Pendekatan Normal Terhadap Binomial

Diyah Septi Andryani / 1506693052

PENDEKATAN DISTRIBUSI NORMAL TERHADAP BINOMIAL Peluang Peluang distribusi binomial b(x;n,p) b(x;n,p) bisa dihitung dihitung jia n e!il" e!il" #amun bila n besar besar atau atau mende mendeati ati tida tida terhin terhingga gga $%&' $%&' maa maa peluang peluang binomi binomial al bis bisa a dihitung melalui prosedur hampiran normal" Teorema Teorema 7.1. Bila X adalah peubah acak binomial dengan rataan µ = np dan np dan variansi σ 2 = npq maka npq maka bentuk pelimitan bagi sebaran

Distribusi normal memberian hampiran yang amat bai terhadap distribusi Untuk n mendekati tak berhingga (∞), ini ialah distribusi normal baku n(z;0,1).

binomial bila n besar dan p deat 1/2" (alahan bila n e!il tapi p tida amat deat dengan nol atau satu' hampiran masih !uup bai" Dengan Dengan mengg mengguna unaan an e)!el e)!el'' aan aan digamb digambar aran an gra* gra* dis distri tribus busii normal normal terhadap binomial" (isal (isal pada pada pelemp pelempara aran n sebuah sebuah oin" oin" Dimana Dimana p peluan peluang g suses suses mun!ul mun!ul gambar sedangan + adalah peluang gagal mun!ul gambar" gambar" p q

0"5 1,p

-

1,

0"5-0"5

Kesalahan n

1000000 10000000

Dist Binomial Mean !ar 5 2"5 50 25 5 00 25 0 5000 2500 50000 25000 500000 250000 500000 250000 500000 250000

Dist Normal Mean !ar 5 2"5 50 25 500 250 5000 2500 50000 25000 500000 250000 500000 250000 5000000 2500000

Absolt Mean !ar 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

00

0

0

10 100 1000 10000 100000 1000000

" # Page

00

0

0


.ntu n - 10 n $ "% 0 1 2 3  5 6   9 10 11 12 13 1 15

Distribsi Binomial 0"00096563 0"00965625 0"0395313 0"1115 0"2050125 0"260935 0"2050125 0"1115 0"0395313 0"00965625 0"00096563 #.( #.( #.( #.( #.(

Distribsi Normal 0"0010003 0"0102 0"0101 0"11331652 0"20656619 0"252313252 0"20656619 0"11331652 0"0101 0"0102 0"0010003 0"000133 1"399124,05 6"9654,0 2"3214,0 5"200564,10

&ra'( pen)e(atan )istribsi Normal terha)ap Binomial nt( n $ "%

* # Page


0"3 0"25 0"2 Dist inomial

0"15

Dist #ormal 0"1 0"05 0 0 1 2 3  5 6   9 10 11 12 13 1 15

Untuk n yang lebih besar n $ "%% 0 1 2 3  5 6   9 10 11 12 13 1 15 16 1 1 19

+ # Page

Dist Binomial "614,31 "614,29 3"9064,2 1"25594,25 3"09334,2 5"93914,23 9"0364,22 1"2624,20 1"694,19 1"50064,1 1"36554,1 1"11264,16 "26364,16 5"609234,15 3"54,1 1"9994,13 1"0614,12 5"26034,12 2"194,11 1"03994,10

Dist Normal 1"53924,23 1"1164,22 "56224,22 5"1534,21 3"33114,20 2"055954,19 1"219154,1 6"95934,1 3"02164,1 1"99964,16 1"01054,15 "90514,15 2"2314,1 1"025554,13 "1594,13 1"2694,12 "261924,12 2"3364,11 1"01634,10 3"554,10


