PROBLEMAS DE PROBABILIDADES Libro: Probabilidad e Inferencia Estadística Autores: Rufino Moya C. Gregorio Saravia A. Editorial: San Marcos Año: 1998 País: Perú Ejemplo 22 (pág. 82) En una carrera de caballos, el caballo “Claudio” tiene las apuestas %.1 en su contra, mientras que el caballo “Royal” las tiene 9:1 en su contra ¿Cuál es la probabilidad que cualquiera de estos caballos gane? Solución: Sean los eventos: C: “el caballo Claudio gane la carrera” R: “el caballo Royal gane la carrera”
p(R) =
Entonces: p(C) =
Luego, p [CUR] = p [C] + p [R] =
Ya que C y R son eventos mutuamente excluyentes. Ejemplo 1 (pág. 95) La probabilidad que llueva en Huancayo el 12 de octubre es 0.10 de que truene 0.05 y que llueva y truene es 0.03 ¿Cuál es la probabilidad que llueva o truene ese día? Solución: Definimos los siguientes eventos: A: “llueva en Huancayo Huancayo el 12 de octubre” B: “truene el 12 el octubre” C: “llueva o truene ese día”
Entonces: p [A] = 0.10 p [B] = 0.05 y p [A∩B] = 0.03 El evento C se describe C= AUB, y p [C] = p [AUB] = p [A] + p [B] - p [A∩B] p [C] = 0.10 + 0.05 - 0.03 p [C] = 0.12 Ejemplo 5 (pág. 118) En una universidad el 70% de los estudiantes son de ciencias y el 30% de letras; de los estudiantes de ciencias el 60% son varones y los de letras son varones el 40%. Si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad que: a) b) c) d)
Sea un estudiante varón. Sea un estudiante varón, si es de ciencias. Sea un estudiante de ciencias, si es varón. Sea un estudiante de ciencias y varón.
Solución: La información contenida en el enunciado, la resumimos en una tabla con dos entradas. Es claro que el 42% de estudiantes son varones y estudian ciencias, este porcentaje lo obtenemos a partir del hecho de que el 60% de los de ciencias son varones; es decir, el 60% del 70% del total. En forma análoga se obtuvieron los otros porcentajes. Definimos ahora los eventos: A: “el estudiante elegido es de ciencias” B: “el estudiante elegido es varón” sexo especialidad CIENCIAS LETRAS TOTAL
HOMBRE
MUJER
TOTAL
42% 12% 54%
28% 18% 46%
70% 30% 100%
a) p(B) = 0.54
b) p [B/A]= c) p [A/B]=
d) p [A∩B] = 0.42
Ejemplo19 (pág. 132) Un grupo consta de 5 hombres y 10 mujeres se dividen al azar en cinco grupos de 3 personas cada uno. Calcular la probabilidad que en cada grupo haya un hombre. Solución: Definimos los siguientes eventos: Ai = “en el grupo i haya un hombre (i=1, 2, 3, 4, 5)”. A = “en cada grupo de 3 personas haya un hombre” El evento A se escribe así, A= A1 A2 A3 A4 A5. Luego. p [A]= p [A1] p [A2/ A1] p [A3/ A1 A2] p [A4/ A1 A2 A3] p [A5/ A1 A2 A3 A4]
)() ()() ()() ()() ( = ( ) ( ) () () =
= = 0.081 Ejemplo 13 (pág. 162) En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en el proceso B hay un 25% de defectuosos. En una muestra de 200 productos del proceso A y 100 del proceso B. a) Si se extrae un producto al azar, hallar la probabilidad que se defectuoso. b) Si al extraer el producto resultó defectuoso, halla la probabilidad de que sea del proceso A. Solución: Sean los siguientes eventos: A: “el producto es del proceso A” B: “el producto es del proceso B” d: “el producto es defectuoso” đ: “el producto es no defectuoso”
Ω = AUB. Es decir, A y B forman una partición de Ω.
