Universit´ e de Paris XI Math´ ematiques
L1 – Calculus Math101 1er semestre 06/07
Premier Pre mier Partie Partiell de Math´ emat iquess ematique IFIPS–Le 25 Octobre 2006–10h45-12h45
– Bar`eme eme indi indicat catif– if– Document Doc umentss ´ecrits ecr its,, ´electro elec troniq niques ues,, calcu ca lculat latrice ricess et t´el´ el´ephone eph oness port p ortabl ables es inter i nterdit ditss
Question de Cours (4 pts)
1. On suppose que f est une fonction de classe C 2 sur l’intervalle ]− ] − 1, 1[. Montre Mo ntrerr comment com ment d´edui eduire re la formule de Taylor-Young `a l’ordre 2 en 0 de f a` partir de la formule de Taylor-Lagrange. 2. Donn Donner er le d´evelopp evelo ppement ement limi limit´ t´e `a l’ordre 2 en 0 de la fonction f d´efinie efin ie po pour ur x ∈] − 1, +1[ par cos x la formule f (x) = e en utilisant la formule de Taylor-Young.
Exercice 1 (2 pts) Montrer, en appliquant la formule de Taylor-Lagrange `a l’ordre 2, que pour tout r´eel eel x, |ex − x − 1| ≤
x2
2
e|x|
On pourra distinguer les cas x < 0 et x > 0.
Exercice 2 (4 pts) Soit f : [0, 1] → R une fonction continue sur [0 , 1], d´erivable erivable en tout point de ]0, 1[ et telle que f (0) = f (1) = 0. Le but de cet exercice est de d´emontrer emontrer que si a ∈ [0, 1] alors il existe une tangente au graphe de f passant par le point ( a, 0). 1. Faire un dessin d essin illust illustrant rant ce r´esultat. esulta t. 2. Soit x0 un point de ]0, 1[. Donner l’´equation equation de la tangente t angente au graphe de f en x0 . 3. Soit a ∈]0, 1[. A quelle condition la tangente au graphe de f en x0 passe-t-elle par le point (a, 0) ? 4. On consid`ere ere la foncti fonction on φ : [0 , 1] → R d´efini efi niee pa parr φ(x) =
f (x) . a−x
Jus tifier Justifi er bri` b ri`evement eveme nt que qu e φ est une un e fonction fon ction d´efinie, efinie, continue sur s ur [0 , 1], d´erivable eri vable sur ]0 , 1[ et donner une for formule mule po pour ur sa d´eriv´ eri v´ee. ee. 5. Montrer qu’il existe x0 ∈]0, 1[ tel que la tangente au graphe de f en x0 passe par le point ( a, 0).
Exercice 3 (10 pts) Le but de cet exercic exercicee est es t l’´etude etude de la fonctio fonction n r´eelle eelle de variable r´eelle eelle f : [0, +∞[→ R d´efini efi nie, e, pour x ≥ 0, par f (x) =
0 x (ln(x + 1) − ln x) = x2 ln 1 + 2
1
x
si x = 0 si x > 0
1. a. Etudier la continuit´e de f sur [0, +∞[. b. Et Etudi udier er la d´erivab er ivabil ilit´ it´e de d e f sur ]0, +∞[ et donner une formule pour sa d´eriv´ eriv´ee. ee. c. f est-ell est-ellee d´erivable erivable en 0 ? d. D´eterminer etermin er le signe de f ′ suivant les valeurs de x. Indication: On pourra ´etudier succinctement une fonction auxiliaire .
e. Quelle est la limite de f (x) lorsque x tend vers +∞ +∞ ? f. Construire le tableau de variations de f . 2.
a.
D´eter et ermi mine nerr des d es r´eels ee ls a, b et c tels que, pour x voisin de +∞ +∞, 1 c f (x) = ax + b + + ǫ x x
1 x
o`u ǫ est une certaine fonction de limite nulle en 0 que l’on ne demande pas de pr´eciser. eciser. Indication: On pourra poser
u
=
1 x
et effectu effectuer er des d es d´ evelopp ements limit´ eveloppements es en 0 en la variable u. es
b. En d´eduire edui re que f admet une asymptote oblique lorsque x tend vers +∞ +∞, donn d onner er l’´equati equ ation on de cette droite et d´eterminer eterminer la position du graphe de f relativement `a cette droite, au voisinage de +∞.
