Cap´ıtulo 1
Cine Cinem´ m´ atic atica a Rela Relati tivi vist sta a 1.1. 1.1.
Los axiom axiomas as funda fundame men ntale taless
1.1.0. 1.1.0.1 1 Observ Observado adorr y Suceso Sucesos s Por suceso entendemos cualquier proceso f´ısico que ocurre en un punto del espacio y en un instante de tiempo. Puede tratarse de la desintegraci´on on de un ´atomo atomo o de la colisi´on on de dos part´ıculas, ıculas , etc. El conjunto de todos los sucesos que pueden darse en posiciones y momentos diferentes forma una variedad de dimension 4 que llamamos espacio-tiempo. espacio-tiempo . Para poder comparar sucesos distintos debemos etiquetarlos o, en otras palabras, ponerles coordenadas. Para ello debemos empezar por definir un sistema de coordenadas para el espacio-tiempo. A cada sistema de coordenadas asociamos una noci´on de observador o sistema de referencia . La forma en que nuestro observador “observa. es registrando la posici´on on (x,y,z ( x,y,z)) y el tiempo t en el que ocurre un determinado suceso en el mencionado sistema de coordenadas. De hecho, confundiremos un suceso suceso con su observa observaci´ ci´ on, y frecuentemente diremos: sea el suceso = (t, on, ( t, x1 , x2 , x3 ). Hay colecciones de sucesos que conforman variedades de dimensi´ones varias. As´ As´ı la propagaci´ propaga ci´on on de una part p art´´ıcula forma una curva c urva de dimensi´ dimensi ´on on 1, la trayectoria. La propagaci´on on de una cuerda forma una superficie (por tanto tanto dimensi´ dimensi´ on on 2), etc. 1.1.0. 1.1.0.2 2 Observ Observado adorr Iner Inercial cial La part´ıcula ıcu la libre lib re es una abstracci´on on de gran utilidad en la formulaci´on on de la mec´anica. anica. Aunque no se da en la naturaleza, siempre podemos acercarnos arbitrariamente a un proceso en el que un objeto se propaga sin interferencia con su entorno y estudiar su evoluci´on. De dicho estudio se sigue la existencia de una clase privilegiada de observadores denominados sistemas de referencia inerciale ine rcialess rectil´ıneos, ıneos , (SRIR) (S RIR) . Un sistema de referencia, se dice que es inercial rectil´ıneo, ıneo, si la propagaci´on on de cualquier part´ pa rt´ıcul ıc ulaa libre se describe mediante la ecuaci´on on de una recta x (t) = vt vt + x0 . El presente presente cap´ cap´ıtulo se refiere refiere exclusiva exclusivamen mente te a la descripci´ descripci´on o n de la din´amica a mica en este tipo de sistemas de referencia. El concepto de observador inercial es m´as as general que el de obervador inercial rectil´ rectil´ıneo, y admite el uso de coordenadas curvil´ curvil´ıneas para el espacio. Siempre es posible pasar a un observador rectil´ rectil´ıneo mediante un cambio de co ordenadas que no involucre el tiempo. El primer intento por caracterizar los sistemas inerciales se remonta a Galileo. No se trata de una caracterizaci´ on completa pero si constructiva, al afirmar que, dado un suceso, la descripci´on del on mismo en dos SRIR se diferencia (salvo una rotaci´on on y traslaci´on on fija de coordenadas espaciales) en una traslaci´on on con velocidad uniforme V . V . De este modo, si = (t, x) en un SRIR y = (t ( t , x )
A
A
1
A
en el otro, tenemos que sencillamente t x
= t = Rx
− V t + a
(1.1)
1.1.0.3 Relatividad de Galileo): Galileo): Las leyes de la f´ısica ısica deben adoptar la misma Axioma Axioma 1 (Principio de Relatividad forma en todos los sistemas de referencia referencia inerciales. inerciales. Es decir, deben estar escritas de forma tal que no privilegien ning´un un sistema de referencia inercial rectil´ıneo ıneo frente a los l os dem´as. as. As´ As´ı ocurre en la din´ amica de Newton, en las que las ecuaciones del amica movimiento involucran la aceleraci´on on ) v d(v + V ) V = ma = m d F =m dt dt es la velocidad relativa constante entre los dos sistemas de referencia inerciales anteriordonde V no depende de la velocidad de la part´ıcula mente mencionados, y F ıcula de prueba. Vemos por tanto que la no existencia existencia de una velocidad velocidad absoluta es un concepto concepto asentado asentado firmemente firmemente en la f´ısica desde mucho tiempo atr´as. as.
1.1.0.4 No puede decirse lo mismo de la aceleraci´on, acerca de la cual Newton pensaba que s´ı era un concepto absoluto y para demostrarlo ide´ o el famoso experimento experimento del cubo rotante. rotante. Afirmaba Newton que con un cubo lleno de agua uno es capaz de distinguir de forma inequ´ inequ´ıvoca un sistema sistema en rotaci´ on on de otro inercial. En ´este la superficie del agua p ermanece plana mientras que en aquel, al cabo de un rato, dicha superficie adquiere una curvatura medible. Sin embargo no deja de resultar parad´ojico ojico el hecho de que uno pueda definir conceptos tales como aceleraci´on en un espacio espa cio vac´ıo. ıo. La L a acel eraci´on on es un resultado resultado de medidas medidas y comparacione comparacioness y en el vac´ıo no parece existir nada con respecto respecto a lo que uno pueda acelerarse. En el pensamiento de Einstein influyeron fuertemente las ideas de Spinoza y Ernst Mach. Afirmaba ´este este ultimo u ´ ltimo que el car´ acter acter privilegiado de lo s sistemas inerciales les ven´ıa ıa conferido conferido por la mayor´ mayor´ıa de d e la l a materia mate ria del universo , la cual aparece concentrada en las estrellas lejanas. El cubo en cuya superficie aparece plana no se acelera con respecto a las estrellas lejanas mientras que el otro o tro s´ı lo hace. P´ ongase la materia del universo a girar, entonces el papel del movimiento de ambos ongase cubos se ver´a invertido, y por ta nto tambi´ en en la apari encia de la superficie de agua respectiva. Para Newton, por tanto, tanto, el espacio espacio tiene entidad entidad propia, propia, mientras mientras que para Mach esto no es as´ı: ı: en ausencia de materia tampoco hay espacio, pues conceptos como la inercia no se pueden definir.
1.1.0.5 Universal salida idad d de la velo velocidad cidad de la luz): luz): La velocid velocidad ad de la luz es una constan constante te Axioma Axioma 2 (Univer universal, independiente de la velocidad relativa entre el emisor y el observador. Este axioma viene impuesto de forma emp´ emp´ırica por p or experimentos exp erimentos como el de Mickelson y Morley. Morley. Evidentemente es incompatible con la regla de adici´on on de velocidades de Galileo. Ello impone la necesidad de obtener nuevas reglas de transformaci´on entre sistemas de referencia inerciales. Estas reglas, de hecho, ya hab´ hab´ıan sido descubiertas antes por Lorentz como aquellas que dejaban invariantes las ecuaciones de Maxwell para la electrodin´amica. amica. Como vemos el concepto concepto de relatividad relatividad es antiguo; antiguo; sin embargo embargo suele llamarse llamarse a la teor´ teor´ıa de o Einstein, “relatividad restringida. tambi´en en “relatividad “relati vidad especial”(RE) especi al”(RE).. 1.1.0. 1.1.0.6 6 Unidad Unidades es natur naturale ales s La Relatividad Especial incorpora una nueva constante universal con dimensiones c = 3 108 m/s. m/s. Este hecho permite medir intervalos de tiempo con reglas y viceversa, distancias con relojes. Como es universal universal podemos utilizarla utilizarla en cualquier cualquier sistema de referencia referencia inercial para trasformar trasformar un
×
2
en el otro, tenemos que sencillamente t x
= t = Rx
− V t + a
(1.1)
1.1.0.3 Relatividad de Galileo): Galileo): Las leyes de la f´ısica ısica deben adoptar la misma Axioma Axioma 1 (Principio de Relatividad forma en todos los sistemas de referencia referencia inerciales. inerciales. Es decir, deben estar escritas de forma tal que no privilegien ning´un un sistema de referencia inercial rectil´ıneo ıneo frente a los l os dem´as. as. As´ As´ı ocurre en la din´ amica de Newton, en las que las ecuaciones del amica movimiento involucran la aceleraci´on on ) v d(v + V ) V = ma = m d F =m dt dt es la velocidad relativa constante entre los dos sistemas de referencia inerciales anteriordonde V no depende de la velocidad de la part´ıcula mente mencionados, y F ıcula de prueba. Vemos por tanto que la no existencia existencia de una velocidad velocidad absoluta es un concepto concepto asentado asentado firmemente firmemente en la f´ısica desde mucho tiempo atr´as. as.
1.1.0.4 No puede decirse lo mismo de la aceleraci´on, acerca de la cual Newton pensaba que s´ı era un concepto absoluto y para demostrarlo ide´ o el famoso experimento experimento del cubo rotante. rotante. Afirmaba Newton que con un cubo lleno de agua uno es capaz de distinguir de forma inequ´ inequ´ıvoca un sistema sistema en rotaci´ on on de otro inercial. En ´este la superficie del agua p ermanece plana mientras que en aquel, al cabo de un rato, dicha superficie adquiere una curvatura medible. Sin embargo no deja de resultar parad´ojico ojico el hecho de que uno pueda definir conceptos tales como aceleraci´on en un espacio espa cio vac´ıo. ıo. La L a acel eraci´on on es un resultado resultado de medidas medidas y comparacione comparacioness y en el vac´ıo no parece existir nada con respecto respecto a lo que uno pueda acelerarse. En el pensamiento de Einstein influyeron fuertemente las ideas de Spinoza y Ernst Mach. Afirmaba ´este este ultimo u ´ ltimo que el car´ acter acter privilegiado de lo s sistemas inerciales les ven´ıa ıa conferido conferido por la mayor´ mayor´ıa de d e la l a materia mate ria del universo , la cual aparece concentrada en las estrellas lejanas. El cubo en cuya superficie aparece plana no se acelera con respecto a las estrellas lejanas mientras que el otro o tro s´ı lo hace. P´ ongase la materia del universo a girar, entonces el papel del movimiento de ambos ongase cubos se ver´a invertido, y por ta nto tambi´ en en la apari encia de la superficie de agua respectiva. Para Newton, por tanto, tanto, el espacio espacio tiene entidad entidad propia, propia, mientras mientras que para Mach esto no es as´ı: ı: en ausencia de materia tampoco hay espacio, pues conceptos como la inercia no se pueden definir.
1.1.0.5 Universal salida idad d de la velo velocidad cidad de la luz): luz): La velocid velocidad ad de la luz es una constan constante te Axioma Axioma 2 (Univer universal, independiente de la velocidad relativa entre el emisor y el observador. Este axioma viene impuesto de forma emp´ emp´ırica por p or experimentos exp erimentos como el de Mickelson y Morley. Morley. Evidentemente es incompatible con la regla de adici´on on de velocidades de Galileo. Ello impone la necesidad de obtener nuevas reglas de transformaci´on entre sistemas de referencia inerciales. Estas reglas, de hecho, ya hab´ hab´ıan sido descubiertas antes por Lorentz como aquellas que dejaban invariantes las ecuaciones de Maxwell para la electrodin´amica. amica. Como vemos el concepto concepto de relatividad relatividad es antiguo; antiguo; sin embargo embargo suele llamarse llamarse a la teor´ teor´ıa de o Einstein, “relatividad restringida. tambi´en en “relatividad “relati vidad especial”(RE) especi al”(RE).. 1.1.0. 1.1.0.6 6 Unidad Unidades es natur naturale ales s La Relatividad Especial incorpora una nueva constante universal con dimensiones c = 3 108 m/s. m/s. Este hecho permite medir intervalos de tiempo con reglas y viceversa, distancias con relojes. Como es universal universal podemos utilizarla utilizarla en cualquier cualquier sistema de referencia referencia inercial para trasformar trasformar un
×
2
tiempo t en una distancia distancia x0 ct de forma un´ıvoca ıvoca (o, viceversa, dada una distancia x0 podemos asociarle un tiempo t = x0 /c). /c). Esta redefinici´on on es equivalente a suprimir las unidades de tiempo 0 en todas las f´ormulas ormulas ya que x se mide en metros metros (en el SI). As´ As´ı si por ejemplo ejemplo ( t, x(t)) son las coordenadas de un objeto que se mueve uniformemente a lo largo del eje x, decimos que su m velocidad es v = dx/dt( dx/dt( seg ). Si usamos las nuevas coordenadas (x ( x0 , x) diremos que su velocidad es u = dx/dx0 = dx/( dx/(cdt) cdt) = v/c. v/c. Esta nueva velocidad es adimensional y es una fracci´on on de la de la luz. El sistema de unidades en el quela velocidad de la luz es adimensional y su m´odulo vale u = 1, se denomina sistema de unidades naturale n aturales s . Muchas magnitudes dimensionales del sistema internacional se expresan de forma muy sencilla despu´ es es de convertir convertir a unidades naturales. As´ı por ejemplo −1 el momento se miden en kg, kg , la aceleraci´on on en m y la fuerza en kg m−1 .
≡
·
1.1.1. 1.1.1.
Diagra Diagramas mas de Espaci Espacio-T o-Tiem iempo po
Los SRIR se expresan gr´aficamente aficamente mediante los denominados diagramas de espacio-tiempo. En la figura 1.1 podemos observar uno de tales diagramas mostrando una secci´on del espacio tiempo correspondiente al plano (x (x0 = ct,x1 ). En este diagrama un punto de coordenadas ( x0 , x1 ) simboliza un evento, evento, mientras que una l´ınea (x0 (s), x1 (s)) represen representa ta la trayec trayectoria toria de una part´ part´ıcula de ıne a de universo unive rso . La velocidad viene dada por la (inversa de la) prueba. Llamamos a esta curva, l´ınea −1 pendiente de la curva, u = pendiente = dx1 /dx0 = v/c, v/c, de forma que un fot´on on describir´a una l´ınea recta de pendiente pendi ente 45◦ . ct (m) u<1 linea de universo de la luz, u=1
linea de universo acelerada u>1
x (m)
Figura 1.1: Diversas clases de trayectorias en un diagrama de espacio-tiempo Para denotar las coordenadas de forma colectiva usamos la notaci´on xα . Entonces xα con un ´ındice griego gr iego representa repre senta cualquiera cualqui era de las anteriores anterio res componentes comp onentes α = 0, 0 , 1, 2, 3, mientras que cuando queremos especificar esp ecificar las componentes espaciales usamos un super´ super´ındice latino xi , i = 1, 2, 3. Para las coordenadas referidas a otro sistema de referencia usaremos la notaci´on on xα . Esta notaci´on on
{ }
O
3
{ }
es muy ´util util pero puede resultar confusa confusa pues lo natural natural ser´ ser´ıa llamarlas llamarlas xα . Por ultimo, u ´ ltimo, la aparici´ on on de un ´ındice ındice repetido indica sumaci´ on on sobre el rango de dicho ´ındice. ındice.
{ }
1.2.
