Pangkat ◦
◦
Kaidah pengakaran bilangan Kaidah penjumlahan bilangan terakar Kaidah erkalian bilan an terakar Kaidah pembagian bilangan terakar Logaritma - Basis Lo aritma - Kaid Kaidah ah-k -kai aida dah h Log Logar arit itma ma - Penyel Penyelesa esaian ian Persam Persamaa aan n dengan dengan Logari Logaritma tma ◦
◦
◦
◦
Kaidah perkalian bilangan berpangkat Kaidah pembagian bilangan berpangkat
Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara . Notasi xa : bahwa x harus dikalikan dengan x kali.
. x =
x ≠
. x = x 3. 0 = 0 4. x
=
⎛ x ⎝ y ⎠
. x
x
−a
.
8. x 1 a
a
5. x b = b X a
a
ab
=
x
a
y
a
= x = x
c
dimana c = a
b
x ⋅ x = x a
b
a +b
contoh : 32 ⋅ 34 = 32+ 4 = 36 = 729 x ⋅ y = ( xy ) a
a
a
contoh : 32 ⋅ 52 = (3 ⋅ 5) 2 = 152 = 225
a
a −b
b
contoh : 32 : 34 = 32 − 4 = 3− 2 =
x
a
x ⋅ y = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠ a
a
2
9 ⎛ 3 ⎞ contoh : 3 : 5 = ⎜ ⎟ = ⎝ 5 ⎠ 25 2
2
1
Akar Akar meru meru akan akan bent bentuk uk lain ain unt untuk uk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari sebuah bilangan ialah basis (x) yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya (a). Bentuk umum :
m = x m = radikan
a x = m a
1
x = x
.
a
2. x = x b b
a
. xy = x ⋅ y 4.
b
x
x
= b
angan- angan era ar an anya ap a pa ditambahkan atau dikurangkan apabila .
m x ± n x = ( m ± n) x b
a
b
a
b
a
Hasil kali bilangan - bilangan terakar adalah akar dari hasil kali -
.
akar - akarnya berpangkat sama. x ⋅ y = xy
Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat - baru akarnya ialah hasil kali pangkat dari akar - akar sebelumnya. b
c
bc x = x a
a
Hasil ba i bilan an-bilan an terakar adalah akar dari hasil bagi bilanganbilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.
b
x
b
y
=b
x y
Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemang atan an atau penga aran.
Bentuk pangkat a
Bentuk akar a
Bentuk Logaritma x
Suku-suku pada pada ruas kanan menunjukkan menunjukkan bilangan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk
Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun. Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama dengan satu. as s ogar ma yang pa ng az m pa a a a a (common logarithm)/(logaritma briggs) lo berarti 10 lo lo berarti 10 lo Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm) atau ln
m
berarti elogm
.
x
=
x
=
.
= x
x
x
m n
x
= x
−x
3. log x = a
8. log m⋅ log x = 1
4. log m = a log m
9. log m⋅ log n⋅ log x = 1
x
x
. x
a
a
x
og m = m
x
x
m
m
n
Logaritma dapat digunakan untuk mencari angan yang e um ea u angan anu dalam sebuah persamaan, khususnya ersa ersama maan an eks eks onen onensi sial al dan dan ersa ersama maan an logaritmik. Persamaan logaritmik ialah persamaan yang , sebagai contoh : log (3x + 298) = 3
Dengan melogaritmakan kedua ruas, hitunglah x untuk 3 x+1 = 27 Selesaikan x untuk log (3x + 298) =3
17
