VECTORES
1.
&.
%.
A
Dado los los vec vectores A, A, B, C, C, D, E, E, F y G que que se muestran en la figura, determinar el modulo del vector resultante si C = 5 y F = !. "#ta. " = 1$,%5.
D 60° F E
C B G
En el el #rime #rimerr cuadran cuadrante te de de un sist sistema ema de de coorde coordenada nadass '( se encue encuentr ntraa un vect vector or A de )m de longitud y que *ace con el e+e ( un -ngulo de %5. En el segundo cuadrante cuadrante un vector B de 1&m de longitud que *ace con el e+e /' un -ngulo de &$ y en el cuarto cuadrante cuadrante un vector vector C de 15m de longitud longitud que *ace con el e+e /( un -ngulo -ngulo de %0. Encontrar a2 3a re#resen re#resentac taci4n i4n de cada vector vector en dic*o dic*o sistema sistema de coordena coordenadas. das. "#ta. "#ta. A = 5,& i$,! + B = 16,$ i5,5 + C= 7,7 i 1&,1+ 82 El vector resultante y su magnitud. "#ta. "= %,%i 6,07 + y %,%0 c2 El -ngul -nguloo que forma formann los vecto vectores res 9=AB 9=AB y :=B :=BC. C. "#ta. "#ta. 1%1,% 1%1,% Det Determinar el mod modulo del vector resu resulltant ante de los vectores que se muestran en la figura, si B = 15 y el -ngulo -ngulo entre entre A y C es )6. )6. "#ta. %0
A 53°
B
E
C
D
G F
!.
Dado los Dado los vecto vectore ress fuer; fuer;aa que se mues muestr tran an en la figu figura ra,, deter determi mina narr el modul moduloo del vector resultante si D = 5 y G = %. "#ta. 1%,%! E F G 37°
C D
A
5.
B
Dado Dado los los vect vector ores es que que se se mue muest stra rann en la la figu figura ra de de m4d m4dul ulos os F1 = 5, F & = 15 y F% = 16. Y F1 a2 E<#resar cada vector en funci4n de los vectores unitarios i y +. 20° 82 Determinar el vector & F1 F&2 F% F3 30° c2 Dete Determ rmiinar nar el el #rod #roduc ucto to F1> F& 45°
X F2
"#ta. a2 F1 = !,%%i &,5+ F& = 16,01i / 16,01+ F% = ),!i / %,!&+ 82 &1,)0i &&,7+ c2 1), !1 0.
Z B
Determinar la magnitud del vector resultante de los vectores que se muestran en la figura, si la diagonal del cu8o vale !?% m. "#ta. !
C D
Y
A X
$.
Dado los vectores A y B, determinar a2 El vector unitario en el sentido negativo del vector A &B2. "#ta. + 82 El -ngulo entre los vectores A y B. "#ta. !!,7
Y B
3 1
7.
).
16.
En la figura se muestra los vectores A, B y C. @i el lado del cuadrado vale 1m. a2 E<#resar cada vector en funci4n de los vectores unitarios i y +. 82 82 Determinar un cuarto vector D tal que AB&C = D. "#ta. a2 A = &i&+ B = %+ C = 5i%+ 82 D = 7i5+
YA 0
A 2 X
1
X B
Y(m) 3as figuras muestran un rect-ngulo de lados %m y 5m y un triangulo equil-tero de &5cm A de lado. Determinar a2 3os vectores AB, B, AC y BC. 3 82 3os vectores F y FG. c2 El vector F &FG2 0 5 "#ta. a2 5 i, 5 i% +, % + 82 1&,5 i &1,$ + y 1&,5 i &1,$ + c2 1&,5 i 05 +
C
Y(cm) F B
C X(m) 0
Dado los vectores A, B y C que se muestran en la figura, determinar a2 3a re#resentaci4n en el sistema de coordenadas cartesianas de loa vectores A, B y C. Z 82 El vector " = A B C c2 El vector unitario en la direcci4n del vector ". A d2 El -ngulo formado entre el vector " y el vector 4 D = !i !+ !. 4
X
G X(cm)
C
4
B
Y
"#ta. a2 A = !i B= !+ c2 C = !i ! 82 " = !+ ! c2 u" = 6,$1+ 6,$1 11.
Z
En la figura se muestran un cu8o de lado &u y los vectores A, B y C, determinar a2 El vector @ = A B C 82 El -ngulo entre los vectores A y C c2 3a e<#resi4n vectorial de un vector de modulo %6u a lo largo del vector B. "#ta. a2 @ = &i !+ 0 82 = 5!,$! c2 &1,&+ &1,&
A B C Y X Y
1&.