Inv Invarianci ariancia a del del interv intervalo alo
1.2.0. 1.2.0.1 1 Increme Incremento nto e Interva Intervalo lo Consideremos dos sucesos y , medidos en un sistema de referencia con coordenadas respectivas µ µ xA y xB . Llamamos incrementos a las diferencias de las coordenadas de ambos sucesos dxµ (no necesariamente se trata de cantidades infinitesimales). Entonces definimos por intervalo la cantidad ds2 = (dx0 )2 + (dx (dx1 )2 + (dx (dx2 )2 + (dx (dx3 )2
A B
{ } { } { }
−
A continuaci´on on tomemos dos sistemas inerciales y ¯ que se mueven con velocidad relativa v . En el mome momento nto en el que los or´ or´ıgenes ıgenes de ambos coinciden se emite un rayo rayo de luz desde el punto punto que ambos ocupan. El segundo axioma de la Relatividad Especial impone que las ecuaciones que describen la propagaci´on on del frente de onda en ambos sistemas tenga la misma forma, que es 2 precisamente ds = 0 en y ds¯2 en ¯ . Es decir la anulaci´on on del intervalo en un sistema inercial implica la anulaci´ on on autom´atica atica en cualquier cualquier otro. otro. 1.2.0.2 Sin embargo queremos demostrar un resultado mucho m´as fuerte, a saber, que ds2 = ds¯2 . Si requerimos que trayectorias lineales en sean lineales en ¯ , como se sigue del principio de relatividad, entonces las coordenadas en ambos sistemas de referencia han de estar relacionadas linealmente en la forma xα¯ = Λ α¯ β xβ . A continuaci´ on on usamos esta relaci´on on para escribir
O O
O
O
O
ds¯2
=
O
¯ ¯ ¯ −(dx¯0)2 + (dx (dx1 )2 + (dx (dx2 )2 + (dx (dx3 )2 ¯
= ηα¯ β¯dxα¯ dxβ
α β = M αβ αβ dx dx γ γ ¯ ρ¯ donde η es una matriz de la forma η = diag( diag( 1, +1, +1, +1, +1, +1) y por tanto M αβ ¯ ρ¯Λ β = M βα αβ = Λ α ηγ ¯ γ βα . Es decir d ecir es una u na matriz ma triz sim´etrica. etrica. Ahora bien, sabemos que si para cierto conjunto de 4 cantidades dxα se cumple ds2 = 0, esto tambi´en en ocurre ocurr e para ( dx0 , dx1 , dx2 , dx3 ). Pero si adem´as as ds¯2 = 0, teniendo en cuenta la simet si metrr´ıa de M , obligatoriamente M αβ αβ = 0 para α = β . Tomando ahora los casos particulares en que el rayo de luz se propaga a lo largo de uno de los ejes posibles encontramos y M ij ij = M 00 00 δ ij ij . Dicho de otro modo, la anulaci´on on simult´anea anea del intervalo en todos los sistemas de referencia 2 inerciales m´as as la hip´ otesis otesis de transformaci´on on lineal hace que de hecho ds¯2 = M 00 00 ds Podr´ Podr´ıamos pensar que el coeficiente M 00 00 depende de las coordenadas y de la velocidad relativa is otro rop´ p´ıa ıa del espacio prohiben cualquier entre ambos sistemas. Sin embargo la homogeneidad e isot dependencia tanto de la posici´on on como de la direcci´on on de la velocidad. Por tanto M 00 olo olo puede 00 s´ 2 2 depender del m´odulo odulo de la velocidad v. Es decir ds¯ = Φ(v Φ(v )ds . Si ahora hacemos dos cambios ¯ ¯ sucesivos y desp de spu´ u´es es , obtendremos
−
±
O→O
±
±
{ }
±
−
O→O
ds2 = Φ(v Φ( v )ds¯2 = Φ(v Φ(v )2 ds2 de donde deducimos Φ(v Φ( v) = 1. Pero si Φ(v Φ(v) es una funci´on on cont´ con t´ınua ınu a de v no puede saltar de un valor a otro. Escogemos el signo + por p or consisten co nsistencia cia con c on el l´ımite v = 0. Hemos obtenido de esta manera el resultado anunciado de que el intervalo es un invariante en todos los sistemas de referencia.
±
4
1.3.
Transformaciones de Lorentz
Recapitulemos brevemente el estado de la cuesti´on. De la anulaci´on del intervalo m´as la hip´ otesis de que la transformaci´on de coordenadas es lineal se deduce la invariancia del intervalo en todo sistema de referencia. Haciendo uso de la matriz η = diag( 1, 1, 1, 1) la condici´on ds2 = d¯ s2 es equivalente a la siguiente ecuaci´on
−
¯
ηµν = Λα¯ µ ηα¯ β¯ Λβ ν
(1.2)
la cual puede ser escrita en forma m´as compacta usando las reglas de multiplicaci´on matricial como η = Λ T ηΛ. Cada matriz Λ soluci´on de esta ecuaci´on es una posible transformaci´ on de coordenadas que refleja el paso de un sistema inercial a otro. Nos proponemos estudiar la forma m´as general que puede adoptar Λ. 1.3.0.3 El Grupo de Lorentz En primer lugar mencionaremos que el conjunto de soluciones de (1.2) forman un subgrupo del grupo de matrices reales 4 4, GL(4, R). Efectivamente si Λ y Λ solucionan (1.2) tambi´en lo hace Λ = ΛΛ . Adem´as para toda Λ existe la transformaci´on inversa que tambi´ en satisface la misma ecuaci´ on, como se ve invirtiendo (1.2) Llamaremos a este grupo de matrices el grupo de Lorentz, si bien en el contexto de la teor´ıa de grupos de Lie el nombre correcto es el de grupo pseudo-ortogonal O(1, 3). Otro dato importante es el n´umero de par´ametros que se necesitan para especificar totalmente una transformaci´on Λ. La ec. (1.2) es un conjunto de 16 ecuaciones para 16 elementos de matriz Λα¯ β . Sin embargo por simetr´ıa bajo trasposici´on s´olo 10 ecuaciones son independientes, por tanto quedan 6 par´ametros libres. Esto se corresponde con la imagen f´ısica de que para especificar el cambio de coordenadas entre y ¯ ser´ an necesarios tres ´angulos para la orientaci´on relativa de los ejes, y las tres componentes espaciales de la velocidad relativa v .
×
O O
1.3.0.4
Por inspecci´ on po demos encontrar cuatro soluciones de (1.2) de particular inter´es. I
=
diag(1, 1, 1, 1)
I E
=
diag(1, −1, −1, −1)
I T
=
diag(−1, 1, 1, 1)
I ET
=
diag(−1, −1, −1, −1)
I E e I T corresponden a la inversi´ on espacial y temporal repectivamente. I es la identidad del grupo y I ET la reflexi´ on espaciotemporal. Es f´ acil, calculando la tabla de multiplicaciones de estos cuatro elementos, ver que forman un subgrupo isomorfo a Z 2 ⊗ Z 2 . Adem´ as el centro del grupo de Lorentz est´ a formado por los elementos (I, I ET ) 1.3.0.5 Componentes Conexas del Grupo de Lorentz A continuaci´ on vamos a investigar la topolog´ıa del grupo de Lorentz, es decir las componentes conexas del mismo. Tomando determinantes en la ecuaci´ on (1.2) obtenemos la condici´ o n de que detΛ = ±1. De esta manera llegamos a la primera clasificaci´on relevante.
L+
=
{Λ | detΛ = +1 }
L−
=
{Λ | detΛ = −1}
A los elementos de L+ (L− ) se les llama transformaciones de Lorentz propias. Obviamente el grupo cociente L/L+ Z 2 . Por definici´ on L+ es el grupo especial pseudo-ortogonal , SO(1, 3). Otra clasificaci´ on proviene de estudiar la ec.(1.2) para µ = ν = 0, η00 = −1. ¯
¯
Λα¯ 0 ηα¯ β¯ Λβ 0 = −(Λ0 0 )2 +
¯ i 2 0)
(Λ i
5
=1
por tanto, bien Λ¯0 0 ≥ +1 ´o Λ ¯0 0 ≤ −1. Podemos as´ı establecer una segunda clasificaci´ on de acuerdo con esta signatura. ¯
L↑
=
{Λ | Λ0 0 ≥ +1}
L↓
=
{Λ | Λ0 0 ≤ −1}
¯
L↑ y L↓ corresponden respectivamente a transformaciones ortocronas y no-ortocronas . Nuevamente L/L↑ Z 2 . Combinando las dos clasificaciones obtenemos cuatro componentes conexas del grupo de Lorentz. En cada una de ellas una trasformaci´ on Λ es cont´ınuamente deformable a uno de los cuatro elementos anteriormente hallados. I ∈ L↑+ , I E ∈ L↑− , I T ∈ L↓− , I ET ∈ L↓+
(1.3)
La componente L↑+ es un subgrupo invariante de L. Adem´ as se verifica que L/L↑+ Z 2 ⊗ Z 2 , y que cualquier elemento en cualquier componente puede ser escrito como el producto de un elemento de L↑+ por una de las reflexiones I Λ .
1.3.1.
El Grupo Especial Ort´ ocrono de Lorentz
1.3.1.1 Procedemos ahora a la construcci´on de Λ y para ello resultar´a ventajoso realizar un cambio de variables: Λ = eL . Si nos restringimos a la componente ↑+ del grupo de Lorentz, det Λ = 1 se traduce a la vista de ( ??) en tr L = 0. A continuaci´ on usamos (1.2) para extraer T una ecuaci´on para L. Es f´acil verificar las siguientes propiedades: si Λ = eL , entonces ΛT = eL , Λ−1 = e−L y ηΛη = eηLη , donde hemos usado η −1 = η. Por tanto podemos rescribir la ecuaci´on ΛT ηΛ = η como ηΛT η = Λ−1 y usando las anteriores propiedades obtenemos que
L
eηL
T
η
= e−L
Identificando los exponentes llegamos a la ecuaci´on fundamental para L. (ηL)T =
−ηL .
(1.4)
Es decir la matriz ηL es antisim´etrica
Ejercicio 1.3.1 Expandiendo en serie de potencias eL = 1 + L + O(2 ) obtener el mismo
resultado ((1.4)).
De la forma que tiene η deducimos que una parametrizaci´on consistente para L es la siguiente.
L=
0 L12 L13 L14
L12 0 L23 L24
− −
L13 L23 0 L34
−
L14 L24 L34 0
Vemos que efectivamente s´olo son necesarios 6 par´ametros independientes para especificar L multiplic´ andolos por una base adecuada de matrices. Escogemos la base S i , K i i = 1, 2, 3 de matrices
{
6
}
que adoptan la siguiente forma.
S 1 =
0 0 0 0
K 1 =
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 0
− 0 0 0 0
0 0 0 0
; S 2 =
;
0 0 0 0
K 2 =
0 0 0 1
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
− 0 0 1 0
; S 3 =
;
K 3 =
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
−
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
Podemos escribir en forma condensada para los elementos de matriz de esta base: (S i )jk (K i )αβ
= ijk (123 = 1) = δ α0 δ iβ + δ iα δ 0β
−
algebra de SO(1,3): Ejercicio 1.3.2 Hacer gimnasia contrayendo ´ındices de y verificar el ´ [S i , S j ] [S i , K j ] [K i , K j ]
= = =
ijk S k ijk K k −ijk S k
La matriz L m´ as general se escribe en esta base − ω · S − ζ · K (1.5) donde ω y ζ son vectores de tres componentes y · indica producto escalar. Los casos particulares L=
= 0 son f´aciles de evaluar debido a la siguiente propiedad ω = 0 o ζ
· S )3 )3 · K
( ω (ζ entonces podemos escribir
B (ζ )
= =
− | ω |2 ( ω · S ) ) | ζ |2 (ζ · K
(1.6) (1.7)
B (ζ ) = e−ζ ·K
· K · K · K 1 (ζ )2 − 1 ( )3 + 1 (ζ )4 − 1 (ζ )5 − ζ · K + ζ · K 2 3! 4! 5! 1 2 1 4 1 4 · K · K ) + (1/2 + 1 | )2 | | 1 − (1 + ζ | + | ζ | +...)(ζ ζ |2 + | ζ +...)(ζ 3! 5! 4! 6!
= 1 =
= 1
− senh | ζ | (
ζ ζ
| |
| −1)( ) + (cosh | ζ · K
ζ ζ
| |
)2 · K
Observando el rango de variaci´on de las diversas cantidades podemos compararlas. As´ı v γ = 1/ 1 v 2 [1, ] y por tanto:
√ − ∈ ∞
7
(1.8)
∈ [0, 1] y
senh ζ cosh ζ
= γv
| | | | v v
= γ ζ = ζ
v
) = tanh( ζ
| |
| |
Haciendo uso de estas equivalencias podemos escribir (1.8) como sigue: ) + γ − 1 (v · K )2 B (v) = 1 − γ (v · K v2
(1.9)
o lo que es lo mismo:
B (v) =
− −
γ
γv 1
−γv 1
−γv2
γ −1 2 v 2 v1 γ −1 v2 v2 v1
γ −1 v2 v1 v2 1 + γ v−21 v22
γ −1 v2 v3 v1
γ −1 v2 v3 v2
1+
γv 2
−γv 3
−γv3
γ −1 v2 v1 v3 γ −1 v2 v2 v3 γ −1 2 v 2 v3
1+
Notar que de la definici´on ηΛT η = Λ−1 se sigue que (v )−1 = ( v ). Podemos entonces escribir la transformaci´on de Lorentz que hemos encontrado en la forma xµ = ( (v ))µ ν xν , o separando xµ = (x0 , x ) y tenemos que
B
B −
B
x0 x
= γ (x0 v x) = γx 0v + x +
−
− ·
γ −1 v v 2 (
·
(1.10)
· x)v
Si separamos esta ecuaci´on en componentes paralela y perpendicular x = x u + x⊥ u⊥ , donde u y u⊥ son dos vectores unitarios paralelo y perpendicular a la velocidad relativa v , obtenemos la forma m´as familiar para la transformaci´ on de Lorentz: x0 x x⊥
= γ (x0 vx ) = γ ( vx0 + x ) = x⊥
−
−
En resumen, (1.10) es la transformaci´on de coordenadas que relaciona dos sistemas de referencia cuyos ejes son paralelos y que se mueven con una velocidad relativa v . Como vemos en (1.5) hemos particularizado para el caso ω = 0. Precisamente esta magnitud es la que parametriza un giro de ejes tridimensionales. Esto lo podemos ver usando la propiedad (1.7). Entonces en el caso en = ω2 = ω 3 = 0; ω 1 = ω tenemos que la matriz adopta la forma siguiente: que ζ
L
L
R((w, 0, 0)) =
0 0 0 0
0 1 0 0
−
0 0 0 0 cos ω sen ω sen ω cos ω
y expresa una rotaci´on de ´angulo ω alrededor del eje x1 .
8
(1.11)
). on m´ as general en la forma R( ω) = exp(− ω · S Ejercicio 1.3.3 Escribe la matriz de rotaci´ Demuestra que este conjunto de matrices forma un subgrupo del grupo de Lorentz.
Sin p´ erdida de generalidad escribiremos para una transformaci´ on de Lorentz totalmente general: Λ = I Φ
· B (v) · R( ω) (1.12) en donde I Φ es alguna de las reflexiones en (1.3), R expresa una rotaci´on en alguna parametrizaci´on = 0, o la de Euler) que expresa la orientaci´on relativa de los ejes espaciales, (p.ej. como en (1.5) con ζ y B es una transformaci´on de Lorentz pura , de la forma (1.8), (la B proviene del ingl´es ”boost”). 1.3.2.