Deret Hitun - Suku Suku ke-n ke-n dari dari DH - Jum Jumlah lah n suku uku Deret Ukur - Suku Suku ke-n ke-n dari dari DU - Jum Jumlah lah n suku uku Dan penerapannya dalam dunia ekonomi
18
Deret : Ran kaian bilan an an tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Suku : Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk ere . Macam-macam deret : - ere ung - Deret Ukur 19
Deret hitun : deret an erubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yang a a n a a a se s an ara n a dua suku yang berurutan. 5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5) 5) , , , , , 20
5, 10, 15, 20, 25, 30 S1, S2, S3, S4, S5, S6 1
S2 = S = S4 = S5 = S6 =
10 15 15 20 25 30
= = = = =
a + a + a + a + a + a + a + a + a + a +
b = b = 2b = b = 3b = b = 4b = b = 5 =
a + a + a + a + a + a + a + a + a + a +
(2 3 (4 (5 (6
-
1)b 1 b 1)b 1)b 1)
Sn = a + ( n - 1) b = b = pembeda
n = indeks suku
21
Jumlah sebuah deret hitung sampai engan su u er en u a ana aa jumlah nilai suku-sukunya. J n =
∑S
i
= S1 + S 2 + .......... . + S n
i =1
J 4 =
4
S i = S1 + S 2 + S 3 + S 4
i =1
5
=
5 i
=
1
+
2
+
3
+
4
+
5
i =1
6 6
i
1
2
3
4
5
6
i =1 22
Berdasarkan rumus suku ke-n Sn = a + a + (n (n - 1)b 1)b , maka dapat diuraikan J4 = a + (a (a + + b ) + (a + a + 2b ) + (a + a + 3b ) = 4a + a + 6b 5
= 5a + a + 10b 10b J6 = a + (a + a + b ) + (a + a + 2b ) + (a + a + 3b ) + (a + a + 4b ) + a + a + = 6a + a + 15b 15b
23
Masing-masing J i dapat ditulis
J 4 = 4a + 6b = 4a +
(4 − 1)b ⎪ 2
⎪ J 5 = 5a + 10b = 5a + (5 − 1)b ⎬ J n = na + (n − 1)b 2 2 ⎪ J 6 = 6a + 15b = 6a + atau J n =
2
2
(6 − 1)b ⎪
⎭
{2a + (n − 1)b} = =
n
2 n 2
a+a+ n−
n
n
24
Deret ukur : deret yang perubahan sukusebuah uah bilangan ter tertentu ntu. sebuah deret ukur dinamakan pengganda. Contoh : 1)5, 1) 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengg (penggand anda a 2) 2)512, 2) 512, 256, 128, 64, 32, 32, 16 (penggan (pengganda da 0,5)
25
1
=
=a
S 2 = 10 = ap S 3 = 20 = app
⎪ = ap ⎪ 2 3 −1 = ap = ap ⎪ n- 1 S ap n = 3 4 −1 ⎬ 2 −1
4
= ap 4 = ap 5 −1 ⎪ ⎪ 5 6 −1 S 6 = 160 = appppp = ap = ap ⎭ a = s k ertama p = pengganda n = n e s su u S 5 = 80 = apppp
26
J n =
∑S
i
= S1 + S 2 + S3 + S 4 ........... + S n
i =1
berdasarkan rumus S n = ap J = a + a + a
2
+a
3
n-1
maka :
+ ....... + a
n−2
+a
n −1
1
jika dikalikan dengan bilangan pengganda p, maka : p
n
= ap + ap + ap + ap + ....... + ap
−
selisih antara persamaan (1) dan persamaan (2) 27
+ ap
selisih antara persamaan (1) dan persamaan (2)
J − J = a − a
n
J n (1 − p ) = a (1 − p ) n
a (1 − p ) n
J =
− p p
a ( p − 1) n
atau J =
p− p > 1
28
ika ika erke erkemb mban an an vari variab abel el-v -var aria iabe bell tert terten entu tu dalam kegiatan usaha, misalnya : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja . Memi i i po a seperti eret itung, ma a prinsip-prinsip deret hitung dapat diterapkan tersebut.
