Esfuerzo simple de corte y de aplastamiento

RESISTENCIA DE MATERIALES UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO

ING. FERNANDO URRUTIA.

RESISTENCIA DE MATERIALES

Contenido ESFUERZO SIMPLE ............................................................................................................................... 2 103 ............................................................................................................................................... 3 104.- ............................................................................................................................................ 5 105. ............................................................................................................................................ 10 106. ............................................................................................................................................ 14 107. ............................................................................................................................................ 18 108. ............................................................................................................................................ 20 109. ............................................................................................................................................ 22 110. ............................................................................................................................................ 24 111. ............................................................................................................................................ 27 112. ............................................................................................................................................ 29 113. ............................................................................................................................................ 32 ESFUERZO CORTANTE ....................................................................................................................... 35 114. ............................................................................................................................................ 35 115. ............................................................................................................................................ 39 116. ............................................................................................................................................ 42 117. ............................................................................................................................................ 45 118. ............................................................................................................................................ 47 119. ............................................................................................................................................ 50 120. ............................................................................................................................................ 53 121. ............................................................................................................................................ 56 ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO ................................................................................. 58 123. ............................................................................................................................................ 59 124. ............................................................................................................................................ 62 125. ............................................................................................................................................ 65 126. ................................................................................................Error! Bookmark not defined. 127. ................................................................................................Error! Bookmark not defined. 128. ................................................................................................Error! Bookmark not defined. 129. ................................................................................................Error! Bookmark not defined.

ING. FERNANDO URRUTIA

Página 1


ESFUERZO SIMPLE


Página 2

RESISTENCIA DE MATERIALES 103.- Determine el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder los 100 MPa y 50 MPa, respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 Para el cable AB y 200 Para el cable AC.

C

B

300

A

45O O

W


Página 3

RESISTENCIA DE MATERIALES DATOS.

σab= 100 MPa σac= 50 MPa AREA AB= 400

=4*

AREA AC= 200

=2*

SOLUCION.



Procedemos a sacar el valor de P respecto al cable AB y cable AC, aplicando la siguiente formula:

Respecto al cable AB.

P = 40 KN. Respecto al cable AC.

P = 10 KN. 

Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto a Y e igualamos a cero para de esta manera cumplir con la condición de equilibrio.

Σfy= 0 Sen45*Tac + Sen30*Tab – W = 0 Sen45*(10KN) + Sen30*(40KN) – W = 0 W = 7.07KN + 20KN W = 27.07 KN.


Página 4

RESISTENCIA DE MATERIALES 104.- Calcule para la armadura de la figura los esfuerzos producidos en los elementos DF, CE Y BD. El área transversal de cada elemento es 1200 Indique la tensión (T) o bien la compresión (C).

B

D 6m

4m

A

F 3m E

4m

3m

200KN

100KN

NODO F FD

FDy

NODO E ED EF

α EF

CE

Rfy

200 KN

NODO B BD

BA β

Ω

BC


Página 5


σdf= ? σce= ? σbd= ? AREA TRANSVERSAL= 1200

= 120 x

SOLUCION. 

Realizamos la sumatoria de fuerza en A respecto a Y. Y la sumatoria de momentos de A.

ΣMA= 0 -4m(100KN) – 7m(200KN) + 10 Rfy = 0 (-400 – 1400 = -10Rfy)*(-1) Multiplicamos por -1 para dejar los términos positivos. 1800 = 10Rfy Rfy = 180 KN. ΣF.Ay= 0 Ray + Rfy – 100KN – 200KN = 0 Ray + Rfy = 300 KN Ray = 300 KN – 180KN Ray = 120 KN 

Encontramos el ángulo que se ubica en el triángulo DEF.

Tangente α = 4/3 Α=

(4/3)

Α= 53.13 

Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto al nodo F y calculamos el esfuerzo DF.

ΣF.fy= 0 Rfy + FD*Sen53.13= 0


Página 6


FD = FD = FD = - 225 KN.

ΣF.fx= 0 - EF – FD*Cos53.13= 0 -EF = -(-225*Cos53.13) = 0 -EF = 224*Cos53.13 EF = -134.40 KN

σdf= σdf= σdf= -187500 kpa σdf= -187.5 mpa Concluimos que el esfuerzo en DF está comprimiendo a la estructura, porque es negativo. 

Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto al nodo E y calculamos el esfuerzo EC.

ΣF.ey= 0 ED – 200KN= 0 ED=200KN ΣF.ex= 0 EF - CE=0 CE=134.40 KN

σec= σec=112000 kpa ING. FERNANDO URRUTIA

Página 7


σec=112.mpa Concluimos que el esfuerzo es de tensión puesto que este es positivo. 

Sacamos el valor del ángulo β y ángulo Ω para aplicarlo en el nodo B

Tangente β = 4/6 Β=

(4/6)

Β = 33.69 Tangente Ω = 4/6 Ω=

(3/2)

Ω = 56.31 

Realizamos la sumatoria de fuerza para A.

Tangente ᶲ = 4/6 ᶲ=

(6/4)

ᶲ = 56.31 ΣF.ay= 0 Ray + AB*Sen56.3 = 0 AB= AB= -144.239KN

ΣF.ax= 0 AC – 144.239*Cos56.3 = 0 AC= 80.2KN 

Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto al nodo B y calculamos el esfuerzo BD.

ΣF.bx= 0 -AB*Sen33.6 + BD*Sen56.31 = 0


Página 8


BD= BD= - 95.93 KN

σdf= σbd= σbd= - 79943.67 kpa σbd= - 79.943 mpa Concluimos que el esfuerzo en BD está comprimiendo a la estructura, porque es negativo.