Transformaci´ on de ciertas magnitudes galileanas
A continuaci´on queremos interpretar las equaciones (1.3.1) concentr´andonos en algunos ejemplos sencillos. Para simplificar consideraremos que y definen dos sistemas de referencia de ejes paralelos y que la velocidad relativa se escribe v = v e x . Entonces (1.3.1) se reduce a
O O
x0 x1 x2 x3
γ (x0 + vx1 ) γ (vx 0 + x1 ) x2 x3
= = = =
(1.13)
donde hemos hecho uso de que para invertir (1.3.1) basta con intercambiar xµ con xµ e invertir el signo de la velocidad. 1.3.2.1 Contracci´ on de longitudes. Situemos una barra en reposo a lo largo del eje x1 , en el momento en el cual los dos sistemas de referencia y coinciden en el origen. Cuando el observador mide la posici´ on de los extremos 0 1 0 1 registra los sucesos y de coordenadas (xa , xa , 0, 0) y (xb , xb , 0, 0) respectivamente. Este observador coincidir´a en que la longitud de la barra es L = x1b x1a . Sin embargo el observador para el cual la barra no se encuentra en reposo deber´a efectuar medidas simult´aneas de las posiciones de los extremos. Para ´el las coordenadas de ser´ an (x 0a , x 1a , 0, 0) y las de (x 0b , x 1b , 0, 0) con 0 0 x a = x b . Haciendo uso de (1.13) para relacionar unas coordenadas y otras obtenemos que
O O
A
O −
B
A
L = x1b
O
B
− x1a = γ (x1b − x 1a) = γL
(1.14)
Del hecho de que γ 1 deducimos que la longitud medida es m´axima en el sistema de referencia en el que el objeto est´a en reposo. 1.3.2.2 Dilataci´ on de incremento temporal. Para estudiar el efecto de (1.3.1) sobre incrementos puramente temporales consideraremos dos sucesos que ocurren en en el mismo punto del espacio (que por homogeneidad podemos considerar que es el origen). Por tanto (x0a , 0, 0, 0) y (x0b , 0, 0, 0). Usando (1.3.1) observamos que las coordenadas transfomadas en implican un incremento temporal de la forma
≥
O
A → B → O 0 0 T ≡ x b − x a = γ (x0b − x0a ) = γT
(1.15)
De nuevo observamos que el sistema de referencia en el que los sucesos est´an en reposo se distingue de todos los dem´as al registrar un intervalo temporal que es m´ınimo. A ´este sistema de referencia privilegiado le llamamos sistema de referencia propio y al incremento temporal T lo llamaremos
9
tiempo propio y tiene la particularidad de coincidir con la ra´ız cuadrada del intervalo asociado
√ −
T = ds2 . 1.3.2.3 Adici´ on de velocidades Una de las consecuencias impl´ıcita en las transformaciones de Lorentz es que la velocidad relativa entre dos observadores no puede ser superior a la de la luz. Esto se sigue del hecho de que para v > 1 el factor γ = 1/ 1 v 2 se vuelve imaginario. Es importante destacar que en ning´un momento esto es un postulado de la teor´ıa de la relatividad especial, sino una consecuencia. La ecuaci´on (1.3.1) puede usarse para derivar la ley de transformaci´on de la velocidades y las aceleraci´ ones al cambiar de un sistema de referencia inercial a otro. Para ello basta con recordar que las componentes de u son ui = dxi /dx0 y an´alogamente las de u son ui = dxi /dx0 . El s´ımbolo dy/dx significa el l´ımite de un cociente incremental. Por tanto an´alogamente a la ley de transformaci´ on de los incrementos podemos escribir para los incrementos diferenciales
√ −
dx0 dx dx⊥
= γ (dx0 v dx ) = γ ( v dx0 + dx ) = dx⊥
−
−
A partir de estas ecuaciones y sin m´as que hacer uso de la regla de la cadena es f´acil convencerse de que las coordenadas de la velocidad satisfacen
u
=
u⊥
=
u v 1 vu u⊥ γ (1 vu )
−
−
−
(1.16) (1.17)
donde de nuevo u y u⊥ son las componentes de u paralela y perpendicular a v y an´alogamente para u . Podemos tomar esta ley como una regla de suma de velocidades, y observamos que si v 1 entonces u 1 mientras que γ , y por ende, u⊥ 0.
→−
1.4.
→
→ 1,
An´ alisis Tensorial en Relatividad Especial
1.4.0.4 Cuadrivectores Un conjunto de cuatro cantidades Aµ , µ = 0, 1, 2, 3, que bajo cambio de sistema de referencia se transformen linealmente en la forma (1.18) Aµ = Λµ ν Aν
donde Λµ
es una matriz del grupo de Lorentz, constituir´an la componentes de un vector de Lorentz A, o m´ as comunmente, de un cuadrivector . El ejemplo m´as sencillo es el propio vector de posici´on para un suceso xµ . An´ alogamente las 1-formas Lorentz , o cuadrivectores duales , tendr´an componentes con los ´ındices abajo, y que por tanto se transformar´an de forma inversa a la de los cuadrivectores. ν
Bµ = Λν µ Bν
1.4.0.5
Tensor m´ etrico invariante 10
(1.19)
Para una transaformaci´oon lineal general, s´olo hay un tensor invariante δ µ ν . Si nos restringimos a transformaciones de Lorentz, ηµν son las componentes de un tensor invariante de rango (0 , 2).
Λµ µ ηµ ν Λν ν = ηµν
(1.20)
−1 La matriz ηµν coincide con su propia inversa η µν ηµν = ηµν , que es tambi´en invariante. 1.4.0.6 Producto (Pseudo)Escalar El producto escalar de Minkowskiano dos cuadrivectores A y B es
≡
| |
η( A , B ) = Aµ ηµν B ν
(1.21)
| |
Con la m´etrica de Minkowski ηµν podemos subir y bajar ´ındices Bµ Bµ
= ηµν B ν = η µν Bν .
(1.22)
En consecuencia escribiremos indistintamente: Aµ ηµν B ν A0 B 0 + A1 B 1 + A2 B 2 + A3 B 3 Aµ Bµ A0 B0 + A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 Aν η νµ Bµ A0 B0 + A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 Aν B ν A0 B 0 + A1 B 1 + A2 B 2 + A3 B 3
η( A , B ) = = = = = = = =
| |
− −
(1.23)
Este producto escalar no es definido positivo. Seg´un el m´odulo minkowskiano Aµ Aµ sea positivo, negativo o nulo hablaremos de Aµ como un vector tipo tiempo, espacio o luz. El cuadrivector contravariante Lorentz m´as fundamental lo constituyen las coordenadas mismas de un suceso xµ . Mediante la m´ etrica podemos definir unas coordenadas covariantes xµ = ηµν xν
{ }
xµ = Λ µ µ xµ ; xµ = Λµ µ xµ .
(1.24)
1.4.0.7 Campos tensoriales de Lorentz En el estudio de medios cont´ınuos, las variables naturales son campos que definen propiedades f´ısicas en todo el espacio. Un campo tensorial T µ ...µ p ν ...ν q (x) es un conjunto de funciones que se trasforma de acuerdo con la regla siguiente 1
1
T µ
1
...µ p
ν 1 ...ν q (x (x))
= Λµ
1
µp µ1 ...Λ µp
T µ
1
...µp
ν 1 ...ν q (x)
Λν ν ...Λν q ν q 1
1
(1.25)
El caso m´as elemental es el de un campo escalar φ (x (x)) = φ(x) La manera m´as directa de obtener campos vectoriales es aprovechar el propio car´acter tensorial de las coordenadas. As´ı por ejemplo, cualquier f (x), funci´on de x = xµ xµ es autom´aticamente una funci´on escalar. An´alogamente
√
Aµ (x) = xµ f (x)
(1.26)
ser´ a una funci´on vectorial.
Aµ (x (x)) = xµ (x)f (x (x) ) = Λµ 11
µ
xµ f (x) = Λµ
µ
Aµ (x)
(1.27)
No as´ı por ejemplo xµ f (x), ni f (x)/xµ . An´ alogamente Aµ (x) = xµ f (x) es un campo tensorial covariante. 1.4.0.8 Operadores tensoriales Los operadores de derivaci´on parcial
∂ ∂x µ
verifican (en cualquier sistema de coordenadas inerciales) ∂x ν = δ µ ν ∂x µ
(1.28)
De aqu´ı se sigue que ∂/∂xµ se transforman como las componentes de un operador cuadrivectorial covariante. De hecho,la responsable de esta transformaci´on no es otra que la regla de la cadena ∂ ∂x µ ∂ ∂ = = Λµ µ µ µ µ ∂x ∂x ∂x ∂x µ
(1.29)
Por el contrario, la derivada parcial asociada a xµ verifica ∂x ν = δ µ ν ∂x µ en cualquier sistema de coordenadas, y por ello es un operador contravariante. La siguiente notaci´ on, est´a dise˜ nada especialmente para resaltar las propiedades de transformaci´on que, como de costumbre, dependen exclusivamente de la posici´on de los ´ındices: ∂ µ
≡ ∂x∂ µ
;
∂ µ
≡ ∂x∂ µ .
(1.30)
El car´acter lineal de las transformaciones que definen los tensores de Lorentz, permite tomar productos de operadores diferenciales del anterior tipo para formar operadores diferenciales tensoriales de rango m´as alto. As´ı, por ejemplo ∂ µ ∂ ν es un tensor de tipo (0, 2), mientras que ∂ µ ∂ ν lo es de rango (1, 1). La contracci´on de ´este u ´ ltimo produce un operador diferencial escalar Lorentz ∂ µ ∂ µ =
2
2
2
2
− ∂ ∂ (x0)2 + ∂ ∂ (x1)2 + ∂ ∂ (x2)2 + ∂ ∂ (x3)2
(1.31)
que es el an´alogo relativista del Laplaciano, y recibe el nombre de D’Alambertiano.
1.5.
Cinem´ atica de Part´ıculas
1.5.0.9 Curvas param´ etricas Por trayectoria entendemos una colecci´on continua de sucesos. Se trata por tanto de una curva en el espacio-tiempo, y como tal podremos representarla mediante un par´ametro real
∈ [a, b] → xµ (λ) = (x0(λ), x1(λ), x2(λ), x3(λ)). ˜ = λ(λ) ˜ Es importante darse cuenta de que la reparametrizaci´on λ → λ deja la curva inalterada ˜ = xµ (λ(λ)) ˜ x(λ) → x ˜µ (λ) λ
Cada parametrizaci´on lleva asociada una noci´on de velocidad v µ (λ)
µ
≡ dxdλ(λ) 12
que es un vector tangente a la curva en cada uno de sus puntos. Una reparametrizaci´on de la curva conduce a otra velocidad ˜ d˜ xµ (λ) ˜ v˜µ (λ) ˜ dλ Ambos vectores son paralelos y tangentes a la curva, pero difieren en su m´odulo
≡
˜ xµ (λ) d µ ˜ dλ dxµ (λ) ˜ = d˜ v˜ (λ) = x (λ(λ)) = = ˜ ˜ ˜ dλ dλ dλ dλ µ
dλ ˜ v µ (λ(λ)) ˜ dλ
(1.32)
˜ El factor de reparametrizaci´on (dλ/dλ) es el cambio de m´odulo en la velocidad instant´ anea.
1.5.1.
Velocidad de laboratorio y cuadrivelocidad x0
0.5 τ
5
0.4 τ
4
0.3 τ
3
0.2 τ
2
0.1 τ1
x1
Figura 1.2: Curva parametrizada de dos maneras distintas La elecci´on de la parametrizaci´on una trayectoria es, por tanto, totalmente arbitraria. Dependiendo del problema que se est´e estudiando se utiliza una u otra. Por sus propiedades, hay dos parametrizaciones especialmente ´utiles en el contexto de la relatividad especial 1.5.1.1 Tiempo de laboratorio. λ = x0 . En este caso la trayectoria viene parametrizada por la primera componente del vector de posici´on. De modo que xµ (λ = x0 ) = (x0 , x(x0 )) . La velocidad asociada a esta parametrizaci´on se denomina velocidad de laboratorio, y tiene por componentes dxµ (x0 )) dx1 (x0 ) dx2 (x0 ) dx3 (x0 ) µ vlab = = (1, , , ) dx0 dx0 dx0 dx0
13
La ventaja que presenta esta parametrizaci´on, y , por tanto, esta noci´on de velocidad, es la simµ plicidad de su medici´on. Por el contrario, el inconveniente que presenta es el hecho de que vlab no se transforman como las componentes de un cuadrivector, como ya hemos visto en (1.17). 1.5.1.2 El tiempo propio Experimentalmente el tiempo propio es la parametrizaci´on que registra un reloj, igual que el del laboratorio, pero que via ja con la part´ıcula cuya trayectoria queremos describir. Convencionalmente se denota mediante τ a este par´ametro. Se trata por tanto, de un conjunto de marcas que s´olo puede dejar el observador co-m´ ovil a lo largo de la curva τ
→ xµ(τ )
Ello hace la medida m´as dif´ıcil y esto es un inconveniente. Sin embargo, la gran ventaja proviene del siguiente hecho: el tiempo propio es un invariante Lorentz . Experimentalmente esto es evidente, puesto que cualquier observador, para conocer el tiempo propio debe pregunt´arselo al mismo observador: el observador co-m´ovil. Matem´aticamente podemos probar esta invariancia, demostrando que, infinitesimalmente el incremento de tiempo propio dτ = τ B τ A asociado a dos eventos A y B situados sobre la curva, es igual que la raiz cuadrada del intervalo ds2AB . M´ as gen´ericamente
−
dτ =
−
ds2 = ds
(1.33)
donde se ha definido la cantidad ds denominada elemento de l´ınea . Para probarlo notemos que, aunque la part´ıcula en general se acelerar´a , a un tiempo dado x0 se desplazar´ a con velocidad de laboratorio instant´anea v i (x0 ). Instant´aneamente podemos pensar que el observador com´ovil define un sistema inercial, pro , que se desplaza relativamente al del laboratorio, precisamente con velocidad v i (x0 ). En este sistema de referencia, la part´ıcula se encuentra instant´aneamente en µ 0 reposos, y por tanto su trayectoria es x pro = (x pro = τ, 0, 0, 0). Ya de aqu´ı se sigue que el intervalo infinitesimal es Opro ds2 = dτ 2
O
−
de donde se deduce (1.33). La invariancia del intervalo nos permite encontrar el factor de reparametrizaci´on entre los tiempos de laboratorio y propio dτ = (dx0 )2 dx 2 = dx0 1 v 2 (x0 )
−
−| |
0 La relaci´on entre el incremento dx0 en el laboratorio, y dx pro = dτ en el sistema propio es la 0
dilataci´ on asociada a un cambio instant´aneo de sistema de referencia dx0 = γ v(x ) dτ
Olab v(x→ ) O pro . (1.34)
0
La velocidad asociada al tiempo propio se denomina cuadrivelocidad dxµ (τ ) (1.35) dτ Es por construcci´on un cuadrivector, y ´esta es la ventaja esencial asociada a la parametrizaci´on mediante el tiempo propio U µ =
U µ =
d µ d µ µ x = Λ µ x = Λ µ µ U µ dτ dτ
La cuadrivelocidad puede escribirse en la variables del laboratorio utilizando el factor de reparametrizaci´ on (??) = U = (U , U ) µ
0
dx0 dτ
dxµ (x0 ) = γ v , (1, v ) = (γ v , γ v v ) dx0 14
(1.36)
En un sistema arbitrario , el m´odulo de Minkowski de la cuadrivelocidad es un invariante Lorentz con un valor muy concreto
O
U µ U µ =
−(U 0)2 +
(U i )2 = γ v2 ( 1 + v 2 (x0 )) =
−
i
−1 Opro
Un caso particularmente sencillo se produce cuando = pro , entonces U µ (1, 0, 0, 0), indica que el movimiento se desarrolla en el diagrama espacio-tiempo paralelamente al eje temporal. 1.5.1.3 La longitud invariante λ = s. El tiempo propio es un par´ametro invariante Lorentz mon´otonamente creciente
O O
x0
τ
τ =
→
dτ =
0
ds = s
(1.37)
0
s, la integral el elemento de l´ınea , es num´ericamente igual al tiempo propio. La diferencia es que ds se puede calcular en cualquier sistema de coordenadas y con cualquier parametrizaci´on λ de la curva C xµ (λ), λ (λ0 , λ1 ) .
→{
∈
}
s
s=
λ1
ds =
0
λ0
ds(λ) dλ = dλ
− λ1
λ0
dxµ dxµ dλ. dλ dλ
(1.38)
1.5.1.4 Aceleraci´ on Vamos a estudiar el movimiento relativista uniforemente acelerado. Podemos describir el estado instant´ aneo de movimiento de un m´ovil usamos su 4-velocidad: U µ la cual, como sabemos, satisface la condici´ on U 2 = 1. Esta condici´on tiene como consecuencia que la 4-aceleraci´on definida por
−
dU µ a = dτ µ
(1.39)
es ortogonal a la 4-velocidad (en el sentido del producto escalar Lorentziano): d a U µ = dτ µ
1 µ U U µ 2
− =
d dτ
1 2
= 0.
