PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA Slično kao i kod prizme i ovde ćemo najpre objasniti oznake ... -
sa a obeležavamo dužinu osnovne ivice
-
sa
H obeležavamo dužinu visine piramide
-
sa
h obeležavamo dužinu visine bočne strane ( apotema)
-
sa
s obeležavamo dužinu bočne ivice
-
sa
B obeležavamo površinu osnove (baze)
-
sa
M obeležavamo površinu omotača
-
omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi) , naravno trostrana piramida u omotaču ima 3 takve strane, četvorostrana - 4 itd.
-
ako u tekstu zadatka kaže jednakoivična piramida, to nam govori da su osnovna ivica i bočna ivica jednake , to jest : a = s
-
ako u tekstu zadatka ima reč prava – to znači da je visina piramide normalna normalna na ravan osnove ili ti , jednostavnije rečeno , piramida nije kriva
-
ako u tekstu zadatka ima reč pravilna , to nam govori da je u osnovi ( bazi ) pravilan mnogougao: jednakostraničan trougao, kvadrat, itd.
Dve najvažnije formule za izračunavanje površine i zapremine su:
P = B + M za površinu i V =
1 3
B⋅ H
za zapr apremin eminu u www.matematiranje.com
1
PRAVA PRAVILNA TROSTRANA PIRAMIDA
H
s
a
h
s
r u
r o a
Kako je u bazi jednakostraničan trougao, to će površina baze biti:
B =
a2 3 4
U omotaču se nalaze tri jednakokraka trougla ( površina jednog od njih je P boč ne strane =
omotaču, to je:
M = 3
a⋅h
a⋅h
2
) , a kako ih ima 3 u
2
V =
= B + M P =
a2 3 4
+3
a⋅h 2
V = V =
1 3
B ⋅ H
1 a2 3 3 a
4 2
12
3
⋅ H
⋅ H
Dalje nam trebaju primene Pitagorine teoreme . Kod svake piramide postoje po tri trougla na kojima možemo primeniti Pitagorinu teoremu:
H
s
h s
a
s 2
⎛a⎞
2
= h2 + ⎜ ⎟ ⎝2⎠
a/2
a
www.matematiranje.com
2
h h
H
s
= H 2 + r u2 to jest
s
h
a r u
r o
2
2
⎛a 3⎞ 2 = H + ⎜⎜ ⎟⎟ 6 ⎝ ⎠
s
2
H
h
s 2
s
⎛a 3⎞ 2 2 s = H + ⎜ ⎜ 3 ⎟⎟ ⎝ ⎠
r u r o
a
= H 2 + r o2 to jest 2
a
PRAVA PRAVILNA ČETVOROSTRANA PIRAMIDA
s s
H
h
a a
U bazi je kvadrat, pa je površina baze
B = a 2
U omotaču se nalaze četiri jednakokraka trougla ( površina jednog od njih je P boč ne strane =
=4
omotača
a⋅h 2
a⋅h 2
), pa je površina
odnosno M = 2ah
P = B + M
V =
P = a 2 + 2ah
V =
1 3 1 3
B ⋅ H a 2 ⋅ H
Primena Pitagorine teoreme: 2
s s
H
h
s a/2
2
=h
2
a + ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2⎠
s
h
H
h a/2
a
s
s
2
a
d = H 2 + ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2⎠ ⎛a 2 s 2 = H 2 + ⎜ ⎜ 2 ⎝ s 2
a
2
⎛a
⎞ = H 2 + ⎜ ⎟ ⎝2⎠
2
H
s
h
a d/2
a
odnosno
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
to jest
2
s 2
= H 2 +
a 2
www.matematiranje.com
3
s H H
s
P DP =
hh
d
P DP =
a
d ⋅ H
odnosno
2 a ⋅ H
2
2
a dijagonalni presek
PRAVA PRAVILNA ŠESTOSTRANA PIRAMIDA
s
H
s h a
a
a
a U bazi je šestougao, pa je površina baze B = 6
a2 3 4
=3
a2 3 2
U omotaču se nalaze šest jednakokraka trougla ( površina jednog od njih je P boč ne strane =
=6