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RESISTENCIA DE MATERIALES 105.- Determine, para la armadura de la figura las áreas transversales de las barras BE, BF y CF de modo que los esfuerzos no excedan de 100 MN/ En tensión, ni de 80 MN/ En compresión. Para evitar el peligro de un pandeo, se especifica una tensión reducida en la compresión. B

E 8m

6m

3m

G

F

C

A

3m

8m

50KN

40KN

D

EB

B

EBy E EBx

P

G

GEy

FC

G EBx

F

GEx

40 KN


50 KN

Página 10

RESISTENCIA DE MATERIALES DATOS

σtorsion= 100 MN/ σcompresion= 80 MN/ ABE= ? ABF= ? ACF= ? SOLUCION. 

Procedemos a sacar el valor de los ángulos β y Ω.

Tangente β = 8/6 Β=

(8/4)

Β = 53.13

Tangente Ω = 8/6 Ω=

(8/3)

Ω = 69.4 

Realizamos una sumatoria de momentos respecto a F.

Σmf= 0 -50KN*(3m) + (EB*Cos53.13KN)*4m = 0 -150 + 2.40*EB = 0 EB= EB= 62.49 KN = PEB Reemplazamos EB para sacar sus components en X y Y. Eby = EB * Sen β Eby = 62.49 *Sen53.13


Página 11

RESISTENCIA DE MATERIALES Eby = 50 KN Ebx = EB * Sen Ω Ebx = 62.49 *Sen 69.4 Ebx = 37.5 KN 

Efectuamos la sumatoria respecto al nodo F e igualamos a 0, para cumplir con la condición de equilibrio.

ΣF.fy = -40 -50 + eby + FB*senΩ ΣF.fy = -40 -50 + 50 + FB*Sen69.4 0 = -40 -50 + 50 + FB*Sen69.4 FB*Sen69.4 = 40 FB =42.73 KN = PFB ΣF.fx = -FC – ebx – FB*Cos69.4 0 = -FC - 37.5 KN – 42.73*Cos69.4 FC = - 37.5 KN – 15.03KN FC = 52.53 KN = PFC 

Para la compresión usamos el esfuerzo de 80 MN/

Y la tensión de FC.

σcf= σcf= ACF= ACF= 6.55 x ACF= 655 El área en compresión con un esfuerzo de 

es de 655

Para la tensión empleamos el esfuerzo 100 MN/

Y la tensión de BF y BE.

σbf= ING. FERNANDO URRUTIA

Página 12


σbf= σBF= ABF= 4.27 x ABF= 427 El área en tensión con un esfuerzo de

es de 427

σbe= σbe= ABE= ABE= 6.249 x ABE= 624 El área en tensión con un esfuerzo de 6


es de 624

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RESISTENCIA DE MATERIALES 106.- Todas las barras de la estructura articulada de la figura tienen una sección de 30 mm por 60 mm: determine la máxima carga P que puede aplicarse sin que los esfuerzos excedan a los fijados en el problema 105. P

B

8m 3m

A

C 10m

P

A

B

ABy AB α

B

β

α

C A

AC

x By


Cy

ABx

Ay

Página 14


BAx

BCx

α

β

DATOS.

σT = 100 MPa σcortante = 80 MPa

BA

BCx BAy

A = (30 * 60)

BCy

A = 1800 P

A = 1.8 * SOLUCION. 

Aplicando la ley de cosenos se obtiene β y α, asi:

64 = 36 + 100 – 2(60)Cosβ β=

(

)

β= 53.13

36 = 64 + 100 -2(80)Cosα α=

(

)

α= 36.87 

Procedemos a sacar el valor de x situado en el triangulo

Cos 36.87 =

X = 6.4m 

Con la sumatoria de momentos

(-6.4m)P + (10)Cy = 0 Cy = 0.64 P


Página 15

RESISTENCIA DE MATERIALES 

Hacemos sumatoria respecto a X

ΣFy = 0 Ay + Cy = P Ay = P – 0.64P Ay = 0.36 p 

Respecto al nodo A sumatoria de fuerzas en X e Y.

ΣF.Ax = 0 AC + AB*Cos36.87 = 0 AC = - AB*Cos36.87 ECUACION 1

ΣF.Ay = 0 Ay + AB*Sen36.87 = 0 Ay = - AB*Sen36.87 

Aplicamos sumatoria de fuerzas en x, respecto al nodo B

ΣF.Bx = 0 BC*Cos53.13 – BA*Cos36.87 = 0 BA = BA = 0.75BC ECUACION 2

ΣF.By = 0 -BA*Sen36.87 – BC*Sen53.13 = P -(0.75BC) *Sen36.87 – BC*Sen53.13 = P BC(-0.75BC*Sen36.87 – Sen53.13) = P BC(-1.25) = P BC = -0.8P COMPRESION


Página 16


Remplazamos BC en ECUACION 2.

BA = 0.75 * BC BA = 0.75 * (-0.8P) BA = - 0.6P COMPRESION 

Remplazamos BA en ECUACION 1.

AC = - AB*Cos36.87 AC = -(-0.6P) * Cos36.87 AC = 0.48P TENSION 

Aplicando la formula de esfuerzo calcular el valor de P, respecto a los tres puntos analizados antes. Con dichos resultados obtenemos la carga máxima P que puede aplicarse.