3a figura muestra los vectores A, B y C, que tienen magnitudes A = !, B = 5 y C = &. Determinar a2 3os vectores A, B y C en trminos de los vectores i , + y . 82 El vector D = A / &B C2. c2 n vector unitario en la direcci4n y sentido que D. "#ta. a2 A = %,&i &,!+ 82 ),&i $,0+ B = %i !+ c2 6,$$i / 6,0!+ C = &+
A C
37° X
B 127°
1%.
Dado los siguientes vectores A = %i &+, B = &i%+& y C = !+ %, reali;ar las siguientes o#eraciones a2 " = &A B /%C y encontrar el -ngulo que forma con el e+e <. 82 @ = A / &B y encontrar el -ngulo que forma con el e+e y. c2 D= " @ d2 El -ngulo que forman los vectores " y @. "#ta.a2 " = !i 11+ 11 82 @ = $i 7+! c2 D= %i1)+15 d2 = 1&!,7
1!. 3a figura muestra tres vectores A, B y C, 8icados en un sistema de coordenadas cartesiano en un #lano. @us direcciones y sus magnitudes, en netons, se dan en la figura mostrada. Determinar a2 3os vectores A, B y C en trminos de los A = 25N Y vectores unitarios i y + 82 El vector " = %A / &C B B =15N c2 El -ngulo que forma el vector A con el vector 52o " 39o X d2 El vector 9 = A.B 2C / %B 27o C = 12N
"#ta. a2 A = 15.%) i 1).$6 + , B = 11.00 i ).!! + C = 5.!5 i 16.0) +. 82 !5.!1 i !$.10 + c2 5.7$o d2 $6.56i / )7.6& + 15. 3os m4dulos de los vectores que se muestran en la figura son F1 = 5, F& = 16, F% = 15. Determinar a2
→
→
→
F1, F2, F3
82 El vector
en trminos de los vectores unitarios →
2 F1
→
+
F2 −
1 2
F2 →
i
y
y
F1
o
37
53o
→
j
x o
→
53
1 #unto2
F3
c2 n vector unitario en la direcci4n del vector
→ → F1+ F3
F3
"#ta. a2 F1 = % i! + , F& = 7 i / 0 + , F% = ) i / 1& + 82 0.5 i 7 + c2 6.7%i / 6.55 + 10. 3a figura muestra los vectores A, B y C, que tienen magnitudes A y = !, B =5 y C =&. Determinar a2 3os vectores A, B y C en trminos de los vectores i , + . 82 El vector D = &A B /C 1#2. C c2 n vector unitario en la direcci4n de B . B "#ta. a2 A = %.& i &.! + , B = %i !+ , C = & + 127o 82 %.! i 16.7 +. c2 6.0 i 6.7 +
A 37 o
x
1$. @e tienen los siguientes #untos en el es#acio cuyas coordenadas son 91,%,62, :6,6, 12, "&,%,12 y @!,6,12 metros. Encontrar E<. @ust &66%12 a2 El vector A que va desde el #unto 9 a :. 82 El vector B que va desde el #unto : a ". c2 El vector C que va desde el #unto @ a ". d2 "eali;ar la siguiente o#eraci4n A . B2 C % B C2. A . B2 C % B C2 e2 El -ngulo que forma el vector A B2 con el vector C. "#ta. a2 i %+ / . 82 &i %+ &. c2 0i %+. d2 %6i )+ / 0. e2 θ = %$.$
17.
@e dan los siguientes vectores A
=
%iH − & jH
−
H !iH + %k H C = %iH − k
B
= −
Encontrar a2 El vector R % A &= B %C 2 82 El vector S = A B 2C = B C 2 A c2 El -ngulo entre los vectores R y S . =
=
−
•
+
−
•
H !k
1). Dado los vectores que se muestran en la figura de m4dulos F1 = F% = &6 a2 E<#resar cada vector en funci4n de los vectores unitarios Hi y H + & #untos2 82 Determinar el vector & F1 − F& 2 c2 c2 Determinar un vector unitario en la direcci4n del vector F + F 2 1
5
& ,
F & = 16 y
%
&6. 3a figura muestra los vectores A, B y C, cuyas magnitudes son 56 u, 16 u y &6 u res#ectivamente. Encontrar a2 El vector @ = A B C 82 El vector " = A B. C2 / B A. C2 c2 El -ngulo que forman los vectores " y @
&1. Dado los vectores que se muestran en la figura, en donde el lado del cuadrado vale 1u, determinar a2 El vector resultante en funci4n de los vectores i y +. 82 El vector unitario en la direcci4n del vector 9 =&A B.
&&. 3a figura muestra los vectores A, B, C , D y E . @i los m4dulos determinar el modulo de la suma de los vectores mostrados.