omotača jednaka
ah 2
P = 3
H
s
s h
a
=h
2
a + ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝2⎠
2
s
a
2
a/2
3
2
H H
+ 3ah
a
1
V =
1
3
), pa je površina
3
BH
⋅3
a2 3
a2 3 2
2
H
H
s
s
a
V =
V =
s
h a
a
a
2
2
= 3ah
P = B + M
s
a⋅h
a
2
= H +a 2
H
s
2
h
h a
a
2
= H
2
⎛a 3⎞ +⎜ ⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠
2
3 2
a
a
www.matematiranje.com
4
s
2a
a
s
P ovog dijagonalnog preseka je :
s
H
Pvdp
=
a
2a ⋅ H to jest Pvdp 2
H
s
P ovog dijagonalnog preseka je :
hpresekas
P mdp
h
= a ⋅ H
a a3
a
=
a 3 ⋅ h preseka 2
a
a
a
manji dijagonalni presek
veći dij agonalni presek
Četvorostrana piramida (u osnovi romb): P= B+M
B=
d 1 d 2 2
= ah
M=4
ah 2
=2ah
V=
BH
2
a =(
3
d 1
d 2
)2 + (
2
2
)2
Formulice: 1)
nejednakostranicni trougao: P=
gde je s poluobim s=
a+b+c 2
2)
pravougli trougao: P=
3)
jednakokraki trougao
P=
aha 2
=
bhb 2
2
ha +(
a 2
2
) =b
2
=
bhb 2
=
chc
s( s − a )( s − b)( s − c )
P=
2
P= r s
P=
abc 4 R
, r-poluprečnik upisane kruznice i R-poluprečnik opisane kružnice.
ab 2
aha
ili P=
chc 2
2
2
2
a +b =c
R=
c 2
;
r=
a+b−c 2
; hc=
pq ; a=
pc ; b= qc
c=p+q
2
Pogledajte formulice iz oblasti mnogougao i četvorouglovi.... PRAVA PRAVILNA TROSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA
a1
a1 a1
h s
H
a s
a
a
P = B+B1+ M
V=
H 3
B=
a2 3 4
(B+B1+ BB1 )
B1=
ili V =
a1
2
3
M=3
4 3 H 12
2
a + a1 2
h
2
( a +a1 + aa1) www.matematiranje.com
5
a1
a1
a1
r o a 11
-a 2 s
h
H
a
s
a s
h
a1
a1 h
HH
s
a
a
a1
r u1 H
a
a
r u r o a
a
-a 2 2
⎛ a − a1 ⎞ ⎜ ⎟ + h2= s2 2 ⎝ ⎠
(
( a − a1 ) 3 3
)2 + H 2 = s 2
(
( a − a1 ) 3 6
) + H = h 2
2
2
x
a
a a
h s
Visina dopunske piramide je: x=
H
a s
a
B1 H
a
B − B1
PRAVA PRAVILNA ČETVOROSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA
a1 a1
h
H
s
s
a a
2
P = B+B1+ M V=
B=a H 3
B1= a1
(B+B1+ BB1 )
2
M=4
V=
H 3
2
a + a1 2
h = 2(a+a1)h
2
(a +a1 + aa1) www.matematiranje.com
6
a1 a -2
a1
a1 H
s
d -2 1
s
2
h
H
s
-a
s
h
2
a
-a
a − a1
a
2
) +h = s 2
2
(
2
a − a1
2
osni presek:
a
d -2
2
(
h
H
s
-a
a
s
a 2 2 2 ) + H = h
(
d
− d 1 2
) 2 + H 2 = s 2
a1 h
H
h
a dijagonalni presek: d1 D H
s
d d + d 1 2 Ako sa x obeležimo visinu dopunske piramide , onda je
B1 H
x=
B − B1
=
a1 H a − a1
PRAVA PRAVILNA ŠESTOSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA a1
a1
a1 s
s
H
h
a
a a
P = B+B1+ M
V=
B=
H 3
6a 2 3 4
(B+B1+ BB1 )
B1=
6a1
2
3
M=6
4
ili V=
H 3 2
2
a + a1 2
h =3(a+a1 )h
2
( a +a1 + aa1) www.matematiranje.com
7
a1
s
H h
s
h
2
2
s H
h
a
a
a
Visina dopunske piramide je i ovde: x=
a
a
(a − a1 )2 + H 2 = s 2
2
3 2
a 2
a1
s
h
a
a
) +h = s
3
2
a1 H
2
a − a1
a1
s
-a
a
(
a1
a1
a1
-a2
a1 s
a1
a1
(
(a − a1 ) 3 2
) + H = h 2
2
2
B1 H B − B1 Zadaci
1) Date su osnovna ivica a = 10cm i visina H = 12cm pravilne četvorostrane piramide. Odrediti njenu površinu i zapreminu. a = 10cm H = 12cm
__________ ___
P = ?