σ= σBA= (80 *

Pa) * (1.8 *

= - 0.6P

P = 240 KN

σBC= (80 *

Pa) * (1.8 *

= - 0.8P

P = 180 KN ES LA CARGA MAXIMA QUE SE DEBE APLCIAR, SI SE APLICA MAS SE ROMPERAN LOS SOPORTES

σAC= (80 *

Pa) * (1.8 *

= 0.48P

P = 375 KN


Página 17

RESISTENCIA DE MATERIALES 107.- Una columna de hierro fundido (o Fundición) soporta una carga axial de comprensión de 250 KN. Determine su diámetro interior si el exterior es de 200 mm y el máximo esfuerzo no debe exceder de 50 MPa.

Di

200 mm

DATOS.

σmax=

mpa

P= 250 KN Diámetro Exterior= 200 mm = 0.2m = De Diámetro Interior = Di = ? SOLUCION. 

Empleamos la formula del esfuerzo y aplicando la ecuación del área, despejamos el valor del diámetro.



Remplazamos el valor de A en la siguiente ecuación:

σ= A= A=


Página 18


0.02

0.0336 0.1834 183.4 El diámetro interno es de 183.4 m.


Página 19

RESISTENCIA DE MATERIALES 108.- Calcule el diámetro exterior de un tirante tubular de acero que debe soportar una fuerza de tensión de 500KN con un esfuerzo máximo de 140MN/m2: Suponga que el espesor de las paredes es una décima parte del diámetro exterior.

0.8*x

0.1*x

x

DATOS. P = 500KN

σ = 140 mpa Diámetro Externo = ? SOLUCION.

σ= A=

Ecuación 1 Ecuación 2 

Igualamos la ecuación 1 y ecuación 2 para obtener el valor del diámetro exterior.


Página 20


0.2827

3.5714

El diámetro externo del tirante tubular es de 112.3 mm


Página 21

RESISTENCIA DE MATERIALES 109.- En la figura se muestra parte del tren de aterrizaje de una avioneta. Determine el esfuerzo de compresión en el tornapunta AB producido al aterrizar por una reacción del terreno R=20KN, AB forma un ángulo de 53.1o con BC.

450mm

450mm

R R.AB

B

Rcy

C

DATOS.

σ= ? R = 20 KN Diámetro Interno = Di = 30mm = 0.03m Diámetro Externo = De = 40mm = 0.04m SOLUCION. 

Realizamos momento respecto al punto C.

ΣM.c =0 0 = -R(650mm) + AB*Sen 53.1(450mm) 20KN(650mm) =AB*Sen 53.1*(450mm)


Página 22


36.125350KN 36125.350N 

Encontramos el área y aplicamos la fórmula para hallar el esfuerzo.

σ= σ= σ= Se produce un esfuerzo de compresión de 65.72 MN/ aterriza.


En el tornapunta, cuando el avión

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RESISTENCIA DE MATERIALES 110.- Un tubo de acero se encuentra rígidamente sujeto por un perno de aluminio y por otro de bronce, tal como se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en los puntos indicados. Calcule el máximo valor de P que no exceda un esfuerzo de 80 MPa en el aluminio; de 150 MPa en el acero ; 0 de 100 MPa en el bronce. Bronce Acero Aluminio

A=500

A=400

A=200

3P

P

2P

3p

1m

2,5m

2m

Acero.

Aluminio.

-2P

P Max

P P Max

200mm

2

400mm

2

Bronce. P Max -4P

500mm


2

Página 24


σ.al = 80 MPa σ.Ace = 150 MPa σ.Bron = 100 MPa Área.al= 200 Área.Ace= 400 Área.Bron= 500 P.al = ? P.Ace = ? P.Bron = ? SOLUCION. 

Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos el valor de P respecto al aluminio.

σ= P = 80 mpa * P = 0.016MN. P = -16KN. El valor máximo de P respecto al aluminio es de -16KN, debido a que esta se dirige de derecha a izquierda, es decir en sentido anti horario (negativo). 

Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos el valor de P respecto al Acero.

σ= P = 150 mpa * P = 0.06MN. P = 60 KN. Realizamos sumatoria de fuerzas respecto a X para obtener el valor máximo de P en la unión del Acero. ING. FERNANDO URRUTIA

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RESISTENCIA DE MATERIALES P -3P + P = 0 P = 2P P=

KN

P = 30 KN El valor máximo de P respecto al acero es de 30 KN. 

Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos el valor de P respecto al Bronce.

σ= P = 100 mpa * P = 0.05MN. P = 50 KN. Realizamos sumatoria de fuerzas respecto a X para obtener el valor máximo de P en la unión del Bronce. P -3P - 2P + P = 0 P = 4P P=

KN

P = 12.5 KN 

El valor máximo de P respecto al bronce es de 12.5 KN.


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RESISTENCIA DE MATERIALES 111.- Una barra homogénea AV (de 150Kg) soporta una fuerza de 2KN, como puede verse en la figura. La barra esta sostenida por un perno (en B) y un cable (CD) de 10mm de diámetro. Determine el esfuerzo ejercido en el cable.

D

4m

2m 3m

A

C

3m B

2KN D

4m C A 3m

2 KN

α B 3m

150 Kg

DATOS. W= 150 Kg F= 2KN Diametro Cable= 10mm = 0.01 m


Página 27

RESISTENCIA DE MATERIALES SOLUCION. 

Procedemos a encontrar el ángulo α que se encuentra en el triangulo BCD.

Tangente α = 4/3 Α=

(4/3)

Α = 53.13 

Aplicamos la sumatoria de momentos respecto al punto B.

2KN*(6m) + (150Kg*9.8)*(3m) - (CD*Sen α)*(3m) = 0 12knm + 4410Nm = (CD*Sen53.13) *(3m) 1200Nm + 4410Nm =CD*2.3999m



Encontramos el área del cable que sostiene a la barra.