20

"22164,10

1"21514,09

21

1"61034,09

3"9564,09

22

5"394,09

1"236524,0

23

1"961524,0

3"124,0

2

6"293224,0

1"02214,0

25

1"91314,0

2"934,0

26

5"5164,0

"92264,0

2

1"512524,06

2"0214,06

2

3"9334,06

"994,06

29

9"9034,06

1"164,05

30

2"3104,05

2"6664,05

31

5"232094,05

5"394,05

32

0"0001121

0"0001223

33

0"0002321

0"00026

3

0"0005105

0"00061

35

0"0006356

0"00063

36

0"00155939

0"0015309

3

0"0026992

0"0021659

3

0"002

0"00906

39

0"0011032

0"0009919

0

0"01036

0"0109193

1

0"0156903

0"01590032

2

0"0222922

0"022116

3

0"0300663

0"0299593



0"0395256

0"033211

5

0"029

0"03915

6

0"059539

0"0593311



0"0665905

0"0666921



0"035201

0"036502

9

0"00266

0"020539

50

0"095923

0"0956

51

0"00266

0"020539

52

0"035201

0"036502

53

0"0665905

0"0666921

5

0"059539

0"0593311

55

0"029

0"03915

56

0"0395256

0"033211

5

0"0300663

0"0299593

5

0"0222922

0"022116

, # Page


59

0"0156903

0"01590032

60

0"01036

0"0109193

61

0"0011032

0"0009919

62

0"002

0"00906

63

0"0026992

0"0021659

6

0"00155939

0"0015309

&ra'( pen)e(atan )istribsi Normal terha)ap Binomial nt( n $ "%% PENDEKATAN DISTRIBUSI NORMAL TERHADAP BINOMIAL 0"2 0"1 0 n - 100 Dist inomial

n - 100 Dist #ormal

ontoh lain untu melihat hampiran normal terhadap distribusi binomial' mula,mula diluisan histogram b$)715'0'& dan emudian meletaan ur8a normal dengan rataan dan 8ariansi yang sama dengan peubah binomial  sehingga eduanya saling tumpang tindih" Dimana: ; - np - 15 2

× 0' - 6

σ - np+ - 15

× 0'

× 0'6 - 3'6

"2' luas tadi adalah : - # Page

x


P $  -  & - b$715'0"& - 0"126 >uas ini ira,ira sama dengan luas daerah yang dihitami diba=ah ur8a normal antara ordinat

x 1=3,5 dan

x 2=4,5 dalam gambar "20' dengan

mengubah e nilai ?' maa ita memperoleh: z 1= z 2=

3.5 −6 1.9 4.5−6 1.9

=−1.316 =−0.789

ila  adalah suatu peubah a!a binomial dan @ peubah a!a normal bau' maa P$-& - b $ 715' 0" & - P $ ,1"316  @  ,0"9 & - P $ @  ,0"9 & B P$ @  ,1"316 & - 0"2151 B 0"091 - 0"1210 Perhatian bah=a nilai ini sangat deat dengan nilai peluang pastinya sebesar 0"126

x

9

∑ b ( x ; 15,0.4 )

P$   9&-

7

9

-

∑ b ( x ; 15,0.4 ) 0

- 0"9662 B0"609 - 0"0356 . # Page

6

,

∑ b ( x ; 15,0.4 ) 0


Eni sama dengan jumlah luas tiga daerah persegipanjang yang berpusat di ) - ''9" .ntu hampiran normal' ita harus mendapatan luas daerah diba=ah ur8a itu yang terleta antara x 1 6,5 dan x 2=9,5 dalam gambar =

"20 edua nilai ? padananya adalah : z 1= z 2=

6.5 −6 1.9 9.5−6 1.9

= 0.263 =1.842

Dengan demiian : P $     9 & - P $ 0"263  @  1"2 & - P $ @  1"2& B P $ @  0"263& - 0"963 B 0"603 - 0"3636 Ferlihat bah=a ur8a normal memberian hampiran yang !uup deat dengan nilai sesungguhnya 0"356" deraja etelitian' yang tergantung pada e!o!oan ur8a dengan histogram' aan bertambah jia n membesar"
Hambar beriut menunjuan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semain membesar"

/ # Page


0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0

1

r

0

1

2

3

r

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

r

Iator Joresi

ila nilai  adalah distribusi a!a binomial dengan nilai tengah µ-np dan standar de8iasi σ-√np+' maa nilai @ untu distribusi normal adalah:

2$34 di mana n



∝ dan nilai p mendeati 0'5

.ntu mengubah pendeatan dari binomial e normal' memerluan Cator oresi' selain syarat binomial terpenuhi: $a& hanya ada dua peristi=a' $b& peristi=a bersiCat independen7 $!& besar probabilitas suses dan gagal sama setiap per!obaan' $d& data merupaan hasil penghitungan" (enggunaan Cator oresi yang besarnya 0"5 

0ontoh penerapan : 1" Adi merupaan pedagang buah di Fangerang" Setiap hari ia membeli 300 g buah di Pasar Endu Jramat Kati' Kaarta Fimur" Probabilitas buah tersebut lau dijual dalah 0L dan 20L emunginan tida lau dan busu" erapa probabilitas buah sebanya 250 g lau dan tida busu M