(1.40)
Esta ecuaci´on implica que en el sistema de referencia instant´anemente propio, en el cual el m´ovil Opro
est´ a en reposo tenemos que a0 = 0, ya que U µ (u0 = 1, 0, 0, 0); En este sistema de referencia, y s´olo en ´este, las componentes espaciales de aµ se reducen a las de la definici´on ordinaria de aceleraci´ on: Opro d2 xi d2 xi aµ (0; ai ) = 0; = . (1.41) d(x0 )2 dτ 2
→
→
De aqu´ı deducimos que la magnitud de la aceleraci´on, medida en el sistema instant´aneamente en reposo, es un invariante Lorentz 2
µ
a = a aµ =
d2 x d(x0 )2
2
(1.42)
propio
1.5.1.5 Movimiento Rectil´ıneo Uniformemente Acelerado Vamos a considerar, por simplicidad, el caso de un m´ovil que experimenta una aceleraci´on constante a, en un sistema de referencia inercial . Tomaremos la aceleraci´on a lo largo del eje x1 . La ecuaci´on del m´ovil es: dx0 dx1 dU 0 dU 1 = U 0 , = U 1 ; = a0 , = a1 . dτ dτ dτ dτ
O
15
Escribamos las tres ecuaciones algebr´aicas U µ U µ U µ aµ aµ aµ
= = =
−1 −U 0a0 + U 1a1 = 0 −(a0)2 + (a1)2 = a2.
(1.43)
cuya soluci´on para la aceleraci´on es dU 0 dU 1 1 1 a = = aU , a = = aU 0 . dτ dτ 0
es decir
d2 U 0 = a2 U 0 dτ 2 cuya soluci´on puede tomarse en la forma
;
d2 U 1 = a2 U 1 dτ 2
U 0 = Aeaτ + Be −aτ ; U 1 = Ce aτ + De−aτ .
(1.44)
(1.45)
Con esto solucionamos autom´aticamente las dos ´ultimas ecuaciones (1.43). La primera, U µ U µ = 1 implica que A = C, B = D y CD = 1/4. Si tomamos condiciones iniciales tales que C = 12 , D = 12 podemos integrar para obtener finalmente
−
−
−
x0 (τ ) = N´ otese que (x1 )2 espacio tiempo.
−
1 senh aτ , a
x1 (τ ) =
1 cosh aτ. a
(1.46)
− (x0)2 = a−2, es decir, la linea de universo es una hip´erbola en un diagrama de
el, la l´ ınea de Ejercicio 1.5.1 Considera el plano (x0 , x1 ) de un observador O inercial, y en ´ universo de una part´ıcula acelerada seg´ un la ecuaci´ on (1.46). Define y 1 = 1/a y y 2 = aτ y muestra que el observor com´ ovil (acelerado) puede establecer un sistema ortogonal de coordenadas (y1 , y2 ), pero que ´estas no cubren todo el espacio origin al (x0 , x1 ). 1.5.1.6 Observador asociado a un m´ ovil acelerado Aunque parezca tener sentido este enunciado, a la hora de la verdad no es sencillo ponerlo en pr´ a ctica. De manera idealizada podemos pensar que se trata de una sucesi´on de observadores instant´ anteamente inerciales, a velocidades relativas superiores. Como primer ejemplo de las dificultades que aparecen, consideremos un observador que es inercial hasta un cierto instante en que sufre una cierta aceleraci´on durante un intervalo de tiempo finito. A partir de ese momento, el observador vuelve a ser inercial y se mueve con una velocidad uniforme con respecto al inicio. En la figura ( 1.3), la l´ınea marca la trayectoria de este m´ ovil que pretendemos tomar como observador. Abstrayendo el peque˜ n o intervalo en el que el m´ o vil se acelera, en los momentos en los que se desplaza a velocidad uniforme tiene perfecto sentido utilizar este m´ ovil para trazar coordenadas rectil´ıneas inerciales para dotar de coordenadas al espacio-tiempo. Los dos sistemas de coordenadas se trazan igual que si estuviesemos hablando de dos observadores distintos relacionados por una transformaci´ on de Lorentz. La diferencia es que ahora pretendemos que se trata de un s´olo observador. En la figura apreciamos las dificultades de dotar de coordenadas al espacio usando este observador. En efecto, a distancia espacial negativa proporcional a g −1 notamos que hay un conflicto para asignar coordenadas a una cierta regi´ on del espacio. Concluimos entonces que, en principio la noci´ on de observador acelerado podr´ıa ser valido si restingimos el dominio de validez a una regi´ on del espacio-tiempo de radio O(g −1 ). De hecho podemos formalizar un poco m´as esto, haciendo uso del movimiento uniformemente acelerado que obtuvimos en (1.46). Para ello, consideremos la figura (1.3) como una situaci´ on intermedia instant´ anea para un m´ ovil unif´ ormemente acelerado. Es evidente que en el instante T las coordenadas
16
0
x' =T
0
x =0
Figura 1.3: Curva parametrizada de dos maneras distintas
transformadas ξ µ se relacionan con las originales mediante una transformaci´ on de Lorentz definida por una cuadrivelocidad U µ (a, τ ) = (cosh aτ, 0, 0, senh aτ ). Podemos entonces escribir ξ 0 (a, τ )
=
cosh aτ x0 − senh aτ x3
ξ 1 (a, τ )
=
x1
ξ (a, τ )
=
x2
ξ 3 (a, τ )
=
− senh aτ x0 + cosh aτ x3
2
(1.47) (1.48)
Los vectores tangentes se transformar´an seg´ un la regla covariante
|e0 (a, τ )
=
cosh aτ |e0 + senh aτ |e3
=
|e1
=
|e2
=
senh aτ |e0 + cosh aτ |e3
|e1 (a, τ ) |e2 (a, τ ) |e3 (a, τ )
(1.49) (1.50)
Es inmediato probar que η(|eµ , |eν ) = ηµ
ν .
(1.51)
lo cual, por otro lado es evidente puesto que, aunque instant´aneamente, se trata de una transformaci´on de Lorentz. En el instante τ el observador co-m´ ovil est´ a situado en alguna posici´ on P (τ ) de coordenadas xµ = z µ (τ ) a lo largo de su propia l´ınea de universo. En P (τ ) el m´ ovil tiene a su disposici´on tres vectores ortonormales tipo espacio |e1 , |e2 y |e3 El punto P (τ ) y estos tres vectores definen una superficie tipo espacio. Un punto t´ıpico sobre esta superficie viene dado por xµ = (ξ i |e i (τ ))µ + z µ (τ )
(1.52)
Este hiperplano avanza a medida que τ lo hace. En alg´ un instante cortar´ a con el punto P 0 al cual desea asignar coordenadas. Asigna a ese punto las coordenadas (ξ 0 = τ, ξ i ) dado por (1.52). Estos 4 n´ umeros definen las coordenadas relativas al observador acelerado. Haciendo uso de (1.46) llegamos a x0
=
(a−1 + ξ 3 ) senh(aξ 0 )
x1
=
ξ1
x2
=
ξ2
x3
=
(a−1 + ξ 3 ) cosh(aξ 0 )
(1.53) (1.54)
En la figura (1.4) hemos dibujado los ejes ξµ en el sistema inercial de partida xµ . En efecto, los puntos a ξ 3 =cte. describ en hip´ erbolas dadas por (x3 )2 − (x1 )2 = (a−1 + ξ 3 ) que degeneran en dos rectas para ξ 3 = −a−1 , tal y como hab´ıamos anticipado. Los hiperplanos espaciales ξ 0 =cte. se aplican sobre las rectas x0 /x3 = tanh aξ 0 . Este ejemplo permi te observar to das las patolog´ıas mencionadas anteriomente: la coordenada ξ 1 debe restingirse a valores ξ 3 > −a−1 . M´ a s all´ a son amb´ıguas al
17
1
x
!0=
II
!
!1 =-g"1
#
0
''
!0 '
!0= 0
III
!1 =g"1
0
x
I !1
<
"1
g
(1)
IV
!0=-
#
Figura 1.4: Sistema de coordenadas asociado a un movil acelerado
asignar m´ as de un valor a un s´olo punto del espacio-tiempo. M´ as importante aun, la regi´ on ξ3 > −a−1 est´ a desconectada causalmente de la regi´on II I . Tampoco puede recibir se˜n ales de la regi´on II , ni enviar informaci´ o n a la regi´ on II I . Eso no ocurre en las coordenadas inerciales, pongamos por caso x3 > c. Cualquier punto de la regi´on complementaria x3 < c es accesible desde alg´ u n punto de la regi´ on x3 > c.
1.6.
L´ımite de baja velocidad, el Grupo de Galileo
1.6.0.7 La teor´ıa de la relatividad especial pas´ o desapercibida durante siglos a los f´ısicos. La raz´ on fundamental estriba en la imposibilidad de realizar experimentos a velocidades comparables con la de la luz. El grupo de Lorentz contiene el par´ametro c de forma impl´ıcita en la relaci´on entre escalas temporales y espaciales. Uno puede preguntarse si en el l´ımite de velocidades muy peque˜ nas comparadas con c se obtiene una regla de transformaci´on sensata. La respuesta es que s´ı y el resultado como veremos a continuaci´on es tan sensato que sigue formando un grupo de transformaciones, llamado grupo de Galileo . Para empezar observemos que no ser´ıa correcto tomar directamente v 0 en la ec. (1.3.1) puesto que ´este es el l´ımite a la transformaci´on identidad. M´ as bien queremos despreciar v frente a c. Entonces lo correcto es reintroducir este par´ametro en nuestras ecuaciones y despu´es tomar el l´ımite c . Para reintroducir c recordamos que decidimos usar una ´unica unidad para medir xµ . Si a continuaci´ on recordamos que x0 = ct donde t se mide en segundos, obviamente retornamos a la situaci´ on familiar en la que c no es adimensional sino que se mide en en m/seg. An´ alogamente 0 0 dx = c dt y por tanto la velocidad adimensional ahora es dr/dx = dr/(c dt) v/c. De hecho γ u = (1 v 2 /c2 )−1/2 . En estos par´ametros la eq. (1.3.1) queda como sigue:
→
→∞
≡
−
t x x⊥ y entonces vemos que en el l´ımite c
= γ v (t v/c 2 x ) = γ v ( vt + x ) = x⊥
− −
(1.55)
→ ∞ obtenemos algo distinto, a saber t x x⊥
= t = vt + x = x⊥
−
18
(1.56)
que coincide exactamente con el conjunto de transformaciones definidas en ( ??). Por el ejercicio (??) sabemos que estas transformaciones forman un subgrupo del grupo de Galileo, que se obtiene a˜nadiendo las rotaciones. Desde el punto de vista meramente matem´atico este fen´omeno se conoce on del ´ con el nombre de contracci´ algebra de Lorentz al de Galileo, y se estudia dentro de la teor´ıa de deformaciones de ´algebras de Lie. En f´ısica la existencia de un par´ ametro como c que conecta dos teor´ıas es satisfactorio pues revela el car´acter de aproximaci´on que ten´ıa la vieja, y establece un principio de correspondencia entre los observables de una teor´ıa y los de la otra. Otro contexto en el que ocurre un fen´omeno semejante es la mec´anica cu´antica. All´ı la constante de Planck juega un papel similar, estableciendo una correspondencia con la mec´anica cl´asica en el l´ımite 0. Matem´aticamente vuelve a producirse una contracci´o n del ´algebra de Lie de operadores (observables cuanticos), al ´algebra conmutativa de funciones sobre el espacio de fases.
→
19
Cap´ıtulo 12
Din´ amica Relativista 12.1.
Introducci´ on: relatividad y leyes f´ısicas
12.1.0.8 En el cap´ıtulo anterior fuimos capaces de definir algunos ob jetos cinem´aticos que reun´ıan las propiedades tensoriales deseables respecto del grupo de Lorentz. En concreto hablamos del tensor m´etrico ηµν o de cuadrivectores como la posici´on xµ o la cuadrivelocidad U µ . La construcci´on de dichos objetos matem´aticos, y en u ´ ltima instancia, la raz´on misma de la existencia del grupo de Lorentz, decansa sobre el postulado de universalidad para la velocidad de la luz. De momento no hemos hecho menci´on ni uso del primer postulado, el principio de relatividad. Es hora de tratar de escribir las leyes de la f´ısica que rigen los movimientos de las part´ıculas. El primer postulado afirma que, cualquiera que sea la forma que adopten dichas leyes, ha de ser la misma para todos los sistemas de referencia inerciales. Dicho de otro modo, del aspecto de las ecuaciones del movimiento no debemos ser capaces de deducir en qu´e sistema inercial nos encontramos. Finalmente podemos tambi´ en expresarlo como el hecho de que las transformaciones de Lorentz han de ser simetr´ıas de las ecuaciones de movimiento. La forma m´as eficaz de formular una ley que respete un cierto principio de simetr´ıa es escribir una ecuaci´on entre tensores del mismo rango. De esta manera, al hacer una transformaci´on del grupo de simetr´ıas, ambos miembros de la ecuaci´on se transformar´an de id´entica manera, quedando finalmente la misma ecuaci´on de partida pero en las nuevas coordenadas, tal y como quer´ıamos. En este caso decimos que el principio de simetr´ıa implica la covariancia de las ecuaciones . En la busqueda de leyes f´ısicas no estamos empezando desde cero. De la ´ultima secci´on del cap´ıtulo anterior sabemos que existe un procedimiento para hacer contacto con el formalismo de Newton, el cual est´a arraigado en el principio de relatividad de Galileo. Este procedimiento consiste en quedarnos con la contribuci´on dominante en el par´ametro v/c, y lo denominamos l´ımite cl´asico o galileano. En resumen, la estrategia va a consistir en la b´ usqueda de ecuaciones covariantes, que se reduzcan adecuadamente en el l´ımite de bajas velocidades, a las de aquellas leyes galileanas que conocemos .
12.2.
Din´ amica de part´ıculas
12.2.1.
Part´ıcula libre
12.2.1.1
Cuadrimomento
20
A todas luces el enunciado de la ley de conservaci´on del momento lineal para una part´ıcula libre , d p/dt = 0, no es covariante Lorentz debido al hecho de que hace uso de un tri-vector, el momento lineal. Por tanto, en primer lugar nuestra atenci´on se centrara en aquel cuadrivector que se reduzca adecuadamente al momento lineal p = mu en el l´ımite c . Recordemos para empezar, que la 4-velocidad ten´ıa la forma siguiente
→∞
= (γ u , γ u u) →O (U 0, U ) (12.1) √ con γ u = 1/ 1 − u2 . Por tanto, en el l´ımite u → 0 sus componentes espaciales coinciden con las U
de la velocidad.
l´ım U i = ui
(12.2)
u→0
(recordemos que estamos usando unidades naturales en las cuales el m´odulo de la velocidad es una fracci´ on de la velocidad de la luz). Por tanto, un cuadrivector que se reduzca a los valores cl´asicos del momento lineal en las componentes espaciales es P = mU.
(12.3)
En mec´anica de Newton, m tiene un significado din´amico, al ser el coeficiente que relaciona la fuerza aplicada con la respuesta (aceleraci´on) de la part´ıcula. Dicho significado es invariante Galileano = ma lo es. Para que 12.3 defina un cuadrivector P µ a partir de otr U µ , debido a que la ecuaci´on F debemos imponer que m sea un escalar de Lorentz, que podemos recuperar mediante la contracci´on P µ P µ = m2 U µ U µ =
−m2.