Premier Pre mier Partie Partiell de Math´ emat iquess ematique Correction
Correction Correctio n Ex.–Q.1 Ex.–Q.1 1. Soit x ∈] − 1, +1[. La L a formule f ormule de Taylor-Lagrang Taylor-La grangee appliqu´ee ee `a f entre 0 et x (ce qui est l´egitime egitim e car c ar f est 2 fois d´erivable erivable sur un interv intervalle alle ouvert contenant 0 et x) donne que 1 f (x) = f (0) + xf ′ (0) + x2 f ′′ (cx ) 2 pour un certain cx entre 0 et x. On a donc f (x) = f (0) + xf ′ (0) +
1 2 ′′ 1 x f (0) + x2 (f ′′ (cx ) − f ′′ (0)) 2 2
Appelons ǫ(x) = 12 (f ′′ (cx ) − f ′′ (0)). Comme, lorsque x tend vers 0, cx te tend nd ver verss 0 pa parr le l e th´ t h´eor` eo r`eme eme ′′ des gendarmes, comme f est continue en 0, cela montre que ǫ(x) tend vers 0 en 0 avec f (x) = f (0) + xf ′ (0) +
1 2 ′′ 1 x f (0) + x2 ǫ(x) 2 2
2. f est clairement de classe C 2 car compo compos´ s´ee ee de deux foncti fonctions ons de r´ef´ ef´erence erence exp et cos qui sont toutes deux C 2 sur R. Par ailleurs, f (x) = ecos x , f ′ (x) = − sin xecos x , f ′′ (x) = (sin2 x − cos x)ecos x et donc f (0) = e1 = e, f ′ (0) = 0, f ′′ (0) = −e La formule de Taylor-Young donne donc que f (x) = e −
e
2
x2 + x2 ǫ(x)
(ǫ ´etant etant bien entendu une fonction de limite 0 en 0.) Correction Correctio n Ex.–1 Appliquons la formule de Taylor-Lagrange `a l’ordre 2 `a la fonction exponentielle entre 0 et x. La fonction exponentielle ´etant etant de classe C 2 sur R, cette formule s’applique bien. On obtient l’existence d’un nombre c compris entre 0 et x tel que x
e = 1+x+
x2
2
ec
1. Si x < 0, c ´etant eta nt entr entree 0 et x, on a ec ≤ 1 ≤ e|x| . 2. Si x > 0 c ´etant eta nt entr entree 0 et x, on a donc ec ≤ ex = e|x| . Dans tous les cas, |ex − 1 − x| = |
x2
2
ec | ≤
x2
2
e|x| .
Correction Ex.–2 Soit f : [0 , 1] → R une fonction continue sur [0, 1], d´erivable erivable en tout t out point de ]0, 1[ et telle que f (0) = f (1) = 0. 1. cf figure 1 . 2. Soit x0 un point de ]0, 1[. L’´ L ’´equation equation de la tangente au graphe de f en x0 est y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
3. Soit a ∈]0, 1[. La tangente au graphe de f en x0 passe par le point (a, 0) si et seulement si 0 = f ′ (x0 )(a − x0 ) + f (x0 ) 4. On consid`ere ere la fonctio fonction n φ : [0, 1] → R d´efini efi niee pa parr φ(x) =
f (x) . a−x
1 Comme a ∈ [0, 1] la fonction g : x → x− est d´efinie, efini e, continu co ntinuee sur [0 , 1], d´erivable eri vable sur ]0 , 1[. Comme a f l’est aussi, φ = f.g l’est aussi. On a pour x ∈]0, 1[,
φ′ (x) =
f ′ (x)(a − x) + f (x) (a − x)2
5. Comme φ(0) = φ(1) = 0, que φ est continue sur [0, 1], d´erivable eri vable sur ]0 , 1[ le lemme de Rolle (ou le th´eor` eor`eme eme des d es accrois accroissements sements finis) impliq implique ue qu’il existe x0 ∈]0, 1[ tel que φ′ (x0 ) = 0. Au vu de la formule de φ′ , on a donc pour cet x0 que f ′ (x0 )(a − x0 ) + f (x0 ) = 0