0.20
d
A 0.80
0.25
đ d
B 0.75
đ
a) Debemos calcular p [d]. Este evento se describe D = Ad U Bd y por el teorema de probabilidad total es: p [d] = p [Ad] + p [Bd] = p [A].p [d/A] + p [B].p [d/B]
p [d] = p [d] =
b) Por el Teorema de Bayes se tiene:
p [A/d] =
Libro: Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Administración (3ra edición) Autores: William W. Hines Douglas C. Montgomery Editorial: Compañía Editorial Continental, S.A de C.V Año: 1995 País: México
Ejemplo 2.28 (pág. 54) Se sabe que en un lote de producción de tamaño 100, el 5% es defectuoso. Una muestra aleatoria de 10 artículos se selecciona sin reemplazo. Para determinar la probabilidad de que no habrá artículos defectuoso en la muestra, recurriremos a contar tanto el número de muestras posibles, como el número de muestra posibles es
( )=. El número “favorable a A” es ()()
Por lo que:
)() ( =0.58375 p(A) = = ( ) Ejemplo 2.30 (pág. 57) En la segunda guerra mundial, uno de los primeros intentos de investigación de operaciones en la Gran Bretaña se orientaba establecer patrones de búsqueda de submarinos desde vuelos de escuadrones o mediante un solo avión. Por algún tiempo, la tendencia fue concentrar los vuelos en las costas, pues se pensaba que el mayor número de avistamientos ocurría ahí. El grupo de investigación estudió 1000 registros de vuelos de un solo avión con los siguientes resultados (los datos son ficticios): Observación No observación Total de salidas
En la playa 80 820 900
Fuera de la costa 20 80 100
total 100 900 1000
Sea: S1: hubo un avistamiento
B1: salida solitaria en la costa
S2: no hubo avistamiento
B2: salida solitaria en alta mar.
Vemos de inmediato que: p(
=
=
p(
Lo cual indica una estrategia de búsqueda contraria a la primera práctica. Ejemplo 2.31 (pág. 60) Supóngase que se va a seleccionar una muestra aleatoria de tamaño 2 de un lote de tamaño 100, y que se sabe que 98 de los 100 artículos se encuentran en buen estado. La muestra se toma de manera que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo. Si aceptamos que: A: el 1º artículo observado está en buen estado. B: el 2º artículo observado está en buen estado. Y deseamos determinar la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, entonces:
p (A∩B) = p(A). p (B) =
Si la muestra se toma “sin reemplazo” de modo que el 1º artículo no se regresa antes de seleccionar el 2º, entonces:
p (A∩B) = p(A). p (B/A) =
Los resultados son obviamente muy cercanos, y una práctica común es suponer que los eventos son independientes cuando la fracción de muestreo (tamaño de la muestra/tamaño de la población) es pequeña, digamos menos que 1 (muestreo < 1). Ejemplo 2.35 (pág. 65) Tres industrias suministran microprocesadores a un fabricante de equipos de telemetría. Todos se elaboran supuestamente con las mismas especificaciones. No obstante, el fabricante ha probado durante varis años los microprocesadores, y los registros indican la siguiente información: Instalación Proveedora 1 2 3
Fracción de defectos 0.02 0.01 0.03
Fracción suministrada por 0.15 0.80 0.05
El fabricante ha interrumpido las pruebas por causa de los costos involucrados, y puede ser razonable suponer que la proporción defectuosa y la mezcla de los inventarios son las mismas que durante el mismo periodo en el que se efectuaron los registros. El director de manufactura selecciona un microprocesador al azar, lo lleva al departamento de pruebas, descubre que esta defectuoso, y si el evento en el artículo provino de la instalación i (i=1, 2, 3), podemos evaluar; entonces p (Bi/A). Supóngase por ejemplo, que nos interesa determinar p (B3/A). Entonces:
p( = =