Esta cantidad se denomina, masa invariante de la part´ıcula. Las componentes del cuadrimomento son por tanto O = (mγ v , mγ v v i ) = γ v (m, p). (P 0 , P ) (12.4) P
→
y tienen dimensiones de masa, que son las del momento en unidades naturales. 12.2.1.2 Ecuacion de la part´ıcula libre Supongamos que es un sistema de referencia inercial en el que las coordenadas espaciales son cartesianas; para una part´ıcula libre, por definici´ on, se verifica que
O
dP µ = 0. dx0
(12.5)
es decir, conserva su cuadrimomento. La ecuaci´on 12.5 no parece covariante, sin embargo podemos extraer un enunciado covariante recordando que dx0 = γdτ , donde dτ es el tiempo propio, que es un invariante Lorentz, debido a que coincide con el intervalo ds = dτ , 1 . Entonces 12.5 implica (mientras γ = 0)
dP µ =0 dτ
(12.6)
Finalmente tenemos un enunciado covariante para la part´ıcula libre. 12.2.1.3 Energ´ıa en reposo de una part´ıcula Ya hemos visto que el l´ımite cl´asico de las componentes espaciales del 4-momento reproduce el trimomento usual. Veamos qu´e ocurre con la componente P 0 en este l´ımite: P 0 = m γ u = m 1
√ 1 1− u2 = m + 12 mv2 + O(v4)
de nuevo hay que ser cuidadoso al recuperar las unidades MKS. ds se mide en metros, y por eso escribiremos ds = cdτ = γ c dt = γdx 0 .
21
Despreciando ´ordenes superiores, ya que v << 1 en el l´ımite galileano, obtenemos para P 0 un resultado sorprendente al descubrir que es, b´asicamente, la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula2 . Veamos esto con cuidado. Recordemos en primer lugar que en mec´anica Newtoniana la energ´ıa, definida a partir de una ley de conservaci´on o de una simetr´ıa bajo traslaci´on temporal, ven´ıa especificada salvo una constante aditiva E = λ + 1/2mu2 . Si ahora imponemos que E se transforme como la componente 0 de un cuadrivector, necesariamente λ = m. Este hecho unifica dos conceptos que en la teor´ıa de Newton parec´ıan disconexos; ahora la energ´ıa y el momento forman las componentes de un mismo cuadrivector est´an relacionados a trav´es de la masa invariante m2 : P ), P µ P µ = E2 + P 2 = m2 ; (P 2 = P
−
es decir
−
E=
m2 + P 2 .
±
En conclusi´ on, cualquier part´ıcula que tenga una masa m lleva asociada una energ´ıa en reposo dada por la relaci´on E(0) = m (o E(0) = mc2 en unidades del S.I.). Esta relaci´on se denomina ley de equivalencia entre la masa y la energ´ıa . Un sistema de dos part´ ıculas libres en reposo tiene el doble de masa que cada una de ellas por separado. Sin embargo si hay interacci´on la energ´ıa en reposo del sistema ligado (y por tanto su masa), en general ser´a menor que la suma de las masas constituyentes, debido a que hay que E (0) ahora contedr´a un t´ermino de energ´ıa potencial negativo. Este hecho se verifica experimentalmente y tiene su consecuenceia m´as dram´atica en el caso de los n´ucleos at´omicos. Se denomina defecto de masa a la energ´ıa almacenada en la interacci´on que liga dichos n´ ucleso, y que se libera al producirse la fisi´on nuclear. 12.2.1.4 Part´ıculas de masa nula Por u ´ ltimo vamos a mencionar la dificultad que existe para definir el cuadrimomento de part´ıculas sin masa. A la luz de 12.4 es evidente que esta definici´on no tiene un l´ımite razonable para m 0. Sin embargo vemos que si, al mismo tiempo que tomamos ese l´ımite, hacemos tender v 1, entonces los factores γ u , y podemos obtener un l´ımite no nulo para el producto E = mγ u . Por un lado, eso quiere decir que las part´ıculas sin masa deben viajar a la velocidad de la luz . Por otro, de la ecuaci´on invariante 0 = E2 + P 2 (12.8)
→ →
→∞
−
obtenemos que el 4-momento de una part´ıula de masa cero adopta la forma siguiente P
→O E(1, n)
(12.9)
donde n es un vector unitario que especifica la direcci´on de propagaci´on. Vemos por tanto que a´un tiene sentido hablar de la energ´ıa de un fot´o n a´ un cuando no tenga sentido su cuadrivelocidad. De hecho es posible dar sentido a E en el contexto de la mec´anica cu´antica, encontr´andose la posibilidad de expresar su valor en t´ erminos de la frecuencia (el color) y la constante de Planck E = ν .
on anterior para la energ´ıa de un fot´ on, la f´ ormula Ejercicio 12.2.1 Verifica a partir de la expresi´ del efecto Doppler relativista.
2
La forma de recuperar c es definiendo E = c2 P 0 , para que las unidades sean correctas. En el l´ımite cl´ asico tenemos 1 1 u E = mc2 U 0 = mc2 = mc2 + mu2 + O(( )2 ), (12.7) 2 c 1 − ( uc )2 donde u se mide en m/s.
22
12.2.2.
Part´ıculas no-libres
12.2.2.1 El siguiente paso consiste en la obtenci´on de ecuaciones del movimiento que representen la respuesta de part´ıculas a campos de fuerzas externas. La generalizaci´on covariante m´as sencilla de la ecuacion 12.6 requiere un 4-vector para el miembro derecho. dP = f . dτ
(12.10)
por razones evidentes llamamos al objeto de la derecha 4-vector fuerza . 12.2.2.2 Un ejemplo real, la fuerza de Lorentz La ley (emp´ırica) que describe la fuerza que hace desviarse a las part´ıculas cargadas en presencia de campos el´ectricos creados por conductores cargados, y de campos magn´ eticos creados por imanes se conoce como Ley de Lorentz dv v B) m = e(E + (12.11) dt Aqu´ı e es la carga de la part´ıcula de prueba, y v la velocidad galileana en un determinado sistema de referencia. A su vez, la variaci´on de la energ´ıa cin´etica es debida s´olo al campo el´ectrico ya que produce una fuerza perpendicular al desplazamiento que por lo tanto no realiza trabajo alguno. B
×
dE v = e E dt
(12.12)
·
donde, y E = 12 mv2 Guiados por la discusi´ on de la secci´on previa, desear´ıamos entender las dos ecuaciones anteriores como el l´ımite cl´asico de las componentes espaciales y temporal de una sola ecuaci´on covariante. Es elemental verificar que el siguiente sistema, dP dτ dP 0 dτ
U = e(U 0 E +
× B)
(12.13)
U = eE
(12.14)
·
se reduce a primer orden en v a 12.11 y 12.12 espectivamente. Falta especificar c´omo se han de y B bajo cambios de sistema de referencia para asegurar que los miembros derechos transformar E de 12.14 se transforman como componentes contravariantes. Para clarificar esta cuesti´on escribimos las ecuaciones anteriores en la forma siguiente. dP µ = eF µ ν U ν dτ
(12.15)
donde F es una matriz con el siguiente aspecto.
F µ ν =
0 E x E y E z
E x 0 Bz By
−
E y Bz 0 Bx
−
E z By Bx 0
−
(12.16)
12.2.2.3 Tranformacion de los campos Para que 12.14 sea una ecuaci´on covariante entre cuadrivectores F µν deben formar las componentes de un tensor (2,0). Este es el motivo por el que no hemos dado ´ındices 1,2,3 a las componentes de E y ya que no constituyen la parte espacial de ning´un cuadrivector. La flecha denota sin embargo que B, 23
de hecho es un pseudovector). Entonces, de la ley se comportan bajo rotaciones como vectores ( B general de transformaci´on de tensores F = ΛF ΛT , se siguen las ecuaciones para la transformaci´on de los campos el´ectrico y magn´etico: 2
− γ v (v · E ) × B) γ + 1 2 − v × E ) − γ v (v · B) γ (B γ + 1
E
v = γ (E +
B
=
(12.17)
Ejercicio 12.2.2 Demuestra las ecuaciones 12.17.
olo Ejercicio 12.2.3 Demuestra que no es posible pasar de un sistema de referencia O en el que s´
, a otro en el que s´ Especifica cu´ exista un campo E olo exista un campo B. ales son las condiciones que o B . deben satisfacer E y B para que exista un sistema de referencia inercial en el que s´ olo haya E
Estas ecuaciones muestran c´omo los campos el´ectrico y magn´ etico no tienen existencia independiente. Un campo puramente el´ectrico o magn´etico en un sistema de referencia aparecer´a como una mezcla de ambos en otro sistema. Hay que tener en cuenta ciertas restricciones. As´ı por ejemplo no puro en otro B puro, pero los campos est´an interrelacionados entre es posible cambiar un campo E s´ı y por tanto es m´as propio hablar de un solo campo, que es el llamado tensor electromagn´etico F αβ . Este (0, 2) tensor se obtiene del de 12.16 bajando los ´ındices con la m´etrica ηµν . Por tanto sus componentes son:
F µν = ηµα F ν α =
0 E x E y E z
−E x −E y −E z 0 Bz −By −Bz 0 Bx By −Bx 0
on 12.18. Ejercicio 12.2.4 Comprobar la expresi´
(12.18)
Otro tensor de utilidad, como veremos m´as adelante es el llamado tensor dual de intensidad de campo
0 Bx By Bz
−Bx −By −Bz 1 0 E z −E y ∗ µν F = µνρσ F ρσ = (12.19) − E 0 E x 2 z E y −E x 0 ∗ F ı como B → E . Esto es µν se obtienen de los de F µν sustituyendo E → −B as´
Los elementos de lo que se conoce como transformaci´on de dualidad. 12.2.2.4 En conclusi´ on vemos que la interacci´on de una part´ıcula cargada con campos electromagn´ eticos satisface el principio de relatividad, siempre que los campos se transformen como componentes de un 2-tensor antisim´ etrico. Para concluir que el electromagnetismo es una teor´ıa completamente satisfactoria desde el punto de vista relativista tendremos que esperar a examinar la covariancia de las ecuaciones de Maxwell que contienen la din´amica de dichos campos en presencia de fuentes cargadas. Lo m´as ventajoso es deducir ´estas ecuaciones a partir de un principio variacional. Es por ello que vamos a desarrollar este punto de vista antes que nada.
24
12.3.
Formulaci´ on Lagrangiana
12.3.0.5 Recordemos que la formulaci´on lagrangiana fue desarrollada en t´erminos de coordenadas generalizadas, sin menci´on a ninguna propiedad peculiar de los grados de libertad que describen. La funcional de acci´on se construye sobre trayectorias parametrizadas en el espacio de configuraci´ones. Para la din´ amica Newtoniana de part´ıculas era conveniente tomar las coordenadas espaciales. Como par´ ametro para las curvas us´abamos el tiempo universal “galileano”de los sistemas inerciales. Esta elecci´ on tiene suma importancia, pues los sistemas inerciales se distinguen porque en ellos las trayectorias de las part´ıculas libres son rectil´ıneas y uniformes s´olo cuando las parametrizamos con el tiempo Galileano. Una reparametrizaci´on del tiempo no es por tanto una simetr´ıa y ello se refleja en que la acci´on para la particula galileana tampoco permanece invariante.
12.3.1.
La part´ıcula libre relativista
Ahora las coordenadas generalizadas vienen dadas por el 4-vector de posici´on. Una trayectoria en el O µ espacio de configuraciones viene con un par´ametro arbitario t, en la forma t x (t) = (x0 (t), x(t)). La diferencia ahora estriba en que la informaci´on sobre la velocidad de la part´ıcula est´a en la propia curva y no en el par´ametro de evoluci´on
→
v (t) =
dx dt . dt dx0
(12.20)
Con ella podemos reconstruir γ u y por ende la cuadrivelocidad completa. De hecho, dado que la trayectoria est´a confinada en el cono de luz, podemos usar x0 mismo como par´ametro t t (t) = x0 (t). Sin embargo es mucho m´as u ´ til considerar t como un par´ametro auxiliar no ligado a las coordenadas, y por tanto insensible a transformaciones de Lorentz. 12.3.1.1 La acci´ on La part´ıcula libre percibe directamente la estructura del espacio vac´ıo. Es natural, por tanto, que la acci´on que gobierna su din´amica incorpore las simetr´ıas del vac´ıo.
→
a) La homogeneidad del espacio vac´ıo implica que la acci´ on de la part´ıcula libre S , debe ser µ insensible a desplazamientos r´ıgidos del observador x = xµ + aµ . En consecuencia, S no debe depender de la posici´on xµ , y s´olo podr´a hacerlo de sus derivadas S = L(dxµ /dt)dt.
b) Las transformaciones de Lorentz x˙ µ (t)
→ x˙ µ (t) = Λµ µ x˙ µ(t)
(12.21)
tambi´en deben dejar invariante la acci´on. Ello se consigue haciendo que el lagrangiano dependa de la combinaci´on escalar L(x˙ µ x˙ µ ). Por u ´ ltimo, imponemos una simetr´ıa que asegur que el par´ ametro t de la curva sea puramente auxiliar, y no una variable din´ amica c) La acci´on, S , debe coincidir para curvas que se diferencien s´olamente en la parametrizaci´on S = L(t)dt = L (t )dt . Notemos que las variables permitidas se transforman tensorialmente (son velocidades) dxµ (t) dxµ (t ) dt (12.22) dt dt dt
→
25
La soluci´ on a estos requisitos es ´unica
− tf
S p =
−m
t0
dxµ dxµ dt dt dt
(12.23)
El signo negativo es necesario bajo la ra´ız cuadrada es debido a que se trata de trayectorias tipo tiempo. Podemos verificar que esta expresi´o n no es m´as que la longitud invariante Lorentz de la curva descrita reparametrizando t τ (t)
→
− τ f
S 0 =
−m
≡ √ −
τ 0
dxµ dxν ηµν dτ = dτ dτ
τ f
−m
−
U µ U µ dτ =
τ 0
τ f
−m
dτ
(12.24)
τ 0
pero ds ds2 = dτ es precisamente el elemento de l´ınea. De esta forma la acci´on es proporcional a la longitud de arco invariante a lo largo de la trayectoria seguida. El signo negativo delante de la raiz cuadrada es necesario porque la trayectoria f´ısica maximiza el tiempo propio y por tanto la longitud de arco, como puede comprobarse estudiando el caso de una part´ıcula libre parada en el origen. 12.3.1.2 Ecuaciones del Movimiento Podemos ahora deducir las ecuaciones del movimiento para la part´ıcula libre ∂L ∂x µ
− dtd ∂ ∂Lx˙µ = − dtd
m
dxµ = 0. x˙µ x˙µ dt
−
Comparando esta expresi´on con la an´aloga para la part´ıcula libre galileana vemos que, efectivamente, esta ecuaci´on se transforma covariantemente frente a reparametrizaciones temporales, gracias al factor de la raiz cuadrada. Podemos reducir el tama˜ no de la expresi´on utilizando el tiempo propio, ya que como bien sabemos
−
− −
dxµ dxµ dt = dt dt
y por tanto
− dtd m dxdτ µ =
dxµ dxµ dτ = dτ dτ dτ
m
dτ dt
d2 xµ =0 dτ 2
(12.25)
como la derivada de la reparametrizaci´on no se puede anular, resulta finalmente en m
d2 xµ dP µ = =0 dτ 2 dτ
(12.26)
Un par de comentarios son ahora oportunos. En primer lugar vemos que las ecuaciones de EulerLagrange son covariantes Lorentz: es crucial para ello que partamos de una acci´on escalar Lorentz. En segundo, no podemos usar las ecuaciones de Euler lagrange si parametrizamos la acci´on mediante τ , debido a que este par´ametro es funci´on de las coordenadas y por tanto introduce ligaduras (U µ U µ = 1 refleja que las componentes de la 4-velocidad no son independientes). Tal ligadura puede tenerse en cuenta mediante multiplicadores de Lagrange. 12.3.1.3 Magnitudes conservadas Por u ´ ltimo, hagamos menci´on a la existencia de magnitudes conservadas. Es evidente que las cuatro coordenadas xµ son c´ıclicas. De 12.25 y 12.26 vemos que P µ son precisamente los momentos conjugados, los cuales son conservados. En el caso newtoniano la conservaci´on de la energ´ıa era consecuencia de la invariancia de la acci´on bajo traslaciones temporales. Sin embargo ahora el
−
{ }
26
tiempo es una coordenada generalizada m´as, y la conservaci´on de la energ´ıa tiene el mismo rango que la conservaci´on del momento lineal. Llegamos por tanto a la verificaci´on de que E = P 0 .
alido para describir part´ıculas Ejercicio 12.3.1 El lagrangiano usual de la part´ıcula l ibre no es v´ sin masa. Desear´ıamos encontrar una generalizaci´ on que no fuese singular en el l´ımite m → 0. Para ello debemos introducir un grado de libertad m´ as en el juego. Considera S = −
1 2
dλ e−1 (λ)x˙ µ x˙ µ − e(λ)m2
(i) Deduce c´ omo debe transformarse e(λ) cuando λ → λ (λ) para que la expresi´ on anterior sea invariante bajo reparametrizaciones (ii) Halla las ecuaciones del movimiento para e. Dicute el l´ ımite m → 0. (iii) Halla las ecuaciones del movimiento para x˙ µ . Muestra que el lagrangiano y las ecuaciones del movimiento son equivalentes a los de la part´ ıcula li bre relativista. (iv) Escribe una reparametrizaci´ on infinitesimal como λ = λ + f (λ) donde f (λ) es una funci´ on arbitraria. ¿Cuantas cargas Noether esperar´ıas? Calc´ ulalas y muestra que todas se conservan.
