Péndulo simple, péndulo de torsión y péndulo físico.
Francisco Quintero Coronell Ingeniería de Sistemas Semestre VIII – Nocturno
Física Calor y Ondas Marcial Conde
Corporación Universitaria Latinoamericana
Barranquilla, Atlántico
2011
Péndulo simple
Un péndulo simple consiste en una partícula de masa m suspendida de una cuerda de longitud l. El extremo superior de la cuerda esta fijo en el punto O. El sistema sistema podrá oscilar oscilar respecto de este punto. La situación de equilibrio del sistema, será aquella en la que la masa suspendida se encuentre en el punto C. Si desplaz desplazamo amoss la partícul partículaa fuera fuera del equili equilibri brio, o, hasta hasta el punto punto B y la soltamos, esta comenzará a oscilar entre el punto B y el simétrico B'.
Las fuerzas que actúan sobre la masa son la ejercida por cuerda T y la fuerza gravitacional. La componente tangencial de la fuerza gravitacional mg·sen(θ) actúa siempre hacía θ=0 opuesta al desplazamiento, de este modo la ecuación del movimiento en la dirección tangencial es
donde s es el desplazamiento medio a lo largo del arco y el signo menos indica que dicha fuerza actúa siempre hacia la posición de equilibrio. Como s=1θ y l es constante
Si ahora tomamos la aproximación senθ ≈ θ -válida para ángulos pequeños- tendremos
Finalmente tendremos la expresión
Ejemplo
Un péndulo simple de 4m de longitud oscila con una amplitud de 0.2m a) Calcúlese Calcúlese la velocida velocidadd del péndulo péndulo en el el punto más más bajo de la trayectori trayectoria. a. b) Calcúlese Calcúlese la aceleración aceleración en los los extrem extremos os de de su trayectoria. trayectoria.
Solución
a) A = 0,2m L = 4m Vm = √K/m.A Vm = √m.g/(L/m).A Vm = √g/L.A Vm = √9,8/4.0,2 Vm = 0,313 m/s b) b) Amax Amax = K.A K.A//m Amax = g.A/L Amax = 9,8.0,2/4 = 0,49m/s²
Péndulo de torsión
Consiste en un cuerpo suspendido mediante un alambre fijo a un soporte. Este cuerpo es capaz de rotar alred alreded edor or del del alamb alambre re,, el cual cual ejerc ejercee un momen momento to recupe recuperad rador or que tien tiende de a lleva llevarr al siste sistema ma nuevamente al equilibrio, dando lugar de esta forma a un movimiento oscilatorio. El período del péndulo está dado por la expresión
Siendo Tp el período del péndulo, Iop el momento de inercia del péndulo respecto al eje O y constante de torsión del alambre.
k
la
Ejemplo
Un objeto de masa 2 kg está sujeto sobre un muelle vertical que está anclado en el suelo. La longitud del muelle sin deformar es de 8 cm y la posición de equilibrio del objeto sobre el muelle está a 5 cm desde el nivel del suelo. Cuando el objeto está en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal manera que la velocidad inicial es de 0,3 m/s. a) b) c) d)
¿A qué máxima máxima altura, altura, respecto respecto al nivel del del suelo, suelo, se elevará elevará el objeto? objeto? ¿Cuánto tiempo tiempo tardará tardará el objeto objeto en alcanzar alcanzar la máxima máxima altura altura por primera primera vez? ¿Volv ¿Volverá erá el muell muellee a estar sin sin compresi compresión? ón? ¿Qué velocidad velocidad inicial inicial mínima mínima debe darse darse al objeto para para que el muelle muelle no tenga compresión compresión en un instante dado?
Solución
Para calcular la máxima altura (=5cm+A) a partir de la velocidad, se requiere conocer w , que se puede calcular a partir del k del muelle y la masa. En el equilibrio muelle-masa: kx0=mg. Por otro lado, x0=8-5=3cms (lo que baja el muelle con la masa) þk=mg/x 0=2x9,8/0,03=653,3N/m þw=(k/m)1/2=(g/x0)1/2=18,07rad/s. Como el movimiento empieza desde la posición de equilibrio, lo más lógico es describirlo con la función seno y fase inicial = 0 (y tomando dirección de x positiva hacia abajo). Posición de equilibrio: x = 0 ; x = Asen wt. v = dx/dt = wA.cos wt. La altura máxima corresponderá a x = -A. Referido al nivel del suelo, s uelo, será 5 + A. Hay que hallar A. En x = 0 y t = 0, v tendrá el valor máximo, que es el que nos dan en el enunciado: v max = wA = 0,3 m/s y A = 0,3 / 18,07 = 1,66 cm. El objeto se eleva a 6,66 cm por encima del suelo. La máxima altura corresponde a x = -A = -1,66 cm. 1,66. sen (wt) = -1,66 þ sen (18,07t) = -1 þ (18,07t) = 3p/2 þ t = 0,26 s.
c) No, ya que A<3cms (lógicamente baja el muelle con el peso) Tiene que ocurrir que A = 3 cms, y v0 min= wA = 18,07 x 0,03 = 0,54 m/s
Péndulo físico
Cuando un objeto colgante oscila libremente alrededor de un eje fijo bajo la acción de la gravedad, no podemos hacer uso del tratamiento descrito para el péndulo simple. Teniendo un objeto rígido que gira alrededor de O, que esta a una distancia d del centro de masas
El momento de la fuerza resultante respecto al punto O lo proporciona el peso del cuerpo, y la magnitud de este momento es mgd·senθ. Y como M = Iα, donde I es el momento de inercia alrededor del eje que pasa por O, quedándonos
El signo menos indica que el peso del objeto produce un momento restaurador, si suponemos aquí también que el ángulo es pequeño ( senθ senθ ≈ θ), la ecuación de movimiento queda
Podemos ver que esta expresión tiene la forma de la ecuación de la dinámica del movimiento armónico simple. De modo que fácilmente deducimos que
Podemos usar esta expresión expresión para calcular calcular momentos de inercia inercia de cuerpos rígidos planos, podríamos podríamos definir para el sistema una longitud equivalente
Es decir que un péndulo simple de longitud I equivalente Movimiento Armónico Armónico Simple con el equivalente seguirá un Movimiento mismo periodo que un péndulo físico. Ejemplo
Solución
