Principio de Bernoulli De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación navegación,, búsqueda Para el teorema matemático enunciado por Jakob Bernoulli, véase Teorema de Bernoulli. Bernoulli.
Esquema del Principio de Bernoulli. El principio de Bernoulli , también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli , describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente.. Fue expuesto por Daniel corriente por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica obra Hidrodinámica (1738 1738)) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento rozamiento)) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: 1. Cinética: Cinética: es es la energía energía debida debida a la velocidad velocidad que posea posea el el fluido. fluido. 2. Potencial Potencial gravita gravitacional cional:: es la energía energía debido debido a la altitud altitud que un fluido fluido posea. posea. 3. Energía Energía de flujo: flujo: es la energía energía que un fluido fluido contiene contiene debido debido a la presión presión que posee. posee. La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.
donde: • • • • •
V = V = velocidad del fluido en la sección considerada. g = g = aceleración gravitatoria z = z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. P = P = presión a lo largo de la línea de corriente. ρ = densidad del fluido.
Para aplicar la ecuación se deben deb en realizar los siguientes supuestos: •
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Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido. Caudal constante Flujo incompresible, donde ρ donde ρ es constante.
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La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo irrotacional
Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler . Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería.
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1 Características y consecuencias 2 Ecuación de Bernoulli y la Primera Ley de la Termodinámica 2.1 Suposiciones o 2.2 Demostración o 3 Aplicaciones del Principio de Bernoulli
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4 Véase también
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[editar] Características y consecuencias Cada uno de los términos de esta ecuación tienen unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de longitud, y se habla de altura o cabezal , esta última traducción del inglés head. Así en la ecuación de Bernoulli los términos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico, del inglés hydraulic head ; el término z se suele agrupar con P / γ para dar lugar a la llamada altura piezométrica o también carga piezométrica.
También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por γ, de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica , los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática .
Esquema del efecto Venturi.
o escrita de otra manera más sencilla: q + p = p0 donde
• • •
p = P + γ z p0 es una constante-
Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:
Así el principio de bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía, es decir, en una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos.
Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica porqué las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehículo pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.
[editar] Ecuación de Bernoulli y la Primera Ley de la Termodinámica De la primera ley de la termodinámica se puede concluir una ecuación estéticamente parecida a la ecuación de Bernouilli anteriormente señalada, pero conceptualmente distinta. La diferencia fundamental yace en los límites de funcionamiento y en la formulación de cada fórmula. La ecuación de Bernoulli es un balance de fuerzas sobre una partícula de fluido que se mueve a través de una línea de corriente, mientras que la primera ley de la termodinámica consiste en un balance de energía entre los límites de un volumen de control dado, por lo cual es más general ya que permite expresar los intercambios energéticos a lo largo de una corriente de fluido, como lo son las pérdidas por fricción que restan energía, y las bombas o ventiladores que suman energía al fluido. La forma general de esta, llamémosla, "forma energética de la ecuación de Bernoulli" es:
donde: • • •
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γ es el peso específico (γ = ρ g ). W es una medida de la energía que se le suministra al fluido. h f es una medida de la energía empleada en vencer las fuerzas de fricción a través del recorrido del fluido. Los subíndices 1 y 2 indican si los valores están dados para el comienzo o el final del volumen de control respectivamente. g = 9,81 m/s2 y gc = 1 kg·m/(N·s2)
[editar] Suposiciones La ecuación arriba escrita es un derivado de la primera ley de la termodinámica para flujos de fluido con las siguientes características. •
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El fluido de trabajo, es decir, aquél que fluye y que estamos considerando, tiene una densidad constante. No existe cambio de energía interna.
[editar] Demostración
Escribamos la primera ley de la termodinámica con un criterio de signos termodinámico conveniente:
Recordando la definición de la entalpía h = u + Pv, donde u es la energía interna y v se conoce como volumen específico v = 1 / ρ. Podemos escribir:
que por la suposiciones declaradas más arriba se puede reescribir como:
dividamos todo entre el término de la aceleración de gravedad
Los términos del lado izquierdo de la igualdad son relativos a los flujos de energía a través del volumen de control considerado, es decir, son las entradas y salidas de energía del fluido de trabajo en formas de trabajo (w) y calor (q). El término relativo al trabajo w / g consideraremos que entra al sistema, lo llamaremos h y tiene unidades de longitud, al igual que q / g , que llamaremos h f quién sale del sistema, ya que consideraremos que sólo se intercambia calor por vía de la fricción entre el fluido de trabajo y las paredes del conducto que lo contiene. Así la ecuación nos queda:
o como la escribimos originalmente:
Así, podemos observar que el principio de Bernoulli es una consecuencia directa de la primera ley de la termodinámica, o si se quiere, otra forma de esta ley. En la primera ecuación presentada en este artículo el volumen de control se había reducido a tan solo una línea de corriente sobre la cual no habían intercambios de energía con el resto del sistema,
de aquí la suposición de que el fluido debería ser ideal, es decir, sin viscosidad ni fricción interna, ya que no existe un término h f entre las distintas líneas de corriente.
