El modelo de Decaimiento Radioactivo es muy parecido al modelo de Malthus, ya que si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radioactivo, al paso del tiempo ti empo se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; materi al; la cantidad cantidad "M"del "M"del materia materiall es una función funci ón del tiempo tiempo "t" , ya que ocurre ocurre una una desintegración o decaimiento del material. Esto no quiere decir que el material desaparezca,sino que la configuración interna de sus átomos cambia y dejan de ser radioactivos.
Planteamiento de la ecuación diferencial.
Modelo matemático Ecuación diferencial. =f
(x)
=f (x,y)
Protactinio 350 gr
Cierta cantidad de tiempo
Protactinio 300 gr
=
≥0
()
() ∝ () ()
=kM(t)
La rapidez de cambio de la cantidad M (t) de material radioactivo es directamente proporcional a la cantidad de material presente. Rapidez con que cambia la cantidad de material en un tiempo transcurrido
k
Constante de proporcionalidad
=
∝
≥0
<0
≥0 ()
=kM(t)
<0
=kM
Variables separables.
= ()
= ()
=
()
ln =
=
+
= =
SOLUCION GENERAL
() = Cantidad de material inicial
=
0 =
0 = ∗
(0) = = Condición inicial
Solución general
=
= <0 Solución particular Ley de decaimiento reactivo
=
= −λ
=
1 > 0
1 = 1 <
1 = 1
1 =
1 =
1 ()
1 = 1
=
(1) =
= = 2 1 = 2
Entonces
(2)
1 = 2
ktm = −ln (2)
(2)
EJEMPLOS
1. Un material radioactivo tiene una vida media de 2 horas. encontrar el tiempo necesario para que una cantidad dad de este material se reduzca a 1/10 de su masa original.
′ = () =
= 2 = = 2 1 = 2 ln(0,5) = 2
(0) = = Evaluando en 0 =
= 10
= (−,−) 10 1 ln( ) 10 = 346,573 3 = 6,64 ℎ
Un isotopo radiactivo del carbono conocido como carbono 14, obedece ala ley de decaimiento radiactivo = . A. determinar k si la vida media del carbono 14 es de 5568 años. B. determinar una expresión para Q en función del tiempo si () = C. determinar una expresión para t en termino de , , D. determinar el tiempo desde que se inicio el decaimiento si el valor de = 0,20
= = ln = ln = 0 = 0 = =
=
ln
=
ln(0,5) 5568
= 1,245 4
= (−,−) ln =
ln = ln =
ln 0,20 1,245 4
= 12930 ñ
•
3. Una gota de lluvia esférica se evapora a una velocidad proporcional a su superficie. Si su radio original es de 3mm y 1 hora mas tarde se ha reducido a 2mm, encontrar una expresión para el radio de la gota en un tiempo t
= = =
4 3
() = 4 ′ 4 = 4 ′ = = 0 =3 3= = 3 2 = 3 = 1 = 3
4. Se sabe que un material radioactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 100 mg de material y, después de dos años, se observa que el 5% de la masa original se desintegró, determinar: 1. Una expresión para la masa al momento t. 2. El tiempo necesario para que se desintegre el 10% de la masa original.
Si M(t) es la cantidad presente (en miligramos) de material radioactivo al cabo de t años, entonces M(t) está dada por la solución del PVI = 100
= 0 = () = 1 = = =
= 100 2 = 100 () 100 5 = 100 95 = 100 0,95 = ln 0,95 = 2 = 0,02564
: = −,
2. El tiempo necesario para que se desintegre el 10% de la masa original.
2. Cuando se desintegra el 10% de la masa quedan 90 mg de la misma, entonces: = −, 90 = 100 −,() ln 0,90 = 0,02564
= , ñ
Representa el tiempo para que se desintegre el 10% de la masa original.
Se ha detectado que el 0.5% de una sustancia radioactiva desaparece en 12 años.
1. ¿Qué porcentaje desaparecerá en 1 000 años?
2. ¿Cuál es la vida media de dicha sustancia?