s
V = ?
h
H
a/2
a
a
Prvo ćemo naći visinu h :
⎛a⎞ h = H + ⎜ ⎟ ⎝2⎠ h 2 = 122 + 52 2
2
2
h = 169 2
h = 13cm
V = V =
P = B + M P = a + 2 ah 2
P = 102 + 2 ⋅10 ⋅13 P = 100 + 260 P = 360cm2
V =
BH 3 a 2 H 3 102 ⋅12
3 V = 100 ⋅ 4 V = 400cm3 www.matematiranje.com
8
2) Osnova prave piramide je pravougaonik, sa stranicama 12cm i 9cm. Odrediti zapreminu piramide, ako je njena bočna ivica 12,5cm.
b d/2
a = 12cm b = 9cm s = 12,5cm __________ _____
V = ? Najpre nadjemo dijagonalu osnove (baze) d 2 = a 2 + b 2 d 2 = 12 2 + 9 2 d 2 = 144 + 81 d 2 = 225 d = 15cm
Sada ćemo naći visinu H iz trougla. 2
⎛ d ⎞ H = s − ⎜ ⎟ ⎝2⎠ H 2 = 12, 52 − 7,52 2
2
H 2 = 100 H = 10cm
1 V = BH 3 1 V = abH 3 1 V = 12 ⋅ 9 ⋅10 3 V = 360cm 2
www.matematiranje.com
9
3) Osnova prizme je trougao čije su stranice 13cm, 14cm i 15cm. Bočna ivica naspram srednje po veličini osnovne ivice normalna je na ravan osnove i jednaka je 16cm. Izračunati površinu i zapreminu piramide. Nadjimo najpre površinu baze preko Heronovog obrasca. a = 13cm b = 14cm
⇒
s =
a +b+c 2
c = 15cm B =
=
13 + 14 + 15 2
= 21
S ( S − a )( S − b)( S − c ) = 21⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 6 = 84cm 2
nama treba dužina srednje po veličini visine ( hb ) osnove.
C P =
b ⋅ hb 2
⇒ 84 =
14 ⋅ hb
2 84 = 7 hb hb = 12cm
hb
A
B
Naći ćemo dalje visinu bočne strane h . h 2 = H 2 + hb
H=16cm
h 2 = 16 2 + 12 2
h
h 2 = 256 + 144
c
h 2 = 400
b
hb
h = 20cm
a
Površina je jednaka zbiru površina ova četiri trougla!!! P = B +
a ⋅ H
P = 84 +
+
2 13 ⋅16
c ⋅ H
+
+
bh
2 2 15 ⋅16 14 ⋅ 20
+
2 2 P = 84 + 104 + 120 + 140
2
1 V = BH 3 1 V = 84 ⋅16 3 V = 448cm3
P = 448cm 2 www.matematiranje.com
10
4) Izračunati zapreminu pravilnog tetraedra u funkciji ivice a
Tetraedar je pravilna jednakoivična trostrana piramida.