Johnmaism
Pascal: esta es: p = po + ρ g h p = presión en un punto dado po = presión atmosférica sobre el nivel de líquido ρ = densidad del líquido g = aceleración de la gravedad h = profundidad del punto considerado
INTRODUCCIÓN Los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos son el balance de materia, o ecuación de continuidad, las ecuaciones del balance de cantidad de movimiento y el balance de energía mecánica. Pueden escribirse de forma diferencial, mostrando las condiciones en un punto del interior de un elemento de volumen, o bien de forma integrada, aplicables a un volumen o masa finitos de fluido. La hidrodinámica es la parte de la física que estudia el movimiento de los fluidos. Este movimiento está definido por un campo vectorial de velocidades correspondientes a las partículas del fluido y de un campo escalar de presiones, correspondientes a los distintos puntos del mismo. Existen diversos tipos de fluidos: Flujo de fluidos a régimen permanente o intermitente: aquí se tiene en cuenta la velocidad de las partículas del fluido, ya sea esta cte. o no con respecto al tiempo Flujo de fluidos compresible o incompresible: se tiene en cuenta a la densidad, de forma que los gases son fácilmente compresibles, al contrario que los líquidos cuya densidad es prácticamente cte. en el tiempo. Flujo de fluidos viscoso o no viscoso: el viscoso es aquel que no fluye con facilidad teniendo una gran viscosidad. En este caso se disipa energía.
Viscosidad cero significa que el fluido fluye con total facilidad sin que haya disipación de energía. Los fluidos no viscosos incompresibles se denominan fluidos ideales. Flujo de fluidos rotaciones o irrotacional: es rotaciones cuando la partícula o parte del fluido presenta movimientos de rotación y traslación. Irrotacional es cuando el fluido no cumple las características anteriores. Otro concepto de importancia en el tema son las líneas de corriente que sirven para representar la trayectoria de las partículas del fluido. Esta se define como una línea trazada en el fluido, de modo que una tangente a la línea de corriente en cualquier punto sea paralela a la velocidad del fluido en tal punto. Dentro de las líneas de corriente se puede determinar una región tubular del fluido cuyas paredes son líneas de corriente. A esta región se le denomina tubo de flujo. Esta rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento, es enormemente compleja, por lo cual el objetivo principal es determinar los distintos aspectos más importantes de la hidrodinámica. ECUACION FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE FLUIDOS. Para llegar a ella se trata que sobre un fluido actúan dos tipos de fuerzas: las de presión, por las que cada elemento de fluido se ve afectado por los elementos rodantes, y las fuerzas exteriores que provienen de un campo conservativo, de potencial V. ECUACION DE CONTINUIDAD. Esta expresión expresa la idea de que la masa de fluido que entra por el extremo de un tubo debe salir por el otro extremo. En un fluido en movimiento, las moléculas poseen una velocidad determinada, de forma que para conocer el movimiento del fluido, hace falta determinar en cada instante su correspondiente campo de velocidades. En dicho campo es donde se obtiene el llamado tubo de corriente. El tubo de corriente es, por tanto, el espacio limitado por las líneas de corriente que pasan por el contorno de una superficie, situada en el seno de un líquido. Para obtener la expresión de continuidad hay que partir de un elemento de volumen en forma de paralelepípedo de elemento de volumen dV, y lados dx, dy y dz.