C = E = 5 N ,
&%. Dado los vectores A y B tal que A + B = &i + % j y A − B = !i + 5 j , determinar a2 3os vectores A y B 1 #to2 82 n vector unitario en la direcci4n y sentido del vector P = A + &B &!. Con los vectores de la figura, determinar a2 3os vectores A, B , C y D en trminos de los vectores unitarios i , + . 82 @ = A B C / D 1#2 c2 B / C2. A 1#2 d2 n vector unitario en la direcci4n de A B2.
y
A 1.5m o 40
C 25o
1.0m
D 1.5m
2.0m
B
19o x
&5. Dado los vectores A=i/ B=%+/! C=%i&+/! D=% Encontrar a2 El vector 9 = A / B2.B C22 A & #untos2. 82 n vector unitario en la direcci4n de : = A / B C / D. &#untos2. c2 El -ngulo entre los vectores 9 y C & #untos2. &0. En el #lano '( se muestran los vectores A, B, C, y D cuyas magnitudes son todas iguales a 16 unidades. Encontrar
3a re#resentaci4n de cada vector, en trminos de los vectores unitarios i, +, en el sistema de coordenadas cartesianas mostrado. 1#2 a2 El vector " = & A / & D C B 1#2 82 El vector : = [ A B 2. C D2 ] D. 1#2 c2 El -ngulo entre los vectores " y A. 1#2 &$. Dado los vectores A y B que se muestran en la figura y el vector C = & i 8 +. Determinar
a2 3os vectores A y B e<#resados en trminos de los vectores unitarios i y + 1#2 82 n vector unitario en la direcci4n y sentido de A & B2 c2 El valor de I8J en el vector C, tal que C sea #er#endicular al vector A & B2 & #2 &7. @e tienen los vectores A=% i!+/ 5
B = ! i / 0 + 16
Encontrar a2 El vector " = A.B2 A / B2 1 #unto2 82 3a magnitud y el -ngulo que *ace el vector " con el e+e ' 1 #unto2 c2 El -ngulo que *acen los vectores " y A. 1,5 #unto2 d2 El -ngulo que *acen los vectores A y B. 1 #unto2 &). Dados los vectores a y b K cuyas magnitudes son res#ectivamente. Lalle el vector unitario del vector a b .
a
=
%
1! N
y
b
=
1% N
−
z (0;0;2 )
y
b (6;4;0 ) x
%6. En la figura el vector A es de modulo 15 u. ( el vector B su modulo 16 u. Lallar a2 E<#resar A y B en forma vectorial. 1 #unto2 82 El -ngulo formado #or los vectores A y B. & #untos2 c2 n vector #er#endicular al #lano formado #or los vectores A y B. & #untos2. %1. Dado los vectores A=!i/ !+ ! B=5i! C = 0 i / ! + 7 Encontrar a2 El vector 9 = A.B2 C / B.A2 B. & #untos2 82 El vector : = A / B2.B C2 A. & #untos2 c2 El -ngulo entre los vectores 9 y :. 1 #unto2 Z B
%&. 3a figura muestra las fuer;as F1= %56 y F &= 1&6 , a#licadasC en los vrtices del F2
A
D
2,0
4,0
0 3 , F X
Y
F1 E
#aralele#M#edo. Estas siguen las direcciones de las diagonales de las caras. Determine ! #2 a2 3os vectores F1 y F& 82 El #roducto escalar F1NF& c2 El #roducto vectorial F1× F& d2 El -ngulo que forman F1 y F&
%%. Dado los vectores A = !i + % j ,
B = − %i + & j
y
C = ai − % j . Determinar
a2 El #roducto escalar A • B . &#tos2. 82 El -ngulo formado entre A y B . 1#to2 c2 El valor de IaJ tal que el vector A sea #er#endicular al vector C . 1#to2 d2 n vector unitario en la direcci4n y sentido del vector C . 1#to2 %!. Dado el vector A = − %i + 5 j y los vectores determinar a2 El vector S = A + B + C . & #tos2 82 El vector D = ai + % j tal que D ⊥ B 1#to2 c2 El -ngulo entre D y A . 1 #to2
B y C que
se muestran en la figura,
%5. 3a figura muestra cuatro vectores en el #lano '(. D, 12
A! "
50# 35#
C, 6 B, 10
Encontrar a2 3a re#resentaci4n de cada vector en funci4n de los vectores unitarios i y +. 1 #unto2 82 Lallar el vector 9 = OA / B2.CP D. & #untos2 c2 El -ngulo entre el vector 9 y el vector D. 1 #unto2 %0. 3a figura mostrada, los m4dulos de los vectores son = 16u, F = &6 u y el -ngulo θ = %$. Encuentre 592.
A
a2 3os vectores A y F 82 El vector R = A + B + C + D c2 El -ngulo que forma el vector R con
F
