su %+ es i'ual a la cuarta parte de uno de ellos y la dierencia de su %A y %+ es 0/. +allar la dierencia de dicos números. a& 24/ #& 2// c& 18/ d& 2/ e& 2/
!2.
@a dierencia de las inversas de las medias armnicas y aritm"tica de dos números consecutivos es a la dierencia de la media aritm"tica y armnica como es 1 a 8. +allar la media 'eom"trica de dicos números. a& 2 #& 6 c& 5 d& 42 e& 2 5
!!.
+allar el promedio aritm"tico de 8 números enteros consecutivos, sa#iendo que la media armnica del mayor y el menor es 12. 88