Tratamos una pequeña masa de fluido que se mueve en un tubo. En la posición 2, con una sección de valor A2, el fluido tiene una rapidez v2 y una densidad 2.Corriente abajo en la posición A las cantidades son A1 , v1 y 1 . Puesto que ningún fluido puede atravesar las paredes del tubo, entonces el gasto másico debe ser el mismo entre los dos puntos. Matemáticamente: A2 v2 2 = 1 A1 v1 Esta ecuación es una particularidad de la ecuación de continuidad y está definida para el caso de fluidos incompresibles, es decir de densidad constante y estacionaria, por tanto, la velocidad en cada punto es siempre la misma, aunque varíe de unos puntos a otros. ECUACION DE BERNUILLI. Para el caso de un flujo irracional a régimen permanente de un fluido incompresible no viscoso, es posible caracterizar el fluido en cualquier punto de su movimiento si se especifica su rapidez, presión y elevación. Estas tres variables se relaciona con la ecuación de Bernuilli (1700-1782). En este caso hay que tener en cuenta dos consideraciones: Siempre que un fluido se desplace en un tubo horizontal y se encuentre en una región donde se reduce la sección transversal entonces hay una caída de presión del fluido. Si el fluido se somete a un aumento en su elevación, entonces la presión en la parte inferior es mayor que la presión en la parte superior. El fundamento de esta afirmación es el estudio de la estática de fluidos. Esto es verdad siempre y cuando no cambie la sección transversal del tubo. La ecuación de Bernuilli se postula como: “en dos puntos de la línea de corriente en un fluido en movimiento, bajo la acción de la gravedad, se verifica que la diferencia de las presiones hidrodinámicos es igual al peso de una columna de fluido de base unidad y altura la diferencia entre los dos puntos”. La ecuación de Bernuilli tiene las siguientes propiedades: modificar la altura significa una compensación en la variación de la presión o en la velocidad La velocidad en un tubo de sección constante es también constante. El pío. De conservación de energía permite utilizar la ecuación en tubos rectos
y de sección transversal constante o en tubos de sección variable. Para aplicar esta ecuación s esencial identificar las líneas de corriente y seleccionar unas estaciones definidas agua arriba y abajo en el fluido. Las estaciones se eligen por conveniencia. Imagen Ecuación de Bernulli 3.2. TEOREMA DE TORRICELLI. Es una aplicación de Bernuilli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida e un liquido por un orificio. “la velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio”: v = " 2gh Esquema Teorema de Torricelli REGIMEN LAMINAR Y TURBULENTO. REGIMEN LAMINAR Y TURBULENTO. Un régimen es laminar cuando considerando en ella capas fluidas, estas se deslizan unas respecto a otras con diferente velocidad. Este régimen se forma a velocidades bajas. Aquí no existen movimientos transversales ni torbellinos. El régimen es turbulento, cuando en el seno del fluido se forman remolinos. Esta turbulencia se puede formar de diferentes formas, ya sea por contacto con sólidos (turbulencia e pared9 o por contacto con otras capas de fluidos (turbulencia libre). El flujo turbulento consiste en un conjunto de torbellinos de diferentes tamaños que coexisten en la corriente del fluido. Continuamente se forman torbellinos grandes que se rompen en otros más pequeños. El tiempo máximo del torbellino es del mismo orden que la dimensión mínima de la corriente turbulenta.
Un torbellino cualquiera posee una cantidad definida de energía mecánica como si se tratase de una peonza. La energía de los torbellinos mayores procede de la energía potencial del flujo global del fluido. Desde un punto de vista energético la turbulencia es un proceso de transferencia, en el cual los torbellinos grandes, formados a partir del flujo global, transporta la energía de rotación a lo largo de una serie continua de torbellinos más pequeños. Por tanto estamos ante una consecuencia del teorema trabajo-energia. En una interfase solido-líquido la velocidad del fluido es cero y las velocidades cerca de la superficie son necesariamente pequeñas. El flujo en esta parte de la capa límite muy próximo a la superficie es laminar. A mayor distancia de la superficie, las velocidades del fluido pueden ser relativamente grandes y en esta parte puede llegar hacerse turbulento. Imagen Régimen Laminar
Imagen Régimen Turbulento LEY DE POISEUILLE. Se define viscosidad a la resistencia opuesta por los fluidos al movimiento en alguna de sus partes. Por el fenómeno de la viscosidad, la velocidad de los fluidos por los tubos crece de las paredes al centro del tubo, ya que en los puntos pegados a la pared, el fluido se adhiere a ella frenándose por su viscosidad. Por efecto de esta viscosidad, hay una perdida de carga a lo largo del tubo. Por esto a la formula de Bernuilli hay que sumarle un termino referido a la perdida de carga y que se denota por hf representando la perdida de carga por frotamiento. Hay diferentes ecuaciones que tiene en cuenta la variable viscosidad como son las ecuaciones de Navier. Gracias a su expresión se puede obtener la llamada ley de Poiseuille: “el caudal de fluido por un tubo cilíndrico en régimen laminar, es directamente proporcional a la cuarta potencia del radio, R, y a la diferencia de presiones entre la parte superior del tubo e inferior p, e inversamente proporcional a la longitud de este, l, y al coeficiente de viscosidad del líquido, ”. G = (R4 p) / (8l)