12.3.1.4 La part´ıcula con una interacci´ on relativista El siguiente paso l´ogico consiste en obtener un ecuaci´on del movimiento de la forma 12.10 mediante este formalismo. Como hemos dicho, la covariancia viene asegurada partiendo de una acci´on escalar Lorentz. Para su construcci´on contamos por un lado con los 4-vectores asociados a la part´ıcula. Por otro debemos postular que el campo externo en el que la part´ıcula evoluciona es un campo tensorial Lorentz. Podemos por tanto considerar a priori tantas interacciones distintas como campos. Por orden, los casos m´as sencillos son las funciones, los campos vectoriales, tensores de rango dos, etc. Vamos a estudiar el segundo. Denotamos el campo vectorial externo por Aµ (x); el lagrangiano debe incluir un t´ermino que exprese la interacci´ on con este campo. Si exigimos los mismos requisitos que para la acci´on libre, la soluci´ on m´as sencilla es tf
S int = e
ti
dxµ (t) µ A (x(t))dt dt
(12.27)
Esto es lo que se conoce como acoplamiento minimal . El lagrangiano total de la part´ıcula ser´ a L=
µ
−m − dxdt
dxµ dxµ (t) µ +e A (x(t)) dt dt
(12.28)
La constante e mide el acoplamiento de la part´ıcula al campo y se denomina carga o constante de acoplamiento . Si calculamos las ecuaciones del movimiento para xµ (t) tenemos
−
∂L ∂x µ d ∂L dt ∂ ˙xµ
= e =
dxν ∂ µ Aν (x) dt d m dxµ + eAµ (x) dt x˙ µ x˙ µ dt
−
es decir
−
=
− dtd m dxdτ µ − e dtd Aµ(x)
d dxµ d dxν [L] = m + e Aµ (x) e ∂ µ Aν (x) = 0 dt dτ dt dt dt y multiplicando la ecuaci´ on por dτ obtenemos su expresi´on en funci´on de τ .
−
−
xµ
m
d2 xµ d + e Aµ (x) dτ 2 dτ
ν
− e dxdτ ∂ µ Aν (x) = 0
27
(12.29)
Si desarrollamos
dAµ dxν = ∂ ν Aµ dτ dτ la ecuaci´on del movimiento queda en la forma m
d2 xµ = e(∂ µ Aν dτ 2
ν
− ∂ ν Aµ ) dxdτ
y definiendo el tensor antisim´etrico de campo electromagn´etico F µν = ∂ µ Aν
− ∂ ν Aµ = −F νµ
(12.30)
podemos escribir la ecuaci´on din´ amica como sigue dP µ = eF µν U ν dτ
(12.31)
12.3.1.5 Examinando las componentes de 12.30 , vemos que podemos relacionar las componentes y B que aparecen en la expresi´on 12.16. del campo Aµ con las de los campos E
−F 0k = ( −∂ tA − ∇ φ)k (12.32) es el potencial vector y φ ≡ A0 = −A0 es el potencial escalar. An´alogamente la parte donde A E k =
espacial se relaciona con el campo magn´ etico Bk =
1 ijk F ij = ijk ∂ i Aj = ( 2
k ∇ × A)
(12.33)
El momento conjugado a la posici´on ya no es el momento lineal P µ = mU µ como ocurr´ıa con la part´ıcula libre. Ahora es πµ =
− ∂ ˙∂Lxµ = mU µ + eAµ
Si en lugar de una, estamos tratando con N part´ıculas en un campo electromagn´etico escribiremos para este sistema N dxµa dxν dxµ (t) a L= ma ηµν + e a Aµ (xa (t)) (12.34) dt dt dt a=1
{− −
12.4.
}
Din´ amica del campo electromagn´ etico
12.4.0.6 Lagrangianos de medios cont´ınuos En la secci´on previa hemos visto c´omo acoplar part´ıculas cargadas a campos electromagn´eticos haciendo uso del formalismo lagrangiano. Sin embargo es evidente que considerar el campo como un dato externo invariante s´olo puede responder a una aproximaci´on. En general sabemos que las part´ıculas cargadas producen un campos el´ectrico y magn´eticos que se habr´an de sumar a los existente en cada momento. ¿Cu´al es el campo producido por una carga en movimiento? De este problema nos vamos a ocupar en esta secci´on haciendo uso del formalismo variacional para medios cont´ınuos. Nuestras coordenadas generalizadas van a ser por tanto funciones sobre el espacio de 28
Minkoswky. Ya sabemos que para describir la interacci´on de part´ıculas con campos electromagn´eticos mediante lagrangianos hemos tenido que hacer uso del conjunto de campos Aµ (x). Los campos y B pueden expresarse en t´erminos de los campos Aµ a trav´es del tensor F µν . La primera E ventaja que ofrece trabajar con estos dos ´ultimos objetos es que son buenos tensores Lorentz, lo cual hace m´as sencilla la b´ usqueda de acciones escalares. De esta manera, esperamos que nuestra densidad lagrangiana sea una funci´ on del campo electromagn´etico Aµ (x), sus velocidades ∂ µ Aν y µ posiblemente el punto x = (Aµ , ∂ µ Aν , xµ ) (12.35)
L L
12.4.0.7
Identidades de Bianchi
y B como las variables fundamentales. En Hay dos razones adicionales para no considerar E primer lugar la ecuaciones de Euler Lagrange producen ecuaciones diferenciales de segundo orden, y B no son mientras que las ecuaciones de Maxwell son de primer orden. En segundo lugar E diferencialmente independientes. Esto se deriva directamente de la parametrizaci´o n de F µν en t´erminos de Aµ . Efectivamente escribiendo µναβ ∂ ν F αβ = µναβ (∂ ν ∂ α Aβ
− ∂ ν ∂ β Aα) = 0
(12.36)
debido a la simetr´ıa de las segundas derivadas parciales. La anterior ecuaci´on puede escribirse en forma m´as concisa haciendo uso del tensor electromagn´etico dual 12.19 ∂ ν ∗ F µν = 0
(12.37)
y B las 4 ecuaciones 12.36 equivalen a las a) Comprueba que en t´ erminos de E dos primeras ecuaciones de Maxwell:
Ejercicio 12.4.1
∂ B × E + ∇ =0 ∂x 0
· B = 0 ; ∇
(12.38)
b) Demuestra que podemos escribir el sistema 12.36 en la forma F νρ,µ + (permutaciones c´ıclicas de µν y ρ) = 0
(12.39)
Vemos que estas ecuaciones son identidades diferenciales y no tienen ning´un car´acter din´amico, es decir no proceden de ninguna acci´on extremal, y se conocen como identidades de Bianchi . 12.4.0.8 Invariancia de Gauge El problema que surge al usar Aµ (x) como coordenadas generalizadas para el campo electromagn´etico es que en realidad la part´ıcula no se acopla directamente a Aµ , sino a F µν , como se refleja en las ecuaciones del movimiento. Ello implica que hay una cierta ambig¨uedad en la especificaci´ on de Aµ , ya que dos campos Aµ y Aµ + ∂ µ φ dan lugar a id´enticos tensores F µν , y por tanto a los mismos y B. Efectivamente campos E F µν (A + ∂φ) = ∂ µ Aν
− ∂ ν Aµ + (∂ µ∂ ν − ∂ ν ∂ µ)φ = F µν (A).
Esta ambig¨ uedad no se puede fijar haciendo experimentos con part´ıculas cl´asicas cargadas, y por ello se eleva a categor´ıa de principio de simetr´ıa. La simetr´ıa de gauge para el campo electromagn´etico es un postulado y debe, por tanto, incorporarse a la construcci´on del lagrangiano de la misma manera que la simetr´ıa Lorentz. 29
Fµ"
Fµ"
A µ A µ + d!
A µ
A µ + d!
Figura 12.1: Fibraci´ on gauge del espacio de campos Aµ (x).
12.4.0.9 Vamos finalmente a escribir el lagrangiano para el campo Aµ en presencia de fuentes cargadas. Como de costumbre esperamos que el t´ermino libre sea cuadr´atico en velocidades ∂ µ Aν . Si exigimos que cumpla los dos requisitos siguientes: a) Invariancia Lorentz, es decir, la acci´on ha de ser un escalar. Esto implica que debemos construir la acci´on contrayendo tensores. b) Invariancia frente a transformaciones del tipo ??, es decir finalmente los campos observables y E . Esto implica que debemos usar tensores invariantes gauge. Es decir F y han de ser B ∗ F . S´olo tenemos dos posibilidades F µν F µν , y F µν ∗ F µν . No consideraremos la segunda3 .
Ejercicio 12.4.2 Expresar los escalares F µν F µν , F µν
∗ F µν
y
∗ F ∗ F µν µν
y en funci´ on de E
B.
Normalizando llegamos a la expresi´ on siguiente para la acci´on del campo electromagn´etico libre: S c = 3
−
1 F µν F µν d4 x 4
(12.41)
Usando formas diferenciales es trivial escribir la acci´ on par a este t´ermino en l a forma S =
M 4
µναβ 4
F µν F αβ
d x=
dA ∧ dA =
M 4
M 4
d(A ∧ dA) =
(A ∧ dA)
(12.40)
∂M 4
donde hemos usado el teorema de Stokes para transformar la integral de volumen de una 4-forma sobre el espacio de Minkowski M 4 , en una integral de una 3-forma sobre la frontera en el infinito que es una 3-esfera; por hip´otesis los y B se anulen, campos se anulan en el infinito, y por tanto S tambi´en. En rigor s´ olo es necesario que los campos E pudiendo permanecer un campo A = dξ en el infinito. S es una constante que puede normalizarse a un n´umero entero, el cual clasifica las clases de homotop´ıa asociadas a configuraciones de este ti po de campo s en una 3-esfera.
30
12.4.0.10
Las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtienen de la f´ormula general d dxµ
L − ∂ ∂φ A ,µ
∂ = 0. ∂φ A
L
(12.42)
Ahora los ´ındices colectivos A son ahora ´ındices tensorials ν , es decir tenemos la identificaci´on φA ,µ Aν ,µ y en consecuencia debemos calcular la expresi´on:
→
∂ ∂A ν
L − ∂ µ ∂ L ∂A ν
= 0.
(12.43)
,µ
donde el lagrangiano es, seg´ un 12.41,
LM = − 14 (Aν,µ − Aµ,ν )(Aν,µ − Aµ,ν ). El segundo t´ermino no contribuye, pero el primero s´ı, obteni´endose finalmente: ∂ µ F µν = 0
(12.44)
o lo que es igual
∇ E
∂ E ∇ × B − ∂x 0
12.4.1.
= 0 = 0.
Acoplamiento a las fuentes.
12.4.1.1 Las fuentes de de campos electromagn´etico no son otras que las part´ıculas cargadas. Ya hemos visto en la secci´on anterior que la forma m´as sencilla de describir este efecto es mediante un t´ermino en el lagragiano que denominamos, t´ermino de acoplamiento minimal 12.27. En el caso m´ as realista de que se trate de un conjunto de N part´ıculas con trayectorias xµn (t) tenemos la generalizaci´ on obvia N dxµ (t) Lint = en n Aµ (xn (t)) (12.45) dt n=1
En esta ecuaci´on las trayectorias de las part´ıculas xµn (t), no son variables din´amicas, sino datos externos que no se ven alterados por el campo. Sin embargo debemos rescribir este t´ ermino en la forma de una densidad lagrangiana adecuada al tratamiento de medios cont´ınuos: S int =
4
d x
Lint
≡
d4 xJ µ (x)Aµ (x)
(12.46)
Identificando las dos ecuaciones anteriores llegamos a la conclusi´on de que N
µ
J (x) =
n=1 4
2
1
en
dxµn (t) δ (x dt
− xn(t))dt
(12.47)
donde hemos hecho uso de la delta cuatridimensional definida por 3
δ (x
− y) =
µ=0
δ (xµ
− yµ) ≡ δ 3(x − y)δ (x0 − y0).
(12.48)
Usamos la notaci´ on xµ cuando queremos resaltar el car´ acter de cuadrivector de la variable posici´on. Sin embargo cuando hace el papel de argumento de una funci´on la denotaremos por x a secas 4
31
J µ (x) es el cuadrivector densidad de corriente electromagn´etica, o simplemente la corriente . En ella vemos que cada part´ıcula contribuye con su carga y su cuadrivelocidad si su posici´on en el espacio cuadridimensional coincide con la del punto en el que se est´a observando, que es el argumento de J µ (x). 12.4.1.2 La expresi´on 12.47 es manifiestamente invariante frente a reparametrizaciones de la trayectoria. Ello permite comprobar que efectivamente es un cuadrivector, sin m´as que reparametrizar el tiempo propio de cada part´ıcula t τ n :
→
N
µ
J (x) =
2
n=1
1
dxµ (τ n ) en n δ (x dτ n
N
− xn(τ n))dτ n =
2
n=1
1
en U nµ (x)δ (x
− xn(τ n))dτ n
(12.49)
Bajo transformaciones de Lorentz la funci´on δ 4 (x xn (τ ) permanece invariante porque det Λ = 1, por lo tanto estamos frente a un cuadrivector. Si usamos como par´ametro el tiempo del sistema de referencia del laboratorio, t x0 (t) = x0n (t), n encontramos que
−
→
∀
J 0 (x0 , x) =
en δ 3 (x
− xn(x0))
(12.50)
en δ 3 (x
xn − xn(x0)) d dx0
(12.51)
n
(x0 , x) = J
n
es la densidad de Esta forma pone de manifiesto que J 0 es la densidad de carga, mientras que J corriente tridimensional. Notemos adem´as que
∇ · J (x0, x)
=
− − n
=
n
=
n
=
∂ 3 xn 0 d δ ( x x (x )) n ∂x i dx0 ∂ dxn en i δ 3 (x xn (x0 )) 0 ∂x n dx ∂ en δ 3 (x xn (x0 )) ∂t
en
−
−
−
−
∂ 0 0 J (x , x) ∂t
(12.52)
que en lenguaje cuatridimensional equivale a ∂ µ J µ (x) = 0.
(12.53)
12.4.1.3 Sabemos por experiencia que cuando una corriente verifica una ecuaci´on de continuidad, como 12.53, podemos formar una carga total que es independiente del tiempo; Q=
d3 xJ 0 (x).