1 # Page


Pen5elesaian6 n - 3007 probabilitas lau p - 0"' dan + - 1 B 0" - 0"2 µ - np - 300 ) 0"0 - 20 σ - √ Npq =√ 300 x 0.80 x 0.20 =6.93 Dietahui  - 250' dan diurangi Cator oresi 0"5 sehingga  - 250 B 0"5 29"5" Dengan demiian nilai @ menjadi: @ - $29"5 B 20& / 6"93 - 1"3 dan P $@1"3& - 0"1 Kadi probabilitas lau adalah 0"5 N 0"1 - 0"91 Dengan ata lain harapan buah lau 250 g adalah 91"L 2" (anajemen restoran santoni Pi??a menemuan bah=a 0L onsumen baru merea aan embali untu maanan lainnya" .ntu seminggu di mana 0 onsumen

baru $baru

pertama ali datang&

maan

di

santoni' berapa

probabilitas 60 onsuman atau lebih aan embali untu maanan lainnya

 P$ )O60&' arena n yang besar' maa untu memudahan perhitungan digunaan pendeatan dist normal terhadap binomial"  Iator oresi 60,0'5 - 59'5 μ= np=80 x 0.70=56

σ =√ npq Z

=

√ 80 x 0,70 x 0,30 =4,098

X np −

√ npq

=

59,5

56

−

4,098

0

0,85

=

0,85

 Di!ari P $? O 0'5&  (aa luas daerah di ba=ah ur8a normal adalah 0'5 , 0'3023 - 0'19  Kadi peluang bah=a 60 atau lebih dari 0 onsumen baru aan embali untu maanan lainnya sebesar 0'19 atau 19'L

7 # Page


3" Peluang bah=a seorang pasien dapat sembuh dari suatu penyait darah adalah 0"6 bila 100 orang dietahui menderita penyait ini berapa peluang bah=a urang dari separuhnya aan dapat sembuhM Ka=ab : (isalan peubah a!a  menyataan banyanya pasien yang dapat sembuh" Jarena n - 100 maa ita aan mendapatan hasil yang !uup teliti bila mengunaan hampiran ur8a normal dengan: ; - np - 100 ) 0'6 - 60 σ =√ npq -

√ 100 x 0.6 x 0.4

- "9 .ntu mendapatan peluang yang di!ari' ita harus menghitung luas daerah disebelah iri ) - 9"5' nilai ? padanan ) - 9"5 adalah z =

49.5 − 60 4.9

=−2.14

Sehingga peluang bah=a yang sembuh urang dari 50 pasien diberian oleh daerah yang diarsir dalam gambar 11

dengan demiian 49

P ( X < 50 )=

∑ b ( x ; 100,0.6 )

X = 0

- P $ @  ,2"1& - 0"0162 " Sebuah ujian terdiri atas 200 pertanyaan pilihan berganda' masing, masing dengan  emunginan ja=aban' tetapi hanya 1 yang benar" erapa peluang seseorang yang menja=ab se!ara a!a 0 diantara 200 soal yang sama seali tida dietahuinya' mendapatan dari 25 sampai 30 ja=aban yang benarM

"% # P a g e


Ka=ab: Peluang ja=ab yang benar untu masing,masing diantara 0 soal tersebut adalah p-  " bila  menyataan banyanya ja=aban yang benar dari !ara menja=ab yang a!a tersebut' maa: 30

∑ b ( x ; 80, 14 )

P $ 25    30 & -

25

Dengan menggunaan hampiran ur8a normal dengan ; - np - 0 )  - 20 σ =√ npq -

80 x

1 3 4

x

4

- 3" Jita harus menghitung luas daerah antara x 1=24.5 dan x 2=30.5 Jedua nilai ? padanannya adalah : z 1= z 2=

24.5 −20 3.87 30.5 −20 3.87

=1.16 =2.71

# $1

1,1" !,71 Peluang mendapatan 25  sampai 30 ja=aban yang benar dengan

demiian diberian oleh luas daerah yang dihitami dalam gambar "2 ' dari table A" $Qalpole hal 0& ita dapatan : 1 b ( x ; 80, ) ∑ 4 = 30

P (25 ≤ X ≤ 30 )=

X 25

-

"" # P a g e

P $1"16  @  2"1& P $ @  2"1 & B P $ @  1"16 & 0"9966 B 0"0 0"1196

Pendekatan Normal Terhadap Binomial

Recommend Documents