NÚMERO DE REYNOLDS La distinción entre los dos tipos de flujos fue inicialmente demostrada por Reynold en 1883. Sumergió un tubo horizontal de vidrio en un tanque de vidrio lleno de agua; el flujo de agua a través del tubo se podía controlar mediante una válvula. La entrada del tubo controlaba la entrada de un fino haz de agua coloreada en la entrada de corriente del flujo. Reynolds encontro que para bajas velocidades de flujo, el chorro de agua coloreada circulaba inalterado a lo largo de la corriente principal sin que se produjese mezcla alguna. Entonces el flujo era laminar. Al aumentar la velocidad se alcanzaba una velocidad crítica, difuminándose la vena coloreada. Esto quiere decir que el flujo ya no circulaba de forma laminar sino que se había alcanzado un movimiento turbulento. Reynolds estudió las condiciones por las que se produce el cambio de un tipo de movimiento a otro y encontró que la velocidad crítica, para la que el flujo pasa de laminar a turbulento, depende de cuatro variables: el diámetro del tubo, así como la viscosidad, la densidad, y la velocidad lineal media del líquido. Esto dio lugar a la expresión siguiente: NRe = (vd) / Esquema Teorema Número de Reynolds Experimentalmente se comprueba que el régimen es laminar para velocidades pequeñas y de alta viscosidad, y turbulento todo lo contrario. Asimismo la viscosidad influye en que el movimiento de un fluido pueda ser laminar o turbulento. El valor del numero de Reynolds, Re, es dimensional y su valor es independiente de las unidades utilizadas con tal de que sean consistentes. Para re < 2100 tenemos flujo laminar Para re > 4000 tenemos flujo turbulento. Para 2100 < re < 4000 existe una zona de transición, donde el tipo de flujo puede ser tanto laminar como turbulento. Esta ecuación solo debe utilizarse para fluidos de tipo newtoniano, es decir, la mayoria de líquidos y gases; Sin embargo los hay no newtonianos, los cuales
no tienen un único valor de la viscosidad independiente del esfuerzo cortante. APLICACIONES A DISPOSITIVOS TECNOLÓGICOS DE INTERES Y AL FUNCIONAMIENTO DEL SISTEMA CARDIOVASCULAR. APLICACIONES TECNOLÓGICAS EFECTO VENTURI. Es una consecuencia del teorema de Bernuilli, que consiste en que los estrechamientos de una tubería se produce un aumento de la velocidad del líquido y como consecuencia una disminución de presión. VENTURÍMETRO Dispositivo que se utiliza para medir el caudal del fluido. Para ello se practica un suave estrechamiento y se coloca un manómetro diferencial entre esa zona y otra de la tubería. TROMPA DE AGUA. Tiene el funcionamiento de un efecto Venturi. En este caso se considera una corriente e agua que pasa por un tubo que se estrecha en su extremo para aumentar la velocidad del líquido. El gas exterior penetra por la parte abierta y es arrastrado por la corriente. Si este conjunto se pone en comunicación con un recinto cerrado, se produce en él un vacío. TUBO DE PITOT. Sirve para medir la velocidad de corriente de un líquido, introduciendo en el tubo un pequeño tubo de vidrio doblado y en el que se puede efectuar una medida de las distancias entre los niveles superiores del líquido en sus dos ramas. Este dispositivo se emplea en el estudio de velocidades de aviones etc. Un dispositivo muy parecido a el es la Sonda de Prandtl. Imagen Tubo de Pitot MECHERO DE BUNSEN El gas inflamable sale a gran velocidad por un estrecho orificio, verificándose una succión de aire exterior. La admisión del aire puede ser controlada por un
orificio. Imagen Mechero de Bunsen FUERZA SUSTENTADORA DE UN AVION O EFECTO MAGNUS. En su avance por el aire el avión produce unas líneas de corriente, que se aproximan entre sí por la parte superior del ala más de lo que están en la parte inferior. Dicho de otra forma, las líneas de corriente se distribuirán ahora de forma que la velocidad de las capas superiores es superior a la de las capas inferiores y la presión, por tanto, en la parte inferior será superior. En el caso del avión, la fuerza debida a la presión en la zona inferior (hacia arriba) es mayor que en la parte superior (hacia abajo) originándose una fuerza sustentadora que compensa el peso. VISCOSÍMETRO. Son aparatos cuya finalidad es medir viscosidades relativas. Él más importante es el viscosímetro de Ostwald que mide la viscosidad a partir del tiempo que tarda en fluir una cierta cantidad de líquido a través de los enrases de un aparato diseñado para este fin. Su fundamento está en la ecuación de Poiseuille. El valor de referencia en estos aparatos es la densidad del agua. SISTEMA CARDIOVASCULAR. Uno de sus parámetros es la viscosidad. El aparato normalmente utilizado es el viscosímetro de Hess. Un aumento de la viscosidad implica un aumento de la hipertensión arterial, originado por un aumento de CO2 en la sangre. Si hay una disminución de la viscosidad, esto va implicado con una disminución de hematies. En definitiva las medidas de viscosidad en sangre, revelan información sobre el funcionamiento de nuestro organismo. El principio de continuidad se cumple en el sistema cardiovascular, para así poder garantizar la uniformidad de la tensión sanguínea.