A= π * A= π * A= 0.000078539 

Empleando la formula de esfuerzo encontramos su valor.

σ= σ= σ= 87062286.25 Pa. σ= 87.062 MPa Concluimos que el esfuerzo que realiza el cable para sostener a la barra es 87.062 MPa.


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RESISTENCIA DE MATERIALES 112.- Calcule el peso del cilindro mas pesado que se puede colocar en la posición que se indica en la figura; sin rebasar un esfuerzo de 50MN/m2 en el cable BC: Desprecie el peso de la barra AB . El área transversal del cable BC es de 100mm2.

P C

β

β

B

α

A

α

W


Página 29


σmax = 50MN/m2 A = 100 mm2 = 0.0001 m2 W=? SOLUCION. 

Encontramos los ángulos α y β.

Tangente α = 6/10 α=

(6/10)

α = 36.86 Para el ángulo β: β = 90 – 36.86 β = 53.14 

Realizamos la sumatoria de momentos respecto A, para encontrar el valor del peso del cilindro.

ΣM.a =0 R * (4) + BC* (sen 53.14.)(10) = 0 BC = -

BC 530

BC = 6m

De la fórmula del esfuerzo se tiene 37

0

R 4m AY AX

Reemplazando se tiene:


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= Despejando R se tiene R = 10 KN

Del diagrama del cuerpo libre del cilindro se tiene:

ΣFy=0

R

W = R. sen37 W= 10 ( )

R1

370

W = 6 KN

W W = 6 KN El peso máximo que debe tener el cilindro es de 6 KN para que pueda soportar ubicado en la posición indicada.


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RESISTENCIA DE MATERIALES 113.- Una barra homogénea AB (de 1000Kg de masa) pende de dos cables AC Y BD, cada uno de los cuales tiene un área transversal de 400 mm2, como se observa en la figura. Determine la magnitud P. Así como la ubicación de la fuerza adicional máxima que se puede aplicar a la barra. Los esfuerzos en los cables AC y BD tiene un limite de 100MPa y 50 MPa, respectivamente.

D

C

1,8m

1,8m P

x

B 2m

P AC

BD x

1m

W


Página 32


DATOS. M = 1000Kg Área = 400 mm2 = 0.0004 m2 P=? X=? .AC = 100 MPa . BD = 50 MPa SOLUCION. 

Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos los valores de las tensiones para AC y BD.

.AC = PAC = 100 MPa * 0.0004 m2 PAC = 0.004 MN. PAC = 40000 N .BD = PBD = 50 MPa * 0.0004 m2 PBD = 0.002 MN. PBD = 20000 N 

Efectuamos la sumatoria de fuerzas en Y, para obtener el valor de P

ΣF.y =0 TAC – P – (1000Kg * 9.8m/s2) + TBD = 0 40000N – P – 9800N +20000 = 0 P = 50200N P = 50.2 KN. El valor de la fuerza máxima (P) que se debe aplicar a la barra es de 50.2KN. ING. FERNANDO URRUTIA

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Realizamos sumatoria de momentos respecto al nodo A, para obtener el valor de x.

ΣM.a =0 -P(x) – 9800N*(1m) + 20000N(2m) = 0 -50200N*(x) – 9800Nm + 40000Nm = 0 X= X= X = 0.602 m La ubicación de la fuerza máxima que debe aplicarse en la barra es de 0.602 m


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ESFUERZO CORTANTE


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RESISTENCIA DE MATERIALES 114.- Se desea punzonar una placa, tal como se indica en la figura 1-10c, que tiene un esfuerzo cortante ultimo de 300 MPa. a) Si el esfuerzo de compresión admisible en el punzon es 400 MPa, determine el máximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100mm de diámetro. b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm, calcule el máximo diámetro que puede punzonarse.

DATOS Ʈ=300 MPa (al hablar de un esfuerzo cortante ultimo se deduce que es lo máximo que la placa puede soportar el corte). =400 mpa. (a) d= 0,1m t=?


Página 36

RESISTENCIA DE MATERIALES (b) t=0,01m d=? SOLUCIÓN (a)

V=carga cortante Remplazamos τ en la formula.



Al remplazar aun se obtienen dos incógnitas por lo que usamos otro de los datos proporcionados en el problema. El análisis lo realizamos en el punzón, ya que el esfuerzo de contacto

se produce en el. P: carga A: área de el punzón

A= (π x

)/4

A= (π 

/4) Remplazamos σ y A en la fórmula

P=

) (7,954x

)

P=3,14 x 

Con el valor obtenido de la carga podemos remplazar en el esfuerzo cortante para así obtener el espesor de la placa t.

El área a la que nos referimos en este esfuerzo y el área del punzón son dos áreas distintas.


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V=P A=π *d*t El área en este esfuerzo se refiere al corte que el punzón provoque en la placa. Por lo que se debe multiplicar el perímetro del punzón por el espesor de la placa (a). 

Remplazamos A, V Y

en la formula.

Al tener t como única incógnita se la despeja y se habrá encontrado el valor de el espesor.

t=0,0333m (b) Al buscar el diámetro el procedimiento es muy similar, remplazamos los valores tanto de Ʈ como de



Al tener ambas ecuaciones en función del mismo diámetro, y al notar también que V=P, podemos igualar las dos ecuaciones para encontrar el diámetro:


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RESISTENCIA DE MATERIALES 115.- La figura muestra la unión de un tirante y la base de una armadura de madera. Despreciando el rozamiento. a) Determine la dimensión b si el esfuerzo cortante admisible es de 900KPa. b) Calcule también la dimensión c si el esfuerzo de contacto no debe exceder de 7 MPa.