C’est exactement la condition pour que ( a, 0) appartienne `a la tangente en x0 au graphe de f . Correction Ex.–3 Soit f : [0, +∞[→ R d´efini efi nie, e, po pour ur x ≥ 0, par f (x) =
0 1
x2 (ln(x + 1) − ln x) = x2 ln 1 +
x
si x = 0 si x > 0
1. a. f est clairement continue en tout point de ]0 , +∞[ par les th´eor` eor`emes emes de cont continui inuit´ t´e de produits et de compos´ compo s´ees ees ( en particulier du fait que ln est continue sur ]0, +∞[). On a x2 ln(x + 1) → 0 lorsque x → 0, x > 0 et x2 ln(x) → 0 lorsque x → 0, x > 0 du fait des r´esultats esultat s sur les croiss croissances ances compar´ees. ees. La foncti fonction on f tend donc vers 0 et en 0 et, comme f (0) = 0, f est donc continue en 0. b. La d´eriva er ivabi bililit´ t´e de f sur ]0, +∞[ est e st im imm´ m´edia ed iate te du fa fait it de dess th´ t h´eor` eo r`emes eme s de d´erivab er ivabil ilit´ it´e de d e pro p rodu duit itss et de fonctions compos´ comp os´ees ees : on a, a , pour x > 0, f ′ (x) = x2
1 1 − x+1 x
1 + 2x(ln(x + 1) − ln x) = x − + 2(ln(x + 1) − ln x) x+1
c. Pour x > 0, on a f (x) − f (0) = x(ln(1 + x) − ln x) x Cette quantit´ e tend vers 0 lorsque x → 0 (crois (croissance sance compar´ee ee de ln x et x en z´ero) er o).. f est donc ′ d´eriva er ivabl blee `a droite en 0 avec f d (0) = 0. d. Pour x > 0, le signe de f ′ est le mˆeme eme que celui de g (x) = −
1 1 1 + 2(ln(x + 1) − ln x) = − + 2 ln( ln(11 + ) x+1 x+1 x
Etudions rapidement cette fonction g . Elle est d´erivable erivable sur ]0 , +∞[ avec g ′ (x) = +
1 2 2 +x + 2x(x + 1) − 2(x + 1)2 2+x + − = =− 2 2 (x + 1) x+1 x x(x + 1) x(x + 1)2
Cette quantit´ e est clairement strictement n´egative egative et donc g est strictement d´ecroissante ecroissante sur ]0, +∞[. Comme la limite de g en +∞ est 0, g est donc strictement positive sur ]0, +∞[. e. On a, en utilisant le d´eveloppement eveloppement ln(1 + u) = u + uǫ(u), que f (x) = x2 ln(1 +
1 x
) = x2 (
1 x
+
1
1
1
ǫ( )) = x(1 + ǫ( ))) x x x
o`u ǫ est une fonction de limite nulle en 0. La limite de f (x) lorsque x tend vers +∞ +∞ est donc +∞ + ∞. f. On a donc le tableau de variations suivant x f (x) ′
0 0
+∞ + +∞
f (x)
ր 0 2.
a. On a ln(1 + u) = u −
u2
2
+
u3
3
+ u3 ǫ(u)
o`u ǫ est une fonction de limite nulle en 0. En posant u = x1 (qui tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ +∞), on a donc f (x) = x2 ln(1 +
1 x
)=x−
1 1 1 1 + + ǫ( ) 2 3u u u
b. f admet donc y = x − 12 comme asymptote oblique lorsque x tend vers +∞ +∞. f (x) − (x − 12 ) = 1 1 1 ( + ǫ( x )) et donc, comme la parenth` ese tend vers 3 lorsque x tend vers +∞ ese +∞, cett cettee diff´erence ere nce x 3 est > 0 d`es es qu quee x est suffisamment grand. Le graphe de f est donc au dessus de son asymptote pour les grandes valeurs de x. 1
x0 ′
0
Fig.
x 0
1
a
1 – Il existe une tangente au graphe passant par ( a, 0) : deux exemples.