• Pela Pelaja jari ri Kasu Kasus s 1 dan dan 2
29
Modal pokok dibungakan secara ma emuk suku bun a erahun i maka jumlah akumulatif modal setelah tahun adalah: setelah 1 tahun : F 1 = P + P .i = P (1 + i ) setelah 2 tahun : F 2 = P (1 + i ) + P (1 + i ) i = P (1 + i ) 2 setelah 3 tahun : F 3 = P (1 + i ) 2 + P (1 + i ) 2 i = P (1 + i ) 3 setelah n tahun : F n = (......... ) + (......... .) = P (1 + i ) n
• Jumlah Jumlah di masa masa datang datang dari dari jumlah jumlah sekara sekarang ng : F = P 1 + i
n
S =a
n-1
Bunga dibayar
30
Bila bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, m sa m a , ma a :
F n = P ( 1 +
m
) mn
m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun Suku Suku (1+i (1+i)) dan dan (1 + i/m) i/m) dise disebu butt (compounding interest factor ), ), yaitu dipakai untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari suatu jumlah sekarang.
31
engan man pu as ma ema s, sekarang (present value) :
P=
1 n
⋅ F atau P =
sa
ea u n a
1 mn
⋅ F
u u
an m nama an (disc (discou ount nt fact factor or), ), yait yaitu u suat suatu u bilan bilanga gan n lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dima dimasa sa data datang ng..
32
P t = P 1 R t-1 Dimana = P1 = jumlah jumlah pada tahun pertama pertama (basis) (basis) Pt = jumlah jumlah pad pada a tahun tahun ke-t ke-t = t = indeks indeks waktu waktu (tahun (tahun))
33
TERIMAKASIH
34
P
x
Q
x
,
maka masing masing – masing masing pernyataa pernyataan n P
(x)<
Q ( x ),
P ( x ) ≤ Q ( x )
)>
Q ( x ),
P ( x ) ≥ Q ( x )
P(x
disebut pertidaksamaan dalam satu variabel (x)
Sebuah bilan an real dis disebut en elesaian dari elesaian dari sebuah buah per pertidaksamaan bila bila subst bstitus itusii nila nilaii itu pad pada vari variab abel el dala dalam m pert pertid idak aksa sama maan an memb member erik ikan an pern pernya yata taan an yang yang ben benar ar.. Himp Himpun unan an dari dari semu semua a penye penyele lesa saian ian sebua sebuah h pert pertid idak aksa sama maan an dise disebut but . disebut ekuivalen bi ekuivalen bila la himp himpun unan an peny penyel eles esai aian anny nya a sama.
Misalkan a, b dan c bilan an – bilan an real
a –s a
(1 )
Jik a a < b d a n b < c , m a k a a < c
(2 )
Jik a a < b , m a k a a + c < b + c
(3 )
Jik a a < b d a n c < 0, m a k a a ⋅ c > b ⋅ c
(4 )
Jik a a < b d a n c > 0, m a k a a ⋅ c < b ⋅ c
a as uga er e r a u un u
an a
≤, > d a n ≥
–
(1 )
J ik a a ⋅ b > 0 m a k a a > 0 d a n b > 0, a ta u a < 0 d a n b < 0
(2 ) J ik a a ⋅ b < 0 m a k a
a > 0 d a n b < 0, a ta u a < 0 d a n b > 0
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaanpertidaksamaan berikut
(2) 3
3 − 2 x ≤ −5 3 x + 5 ≤ − x + 13
2 x + 3 > 7 2 x + 3 − 3 > 7 − 3
tambahkan tamba hkan – 3 pada kedua kedua ruas ruas
2 x > 4
2
>
a
2
an