DATOS Pa (a) P= 50KN (b) Σ= 7 SOLUCIÓN (a) El problema señala que existe un esfuerzo cortante, para este esfuerzo tenemos una carga de 50KN, pero no se menciona el lugar donde la fuerza actúa por lo cual se debe determinar el área donde la carga trabaja.


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Px=V=Pcont

30˚ Py P

= + sumatoria de otras dos fuerzas

Al tener un ángulo se deduce que la fuerza es la resultante de la

=V=Pcont= P Cos30° = Psen30° 

Del análisis del grafico se determina el área del esfuerzo cortante y la fuerza que actúan en ella para así encontrar b: 0,15 b

=V= P Cos30°

A= b x 0,15m

el área debe ser paralela a la fuerza para que le provoque un corte.

Remplazando valores en la fórmula dada: 900

N/m=

b=


Página 40

RESISTENCIA DE MATERIALES b= 3,208 (b) 

De la misma manera, se debe analizar tanto la fuerza como el área para la cual se pueda usar el valor dado en el ejercicio.

σ= 0,15 C

=Pcont= P Cos30°

A=c x 0,15m se toma un área que sea perpendicular a la carga y que además este compuesta con la medida de c. Remplazamos en la fórmula 7

Pa=

C= C=0,04124m


Página 41

RESISTENCIA DE MATERIALES 116.- En el dispositivo del tren de aterrizaje descrito en el Prob.109, los pernos en A y B trabajan a cortante simple y el perno en c a cortante doble. Determine los diámetros necesarios si el esfuerzo cortante admisible es de 50 MN/ .

A B C

200mm m

450m m

Detalle C.

DATOS Ʈ=50MN/

.

ƟAB=53,1˚ R=20KN SOLUCION 

Para encontrar los diámetros se debe realizar un cálculo que implique al esfuerzo cortante.

A= π 

Realizamos una sumatoria de momentos que actúan en el dispositivo e igualamos a cero (equilibrio) para así obtener la carga V.


Página 42


R P=V

Rcy

B C

Para AB. Σmc=0 -20x

N(0,65)+P(Sen 53,1) (0,45)=0

P= P=36125,35 P=V=36125,35N 

Al tener el dato de la carga y del esfuerzo podemos encontrar el último dato que aun no se ha obtenido.

A= A= 7,2250 

.

Con el valor del área, se puede obtener el radio al remplazar en la formula de área:

A= π √

=d

d=0,0303m Para C 

Realizamos el mismo procedimiento para encontrar la carga, es decir; sumamos los momentos en el punto b.


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R A Rcy

B

Σmb=0

C

-20

(0,2)+Rc(sen53,1°)(0,45m)=0

-400+Rc(sen 53,1)(0,45)=0 Rc= Rc=11115,4925N Rc=V 

Con el valor de la carga y de se calcula el área, al hablar de un cortante doble multiplicamos el área obtenida por dos ya que después del corte son dos las áreas que se obtendrán.

A= A= 2,2230

X2

A=4,446 Se usa la formula del área en función del diámetro. A= π D= √ D=0,0238m


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RESISTENCIA DE MATERIALES 117.- Una polea de 750mm sometida a la acción de las fuerzas que indica la figura esta montada mediante una cuña en un eje de 50mm de diámetro. Calcule el ancho b de la cuña si tiene 75mm de longitud y el esfuerzo cortante admisible es de 70MPa.

10 KN

Cuña

50 mm

10mm

75mm β

6 KN

DATOS Τ=70 Dext= 0,75m Dint= 0,0 50m SOLUCIÓN Partimos de la fórmula de el esfuerzo cortante.

Dado que no contamos con los suficientes datos nos basamos en el grafico para el cálculo tanto de carga como de área. 

Al contar con fuerzas externas aplicada a la polea, realizamos una sumatoria de todas estas fuerzas incluida la carga cortante que buscamos, determinamos el sentido de la


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RESISTENCIA DE MATERIALES carga cortante tomando en cuenta que esta debe ser paralela al area de estudio que debe estar relacionada con b.

V

Σfx=0 V-10KN+6KN=0 V=10-6 V=4KN La carga encontrada es perpendicular (puesto que esta cortando el impulso de las poleas) a las cargas dadas, por lo que debemos encontrar un área que cumpla con las mismas características ya que se habla de un esfuerzo cortante. A=b(0.075) 

Remplazamos los valores encontrados en la formula

70

b= b=0,00076m Al remplazar los valores y despejar b se encuentra el valor del ancho de la misma.


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RESISTENCIA DE MATERIALES 118.- La palanca acodada que representa la figura P-118 esta en equilibrio. a) Determine el diámetro de la barra AB si el esfuerzo normal esta limitado a 100 MN/m2. b) Determine el esfuerzo cortante en el pasador en D, de 20 mm de diámetro.

A B P 200mm D

C 60˚

30KN DATOS (a) σ=100

N/

(b) d=0,02 SOLUCIÓN (a) 

Para encontrar el diámetro se debe usar el esfuerzo dado y una carga (perpendicular al diámetro de AB) se procede a sumar las fuerzas externas tanto en y como en x.

El análisis se realiza en D, ya que es un punto en el cual podemos acceder al resto de las fuerzas.


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P

60˚

Py

P

ΣFx=0

ΣFy=0

Dx-P-30KNcos60˚=0 (1)

Dy-30Sen60˚=0 Dy=30Sen60˚ Dy=25,98KN



Al tener una ecuación con dos incógnitas no se puede resolver el sistema, por lo que buscamos otra ecuación aplicando momento de una fuerza.