(12.54)
La conservaci´on de esta carga sigue los mismos pasos que mostramos en el caso de la barra el´astica ∂Q = ∂t
∂J 0 (x) d x = ∂x 0 3
−
V
(x) = ∂ x J 3
∇·
−
(x) dσ = 0. J
·
∂V
(12.55)
Aunque el no es evidente que Q sea un invariante Lorentz puede demostrarse algebraicamente sin gran esfuerzo (c.f. Weinberg p.41). Sin embargo para una densidad de corriente de la forma 12.50 este hecho es evidente pues podemos hacer la integral y obtener Q = n en que pone de manifiesto que Q no es otra que la carga electromagn´etica total.
32
12.4.1.4 Estamos por fin en condiciones de escribir el Lagrangiano del campo electromagn´etico acoplado de forma minimal a fuentes cargadas:
L = − 14 F µν F µν + J µ (x)Aµ(x).
(12.56)
De aqu´ı vamos a obtener las ecuaciones de Euler Lagrange usando la f´ormula 12.42. El resultado 12.44 nos ahorra la mitad del trabajo y finalmente obtenemos ∂ µ F µν =
−J ν (x).
(12.57)
Esta ecuaci´on es consistente con la conservaci´on covariante de la 4-corriente. Efectivamente escribiendo ∂ µ ∂ ν F µν = ∂ ν J ν (x) (12.58)
−
el segundo miembro se anula en virtud de 12.53, mientras que el primero lo hace debido a la antisimetr´ıa de F µν .
erminos de Ejercicio 12.4.3 Muestra que las ecuaciones 12.57 adoptan la siguiente forma en t´
y B: los campos E
× B = ∂ E + J ∇ ∂x 0 donde es convencional denotar por = J 0 la densidad de carga. · E = ; ∇
(12.59)
12.4.1.5 Vamos a resumir los resultados fundamentales obtenidos hasta el momento. La din´amica de part´ıculas cargadas y campos electromagn´eticos en interacci´on mutua viene descrita por la acci´on S = S p + S int + S c
(12.60)
donde cada t´ ermino adopta la siguiente forma N
S p
=
− − − dt
mn
n=1 N
S int
=
S c
=
dxµn dxν n ηµν dt dt
dxµn (t) dt en Aµ (xn (t)) = dt n=1 1 d4 x F µν F µν 4
d4 xJ µ (x)Aµ (x)
que involucra las coordenadas xµa , Aµ . Dependiendo del problema que se est´ e tratando es posible considerar un conjunto de variables como “no din´amicas”, es decir como fuentes. En ese caso uno debe buscar un extremal de la acci´on variando s´olamente el conjunto restante. Sin embargo el tratamiento exacto del problema implica la soluci´on simultanea de todas las ecuaciones de EulerLagrange:
{
}
ν d2 xµn µ dxn = eF ν dτ 2 dτ µν ν F ,ν = J (x) ∗ µν F ,ν = 0
m
donde J ν y xµn est´ an relacionadas mediante 12.47. 33
(12.61) (12.62) (12.63)
12.4.2.
El Tensor de Energ´ıa-Momento
12.4.2.1
T µν para el gas de part´ıculas
). Para En la secci´on anterior introdujimos la corriente y densidad de carga el´ectromagn´etica, (, J el mismo conjunto de part´ıculas definimos el tensor de energ´ıa momento mediante:
µν T mat (x) =
dt P nµ
n
dxν n 4 δ (x dt
− xn(t))
(12.64)
Esta expresi´on es una escalar (invariante) frente a reparametrizaciones (independientes) de las curvas xµ (t), y se transforma como un tensor Lorentz dos veces contravariante. Adem´ as es sim´etrico T µν = T νµ . Para ver esta propiedad es conveniente utilizar como par´ametro el tiempo propio de cada trayectoria t τ n :
→
µν T mat (x)
=
dτ n P nµ
n
=
n
1 mn
dxν n 4 δ (x dτ n
− xn(τ n)
dτ n P nµ P nν τ n δ 4 (x
− xn(τ n)
= T νµ
(12.65)
Por otro lado la interpretaci´on f´ısica de las distintas componentes se percibe m´as claramente en la parametrizaci´ on τ n x0n :
→
µν T mat (x) =
dx0n P nµ
n
es decir
µ0 T mat (x0 , x) =
dxν n 3 δ (x dx0n
P nµ δ 3 (x
n
µi T mat (x0 , x) =
− xn(x0n))δ (x0 − x0n).
P nµ
n
(12.66)
− xn(x0))
dxin 3 δ (x dx0
− xn(x0)).
(12.67)
µ0 La primera ecuaci´on refleja que T mat es la densidad de cuadrimomento, mientras que de la segunda µi observamos que T mat es la corriente de cuadrimomento. 12.4.2.2 Por u ´ ltimos vamos a investigar la conservaci´on covariante de este tensor. µν ∂ ν T mat (x)
= = = = =
dxν n ∂ δ 4 (x xn (τ n )) ν dτ ∂x n n dxν ∂ dτ n P nµ n ν δ 4 (x xn (τ n )) dτ n ∂x n n d 4 dτ n P nµ δ (x xn (τ n )) dτ n n dP nµ 4 dτ n δ (x xn (τ n )) dτ n n dP nµ (x0 ) 3 δ (x xn (x0 )) 0 dx n
− −
dτ n P nµ
−
−
−
−
−
(12.68)
µν y as´ı llegamos a que ∂ ν T mat = Gµ donde Gν dada por la ´ultima l´ınea en 12.68 es la densidad de fuerza covariante: dP nµ 4 Gµ = dτ n δ (x xn (τ n )) = dτ n f µ δ 4 (x xn (τ n )) (12.69) dτ n n n
−
34
−
12.4.2.3 Hay dos situaciones sencillas en las que encontramos conservaci´on del tensor de energ´ıa µν momento, ∂ µ T mat = 0. La primera se produce cuando Gµ = 0, es decir cuando se trata de un conjunto de part´ıculas libres. La segunda ocurre cuando las part´ıculas en cuesti´on interact´ uan m´ utuamente mediante interacciones que son estrictamente locales en las que se conserva el momento total (colisiones el´asticas). En este caso si xc indica la posici´ on en donde ocurre una colisi´on en la que coinciden un conjunto de m C part´ıculas en el instante x0c , tenemos que
{ ∈ }
µν ∂ ν T mat (x) =
δ 3 (x
colisiones
− xc) dxd 0
P nµ (x0 )
{m∈C }
(12.70)
x0 =x0c
Dado que en cada colisi´on se conserva el momento total de las part´ıculas que participan tenemos µν d µ 0 que dx abamos. {m∈C } P n (x ) = 0 y consecuentemente ∂ µ T mat = 0 como dese´ 12.4.2.4 Por el contrario si las part´ıculas est´ an sometidas a fuerzas a distancia, en general no encontramos conservaci´on. Por ejemplo consideremos un gas de part´ıculas cargadas con cargas en . Entonces 0
µν ∂ µ T mat (x)
=
dτ n f ν (xn )δ 4 (x
n
=
− xn(τ n))
dτ n en F µν (x)U ν (xn )δ 4 (x
n
− xn(τ n))
= F µσ (x)J σ (x)
(12.71)
Esta ecuaci´on es fiel reflejo de que las part´ıculas no son libres. Por tanto para encontrar un tensor de energ´ıa momento conservado debemos incluir el asociado al campo electromagn´e tico. 12.4.2.5 T µν para el campo electromagn´etico Sea 1 µν µν T em = F µ λ F νλ η F αβ F αβ (12.72) 4 Podemos calcular la cuadridivergencia
−
µν ∂ µ T em = (∂ µ F µ λ )F νλ + F µ λ (∂ µ F νλ )
− 12 (∂ ν F αβ )F αβ
(12.73)
ahora bien, tenemos que el segundo sumando puede escribirse en la forma siguiente F µλ (∂ µ F νλ ) =
1 F µλ (∂ µ F νλ + ∂ λ F µν ) 2
(12.74)
as´ı que finalmente obtenemos 1 µν ∂ µ T em = (∂ µ F µ λ )F νλ + F µλ (∂ µ F νλ + ∂ λ F µν + ∂ ν F λµ ) 2
(12.75)
y haciendo uso de las ecuaciones de Maxwell 12.39 y 12.57 llegamos a que µν ∂ µ T em =
−F νλ J λ
(12.76)
En resumidas cuentas llegamos a la conclusi´on de que, efectivamente, como reflejo de que el sistema total del conjunto de part´ıculas m´as el campo electromagn´etico est´an aislados, el tensor de energ´ıa momento completo se conserva ∂ µ T µν
µν µν ≡ ∂ µ (T mat + T em )=0
35
(12.77)
12.4.3.
Algunas soluciones
Las ecuaciones del movimiento 12.63 constituyen un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas. Es en general imposible encontrar soluciones de forma anal´ıtica debiendo hacerse num´ ericamente. Sin embargo existen situaciones en las que es consistente despreciar el efecto de la materia cargada sobre el campo o viceversa. En el caso extremo de que no tengamos materia cargada J µ = 0, denominamos a las soluciones de las ecuaciones de Maxwell, soluciones de vac´ıo. Vamos a estudiar este caso en primer lugar. Posteriormente examinaremos la generaci´on de campos por fuentes, es decir aquella situaci´on en la que despreciamos la primera l´ınea en 12.63. De forma gen´erica se atribuye la denominaci´o n de radiaci´on a la soluci´on de una ecuaci´o n de ondas ya sea homogenea o inhomogenea. De modo que debemos ser capaces de mostrar que en t´erminos de alguna variable, las ecuaci´ones de Maxwell implican una ecuaci´on de ondas. Para verlo es conveniente escribir la ecuaci´on 12.63 en t´erminos de los potenciales Aµ ∂ µ ∂ µ Aν
− ∂ ν ∂ µAµ = −J ν (x)
(12.78)
12.4.3.1 Fijaci´ on del Gauge de Lorentz Esto es casi lo que and´abamos buscando, para lo cual a´un sobra el segundo t´ermino. Desear´ıamos por ejemplo que (12.79) ∂ µ Aµ = 0 . Esto en general no es cierto. Sin embargo recordemos que las variables f´ısicas no son los potenciales y E , a los cuales est´ Aµ sino los campos F µν o bien B a asociada una familia de potenciales vectores relacionados entre s´ı mediante transformaciones de gauge Aµ = Aµ + ∂ µ φ
(12.80)
Dada una configuraci´on arbitraria Aµ , siempre podemos encontrar dentro de la clase de equivalencia gauge, un representante Aµ que verifique ∂ µ Aµ = 0. Para ver esto basta con tomar la cuadridivergencia de la ecuaci´on 12.80 e imponer que se anule. Encontramos as´ı la condici´on siguiente sobre el campo η (12.81) ∂ µ ∂ µ φ = ∂ µ Aµ
−
La condici´ on 12.79 se denomina “condici´on de Lorentz”. Esta condici´on no fija completamente la libertad de transformaciones gauge. Efectivamente la ecuaci´on 12.81 es invariante frente a ambig¨ uedades de la forma φ φ + η donde ∂ µ ∂ µ η = 0. Llegamos finalmente a las ecuaciones de Maxwell en el ”gauge de Lorentz”:
→
∂ µ ∂ µ Aν =
−J ν ;
∂ µ Aµ = 0
(12.82)
12.4.3.2 Soluci´ on de vac´ıo Empezaremos por considerar las anteriormente mencionadas soluciones de vac´ıo, ∂ µ ∂ µ Aν = 0 ;
∂ µ Aµ = 0
(12.83)
Podemos encontrar una soluci´on para este sistema en forma de ondas planas que se propagan en la direcci´on k, vibrando en cada punto con frecuencia k0 : Aµ =
1 (eµ exp(ikν xν ) + e∗µ exp(ikν xν )). 2
(12.84)
Hemos elegido por comodidad la notaci´on compleja, si bien se trata de un campo real, como se refleja en la expresi´on anterior. En adelante usaremos la notaci´on abreviada Aµ = eµ exp(ikν xν ) 36
obviando la instrucci´on de “tomar la parte real”; eµ son las 4 componentes del cuadrivector de polarizaciones y, “a priori”, son todas independientes. Sin embargo para que 12.84 sea soluci´on de 12.83, los vectores de onda kµ y las polarizaciones eµ deben satisfacer las relaciones algebraicas siguientes kµ k µ kµ eµ
= 0 = 0
(12.85) (12.86)
La segunda ecuaci´on reduce el n´ umero de componentes independientes de eν a tres. Pero adem´as, y sin abandonar el gauge de Lorentz, podemos realizar una sin cambiar los campos f´ısicos E y B, transformaci´ on gauge residual Aµ Aµ = Aµ + ∂ µ η ∂ µ ∂ µ η(x) = 0
→
(12.87) (12.88)
cuya soluci´on de nuevo puede ponerse en una base de ondas planas: η(x) = i exp(ikν xν ) kµ k µ = 0
(12.89)
lo cual permite escribir para los nuevos potenciales Aµ eµ
= eµ exp(ikν xν ) = eµ kµ .
−
(12.90)
El par´ ametro es arbitrario. As´ı , de las tres componentes algebraicamente independientes de eµ , a´un queda un grado de libertad esp´ureo debido a la libertad gauge residual, quedando 3 1 = 2 grados de libertad f´ısicamene significativos. 12.4.3.3 Ejemplo Para identificar y comprender la naturaleza de los dos grados de libertad f´ısicos vamos a considerar una onda que viaja a lo largo de la direcci´on z con vector de ondas
−
k1 = k2 = 0 ;
k3 = k0
≡ k > 0.
(12.91)
Entonces la condici´on de que kµ eµ se anule nos permite considerar e0 como dependiente e0 =
−e3.
(12.92)
(notar: e0 = e3 ). Tambi´en la transformaci´on gauge 12.90 deja e1 y e2 invariantes, pero cambia e3 en e3 = e3 k.
−
En consecuencia, podemos hacer e3 = e0 = 0 ajustando = e3 /k, y por consiguiente los campos y B s´ f´ısicos, E olo dependen de A1 y A2 . 12.4.3.4 Helicidad Podemos comprender mejor el significado de las polarizaciones transversas, las ´unicas que no hemos podido hacer desaparecer, sometiendo al sistema a una rotaci´on R(wz = θ) a lo largo del eje z: eµ = Rν µ eν
37
y por tanto es f´acil mostrar que si en lugar de e1 , e2 y e3 usamos e± e± e3
≡ e1 ∓ ie2 y e3 tenemos
= exp( iθ)e± = e3
±
(12.93)
En general, de cualquier onda plana ψ, que se transforme bajo una rotaci´on de ´angulo θ alrededor de la direcci´on de propagaci´on en la forma ψ
→ ψ = exp(ihθ)ψ
decimos que tiene “helicidad”h. Hemos visto entonces, que la onda electromagn´etica puede ser descompuesta en partes con helicidades 1 y 0. Sin embargo s´olo las partes con helicidad 1 son relevantes. A esto nos referimos cuando decimos que, cl´asicamente, el electromagnetismo es transportado por ondas de esp´ın 1. 12.4.3.5 Ondas Polarizadas y Finalmente veamos qu´e aspecto tiene la onda plana anterior en t´erminos de los campo f´ısicos E consideremos la onda polarizada en la direcci´on e1 , es decir e2 = 0, B,
±
±
A1 = e1 cos k(x3 i = ∂ i A0 por tanto de E
− x0)
− ∂ 0Ai obtenemos E 1 = e1 k sen k(x0
mientras que Bi = (
; A0 = A2 = A3 = 0
− x3)
(12.94)
, E 2 = E 3 = 0.
(12.95)
i y por tanto s´olo encontramos la contribuci´on B2 = ∂ 3 A1 ´o ∇ × A) B2 = e1 k sen k(x0 − x3 ) , , B1 = B3 = 0.
(12.96)
y B est´ es decir E an en fase, formando un ´angulo recto en todo momento. Tambi´en podemos considerar polarizaci´ones el´ıpticas de la forma A1 = e1 cos k(x3 x0 ) , A2 = e2 sen k(x3 x0 ) , e1 , e2 R. 12.4.3.6 Momento de una onda La soluci´ on libre hallada se denomina luz, y es el an´alogo de la part´ıcula libre para al campo Aµ . µν No transporta carga, pero s´ı momento. Recordando la expresi´on general para el tensor T em en 12.72, un c´alculo sencillo arroja para la polarizaci´on circular e1 = e2 = e
∈
T 00
=
T i0
=
−
−
− 12 (E 2 + B2) = (ke)2 × B) i = −(ke)2 δ i,3 = T 0i (E
por lo que vemos que s´olo lleva momento en la direcci´on del eje de propagaci´on.