e ua ruas en e ngan
1 2
x > 2
Himpunan Penyelesaian pada garis bilangan
2 Hotel Ever Green Bogor,Agustusi 2006 Ary Surfyanto SSi SMA Muhammadiyah 4, Jakarta
3 − 2 x ≤ −5 3 − 2 x − 3 ≤ −5 − 3
− 2 x ≤ − 8 −2 x −8 −2 −2 x ≥ 4
tambahkan tamba hkan – 3 pada kedua kedua ruas
−
1 2
3 x + 5 ≤ − x + 13 3 x + 5 + ( x − 5 ) ≤ − x + 13 + ( x − 5 ) 4 x
≤
8
tambahkan x – – 3 pada kedu kedua a ruas
kalikan kedua ruas dengan
2 2 x ≤ x ≤ 2
2
1 2
Tentukan peny penyelesaian elesaian dari dar i pertidaksamaanper tidaksamaanpertidaksamaan berikut
( 4)
x 2 − 5 x + 6 ≥ 0
( 5)
2 x 2 + x − 15 < 0
x 2 − 5 x + 6 ≥ 0
( x − 2 ) ( x − 3 ) ≥ 0
faktorkan
faktor
tanda
tanda
tanda
x − 2
negatif
positif
positif
( x − 3 )
negatif
negatif
positif
( x − 2 ) ( x − 3 )
positif
negatif
positif
Himpunan penyelesaian
2 x ≤ 2 atau
3 x ≥ 3
2 x 2 + x − 15 < 0
−
faktorkan
faktor
tanda
tanda
x + 3
ne atif
ositif
( 2 x − 5 )
negatif
negatif
positif
( 2 x − 5 ) ( x + 3 )
positif
negatif
positif
−3 Himpunan penyelesaian
−3 < x < 5 2
tanda ositif
5 2
Menentukan penyelesaian penyelesaian pertidaksamaan per tidaksamaan pecahan yang memuat bentuk linear atau kuadrat
Misalkan a dan b bilan an – bilan an real, dan b≠0
(1)
a b
> 0 jika dan hanya jika a dan b keduanya positif
atau keduanya negatif (tandanya sama) a b
Tentukan peny penyelesaian elesaian dari dar i pertidaksamaanper tidaksamaanper
(7) (8) ( 9)
a samaan er u x − 1 x + 2 x − 2 x + 1
<0 ≥0
x 2 + 5 x + 6 x 2 − 4 x − 5
≤0
x − 1 x + 2
<0 faktor
tanda
tanda
tanda
( x + 2 )
negatif
positif
positif
negatif
negatif
positif
positif
negatif
positif
( x − 1) ( x − 1) x +
Him unan en elesaian
−2 < x < 1
x − 2 x + 1
≥0 faktor
tanda
tanda
tanda
( x + 1)
negatif
positif
positif
( x − 2 )
negatif
negatif
positif
( x − 2 ) x + 1
Him unan en elesaian
x< −1
atau
x≥ 2
Untuk x ∈ { himpunan cacah }, himpunan penyelesaian dari dari 3x 3x – 5 > x + 3 adal adalah. ah. . . a. 0 1 2 3 b. { 0, 1, 2, 3, 4 } c. { 4, 5, 6, 7, . . .} . , , , ,...
x ∈ { himpunan cacah }, Hp dari dari 3x – 5 > x + 3 3x – 5 > x + 3 pakai cara cepat 3x – x > 3 + 2x > 8 jadi, himpunan penyelesaiannya : = { 5, 6, 7, 8, . . .}
⅔
( 6 + 3x ) > 8, adala adalah. h. . . . a. x > 2 b. x > 4 c. x < 2 d. x < 4
Pen elesaian ⅔ ⅔
( 6 + 3x ) > 4 + 2x > x > 2x > x >
6 + 3x > 8 8 8
pakai
4 2
cara cepat
13 – 2( y + 1) > ( y + 1 ) – 8. Penn eles Pe elesai aian an erti ertid daksa aksam maa aann tersebut adalah . . . a. y > - 6 .
b. y < - 6 .
13 – 2 + 1 > + 1 – 8. 13 – 2y – 2 > y - 7 11 – 2 > -7 - 2y - y > - 7 - 11 - 3y > - 18 y < 6
Sebuah persegi panjang memiliki panjang 5 cm lebih dari lebarnya dan kelilingnya tidak . , batas-batas nilai x adalah . . . a. 0 < x ≤ 7 c. x > 7
b. x ≤ 7 . 7≤x≤
lebar ( l ) = x cm dan panjang p = x + cm p + l = ½ keliling. 2x + 5 2x 2x x
≤ ≤ ≤ ≤
19 19 – 5 14 7
