STEREOMETRIJA (m©h)
kocka (heksaedar) • • D
O
a
d
pravilni poliedar omeena s šest kvadrata
a
a
6 ⋅ a2 ,
=
O =
6
a
=
V
3
=
V
a
=
3
D=a⋅
,
3
D ⋅
=
3
3 ,
d
=
a⋅
2
2
d ⋅
2
dijagonalni presjek kocke
•
dijagonalni presjek je pravokutnik P
a
d
d ⋅a
=
=
2
a
⋅
2
a
a
kvadar • •
d3
c
•
d2
D
• d1
b
uspravna četverostrana prizma baza (osnovka) je pravokutnik kvadar je omeen s šest pravokutnika dva po dva pravokutnika su sukladna O = 2 ⋅ (a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ c) , V = a ⋅b ⋅c
a
2
D= d1
=
a
2
+b
2
,
d2
=
b
2
+
c
2
a
,
d3
+ =
2
b
+
a
2
c 2
+c
2
prizma (uspravna) • •
baze (osnovke) prizme su sukladni mnogokuti oplošje se sastoji od dvije baze i poboč ja koje čine pravokutnici B − baz bazu
v c
računam unamo o po form formul ulam amaa za povr površin šinu u mnog mnogok okuta uta
P − poboč je, je,
b
a
O=
2⋅ B + P
V
B⋅v
=
zbroj zbroj povr površin šinaa prav pravok okutn utnika ika
piramida (uspravna) • • b
b
b
b
•
baza (osnovka) piramide je mnogokut površine B strane (pobočke) piramide su trokuti trokuti čine poboč je (plašt) P piramide
v
O
=
V
=
a a
B+P
1 3
⋅ B ⋅v
piramide 1
krnja piramida baze (osnovke) krnje piramide su mnogokuti površina B i B 1 strane (pobočke) piramide su trapezi
• •
P − poboč je,
h
B : B1
B1 v
B
O
=
V
=
=
2
( v + h) : h2
B + B1
v ⋅
zbroj površina trapeza
P
+
B +
B ⋅ B1
3
+
B1
valjak
r v P =2 2
r⋅
⋅
⋅
r⋅
π ⋅
v
v
π
r
O
=
2 ⋅ B + P = 2 ⋅ r ⋅π
⋅
(r + v )
,
V
= B ⋅v = r
2
,
⋅ π ⋅v
P
=
2 ⋅r
⋅π ⋅v
stožac baza (osnovka) stošca je krug plašt je kružni isječak polumjera s i duljine luka 2rπ s – izvodnica, s 2 = r 2 + v 2
• •
v
s
P O
=
=
r ⋅ π ⋅ ( r
r V
r ⋅ π ⋅ s
=
1
r
2
3
+
s)
⋅ π ⋅ v
krnji stožac r s s 2
s
v
r
⋅
⋅ π
R 2
• • • •
⋅
R
⋅ π
baze (osnovke) krnjeg stošca su krugovi polumjera R i r, a visina v plašt je prstenasti dio kružnog isječka duljina većeg luka je 2Rπ duljina manjeg luka je 2rπ s
2
=v
2
R
2
+
O
=
P
= π ⋅ s ⋅
V
=
1 3
2
(R − r )
⋅π +
r
2
⋅π +
s ⋅π
⋅
( R + r ) = π ⋅ R 2
( R + r ) − površina plašta
π ⋅ v ⋅
(R
2
+
r
2
+
)
R⋅ r
2
+ r
2
+
( R + r ) ⋅s
kugla •
rub kugle nazivamo sfera 2 O = 4 ⋅ r ⋅ π 4 3 V
=
r
3
⋅ r ⋅ π
O
r =
4 ⋅π
=
3 ⋅ V
3
4 ⋅ π
kuglin isječak v
•
tijelo koje od kugle odsijeca ploha stošca koja ima vrh u središtu kugle
r R
R – polumjer kugle, v – visina pripadnog odsje čka
R
V
=
2 3
⋅
R
2
⋅ π ⋅ v
kuglin sloj i pojas •
r1
•
v r
kuglin sloj je dio kugle koji odsijecaju dvije paralelne ravnine kuglin pojas je dio sfere koji je odre en kuglinim slojem P
=
2 ⋅ R ⋅ π ⋅ v ,
R
V
=
P
π ⋅ v
6
⋅
−
(3
površina kuglina pojasa ⋅r
2
+
3 ⋅ r12
+v
2
)
kapica i odsječak v
• r
R
R
•
tijelo koje od kugle odsijeca ravnina kapica je dio sfere koji pripada kuglinu odsječku P
=
V
=
2 ⋅ R ⋅ π ⋅ v ,
1 3
⋅v
2
⋅π ⋅
P
−
površina kugline kapice
( 3⋅ R − v ) =
1 6
⋅ v ⋅ π ⋅
(3
⋅
r
2
+v
2
)
pravilni poliedri strane su sukladni mnogokuti • iz svakog vrha izlazi jednak broj bridova • strana (pobočka) pravilnog poliedra je: jednakostraničan trokut, kvadrat ili pravilni peterokut • • Euklid je dokazao da postoji samo pet pravilnih poliedara (Platonova tijela) svaki poliedar može nastati tako da se ravninama siječe kocka • Eulerova formula: • v+s=b+2
•
v – broj vrhova poliedra, s – broj strana poliedra, b – broj bridova poliedra svakom se pravilnom poliedru može upisati i opisati kružnica r – polumjer upisane kružnice, R – polumjer opisane kružnice
3
tetraedar strane su sukladni jednakostranični trokuti v = 4, s = 4, b = 6 središta strana tetraedra su vrhovi novog tetraedra
• • •
r
6
=
12
a
v
,
⋅a
=
R
2
=
4
6
a⋅
,
3
,
⋅a
V
O
2
=
12
3 ⋅ a2
=
⋅a
3
heksaedar (kocka) strane su sukladni kvadrati v = 8, s = 6, b = 12 središta strana kocke su vrhovi oktaedra
• • •
r
=
1 2
,
⋅a
R
3
=
a
V
2 a
=
,
⋅a
O
=
6⋅a
2
3
oktaedar • • •
strane su sukladni jednakostrani čni trokuti v = 6, s = 8, b = 12 središta strana oktaedra su vrhovi heksaedra (kocke) r
6
=
6
a
,
⋅a
R
2
=
V
2
=
,
⋅a
2 3
⋅a
O
=
3 ⋅ a2
2⋅
3
dodekaedar • • •
strane su sukladni pravilni peterokuti v = 20, s = 12, b = 30 središta strana dodekaedra su vrhovi ikosaedra
(
10 ⋅ 25 + 11 ⋅ r
=
5
)
20
a
⋅a
,
V
R
=
=
1 4
⋅
3+
15
4
(15
+
7⋅
⋅a
,
)
3
5
⋅a
O
=
3⋅
(
5⋅ 5 +2⋅
ikosaedar • • •
strane su sukladni jednakostrani čni trokuti v = 12, s = 20, b = 30 središta strana ikosaedra su vrhovi dodekaedra r
=
3+
5
4⋅
3
⋅a
,
R
=
1 4
a
⋅
(
2⋅ 5+
(
5⋅ 3+ V
=
12
5
5
)
)
⋅a
⋅a
,
O
=
5⋅
3 ⋅a2
3
nogometna lopta ☺ • •
"rezanjem" vrhova ikosaedra dobije se model nogometne lopte, oplošje čine 20 pravilnih šesterokuta i 12 pravilnih peterokuta
4
5
)
⋅a
2