12.4.4.
Radiaci´ on producida por fuentes cargadas
A continuaci´on vamos a estudiar la ecuaci´ on inhomog´ enea de ondas 12.82, que describe la generaci´ on de radiaci´on electromagn´etica por corrientes cargadas. 12.4.4.1 Conviene en este punto realizar un inciso para repasar la forma de hallar una soluci´on particular a la ecuaci´on inhomog´enea mediante el m´etodo de la funci´on de Green. Para ello nos fijaremos en el caso general que podemos escribir en la forma ∂ µ ∂ µ ψ = f (x) 38
(12.97)
El m´etodo opera de la siguiente manera: supongamos que encontramos una soluci´on para la ecuaci´ on de Green asociada ∂ µ ∂ µ x D(x, x ) = δ (4) (x x ) (12.98)
|
−
entonces podemos escribir autom´aticamente una soluci´on para ψ(x) haciendo uso de la linealidad del operador diferencial ψ(x) =
d4 x D(x, x )f (x )
(12.99)
como es trivial verificar. En ausencia de superficies l´ımite, la soluci´on 12.98 s´olo puede depender del cuadrivector diferencia x x . Es decir D(x, x ) = D(x x ). Sin p´erdida de generalidad podemos poner el origen de coordenadas en x y la ecuacion 12.98 se convierte en
−
−
∂ µ ∂ µ x D(x) = δ (4) (x)
(12.100)
|
Para resolver esta ecuaci´on es conveniente pasar al espacio dual de momentos, definiendo las siguientes transformadas de Fourier D(x) =
1 (2π)4
˜ = D(k)
δ (x) =
−ik·x ˜ d4 k D(k)e
ik·x ˜ d4 xD(x)e
1 (2π)4
(4)
d4 ke−ik·x .
(12.101)
Sustituyendo en 12.98 encontramos la funci´on de Green en el espacio de momentos ˜ D(k) =
− k12
(12.102)
y por tanto la funci´on de Green deseada D(x) =
−
1 (2π)4
d4 k
e−ik·x . k2
(12.103)
12.4.4.2 Esta expresi´on es amb´ıgua porque el integrando es singular, y por tanto s´olo obtiene un valor definido depu´ es de tratar adecuadamente las singularidades. Vamos a proceder a realizar en primer lugar la integraci´on en dk0 . De este modo 1 D(x) = (2π)4
−i k· x
3
d ke
∞
dk
−∞
0
eik (k 0 )2
0
x0
− | k|2 .
(12.104)
Para dar sentido a la integral en k 0 consideramos esta variable en forma compleja, y tratamos la integral como una integral de contorno en el plano complejo k0 . En este plano encontramos dos polos del integrando en k0 = k k . Podemos “bordear”dichos polos de diversas maneras y cada una de ellas dar´a lugar a una funci´on de Green. Las dos m´as usuales son: o ambas por abajo (contorno +), o ambas por arriba (contorno ). En el primer caso hablamos de funci´on de Green retardada y en el segundo de funci´ on de Green avanzada , y esta denominaci´ on proviene de sus distintos comportamientos para valores de x0 positivos o negativos. Cuando x0 > 0 la exponencial eik x converge para Im k 0 . Por tanto en este caso es conveniente cerrar el contorno por el semiplano superior. Claramente el contorno ( ) produce un resultado nulo al no contener ninguna singularidad. Por el contrario el contorno (+) contiene las dos singularidades y la integral en k 0 produce
± ≡ ±| |
−
0
(+)
0
→∞
0
dk
0
(k0
0
eik x = k)(k0 + k)
−
39
− 2πk sen(kx0)
−
Sin embargo, cuando x0 < 0 debemos cerrar por el semiplano inferior y es el contorno (+)el que no contiene ninguna singularidad. Por tanto escribimos para la funci´on de Green retardada D
(+)
(x) =
θ(x0 ) (2π)3
−
sen(kx 0 ) . k
d3 ke−ik·x
(12.105)
12.4.4.3 Podemos hacer las integrales angulares tomando el origen de angulo θ sobre el eje marcado por x, quedando D
(+)
(x) =
− −
= donde R
θ(x0 ) 8π 4 R θ(x0 ) 2π 2 R
∞
2π
π
dk
0
∞
dθ
0
dφk2 sen θe−ikR cos θ sen(kx0 )/k
0
dk sen(kR)sen(kx 0 )
0
≡ |x|. F´acilmente transformamos estas integrales en D
(+)
θ(x0 ) (x) = 8π2 R
∞
dk (ei(x
0
−R)k
−∞
0
− ei(x +R)k ).
(12.106)
Las integrales restantes son precisamente funciones delta de Dirac. Como x0 > 0 y R > 0 la segunda integral es siempre cero y la funci´on de Green retardada queda finalmente (recuperando la dependencia en el origen x0 ) D
(+)
θ(x0 x0 ) (x) = δ (x0 4πR
−
− x0 − R)
(12.107)
Cuando se elige el contorno ( ), un c´alculo exactamente paralelo conduce a la expresi´on para la funci´ on de Green avanzada :
−
D Tomando en cuenta que R manera conjunta
(−)
θ[ (x0 x0 )] (x) = δ (x0 4πR
− −
− x0 + R)
(12.108)
≥ 0 podemos obviar la funci´on salto en ambas expresiones y escribir de D(±) (x) =
δ (x0
− x0 ∓ R)
(12.109)
4πR
12.4.4.4 Estas funciones de Green pueden ponerse en forma m´as esclarecedora utilizando la siguiente identidad: δ [(x
− x)2]
= δ [(x0 x0 )2 R2 )] = δ [(x0 x0 R)(x0 1 = [δ (x0 x0 R) + δ (x0 x0 R)]. 2R
−
− − −
− − − −
− x0 + R)]
(12.110)
Entonces, como las funciones salto se encargan de seleccionar uno u otra opci´on tenemos finalmente: D(±) (x
− x) = 2π1 θ[±(x0 − x0)] δ [(x − x )2]
(12.111)
Las funciones θ y δ demuestran que la funci´on de Green retardada y avanzada, s´olo es distinta de cero sobre el cono de luz futuro, o pasado respectivamente, del punto fuente. 12.4.4.5 La funci´on D(+) se llama funci´on de Green retardada porque representa el comportamiento causal de una perturbaci´on que, producida en (x0 , x ) alcanza (x, x, ) donde x0 es posterior a x0 , i.e. x0 = x0 + x x > x0 . Por razones an´alogas, D(−) se llama funci´on de Green avanzada.
|− |
40
La existencia a priori de ambas soluciones es un reflejo de la invariancia de las ecuaciones frente a la inversi´ on temporal. Finalmente podemos escribir las integrales particulares de la ecuaci´on de ondas no-homog´enea.
0
ψ± (x , x) =
D(±) (x; x )f (x ) d4 x
1 4π 1 4π 1 4π
= =
≡
− x0 ∓ |x − x |) f (x ) d3xdx0 |x − x| 0 f (x ∓ |x − x |, x ) 3 d x | x − x | 0
δ (x0
[f (x , x )]ret av
d3 x ,
x
|x − |
(12.112)
donde el corchete [ ] ret significa que el tiempo ha de calcularse en el instante adelantado x0 = x0 x x . 12.4.4.6 Para hallar la soluci´on m´as general a un problema f´ısico pueden a˜nadirse a estas funciones soluciones de la ecuaci´on homog´ enea. Consideremos una distribuci´on de fuentes f (x0 , x ) que sea localizada en el espacio y en el tiempo. Es diferente de cero s´olo durante un intervalo finito de tiempo en torno a x0 = 0. Se advierten dos situaciones l´ımite. En la primera se supone que en el instante x0 existe una onda incidente ψin (x) que satisface la ecuaci´on homog´enea de ondas. Esta onda se propaga en el tiempo y en el espacio; la fuente se enciende y a su vez genera ondas. La soluci´ on completa para esta situaci´ on es para cualquier instante
−| − |
→ −∞
0
0
ψ(x , x) =
ψent (x , x) +
D(+) (x, x )f (x ) d4 x
1 = ψent (x , x) + 4π 0
[f (x0 , x )]ret 3 d x. x x
(12.113)
| − |
De 12.112 vemos que la presencia de D(+) garantiza que para tiempos remotos x0 << 0, antes que la fuente fuese activada, no hay contribuci´on de la integral, y s´olo existe la onda especificada ψin . Esta es la situaci´on f´ısica m´as corriente, y se corresponde con fen´omenos de absorci´on y emisi´on espont´ anea de radiaci´on. La segunda situaci´on es aquella en la que en instantes muy posteriores ( x0 + ) la onda est´ a dada por ψsal (x), una cierta soluci´on conocida de la ecuaci´on de ondas homog´ena. Entonces la soluci´ on completa que asegura que no existir´a ninguna se˜ nal procedente de la fuente despu´es de que ´esta se apague (por hip´otesis, dichas se˜ nales est´an todas inclu´ıdas en ψsal ) es
→ ∞
0
0
ψ(x , x) = ψsal (x , x) + 12.4.4.7 12.82
D
(−)
1 (x, x )f (x ) d x ψsal (x , x) + 4π
4
0
[f (x0 , x )]av 3 d x . (12.114) x x
| − |
Finalmente estamos ya en disposici´on de escribir la soluci´on de la ecuaci´on de ondas µ
A (x) =
Aµin (x)
−
D(+) (x
− x )J µ (x ) d4x
(12.115)
donde Aµin es soluci´ on de la ecuaci´on de ondas homog´enea. An´alogamente µ
0
A (x , x) =
Aµin (x0 , x)
−
1 4π
[J µ (x0 , x )]ret 3 d x x x
| − |
(12.116)
Vamos a considerar dos situaciones muy simples. 12.4.4.8 En primer lugar trataremos el caso de distribuciones estacionarias de la densidad carga: J 0 = ρ(x) ; 41
= 0 ; . J
(12.117)
Sustituyendo en 12.116 con Aµin (x0 , x) encontramos la soluci´on estacionaria en la forma 0 , x) = 0 A0 (x0 , x) = φ(x) , A(x con
1 φ(x) = 4π
(12.118)
ρ(x ) 3 d x. x x
(12.119)
| − |
y B, a trav´es de Esta configuraci´on puede resolverse directamente en t´ erminos de los campos E = = 0, que es las ecuaciones 12.32 y 12.33, siendo la u ´ nica ecuaci´on no trivial E φ,es decir B consistente con 12.59 2 E = ρ(x) = φ (12.120)
−∇
∇
en virtud de la identidad
∇
−∇
1
2
|x − x|
=
−4πδ (x − x ).
(12.121)
A´ un as´ı la soluci´ on de esta ecuaci´on s´olo ser´a una soluci´on exacta del sistema acoplado de cargas m´ as campos, en aquellas situaciones en que la distribuci´on de carga permanezca en equilibrio en presencia del propio campo que crea. Una situaci´on como esta es, por ejemplo, la de una carga puntual ρ(x) = Qδ (x), o la de un capa esf´erica infinitamente delgada ρ(x) = Qδ ( x 2 R2 ). En el primer caso encontramos la soluci´on f´acilmente sustituyendo directamente en 12.119
| | −
φ(x) = o lo que es igual
Q 1 ; 4π x
x) = 0 A(
||
(x) = Q x ; E 4π x 3
(12.122)
= 0 B
||
(12.123)
12.4.4.9 En segundo lugar, vamos a tratar el caso de fuentes con dependencia temporal peri´odica. Esto no supone una p´erdida de generalidad por cuanto cualquier dependencia temporal puede ser desarrollada en modos de Fourier. Por tanto, sea 0
J µ (x0 , x ω) = j µ (x)eiωx .
|
(12.124)
Debemos distinguir dos casos ω = 0 o ω = 0. Para ver esto basta con integrar la densidad de carga sobre todo el volumen en el que est´a contenido el sistema
Q=
0
0
iωx0
3
J (x , x ω)d x = e
V
|
j 0 (x)d3 x = Qeiωx
0
(12.125)
V
de donde, bien Q = 0 para ω = 0, o bien, ω = 0 ya que al est´ar el sistema confinado a un volumen V , la carga total contenida debe permanecer constante. El caso ω = 0 corresponde al una densidad estacionaria y se reduce al estudiado anteriormente. 12.4.4.10 Sustituyendo en 12.116 encontramos para el campo de radiaci´on
µ
0
A (x , x ω) =
|
−1
4π = eiωx
0
d3 x
j µ (x ) iω(x e x x
0
−| x− x |)
| − |
Aµ(x)
(12.126)
12.4.4.11 Expansi´ on multipolar En este punto debemos realizar alguna aproximaci´on que nos permita calcular la integral f´acilmente. Vamos a considerar que la distancia a la que se detecta la radiaci´on x x es mucho mayor que la
| − |
42
longitud de onda λ = 2π/ω y ´esta, a su vez, es mucho mayor que la dimensi´on del sistema emisor, d. As´ı pues estamos en el r´egimen R >> λ >> d
⇒ Rω >> 2π >> ωd,
(12.127)
y para empezar podemos aproximar el denominador por una distancia media x x R. Sin embargo en el numerador no es razonable hacer la misma sustituci´on pues las ondas generadas en distintas partes del sistema pueden interferir debido a su diferencia de fase. Por tanto consideraremos para dicha fase la aproximaci´on x x R nx , donde n es el vector unitario en la direcci´on x. 1 eiω(x −R) µ n x (x) = d3 x j µ (x )e−iω (12.128) 4π R
| − |∼
| − |∼ − − 0
A
Podemos comentar un poco m´as el sentido de la aproximaci´on que estamos realizando. La velocidad caracter´ıstica en el sistema es del orden ¯v ωd que por la desigualdad anterior 12.127 es << 1. Por tanto estamos tratando con velocidades no-relativistas y podemos expandir en potencias de ωd 1 eiω(x −R 1 µ µ (x) = j (x )( iωnx )n d3 x . (12.129) 4π R n! n
0
−
A
−
Como el orden de manitud de x es d, y ωd es por hip´otesis peque˜ no frente a la unidad, los sucesivos t´erminos del desarrollo evidentemente decrecen r´apidamente con n. De modo que la radiaci´ on emitida por la fuente proviene, en primera aproximaci´on, del primer t´ermino no nulo del desarrollo. Examinaremos por consiguiente el primer t´ermino n = 0, recuperando la dependencia temporal: 0
µ
A 12.4.4.12 decir
−eiω(x −R) (x , x |ω) = 4πR 0
j µ (x )d3 x .
(12.130)
Para µ = 0 la integral extendida al sistema no es otra que la carga total contenida, es A0 (x0 , x ω) =
|
Q iω(x −R) − 4πR e . 0
(12.131)
De la discusi´ on siguiente a la ecuaci´on 12.125 sabemos que hay dos casos posibles ω =0 ω =0
⇒ ⇒
Q A0 (x ω) = 4πR A0 (x0 , x) = 0.
|
−
(12.132)
El primero coincide con el potencial escalar para la carga puntual 12.122. 12.130 puede ponerse en forma m´as f´acil de in12.4.4.13 Para las componentes espaciales, A, terpretar si se integra por partes:
x ) d3 x = j(
= De la ecuaci´on de continuidad J
∇
−
d3 x . x ( j)
∇·
−∂ 0J 0 y 12.124 tenemos ∇ · j = −iωj 0 = −iωρ
(12.133)
(12.134)
y por tanto para 12.133 encontramos el resultado iω x ρ(x )d3 x que insertado de nuevo en 12.130 resulta en: iω(x −R) 0 , x ω) = ω e A(x p (12.135) 4πi R
|
43
0