Σmx=0 P(0,2)-30knsen60˚*0,24=0 P= P=31,17KN P en 1 Dx=15KN+31,17 Dx=46,18KN


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RESISTENCIA DE MATERIALES Al tener los valores de X e Y de la fuerza D, se encuentra su modulo. D=√ D=√ D=52,98 

Teniendo los valores de las cargas remplazamos en la formula de esfuerzo simple:

σ= 100

N/

=

d=

d=0,0199m Al remplazar los valores en la formula y al despejar d se encuentra el diámetro de la barra AB.

(b) Del grafico concluimos que en D se produce un esfuerzo cortante doble por lo que su area se multiplicara por dos.

V=D 

Remplazamos en la formula

N/ Remplazando los valores dados se obtiene el esfuerzo cortante al cual se le multiplica 2 en su área ya que son dos áreas las que se cortaran.


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RESISTENCIA DE MATERIALES 119.- La masa de la barra homogénea AB mostrada en la figura P-119 es 2000Kg. La barra está apoyada, mediante un perno en B y mediante una superficie vertical lisa en A. Determine el diámetro del perno más pequeño que puede usarse en B si su esfuerzo cortante está limitado a 60MPa: El detalle del apoyo en B es idéntico al apoyo D mostrado en la figura P-118.

A

10m

W

B

6m

DATOS M=2000Kg W=mg W=19600N =60

Pa.

SOLUCIÓN 

Para encontrar el diámetro aplicamos un procedimiento similar al del ejercicio 118, es decir realizamos una sumatoria de todas las fuerzas y momentos en el punto B.

B y R a

B x W


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RESISTENCIA DE MATERIALES Σfy=0 By-19600N=0 By=19600N

MB=0 -w(3m)+8Ra=0 Ra= Ra=7350N

Σfx=0 Bx-Ra=0 (1) Bx=Ra Remplazando Ra en (1) Bx=7350N 

B

La carga que se necesita para que se produzca un corte es B ya que esta es paralela al área de estudio, al tener sus componentes en X e Y buscamos su modulo.

√

B=√ B=20932,81N 

Remplazamos B y en la formula de esfuerzo cortante, al tener el área aun en función del diámetro es posible encontrarlo al remplazar los valores conocidos.

A= π

60

Pa


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D= √ D=0,0149m D=14,9mm


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RESISTENCIA DE MATERIALES 120.- Dos piezas de madera de 50mm de ancho y 20mm de espesor, están pegadas como indica la figura. a) Aplicando las ideas que se expresan en la figura 1-4a, determine la fuerza cortante el esfuerzo cortante en la unión si P=6000N. b) Generalice el procedimiento para demostrar que el esfuerzo cortante en una sección inclinada un ángulo Ѳ respecto a una sección transversal de área A, tiene un valor dado por = (P/2A)(sen 2Ѳ).

P

60°

50mm

Pparal=V

0,02 P 0,05

x PA 60˚

DATOS P=6000N (b) T = (P/2A)(sen 2 Ѳ) SOLUCIÓN (a) Al analizar el grafico notamos que existen dos secciones, se especifica que el esfuerzo en la unión así que tomamos una de las secciones para nuestro estudio. En este caso tomamos la pieza izquierda.


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Para el análisis buscamos un área paralela en la unión y a la carga, por lo que descomponemos la fuerza P en una componente axial y una paralela.

V=Pcos60˚ V=6000Cos60˚ V=3000N 

Para encontrar el área usamos el ángulo dado:

x

0,05

60˚

A=X(0,02) Cos30˚= X=Cos30˚(0,05) X=0,057 A=X(0,02) A=(0,02)( 0,057) A= 0,00114 A= 1,14m (b)

Para el caso particular de un área inclinada la carga será igual a PCosɵ, y su área será A/Senɵ. Esto se deduce en el grafico ya que el área de estudio es un área inclinada y el área a la que nos referimos como A no lo es.


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

Nos basamos en la entidad geométrica del ángulo doble:

Sen2 Para apoyarnos en esta entidad es necesario realizar un artificio matemático; dividimos tanto el primer miembro como el segundo para 2.

= la formula de Ʈ.

Sen 2 Remplazando valores se obtiene una formula general para casos similares.


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RESISTENCIA DE MATERIALES 121.- Un cuerpo rectangular de madera, de sección transversal de 50mm x 10mm, se usa como elemento de compresión, según se muestra en la figura. Determine la fuerza axial máxima P que pueda aplicarse con confianza al cuerpo si el esfuerzo de compresión en la madera esta limitado de 20 MN/m2 y el esfuerzo cortante paralelo a las vetas lo esta a 5 MN/m2. Las vetas forman un ángulo de 20o con la horizontal, según se muestra. (Indicación: Use los resultados del Problema 120). P

Pin c. 20 °

DATOS σ= 20

N/m2

5

N/m2

Ɵ=20 o SOLUCIÓN Para poder determinar la carga se debe tomar en cuenta las dos cargas tanto de corte como de compresión. Tomamos en cuenta en primera instancia al esfuerzo de corte.

P

P = V


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RESISTENCIA DE MATERIALES Buscamos el valor del área inclinada que es paralela a la fuerza cortante:

A= x*(0,05)

P= 77N El análisis es similar con el esfuerzo simple, se debe tomar en cuenta que el área es perpendicular a la carga P.:

A=(0,1)(0,05)

P=-1

N

Al tener el resultado de ambas cargas se las analiza y como conclusión se nota que la carga de 77N, soportara perfectamente corte y compresión. Si se tomara la carga de -1 N soportaría compresión pero no corte por lo que no es la mas adecuada.


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ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO.