a a
1 V = BH 3
H
a
r 0 a
a H Izvucimo trougao:
r o 2
=
a 3 3
⎛ a 3 ⎞ a ⋅ 3 9a 2 − 3a 2 6a 2 2 ⎜ ⎟ H = a − = ⎜ 3 ⎟ =a − 9 = 9 9 ⎝ ⎠ 2
2
2
Dakle: H = V = V = V = V =
a 6 3 1 a2 3 a 6 3 a
4 3
⋅
3
18
36 a3 ⋅ 3 2
PAZI: 18 = 9 ⋅ 2 = 3 2
36 a3 ⋅ 2 12 www.matematiranje.com
11
5) Izraziti visinu pravilnog tetraedra u funkciji zapremine V. Iskoristićemo rezultat prethodnog zadatka V =
a3 2
a3 = a3 =
izraziti a
i
12 12V 2 12V
2
⋅
2
2
a 3 = 6 2V a = 3 6 2V a = 3 6 6 2 3 V
Kako je H =
a 6 3
to je
H =
3
3 6
H =
H =
62 ⋅ 6 63 ⋅ 6 2 ⋅ 3 V 3
6
H =
6 6 2 3 V 6
65 ⋅ 2 3 V 3
6
=
25 ⋅ 35 ⋅ 2 3 V 3
2 6 35 3 V 3
www.matematiranje.com
12
6) Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane zarubljene piramide ako su osnovne ivice 7m i 5m i dijagonala 9m.
a = 7m a1 = 5m
a1
a1
D = 9m
H
D
____________
V = ?
a
a Da bi našli visinu H moramo uočiti dijagonalni presek.
a1
2
D H x
a1
x = x =
2
a 2 + a1 2 2 7 2 +5 2 2
x = 6 2m
D 2 = H 2 + x 2
H 2 = D 2 − x2
(
H 2 = 92 − 6 2 H 2 = 81 − 72 H = 9 2
H = 3m
)
2
V = V = V =
H 3 H 3 3 3
( B + B + 1
(a
(7
2
2
BB1
)
+ a12 + aa1 )
+ 5 2 + 7 ⋅ 5)
V = 109m
3
www.matematiranje.com
13
7) Izračunati zapreminu pravilne šestostrane zarubljene piramide ako su osnovne ivice 2m i 1m i bočna ivica 2m a1
a = 2m a1 = 1m
H 2 = s 2 − ( a − a1 ) 2
s = 2m
H
_________
H 2 = 2 2 − 12
H
H 2 = 3 H = 3 a − a1
a
V = V = V = V = V =
H 3
(B + B + 1
H ⎛ 6a 2 3
⎜ 3 ⎜⎝
4
3 6 3 3 3
⋅
4
+
(2
2
BB1
)
6a12 3 4
+
6aa1 3 ⎞ 4
⎟⎟ ⎠
+ 12 + 2 ⋅1)
⋅7
2 21 2
V = 10,5m3
8) Osnovne ivice pravilne trostrane zarubljene piramide su 2cm i 6cm. Bočna strana nagnuta je prema većoj osnovi pod uglom od 60o . Izračunati zapreminu te piramide.
a = 6cm
r u1 a 1
a1
a1 = 2cm
H
PAZI: Kad se u zadatku kaže bočna strana pod r u
a
nekim uglom, to je ugao izmedju visina bočne strane i visine osnove!!!
a
Izvucimo ''na stranu'' trapez (pravougli) www.matematiranje.com
14
3
a1
6
H
H 60o a
x
3 6
x =
a 3 6
tg 60 o = V = V = V = V =
2
x
3 4 6 3 6
=
6 3 6
−
2 3
2
=
6
⇒ H = x ⋅ tg 60 o =
(6
4 3
2 3 3
6
=
2 3 3
⋅ 3 = 2cm
+ 2 2 + 6 ⋅ 2)
(36 + 4 + 12) ⋅ 52
26 3 3
6
H 3
3
a1 3
−
m3
9) Bočne ivice pravilne trostrane zarubljene piramide nagnute su prema ravni osnove pod uglom α. Osnovne ivice piramide su a i b ( a > b) . Odrediti zapreminu piramide.