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RESISTENCIA DE MATERIALES 123.- En la figura se supone que el remache tiene 20mm de diámetro y une placas de 100 mm de ancho. a) Si los esfuerzos admisibles son de 140 MN/m2 para el aplastamiento y de 80 MN/m2 para el esfuerzo cortante, determinar el mínimo espesor de cada placa. b) Según las condiciones especificadas en la parte (a), ¿Cuál será el máximo esfuerzo medio de tensión en las placas?

P

P

P

P

DATOS. Dremache = 20mm = 0.02m Anchoplaca= 100mm = 0.1m = 140 MN/m2 Τ= 80 MN/m2 Espesor= ? SOLUCION.



Con las ecuaciones de σ y τ, igualamos las tensiones ejercidas respectivamente y encontramos el espesor de la placa.

Τ=


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RESISTENCIA DE MATERIALES V=τ*A V = (80 * 106 N/m2) * (

) Ecuación 1.

Σ= P=σ*A P = (140 * 106 N/m2) * (0.1*Espesor) Ecuación 2. 

Igualamos la Ecuación 1 y Ecuación 2, sabiendo que P y V son iguales puesto que ambas son tensiones.

V=P (80 * 106 N/m2) * (

) = (140 * 106 N/m2) * (0.02*Espesor)

(80 * 106 N/m2) * (

) = (140 * 106 N/m2) * (0.02m*Espesor)

25132.74 N/m4= 2800000 N/m3 * Espesor Espesor = 0.008976 m Espesor = 8.976 mm El espesor mínimo de la placa es de 8.976 mm 

Encontrar la tensión(V) que se aplica para el esfuerzo de corte y lo aplicamos en la tensión que se emplea para el esfuerzo de compresión (P).

Τ= V = (80 * 106 N/m2) * (

)

V = 25132.74 N

σ= σ=


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σ= σ = 35298792.13 N/m σ = 35.30 KN/m El máximo esfuerzo que se puede aplicar para compresión es de 35.30 KN/m.


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RESISTENCIA DE MATERIALES 124.- La junta que se muestra en la figura esta sujeta mediante tres remaches de 20mm de diámetro. Suponiendo que P= 50KN, determine a) el esfuerzo cortante en cada remache. b) el esfuerzo de contacto en cada placa. c) el máximo esfuerzo promedio en cada placa. Suponga que la carga aplicada P esta distribuida igualmente entre los tres remaches.

P

t=25mm

130 mm

d=20

DATOS. Dremache = 20mm = 0.02m P = 50KN Τ=? b

=?

=?


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RESISTENCIA DE MATERIALES SOLUCION. 

Empleando la ecuación de esfuerzo cortante encontrar el valor de τ

Τ=

Τ=

Τ= Τ = 53078556.26 Pa Τ = 53.078 MPa El esfuerzo cortante que se aplica a cada remache es de 53.078 MPa. 

Con la formula de esfuerzo de contacto, encontrar su valor respecto a cada placa.

b

=

b

=

b

=

b

= 33333333.33 Pa

= 33.333 MPa El esfuerzo de contacto para cada placa es de 33.333 MPa. 

Aplicando la formula de esfuerzo de contacto, encontramos el máximo esfuerzo promedio en cada placa, tomando en cuenta que el área es igual al área total de la placa, menos el área de los pernos.

= = =

(

)

(


)

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= = 18181818.18 Pa = 18.18 MPa El esfuerzo promedio aplicado en cada placa es de 18.18 MPa Se debe tomar en cuenta que para el último cálculo no hay que multiplicar por 3 pernos, por la forma en la que estos están ubicados (uno tras otro, mas no: uno junto al otro).


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RESISTENCIA DE MATERIALES 125.- Para la junta traslapada del problema 124, determine la máxima carga P que pueda aplicarse con confianza si el esfuerzo cortante en los remaches esta limitado, a 60 MPa; el esfuerzo de contacto en las placas, a 110 MPa; y el esfuerzo de tensión medio en las placas, a 140 MPa.

P

P

DATOS. Dremache = 20mm = 0.02m Τ = 60mpa b

= 110 MPa

= 140 MPa Pmaximo = ? SOLUCION. 

Empleando la ecuación de esfuerzo cortante (τ), encontrar el valor de V.

Τ= V= τ * A V=

(

)

V = 0.056548667 MN V = 56548.667 N


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RESISTENCIA DE MATERIALES V = 56.55 KN  b

Con la formula de esfuerzo de contacto (σb), encontrar el valor de Pb.

=

P b = σb * A Pb = (110 mpa )*

*

Pb = 0.165 MN Pb = 165000 N Pb = 165 KN 

Aplicando la formula de esfuerzo de contacto (σ), encontrar el valor de P.

= = P=σ* P = (140 mpa ) * (

)

(

)

P = 0.385 MN P = 385000 N P = 385 KN La carga máxima P que debe aplicarse con confianza es de 56.55KN, puesto que si se trabaja con la carga de 165KN O 385KN la junta traslapada colapsaría y se rompería. Se debe tomar en cuenta que solamente para el último cálculo no hay que multiplicar por 3 pernos, por la forma en la que estos están ubicados (uno tras otro, más no; uno junto al otro).


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RESISTENCIA DE MATERIALES 126.- En la articulación de la figura, determine el diámetro mínimo de perno, el mínimo espesor de cada rama de la horquilla si debe soportar una carga P = 55KN, sin sobrepasar un esfuerzo cortante de 70mpa ni uno de 140mpa a compresión.

b

DATOS. Dminimo= ? Espesorminino= ? P= V = 55KN Τ = 70mpa σb = 140mpa SOLUCION. 

Con la ecuación de τ; despejamos y calculamos el valor del Diámetro.

Τ= Τ=

D2 =

( )


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D2 =

( )

D2 = 0.000500201m2 Aplicando Raíz en ambos lados encontramos el diámetro. D = 0.022365m El diámetro mínimo del perno es de 0.022365 m. 

Aplicando la ecuación de esfuerzo, encontramos el valor del espesor mínimo.

σb = σb = Espesor = Espesor = Espesor = 0.008782855 m El espesor mínimo para cada rama de la horquilla es de 0.00878 m 

Es importante mencionar que se multiplica por dos (2) en las respectivas formulas, puesto que se trata de un esfuerzo cortante doble.


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RESISTENCIA DE MATERIALES 127.- Un tornillo de 22.2 mm de diámetro exterior y 18.6 mm en el fondo e la rosca, sujeta dos piezas de madera, como se indica en la figura P-127: Se aprieta la tuerca hasta tener un fuerza de 34 KPa en el tornillo. (a)Calcular el esfuerzo cortante en la cabeza del mismo y en la rosca. (b) Determine también el diámetro exterior de las arandelas si el interior es de 28 mm y el esfuerzo de aplastamiento admisible en la madera es de 6 MPa.

DATOS Dext=0,0222m Dint=0,0186m =34KPa (b) En arandelas Dint=0,028m =6

N/m2


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RESISTENCIA DE MATERIALES SOLUCION

P=V (CABEZA)

h τ= τ *A= V 

Calculamos τ en la rosca

τ= τ= τ=40.62 MPa 

Calculamos τ en el fondo de la rosca.

τ= τ= τ=40.62 MPa τ=36.366 MPa (b)



Con los valores dados se puede obtener fácilmente el área; la que contiene a las arandelas.


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RESISTENCIA DE MATERIALES δb= A= ( A= ( Remplazamos A en τ

δb = 6*10^6 = de=4,17mm


Página 71

RESISTENCIA DE MATERIALES 128.- En la figura P-128 se muestra el esquema de una armadura y en le croquis (b) el detalle de la unión de las barras, mediante una placa, en el nudo B. ¿Cuantos remaches de 19 mm de diámetro se necesitan para unir la barra BC a la placa, si los esfuerzos admisibles son Ʈ= 70mpa. Y σb= 140mpa? ¿Cuántos para la barra BE? ¿Cuál es el esfuerzo medio de compresión o tensión en BC y BE?


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RESISTENCIA DE MATERIALES DATOS D=0,019m Ʈ= 70

Pa

σb= 140

Pa

SOLUCIÓN Al tener los esfuerzos se deben buscar tanto sus áreas como sus cargas. Por estática y analizando el grafico se pueden calcular las cargas.

Con los datos es posible encontrar la reacción en A. Σfy=0

Σma=0

Ray-96-200-96+Rhy=0

-96(4)-200(8)-96(12)+16Rhy=0

Ray=196KN

-3136000+16rhy=0 16rhy=3136 Rhy=196KN



Aplicando el método de secciones para resolver armaduras; tomamos una parte del sistema y lo resolvemos.


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Tan= Ɵ=36,87 o Σfx=0 -BDcos36,87 o +BEcos36,87 o +CE=0 (1)

100 -0,600BE -0,600BD=0

ΣFy=0

BE=

196-96-BE Sen36,87 o -BD Sen36,87 o =0(3) Usamos el momento de una partícula para encontrar CE. ΣM=0 -196(4)+CE(3)=0 CE=261,33 CE EN (1) -BDcos36,87 o +BEcos36,87 o +261,33=0 (2) 

Al tener dos ecuaciones con dos incógnitas se resuelve el sistema de ecuaciones.

BE en (2) -BDcos36,87 o +(


)Cos36,87 o +261,33=0

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RESISTENCIA DE MATERIALES 0,4799BD +0,4799BD -79,999-260,73=0 BD=246,667 

Para encontrar BE remplazo BD en (2).

-(246,667)Cos36,87 o +becos36,87 o +261,33=0 BE=-80,00 ANALISIS EN BC = N= (

)

N=6,015≡7

N=4,84≡5 Se necesitan 7 remaches ya que estos soportaran perfectamente los esfuerzos tanto de corte como de contacto. Al usar un número menor de remaches la estructura inminentemente se romperá y si se usa un número mayor tan solo se perderán recursos. Análisis en BE.

(

)

N=4,031≡5 = 140

=

N= N=5,012≡6 Al igual que en el análisis anterior se toman 6 remaches que soportaran ambos esfuerzos.


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RESISTENCIA DE MATERIALES 129.- Repetir el problema anterior con remaches de 22 mm de diámetro sin variar los demás datos.


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RESISTENCIA DE MATERIALES DATOS D=0,022m Ʈ= 70

Pa

σb= 140

Pa

BD=246,78KN BE=80KN BC=96KN SOLUCIÓN Al tener los esfuerzos se deben buscar tanto sus áreas como sus cargas. Por estática y analizando el grafico se pueden calcular las cargas. Análisis en BC.

= ( N=

(

)

)

140

=

N= N=5,19≡6

N=3,61≡4


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RESISTENCIA DE MATERIALES PARA EL CASO DE BC SE DEBEN USAR 6 REMACHES. Análisis en BE.

= ( N=

(

)

N=2,36≡3

)

140

=

N= N=4,33≡5

Al igual que en el análisis anterior se toman 5 remaches que soportaran ambos esfuerzos. Al ser los diámetros diferentes el número de remaches varía en ambos ejercicio, al ser mayor el área del remache se usaran menos remache.


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Esfuerzo simple de corte y de aplastamiento

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