Izvucimo obeleženi trapez, iz njega ćemo naći visinu!
s
H
a
b 3
a
3
H
H
α x
3
a
3
www.matematiranje.com
15
x =
a 3 3 H
tg α =
b 3
−
3
=
( a − b) 3 3
x
⇓ H = xtg α = V = V = V = Kako je
( a − b) 3 3
H ⎛ a 2 3
⎜ 3 ⎜⎝ 4
+
1 ( a − b) 3 3 3 (a − b)tg α 12
b2 3 4
⋅ tg α ⋅
⋅ tg α +
ab 3 ⎞
3 4
⎟
4 ⎠⎟
( a 2 + b 2 + ab)
(a 2 + b 2 + ab)
(a − b)( a 2 + b2 + ab) = a3 − b3 V =
( a 3 − b3 )tgα 12
10) Data je prava pravilna četvorostrana piramida osnovne ivice a = 5 2cm i bočne ivice s=13cm. Izračunati ivicu kocke koja je upisana u tu piramidu tako da se njena četiri gornja temena nalaze na bočnim ivicama piramide.
C
a = 5 2cm s = 13cm s
Nadjimo najpre visinu piramide.
H B x x x A
a
a
⎛ a 2 ⎞ ⎟ H 2 = s 2 − ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
2
⎛ 5 2 2 ⎞ ⎟ H 2 = 132 − ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ H 2 = 144 H = 12cm
2
www.matematiranje.com
16
Izvucimo ‘’na stranu’’ dijagonalni presek: C
Dobili smo 2 slična trougla: Δ ABC ~ Δ MNC Q
M
PAZI:
N
→
AB je dijagonalna osnove AB = a 2 = 5 2 2 = 10cm
MN je dijagonala stranice kvadrata MN = x 2 → Visina CD=H=12cm → Visina CQ=H-x=12-x →
A
B
D
Dakle: AB : MN = CD : CQ 10 : x 2 = 12 : (12 − x ) 10(12 − x ) = 12 ⋅ x 2 120 − 10 x = 12 2 x 12 2 x + 10 x = 120 → Podelimo sa 2 6 2 x + 5 x = 60 x(6 2 + 5) = 60 x = x = x = x =
60 6 2 +5 60
→ Racionališemo ⋅
6 2 −5
6 2 +5 6 2−5 60(6 2 + 5) 72 − 25
Ovo je tražena ivica kocke.
60(6 2 + 5) 47
11) Osnova piramide je tangentni poligon sa n stranica opisan oko kruga poluprečnika r. Obim poligona je 2p, bočne stranice piramide nagnute su prema ravni osnovne pod uglom . Odrediti zapreminu piramide.
Baza ove piramide je sastavljena iz n-trouglova. Ako stranice poligona obeležimo sa a ⋅ r a1 , a2 ....an , onda će površina svakog od tih n-trouglova biti P i = i , odnosno 2 www.matematiranje.com
17
B = P1 + P2 + ...P n B = B =
a1r 2 r
+
a2 r 2
+ ... +
an r 2
r
= (a1 + a2 + ...an ) → gde je a1 + a2 + ...an obim poligona 2
⋅ 2 p = rp
2
Pošto kaže da su bočne stranice nagnute pod uglom ϕ , to je:
tg ϕ = H
H r
⇒ H = rtg ϕ
ϕ r
V = V = V =
1 3 1 3
BH rp ⋅ rtgϕ
r 2 p ⋅t gϕ 3 www.matematiranje.com
18
19
